Geometrie – Inklusionsmaterial 4
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DOWNLOAD C. Spellner · C. Henning · M. Körner Geometrie – Inklusionsmaterial 4 Konstruieren von Figuren Bergedorfer Unterrichtsideen C. Spellner, C. Henning, M. Körner Grundwissen Mathematik inklusiv Geometrie Inklusionsmaterial 5.–10. Klasse Downloadauszug aus dem Originaltitel: Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich, aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in (Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. h verfolgt. verf Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich Vorwort 1. Vorwort Der Unterrichtsstoff muss neben den Hauptund Realschülern auch lernschwächeren Schülern1 – und im Zuge der Inklusion vermehrt Schülern mit sonderpädagogischem Förderbedarf – nachhaltig vermittelt werden. Der vorliegende Band bietet Ihnen entsprechende Kopiervorlagen. In ihm sind Aufgaben sowohl für Regelschüler, als auch für Schüler mit sonderpädagogischem Förderbedarf zusammengefasst und bieten somit eine ideale Grundlage für Ihren inklusiven Mathematikunterricht. Machen Sie von den veränderbaren Word-Dateien auf CD Gebrauch, um den individuellen Leistungsstand Ihrer Schüler berücksichtigen zu können. Die Arbeitsblätter für 1 Schüler mit sonderpädagogischem Förderbedarf haben einen grauen Seitenrand. Die Arbeitsblätter ohne grauen Seitenrand stammen aus dem Muttertitel „Grundwissen Ebene Geometrie“ und enthalten inhaltsgleiche, aber zieldifferente Aufgaben als Basis für die Regelschüler, bzw. als Erweiterung für die schnellen lernschwächeren Schüler. Viele Inhalte für die lernschwächeren nsch Schüler mit sonderpädagogischem em Förderbedarf F sind weniger abstrakt und nd anschaulicher anscha dargestellt. Sie benötigen g oft das handlungsorienha tiertere Arbeiten eiten und das Wiederholen Wiede thematisch grundlegender grun legender Rechenschritte, Reche um die Inhalte halte regelrecht rege recht begreifen beg zu können. en. Wir sprechen hier wegen der besseren Lesbarkeit von n Schülern bzw. Lehrern in der verallgemeinernden Form. den Form Selbstverständlich sind auch alle Schülerinnen nen und Lehrerinnen gemeint. 2. Methodisch-didaktische sch h-didaktisch Hinweise 2.1 Stolpe Stolpersteine ersteine der d Geometrie Schon in der de Grundschule erarbeiten n sich die Schüler chüler den de Begriff „Figur“, indem sie ganzheitlich lic wahrnehmen und d auf vielfältige v ge Weise W untersuchen. Meist wird wi d hier auch schon chon mit ersten Abbildungen ngen gearbeitet. gearbeitet Aber auch der Umgang mit den d Figuren wird w gefördert. g Natürlich ich wird auch uch betont, dass die Figuren in der Mathematik Formen sind, athematik idealtypische ideal die in der Umwelt und im Alltag nur annährend den idealtypischen Charakter aufzeigen. yp So kann man eine komplexe Figur zum Beispiel in verschiedene Dreiecke und Vierecke zerlegen, um eine Annährung an die geometrische Figur zu erlangen. Manche Figuren im Alltag haben aber auch abgerundete Ecken, sodass hier die typische Charakteristik der Ecke verlorengeht und mathematisch nicht mehr korrekt ist. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag innerhalb der ebenen GeoDie Problemfelder P metrie gehen mit den Bereichen Räumliches m Vorstellungsvermögen und Visuelle Wahrnehmung einher, auf denen die visomotorische Koordination aufbaut. Im Folgenden werden die Bereiche daher kurz erläutert. Die Erläuterungen lassen zugleich die Schwierigkeiten abschätzen, mit denen gerechnet werden muss. Gegebenenfalls müssen Sie auf Grundschulmaterialien zurückgreifen, um die entsprechenden Einsichten, die beschrieben werden, aufzubauen. 1 Vorwort Die visuelle Wahrnehmung ist die Grundvoraussetzung für ein räumliches Vorstellungsvermögen. Wahrnehmen stellt einen aktiven Prozess dar. Das Wahrnehmen geht über das bloße Sehen hinaus, denn es ist eng mit dem Gedächtnis und den damit gespeicherten Erfahrungen verbunden. Aber auch die Art des Denkens und des Vorstellens spielt hierbei eine große Rolle. Wahrnehmen ist ferner auch Sprache. Beim Sehen werden zunächst nur Gegenstände gesehen. Das Wahrnehmen erfasst Merkmale von Objekten, identifiziert ein Objekt, setzt es in Beziehungen zu der Umwelt, vergleicht verschiedene Objekte miteinander, um es dann mit einem Namen zu belees gen. Allerdings muss hierzu auch ein visuelles den Gedächtnis vorhanden sein. In ihm werden hr charakteristische Merkmale eines nicht mehr se Merk präsenten Objektes gespeichert. Diese Merksuellen Gemale können dann mit dem visuellen ente Objekte Ob ekte überdächtnis auf andere präsente tragen werden. ehmung zählt u Zur visuellen Wahrnehmung u. a. die FiWahrnehm mung. Das heißt, die gur-Grund-Wahrnehmung. Schüler m ssen in der Lage age sein, aus einem müssen komplexen Bild Teilfig nnen und Teilfiguren zu erkennen Hintergrund von G nterschei Gesamtfigur zu unterscheien. Ebenso fällt in diesen Bereich die Wahrden. hmung ißt dass die Schünehmungskonstanz. Das heißt, denen G ler Objekte in verschiedenen Größen,, räu räumlirben unter chen Lagen und Farben unterscheiden k können (räumliche Konstanz). Hierzu muss visuell hieden werden. Da sh unterschieden Das heißt, es handelt ier um d e Fähigke sich hier die Fähigkeit, Ähnlichkeiten und ede zu e Unterschiede erkennen und zu benennen. Weiterhin müss müssen die Schüler in der Lage sein, räumliche Beziehungen in Bezug auf den eigenen Körper wahrzunehmen und einzuordnen (Räumliche Wahrnehmung). Zum anderen müssen sie räumliche Gruppierungen von Objekten und deren Beziehung untereinander erfassen und auch beschreiben können (Räumliche Beziehungen). Ebenso muss die Wahr- C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag nehmung der Raumlage eines Objektes erfolgen. Hierbei müssen die Schüler in der Lage sein, die Raumlage eines Objektes zu einem Bezugsobjekt (z. B. eigene Person) zu erkennen und zu beschreiben. Auch die Visualisierung kann einen Stolperstein darstellen. Das bedeutet, dass die räumlichen Bewegungen (z. B. Verschiebungen, Drehungen) ohne Anschauungshilfen auf gedanklicher Vorstellungsebene erfolgen müsellun sen (räumliches Vorstellungsvermögen). enn die eigene Person Schwieriger wird es, wenn v in einer räumlichen Situation verortet werden liche Orientierun soll (Räumliche Orientierung). Ebenso tellung von Rotationen. schwierig istt die Vorst Vorstellung bei muss beachtet werden, dass sich die Dabei chüler eine exakte Rotation von ebenen benen u Schüler und d eidimensio ten vorstellen ellen k dreidimensionalen Objekten könne n müsse nen müssen. Unt Unter visomotorischer Koordinatio Koordination ver vere Fä keit, d ss das Seh steht man die Fähigkeit, dass Sehen mit er sinnvol dem eigenen Körp Körper sinnvolll in Verbindung ss eine ad gebracht wird wird, sodas sodass adäquate Koordination und eine dara daraus resultierende Handung erfo olgen kan lung erfolgen kann. D Diese ist notwendig, wenn man z. B. etwas ausschneiden oder nachzeichnen möch möchte. Neben den Schwierigkeiten, die die S Schüler im Bereich der visuellen Wahrnehmung und dem räumlichen Vorstellungsvermögen haben können, können die Schüler auch motorische Schwierigkeiten haben, sodass ihnen das Zeichen und Messen nur mühsam gelingt und ihre Arbeiten in diesem Bereich sehr ungenau sind. 2.2 Kompetenzerwartungen Die Kompetenzerwartungen können in die Bereiche Erfassen, Konstruieren, Messen und Anwenden unterteilt werden. Die nachfolgende Tabelle gibt einen Überblick über die Kompetenzerwartungen in den genannten Bereichen. 2 Vorwort Bereich Kompetenzerwartungen Erfassen verwenden von Fachbegriffen (z. B. Gerade, Strecke, Winkel, Abstand, Radius, parallel, senkrecht, symmetrisch) Beschreiben von ebenen und räumlichen Figuren Benennen von Objekten (z. B. Rechteck, Quadrat, Kreis, Quader, Würfel, Zylinder) Identifizieren von Objekten in der Umwelt Charakterisieren von Objekten (z. B. rechtwinklig, gleichschenklig, gleichseitig) Konstruieren Muster (im Koordinatensystem) zeichnen Senkre zeichnen grundlegender Beziehungen (z. B. Parallele, Senkrechte, Winkel) reise) zeichnen von Figuren (z. B. Rechtecke, Quadrate, Kreise) Schrägbilder skizzieren Körpernetze zeichnen und Körper daraus bauen en (z. B. nach Seiten Seite und Winkeln) Zeichnen von Figuren nach Angaben vergr ern und verkleinern ve kleinern Figuren maßstabsgetreu vergrößern nd verschieben ve schieben Figuren spiegeln, drehen und Messen gen, besonderen besondere Winkeln, Wink Flä heninSchätzen von Längen, Umfängen,, (Ober-) Flächeninumina halten und Volumina en von Längen, Längen, besonderen beso ln, Umfängen, U ängen (Ober-) FlächenFläc Bestimmen Winkeln, ten und Volumina Volum na inhalten Anwenden erfas ssen und benennen benen ften von vo on Objekten Obje erfassen von Eigenschaften begrü den von vo Eigenschaften mit it Hilfe Hilfe von Symmetrien, Symmetr begründen Winkelsätzen und ongr es Pythagoras/Thales Pyth Kongruenzen sowie mithilfe des Satzes des bere rischer Größen ößen mithilfe e des de Satzes des Pythagoras/Thaberechnen geometrischer sbeziehungen les und Ähnlichkeitsbeziehungen ischer Größen Größen mit m Hilfe von Sinus, Kosinus und Tangens berechnen geometrischer 2.3 Anregung zum um Einstieg Einst in das as Thema Geometrie eometr e Für einen en Einstieg Einstieg in das Thema Th bieten sich Bastell- und Faltübungen Faltübunge als aktive Handlung besonders s gut an. an Denn sie regen die Fantasie der Schüler chüle an und sind in ihrer Aufgabenstellung für die meisten Schüler sehr ansprechend. Allerdings muss hier beachtet werden, dass diese Übungen zu Fehlvorstellungen beitragen können. So muss man bedenken, dass das Herstellen eines Würfels aus einem Würfelnetz eigentlich aus der Ebene erfolgt, dann aber ein dreidimensionales Objekt ist. Ferner wird niemals C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag so genau gefaltet, dass zwingend ein exakter rechter Winkel entsteht. Manche Schüler sind motorisch geschickter als andere, sodass durchaus „schiefe“ Objekte entstehen. Gleiches gilt beim Falten. Wenn eine Parallele oder Senkrechte gefaltet wird, kann das durchaus ungenau sein. Im Bereich der Kongruenzabbildungen legt man gern zwei Figuren, die man auf dem Papier gezeichnet und anschließend ausgeschnitten hat, übereinander. So werden aber zwei Ebenen benutzt, obwohl eigentlich nur eine Ebene betrachtet wird. Dennoch haben Bastel- und Faltübungen einen unheimlich großen Aufforderungscharakter, was für die Schüler sehr motivierend ist. 3 Vorwort Denn sie können hier nicht nur selbst aktiv werden, sondern die entstehenden Objekte ihren Vorstellungen entsprechend mitgestalten (z. B. ausmalen). Außerdem gibt es den Schülern etwas in die Hand, wodurch bestimmte Merkmale besonders deutlich und zugänglich gemacht werden können. Je nach Thema gibt es verschiedene Aufgaben, die man mit auf den Weg geben kann. Beispiele: Figuren benennen und zuordnen: Zeichnen und Ausschneiden, anschließend in der Umwelt finden Senkrechte und Parallelen: mithilfe eines Blattes falten und ausmalen Kongruenzen: Figuren zeichnen, ausschneieiden und übereinanderlegen Innenwinkelsumme von Dreiecken/Vierecken: /Vierecken: „Konstruiere ein Dreieck/Viereck. eck. Reiße die Ecken ab und lege sie zusammen. zusamme Welche Winkelsumme entsteht?“ eht?“ Umfang: Figur mit einem ein nem Seil umlegen umleg Flächeninhalt: lt:: bekann bekannte e Figu Figuren in Figuren einzeichnen einzeichnen/Figur /Figur zerschneiden zers und zu einer bekannten F Figur gur zusammenlegen zusa 2.4 4 Durch Durc Kooperation Inklusion on ermöglichen e Im Sinne der Inklusion ion iist st es w wichtig, da dass Sie neben individueller ueller Förderung Förderung um u kooperative Lernformen men bemüht bemüht sind. sind Die D nachfolgend aufgeführten führten Beispiele eispiele zeigen z deutlich, dass hier nicht in Einzelarbeit Einze strikt nach Leistungsstand gearbeitet arbeit wird, sondern die Schüler sich die einzelnen Themen in der Klassengemeinschaft gemeinsam arbeiten. Im Laufe der Erarbeitung und Bearbeitung des Themas bieten sich verschiedene kooperative Lernmethoden an. Hier werden exemplarisch einige aufgeführt. 1. Lernpartner/Lerngruppen In Lerngruppen arbeiten die Schüler zwar individuell, aber doch gemeinsam an einem Thema und nutzen dafür die Stärken und Vorteile C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag einer Gruppe. Die Gruppen können entweder leistungsheterogen oder weitestgehend leistungshomogen zusammengestellt sein. Bei leistungsheterogenen Gruppen sollten Sie unbedingt darauf achten, dass die Schüler untereinander klare Rollen haben – ein leistungsstarker Schüler unterstützt z. B. einen leistungsschwächeren Schüler, welcher wiederum einem ebenfalls leistungsschwächeren Schüler erläutert, was er soeben mit seinem Mitschüler gelernt hat.. In leistungshomogenen Gruppen kann das Gruppenwissen gefesGrupp tigt und nachhaltig trainiert werden. Richten w Sie die Gruppenzusammensetzungen also penzusammenset nach Ihren UnterrichtsUnterrichts- und den individuellen Lernzielen ielen der Schüler Schüle aus. 2. Selbstkontrolle/gegenseitige Kontrolle Selbstkon l ontroll Die Kontrolle Di e eigenständige eigenst rolle von LernergebLernergebnissen fördert die Selbstständigkeit niss tändigkeit der de Schüler. Lernschwächere Schüler zuler äc Schüler trauen sich s dem mehr zu, u, da a sie s mögliche mög he falsche Lösungen nicht der ganzen nur sich anzen Klasse, sondern son selbst preisgeben und die richtige preisge eben en müssen m Lösung ösung in individuellem indivi uelle Tempo nachvollziekönnen. hen und ggf. nachrechnen nac Stationenlauf mit und ohne Partner 3. Statio B dem Stationenlauf arbeiten die Schüler Bei überwiegend selbstständig und eigenverantwortlich an Stationen. Selbstständig bzw. eigenverantwortlich bedeutet hier, dass der Lernende die Organisation seines Lernprozesses zunehmend eigenständiger mitgestaltet. Dies ist aber u. a. nur dann möglich, wenn die Schüler wissen, wie sie sich Informationen beschaffen, diese aufbereiten und Arbeitsergebnisse selbstständig überprüfen können, d. h. wenn sie selbstständig arbeiten/lernen können. Zwar können die Schüler noch nicht das Thema mitbestimmen und -organisieren, aber die Reihenfolge, die Sozialform sowie die Arbeitsplatzgestaltung müssen sie selbst wählen. Es ist auch damit zu rechnen, dass sich die Schüler an einen großen Gruppentisch stellen und an diesem arbeiten sowie dort die Materialien lagern. Außerdem sind neben der Gruppen- 4 Vorwort ebenfalls die Partner- und Einzelarbeit möglich. Auch die Selbstkontrolle (an einer Lösungsstation) führt immer mehr zu einem eigenverantwortlichen und auch kooperativem Lernen. Wichtig bei dieser Arbeitsform ist es, die verschiedenen Aufgabenstationen gestalterisch voneinander abzugrenzen, sodass die Zuordnung erleichtert wird. Um für die Schüler eine Übersichtlichkeit bezogen auf bereits erledigte Aufgaben herzustellen, sollten sie einen Laufzettel erhalten. Ferner sollten bestimmte Regeln gelten, um erfolgreich an den Stationen zu lernen. Beispiele: 1. Du schummelst nicht und schreibst nicht von anderen ab. / 2. Lass dir bei den Aufgaben so viel Zeit, wie du brauchst. / 3. Die Reihenfolge der bearbeiteten Aufgaben ist dir überlassen. / 4. Überlege dir, ob du alleine, alleine mit einem Partner oder in der Gruppe pe arbeiten möchtest. / 5. Kontrolliere erledigte digte e Aufgaben mit Hilfe der Lösungsstation. tion. / 6. Frage rage den Lehrer nur dann um Hilfe, wenn dir deine ine Mitschüler nicht helfen elfen können. k Die Lehrkraftt kann bei dieser Arbeitsform die verbringen, jedoch meiste Zeit im m Hintergrund Hintergr für die Schüler Schüler jederzeit jederz erreichbar sein, sos so frei wie möglich arbeiten dass diese s eiten können en und die Möglichkeit haben, sich beim Lernen zu unterstützen n gegenseitig ge tütz bzw.. zu helfen. Auch der Lehrkraft bietet die Stationenarione beit die Möglichkeit, keit, gezielter gezielter zu helfen als in einer Frontalsituation. erlsituation. Die Stationenarbeit Stat fordert auch vom vom Lehrer ein völlig anderes Verhalten: statt vorgeben lten: er muss muss anregen a sowie beraten raten statt sta bestimmen. Der Lehrer ist in der Rolle lle des d Beraters zu sehen. 4. Wochenplanarbeit Auch die Wochenplanarbeit bietet sich im Rahmen des eigenverantwortlichen und kooperativen Lernens an. Dies ist ebenfalls eine Form der Freiarbeit, bei der der Lernende die Organisation seines Lernprozesses zunehmend eigenständiger mitgestaltet. Auch hier müssen die Schüler wissen, wie sie sich Informationen beschaffen, diese aufbereiten und C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag Arbeitsergebnisse selbstständig überprüfen können. Im Unterschied zur Stationenarbeit werden die Arbeitsaufträge nicht für alle Schüler ausgelegt, sondern jeder Schüler erhält einen individuellen Arbeitsplan bzw. eine Arbeitsmappe. Da sich die Aufgaben oft gleichen, können die Schüler hier auch wieder gemeinsam arbeiten oder sich gegenseitig unterstützen. Letzteres ist auch immer dann möglich, wenn nicht die gleichen Aufgaben bearbeitet werden, denn ist die Form nn hierfür h der Freiarbeit geradezu prädestiniert. präde 2.5 Erläuterung rung der Kopiervorlagen Kopierv Die Arbeitsmaterialien, materialien bei denen der rechte Seitenrand itenrand grau unterlegt unter ist und die e Aufgabennummern ennummern mit einem schwarzen n Dreieck Dreie hinterlegt h nterlegt sind, si sind soweit weit aufbereitet, aufbereitet, dass d lernschwächere lern schw Schüler gut mit ihnen ihne arbeiten können. Wenn Ihre Schüler Sch hüler die ArbeitsmaArbe sma terialien gut bearbeitet bear tet haben hab n und die Inhalte/ In Kompetenzen sicher sic er beherrschen, beherrsch ist es selbstverständlich rständ dlich ch möglich, m ihnen ih die Arbeitsmaterialien lien für die d e Schüler Sch ohne sonderpädagogischen gogisch en Förderbedarf Förde b zur Vertiefung und Erweiterung Erweiteru ng anzubieten. an Nutzen Sie hier immer entsprechend ents die Arbeitsblätter ohne grauen Seitenrand, die die gleiche Überschrift g grau ttragen bzw. das gleiche Thema behandeln. Für leistungsstarke Schüler verwenden Sie die Arbeitsblätter ohne grauen Seitenrand. Bedeutung der Aufgabennummerierung 1 Aufgaben aus dem Anforderungsbereich I, Reproduzieren @ Aufgaben aus dem Anforderungsbereich II, Zusammenhänge herstellen # Aufgaben aus dem Anforderungsbereich III, Verallgemeinern und Reflektieren ∉ Aufgaben für lernschwache Schüler, Schüler mit sonderpädagogischem Förderbedarf 5 Seitenhalbierende in Dreiecken 1. C 5. A 2. B C 3. B C B C 2. Du zeichnest aber nur den Schnittpunkt auf der Seite des Dreiecks ein. C B 3. Verbinde den Schnittpunkt mit dem p gegenüberliegenden des n Eckpunkt Ec Dreiecks. C A 8. 1. Wähle eine Seite (im Beispiel c). Du gehst so vor, als wenn du eine Mittelsenkrechte auf eine Strecke konstruieren möchtest. B A 7. A 4. A 6. A C 4.–5. Wiederhole 1.–3. –3. mit der nächsten n Dreieckseite Dreieckseite (hier Seite a). B 6.–7. 7. Wiederhole Wiederhole 1.–3. 1.–3 mit der dritten Dreieckseite (hier Seite b). Dre eiecks C Seitenhalbierenden schneiden 8. Die Seite en schnei den sich in einem Punkt. s Den Schnittpunkt ittp kt der Seitenden n nennt ennt man an auch halbierenden rpunkt (S eie Schwerpunkt (S)) des Dre Dreiecks. S A B A B ∆ Konstrui Konstruiere ere bei a allen drei Dreiecken eiecke die Seitenhalbierenden. Seitenhalbie Überprüfe, ob folgender Satz auf deine Konstruktion folgende nstruktion zutrifft: stumpfwinkligen, spitzwinkligen rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich Bei stu pit gen und rec die Seitenhalbierenden innerhalb des Dreiecks. den immer im nner C C ✕ • ✕ C✕ A✕ ✕B A✕ ✕B A✕ ✕B ∇ Zeichne ein beliebiges Dreieck. Konstruiere den Schwerpunkt. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 6 Seitenhalbierende in Dreiecken Info Als Seitenhalbierende in Dreiecken werden die Verbindungsstrecken der Eckpunkte mit den gegenüberliegenden Seitenmitten bezeichnet. ! a) Konstruiere jeweils die Seitenhalbierenden der Dreiecke. C C ✕ • ✕ C✕ A✕ ✕B A✕ A✕ ✕B ✕B b) Was stellst du fest? Bei stumpfwinkligen Dreiecken Bei spitzwinkligen Dreiecken Bei rechtwinkligen Dreiecken 2 a) Zeichne die gegebenen enen Dreiecke Dreie ke in ein Koordinatensystem stem m (Einheit inheit 1 cm) c in dein de Heft. b) Konstruiere jeweils Seitenhalbierenden und gib (näherungsweise) die Koordinate ere je weils die Seiten b (näh herungsweise) rungs d des Schnittpunktes chnittpunk es S der de Seitenhalbierenden an. 3 (1) A(7 A(7 | 3) B(8 | 6) C(2 C( | 3) S(___ S(___ | ___) __ (2)) A(–3 A( | 2) B(–3 | –2) C(3 | –2) –2 S(___ S(_ | ___) (3) A(–2 | 6) B(–6 | 6) C(–4 | –2,5) –2,5 S(___ | ___) Den Schnittpunkt hnittpunkt der Seit Seitenhalbierenden bezeichnet man als Schwerpunkt des Dreiecks. eiecks. Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Konstruiere dann nn den Schwerpunkt Schwerp und gib die Länge der Seitenhalbierenden an. a) a = 3 cm b = 4 cm g = 90° sa = _____ sb = _____ sc = _____ b) a = 5,2 cm b = 7,6 cm c = 6,4 cm sa = _____ sb = _____ sc = _____ c) a = 5,2 cm b = 28° g = 117° sa = _____ sb = _____ sc = _____ C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 7 Vermischte Übungen zu besonderen Linien ∆ Ergänze sinnvoll. gegenüberliegenden – kongruent – SWW – einer – Seitenlängen – Winkelgröße – WSW – SSW Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in drei _________________ übereinstimmen (SSS). vo den Seiten Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und der von eingeschlossenen _________________ übereinstimmen (SWS). Seitenlänge änge und beiden be der Zwei Dreiecke sind _________________, wenn sie in einer Seiten Seite anliegenden Winkelgrößen übereinstimmen (_____ ___ ). n _________________ ___ _________ wei Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in Seitenlänge und zwei mmen (__ _____ __). weiteren Winkelgrößen übereinstimmen gruent, wenn w nn sie in zwei zw Seitenlängen en und u der der de größeren Seite S Zwei Dreiecke sind kongruent, _________________ _ Winkelgröße übereinstimmen (_____ __). ∇ a) Besc Beschreibe, hreibe, wa was ein Umkreis ist. b) Konstruiere ein beliebiges Dreieck u und dazugehörigen Umkreis. onst d den dazu c) Wa Was kannst du über den Mittelpunkt eines Umkreises sagen? telpunkt ein ∈ a) Beschreibe, be, was ein Inkreis I ist. b) Konstruiere beliebiges Dreieck und den dazugehörigen Inkreis. Konstru uiere ein be eb c) Was kann kannst st du über den Mittelpunkt eines Inkreises sagen? ∉ a) Beschreibe, was ein Schwerpunkt ist. b) Konstruiere ein beliebiges Dreieck und den dazugehörigen Schwerpunkt. c) Was kannst du über den Schnittpunkt von Seitenhalbierenden sagen? ∊ a) Konstruiere ein beliebiges Dreieck und die drei Höhen. b) Was kannst du über den Schnittpunkt der Höhen sagen? C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 8 Vermischte Übungen zu besonderen Linien 1 Zeichne jeweils eine Gerade durch den Schnittpunkt der beiden besonderen Dreieckslinien und des freien Eckpunktes und untersuche die Eigenschaft dieser Geraden. Was stellst du fest? B B ✕ ✕ hc C ✕ B ✕ ✕ sc ✕ ha ✕A C✕ s ✕ b ✕ wα w ✕ ✕A C✕ ✕A 2 Konstruiere den Umkreis des Dreiecks mit a = 40°, b= 5,1 cm und d g = 100° und gib den Umkreisradius an. Benutze möglichst wenige Konstruktionsschritte. onsschritt 3 Konstruiere den Inkreis des Dreiecks mit b = 6,3 cm, a = 81° und und c = 4,7 cm und gib den Inkreisradius an. Benutze möglichst chst wenige nige Konstruktionsschritte. Konstruktions 4 Konstruiere den Schwerpunkt des Drei Dreiecks cks mit m b = 60°, 6 a = 3,9 cm m und g 60°. Benutze möglichst wenige Konstruktionsschritte. Ko onstruktionsschr 5 Konstruiere den Höhenschnittpunkt Höhenschnittp nk des Dreiecks b = 4 4,5 5 cm cm, a = 38° und und c = 4,5 cm. Benutze möglichst möglichs st wenige Konstruktionsschritte. Ko ^ Sascha m möchte sich s aus einem m Brett (Maße aße siehe S Skizze) kizze eine möglichst mög große runde Scheibe heibe ausschneiden. ausschneiden Welchen Durchmesser hat die Scheibe? Welche & 55 cm 65 cm 60 cm Die Städte Echzell, zell, Hungen Hung und Wölfersheim W planen den Bau eines gemeinsamen Biokraftwerkes. erkes. Der Standort Stand soll so gewählt werden, dass die Anlage von allen drei Orten gleich weit entfernt ent ist (Luftlinie). Für die Entfernungen der Städte gilt: Echzell – Wölfersheim 5 km Echzell – Hungen 8 km Echzell ✕ Hungen ✕ Wölfersheim ✕ Hungen – Wölfersheim 9 km Bestimme die Entfernung des Biokraftwerkes zu den Städten durch eine Konstruktion. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 9 Unregelmäßige Vierecke konstruieren Info Die Form und Größe von Vierecken wird durch ihre Seitenlängen und Winkelgrößen bestimmt. Sind jeweils alle Seitenlängen und Winkelgrößen gleich groß, so sind die Vierecke kongruent zueinander (deckungsgleich). Man muss nicht alle Seiten und Winkel von Vierecken kennen, um entscheiden zu können, ob Vierecke kongruent zueinander sind. So konstruierst du ein unregelmäßiges Viereck: 1. 2. D c ✕ C ✕ b d A 3. ✕ α β a ✕ B A ✕ ✕ a 4. B A ✕ 85˚ 95˚ 9 5. D D ✕ d A ✕ 95˚ a ✕ B A ✕ B 6. C ✕ ✕ b d 85˚ ✕ a 85˚ 85 D ✕ B A ✕ C ✕ b d 95˚ a ✕ c 85˚ 85 95˚ 95 a ✕ B 1. Fertige eine was du an ne Planfigur Planfigur an. Das ist eine Skizze, in der du alles markierst, m markie bekannten bekannt n Stücken gegeben geb hast. 2. Zeichne d die e erste Strecke S (a) und benenne benenn deren Eckpunkte Eckpunk (A und B). a und u zeichne die Schenkel der Winkel. 3.. Trage in den Punkten der Strecke die Winkel ab 4. Nim Nimm die Seitenlänge d in die e der Seite S d Zirkelspanne. Stich in A ein und trage auf dem Schenkel ab. Markiere kiere den Punkt D. S 5. Nimm die Seitenlänge der Seite b in die Zirkelspanne. Stich in B ein und trage auf dem nkel a b. Markiere d Schenkel ab. den Punkt C. binde nun noch C und D. Benenne alle Seiten. 6. Verbinde ∆ Konstruiere folgende Vierecke. Miss die fehlenden Winkel und Seiten. a) a = 6 cm, b = 4 cm, d = 3 cm, a = 65°, b = 70° b) a = 3 cm, c = 2 cm, d = 5 cm, d = 60°, a = 55° C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 10 Unregelmäßige Vierecke konstruieren Info Die Form und Größe von Vierecken wird durch ihre Seitenlängen und Winkelgrößen bestimmt. Sind jeweils alle Seitenlängen und Winkelgrößen gleich groß, so sind die Vierecke kongruent zueinander (deckungsgleich). Man muss nicht alle Seiten und Winkel von Vierecken kennen, um entscheiden zu können, ob Vierecke kongruent zueinander sind. ! Jan hat nach einer vorgegebenen Konstruktionsbeschreibung ein Viereck konstruiert. Dabei hat er jedoch zwei Fehler gemacht. Markiere diese dies in den Konstruktionsschritten. Notiere dann die gegebenen Stücke und d konstruiere kon das Viereck richtig in dein Heft. Konstruktionsbeschreibung (1) Mache dir eine Planfigur. bene Eckpunkte mit A und B. (2) Zeichne die Strecke a = 4 cm und benenne die Eckpunkte inke b = 9 (3) Trage den Winkel a = 85° an A und den W Winkel 95° an B ab. m A mit mi Radius Radius d = 2,5 cm und bezeichne eichne den (4) Zeichne einen Kreis(bogen) um gens) mit dem dem zweiten zwe Schnittpunkt des Kreis(bogens) Schenkel von a mit D. (bogen um B mit Radius R m und un bezeichne ezeichne den de (5) Zeichne einen Kreis(bogen) b = 3 cm es Kreis(bogens) Kreis(boge s) mit m dem zweiten Schenkel nk kel von on b mit C. C Schnittpunkt des hnung (6) Verbinde C mit D und vervol vervollständige die Bezeichnung. (1) (2)) D c ✕ A ✕ C ✕ d (3) b α β a ✕ B A ✕ ✕ a (4) B A ✕ 85˚ 95˚ (5) (6) D D ✕ d C ✕ ✕ A 85˚ 95˚ a ✕ B D b d ✕ ✕ a A ✕ 85˚ ✕ B ✕ c A ✕ C ✕ b d 95˚ a B 85˚ 95˚ a ✕ B Gegebene Stücke: 2 Konstruiere jeweils die Vierecke aus den gegebenen Stücken. Bestimme die fehlenden Seiten und Winkel durch Messen. Mache zu jeder Aufgabe eine Planfigur. a) a = 5 cm; b = 4 cm; c = 6 cm; d = 7 cm; b = 70° a = _____ g = _____ d = _____ b) a = 3,5 cm; b = 3 cm; d = 2 cm; a = b = 95° c = _____ g = _____ d = _____ C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 11 Rechtecke und Quadrate konstruieren Erinnere Dich: Rechtecke haben vier rechte Winkel. Deshalb heißen sie auch Rechtecke. Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang. Quadrate sind besondere Rechtecke. Alle vier Seiten sind gleich lang. So konstruierst du Rechtecke und Quadrate. 1. D c (= a) ✕ C ✕ d (= b) b ✕ ✕ a A 5. 2. ✕ A d A ✕ B a D ✕ ✕ d ✕ a ✕ 4. A ✕ a ✕ B A C b ✕ a B 7. D ✕ ✕ d A D d B A B 6. D 3. ✕ a ✕ B C b ✕ a B 1. Fertige eine Planfigur an. Das s ist eine Skizze, Skizze in der du alles markierst, kierst, was du du an bekannten Stücken gegeben geben hast. 2. Zeichne die erste deren Eckpunkte e Strecke (a) und u d benenne be unkte (A und B). B 3. Trage in dem (90°) ab und em ersten erstten Punkt (A) der Strecke den rechten echten n Winkel Winke W zeichne eichn den Schenkel Schen el des de Winkels. der Seite Stich in A ein und 4. Nimm die e Seitenlänge Seitenlä e d bzw. bz b in die Zirkelspanne. Zirkelspa trage auf dem Schenkel ab. Markiere arkiere den den Punkt D. 5. Trage in dem Punkt B den rechten ten Winkel (90°) (90 ab und zeichne den Schenkel des Winkels. Win 6. Nimm die Seitenlänge nlänge der de Seite b bzw. d in die Zirkelspanne. Stich in B ein und trage auf dem Schenkel Schenkel ab. a Markiere den Punkt C. 7. Verbinde binde nun nun noch C und D. Benenne alle Seiten. ∆ Konstruiere truier folgende Vierecke. Entscheide, ob es sich um ein Quadrat oder um ein Rechteck handelt. a) a = 3 cm, b = 7 cm b) c = 5 cm, b = 5 cm c) a = 4 cm, d = 4 cm d) c = 5,5 cm, b = 4 cm C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 12 Rechtecke und Quadrate konstruieren Info Normalerweise benötigt man mindestens fünf Stücke (Seiten und Winkel), um ein Viereck eindeutig konstruieren zu können. Oftmals werden aber weniger als fünf Stücke eines Vierecks angegeben. Damit die Konstruktion trotzdem eindeutig ist, werden dann zusätzlich die Eigenschaften von besonderen Vierecken (siehe Arbeitsblatt 18) ausgenutzt. ! a) Beschreibe die einzelnen Konstruktionsschritte. Achtung: Die Zeichnungen sind nicht in der Originalgröße, sondern verkleinert (Maßstab 1:4) dargestellt. (1) D ✕ c (= a) C d (= b) (3) ✕ a A ✕ A a (6) D r1 a A ✕ ✕ r1 ✕ B C ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ a D r1 B A B D A (4) ✕ b ✕ (5) (2) ✕ B A r2 ✕ a B (7)) D a ✕ B C ✕ ✕ ✕ ✕ r1 A ✕ r2 ✕ a B Konstruktionsbeschreibung ng (1) (2) (3) (4) 4) (5) (6) (6 (7) b) Notiere gegebenen Stücke: ere die gegebe nen S c) Konstru Konstruiere Viereck in Originalgröße in dein Heft. Beginne dabei mit der Seite a. re das Vi d) Gib Viereckart an: b die Vie @ Konstruiere die gesuchten Figuren. Bestimme die fehlenden Seitenlängen bzw. die Längen der Diagonalen durch Messen. Achtung: Du musst bei den Konstruktionen die Eigenschaften der Figuren benutzen. a) Rechteck mit a = 6 cm und b = 3 cm e = _____ f = _____ b) Rechteck mit a = 7 cm und e = 7,2 cm b = _____ f = _____ c) Quadrat mit a = 5 cm e = _____ f = _____ d) Quadrat mit e = 5,6 cm a = _____ f = _____ C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 13 Parallelogramme konstruieren Info Betrachte die Abbildungen. So konstruierst du ein Parallelogramm. Denke daran: Gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang. Die Summe von zwei nebeneinander liegenden Winkeln beträgt 180°. Planfigur: D C d a a A B 4. 7. D D geg.: a, d, α C c d 1. A A B b a A B 5. D 2. A B A B 6. 6 3. D a A B A B 1.-2. Zeichne die Strecke ke AB. e Seite Se te d. 3.-4. Konstruiere die re eine Parallele Paral ele zu z AB durch D. 5. Konstruiere struiere eine Parallele Paralle zu AD durch B. 6. Konstruiere enne den Schnittpunkt S Schn 7. Benenne C und alle Seiten. ∆ Konstruiere ein beliebiges Parallelogramm. a D✕ Miss alle Seiten und Winkel. b C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag hb ha ∇ Konstruiere vier Parallelogramme. a) a = 5 cm; b = 3 cm; α = 75° b) b = 4 cm; c = 7 cm; γ = 40° c) a = 7 cm; d = 4 cm; δ = 45° d) c = 6 cm; d = 2 cm; β = 130° ✕C ✕ ✕ Tipp: A a b ✕ ✕ B Der Abstand der jeweils parallelen Seiten wird als Höhe bezeichnet. 14 Trapeze konstruieren Info Betrachte die Abbildungen. So konstruierst du ein Trapez. Denke daran: Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel. Planfigur: D 4. C D d α A Tipp: Es gibt auch gleichschenklige Trapeze. Die haben die Eigenschaften: a β B geg.: a, d, α, β A B 1: Zwei Seiten sind gleich lang (b = d). Die D anderen Seiten sind (a und c). d parallel par 5. c D D 1. C d A b a A A 2: Die Winkell an den parallelen Seiten sind gleich groß (α = β, γ = δ). δ) 6. 2. D A B B B c D d b A 3. b a b a A D a c d C b B A a 1.-2. Zeichne die Strecke Strecke AB . truiere die Seite Seite d. 3.-4. Konstruiere 5. Konstruiere zu AB (durch D. onstruier eine Parallele Paral ruiere die d Seite S 6. Konstruiere b. nne den de Schnittpunkt und alle Seiten. 7. Benenne C d B 7. A g B B 3 Zwischen den parallelen 3: Seiten (a und c) verläuft die Mittelsenkrechte der beiden Seiten. Sie ist gleichzeitig die Symmetrieachse des Trapezes. c D C b d a A B ∆ Verfasse eine Konstruktionsbeschreibung für ein Trapez. D✕ d ∇ Konstruiere ein beliebigesTrapez. Miss alle Seiten und Winkel. ✕ A ✕C c h a b ✕ B ∈ Konstruiere ein beliebiges gleichschenkliges Trapez. Miss alle Seiten und Winkel. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 15 Parallelogramme und Trapeze konstruieren Info ! ✕C ✕ b hb ha ✕ b h b ✕ ✕ a A ✕C c D✕ d ✕ ✕ B a A B Ergänze in den Koordinatensystemen jeweils den Punkt A, sodass sich ein Parallelogramm ergibt. Gib auch die Koordinate von A an. a) A(___ | ___) 4 3 ✕ –4 –3 –2 D ✕D 2 1 –1 4 C 3 2 ✕ y y 4 B ___ | ___) c) A(___ b) A(___ | ___) y 2 a D✕ In Parallelogrammen und Trapezen wird der Abstand der jeweils zueinander parallelen Seiten als Höhe bezeichnet. ✕ 1 2 2 1 C 3 4 x –4 –3 –2 –1 1 ✕ 1 –1 – –1 –2 –2 –3 –3 –4 – –4 2 3 ✕ 3 B 1 C x 4 ✕ –4 –3 –2 –1 ✕ D 1 2 3 4 x –1 –2 ✕ – –3 B – –4 Konstruiere die gesuchten Figuren. Figu Bestimme die fehlenden ehlenden S Seitenlängen eitenläng bzw. die Länge der Höhen durch durch Messen. Mess Achtung: Du musst sst bei den den Konstruktionen Ko die Eigenschaften Eigensc aften der Figuren F ure benutzen. a) Parallelogramm ralle ogramm mit a = 5 cm, b = 3 cm und nd a = 50° und d b = 73° b) Paralle Parallelogramm mit a = 6 cm, ha = 4 cm un T m, b = 3,8 cm,, c = 4,6 cm und b = 56° c)) Trapez mit a = 3 cm, a || c m, d = 3,2 cm, a = b = 103° a || c d) Trapez mit a = 4 c cm, 3 Konstruiere nstruiere die Parallelogramme Parall in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm). Gib näherungsweise erungsweise die d Koordinaten der fehlenden Punkte an und miss die fehlenden Stücke. e. a) A(–2 | –3) C(___ | ___) b) B(6 | –3) A(___ | ___) B(4 | –3) b = 5 cm f = 9 cm D(___ | ___) e = _____ a = g =____ C(6 | 2) a = 8 cm d = 65° D(___ | ___) e = _____ f = _____ C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag b = d = ____ a = g =____ b = ____ 16 Rauten konstruieren Info Betrachte die Abbildungen. So konstruierst du eine Raute. Beachte, dass alle vier Seiten gleich lang sind. Planfigur: C c b f D B e d a A geg.: Seiten a, b , c, d, Diagonale f 3. 1. c f D 2. B C b f D b c B f D B e C d c D 4. C b f a A d a A B 1. Zeichne die Diagonale gonale f. Das D ist die Strecke DB. e Seiten Se 2. Trage mit dem Zirkel d die c (Strecke CD) und b (Strecke BC) nach oben ab. Es tsteht de entsteht der Punkt C. V Vervollständige zu einem Dreieck. 3. Trage mit dem Zirkel die Seiten a (Strecke AB) und d (Strecke AD) nach unten ab. Es entsteht eht der de Punkt A. Zeichne die Strecken ein. 4. Verbinde nun die Punkte A und C. Dies ist die Diagonale e. Beschrifte alle Strecken. Konstruiere eine beliebige Raute. Miss alle Seiten und Winkel. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 17 Drachenvierecke konstruieren Info Betrachte die Abbildungen. So konstruierst du ein Drachenviereck. Beachte, dass c = b und a = d ist. C Planfigur: c b f D B e d a A geg.: Seiten a, b , c, d, Diagonale f 3. 1. c f D 2. B C b f D b c B f D B e C d c D 4. 4 C a a d b f B A A 1. Zeichne die e Diagonale f. Das Da ist die Strecke DB. 2. Trage dem ge mit d m Zirkel die Seiten c (Strecke CD) und b (Strecke BC) nach oben ab. Es entsteht Punkt teht der P unkt C. C Vervollständige zu einem Dreieck. 3. Trage mit dem de Zirkel die Seiten a (Strecke AB) und d (Strecke AD) nach unten ab. Es entsteht der Punkt A. Zeichne die Strecken ein. 4. Verbinde nun die Punkte A und C. Dies ist die Diagonale e. Beschrifte alle Strecken. ∆ Verfasse eine Konstruktionsbeschreibung für ein Drachenviereck. Benenne, was man im Vergleich zu einer Raute beachten muss. ∇ Konstruiere ein beliebiges Drachenviereck. Miss alle Seiten und Winkel. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 18 Rauten und Drachenvierecke konstruieren ! Ergänze in den Koordinatensystemen jeweils den Punkt A, sodass sich eine Raute ergibt. Gib auch die Koordinate von A an. a) A(___ | ___) b) A(___ | ___) y y 4 C ✕ D ✕ 1 @ –2 –1 1 ✕ 2 3 C D ✕ 2 B x 4 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –2 –3 –3 –4 –4 3 1 1 –1 4 2 ✕ B 1 2 3 x 4 –4 –3 –2 –1 1 ✕ 2 C –1 3 x 4 –2 B ✕ –3 – –4 Ergänze in den Koordinatensystemen n jew jeweils ls den Pun Punkt kt A, so sodass sich ein Drachenviereck mit der Symmetrieachse se BD BD ergibt. Gib G auch die Koordinate te von A an. b) A(___ | _ ___)) a) A(___ | ___) y 4 D –2 2 –1 ✕ 2 3 4 x –4 4 –1 –2 2 D✕ –2 –3 –3 3 ✕ B –4 C 3 D ✕ 2 C ✕ 1 4 3 1 –3 y 4 ✕ 2 –4 c) A(___ | __ ___) y 3 3 ✕ 3 D ✕ 2 –3 y 4 3 –4 c) A(___ | ___) C 2✕ 1 –1 1 1 –1 2 ✕ B 3 4 x –4 –3 –2 –1 1 2 3 x 4 –1 – –2 –2 –3 –3 –4 –4 ✕ B Konstruiere nstruie die gesuchten gesu Figuren. Bestimme die fehlenden Seitenlängen bzw. die Längen en der Diagonalen D durch Messen. Achtung: Du musst bei den Konstruktionen die Eigenschaften gensc der Figuren nutzen. a) Raute mit a = 5 cm und a = 50° b) Raute mit c = 6 cm, f = 4 cm c) Drachenviereck mit a = 3 cm, b = 3,8 cm, f = 4,6 cm (Symmetrieachse ist AC) d) Drachenviereck mit a = 4 cm, e = 3,2 cm, f = 5,5 cm (Symmetrieachse ist BD) C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 19 Vermischte Übungen zu: Vierecke konstruieren ∆ Ergänze sinnvoll. So konstruierst du ________________________ und 1. 2. D c (= a) ✕ 3. C D b a A 5. ✕ ✕ A ✕ B a ✕ A ✕ d ✕ a ✕ B ✕ a ✕ B d A ✕ a ✕ B 7. D d A B 6. D 4. ✕ d (= b) ✕ . A ✕ a C D b d B ✕ A ✕ C b ✕ a B 1. Fertige eine Planfigur an. Das ist eine Skizze, in der du alles markierst, a . 2. Zeichne die erste Strecke ke (a) (a) und . ( ) der de Strecke den rechten en Winkel W nkel (90°) (90°°) ab und 3. Trage in dem ersten Punkt (A) zeichne den en . der Seite d bzw. 4. Nimm die Seitenlänge Seiten w. Stich ich in A ein und u trage auf dem Schenkel Sc enkel ab. Markiere Ma arkie den Punkt D. . ab und zeichne 5. Trage in dem Punkt B den rechten chten Winkel Winke el (90°) ( . 6. Nimm die Seitenlänge Seitenlä änge _________________________________. Stich h in B ein und trage trage _________________________. Markiere den Punkt C. 7. Verbinde nun _________________________. erbinde n un noch n Benenne nenne alle a _________________________. ∇ Konstruiere ein beliebiges Parallelogramm. Miss alle Winkel und Seiten. ∈ Beschreibe, wie du ein Trapez konstruierst. ∉ Konstruiere eine beliebige Raute. Miss alle Winkel und Seiten. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 20 Vermischte Übungen zu: Vierecke konstruieren 1 a) Trage die Punkte A1(2,5 | 3,5), B1(1 | 2,5), C1(2,5 | 0,5), A2(–1,5 | 0,5), B2(–1 | 2), C2(–4 | 3), A3(–1,5 | –1), B3(–3,5 | –1), C3(–4,5 | –2,5), A4(0,5 | –2), B4(2 | –3), C4(3,5 | –2) in das Koordinatensystem ein. b) Ergänze die Punkte D1 bis D4, so dass sich die angegebene Figur ergibt. y Parallelogramm 3 2 1 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x –1 c) Zeichne bei allen Figuren die Diagonalen e1 bis e4 und f1 bis f4 ein und gib näherungsweise gleichschenkliges die Koordinaten der Diagonalenschnittpunkte Trapez S1 bis S4 an. S2(__ | __) S3(__ | __) S4(__ | __) S1(__ | __) 2 Drachenviereck 4 –2 – –3 Raute – –4 Übertrage die Figuren in dein Heft, zeichne eichn die Höhen ein un und gib ihre Längen en an. ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ 3 ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ Konstruiere Konst die gesuchten Figuren. ren. Bestim Bestimme die fehlenden Stücke durch Messen. A Achtung: Du musstt bei den de Konstruktionen stru teilweise die Eigenschaften der Figuren benutzen. gelmäßiges Vi ereck mit a = 3,9 cm; b = 5,4 cm; c = 2,6 cm; d = 4,7 cm; g = 70° a) Unregelmäßiges Viereck e = _____ ___ _ f = _____ ___ a = _____ b = _____ d = _____ ute mit a = 6 cm, f = 4 cm b) Raute e = _____ ha = _____ a = g = _____ b = d = _____ c) Drachenviereck mit a = 5,2 cm, b = 2,8 cm, e = 4,6 cm (Symmetrieachse ist BD) f = _____ a = _____ b = _____ g = _____ d = _____ d) Parallelogramm mit b = 5 cm, hb = 4,2 cm und g = 73° a = _____ e = _____ f = _____ ha = _____ a = _____ b = d = _____ e) Quadrat mit f = 6 cm. a = _____ e = _____ C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 21 Lernzielkontrolle zum Konstruieren 1 Name: Datum: ∆ Konstruiere entweder ein spitzwinkliges, ein stumpfwinkliges oder ein rechtwinkliges Dreieck. a) Miss alle Winkel, Höhen und Seiten des Dreiecks. b) Was kannst du zu den Seiten sagen? Denk daran, wann ein Dreieck konstruierbar ist. n. c) Benenne die Unterschiede der drei genannten Dreiecksarten. ∇ Konstruiere einen Kreis mit beliebigem Radius. a) b) c) d) Zeichne drei Punkte auf die Kreislinie. Verbinde die drei Punkte. Es entsteht ein Dreieck. Wie nenntt ma man den Kreis Kreis? Konstruiere den Mittelpunkt des Kreises. musst es Kr eises. Welche besonderen Linien mu usst du dazu konstruieren? ∈ a) Beschreibe, wie man einen Winkel in i zwei gleich große roß ße Teile eile teilt. teilt. Fertige eine Skizze dazu an. b) Wie kann rechten Winkel konstruieren? ann man einen rech eren? ∉ Konstrui Konstruiere ere ein D Dreieck mit beliebigen belieb n Maßen. Konstruiere den Inkreis zu dem Dreieck. Konstrui em Dreie k. ∊ Benenne Ben die Vierecksarten. ksar 1) 4) 2) 5) 3) 6) 7) ∋ Konstruiere je ein a) Rechteck oder Quadrat b) Parallelogramm oder Trapez c) Raute oder Drachenviereck Fertige zu einer deiner Konstruktionen eine Konstruktionsbeschreibung an. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 22 Lernzielkontrolle zum Konstruieren 2 Name: Datum: ∆ Konstruiere entweder ein gleichseitiges, ein gleichschenkliges oder ein unregelmäßiges Dreieck. a) Miss alle Winkel, Höhen und Seiten der Dreiecke. b) Was kannst du zu den Winkeln sagen? c) Benenne die Unterschiede der genannten Dreiecksarten. ∇ Konstruiere einen Kreis mit beliebigem Radius. a) Zeichne eine Strecke AB an den Kreis, die genau Schnittpunkt mit ihm u einen Schnittpunk S hat. b) Zeichne eine weitere Strecke BC den die genau einen Schnittpunkt C an d n Kreis, di e gena tpunkt mit ihm hat. c) Zeichne eine dritte Strecke den Kreis, die genau einen Schnittpunktt mit ke CA an d en Kr n Schnittpun dem Kreis hat. d) Nun solltest du Dreieck um d den Kreis gezeichnet haben. Kreis berührt u ein Dreiec ne et ha ben. Der Kre jede Seite des Wie nennt man diesen Kreis? es Dreiecks. W en Kr is? e)) Konstruiere den Mittelpunkt des Kreises. Welche besonderen Linien musst du struiere de n Mitte s. We lche bes onde dazu konstruieren? daz u konstruie ∈ Konstru Konstruiere ein Dreieck mit beliebigen Maßen. Maß Kons kr Dreiec Konstruiere den Umkreis zu dem Dreieck. ∉ Hier siehstt du, wiee Seit Seitenhalbierende 1. C A 5. B C A B ruiert werden. werden Beschreibe. Bes konstruiert 2. C 6. C ∊ Konstruiere struiere je ein a) Rechteck oder Quadrat ech A B A B b) Parallelogramm oder Trapez c) Raute oder Drachenviereck Warum wurde die Wahl zwischen den Vierecken ermöglicht? 3. C A 4. 7. B C C A 8. B C S A C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag B A B 23 Lernzielkontrolle zum Konstruieren 1 Name: 1 Datum: a) Konstruiere die beiden Dreiecke in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm). (1) A1(–2 | –2,5) C1(1,5 | –4) a1 = 51° g1 = 66° (2) A2(–3 | 4,5) B2(2 | 2,5) a2 = 4,2 cm b2 = 96° b) Gib näherungsweise die Koordinaten der fehlenden Punkte an. (1) B1(___ | ___) (2) C2(___ | ___) c) Miss die fehlenden Stücke. @ a1 = _____ b1 = _____ c1 = _____ b1 = __ _____ b2 = _____ c2 = _____ a2 = _____ g2 = _____ Konstruiere zu dem nebenstehenden henden Kreis Kre s den Mittelpunkt. mkreis eines eines Dreiecks. Tipp: Denke an den Umkreis 3 Konstruiere Konstru ere jeweils den Umkreis und gib seinen Radius Ra adius an an. a) Quadrat adra mit a = 3,7 cm ___ rUmkrei Umkreis = _____ Rechteck mit b = 5,1 cm und f = 6,3 cm rUm b) Recht Umkreis kre = _____ 4 a) Konstruiere ere das Viereck Vie eck nach n der vorgegebenen Konstruktionsbeschreibung. 1) (1) (2)) (3) (4) Zeich ne eine 6 cm lange Strecke BC. Zeichne Trage an d der Strecke BC in Punkt C den Winkel 70° ab. Trage an der Strecke BC in Punkt B den Winkel 110° ab. Zeichne einen Kreisbogen um C mit dem Radius 3,8 cm und bezeichne den Schnittpunkt des Kreisbogens mit dem zweiten Schenkel des 70°-Winkels mit D. (5) Zeichne zur Strecke BC durch den Punkt D eine Parallele. (6) Bezeichne den Schnittpunkt der Parallelen mit dem zweiten Schenkel des 110°-Winkels mit A. (7) ABCD ist das gesuchte Viereck. b) Gib an, welche Stücke gegeben waren. c) Gib an, um welche Viereckart es sich handelt. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 24 Lernzielkontrolle zum Konstruieren 2 Name: Datum: ! Beschreibe, wie man ohne zu Messen einen Winkel von 45° konstruieren kann. 2 Konstruiere die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Bestimme me die fehlenden Stücke (Strecken und Winkel) durch Messen. a) a = 7 cm; b = 4 cm; rUmkreis = 5 cm c = _____; a = _____; _; b = _____; ____ g = _____ b) a = 5 cm; b = 4 cm sa = 4,5 cm c = _____; a = _____; _____ b = _____; __ g = _____ # Erkläre, warum in einem Dreieck die Seitenhalbierende Seitenhalbierend einer Seite nie kleiner er sein kann als die zu der Seite gehörende nde Höhe. Höhe. 4 Konstruiere Kons jeweils den n Inkreis I und gib sei seinen Radius an. % ,8 cm a) Quadrat mit f = 6 6,8 rInkreis = _____ m und g = 50° b) Raute mit a = 2,8 c cm rInkreis = _____ Welche che Bedingungen Bedingun müssen mindestens erfüllt sein, damit a) zwei Quadrate zueinander kongruent sind? ei Q b) zwei Rauten zueinander kongruent sind? c) zwei Rechtecke zueinander kongruent sind? C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 25 Lösungen Seitenhalbierende in Dreiecken Seite 6 ∆ Wenn der Satz auf die Konstruktion zutrifft, sind die Seitenhalbierenden mit hoher Wahrscheinlichkeit richtig gezeichnet worden. ∇ Individuelle Schülerlösungen Seitenhalbierende in Dreiecken Seite 7 ! a) C C ✕ ✕ C✕ ✕ Sb S Sa ✕ Sb ✕ ✕ ✕ A✕ Sc ✕ ✕B A✕ S Sc ✕ ✕ ✕ Sa ✕B A✕ S Sb ✕ ✕ Sc ✕ Sa ✕B b) Bei stumpfwinkligen Dreiecken schneiden sich die Seitenhalbierenden en in e einem nem Punkt im iinneren des Dreiecks. lbieren en in einem Punkt kt im inneren des Bei spitzwinkligen Dreiecken schneiden sich die Seitenhalbierenden Dreiecks. Bei rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich die Se Seitenhalbierenden einem Punkt im inneren enhalbierenden in ei n des Dreiecks. 2 (1) S(5,7 | 4) (2) S(–1 | –0,7) 7) (3) S(–4 | 3,2) 3 a) sa = 4,3 cm sb = 3,6 cm sb = 4 4,4 4 cm sb = 6,5 cm sc = 2,5 cm sc = 5,7 cm sc = 2,5 cm b) sa = 6,5 cm c) sa = 5,9 cm C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 26 Lösungen Vermischte Übungen zu besonderen Linien Seite 8 ∆ Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in drei Seitenlängen übereinstimmen (SSS). Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und der von den Seiten eingeschlossenen Winkelgröße übereinstimmen (SWS). Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seitenlänge und beiden der Seite anliegenden Winkelgrößen übereinstimmen (WSW). Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seitenlänge und zwei weiteren Winkelgrößen übereinstimmen (SWW). Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und der der größeren Seite gegenüberliegenden Winkelgröße übereinstimmen (SSW). unkt d ∇ a) Bei jedem Dreieck kann man einen Umkreis zeichnen, indem man den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten als Mittelpunkt des Kreises wählt. b) Individuelle Schülerlösung c) Bei stumpfwinkligen Dreiecken schneiden sich die Mittelsenkrechten n außer außerhalb halb des Dreiec Dreiecks. Bei spitzwinkligen Dreiecken schneiden sich die Mittelsenkrechten innerhalb nerhalb des Dreiecks. Bei rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich die Mittelsenkrechten auf der Seite eite d des Dreiecks, di die d dem rechten Winkel gegenüberliegt. eichnen, indem ma nkt der ∈ a) Bei jedem Dreieck kann man einen Inkreis einzeichnen, man den Schnittpunkt s Kreises wählt. Der Rad bstand von Mi ttelpunkt Winkelhalbierenden als Mittelpunkt des Radius ist dann der Abstand Mittelpunkt bzw. Schnittpunkt zu den Seiten. b) Individuelle Schülerlösung tzwinkligen und nd rechtw chn nei n sic c) Bei stumpfwinkligen, spitzwinkligen rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich die Winkelhal Winkelhalbierenden es Dreiecks. immer innerhalb des nittpunkt der de Seitenha uc Schwerpunkt chwerpunk des D ∉ a) Den Schnittpunkt Seitenhalbierenden nennt man auch Dreiecks. Individ elle Schülerlösung Schülerlö b) Individuelle c) c Bei ei stumpfwinkligen, stumpfwinkligen spitzwinkligen und rech rechtwinkligen kligen Dreieck Dreiecken en sch schneiden sich die Seitenhalbierenden er innerhalb in h lb des Dreiecks. immer Indiv ∊ a) Individuelle Schülerlösung b) Bei stumpfwinkligen Dreiecken reiecken schneiden den sich die Höhen außerhalb des Dreiecks. Bei spitzwinkligen Dreiecken schneiden den sich die di Höhen innerhalb nerh des Dreiecks. Bei rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich die Höhen im m Eck Eckpunkt punkt des d rechten Winkels. Vermischte ischte Übungen Übungen zu besonderen Linien 1 B B ✕ hc C✕ B ✕ ✕ ✕ ✕ Seite 9 Wa ✕ Sc ha ✕ A C ✕ ✕ Sb Wy ✕ ✕ ✕A C ✕ ✕A Es sollte auffallen, dass die Gerade der dritten besonderen Linie entspricht. Daraus kann man schließen, dass zum Konstruieren des Höhenschnittpunktes, des Inkreismittelpunktes, des Umkreismittelpunktes und des Schwerpunktes jeweils zwei besondere Linien ausreichen. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 27 Lösungen 2 r = 4 cm 3 r = 1,6 cm ^ Der Inkreis hat in der Zeichnung einen Radius von 1,7 cm, also einen Durchmesser von 3,4 cm. Somit hat die Scheibe einen Durchmesser von 34 cm. & Die Entfernung des Biokraftwerkes zu den Städten beträgt 4,5 km. Unregelmäßige Vierecke konstruieren Seite 10 a) a = 3 cm, b = 4 cm, d = 3 cm, a = 65°, b = 70° 씮 c = 3,5 cm; g = 93°, d = 132° b) a = 3 cm, b = 2 cm, d = 5 cm, a = 60°, d = 55° 씮 b = 2 cm; b = 98°, g = 147° Hinweis: Bei den Lösungen handelt es sich um gerundete Werte. Unregelmäßige Vierecke konstruieren Seite 11 ! Jan hat den Winkel β = 95° anstatt β = 85° abgetra abgetragen en un und d die Seit Seite b = 2,5 cm stattt b = 3 cm gen genommen. ommen. Gegebene Stücke: a = 4 cm b = 3 cm d = 2,5 cm α = 85° β = 85° 2 a) α = 103° b) c = 4,1 cm Richtiges Viereck: Rich D c C ✕ 87°° ✕ 103° b d A✕ γ = 141° γ = 71° 85° 85° a ✕B δ = 46° δ = 99° Rechtecke und Quadrate rate konstruieren ko eren a) Rechteck b) Q Quadrat uadra c) Quadrat Rechtecke tecke und u d Quadrate Quadra konstruieren Seite 12 d) Rechteck Seite 13 ! a) Konstruktionsbeschreibung struktions (1) (2) (3) (4) Mache a eine Planfigur. Zeichne die Strecke a = 3,5 cm und benenne die Eckpunkte mit A und B. Trage einen rechten Winkel bei α ab. Zeichne einen Kreis(bogen) um A mit Radius r1 = 3,5 cm und bezeichne den Schnittpunkt des Kreisbogens mit dem Schenkel von α mit D. (5) Trage einen rechten Winkel bei β ab. (6) Zeichne einen Kreis(bogen) um B mit Radius r2 = 3,5 cm und bezeichne den Schnittpunkt des Kreisbogens mit dem Schenkel von β mit C. (7) Verbinde C mit D und vervollständige die Bezeichnung. b) a = 3,5 cm; b = 3,5 cm; α = 90°; β = 90° d) Es handelt sich um ein Quadrat. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 28 Lösungen @ a) e = 6,7 cm f = 6,7 cm b) b = 2 cm c) e = 7,1 cm d) a = 4 cm f = 7,2 cm f = 7,1 cm f = 5,6 cm Parallelogramme konstruieren Seite 14 1: Individuelle Schülerlösungen 2: a) a || c = 5 cm; b || d = 3 cm; α = γ = 75°; β = δ = 105° b) a || c = 7 cm; b || d = 4 cm; α = γ = 40°; β = δ = 140° c) a || c = 7 cm; b || d = 4 cm; α = γ = 135°; β = δ = 45° d) a || c = 6 cm; b || d = 2 cm; α = γ = 50°; β = δ = 130° Trapeze konstruieren Seite 15 ∆ Fertige eine Planfigur an. 1. Zeichne eine Halbgerade mit dem Punkt A. 2. Trage auf der Halbgerade mit der Zirkelspanne der S Strecke einen Punkt ab. Nenne recke a eine nne den Punkt kt B. en Winkel ab. b. 3. Trage an der Strecke a im Punkt A den ie Zirkelspann nkel den Punkt D a 4. Nimm die Länge der Strecke D in d die Zirkelspanne und trage auf diesem Schenkel ab. Benenne ihn. allele von der S ecke a durch den Punkt D. (Je e nach n ähigkeiten der S 5. Konstruiere eine Parallele Strecke Fähigkeiten Schüler kann it dem Geodreieck oder mit Hilfe des Nebenwinkelsatzes nke atzes konstruiert onstruiert w er diese Parallele mit werden.) e a im Punkt B den Winkel ab. 6. Trage an der Streck Strecke Nenn den en Schnittpu 7. Nenne Schnittpunktt C un und benenne alle Seiten. ∇ Individuelle Schülerlö Schülerlösungen Individuel Schülerlösungen ∈ Individuelle Parallelogramme mme und Trapeze Trap konstruieren ! a) A(0 0 | 3) b) A(2 | –1,5) y ✕3 ✕ –4 –3 –2 –1 4 C 3 D ✕D 2 1 ✕ y 4 2 B c) A(–1 | –2) y 4 A Seite 16 ✕ 1 2 3 4 x –4 –3 –2 –1 1 –1 –1 –2 –2 –3 –3 –4 –4 2 a) ha = 2,3 cm b) b = 4,2 cm c) d = 4,9 cm d) b = 3,2 cm c = 5,4 cm 2 A 3 2 ✕ 1 C ✕ 3 C x 4 –4 –3 ✕ D ✕ ✕ B ✕ B 1 –2 –1 1 2 3 4 x –1 ✕ –2 A –3 –4 hb = 3,8 cm hb = 5,7 cm ha = 3,2 cm ha = 3 cm C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 29 Lösungen 3 a) C(2,3 | 1,7) b) A(–1,3 | 0,4) D(–3,7 | 1,7) D(–1,3 | 5,4) e = 6,4 cm e = 7,4 cm α = γ = 109° f = 11,1 β = δ = 71° α = γ = 115° Rauten konstruieren β = 65° Seite 17 Individuelle Schülerlösungen Drachenvierecke konstruieren Seite 18 ∆ Fertige eine Planfigur an. 1. Zeichne die Diagonale f. Benenne die Eckpunkte mit D und B. 2. Nimm die Länge der Strecke b bzw. c in die Zirkelspanne. Stich in D und schlage ge eine einen Kreisbogen auf einer Seite von f. Stich in B und schlage einen Kreisbogen auf derselben Seite e von f. N Nenne den Schnittpunkt der Kreisbögen C. Verbinde C mit B, nenne die Strecke b. Verbinde binde C mit D D, nenne die Strecke c. n D und sch hlage einen K 3. Nimm die Länge der Strecke a bzw. d in die Zirkelspanne. Stich in schlage Kreisbogen auf der anderen Seite von f. Stich in B und schlage einen Kreisbogen g auf derselb derselben n Seit Seite von f. Nenne den Schnittpunkt der Kreisbögen A. Verbinde A mit D D, nenne e die Strec Strecke ke d. Verbind Verbinde A mit B, nenne d die Strecke a. Benenne die fehlenden Seiten. 4. Verbinde A und C, nenne die Diagonale e. ∇ Individuelle Schülerlösungen. Rauten und Drachenvierecke nvierecke konstruieren kon truie ! a) A(2,5 | –1) b)) A(1 | 0) c) A(–4,5 | 1,5) @ a) A(0 | 2) b) b A(–1,5 | –3) c) c A(–2 2 | –0,5) 3 a) e = 9,1 cm c f = 4,2 α = γ = 39° α = 100° 0° 1 α = γ = 115° α = γ = 50° 5 ° β = δ = 141° β = δ = 93° β = 48° b) e = 11,3 11 cm c)) e = 5 cm d) b = 2,4 cm Seite 19 β = δ = 130° γ = 74° δ = 82° Vermischte hte Übungen Ü zu: zu Vierecke Vie konstruieren Seite 20 ∆ So konstruierst onstruie d du u Rech Rechtecke und Quadrate. 1) Fertige ge eine Planfigur P an. Das ist eine Skizze, in der du alles markierst, was du an bekannten Stücken ken ge gegeben hast. 2) Zeichne die erste Strecke (a) und benenne deren Punkte (A und B). 3) Trage in dem ersten Punkt (A) der Strecke den rechten Winkel (90°) ab und zeichne den Schenkel des Winkels. 4) Nimm die Seitenlänge der Seite d bzw. b in die Zirkelspanne. Stich in A ein und trage auf dem Schenkel ab. Markiere den Punkt D. 5) Trage in dem Punkt B den rechten Winkel (90°) ab und zeichne den Schenkel des Winkels. 6) Nimm die Seitenlänge der Seite b bzw. d in die Zirkelspanne. Stich in B ein und trage auf dem Schenkel ab. Markiere den Punkt C. 7) Verbinde nun noch C und D. Benenne alle Seiten. ∇ Individuelle Schülerlösungen C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 30 Lösungen ∈ 1) Zeichne die Seite a und benenne die Punkte A und B. 2) Zeichne unterhalb der Strecke einen beliebigen Punkt P. 3) Nimm eine beliebige Länge in die Zirkelspanne und schlage einen Kreisbogen um P, sodass zwei Schnittpunkte auf a entstehen. 4) Nimm eine beliebige Länge in die Zirkelspanne und schlage einen Kreisbogen um die beiden zuvor konstruierten Schnittpunkte. Es entstehen zwei neue Schnittpunkte. Verbinde diese Schnittpunkte. Die Gerade, die entstanden ist, ist die Senkrechte auf a. 5) Nimm nun die Höhe in die Zirkelspanne. Trage sie auf der Senkrechten ab, indem du in den Schnittpunkt der Senkrechten und der Gerade a stichst und nach oben hin einen Kreisbogen schlägst. 6) Nun konstruiere eine Senkrechte auf diese Senkrechte, die durch den eben entstandenen Punkt verläuft. Schlage in den Punkt mit dem Zirkel oberhalb und unterhalb von P einen Kreisbogen (gleicher Abstand). Die beiden Schnittpunkte brauchst du für Schritt 7. 7) Nimm eine beliebige Länge in die Zirkelspanne und schlage einen Kreisbogen um d die beiden zuvor konstruierten Schnittpunkte. Es entstehen zwei neue Schnittpunkte. rechte auf die erste 8) Verbinde diese Schnittpunkte. Die Gerade, die entstanden ist, ist die Senkrechte Senkrechte. in und trag 9) Nimm nun die Seitenlänge d in die Zirkelspanne. Stich mit dem Zirkel in A e ein trage auf die zweite Senkrechte ab. Nenne den Punkt D. anne. Stich ch mit dem Z rkel in B e e zwei 10) Nimm nun die Seitenlänge b in die Zirkelspanne. Zirkel ein und trage auf die zweite Senkrechte ab. Nenne den Punkt C. enne alle lle Se en. 11) Verbinde nun A mit D und B mit C. Benenne Seiten. ∉ Individuelle Schülerlösungen Vermischte Übungen en zu Vierecke konstruieren ons Seite 21 1 a) bis c) D1(4 | 2,5) 1,5) 5) D2(– 4,5 | 1 D3(0,5 | – 2, 2,5) D4(2 | – 1) S1(2,5 | 2,5) S2(–2,8 | 1,8) S3(–2,5 | –1,5) S4(2 | –2). 2 ✕ ✕ ✕ ✕ 3,8 cm ✕ ✕ 3 a) e = 6,6 e = 11,3 cm f = 6,3 cm a = 4,4 cm a = 4,2 cm 3 cm 4 cm ✕ ✕ 2 cm 3 cm b) c) d) e) 4,7 cm ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ f = 5,1 cm ha = 3,8 cm α = 53° e = 7,6 cm e = 6 cm C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag α = 73° α = γ = 141° β = 99° f = 5,6 cm ✕ ✕ β = 89° β = δ = 39° γ = 109° ha = 4,8 cm ✕ δ = 28° δ = 99° α = 73° β = δ = 107 31 Lösungen Lernzielkontrolle zum Konstruieren 1 Seite 22 ∆ a) Individuelle Schülerlösungen b) Die beiden kürzeren Seiten zusammen müssen länger sein, als die dritte, längere Seite. c) Die andere Art der Einteilung von Dreiecken erfolgt nach Winkeln. Hat ein Dreieck drei spitze Winkel (> 0° und < 90°), wird es als spitzwinkliges Dreieck bezeichnet. Hat das Dreieck einen rechten Winkel (90°), wird es auch rechtwinkliges Dreieck genannt. Hat das Dreieck einen stumpfen Winkel (> 90° und < 180°), nennt man es stumpfwinkliges Dreieck. ∇ a) bis b) Individuelle Schülerlösungen c) Der Kreis heißt Umkreis. d) Sein Mittelpunkt wird durch die Konstruktion der Mittelsenkrechten auf die Dreiecksseiten eckss konstruiert. ∈ a) So konstruiert man eine Winkelhalbierende: 1. 4. S S 2. 5. S 3. S S 1. Zeichne Z ne einen bel beliebigen bigen W Winkel und kennzeichne e den S Scheitelpunkt cheitelpunk mit S S. Zirkel, stich in den Scheitelpunkt und schlage einen Halbkreis um S, sodass auf beiden 2. Nimm Nimm einen Zirke nen Ha Schenkeln Schnittpunkt entsteht. Schenkeln ein S eht. 3. Verbi Verbinde die Schnittpunkte auf den Schenkeln miteinander miteinander. n Schenkel Schlage um die beiden Schnittpunkte Halbkreis, 4. Sch kte einen Halbk kreis sodass du eine Mittelsenkrechte auf die zuvor gezeichnete Strecke konstruieren ns kannst. 5. Verlängere die Mittelsenkrechte, bis telsenkre s sie im Scheitelpunkt des Winkels angelangt ist. Nun hast du eine Winkelsenkrechte konstruiert. chte konstr b) Man konstruiert Senkrechte auf eine Gerade. Senkrechte stehen immer im Winkel von 90° auf uiert hierzu eine ine S die Gerade. rade. ∉ Individuelle Schülerlösungen, wobei die Winkelhalbierenden gezeichnet werden müssen, um den Inkreis duelle Schü erlös konstruieren können. eren zu k ∊ 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) unregelmäßiges Viereck Trapez Parallelogramm Raute Rechteck Quadrat Drachenviereck ∋ Individuelle Schülerlösungen C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 32 Lösungen Lernzielkontrolle zum Konstruieren 2 Seite 23 ∆ a) Individuelle Schülerlösungen b) Alle Winkel ergeben zusammen 180°. c) Dreiecke kann man auf zwei unterschiedliche Arten einteilen. Eine Möglichkeit ist die Einteilung nach Seiten. Sind alle Seiten des Dreiecks gleich lang, spricht man von einem gleichseitigen Dreieck. Sind nun zwei Seiten gleich lang, wird das Dreieck gleichschenkliges Dreieck genannt. Haben alle Seiten unterschiedliche Längen, so spricht man von einem unregelmäßigen Dreieck. ∇ a) bis c) Individuelle Schülerlösungen d) Der Kreis heißt Inkreis. e) Sein Mittelpunkt wird durch die Konstruktion der Winkelhalbierenden der drei Winke Winkel im Dreieck konstruiert. ∈ Individuelle Schülerlösungen ∉ 1. Wähle eine Seite (im Beispiel c). Du gehst so vor, als wenn du eine Mittelsenkrechte ech auf eine Strec Strecke ke konstruie konstruieren möchtest. 2. Du zeichnest aber nur den Schnittpunkt auf der Se Seite des Dreiecks ein. 3. Verbinde den Schnittpunkt mit dem gegenüberliegenden liegen en Eckpunkt des Dreiecks. 4.–5. Wiederhole 1.–3. mit der nächsten Dreieckseite (hier Seite a) a). reieckse e (hie 6.–7. Wiederhole 1.–3. mit der dritten en Dreieickseite ((hier er Se Seite b). neiden sich ch in einem P 8. Die Seitenhalbierenden schneiden Punkt. eitenhalbiere den ne unk kt ((S) des Dreiecks. Den Schnittpunkt der Seiten halbierenden nennt man auch Schwerpunkt chülerlösungen ∊ Individuelle Schülerlösungen Die Wah urde gelasse uf die le tzten Schri e seh Wahl wurde gelassen, weil d die Konstruktionen bis auf letzten Schritte sehr ähnlich sind. Sie unterschei en sich dann nur in der Länge der letzten n Seiten. unterscheiden Lernzielkontrolle zum Konstruieren Lernzielkon en 1 Seite 24 1 a) (1) B1(–0,9 | –6,3) (2) C2(4 4|6 6,2) b) a1 = 3,3 cm b2 = 7,2 cm b1 = 3,8 cm c2 = 5,4 c cm c1 = 3,9 cm α2 = 36° β1 = 63° γ2 = 48° @ (1) Zeichne ichne eine e ne beliebige S Sehne h des Kreises. (2) Zeichne zzu dieser Se Sehne die Mittelsenkrechte. (3) Zeichne hne eine weitere beliebige Sehne des Kreises (diese darf auch mit der ersten Sehne einen gemeinsamen meinsam Punkt auf der Kreislinie haben). (4) Zeichne auch zu dieser Sehne die Mittelsenkrechte. (5) Der Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des Kreises. 3 a) r = 2,6 cm b) r = 3,1 cm C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 33 Lösungen 4 a) A ✕ d a D ✕ 6 cm 70° 110° 3,8 cm c 3,8 cm 110° B ✕ 70° 6 cm b ✕ C b) Gegeben waren b = 6 cm; c = 3,8 cm; β = 110° und γ = 70°. c) Es handelt sich um ein Parallelogramm. Lernzielkontrolle zum Konstruieren 2 Seite 25 ! Man kann ohne zu Messen einen Winkel von 45° konstruieren, indem man zu einer Gerad Geraden (oder Strecke) durch einem Punkt eine Senkrechte konstruiert und den dadurch erhaltenen 90°-Winkel nkel dan dann halbiert. Oder man benutzt den Satz des Thales. 2 a) c = 9,3 cm b) c = 6,1 cm α = 44° α = 55° β = 24° β = 41° γ = 112° γ = 84° # Die Höhe in einem Dreieck ist der Abstand eines Eckpu Eckpunktes ktes von der gegenüberliegenden Seite. Da der Abstand die kürzeste Verbindung eines Punktes nktes v von n eine einerr Strecke is ist, kann die Seitenhalbierende enhalbierende e nie kleiner als die Höhe sein. Die Seitenhalbierende de ist nur dann da n gleic gleich groß wie die Höhe, wenn n beide „aufein „aufeinander nder fallen“, also identisch sind, z. B. in einem einem gleichseitigen gleichseitig n Dre Dreieck. 4 a) r = 2,4 cm b) r = 1,1 cm % a) Zwei Quadrate adrate sind zueinander ueinande kongruent, wenn sie in einer Seite über übereinstimmen. einstim R uten sind zueinander zue nd kongruent, wenn sie in einer Se eite und ein m Winkel übereinstimmen. b) Zwei Rauten Seite einem c) Zwei Rechtecke Rechtecke sind zueinander kongruent, gruent wenn nn sie in zwei n nichtparallelen chtpar Seiten übereinstimmen. C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4 © Persen Verlag 34 Weitere Downloads, E-Books und Print-Titel des umfangreichen Persen-Verlagsprogramms finden Sie unter www.persen.de Hat Ihnen dieser Download gefallen? Dann geben ben Sie Sie jetzt re Bewertung Bewerrtung auf www.persen.de direkt bei dem Produkt Ihre en IIhree Erfahru ngen mit ab und teilen Sie anderen Kunden Erfahrungen mit. © 2016 Persen Verlag, Hamburg ambu AAP Lehrerfachverlage GmbH fachverlage G Alle Rechte vorbeh vorbehalten. Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werks ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. 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