Mathematik für Informatiker

Mathematik für Informatiker
Brunner
21. Juli 2010
Inhaltsverzeichnis
5. Algebraische Strukturen
5.1. Das Rechnen in Z und Zn (Grundlagen der Zahlentheorie) . . . . . . . . .
5.1.1. Erweiterter euklidischer Algorithmus zur Berechnung der Vielfachsummendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2. Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3. Modulare Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Eigenschaften binärer Operationen * . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2. Halbgruppen und Monoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Ringe und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Polynomringe und endliche Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1. Rechnen in GF (pn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2. Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6. Beziehungen zur Codierungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7. Verbände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
10
11
12
21
22
22
24
38
39
43
44
46
47
6. Differenzialrechnung für Funktionen mehrerer reeller Veränderlichen
6.1. Reelle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Differenziation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1. Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2. Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3. Differenziation zusammengesetzter Funktionen, impliziter Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4. Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5. Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
51
52
52
57
7. Gewöhnliche Differenzialgleichungen
7.1. Grundbegriffe, Einteilung, Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Differenzialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1. Elementare Lösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2. lineare Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1. Lösungsstruktur homogene Differenzialgleichung . . . . . . . . . .
7.3.2. Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten . . . . .
7.3.3. Lineare Differenzialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten
65
65
66
66
67
69
69
70
73
58
59
62
3
Inhaltsverzeichnis
7.4. Potenzreihenansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8. Numerische Methoden
8.1. Näherungsweises Lösen von Gleichungen . . . . . . . .
8.1.1. Graphische Ermittlung grober Näherungswerte
8.1.2. Iterative Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.3. Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1. Methode von Newton . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2. Interpolation durch Splinefunktion . . . . . . .
8.3. Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1. Diskrete Approximation im Mittel . . . . . . .
8.3.2. Stetige Approximation im Mittel . . . . . . . .
9. Wahrscheinlichkeitstheorie
9.1. Zufällige Ereignisse, Ereignisfeld . . . .
9.2. Relative Häufigkeit . . . . . . . . . . .
9.3. Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . .
9.3.1. Bedingte Wahrscheinlichkeit . .
9.4. Zufallsgrößen . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1. Diskrete Zufallsgrößen . . . . .
9.4.2. Spezielle diskrete Verteilungen
9.4.3. Stetige Zufallsgrößen . . . . . .
9.4.4. Spezielle stetige Verteilungen .
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75
75
75
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78
79
79
80
81
81
83
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95
95
98
98
100
103
104
106
108
109
A. Übungsblätter
115
B. Ausgewählte Lösungen zu den Übungen
161
C. Folien
191
4
Abbildungsverzeichnis
6.1. einige Beispiele für die Darstellung als Fläche im Raum
. . . . . . . . . . 53
8.1. Iterative Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.2. Newtonverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.1. Das Nadelproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.2. Grafische Darstellung des Beispiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5
Tabellenverzeichnis
7
5. Algebraische Strukturen
Folie 5.1.
Algebraische Strukturen
Halbgruppe (H, ∗): Menge mit assoziativer Operation.
Monoid (M, ∗): Halbgruppe mit neutralem Element e:
e ∗ a = a ∗ e = a.
Gruppe (G, ∗): Monoid, in dem es zu jedem Element a ∈ G ein
Inverses a−1 ∈ G gibt: a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e.
Abelsche Gruppe: Gruppe mit kommutativer Operation.
Halbring (S, +, ∗): Menge mit zwei binären Operationen, wobei
(S, +) ist kommutatives Monoid mit neutralem Element 0;
(S, ∗) ist Halbgruppe;
es gelten die Distributivgesetze:
(a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c und c ∗ (a + b) = c ∗ a + c ∗ b;
es gilt: 0 ∗ a = a ∗ 0 = 0.
S heißt kommutativ, wenn (S, ∗) kommutative Halbgruppe ist.
Ring (R, +, ∗): Halbring, wobei (R, +) abelsche Gruppe ist.
Ist (R, ∗) Monoid mit neutralem Element 1, so heißt R Ring mit 1.
R heißt kommutativ, falls (R, ∗) kommutative Halbgruppe ist.
Integritätsbereich: kommutativer nullteilerfreier Ring (mit 1).
Körper (K, +, ∗): Ring, wobei (K \ {0}, ∗) abelsche Gruppe ist.
5.1. Das Rechnen in Z und Zn (Grundlagen der
Zahlentheorie)
Def.: a, b ∈ Z : a teilt b(a|b) ⇔ ∃c ∈ Z : a · c = b
Eigenschaften von |:
• a|0 für alle a ∈ Z
• 0 6 |a für alle a ∈ Z \ {0}
• | ist reflexiv, transitiv (Quasiordnung); nicht antisymmetrisch (N, |) p.o.set
9
5. Algebraische Strukturen
• a|b ∧ a|c ⇒ a|(b + c) ∧ a|(b − c)
Def.: a, b ∈ Z \ {0}:
größter gemeinsamer Teiler
kleinstes gemeinsame Vielfache
von a und b
d:=ggT(a,b) :
m:=kgV(a,b)
⇔
d|a∧d|b∧(t|b∧t|a⇒t/d)
a|m∧b|m∧(a|v∧b|v⇒m|v)
Definition lässt sich auf r Zahlen ausdehnen
a, b heißen relativ prim, wenn ggT(a, b) = 1
Eigenschaften:
• ggT(a, b) = ggT(−a, b) = ggT(a, −b)
• ggT(a, b) = ggT(a + cb, b)
Satz von ggT In Z existiert zu je zwei Zahlen a, b der ggT(a, b) =: d. d lässt sich als
Vielfachsumme darstellen:
d = αa + βb mit α, β ∈ Z
Satz über die Division mit Rest Für a ∈ Z, b ∈ Z \ {0} existieren eindeutig bestimmte
q ∈ Z und r ∈ N mit a = qb + r, 0 ≤ r < b
Beispiel: a = 8, b = 5; 8 = 1 · 5 + 3; a = −8 − 8 = (−2) · 5 + 2
Euklidischer Algorithmus zur Bestimmung des ggT beruht auf fortgesetzter Anwendung der Division mit Rest:
a = q0 b + r1 , 0 ≤ r1 < b
Beispiel: a = 210, b = 76
b = q1 r1 + r2 , 0 ≤ r2 < r1
210 = 2 · 76 + 58
r1 = q2 r2 + r3 , 0 ≤ r3 < r2
76 = 1 · 58 + 18
..
58 = 3 · 18 + 4
.
18 = 4 · 4+ 2
rn−2 = qn−1 rn+1 + rn , 0 ≤ rn < rn−1
4=2·2+0
rn−1 = qn rn + 0 ⇒ ggT(a, b) = rn (=
⇒ ggT(210, 76) = 2
letzter von 0 verschiedener Rest)
5.1.1. Erweiterter euklidischer Algorithmus zur Berechnung der
Vielfachsummendarstellung
• Oft nötig Vielfachsummendarstellung zu kennen (siehe später)
allgemein
a
a
1
b
0
r1
1
r2 −q1
..
.
b
0
1
−q0
1 + q0 q1
| · (−q0 )
| · (−q1 )
rn
α
β
ggT(a, b) = αa + βb
• ggT(a, b) = 1 gdw. ∃α, β ∈ Z : 1 = αa + βb
10
Beispiel
210 76
210
1
0
76
0
1
| · (−2)
58
1
-2 | · (−1)
18
-1
3
| · (−3)
4
4
-11 | · (−4)
2
-17 47
ggT(210, 76) = −17 · 210 + 47 · 76
5.1. Das Rechnen in Z und Zn (Grundlagen der Zahlentheorie)
5.1.2. Primzahlen
• Es gibt unendlich viele Primzahlen (Euklid); p := p1 · . . . · pn + 1 Angenommen p
keine Primzahl ⇒ ∃ν : pν |p und pν |p1 · . . . · pn ⇒ pν |1 Beispiel: 2 · 3 · 5 · 7 + 1 = 211
• Primzahlzwillinge: offenes Problem, ob es endlich oder unendlich viele PZ-Zwillinge gibt.
• Es gibt beliebig große Primzahllücken.
Beweis (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, . . . , (n + 1)! + (n + 1)
2, 3, . . . , (n + 1)|(n + 1)!, i|(n + 1)! + i für i = 2, 3, . . . , (n + 1) n = 4 : 122, 123, 124, 125
• Zwischen n und 2n liegt stets eine Primzahl.
• Ist n ∈ N keine Primzahl, so existiert ein Primteiler p mit p ≤
√
n
Sieb des Eratosthenes
Gesucht:
n = 24
2
7
8
13 14
19 20
alle PZ ≤ n für gegebenes n ∈ N
Für RSA-Kryptosysteme werden große PZ benö3
4
5
6
tigt. → Primzahltests
11 9 10
12
232.582.657 − 1 größte bisher bekannte PZ; 44.
17 15
16
18
Mersenne-PZ (gefunden: 04.09.2006)
22
23 24
21
• Man betrachtet Zahlen der Form 2n − 1. Dann gilt: 2n − 1 PZ ⇒ n PZ; aber
211 − 1 = 23 · 89
Fundamentalsatz der Arithmetik
Jedes n ∈ N, n ≥ 2, kann eindeutig als Produkt von Primfaktoren geschrieben werden.
(bis auf die Reihenfolge der Primfaktoren)
Q min(αi ,βi )
Q max(αi ,βi )
Q
Q
; kgV(m, n) = pi
m = pαi i n = pβi i ⇒ ggT(m, n) = pi
⇒ ggT(m, n) · kgV(m, n) = m · n wegen : min(α, β) + max(α, β) = α + β
n = 23 · 52 · 11; ⇒ p1 = 2, β1 = 3, p2 = 3, β2 = 0, p3 = 5, β3 = 2
m = 120 = 23 · 3 · 5 α1 = 3, α2 = 1, α3 = 1
n = 84 = 22 · 3 · 7 β1 = 2, β2 = 1, β3 = 0, β4 = 1
ggT(m, n) = 22 · 31 · 50 · 70 = 12
Wie dicht liegen die PZ?; n ∈ N, Π(n) := |{p ∈ P Z|p ≤ n}|
Primzahlsatz lim
n→∞
Π(n)
n
ln n
Für großes n gilt:
n
Π(n)
10
4
20
8
30
10
= 1 (o.B.)
Π(n)
n
≈
100
25
1
ln n
1000
168
10000
1229
1000000
78498
11
5. Algebraische Strukturen
n
10000
1000000
10000000
Π(n)
n
1
ln n
0,1229
0,0785
0,0665
0,1086
0,0724
0,0620
5.1.3. Modulare Arithmetik
Definition: a, b ∈ Z, 1 < n ∈ N a heißt kongruent b modulo n (Bezeichnung a ≡n b), falls
n|(a − b)
Folie 5.2
Rechenregeln für Kongruenzen
(1) Sei
a ≡ b (mod n) und
c ≡ d (mod n).
a ≡ b (mod n) und
c ≡ d (mod n).
a ≡ b (mod n) und
c ≡ d (mod n).
Dann gilt a + c ≡ b + d (mod n).
(2) Sei
Dann gilt a − c ≡ b − d (mod n).
(3) Sei
Dann gilt a · c ≡ b · d (mod n).
a · c ≡ b · c (mod n) und c ≡ 0 (mod n).
n
Dann gilt a ≡ b mod
.
ggT(c, n)
(4) Sei
• ≡n ist ÄR; Beweis der Transitivität: a ≡ b, b ≡ c ⇒ kn = a − b, ln = b − c ⇒
(k + l)n = kn + ln = a − b + b − c = a − c ⇒ n|(a − c) ⇒ a ≡ c
• ≡n ist Kongruenzrelation (KR), d.h. mit +, · verträgliche ÄR.
Beweis der Verträglichkeit bzgl. ·: a ≡ b, c ≡ d Z.z. a · c ≡ b · d
a − b = kn; c − d = ln; ac − bd = (kn + b)c − bd = knc + b(ln + d) − bd = (kc + lb)n ⇒
n|(ac − bd)
n=4
Z
Die Äquivalenzklassen von ≡n heißen
Restklassen modulo n
{[a]≡n |a ∈ Z} = ≡Zn Faktormenge =
Zerlegung von Z
8
0 −16
9
3
1
−3
2
−3 = (−1) · 4 + 1
Auf der Faktormenge
Z
≡n
erklären wir eine Addition ⊕ und einer Multiplikation :
12
1
5.1. Das Rechnen in Z und Zn (Grundlagen der Zahlentheorie)
[a] ⊕ [b] := [a + b] bzw. [a] [b] := [a · b]
[a] ⊕ [c] = [a + c]
q
q
q
[b] ⊕ [d] = [b + d]
Wegen Verträglichkeit von ≡n mit Addition und Multiplikation ist ⊕, repräsentantenunabhängig. Wie (Z, +, ·) ist auch ( ≡Zn , ⊕, ) ein „kommutativer Ring mit 1“ und hat
im allgmeinen Nullteiler.
• Wir wählen das kleinste nicht negative Repräsentantensystem: Zn := {0, 1, . . . , n −
1}. Mit a mod n wird der Rest von a bei der Division durch n bezeichnet. a ∈
Z ⇒ a mod n ∈ Zn
Zn wird mit a ⊕ b = (a + b) mod n bzw. a b = (a · b) mod n zu einem „kommutativen Ring mit 1“, der zu ≡Zn isomorph ist.
Z
≡n
und damit auch Zn ist genau dann nullteilerfrei, wenn n ein Primzahl ist.
Z
a, b
·
a+b
mod n
Zn
a mod n, b mod n
mod n
(a mod n) ⊕ (b mod n)
=
•
·
(a + b) mod n
Ausdehnung der modularen Arithmetik auf das Potenzieren
Strategie für schnelles
Potenzieren:
m
Q
m
a mod n =
(a mod n)
mod n
i=1
Square and Multiply
13
5. Algebraische Strukturen
am mod n
1. m als Dualzahl darstellen:
r
P
m=
αi 2i ; αi ∈ {0, 1}
3201 mod 11
[201]10 = [11001001]2
i=0
i
i
2. Tabelle aller Zahlen a2
mod n, 0 ≤ i ≤ r einfach: fortgesetzes
Quadrieren und sofortige Reduktion
mod n
3. am mod n =
r
Q
i
a2
i 32 mod 11
0 3
1 9
2 4
3 5
4 3
5 9
6 4
7 5
⇒ 3201 mod 11
= (3 · 5 · 4 · 5) mod 11 = 3
mod n
i=0;αi =1
Folie 5.3
Rechenregeln in Restklassenringen (Zn, +, ·)
Addition:
• assoziativ:
a + (b + c) = (a + b) + c
• neutrales Element 0:
a + 0 = 0 + a = a für alle a
• inverse Elemente:
Zu jedem a ist −a := 0 − a
ein Element mit
a + (−a) = (−a) + a = 0
• kommutativ:
a+b=b+a
Multiplikation:
• assoziativ:
a · (b · c) = (a · b) · c
• neutrales Element 1:
a · 1 = 1 · a = a für alle a
• kommutativ:
a·b=b·a
Distributivgesetz:
• · distributiv bzgl. +:
a · (b + c) = a · b + a · c
Modulare Inverse (bzgl. Multiplikation)
• Wann gibt es zu a ∈ Zn ein b ∈ Zn mit (a · b) mod n = 1? ⇒ ba + kn = 1
14
5.1. Das Rechnen in Z und Zn (Grundlagen der Zahlentheorie)
Folie 5.4
Restklassenring modulo 5:
0
0
1
2
3
4
+
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
·
0
1
2
3
4
4
4
0
1
2
3
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1
Restklassenring modulo 6:
+
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
·
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
2
0
2
4
0
2
4
3
0
3
0
3
0
3
4
0
4
2
0
4
2
5
0
5
4
3
2
1
Satz a ∈ Zn besitzt genau dann ein modulares Inverses, wenn ggT(a, n) = 1
• Ermittlung der modular Inversen von a ∈ Zn mit ggT(a, n) = 1
Satz vom ggT αa + βn = 1 ⇒ αa ≡ 1( mod n) bzw. αa mod n = 1, d.h α aus der
Vielfachsummendarstellung des ggT(a, n) ist modulares Inverses von a.
Beispiel ggT(210, 76) = 2 = −17 · 210 + 47 · 76 (76 hat kein modulares Inverses
mod 210) ggT(105, 38) = 1 = −17 · 105 + 47 · 38 (38 hat modulares Inverses mod 105)
Es gilt in Z105 : 38−1 = 47
Folgerungen
• In Zp (p PZ) hat jedes Element (6= 0) ein modulares Inverses
• Z∗n := {a ∈ Zn | ggT(a, n) = 1} ist bezüglich · eine „kommutative Gruppe“, prime
Restklassengruppe mod n.
Eulersche Funktion ϕ : ϕ(n) = |{a ∈ N| ggT(a, n) = 1 ∧ 1 ≤ a ≤ n}| = |Z∗n |
ϕ(15) = |1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14| = 8
Kleiner Satz von Fermat
1
1
p ∈ P Z ⇒ ap−1 mod p = 1
Pierre de Fermat 1607-1665
15
5. Algebraische Strukturen
Beweis: Eine geschlossene Kette bestehe aus p farbigen Perlen (p ∈ P Z). Es stehen
unbegrenzt viele Perlen mit a(a ≤ p) Farben zur Verfügung.
Es gibt ap − a (nicht ein-)farbige Ketten. Die Ketten heißen „äquivalent“, wenn sie durch
p
Verschiebung am Hals auseinander hervorgehen. ⇒ a p−a paarweise verschiedene Ketten.
p
⇒ a p−a ∈ N ⇒ p|(ap − a) ⇒ p|a(ap−1 − 1) ⇒ (wegen ggT(a, p) = 1 folgt p|(ap−1 − 1) ⇒
ap−1 ≡ 1 (mod p) bzw. ap−1 mod p = 1
∼
≡n
=
→
Zn = {0, 1, . . . , n − 1}
(Z, +, ·) −−→
( ≡Zn , ⊕, ) −
„komm. Ring mit 1“
komm Ring mit 1
keine Nullteiler
keine Nullteiler gdw.
n PZ
keine multiplikative
0 6= a ∈ Zn hat modulares
Inversen
Inverses gdw.
ggT(a, n) = 1 ⇒ In Zp
hat jedes a 6= 0 modulares
Inverses. ⇒ Zp ist
(endlicher) „Körper“.
Eigenschaften der Eulerschen Funktion: p sei PZ
• ϕ(1) = 1
• ϕ(p) = p − 1
• ϕ(pk ) = pk−1 (p − 1)
• ϕ(kl) = ϕ(k) · ϕ(l) falls ggT(k, l) = 1
• n = pα1 i · . . . · pαk k ⇒ ϕ(n) = n(1 − p11 )(1 − p12 ) · . . . · (1 − p1k ) = pα1 i −1 · . . . · pαk k −1 (p1 −
1) · . . . · (pk − 1)
Beispiele
1. ϕ(12) = ϕ(22 · 31 ) = 12 · (1 − 21 )(1 − 13 ) = 4
2. ϕ(180) = ϕ(22 · 32 · 5) = 21 · 31 · 50 · (2 − 1) · (3 − 1) · (5 − 1) = 48
kleiner Fermat a ∈ Z, p ∈ PZ mit ggT(a, p) = 1 ⇒ ap−1 mod p = 1
Beispiele:
310 mod 11=1
3201 mod 11 : 3201 = 3200 · 3 −−−−−−−−−→= 1 · 3 mod 11
Satz von Euler a ∈ Z, n ∈ N mit ggT(a, n) = 1 ⇒ aϕ(n) mod n = 1 (mit n = p folgt
kleiner Fermat.) Beweis gruppentheoretisch: siehe später.
• Bestimmung modularer Inverser: (ax) mod n = 1 mit 2 ≤ n ∈ N und ggT(a, n) =
1 ⇒ a−1 = x = aϕ(n)−1 mod n
Beispiel: n = 1989 = 32 · 13 · 17; a = 911 ϕ(n) = 3 · 1 · 1 · 2 · 12 · 16 = 1152
a−1 = 911−1 = 9111151 mod 1989 = 131
16
5.1. Das Rechnen in Z und Zn (Grundlagen der Zahlentheorie)
Lineare Kongruenzen: Gesucht sind ganzzahlige Lösungen von linearen Gleichungen
Seien a, b ∈ Z, 2 ≤ n ∈ N, d := ggT(a, n)
lineare Kongruenz ax ≡ b (mod n) (*) bzw. ax ≡n b Gesucht: alle x ∈ Z, die (*) erfüllen
• Mit x0 ∈ Z sind alle x ∈ [x0 ]n
• (*) kann als Gleichungen in Zn aufgefasst werden:
(ax) mod n = b mod n (**)
• Lösungen von (*) bzw. (**):
– Für ggT(a, n) - b besitzt (*) keine Lösung (Beweis: x Lösung ⇒ ∃t ∈ Z :
ax + tn = b Wegen d|a ∧ d|n ⇒ d|(ax + tn) ⇒ d|b – Für ggT(a, n)|b besitzt (**) genau d (Restklassen)Lösungen.
Beispiel: 6x ≡ 9 (mod 15)
1. ggT(a, n) =: d = αa + νn ermitteln (ggf. mit erweiterten euklidischen
Algorithmus) d = 3 = 3 · 6 + (−1) · 15 ⇒ (**) hat 3 Lösungen
2. Kongruenz „reduzieren“ (durch d „teilen“; siehe Folie 5.2 (4)): 2x ≡ 3
(mod 5) (+)
⇒ ggT(a, n) = ggT(2, 5) = 1 ⇒ (+) hat genau eine Lösung: x = a−1 b;
ggT(2, 5) = 1 = 3 · 2 + (−1) · 5 d.h. a−1 = 2−1 = 3 ⇒ „Multiplikation“
mit 2−1 = 3 ⇒ 3 · 2x ≡ 3 · 3 (mod 5) ⇒ x ≡ 4 (mod 5)
Z15
Z5
Lösungen von (+) bzw. (*):
3.
[4]5 = [4]15 ∪ [9]15 ∪ [14]15
Z
4
9
14
Zusammenhang lineare Kongruenzen mit dioph. Gleichung (Ü54b) ax ≡ b (mod n) ⇔
ax + νn = b Lösbarkeitskriterium: ggT(a, n)|b
Chinesischer Restsatz (CRS) (simultanes Lösen von linearen Kongruenzen)
Seien n1 , . . . , nm ∈ N \ {0} mit ggT(nµ , nν ) = 1, falls µ 6= ν
n := n1 · . . . · nm . Dann hat das System linearer Kongruenzen
x ≡ bµ (mod nµ ) bzw. (als Gleichung in Znµ )x mod nµ = bµ mod nµ
genau eine Lösung in Zn
Beweis (konstruktiv) ggT( nnµ , nµ ) = 1 ⇒ ∃yµ := ( nnµ mod nµ )−1 mod nµ , d.h. ( nnµ ·
yµ ) mod
m nµ = 1 P n
n
n
·
y
·
b
mod
n;
n
|
⇒
·
y
mod nν = 0; µ 6= ν
x :=
i
i
µ nµ
µ
ni
nµ
i=1
⇒ x mod nµ = nnµ · yµ · bµ mod nµ = bµ mod nµ = bµ mod nµ ; µ = 1, . . . , m; also
17
5. Algebraische Strukturen
Lösung.
Eindeutigkeit: x, x0 ∈ Zn Lösungen (x−x0 ) mod nµ = 0 ⇒ nµ |(x−x0 ) ⇒ (ggT(nµ , nν ) =
1) : n|(x − x0 ). Wegen |x − x0 | < n ⇒ x − x0 = 0
Beispiele
1. x ≡ 3 (mod 4), x ≡ 1 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5) bzw. (als Gleichung in Znµ )x
mod 4 = 3, x mod
x mod 5 = 3; n = 4 · 3 · 5 = 60
−13 = 1,
60
−1
y1 = 4 mod 4
=3
mod 4 = 3
−1
60
y2 = 3 mod 3
mod 3 = 2−1 mod 3 = 2
−1
mod 5 = 2−1 mod 5 = 3
y3 = 60
5 mod 5
60
60
x = 4 · 3 · 3 + 3 · 2 · 1 + 60
mod 60 = (135 + 40 + 108) mod 60 = 43 ∈
5 ·3·3
Z60
L = [43]60 ⊆ Z
(
6x ≡ 9 (mod 15)
(6x) mod 5 = 4 → x11 = 4
2. (*)
mit CRS
(6x) mod 3 = 0 → x21 = 0; x22 = 1; x23 = 2
(6x) mod 15 = 9
⇒ 3 Lösungen für (*):
x mod 5 = 4; y1 = (3 mod 5)−1 = 2
x mod 3 = 0; y2 = (5 mod 3)−1 = 2 ⇒ x = . . . = 9 Für x mod 3 = 1 erhält man
4, für x mod 3 = 2 erhält man 14 ⇒ L = [4]15 ∪ [9]15 ∪ [14]15
Gesucht a · b mit a, b ∈ Z „groß“. Statt in Z zu rechnen, werden beteiligte Zahlen
„reduziert“ und Rechnungen komponentenweise für die einzelnen Moduli durchgeführt:
m
Q
a, b haben höchstens Bitlänge r ⇒ a · b höchstens 2r Bit lang ⇒ Modul n =
nµ > 22r
µ=1
wählen, wobei die nµ paarweise relativ prim sind (und nicht zu groß).
großer Fermat Die Gleichung xn + y n = z n besitzt für n ≥ 3 keine Lösungen in N \ {0}
RSA-Algorithmus
Kryptographie: Informationen, die über öffentliche Kommunikationseinrichtungen laufen,
vor dem Mitlesen zu schützen.
• „herkömmlische“ kryptografische Systeme: Sender bzw. Empfänger haben gemeinsamen geheimen Schlüssel zum Verschlüsseln bzw. Entschlüsseln der Botschaft.
• Systeme mit öffentlichen Schlüssel:
„Schließer“ öffentlich. Jeder Benutzer kann Botschaften verschlüsseln.
„Öffner“ geheim. Nur Adressat kann Botschaft entschlüsseln.
– Empfänger veröffentlicht seinen persönlichen Schließer, Öffner geheim. (Im
voraus müssen nicht wechselseitig Schlüssel übergeben werden!)
18
5.1. Das Rechnen in Z und Zn (Grundlagen der Zahlentheorie)
– Schließer und Öffner sind inverse Operationen. Es darf keine „einfache“ Methode geben, um Öffner aus Schließer gewinnen.
Schließer
Öffner
M −−−−−→ r := M k mod n −−−−→ rj mod n = M = M kj mod n = M
M . . . Klartextzahl; r . . . Chiffretextzahl; k . . . Verschlüsslungsexponent; n . . . Verschlüsslungsmodul; j . . . Entschlüsslungsexponent
Gesucht: Modul n, der das leistet
Fermat
1. Idee: n =: p ∈ PZ, M ∈ Z∗p = Zp \ {0} −−−−→ M p ≡ M mod p
Für kj ≡ p ≡ 1 (mod (p − 1)) gilt: M kj ≡ (mod p)
Verschlüsselung: M 7→ M k mod p = r
Entschlüsselung: r 7→ rj mod p = M
Nachteil: Verschlüsslung erfordert Kenntnis von k, p und Entschlüsselung erfordert Kenntnis von j, p. Damit kann j aus k, p „leicht“ ermittelt werden: j ≡ k −1
(mod (p − 1))
Euler
2. Idee: n =: p · q p 6= q; p, q ∈ P Z, M ∈ Z∗n −−−→ M ϕ(n)+1 ≡ M (mod n)
Für kj ≡ ϕ(n) + 1 ≡ 1 (mod ϕ(n)) gilt: M kj ≡ (mod n)
Verschlüsselung: M 7→ M k mod n = r
Entschlüsselung: r 7→ rj mod n = M
Vorteil: Verschlüsslung erfordert Kenntnis von k, n; Entschlüsslung erfordert Kenntnis von p, q, k. Damit ist (k, n) Schließer und (p, q, k) Öffner.
Folien zu RSA: siehe gesonderte Datei: RSA.pdf
Primzahltests
Kleiner Fermat: p Primzahl ⇒ ap−1 mod p = 1 ∀a ∈ Z∗p
Fermat-Test: 2 < n PZ?; Wähle a ∈ Zn \ {0}
• ggT(a, n) > 1 ⇒ n keine PZ
• ggT(a, n) = 1, d.h. a ∈ Z∗n
– an−1 mod n 6= 1 ⇒ n ist keine PZ (aber man kennt keine Primfaktoren)
– an−1 mod n = 1 ⇒ n PZ oder „Pseudo-Primzahl zur Basis a“ Teste n mit
weiteren a ∈ Zn \ {0}.
341 ist kleinste Pseudo-Primzahl zur Basis 2.
Beispiele
1. n = 15 Test mit a = 4 : a14 = (a2 )7 ≡ 17 ≡ 1 (mod 15), d.h. 15 ist Pseudo-PZ zur
Basis 4 a = 7 : 714 ≡ (72 )7 ≡ 47 ≡ 4 (mod 15) ⇒ 15 keine PZ
19
5. Algebraische Strukturen
2. n = 561 PZ, Test mit allen a ∈ Z∗561 ergibt: a560 ≡ 1 (mod 561), aber: 561 =
3 · 11 · 17 ist keine PZ.
Eine zusammengesetzte Zahl n mit an−1 ≡ 1 (mod n) für alle a ∈ Z∗n heißt.
Carmichael-Zahl (1910 durch Carmichael entdeckt. 561 ist kleinste CarmichaelZahl).
Rabin-Miller-Test (=Wahrscheinlichkeits-Primzahl-Test)
• Grundlage: Sei n > 2 PZ; n − 1 = 2t · u, u ungerade. ggT(a, n) = 1 Dann gilt
t
an−1 = a2 ·u ≡ 1 (mod n) ⇒
[wegen: x2 ≡ 12 (mod |{z}
n ) ⇒ (x − 1)(x + 1) ≡ 0 (mod n) ⇒ x ≡ 1 (mod n) oder
prim
t−1
x ≡ −1 (mod n) mit x = a2 ·u ]
t−1
t−1
a2 ·u ≡ 1 (mod n) oder a2 ·u ≡ −1 (mod n)
⇓
t−2
t−2
a2 ·u ≡ 1 (mod n) oder a2 ·u ≡ −1 (mod n)
⇓
...
⇓
a2·u ≡ 1 (mod n) oder a2·u ≡ −1 (mod n)
⇓
au ≡ 1 (mod n) oder au ≡ −1 (mod n)
Satz n > 2 PZ, n − 1 = 2t · u, u ungerade, ggT(a, n) = 1. Dann gilt: au ≡ 1 (mod n)
s
oder a2 ·u ≡ −1 (mod n) für ein s ∈ {0, . . . , t − 1}
Teste, ob eine der Bedingungen
erfüllt ist.
Test Man wähle a, 1 < a < n − 1, N 3 n > 2 mit n − 1 = 2t · u, u ungerade. ggT(a, n) >
1 ⇒ n keine PZ (a < n)
t−1
ggT(a, n) = 1, dann berechne: au , a2u , . . . , a2 ·u jeweils mod n
Gilt
nicht, dann ist n keine Primzahl. a heißt Zeuge für Zusammengesetztsein
Gilt , dann hat n den Test zur Basis a bestanden. ⇒ n ist PZ oder Pseudo-PZ
zur Basis a.
Teste mit weiteren a0 s
• > 75% der Basen a, 1 < a < n − 1, sind bei zusammengesetzten Zahlen „Zeuge“.
Satz Wählt man k Zahlen a zufällig und unabhängig aus und besteht n jeweils den Test
k
zur Basis a dan ist n mit Irrtumswahrscheinlichkeit ≤ 41 eine Primzahl.
Es gibt nur eine Zahl n < 25 · 109 die den Test für a = 2, 3, 5, 7 besteht, und kein PZ
ist: 3.215.031.751
• Test für k = 100 Basen durchführen ⇒ Nur in einem von 1, 6 · 1060 Fällen hat man
zusammengesetzte Zahlen für prim.
20
5.2. Operationen
Fibonacci-Zahlen
F1 = 1, F2 = 1, Fn+1 = Fn +h
Fn−1√ √ n i
n
1
Formel von Binet: Fn = √5 1+2 5 − 1−2 5
Beweis:
Beschreibung durch Matrix:
2 n Fn+1
1 1
Fn
1 1
Fn−1
1 1
F1
=
= ... =
=
Fn
1 0
Fn−1
1 0
Fn−2
1 0
F0
| {z }
n F
1 1
1
=
1 0
0
1 − λ 1 = λ2 − λ − 1 = 0 ⇒ λ1/2 =
• Berechnung der EW von F: F − λE = 1
−λ
√
1
1
2 ± 2 5
√
1 √
x11
0
=
• Berchnen der EV von F: x1 , x2
1
1
x
0
1
−2 − 2 5
12
√
√
λ1 : x11 − 1+2 5 x12 = 0 Mit x12 = 2 wird x11 = 1 + 5
√ √ 1+ 5
1− 5
x1 =
x2 =
2
2
1
kann als LK der EV dargestellt werden: k1 x1 + k2 x2
0
Fn+1
1
n
=F
= k1 F n x1 + k2 F n x2 = . . . = k1 · λn1 x1 + k2 λn2 x2 ; k1 =
Fn
0
−k1
√ √ √ √ n 1+ 5
n 1− 5
Fn+1
1+
5
5
1−
1
= 2√5
−
2
2
Fn
2
2
1
2
Damit ergibt sich: Fn =
√1
5
h
√ n
1+ 5
2
−
−
1
2
5
1
√
;k
2 5 2
=
√ n i
1− 5
2
5.2. Operationen
n-stellige Operation in einer Menge A ist eine Abbildung ϕ : An → A (a1 , . . . , an ) 7→ a
binäre Operation n = 2; gewöhnlich „Infixschreibweise“, z.B. statt „+(a, b)“ schreiben
wir a + b.
Äußere Verknüpfung ϕ : K × A → A (Beispiel: Vektorraum)
21
5. Algebraische Strukturen
5.2.1. Eigenschaften binärer Operationen *
∗ heißt assoziativ , falls (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) = a ∗ b ∗ c
∗ heißt kommutativ , falls a ∗ b = b ∗ a
n ∈ A heißt neutrales Element bezüglich *, wenn a ∗ n = n ∗ a = a für alle a ∈ A
Beispiele
1. Addition bzw. Multiplikation von Zahlen sind assoziative und kommutative Operationen mit neutralem Element 0 bzw. 1.
2. A∗ . . . Menge aller Wörter (einschließlich das leere Wort ) über „Alphabet“ A;
binäre Operation: Hintereinanderschreiben von Wörtern. A+ = A∗ \ {}
3. Vektorprodukt: × : R3 ×R3 → R3 nicht assoziativ, nicht kommutativ, kein neutrales
Element.
4. M . . . Menge, P (M ); ∪, ∩ sind assoziativ, kommutativ Operation mit neutralem
Element (leere Menge, M ) (einstellige Operation: T 7→ T = M \ T )
5. nichtkommutative Operationen: Matrizenmultiplikation, Relationenprodukt, Division, Potenz
Algebraische Struktur (Algebra) Menge mit Operation(en) versehen.
5.2.2. Halbgruppen und Monoide
Halbgruppe, Monoid: siehe Folie 5.1
Beispiele
1. (N, +), (N, ·), . . . , (C, +), (C, ·), (Zn , +), (Zn , ·)
2. (P (M ), ∪), (P (M ), ∩)
3. (A+ , ◦) . . . Worthalbgruppe
4. Hintereinanderausführung von Abbildungen
5. (M, ∗) mit x∗y = x für alle x, y ∈ M ; * ist assoziativ: (x∗y)∗z = x∗z = x = x∗(y∗z)
Darstellung endlicher Halbgruppen (allgemeiner binärer Operationen) durch Operationstafeln am Beispiel der Halbgruppen ({0, 1}{0,1} , ◦):
{0, 1}{0,1} = {f : {0, 1} → {0, 1}} = {f1 , f2 , f3 , f4 }
◦ f1 f2 f3 f4
f1 f2 f3 f4 f1 f1 f2 f3 f4
0 0
1
0
1
f2 f2 f2 f3 f3
1 1
1
0
0
f3 f3 f2 f3 f2
f4 f4 f2 f3 f1
22
5.2. Operationen
(f3 ◦ f4 )(x) = f4 (f3 (x))
f3
f4
f3
f4
0 −→ 0 −→ 1 und 1 −→ 0 −→ 1 ⇒ f3 ◦ f4 = f2
• Assoziativgesetz aus Tafel nicht ablesbar!
• Kommutativgesetz genau dann erfüllt, wenn Tafel symmentrisch ist. (im Beispiel
nicht erfüllt)
• neutrale Element ablesbar (im Beispiel: f1 )
• Besitzt HG neutrales Element, so ist es eindeutig bestimmt: e2 = e1 e2 = e1
• In Halbgruppen gilt i.A. die „Kürzungsregeln“ nicht: Gilt in einer HG die Kürzungsregel (x ∗ z = y ∗ z ⇒ x = y ∧ z ∗ x = z ∗ y ⇒ x = y), so heißt H reguläre
Halbgruppe.
Sei H = (H, ∗) eine HG und U ⊆ H. Ist U bezüglich ∗ wieder HG, so heißt U = (U, ∗)
eine Unterhalbgruppe von H. Bezeichnung: U ≤ H
• Unterhalbgruppenkriterium: U ≤ H gdw. für alle a, b ∈ U auch a ∗ b ∈ U gilt, d.h.
U ist abgeschlossen bezüglich ∗. (Assoziativgesetz überträgt sich automatisch) Sei
(H, ∗) HG, U ⊆ H. Mit hU i wird die von U erzeugte Unterhalbgruppe von H, d.h.
die kleinste Unterhalbgruppe von H, die U enthält, bezeichnet.
U heißt ein Erzeugendsystem für hU i.
• hU i besteht aus allen endlichen Produkten mit Elementen aus U
Beispiele
1. Zyklische Halbgruppen haben einelementiges Erzeugendsystem:, d.h. sie bestehen
aus allen „Potenzen“ dieses erzeugenden Elements.
2. H ist ein Erzeugendsystem für H; aber: interessant sind möglichst kleine Erzeugendsysteme.
3. Erzeugendendysteme für (N+ , ·): ?
Homomorphismus: siehe Folie 5.7
Beispiele für HG-Homomorphismus
1. ϕ : (N, +) → (N, +)
n 7→ 2n
[ϕ(n + m) = 2(n + m) = 2n + 2m = ϕ(n) + ϕ(m)]
2. e : (R, +) → (R, ·)
r 7→ er
er+s = er · es
23
5. Algebraische Strukturen
Folie 5.7
Halbgruppe: (H, ∗)
• Assoziativgesetz
Kriterien für
Teilstruktur U
Kongruenzrelation ρ
Charakterisierung
von KR durch spezielle
Teilstrukturen
U ⊆ H mit
a, b ∈ U ⇒ a ∗ b ∈ U
Äquivalenzrelation ρ mit
a1 ρa2 ∧ b1 ρb2
⇒ (a1 ∗ b1 )ρ(a2 ∗ b2 )
Gruppe: (G, ∗)
• Assoziativgesetz
• neutrales Element
• inverses Element
∅ = U ⊆ G mit
a, b ∈ U ⇒ [a ∗ b ∈ U ∧ a−1 ∈ U ]
wie bei Halbgruppen
nicht möglich
Normalteiler:
Untergruppe N mit aN = N a
für alle a ∈ G
R Kongruenzrelation
H/R mit [a]R [b]R = [a ∗ b]R
N Normalteiler
G/N mit aN bN = (a ∗ b)N
Homomorphismus ϕ
ϕ : H1 → H2 mit
ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) ∗ ϕ(b)
wie bei Halbgruppen
Kern
des Homomorphismus
Ker ϕ = {(a, b) | ϕ(a) = ϕ(b)}
ist Kongruenzrelation
ϕ : H1 → H2 Homomorphismus
⇒ ϕ(H1 ) H1 /Kerϕ
Ker ϕ = {(a, b) | ϕ(a) = ϕ(b)} KR
ker ϕ = {a | ϕ(a) = e} Normalteiler
ϕ : G1 → G2 Homomorphismus
⇒ ϕ(G1 ) G1 /Kerϕ = G1 /kerϕ
Faktorstruktur
Homomorphiesatz
Ring: (R, +, ∗)
• (R, +) abelsche Gruppe
• (R, ∗) Halbgruppe
• Distributivgesetze
∅ = U ⊆ R mit
a, b ∈ U ⇒ [a+b ∈ U ∧−a ∈ U ∧a∗b ∈ U ]
Äquivalenzrelation ρ mit
a1 ρa2 ∧ b1 ρb2
⇒ [(a1 + b1 )ρ(a2 + b2 ) ∧ (a1 ∗ b1 )ρ(a2 ∗ b2 )]
Ideal:
Unterring I mit aI, Ia ⊆ I
für alle a ∈ R
I Ideal; R/I mit
(a + I) ⊕ (b + I) = (a + b) + I und
(a + I) (b + I) = (a ∗ b) + I
ϕ : R1 → R2 mit
ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) und
ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) ∗ ϕ(b)
Ker ϕ = {(a, b) | ϕ(a) = ϕ(b)} KR
ker ϕ = {a | ϕ(a) = 0} Ideal
ϕ : R1 → R2 Homomorphismus
⇒ ϕ(R1 ) R1 /Kerϕ = R1 /kerϕ
3. det : (Mat(n, n; R), ∗) → (R, ·)
A 7→ det A
det(A ∗ B) = det A · det B
Direktes Produkt Seien (A, ∗), (B, ◦) Halbgruppen. Auf A × B wird durch
(a1 , b1 )(a2 , b2 ) = (a1 ∗ a2 , b1 ◦ b2 ) eine Halbgruppen-Operation erklärt.
(A × B, ) heißt das direktes Produkt der Halbgruppen A und B.
Halbgruppen-Isomorphismus Ein bijektiver Halbgruppen-Homomorphismus heißt
Halbgruppen-Isomorphismus.
5.3. Gruppen
Gruppe (G, ∗) Eine Menge mit assoziativer Operation, neutralem Element und es gibt
zu jedem Element ein Inverses.
siehe Folie 5.1
Beispiele
1. (Z, +), (Q, +), . . . , (C, +), (Q \ {0}, ·), . . . , (C \ {0}, ·) sämtlich abelsche (kommutative) Gruppen
2. Alle regulären (quadratischen) Matrizen festen Typs über R, bezüglich Multiplikation: nicht kommutativ
3. SM = {f : M → M, bijektiv}; speziell: M = {1, 2, 3};
S{1,2,3} = S3 =
24
5.3. Gruppen










1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
,
,
,
,
,
1
2
3
3
2
1
2
1
3
3
1
2
2
3
1
1 3 2 




| {z } | {z } | {z } | {z } | {z } | {z }

p1 =
p2
p3
p4
p5
p6
geometrische Deutung:
3
3
3
3
2
3
2
1
1
1
1
2
2
3
3
2
1
3
1
1
3
2
1
3
2
2
1
2
1
1
2
2
1
3
3
2
HA: Gruppentafel erstellen (entspricht der Gruppentaffel aus Ü4) d.h. beide Gruppen sind isomorph.
siehe Folie 5.5 1 2 3
p2 =
= (13)1
(2)
2 = (13)
3 2 1
1 2 3 4 5 6
= (123)(56)
2 3 1 4 6 5
|
{z
}
∈S6
Elementare Fakten
• Eine Gruppe besitzt genau ein neutrales Element
• In einer Gruppe besitzt jedes Element genau ein inverses Element.
• In einer Gruppe sind die Gleichungen a ∗ x = b bzw. y ∗ a = b eindeutig lösbar.
(x = a−1 ∗ b bzw. y = b ∗ a−1 )
• In einer Gruppe gilt die Kürzungsregel.
• In einer Gruppe gilt (a−1 )−1 = a; (ab)−1 = b−1 a−1 (! Matrizen)
• In der Gruppentafel kommt jedes Element in jeder Zeile und jeder Spalte genau
einmal vor.
• Untergruppe U ≤ G
• Untergruppenkriterum: siehe Folie 5.7
Sei G Gruppe, x ∈ G. Dann bildet die Menge {xn |n ∈ Z} eine Untergruppe von G. Sie
wird mit hxi bezeichnet und heißt die von x erzeugte zyklische (Unter-)gruppe von G.
• ord G = |G| Ordnung von G
• ord g = |hgi| Ordnung von g ∈ G. Das ist der kleinster Exponent n mit g n = 1
25
5. Algebraische Strukturen
Folie 5.5
Rechnen mit Permutationen
Permutationen sind bijektive Abbildungen einer (endlichen) Menge
auf sich. Eine Permutation p auf der Menge {1,2,3, . . . ,n} kann
durch eine (zweizeilige) Funktionstabelle beschrieben werden:
1
2
3 ... n
p=
.
p(1) p(2) p(3) . . . p(n)
Durch Nacheinanderausführung ist auf der Menge der Permutationen eine binäre Operation ( Multiplikation“) ◦ erklärt:
”
(p ◦ q)(x) = q(p(x)).
Das Operationszeichen ◦ wird künftig weggelassen:
(pq)(x) = q(p(x))
Für das Rechnen mit Permutationen ist die (einzeilige) Zyklenschreibweise von großem Vorteil:
Jede Permutation lässt sich als Produkt elementefremder Zyklen
schreiben (Hauptproduktdarstellung).
Elementefremde Zyklen sind vertauschbar, obwohl die Multiplikation von Permutationen nicht kommutativ ist.
Ein zweielementiger Zyklus heißt Transposition. Jede Permutation lässt sich als Produkt von Transpositionen darstellen.
Alle Permutationen einer n-elementigen Menge bilden bzgl.
Nacheinanderausführung eine Gruppe: Sn .
Die Gruppe Sn wird symmetrische Gruppe n-ten Grades
genannt. Sie hat n! Elemente.
Die Sn und ihre Untergruppen heißen Permutationsgruppen.
26
5.3. Gruppen
Folie 5.6
Erzeugung bei Gruppen
Sei G eine Gruppe und K eine Teilmenge (Komplex) von G.
Mit K werde die von K erzeugte Untergruppe von G bezeichnet;
das ist die kleinste Untergruppe von G, die die Menge K enthält.
K n bzw. nK, n ∈ N \ {0}, bezeichne die Menge aller Produkte
bzw. Summen aus n Elementen aus K bei multiplikativer bzw.
additiver Schreibweise der Gruppenoperation.
Weiter sei K 0 := {e} bzw. 0K := {0} und K −1 bzw. −K die
Menge der Inversen zu den Elementen aus K bei multiplikativer
bzw. additiver Schreibweise.
Dann gilt:
K =
n∈N
(K ∪ K −1)n =
n∈N
n(K ∪ (−K))
In speziellen Fällen lässt sich die Formel vereinfachen:
• G endlich:
K =
Kn =
n∈N
nK
n∈N
• G abelsch (additive Schreibweise):
K = {α1k1 + . . . + αnkn | n ∈ N, αi ∈ Z, ki ∈ K, ki = kj }
• G endlich und abelsch:
K = {α1k1 + . . . + αnkn | n = |K|, αi ∈ N, ki ∈ K, ki = kj }
27
5. Algebraische Strukturen
Beispiele
1. h1i = (Z, +)
2. G ≥ hki = {k n |n ∈ Z}
falls G endlich
=
{k n |n ∈ N}
3. Sn = h{(12), (12 . . . n)}i (nicht zyklisch (n ≥ 3), aber zweielementig. Erzeugendsystem.)
4. D5 = {di sj |0 ≤ i < 5, j ∈ {0, 1}}
Folie 5.8
Diedergruppe der Ordnung 10
D5 = 5
2
d, s
| d
e, sd = d4s = s = Erzeugendensystem definierende Relationen
∗
e
d
d2
d3
d4
s
ds
d 2 s d 3 s d4 s
e
e
d
d2
d3
d4
s
ds
d 2 s d 3 s d4 s
d
d
d2
d3
d4
e
ds
d2s d3s d4s
2
2
3
4
e
d
2
3
4
s
ds
2
3
4
d2 s
d
3
d
d
d
ds ds ds
s
d
3
d
4
d
e
d
d
ds ds
s
ds
d4
d4
e
d
d2
d3
d4s
s
ds
d 2 s d3 s
s
4
3
2
ds ds ds
ds
4
3
d2
d
ds ds
s
4
3
2
4
3
d2s d2s
ds
s
3
3
2
ds ds ds
e
d
d
ds ds ds
d
e
d
d
d2
d 4 s d3 s
d2
d
e
d4
d3
3
2
d
d
e
d4
d3
d2
d
e
s
4
ds
s
ds
d
d4s d4s d3s d2s
ds
s
d4
Untergruppen von D5:
({e}, ∗)
({e, s}, ∗)
({e, d2s}, ∗)
({e, ds}, ∗)
({e, d3s}, ∗)
2
3
4
({e, d, d , d , d }, ∗)
({e, d4s}, ∗)
({e, d, d2, d3, d4, s, ds, d2s, d3s, d4s}, ∗)
Satz von Cayley Jede (endliche) Gruppe G ist zu einer Permutationsgruppe isomorph.
Beweis
28
G
..
.
a
..
.
x
..
.
xa. . .
..
.
5.3. Gruppen
1. Sei a ∈ G. Dann ist ρa : G → G
x 7→ xa
... x ...
ρa =
. . . xa . . .
ρa ∈ SG
2. i : G → SG
a 7→ ρa
Zu zeigen: i injektiv und homomorph (Surjektivität wird durch Wahl der Untergruppe erzwungen)
a) i injektiv: Angenommen ρa = ρb ⇒ ρa (e) = ρb (e) ⇒ ea = a = b = eb
b) i homomorph: Zu zeigen: i(ab) = ρab = ρa ◦ ρb = i(a) ◦ i(b)
ρab (x) = x(ab) = (xa)b = ρa (x)b = ρb (ρa (x)) = (ρa ◦ ρb )(x)
Nebenklassen Sei G Gruppe, U ≤ G, a ∈ G
aU = {au|u ∈ U } Linksnebenklasse von U in G
U a = {ua|u ∈ U } Rechtsnebenklasse.
Für jede Linksnebenklasse (LNK) gilt:
• aU = bU gdw. b ∈ aU gdw. a−1 b ∈ U
• aU 6= bU ⇒ aU ∩ bU = ∅
• a ∈ G ⇒ a ∈ aU ⇒ G =
S
aU
a∈G
Nebenklassenzerlegung Jede Untergruppe U ≤ G induziert eine Zerlegung von G so
genannte Linksnebenklassenzerlegung (LNKZ) von G nach U : LNKZ={aU |a ∈ G},
zugehörige ÄR: a ∼ b gdw. a−1 b ∈ U .
Sämtliche Äquivalenzklassen (LNK) haben gleiche Mächtigkeit, nämlich card U .
Index Für endliche Gruppen G wird mit ind(G : U ), Index von G nach U , die Anzahl
der LNK (RNK) bezeichnet
⇒
Satz von Lagrange 2 G endlich, U ≤ G. Dann gilt: ord G = ind(G : U ) · ord U , d.h.
die Ordnung einer Untergruppe ist Teiler der Gruppenordnung.
2
Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) italienischer Mathematiker und Astronom.
29
5. Algebraische Strukturen
Folgerungen:
• Eine Gruppe G von PZ-Ordnung besitzt nur die trivialen Untergruppen E = {e}
und G.
• Eine Gruppe von PZ-Ordnung ist zyklisch. (ÜBUNG)
• In einer Gruppe der Ordnung n gilt für alle a ∈ G : an = e
|G| = n, |hai| = k|n ⇒ k · l = n, ak·l = e
Folie 5.9
LNKZ (G : U ) = RNKZ (G : U )
Seien G = S3 = {ε, (13), (12), (132), (123), (23)} und
U = {ε, (23)} < S3. Dann ergeben sich folgende Nebenklassen:
LNK:
εU =
U
= (23)U
(12)U = {(12), (132)} = (132)U
(13)U = {(13), (123)} = (123)U
RNK: U ε
=
U
= U (23)
U (12) = {(12), (123)} = U (123)
U (13) = {(13), (132)} = U (132)
Zu Folie 5.9:
U
(12)
(132)
(123)
(13)
Problem: Charakterisierung derjenigen Untergruppen
U ≤ G mit LNKZ (G : U )=RNKZ(G : U ).
Normalteiler Eine Untergruppe N ≤ G heißt Normalteiler , falls gilt aN = N a für alle
a ∈ G.
Bezeichnung: N E G
• In einer ableschen Gruppe ist jede Untergruppe Normalteiler.
|aU | = |U a| = |U |; Im Allgemeinen aU 6= U a; Normalteiler: N E G
Faktorgruppe Sei N Normalteiler von G (N E G). In diesem Fall wird LNKZ (G :
N )=RNKZ(G : N ) mit G/N (sprich G nach N ) bezeichnet. G/N Wird bei der
Operation aN ~ bN = abN (repräsententantenweises Rechnen) zu einer Gruppe,
der Faktorgruppe von G nach N .
30
5.3. Gruppen
Bemerkungen:
• ~ ist repräsententantenunabhängig; Assoziativgesetz klar.
• neutrales Element in G/N : eN = N ; inverses Element zu aN : a−1 N ; ord G/N =
ord G
ord N
• Die trivialen Untergruppen E, G sind Normalteiler: G/E ∼
= G; G/G ∼
=E
• Jede Untergruppe vom Index 2 (ind(G : U ) = 2) ist Normalteiler.
Gruppenhomomorphismus, -isomorphismus (homomorph und bijektiv)
siehe Foliensatz 5.10
Folie 5.10.1
Zyklische Gruppe der Ordnung 12
Z12 = a | a12 = e
= {e, a, a2 . . . , a11}
Vereinbarung: a0 = e
ai ∗ aj := a(i+j)mod 12
für alle i, j ∈ {0, 1, . . . , 11}
∗
e
a
e
a
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
e
a
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
e
a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
e
a
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
e
a
a2
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
e
a
a2
a3
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
e
a
a2
a3
a4
a6
a7
a8
a9
a10
a11
e
a
a2
a3
a4
a5
a7
a8
a9
a10
a11
e
a
a2
a3
a4
a5
a6
a8
a9
a10
a11
e
a
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a9
a10
a11
e
a
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a10
a11
e
a
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a11
e
a
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
Zusammenhang zwischen Homomorphismus und Normalteilern:
• Zu jedem Normalteiler N in G gehört ein Homomorphismus von G auf G/N , der
natürlicher Homomorphismus natN : G → G/N
a 7→ aN
31
5. Algebraische Strukturen
Folie 5.10.2
Zyklische Gruppe der Ordnung 12
Z12 = a | a12 = e
ai ∗ aj := a(i+j)mod 12
für alle i, j ∈ {0, 1, . . . , 11}
Untergruppen:
• Alle Untergruppen von Z12 sind zyklisch.
• Aus U ≤ Z12 folgt |U | ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
• Alle Untergruppen sind Normalteiler, denn Z12 ist abelsch.
U1 = a = {e, a, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11}
= a5 = a7 = a11
U2 = a2 = {e, a2, a4, a6, a8, a10}
= a10
U3 = a3 = {e, a3, a6, a9}
= a9
U1
U4 = a4 = {e, a4, a8}
= a8
U5 = a6 = {e, a6}
U6 = e = {e}
U3
U2
U4
U5
U6
32
5.3. Gruppen
Folie 5.10.3
Zerlegung von Z12 in LNK nach U4 = {e, a4, a8}:
e{e, a4, a8} =
a{e, a4, a8} =
2
4
8
a {e, a , a } =
a3{e, a4, a8} =
4
4
8
a {e, a , a } =
a5{e, a4, a8} =
6
4
8
7
4
8
a {e, a , a } =
a {e, a , a } =
a8{e, a4, a8} =
9
4
8
a {e, a , a } =
{e ∗ e, e ∗ a4, e ∗ a8}
{a ∗ e, a ∗ a4, a ∗ a8}
2
2
4
2
8
{a ∗ e, a ∗ a , a ∗ a }
{a3 ∗ e, a3 ∗ a4, a3 ∗ a8}
4
4
4
4
8
{a ∗ e, a ∗ a , a ∗ a }
{a5 ∗ e, a5 ∗ a4, a5 ∗ a8}
6
6
4
6
8
7
7
4
7
8
{a ∗ e, a ∗ a , a ∗ a }
{a ∗ e, a ∗ a , a ∗ a }
{a8 ∗ e, a8 ∗ a4, a8 ∗ a8}
9
9
4
9
8
{a ∗ e, a ∗ a , a ∗ a }
= {e, a4, a8}
= {a, a5, a9}
= {a2, a6, a10}
= {a3, a7, a11}
= {a4, a8, e}
= {a5, a9, a}
= {a6, a10, a2}
= {a7, a11, a3}
= {a8, e, a4}
= {a9, a, a5}
a10{e, a4, a8} = {a10 ∗ e, a10 ∗ a4, a10 ∗ a8} = {a10, a2, a6}
a11{e, a4, a8} = {a11 ∗ e, a11 ∗ a4, a11 ∗ a8} = {a11, a3, a7}
{{e, a4, a8}, {a, a5, a9}, {a2, a6, a10}, {a3, a7, a11}}
Faktorgruppe (G/U4, ) = (G/{e, a4, a8}, ):
4
8
{e, a , a }
{a, a5, a9}
{e, a4, a8}
4
8
{e, a , a }
{a, a5, a9} {a2, a6, a10} {a3, a7, a11}
{a, a5, a9} {a2, a6, a10} {a3, a7, a11}
{a, a5, a9} {a2, a6, a10} {a3, a7, a11} {e, a4, a8}
{a2, a6, a10} {a2, a6, a10} {a3, a7, a11} {e, a4, a8}
{a3, a7, a11} {a3, a7, a11} {e, a4, a8}
{a, a5, a9}
{a, a5, a9} {a2, a6, a10}
33
5. Algebraische Strukturen
Folie 5.10.4
∗
e
a4
a8
a
a5
a9
a2
a6 a10 a3
a7 a11
e
e
a4
a8
a
a5
a9
a2
a6 a10 a3
a7 a11
a4
a4
a8
e
a5
a9
a
a6 a10 a2
a8
a8
e
a4
a9
a
a5 a10 a2
a
a
a5
a9
a2
a6 a10 a3
5
5
a
9
a
6
a9
a9
a
a2
a2
a6 a10 a3
6
6
a
a
a
a
a
10
a10 a10 a2
a
a5 a10 a2
a
2
a3
a7
a7 a11 a3
a7 a11 a4
a
e
a4
a7
e
a4
a8
a8
e
a5
a9
a
4
a
9
a
a5
a5
a9
a
a
e
a
a7
e
a4
a8
a
a8
e
a5
a9
a
a6 a10 a2
a8
e
a4
a9
a
a5 a10 a2
e
a4
a8
a
a5
a9
a
a
a2
a6
a6 a10
{e, a4, a8}
{a, a5, a9} {a2, a6, a10} {a3, a7, a11}
{e, a4, a8}
{e, a4, a8}
{a, a5, a9} {a2, a6, a10} {a3, a7, a11}
{a, a5, a9}
{a, a5, a9} {a2, a6, a10} {a3, a7, a11} {e, a4, a8}
{a2, a6, a10} {a2, a6, a10} {a3, a7, a11} {e, a4, a8}
{a3, a7, a11} {a3, a7, a11} {e, a4, a8}
34
e
8
a6 a11 a3
11
a8
3
a
11
a7
8
a7 a11 a4
a7
a
7
a6 a11 a3
3
a
7
a
2
a7 a11 a4
a6 a11 a3
a3
a11 a11 a3
a
10
a7 a11 a3
{a, a5, a9}
{a, a5, a9} {a2, a6, a10}
5.3. Gruppen
• Zu jedem Homomorphismus ϕ : G1 → G2 gehört ein Normalteiler von G1 , der Kern
von ϕ: Ker ϕ = {a ∈ G1 |ϕ(a) = e}
Homomorphiesatz für Gruppen Sei ϕ : G1 → G2 ein Homomorphismus. ϕ bestimmt
einen Normalteiler von G1 , Ker ϕ, und es gilt: ϕ(G1 ) ∼
= G/Ker ϕ
siehe Folie 5.11
Folie 5.11
Homomorphiesatz
ϕ
A
ϕ(A)
natKer
∼
=
ϕ
A/Ker ϕ
Beispiele
1. G = S3 = {. . .}; N = {, (123), (132)} E S3
S3/N = {N, (12)N } ∼
= Z2
S3/N
N
(12)N
N
N
(12)N
(12)N (12)N
N
2. V4 E S4 ;
S4/V4
∼
= S3
Ziel: Struktursatz für abel3 sche Gruppen (Basissatz für endliche abelsche Gruppen)
3
Niels Henrik Abel (1802 - 1829); norwegischer Mathematiker
35
5. Algebraische Strukturen
• Struktursatz für Gruppen existiert nicht
Struktursatz für zyklische Gruppen Zu jedem n ∈ N gibt es (bis auf Isomorphie) genau
eine zyklische Gruppe der Ordnung n: (Zn , +) = hai mit ggT(a, n) = 1.
Es gibt genau eine unendliche zyklische Gruppe: (Z, +) = h1i = h−1i.
Vorbereitung auf Basissatz
direktes Produkt Seien A, B Gruppen G := A × B wird durch „komponentenweises“
Rechnen (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = (a1 a2 , b1 b2 ) zu einer Gruppe direktes Produkt von A
und B.
• Wichtiges Konstruktions- und Zerlegungsprinzip, z.B. Z2 ×Z2 ∼
= V4 (nicht zyklisch!)
Sei G = A × B. Mit A0 = {(a, e)|a ∈ A} und B 0 = {(e, b)|b ∈ B} gilt:
1. G = A0 B 0 (G 3 g = (a, b) = (a, e)(e, b))
2. A0 , B 0 E G
3. A0 ∩ B 0 = E = {(e, e)}
Eine Gruppe G heißt direkt unzerlegbar, wenn sie nur die „trivialen Darstellungen“ als
direktes Produkt gestattet: G ∼
= G × E, G ∼
=E×G
Satz Eine Gruppe G ist als direktes Produkt darstellbar gdw. sie Untergruppen A, B
besitzt, die (1), (2) und (3) erfüllen: G ∼
=A×B
Behauptung Das direkte Produkt A × B zweier endlicher zyklischer Gruppen A bzw.
B mit den Ordnungen m bzw. n ist abelsch (trivial); zyklisch gdw. ggT(m, n) = 1
Beweis Sei A = hai, B = hbi
1. ggT(m, n) = 1: Wir zeigen: A × B = h(a, b)i.
mit ggT
∃k ≤ m · n : (a, b)k = (ak , bk ) = (e, e) ⇒ (ak = e) ∧ (bk = e) ⇒ m|k ∧ n|k −−−−−→
m · n|k ⇒ m · n = k ⇒ ord(a, b) = ord(h(a, b)i) = m · n ⇒ h(a, b)i = A × B
2. ggT(m, n) =: d > 1.v :=
kn
d
m·n
d
lm
d
< m · n. Wir zeigen A × B 3 (ak , bl )v = (e, e)
(ak , bl )v = ((am ) , (bn ) ) = (e, e), d.h. jedes Element aus A × B hat Ordnung
< m · n, d.h. A × B kann (für ggT(m, n) > 1) nicht zyklisch sein.
Beispiele
1. Z2 × Z2 ∼
= V4
2. Z360 ∼
= Z5 × Z72 ∼
= Z5 × Z8 × Z9
36
5.3. Gruppen
Folgerungen
• Zpα ist direkt unzerlegbar
• Eine zyklische Gruppe der Ordnung n = pα1 1 · . . . · pαmm besitzt eine Zerlegung in
direkt unzerlegbare (zyklische p-) Gruppen: Zn ∼
= Zpα1 1 × . . . × Zpαmm
∼
(Z360 = Z23 × Z32 × Z5 )
Basissatz für endliche abelsche Gruppen Jede endliche abelsche Gruppe ist direktes
Produkt zyklischer Gruppen von Primzahlpotenzordnung (sogenannte zyklische pGruppen). Genauer gilt: Sei n = pα1 1 · . . . · pαmm . Jede „Aufteilung“ der Primfaktoren
(α11 , . . . , α1j1 ; . . . ; αm1 , . . . , αmjm ) heißt (Isomorphie-)Typ. Es gibt so viele paarweise nichtisomorphe abelsche Gruppen der Ordnung n wie es Typen (zu n) gibt.
Beispiele:
1. n = 200 = 23 · 52
(3; 2) ↔ Z23 × Z52
(3; 1, 1) ↔ Z23 × Z5 × Z5
(2, 1; 2) ↔ Z22 × Z2 × Z52
(2, 1; 1, 1) ↔ Z22 × Z2 × Z5 × Z5
(1, 1, 1; 2) ↔ Z2 × Z2 × Z2 × Z52
(1, 1, 1; 1, 1) ↔ Z2 × Z2 × Z2 × Z5 × Z5
2. Gesucht: alle abelsche Gruppen der Ordnung 8 · 11 · 2007 = 23 · 32 · 11 · 223 ⇒ auch
6 Typen
(3; 2; 1; 1) : A1 := Z8 × Z9 × Z11 × Z223 ∼
= Z8·11·2007
..
.
(1, 1, 1; 1, 1; 1; 1) : A6 = Z2 × Z2 × Z2 × Z3 × Z3 × Z11 × Z223
3. Zu einer sechstägigen Konferenz treffen sich 25 Teilnehmer. Die sechs gemeinsamen
Mittagessen nehmen sie an 5 Tischen mit je 5 Plätzen ein. Ist es möglich, täglich wechselnde Sitzordnungen derart festzulegen, dass jeder Teilnehmer mit jedem
anderen genau einmal am gleichen Tisch sitzt? (Staatsexamen, Herbst 1998)
T := Z5 × Z5 . . . Menge der 52 Teilnehmer
„Sitzordnung“ = Zerlegung von T in 5 Teilmenge zu je 5 Elementen
a) T hat 6 (p + 1) (zyklische) Untergruppen der Ordnung 5 (p).
T ist abelsche, nichtzyklische Gruppe der Ordnung 52 (p2 ). Alle Elemente 6= e
haben Ordnung 5 (p): 24 Elemente. Je 4 (p − 1) solcher Elemente erzeugen
2
die selbe zyklische Untergruppe der Ordnung 5 (p). Es gibt also 5 4−1 = 6
2 −1
( pp−1
= p + 1) Untergruppen.
b) Für x 6= y ∈ T existiert genau eine Untergruppe U < T (mit |U | = 5) und
x·U =y·U
37
5. Algebraische Strukturen
Beweis xU = yU ; e 6= x−1 · y ∈ U ⇒ ord(x−1 y) = 5, also U = hx−1 yi
Sitzordnung am i-ten Tag ist die LNKZ (T : Ui ): x hat täglich 4 neue Tischnachbarn.
Übung: probieren mit p = 4
5.4. Ringe und Körper
Definition: siehe Folie 5.1
Ring (R, +, ∗): Menge mit zwei binären Operationen, wobei:
Bezüglich + kommutativ, assoziativ, mit neutralem Element 0 und abelsche Gruppe.
Bezüglich * assoziativ und es gelten die Distributivgesetze.
Körper (K, +, ∗): Ring, wobei (K \ {0}, ∗) abelsche Gruppe ist.
Beispiele (Rn×n , +, ·); (RR , +, ◦); Polynomringe
Nullteiler; Integritätsbereich
Zusammenhang Nullteilerfreiheit und Kürzungsregel
Nullteilerfreiheit
ab = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0
⇔
Kürzungsregel
ac = bc ∧ c 6= 0 ⇒ a = b
Beweis: (⇒)ac = bc∧c 6= 0 ⇒ ac−bc = (a−b)c = 0 ⇒ (wegen c 6= 0) a−b = 0 ⇒ a = b
(⇐) HA
(U, +, ·) ≤ (R, +, ·) ⇒ (U, +) ≤ (R, +) ⇒ ((R, +) abelsch )(U, +) E (R, +)
Nebenklassen haben die Form a + U, a ∈ R; NKZ ((R, +) : (U, +)) ist bezüglich Addition
abelsche Gruppe.
Wann kann {a + U |a ∈ R} zu einem Ring gemacht werden?
Antwort: gdw. aU, U a ⊆ U für alle a ∈ R
Ideal Ein Unterring U mit aU, U a ⊆ U für alle a ∈ R heißt Ideal von R
Bezeichnung: U E R
Faktorring Ist I ein Ideal von R, so wird {a+I|a ∈ R} mit R/I bezeichnet und Faktorring
von R nach I genannt; repräsentantenweises Rechnen
(a + I) ⊕ (b + I) = (a + b) + I bzw. (a + I) (b + I) = (a · b) + I
38
5.5. Polynomringe und endliche Körper
Beispiele
1. R = Z; nZ = {ng|g ∈ Z}, n ∈ N sind Ideale von Z, die zugehörigen Faktorringe
sind gerade die Restklassenringe modulo n: Z/nZ ' Zn
2. Die trivialen Unterringe (O = {0}, R) sind stets Ideale von R: R/0 ' R,R/R ' 0
(Ein Körper hat nur die trivialen Ideale.)
3. Ist R kommutativer Ring mit 1, a ∈ R, so ist die Menge aR = {ar|r ∈ R} ein Ideal
von R, das von a erzeugte Ideal; es ist das kleinste Ideal, das a enthält.
Hauptideale Von einem Element a erzeugte Ideale heißen Hauptideale
Bezeichnung: (a)
Hauptidealring Ein Ring der nur Hauptideale besitzt, heißt Hauptidealring. (Beispiel:
Z)
• Jeder Körper ist Integritätsbereich.
• Jeder endliche Integritätsbereich ist ein Körper.
5.5. Polynomringe und endliche Körper
R . . . kommutativer Ring mit 1. Ein formaler Ausdruck der Form P =
n
P
i=0
ai X i , n ∈
N, ai ∈ R (Koeffizienten) heißt Polynom (in der Unbestimmten X mit Koeffizienten aus
R.) Ist an 6= 0, so heißt n Grad des Polynoms.
n
m
P
P
P =
ai X i und Q =
bi X i heißen gleich, wenn m = n und ai = bi für alle i.
i=0
i=0
R[X] bezeichne die Menge aller Polynome. Bzgl. üblicher Additon und Multiplikation
von Polynomen wird R[X] zu einem Ring: Polynomring über R
• Die Nullteiler von R[X] sind genau die Nullteiler von R, d.h. Polynomringe über
Integritätsbereichen sind Integritätsbereiche.
• Polynomringe sind niemals Körper, aber: Polynomringe über Körpern sind sogar
„euklidische Ringe“, das sind Ringe, in denen der von Z bekannte euklidische Algorithmus durchgeführt werden kann.
• Sei KPKörper: f : K[X] → K K ordnet jedem Polynom seine Polynomfunktion zu
P = ai X i 7→ P̃ :
K→
PK i
k 7→
ai k
1. Ist K unendlich, so ist f injektiv, aber nicht surjektiv.
2. Ist K endlich, so ist f nicht injektiv, aber surjektiv.
39
5. Algebraische Strukturen
Beispiele
1. Z3 [X] → ZZ3 3
P = X(X − 1)(X − 2)
= X(X + 2)(X + 1)
= X 3 + 2X 7→ 0 = P̃ (0) = P̃ (1) = P̃ (2)
2. Q = O
P̃ = Q̃, also nicht injektiv
3. P̃ : Gesucht: P = a0 + a1 X + a2 X 2
(0, a) a0 = a
(1, b) a0 + a1 + a2 = b
(2, c) a0 + 2a1 + a2 = c
Gleichungssystem lösbar ⇒ surjektiv
K[X] kann als unendlich-dimensionaler Körper-Vektorraum aufgefasst werden; Basis:
1, X, X 2 , . . .
Klassifikation endlicher Körper
Folie 5.13
Charakterisierung endlicher Körper
1. Ist K ein Körper mit q Elementen, so ist q eine Primzahlpotenz.
2. Zu jeder Primzahlpotenz q = pn gibt es (bis auf Isomorphie) genau einen Körper mit q Elementen (Bez. Galois-Feld GF(q)):
Für n = 1 ist GF(p) Zp.
Für n > 1 ist GF(q) ein Erweiterungskörper von Zp, d.h. es wird
modulo p gerechnet. (Insbesondere gilt: GF(q) Zq .)
3. Die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers ist zyklisch.
(Die additive Gruppe ist nur für n = 1 zyklisch.)
4. Zu jeder Primzahl p und jeder natürlichen Zahl n > 1 existiert
ein über Zp irreduzibles Polynom vom Grade n, nämlich das Minimalpolynom eines erzeugenden Elementes der multiplikativen
Gruppe von GF(pn ). Dieses Polynom ist sogar primitiv.
5. Ein Körper hat genau dann pn Elemente, wenn er Zerfällungskörper
n
von X p − X über Zp ist.
40
5.5. Polynomringe und endliche Körper
• siehe Folie 5.13
R D I, I = aR = (a)
R[X] 3 P = (a0 , . . . , an , 0, . . .) =
n
P
i=0
ai X i = a0 · 1 + a1 X + . . . + an X n
K[X] euklidischer Ring: +, ·
K[X] K − V K unendlich-dimensional : +, skalare Multiplikation; Basis: 1, X, . . .
Folie 5.12
Faktorisierung von Ringen
Z4 :=
Z
ϕ
{0, 1, 2, 3}
Z2 [X]/1 + X + X 2 :=
Z2 [X]
ϕ
{0, 1, α, α + 1|α2 = 1 + α}
∼
=
Z/(4)
∼
=
Z2 [X]/(1 + X + X 2 )
• ϕ(a) berechnet Rest bei Division von a durch 4.
• ϕ(P ) berechnet Rest bei Division von P durch 1 + X + X 2 .
• ϕ ist surjektiver Homomorphismus.
• ϕ ist surjektiver Homomorphismus.
• kerϕ = {a ∈ Z | ϕ(a) = 0 } = 4Z = (4).
• kerϕ = {P ∈ Z2 [X] | ϕ(P ) = 0} = (1 + X + X 2 )Z2 [X] = (1 + X + X 2 ).
• Z4 ist kein Körper, da 4 keine Primzahl.
• Z2 [X]/1 + X + X 2 ist Körper, da 1 + X + X 2 irreduzibel.
• siehe Folie 5.12
• siehe Folie 5.14
Beispiel (Folie 5.14):
K = Z3 ; Q = 1 + X 2 ; K[X]/Q = {P ∈ K[X]| grad P < grad Q}
1 + α2 = 0 (d.h. α ist Nullstelle) ⇒ α2 = −1 ⇒ α2 = 2
(α + 2)(2α + 1) = 2α2 + α + 4α + 2 = 2α2 + 5α + 2 = 2 · 2 + 2α + 2 = 2α
K[X]/Q wird bezüglich üblicher Polynomaddition und „Multiplikation modulo Q“ zu kommutativen Ring mit 1.
Satz Der Ring
K[X]/Q
ist genau dann ein Körper, wenn Q irreduzibel ist.
irreduzibel Q ∈ K[X] heißt irreduzibel , wenn es sich nicht als Produkt von Polynomen
kleineren Grades (>0) schreiben lässt.
41
5. Algebraische Strukturen
Folie 5.14
Beispiel: Konstruktion von GF(9)
(allgemein: GF(pn))
Es sei K = Z3 und Q = 1 + X 2 .
Q ist irreduzibel in Z3[X], da Q keine Nullstelle in Z3 hat (Einsetzen!), also
ist Z3[X]/Q GF(9) ein Körper.
Z3[X]/1 + X 2 = {a0 + a1 α | a0 , a1 ∈ Z3 ∧ α2 = 2} =
= {0, 1, 2, α, 1 + α, 2 + α, 2α, 1 + 2α, 2 + 2α}
Q ist nicht primitiv: α0 = 1, α1 = α, α2 = 2, α3 = 2α, α4 = 1,
d. h. α erzeugt nicht alle von Null verschiedenen Elemente des Ringes.
Es gibt jedoch stets ein primitives Polynom, z. B. ist Q∗ := 2 + X + X 2
primitiv: α0 = 1, α1 = α, α2 = 1 + 2α, α3 = 2 + 2α, α4 = 2,
α5 = 2α, α6 = 2 + α, α7 = 1 + α, (α8 = 1).
Z3[X]/2 + X + X 2 = {a0 + a1 α | a0 , a1 ∈ Z3 ∧ α2 = 1 + 2α} =
= {αi | i = 0, . . . , 7} ∪ {0}
Logarithmentafel für GF(9) (mit primitivem Polynom Q∗ = 2 + X + X 2 )
KE
0
1
α
α2
α3
α4
α5
α6
α7
42
KV Log.
a0 a1
0 0 −∞
10
0
01
1
12
2
22
3
20
4
02
5
21
6
11
7
Addition der Körperelemente (KE) in GF(9):
Addition der Koordinatenvektoren (KV)
komponentenweise mod 3 (allgemein: mod p)
Multiplikation der KE in GF(9):
Addition der Logarithmen (Log.) mod 8 (allg.: mod (pn − 1))
3
4
2
Beispielrechnung: α2 + α5 = α7 = α−5 = α3 (= 2 + 2α)
α +α
α
5.5. Polynomringe und endliche Körper
Beweis:
1. Ist Q nicht irreduzibel ⇒ ∃P1 , P2 ∈ K[X] ∧ P1 , P2 6= 0 : P1 · P2 = Q (in K[X])
⇒ P1 , P2 ∈ K[X]/Q und es gilt P1 · P2 = 0 (in K[X]/Q), d.h. K[X]/Q hat Nullteiler, ist
also kein Körper
2. Sei Q irreduzibel und 0 6= P1 ∈ K[X]/Q. Q hat in K[X] keinen echten Teiler, d.h.
ggT(Q, P1 ) = 1
erweiterter Euklidischer Algorithmus liefert A, B ∈ K[X] : 1 = AP1 + BQ (in
K[X]) ⇒ 1 = AP1 (in K[X]/Q), d.h. A = P1−1 in K[X]/Q
• Q ∈ K[X] mit grad Q = 2 oder 3 ist genau dann irreduzibel, wenn es in K
keine Nullstelle hat.
• Wählt man in Beispiel (Folie 5.14) für Q = X 2 + 2 α2 = 1
Q reduzibel, da 1 Nullstelle: X 2 + 2 = (X + 1)(X + 2)
5.5.1. Rechnen in GF (pn )
Sei Q irreduzibles Polynom n-ten Grades aus Zp [X]. Dann ist GF (pn ) ∼
= Zp [X]/Q.
• Jedem Polynom P = a0 +a1 α+. . . am αm , m < n, werden zwei „Ausdrücke“ zugeordnet: Koeffizientenvektor (KV): a0 a1 . . . am und der „Logarithmus“, das ist diejenige
Zahl i mit αi (mod Q) = P . Dem Nullpolynom wird −∞ zugeordnet.
primitives Polynom Ein Polynom Q heißt primitiv , wenn die Potenzen von α alle von
Null verschiedenen Elemente von Zp [X]/Q durchlaufen.
Q∗ = 2 + X + X 2 Z3 [X]/Q∗ = {. . . |α2 = 1 + 2α}
2 + α + α2 = 0 α2 = −2 − α = 1 + 2α
L := Z5 [X]/a0 + a1 X + a2 X 2 = {b0 + b1 α|b0 , b1 ∈ Z5 ∧ a0 + a1 α + a2 α2 = 0}
|
{z
}
|
{z
}
=:Q
Q sei irreduzibel; ist Q primitiv: K =
α2 =...
{1, α, . . . , α23 }
∪ {0}
Rechnen mittels linear rückgekoppelten Schieberegister
am Beispiel:
3
| + X{z+ X }
Z2 [X]/1
=:Q
Q ist primitiv
Q heißt Rückkopplungspolynom (Generatorpolynom)
43
5. Algebraische Strukturen
-1
-1
-1
0
+
1
0
1
1
0
KE
1
α
α2
α3
α4
α5
α6
1
0
0
1
0
1
1
KV
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
disk. Log
0
1
2
3
4
5
6
α1 → α2 : (0 + α + 0α2 )α = 0 + 0α + 1α2
α2 → α3 : (0 + 0α + 1α2 )α = 0 + 0α + 0α2 + 1α3 − (1 + 1α + 0α2 + 1α3 ) = (1 + 1α + 0α2 )
5.5.2. Körpererweiterungen
Erweiterungskörper Ist K Körper, f ∈ K[X] irreduzibel, so ist L :=
terungskörper von K
Bezeichnung: K ≤ L
K[X]/f
ein Erwei-
Folgende Beispiele beziehen sich auf:
K
f
2
R X +1
Q X2 − 2
Primkörper Der kleinste Teilkörper, den ein Körper enthält heißt Primkörper dieses
Körpers.
Grad der Erweiterung Ist L ≥ K, so kann L als Vektorraum über K aufgefasst werden.
Die Dimension dieses Vektorraums wird Grad der Erweiterung genannt und mit
[L : K] bezeichnet.
Beispiele
1. [C : R] = 2 : R[X]/X 2 +1 = {a0 + a1 α|a0 , a1 ∈ R ∧ α2 + 1 = 0(α = i)} ∼
=C
√
√
2. [Q( 2) :√Q] = 2 : Q[X]/X 2 −2 = {a0 + a1 α|a0 , a1 ∈ Q ∧ α2 − 2 = 0(α = 2)} =
{a0 + a1 2|a0 , a1 ∈ Q}
3. [R : Q] = ∞
4. [K[X]/f : K] = grad f
algebraisch/transzendent Ist L ≥ K und α ∈ L, so heißt α algebraisch über K, falls
0 6= f ∈ K[X] mit f (α) = 0 existiert; andernfalls heißt α transzendent
√
√
(R ≥ Q : 2 ist algebraisch über Q : f (x) = x2 − 2 hat 2 zur Nullstelle)
(R ≥ Q : π ist transzendent über Q : ∃ kein f ∈ Q[X] mit f (π) = 0)
Minimalpolynom Zu jedem K algebraischer Elemente α gibt es eindeutig bestimmtes
Polynom f ∈ K[X] mit:
44
5.5. Polynomringe und endliche Körper
1. f ist normiert, d.h. „höchster Koeffizient“ = 1
2. f (α) = 0
3. g ∈ K[X] mit grad g < grad f ⇒ g(α) 6= 0 ⇒ f irreduzibel in K[X]
Dieses Polynom wird Minimalpolynom von α über K gennannt und mit Irr(α, K)
bezeichnet.
Beispiele
1. K = Q, α =
√
√
2 : Irr( 2, Q) = X 2 − 2
2. K = Z3 ; α = X ∈ Z3 [X]/X 2 +X+2; Irr(α, Z3 ) = X 2 + X + 2
L ≥ K, α ∈ L algebraisch über K und f = Irr(α, K). Dann gilt:
1. g ∈ K[X] ∧ g(α) = 0 gdw. f |g
2.
K[X]/f
∼
= K(α) bezeichnet kleinsten Teilkörper von L, der K und α enthält.
Zerfällungskörper Sei K ≤ L, f ∈ K[X] Zerfällt f in L[X] in Linearfaktoren (d.h. alle
Nullstellen von f liegen in L), so heißt L Zerfällungskörper , wenn es keinen Körper
zwischen K und L gibt, in den f zerfällt.
Beispiele:
√
√
√
1. Q ≤ R; f√= X 2 −2√= (X − 2)(X + 2); Zerfällungskörper nicht R sondern Q( 2)
f = Irr( 2, Q) Q( 2) 6= R
2. R ≤ C; f = X 2 + 1 = (X + i)(X − i); Zerfällungskörper: C = R(i)
f = Irr(i, R)
L := K[X]/Q ≥ K; in L hat Q eine NS α
grad Q = n; L kann als n-dimensionaler Vektorraum über K aufgefasst werden:
(1, α, . . . , αn−1 ) als Basis
Charakteristik Jeder Körper K enthält die Elemente 1, 1 + 1, . . . Ist keines dieser Elemente gleich 0 (d.h. die Elemente sind parweise verschieden), so heißt K von der
Charakteristik 0. Gibt es aber ein n mit 1| + 1 +
{z. . . + 1} =: n1 = 0, so heißt das
n−mal
kleinste dieser Art Charakteristik von K.
• Charakteristik von K ist die Ordnung der 1 in (K, +)
• Die Charakteristik eines Körpers ist entweder 0 oder eine Primzahl
• Der Primkörper eines Körpers der Charakteristik 0 ist isomorph zu Q und bei
Charakteristik p isomorph zu Zp
45
5. Algebraische Strukturen
Folie 5.16
Linear rückgekoppeltes Schieberegister der Länge n
−a0
−an−2
−a1
z0
+ z1
+
...
−an−1
+ zn−2 + zn−1
Rückkopplungsspolynom: Q(X) = a0 + a1 X + . . . + an−1X n−1 + X n
Z(X) = z0 + z1 X + . . . + zn−2X n−2 + zn−1X n−1
Zustandspolynom:
• Körper der Charakteristik 0 ist unendlich.
• Körper der Charakteristik p kann auch unendlich sein:
1. „algebraischer Abschluss“ von Zp
o
n
P
|P, Q ∈ Zp [X] hat Charakteristik p
2. Zp (x) = Q
• In einem Körper der Charakteristik p 6= 0 gilt:
i
i
i
1. (x + y)p = xp + y p , i ∈ N; denn: die Koeffizienten vor den „gemischten“
Potenzen verschwinden mod p
n
2. Q = X p − X hat nur einfache Nullstelle, denn:
n
Q0 = pn X p −1 − 1 = −1 = const; mehrfache Nullstellen von Q sind auch
Nullstellen von Q0
5.6. Beziehungen zur Codierungstheorie
Linearcode Ein (n, k) Linearcode ϕ über GF (q): ϕ ≤ (GF (q))n mit dim ϕ = k
zyklischer Linearcode Ein (n, k)-Linearcode ϕ über GF (q) heißt zyklisch, wenn
(c0 , . . . , cn−1 ) ∈ ϕ ⇒ (cn−1 , c0 , . . . , cn−1 ) ∈ ϕ für alle (c0 , c1 , . . . , cn−1 )
c(X) = c0 + c1 X + . . . + cn−1 X n−1 ⇒ cn−1 + c0 X + . . . + cn−1 X n−1 = c(X) · X
(mod X)n − 1
Ein (n, k)-Linearcode über GF (q) ist genau dann zyklisch, wenn ϕ ein Ideal im
GF (q)[X]/X n −1 ist. Die zyklischen Codes der Länge n über GF (q) sind durch die
Teiler von X n − 1 in GF (q)[X]/X n −1 bestimmt.
46
5.7. Verbände
Satz: Sei ϕ ein zyklischer (n, k)-Code über GF (q). Dann gilt:
1. Es existiert ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom Q kleinsten Grades in
ϕ. Q heißt Generatorpolynom von ϕ
2. Generatorpolynom Q von ϕ ist Teiler von X n − 1 (in GF (q)[X])
3. Für alle c(X) ∈ GF (q)[X] gilt: c(X) ∈ ϕ ⇔ Das Generatorpolynom Q von ϕ ist
Teiler von c(X).
4. Das Generatorpolynom Q von ϕ hat den Grad n − k
Beispiel Gesucht ist ein zyklischer (15, k)-Code, der 2-fehlerkorrigierend ist ⇒ d = 5
Entwurfsdistanz
n = 15, primitive 15-te Einheitswurzel aus GF (24 ) ∼
= GF (x)[X]/1+X 3 +X 4
1.
Minimalpolynome von
α
α3
Nullstellen
α, α2 , α4 , α8
α3 , α6 , α12 , α9
Es werden d − 1 = 4 aufeinanderfolgende Potenzen von 2 benötigt.
⇒ Q = (X 4 + X 3 + 1)(X 4 + X 3 + X 2 + X + 1) = X 8 + X 4 + X 2 + X + 1
(k = 15 − 8 = 7)
2.
Minimalpolynome
α3
α4
α5
Nullstellen
α3 , α6 , α12 , α9
α4 , α8 , α, α2
α5 , α10
⇒ Q = (X 4 + X 3 + X 2 + X + 1)(X 4 + X 3 + 1)(X 2 + X + 1) = . . . (k = 15 − 10 = 5)
5.7. Verbände
• Halbordnungsrelation (reflexiv, antisymmetrisch, transitiv);po-set; siehe Folie 1.6
• Totale Ordnungsrelation (Halbordnung und linear), Ketten
Bei Ketten sind also je zwei Elemente vergleichbar.
Ist das bei po-set nicht der Fall, d.h. gibt es nicht vergleichbare Elemente x, y
(Bezeichnung: x||y), so reicht „ersatzweise“ die folgende Eigenschaft einer po-set.
Verbandsordnung Eine po-set heißt verbandsgeordnet (lattice-ordered), wenn zu je zwei
Elementen das Infimum (x ∧ y) und das Supremum (x ∨ y) existiert. (Folie 1.6)
• Darstellung durch Hasse-Diagramme (wie bei jeder po-set). (Folie 1.7)
47
5. Algebraische Strukturen
Beispiele
1. Jede Kette ist verbandsgeordnet (d.h. jede Kette ist ein Verband.)
2. Teilmengenverband (P (A), ⊆)
3. Untergruppenverband der Z12 ; (U (Z12 ), j) (Folie 5.6.2)
4. (N, |) (Infimum: ggt; Supremum: kgV);
12
6
4
({1, 2, 3, 4, 6, 12}, |)
3
2
1
5. (S, ≤); S = {Anne, Bernd, Claudia, Dieter, Eva}
Mathe
Logik
A
2
2
B
3
2
C
5
3
D
4
4
A
E
1
5
B
C
D
E
x ≤ y beudetet „y hat in keinem Fach schlechtere Noten als x.“
poset nicht verbandsgeordnet
• Sei (L, ≤) verbandsorientiert, dann gelten folgende Gleichungen (Axiome):
(L1)
(L10 )
(L2)
(L20 )
(L3)
(L30 )
(L4)
(L40 )
(x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z)
(x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z)
x∧y =y∧x
x∨y =y∨x
x∧x=x
x∨x=x
x ∧ (x ∨ y) = x
x ∨ (x ∧ y) = x
Assoziativ
Kommutativ
Idempotenz
Absorption
⇒ „algebraische Definition“ der verbandsgeordneten Mengen:
Verband Sei L Menge mit zwei binären Operationen ∧, ∨. (L, ∧, ∨) heißt Verband (lattice), wenn (L1) bis (L4) und (L1’) bis (L4’) gelten.
• Zusammenhang: ∀x, y ∈ L : x ∧ y = x gdw. x ≤ y
gdw. x ∨ y = y
• Bemerkung: L3,L3’ folgen aus den anderen Axiomen:
L40
Beweis: x ∧ x = x ∧ (x ∨ (x ∧ z))
48
L4
=
y:=x∧z
x
5.7. Verbände
Dualtitätsprinzip der Verbandstheorie
• Axiome sind „symmetrisch“: ∧ ↔ ∨
• Verbandstheoretische Aussage A: außer logischen Bestandteilen kommen nur ∧, ∨
vor.
Die zu A duale Aussage D(A) entsteht aus A durch Vertauschen von ∧ und ∨
• Satz: A wahr gdw. D(A) wahr
• Erzeugungsvorgänge hXi: Vektorraum X ⊆ V : hXi = span(X) = Menge aller
Linearkombinationen mit Vektoren aus x. Abstrakte Beschreibung:
Hüllenoperator A . . . Menge, ϕ : P (A) → P (A) heißt Hüllenoperator (closure operator),
falls für alle x, y ⊆ A (d.h. x, y ∈ P (A)) gilt:
1. x ⊆ ϕ(x) Extensivität
2. x ⊆ y ⇒ ϕ(x) ⊆ ϕ(y) Monotonie
3. ϕ(ϕ(x)) = ϕ(x) Idempotenz
Hüllen Die Mengen der Form ϕ(x) heißen Hüllen (abgeschlossene Mengen) und man
sagt: ϕ(x) wird von x erzeugt.
H = {ϕ(x)|x ⊆ A} Menge der Hüllen
• (H, ⊆) ist verbandsgeordnet bzw. (H, ∧, ∨) ist ein Verband.
• H ist sogar ein vollständiger Verband
Vollständiger Verband (L, ∧, ∨) heißt vollständiger Verband , falls für jede (nichtleere)
Teilmenge B ⊆ L Infimum und Supremum existieren.
⇒
• L hat ein kleinstes Element 0 = inf L(sup ∅) und ein
größtes Element 1 = sup L(inf ∅)
• Jeder endliche Verband ist vollständig
Beispiele
1. (P (A), ⊆) ist vollständiger Verband (auch für unendliches A)
2. ([0, 1], ≤) ist vollständige Kette( ([0, 1] ∩ Q, ≤) nicht vollständige Kette)
3. N, Z, . . . sind Ketten, nicht vollständig
49
5. Algebraische Strukturen
Verträgliche Abbildungen ϕ zwischen Ordnungen, Verbänden:
Ordnungshomomorphismus (monoton): x ≤ y ⇒ ϕ(x) ≤ ϕ(y)
Verbandshomomorphismus ϕ(x ∧ y) = ϕ(x) ∧ ϕ(y) bzw. ϕ(x ∨ y) = ϕ(x) ∨ ϕ(y)
Verbandsisomorphismus Verbandshomomorphismus und bijektiv
Verbandsisomorphismus ⇒ Verbandshomomorphismus ⇒ monoton
Fixpunktsatz (Knaster, Tarski): Jede monotone Abbildung σ : L → L eines vollständigen Verbandes besitzt einen Fixpunkt
Beweis: S := {x ∈ L|x ≤ σ(x)}, u := sup S
⇒ u ≥ s ∀s ∈ S
⇒ σ(u) ≥ σ(s) ≥ s ∀s ∈ S
⇒ σ(u) ist obere Schranke von S
⇒ σ(u) ≥ u (da u kleinste obere Schranke)
⇒ σ(σ(u)) ≥ σ(u)
⇒ σ(u) ∈ S
⇒ u ≥ σ(u)
⇒ u = σ(u)
50
6. Differenzialrechnung für Funktionen
mehrerer reeller Veränderlichen
6.1. Reelle Funktionen
reelle Funktion in n Veränderlichen Sei X ⊆ Rn . Dann heißt f : X → R eine reelle
Funktion in n Veränderlichen.
• Schreibweise: u = f (x) = f (x1 , . . . , xn ), x ∈ X
• Im Folgenden meist n = 2: u = f (x, y) (ggf. u = f (x, y, z))
• Darstellung
analytischen Ausdruck f meist durch analytischen Ausdruck gegeben u = f (x);
ggf. auch implizit durch F (x, u) = 0
Fläche Darstellung durch Fläche im Raum: X = Teilmenge der (x, y)−Ebene;
Funktionswert u = f (x, y) wird senkrecht über (x, y) ∈ X in Richtung uAchse abgetragen.
Niveaulinien Darstellung durch Niveaulinien: Projektion der Schnittkurven des
Bildes von u = f (x, y) mit den zur (x, y)-Ebene parallelen Ebenen u = c
in die (x, y)-Ebene.
Beispiele:
1.
a) analytischer Ausdruck: u = f (x, y) = −6x − 2y + 6; X = R2
b) Fläche im Raum: Ebene Achsenabschnittsform:
x
1
+
y
3
+
u
6
=1
u
6
1
3
y
x
c) Niveaulinien: parallele Geraden: c = 6: 6 = −6x − 2y + 6 ⇒ 6x + 2y = 0 ⇒
y = −3x
51
6. Differenzialrechnung für Funktionen mehrerer reeller Veränderlichen
c=6
−3
y
1
x
2.
p
a) analytischer Ausdruck: u = g(x, y) = 1 − x2 − y 2 ; X = {x| ||x|| ≤ 1} =
{(x, y)|x2 + y 2 ≤ 1} Einheitskreisscheibe
b) Fläche im Raum: Oberfläche einer Halbkugel (u ≥ 0 : x2 + y 2 + u2 = 1)
c) Niveaulinien:
Konzentrische Kreise um (0, 0).
p
u = 1 − x2 − y 2 = c; c = 0 : Einheitskreisscheibe
c = 1 Nullpunkt (0, 0)
6.2. Differenziation
6.2.1. Partielle Ableitungen
partielle Ableitung Die Funktion f (x, y) sei in Umgebung von x0 = (x0 , y0 ) definiert.
Bei festgehaltenem y = y0 sei die Funktion g(x) := f (x, y0 ) an der Stelle x = x0
nach x differenzierbar. Dann heißt f (x, y) an der Stelle (x0 , y0 ) partiell nach x
differenzierbar.
g 0 (x0 ) heißt partielle Ableitung von f (x, y) nach x an der Stelle (x0 , y0 )
(x,y)
Bezeichnung: fx (x0 , y0 ) oder ∂f∂x
|(x0 ,y0 ) ; fy (x0 , y0 ) analog
• siehe Folie 6.2
• Wir denken uns u = f (x, y) als Fläche über (x, y)-Ebene. Eine zur (x, u)-Ebene
parallele Ebene durch (x0 , y0 ) schneidet aus dieser Fläche eine Kurve C1 aus (Bild
von g(x) in dieser Ebene). Ihre Steigung bei x0 wird durch g 0 (x0 ) = fx (x0 , y0 )
ausgedrückt.
• Analog: Schnitt der Fläche mit zur (y, u)-Ebene parallele Ebene durch (x0 , y0 ) →
C2 → fy (x0 , y0 )
• Für partielle Ableitungen keine neuen Regeln!
Ableitungen höherer Ordnung Bezeichnung:
52
∂fx
∂x
=:
∂2f
∂x2
= fxx ; analog: fxy , fyx , fyy
6.2. Differenziation
2
(a) z = e−(x
+y 2 )
(b) z = sin x sin y
(c) z = xy
(d) Weihnachtsglocke
Abbildung 6.1.: einige Beispiele für die Darstellung als Fläche im Raum
53
6. Differenzialrechnung für Funktionen mehrerer reeller Veränderlichen
Folie 6.1
Partielle Diﬀerenziation
z
z = f (x, y)
x = x0
∂f
(x , y )
∂x 0 0 ∂f
(x0, y0 )
∂y
P (x0 , y0 , z0 )
y = y0
x
54
y
6.2. Differenziation
Folie 6.2
Totales Diﬀerenzial - Tangentialebene
z
z = f (x, y)
Δz
.....
....
...
.....
... ....................
...........
.
.
..
... ..
... ......................................
......... ....
0
.
.
...... ....
.......
.....
.......
.
.
.
.
P ....
fx Δx
fy Δy
dz
y
Tangentialebene
Δx
x
Δy
Beispiel
f (x, y) = x sin(x2 y 3 )
fx (x, y) = sin(x2 y 3 ) + 2x2 y 3 cos(x2 y 3 )
fy (x, y) = 3x3 y 2 cos(x2 y 3 )
2
2
2
3
2
2
2
3
fxy = 3x y cos(x y ) + 6x y cos (x y ) − 6x4 y 5 sin (x2 y 3 )
= 9x2 y 2 cos (x2 y 3 ) − 6x4 y 5 sin (x2 y 3 )
fyx = 9x2 y 2 cos (x2 y 3 ) − 6x4 y 5 sin (x2 y 3 ) = fxy
Satz von Schwarz f (x, y) sei in einer Umgebung von x0 stetig. Existieren die partiellen
Ableitungen fx , fy , fxy und sind diese in x0 stetig, so existiert auch fyx und es gilt:
fxy (x0 ) = fyx (x0 )
⇒ Zur Berechnung höherer Ableitungen „günstige“ Reihenfolge wählen!
Beispiel (Tangentialebene)
z = x2 + 4xy − 2y 2 ; x0 = (x0 , y0 ) = (2, 1); f (2, 1) = 10
fx = 2x + 4y; fx (2, 1) = 8; fy = 4x − 4y; fy (2, 1) = 4
Tangentialebene: z = 8x +4y 
− 16 −4 +
8x
+ 4y − 10
10 =
2
1
0
in Parameterdarstellung:  1  + u 0 + v 1 , u, v ∈ R
10
8
4
55
6. Differenzialrechnung für Funktionen mehrerer reeller Veränderlichen
Folie 6.3
Diﬀerential, Tangentialebene
Funktion einer Veränderlichen y = f (x) :
Diﬀerential: dy = f (x0)dx
Tangente (von f (x) im Punkt (x0, f (x0))):
y = f (x0)+f (x0)(x−x0) = f (x0)x−f (x0)x0 +f (x0)
Funktion zweier Veränderlicher z = f (x, y) :
Totales Diﬀerential: dz = fx(x0, y0)dx+fy (x0, y0)dy
Tangentialebene (von f (x, y) im Punkt (x0, y0, f (x0, y0))):
z = f (x0, y0) + fx(x0, y0)(x − x0) + fy (x0, y0)(y − y0) =
= fx(x0, y0)x+fy (x0, y0)y−fx(x0, y0)x0−fy (x0, y0)y0+
+f (x0, y0)
(Gleichung in Koordinatenform)
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
x0
1
0
⎠+u ⎝
⎠+v ⎝
⎠
y0
0
1
x=⎝
f (x0, y0)
fx(x0, y0)
fy (x0, y0)
⎛
u, v ∈ R
56
(Parameterdarstellung)
6.2. Differenziation
Beispiel: (totales Differenzial)
z = f (x, y) = x · y; fx = y; fy = x; x0 = 2; y0 = 3 f (x0 , y0 ) = 6; ∆x = 0, 2; ∆y = 0, 1
∆f = ∆z = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) = 2, 2 · 3, 1 − 6 = 0, 82 ∂f = fx (2, 3) · ∆x +
fy (2, 3) · ∆y = 3 · 0, 2 + 2 · 0, 1 = 0, 80 ∆f − ∂f = 0, 02 (sehr klein!)
Δy
∂f :
y0 = 3
Δx
+
Δf − ∂f :
x0 = 2
∆f : großes Rechteck - kleines Rechteck
6.2.2. Fehlerrechnung
(Anwendung des totalen Differenzials)
Sei u = f (x, y) und x̃, ỹ Näherungswerte (Meßwerte) für x bzw. y; ũ = f (x̃, ỹ). Wir
schreiben x = x̃ + dx, y = ỹ + dy(dx, dy . . . Meßfehler).
Schranken für die Meßfehler: |dx| ≤ h, |dy| ≤ k, d.h. x̃−h ≤ x ≤ x̃+h; ỹ−k ≤ y ≤ ỹ+k
Gesucht: obere Schranke für den absoluten Fehler |∆U | = |u− ũ| = |f (x, y)−f (x̃, ỹ)| =
|f (x̃ + dx, ỹ + dy) − f (x̃, ỹ)|
Sind die uns bekannten Schranken h, k und mithin |dx| und |dy| klein, so kann der
absolute Fehler wie folgt abgeschätzt werden: |∆U | ≈ |du| = |fx (x̃, ỹ)dx + fy (x̃, ỹ)dy| ≤
|fx (x̃, ỹ)| · |dx| + |uy (x̃, ỹ)| · |dy| ≤ |fx (x̃, ỹ)|h + |fy (x̃, ỹ)|k
du
Anstelle des relativen Fehlers ∆u
ũ berechnet man in der Praxis als Näherung ũ
Beispiele
1. Volumen eines (geraden) Kegelstumpfes; Gegeben r1 = 5cm, r2 = 4cm, h = 6cm
r2
h
r1
|dr1 | = |dr2 | = |dh| =: dx ≤ 0, 1cm V = f (r1 , r2 , h) = 13 πh(r12 + r22 + r1 r2 )
|∆V | ≈ |dV | ≤ Vh |dh| + Vr1 |dr1 | + Vr2 |dr2 | = 31 πdx(r12 + r22 + r1 r2 + h(2r1 + r2 ) +
h(2r2 + r1 )) = 31 πdx(r12 + r22 + r1 r2 + 3h(r1 + r2 )) ≤ π3 · 22, 3cm3 ≈ 23, 4cm3
V ≈ 383, 3cm3 ; | ∆V
V |≈
dV
V
| ≈ 0, 061; relativer Fehler 6,1%
2. u = f (x, y) = xy; du = ux dx + uy dy = ydx + xdy
dy
dx
| du
u | ≤ | x | + | y |, d.h. relative Fehler addieren sich
3. u = f (x, y) = xy ; du = ux dx + uy dy =
du
u
=
dx
x
−
dy du
y ;| u |
dx
y
−
x
dy
y2
dy
≤ | dx
x | + | y |, d.h. relative Fehler addieren sich
57
6. Differenzialrechnung für Funktionen mehrerer reeller Veränderlichen
6.2.3. Differenziation zusammengesetzter Funktionen, impliziter
Funktionen
Satz u = f (x, y) sei stetig (partiell) nach x und y differenzierbar. x = x(t), y = y(t)
seien stetig nach t differenzierbar. Dann ist die zusammengesetzte Funktion F (t) :=
f (x(t), y(t)) nach t differenzierbar und es gilt: Ḟ (t) = fx · ẋ + fy · ẏ
Beispiel:
y
Gegeben: u = f (x, y) = x · e x ; x(t) = 1t , y(t) = ln t; F (t) = f (x(t), y(t))
Gesucht: Ḟ (t)
y
y
−1
fx = e x + x · e x · −y
2 ; ẋ = t2
x
y
y
fy = x · e x · x1 = e x ; ẏ = 1t
y
y
Ḟ (t) = e x (1− xy )( −1
)+e x · 1t = et ln t (1−t ln t)( −1
)+et ln t 1t = et ln t (t ln t−1)( t12 )+et ln t 1t =
t2
t2
t−2
t (t ln t − 1 + t)
Sofortiges Einsetzen liefert: F (t) = 1t et ln t = tt−1 ⇒ Logarithmisch Differenzieren:
ln F (t) = (t − 1) ln t
Ḟ (t)
F (t)
= ln t + (t − 1) 1t ⇒ Ḟ (t) = tt−1 (ln t +
t−1
t )
= tt−2 (t ln t + t − 1)
Implizite Differenziation
Eine funktionale Abhängigkeit zwischen x und y sei nicht in expliziter Form y = f (x),
sondern in impliziter Form F (x, y) = 0 gegeben.
Wir interessieren uns für die Ableitungen einer Funktion y = f (x), die in impliziter Form
F (x, y) = 0 gegeben ist:
Satz In einer Umgebung von (x0 , y0 ) seien F (x, y), Fx (x, y), Fy (x, y) stetig. Außerdem
sei F (x0 , y0 ) = 0 und Fy (x0 , y0 ) 6= 0. Dann gibt es eine Funktion y = f (x) die in
gewisser Umgebung U von x0 definiert ist mit f (x0 ) = y0 und F (x, f (x)) = 0 für
alle x ∈ U . f (x) ist für alle x ∈ U stetig differenzierbar und es gilt:
(x,f (x))
f 0 (x) = − FFxy (x,f
(x))
Beweis: F (x, f (x)) = 0 ⇒ Differenziation mit Kettenregel: Fx · 1 + Fy · f 0 (x) = 0 ⇒
f 0 (x) = − FFxy
Beispiele
1. F (x, y) = xey − yex + x Wird in Umgebung von x0 = 0 durch F (x, y) = 0 implizit
eine Funktion y = f (x) dargestellt? Gesucht f 0 (0)
Aus x0 = 0 und F (x0 , y0 ) = 0 folgt y0 = 0; Fx = ey − yex + 1; Fx (0, 0) = 2
Fy = xey − ex ; Fy (0, 0) = −1
(0,0)
=2
f 0 (0) = − FFxy (0,0)
2. F (x, y) = x2 + y 2 − 5 = 0 x0 = 1; y0 = −2
58
6.2. Differenziation
2
1
0
f 0 (x0 ) = − 2x
2y0 = 4 = 2
√
x
y = − 5 − x2 ⇒ y 0 = √5−x
⇒ y 0 (1) =
2
1
2
Höhere Ableitungen
(Berechnung mit erweiterter Kettenregel)
F (x, y(x)) = 0
Fx (x, y(x)) + Fy (x, y(x))y 0 = 0
Fxx +Fxy ·y 0 +(Fyx +Fyy y 0 )y 0 +Fy y 00 = 0 ⇒ y 00 = . . . =
0 Fx Fy 1 F Fxx Fxy Fy3 x
Fy Fxy Fyy 1
(−Fxx Fy2 +2Fxy Fx Fy −Fyy Fx2 )
Fy3
=
Fortsetzung des Beispiels Fxx = −yex ; Fxx (0, 0) = 0
Fxy = ey − ex ; Fxy (0, 0) = 0
Fyy = xey ; Fyy (0, 0) = 0 ⇒ y 00 (0) = f 00 (0) = 0
0
f 00 (x0 ) 2
0)
T2 (x) = f (x0 ) + f (x
1! x +
2! x = 0 + 2x + 0
6.2.4. Taylorentwicklung
Taylorentwicklung für Funktionen einer Variablen
n
X
f (ν) (x0 )
f (x) =
ν!
|ν=0
(x − x0 )ν + Rn (x)
| {z }
{z
} Restglied
=:Tn (x)(Taylorpolynom)
Mit x = x0 + h:
f (x0 + h) =
n
X
f (ν) (x0 )
ν=0
ν!
hν +
f (n+1) (x0 + θh) (n+1)
h
(n + 1)!
0<θ<1
Sei u = f (x, y) in Umgebung von (x0 , y0 ) (n + 1)-mal stetig differenzierbar f (x0 + h, y0 +
k) =?
• n = 1: vergleiche Folie 2.7
• n = 2: Entwicklungsstelle (x0 , y0 ) Analogon zu f (k) (x0 )(x − x0 )k :
i(k)
h
∂
∂
(x
−
x
)
+
(y
−
y
)
(f )(x0 , y0 )
0
0
∂x
∂y
• k = 0 : f (x0 , y0 )
• k=1:
∂f
∂x (x0 , y0 )
· (x − x0 ) +
∂f
∂y (x0 , y0 )
· (y − y0 )
• k = 2 : fxx (x0 , y0 )(x − x0 )2 + 2fxy (x0 , y0 )(x − x0 )(y − y0 ) + fyy (x0 , y0 )(y − y0 )2
59
6. Differenzialrechnung für Funktionen mehrerer reeller Veränderlichen
• „Berechnung nach binomischer Formel“
• siehe Folie 6.4
Folie 6.4
Taylorsche Formel
f (x, y) =
n
k=0
mit
Rn(x, y) =
1
k!
[fx(x0, y0)(x−x0)+fy (x0, y0)(y−y0)](k) +Rn (x, y)
1
(n+1)!
[fx (x0 + ϑ(x − x0), y0 + ϑ(y − y0))(x − x0) +
+fy (x0 + ϑ(x − x0), y0 + ϑ(y − y0))(y − y0 )](n+1)
(0 < ϑ < 1)
Für n=1 erhält man eine lineare Näherungsfunktion f1(x, y),
die Tangentialebene:
f1(x, y) = f (x0, y0 ) + fx (x0, y0)(x − x0) + fy (x0, y0)(y − y0) =
= f (x0, y0 )+df (df totales Diﬀerential von f )
Für n=2 erhält man eine quadratische Näherungsfunktion f2 (x, y)
(Fläche 2. Ordnung):
f2(x, y) = f (x0, y0 ) + fx (x0, y0)(x − x0) + fy (x0, y0)(y − y0) +
+ 12 fxx (x0, y0 )(x − x0)2 + fxy (x0, y0)(x − x0)(y − y0 ) +
+ 12 fyy (x0, y0)(y − y0)2
Beispiel
f (x, y) = sin x · sin y soll an der Stelle (0, 0) bis zum Restglied R2 entwickelt werden.
fy = sin x cos y
fxy = cos x cos y
fx = cos x sin y
fyy = − sin x sin y
fxxy = − sin x cos y
fxx = − sin x sin y
fyyy = − sin x cos y
fxyy = − cos x sin y
fxxx = − cos x sin y
fxy (0, 0) = 1, alle anderen ersten und zweiten partiellen Ableitungen sind gleich 0.
f (x, y) = sin x sin y = xy + R2 mit
R2 = 61 (−x3 cos(θx) sin(θy)−3x2 y sin(θx) cos(θy)−3xy 2 cos(θx) sin(θy)−y 3 sin(θx) cos(θy))
Abschätzung des Restgliedes (| sin(θx)| ≤ 1, | cos(θx)| ≤ 1; Dreiecksungleichung
|R2 | ≤ 16 (|x|3 + 3x2 |y| + 3|x|y 2 + |y|3 ) = 61 (|x| + |y|)3 , d.h. für kleine Werte von |x| + |y|
verhält sich f (x, y) = sin x sin y wie die Funktion f2 (x, y) = xy
60
6.2. Differenziation
1.0
0.5
5
0.0
-0.5
-1.0
-5
0
0
-5
5
61
6. Differenzialrechnung für Funktionen mehrerer reeller Veränderlichen
1
|x|, |y| ≤ 41
|R2 | ≤ 48
≈ 0, 02
f = f2 + R2 = f3 + R3 = f2 + R3 , da f3 = f2
1
1
4
Analog: |R3 | ≤ 24 (|x| + |y|)
|R3 | ≤ 384
≈ 0, 0026
6.2.5. Extremwertaufgaben
Extremalprobleme ohne Nebenbedingungen
siehe Folie 6.5
Folie 6.5
Extremstellen
Sei u = f (x) eine reelle Funktion und x0 ∈ Vf .
f besitzt in x0 eine
relative oder lokale Maximumstelle,
wenn es eine Umgebung U von x0 gibt, so dass
f (x) ≤ f (x0) für alle x ∈ U ∩ Vf gilt.
f (x0) heißt dann relatives Maximum und
(x0, f (x0)) relativer Maximumpunkt.
Analog: Minimum
rel. Extremstelle = rel. Maximum- oder Minimumstelle
rel. Extremwert = rel. Maximum oder Minimum
rel. Extrempunkt = rel. Maximum- oder Minimumpunkt
Wird U durch den gesamten Definitionsbereich Vf von f
ersetzt, so ist relativ“ durch absolut“ zu ersetzen.
”
”
Satz x0 ∈ Vf und f besitze in x0 relative Extremstelle. Dann verschwinden alle partiellen
Ableitungen erster Ordnung. (Notwendige Bedingung)
Die in diesem Satz charakterisierten Stellen x0 ∈ Vf heißen kritische Stellen.
Beispiel f (x, y) = (x3 + 3x2 + 1) cosh y
kritische Stellen:
1. fx = (3x2 + 6x) cosh y = 0 ⇒ 3x2 + 6x = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = −2
62
6.2. Differenziation
2. fy = (x3 + 3x2 + 1) sinh y = 0
mit x1 = 0 ⇒ sinh y = 0 ⇒ y1 = 0
mit x2 = −2 ⇒ sinh y = 0 ⇒ y2 = 0
Also kritische Stellen
• Taylorreihen (-polynome) für Funktionen zweier Variablen oft einfacher durch Benutzung bekannter Potenzreihen (S. 72 schwarze Tafel)
1
Beispiel: f (x, y) = 1+x+y
Benutzung der geometrischen Reihe
∞
P
1
xk = 1−x
, |x| < 1
k=0
1
1+x+y
=
1
1−(−(x+y))
fn (x, y) =
n
P
=
(−1)k (x
k=0
∞
P
k=0
(−1)k (x + y)k ; |x + y| < 1
+ y)k ; fn (x, y) → f (x, y) für |x + y| < 1
f2 (x, y) = 1 − x − y + x2 + 2xy + y 2
„Unser Beispiel“: f (x, y) = sin x sin y = (x − 16 x3 + − . . .)(y − 61 y 3 + − . . .) ⇒ f2 (x, y) =
xy = f3 (x, y); f1 (x, y) = 0
Notwendige Bedingung für Extrema an (x0 , y0 ) : fx (x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) = 0 → „kritische
Stellen“
y) = xy kritische Stelle (0, 0) aber keine Extremstelle, sondern Sattelstelle
f (x,
0 1 D = 1 0
Satz (Hinreichende Bedingung für relative Extremstelle) Sei (x0 , y0 ) kritische Stelle von
f (x, y) und
fxx (x0 , y0 ) fxy (x0 , y0 )
D=
fyx (x0 , y0 ) fyy (x0 , y0 )
Ist
Ist
Ist
Ist
D
D
D
D
< 0, dann (x0 , y0 ) keine Extremstelle (sondern Sattelstelle)
= 0, dann zustätzliche Untersuchung erforderlich
> 0 und fxx (x0 , y0 ) > 0, dann (x0 , y0 ) relative Minimumstelle
> 0 und fxx (x0 , y0 ) < 0, dann (x0 , y0 ) relative Maximumstelle
Beispiel: f (x, y) = (x3 + 3x2 + 1) cosh y „kritische Stellen“: (0, 0), (−2, 0)
• Prüfen der hinreichenden Bedingung: fxx = (6x − 6) cosh y; fxy = (3x2 + 6x) sinh y
2
fyy = (x3 +
3x + 1) cosh y
6 0 = 6 > 0 ⇒ (0, 0) Extremstelle; fxx = 6 > 0 ⇒ Minimumstelle
D = 0 1
Extremalprobleme mit Nebenbedingung(en)
Beispiel 1 Wie lang sind die Kanten x, y, z eine Quaders zu wählen, damit dessen
Oberfläche A maximal wird, wobei die Summe S der Kantenlängen gegeben ist.
A = f (x, y, z) = 2(xy + xz + yz) Nebenbedingung: ϕ(x, y, z) = x + y + z − S = 0
63
6. Differenzialrechnung für Funktionen mehrerer reeller Veränderlichen
• Lösung hier kein Problem: Nebenbedingung ⇒ z = S − x − y ⇒ A = g(x, y) =
. . . = 2(xS − x2 + yS − xy − y 2 )
gx = 2(S − 2x − y) = 0
gy = 2(S − 2y − x) = 0
1
x0 = y0 = z0 =
3S
−4 −2
= 12 > 0 ⇒ Maximum Amax = 2 S 2
D = 3
−2 −4
Lagrangesche Multiplikatorenmethode Oft Nebenbedingung „schwer“ oder gar nicht
auflösbar, dann Lagrangesche Multiplikatorenmethode
Gesucht sind die relativen Extrema von f (x, y) unter der Nebenbedingung ϕ(x, y) =
0 Notwendig für das Vorliegen einer Extremstelle ist die notwendige Bedingung für
das Vorliegen einer Extremstelle der Funktion L(x, y, λ) := f (x, y) + λϕ(x, y) mit
L . . . Lagrangefunktion und λ . . . Lagrange-Multiplikator. Lx = Ly = Lλ = 0 Entscheidung dann aus geometrischen oder anderen Überlegungen.
Beispiel 2 a, m, n, p ∈ R+ Gesucht ist Maximum von f (x, y, z) = xm y n z p ; ϕ(x, y, z) =
x+y+z−a=0
„Trick“ zur Vereinfachung der Rechnung f maximal gdw. ln f maximal
L(x, y, z, λ) = m ln x + n ln y + p ln z + λ(x + y + z − a)
p
n
Lx = m
x + λ; Ly = y + λ; Lz = z + λ
p
n
x = −m
λ ; y = −λ; z = −λ
ma
Lλ = x + y + z − a = 0 ⇒ m+n+p
= −a ⇒ λ = − m+n+p
⇒ x0 = m+n+p
; y0 =
λ
a
pa
na
m+n+p ; z0 = m+n+p
Diese einzige kritische Stelle muss gesuchtes Maximumstelle sein.
fx
y 0 = − ∂x
∂y = − fy ⇒ fx = −λϕx ; fy = −λϕy
64
7. Gewöhnliche Differenzialgleichungen
Differenzialgleichung Eine Differenzialgleichung ist eine Bestimmungsgleichung für eine
Funktion f von einer (oder mehreren) Veränderlichen. Sie enthält außer der (den)
unabhängigen Veränderlichen auch die Funktion f und deren (partielle) Ableitungen. Ist die gesuchte Funktion von mehreren Veränderlichen abhängig, so spricht
man von partiellen Differenzialgleichungen, die hier nicht behandelt werden.
Mathematisches Modell für viele Probleme: Differenzialgleichungen, unwesentliche Faktoren vernachlässigen, um Modell nicht zu kompliziert werden zu lassen.
Stets überprüfen, ob Vernachlässigungen gerechtfertigt sind.
⇒ Aufstellen und Lösen von Differenzialgleichungen
• siehe Foliensatz 7.1 (Anhang)
7.1. Grundbegriffe, Einteilung, Lösung
Mechanische Schwingsysteme mẍ + rẋ + kx = K
Definition Eine Differenzialgleichung n−ter Ordnung für eine Funktion y = y(x) hat die
Form F (x, y, y 0 , . . . , y (n) ) = 0 (1) (implizite Form) Ist (1) nach y (n) auflösbar, d.h.
y (n) = f (x, y, y 0 , . . . , y (n−1) ) (2) (explizite Form) y(x) heißt Lösung von (1) bzw.
(2), falls
1. y ist in ihrem Definitionsbereich V n−mal differenzierbar und
2. beim Einsetzen von y, y 0 , . . . , y (n) in (1) bzw. (2) diesen Gleichungen für alle
x ∈ V erfüllt sind.
Satz (Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen) (für Differenzialgleichungen 1. Ordnung y 0 = f (x, y)) Falls f (x, y) ist in einem Bereich B der (x, y)-Ebene stetig ist,
dann geht durch jeden Punkt (x0 , y0 ) von B wenigstens eine Lösungskurve y(x)
der Differenzialgleichung y 0 = f (x, y).
Existiert darüberhinaus fy in B und ist dort stetig, so geht durch jeden Punkt
(x0 , y0 ) ∈ B genau eine Lösungskurve, d.h. die Eindeutigkeit der Lösung der Anfangswertaufgabe (AWA): y 0 = f (x, y); y(x0 ) = y0 ist gesichert.
65
7. Gewöhnliche Differenzialgleichungen
7.2. Differenzialgleichungen 1. Ordnung
7.2.1. Elementare Lösungsmethoden
Trennung der Veränderlichen
Beispiel 1 y 0 = − xy , y 6= 0
R
R
2
2
dy
= − xy ⇒ ydy = − xdx ⇒ y2 = − x2 + C1 ⇒ y 2 = −x2 + C, C > x2 ⇒ |y| =
dx
√
√
C − x2 ⇒ y = ± C − x2 , C > x2
Differenzialgleichungen der Form y 0 = g(x) · h(y)(∗) heißen Differenzialgleichungen mit
trennbaren Veränderlichen
Lösungsschema:
1. Man schreibe (*) in der Form
dy
h(y)
= y(x)dx
2. Man integriere beide Seiten
3. Man löse entstehende Gleichung nach y auflösbar
4. Gilt h(y0 ) = 0, so ist die Funktion y ≡ y0 eine Lösung von (*).
Beispiel 2 (Anfangswertaufgabe) y 0 =
1.
dy
√
y
√
y, y ≥ 0, y(1) = 4
= dx
√
2. 2 y = x + C, x > −C
3. y = 14 (x + C)2 , C > −x Mit y(1) = 4 ⇒ 4 = 41 (1 + C)2 ⇒ C 2 + 2C − 15 = 0 ⇒
C1,2 = −1 + −4 ⇒ C1 = 3; C2 = −5 (scheidet aus, da −5 >
6 −1 ⇒ Eindeutige
Lösung der Anfangswertaufgabe y = 14 (x + 3)2 , x > −3
4. y ≡ 0 ist Lösung der Differenzialgleichung, aber nicht der Anfangswertaufgabe.
Ähnlichkeitsdifferenzialgleichungen
Differenzialgleichungen der Form y 0 = f ( xy ) heißen Ähnlichkeitsdifferenzialgleichungen.
Sie lassen sich auf Differenzialgleichungen mit trennbaren Veränderlichen zurückführen:
Substitution z = xy oder y = xz ⇒ y 0 = z + xz 0 , Differenzialgleichung z + xz 0 = f (z)
, diese Dgl. für z lässt sich durch „Trennung der Veränderlichen“ lösen.
z 0 = f (z)−z
x
66
7.2. Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Radioaktiver Zerfall m(t) . . . radioaktive Masse zum Zeitpunkt t; h „kleiner“ Zeitabschnitt
Erfahrung ⇒ m(t + h) − m(t) ∼ m(t)h, m(t + h) − m(t) = −km(t)h, k > 0
⇒ m(t+h)−m(t)
= −km(t) mit h → 0 m0 (t) = −km(t)[m0 = −km]
h
⇒ Trennung der Variablen: m(t) = Ce−kt (∗)|Ce−kt0 = m0 ⇒ C = m0 ekt0 (∗∗)
Anfangsbedingung: m(t0 ) = m0 mit (∗) und (∗∗) m(t) = m0 ekt0 e−kt = m0 e−k(t−t0 )
(Lösung der Anfangswertaufgabe)
Trennung der VerÄhnlichkeitsdifferenzialgleichungen y 0 = f ( xy ); z := xy , z 0 = f (z)−z
x
dz
änderlichen f (z)−z
= dx
x
2
x2 +xy+y 2
= 1 + xy + xy 2 =: f ( xy ), (x 6= 0)
x2
2
= 1+z
Substitution z = xy : z 0 = f (z)−z
x
x
R dz
R dx
TdV: 1+z 2 = x
Integration: arctan z = ln |x| + C1 = ln |x| + ln C = ln(C|x|), C
Beispiel 3: y 0 =
Lösung der DGL: y = xz = x tan(ln(C|x|)), x 6= 0, C > 0
> 0, C1 ∈ R
Bemerkung: Alle 3 Beispiele nichtlineare Differenzialgleichungen (1. Ordnung): Hier
hauptsächlich lineare DGL n-ter Ordnung
7.2.2. lineare Differenzialgleichungen
Eine Differenzialgleichung der Form y 0 + g(x)y = h(x) heißt lineare Differenzialgleichung.
h(x) heißt Störfunktion. Ist h(x) ≡ 0, so heißt die Dgl. homogen, andernfalls inhomogen.
(Siehe auch Lineare Gleichungssysteme!)
Homogene (lineare) Differenzialgleichungssysteme y 0 + g(x)y = 0, d.h. eine homogen
Differenzialgleichung
ist eine Differenzialgleichung
mit trennbaren
Veränderlichen.
R
R
R
R dy
C1 e− g(x)dx ⇒
=
−
g(x)dx
⇒
ln
|y|
=
−
g(x)dx
+
C
⇒
|y|
=
e
1
y
yh (x) = Ce−
R
g(x)dx
,C ∈ R
Inhomogene lineare DGL: y 0 + g(x)y = h(x): Methode „Variation der Konstanten“:
• Man bestimmt zunächst die Rallgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Dgl.
y 0 + g(x)y = 0, yh (x) = Ce− g(x)dx , C ∈ R
• Man fasst C als Funktion von xR auf (Variation der Konstanten) und versucht, diese
so zu bestimmen,
dass C(x)e− g(x)dx
die inhomogene Dgl löst:
R
R
0
0
−
g(x)dx
y = C (x)e
− C(x)g(x)e− g(x)dx
• Einsetzen
R in die inhomoge DglR liefert:
R
− g(x)dx + C(x)g(x)e− g(x)dx = h(x) ⇒
C 0 (x)e− g(x)dx −
R C(x)g(x)e
h(x) = C 0 (x)eR− g(x)dx
C 0 (x) = h(x)e g(x)dx
67
7. Gewöhnliche Differenzialgleichungen
R
R
C(x) = h(x)e g(x)dx dx
Damit enhält
man eineR spezielle (partikuläre) Lösung yp der inhomogenen Dgl.
R
R
yp = e− g(x)dx h(x)e g(x)dx dx
• Für die allgemeine Lösung y der inhomogenen Differenzialgleichung gilt dann:
y = yh + yp
Beweis:
– L[y] := y 0 + g(x)y ⇒ L[yh ] = 0 und L[yp ] = h(x) ⇒ L[y] = L[yh + yp ] =
L[yh ] + L[yp ] = 0 + h(x) = h(x)
– Sei ỹ beliebige Lösung der inhomogenen Dgl., d.h. L[ỹ] = h(x) ⇒ L[ỹ − yp ] =
L[ỹ] − L[yp ] = 0, d.h. ỹ − yp ist Lösung der homogenen Dgl. ⇒ ỹ = yh + yp ⇒
durch y = yh + yp werden alle Lösungen der inhomgenen Differenzialgleichung
erfasst.
Beispiel: elektrischer Reihenschwingkreis (siehe auch Foliensatz 7.1) mit L = 0 und
U = U0 = const.
U0
1
U̇ + RC
U = RC
−
1
U
• U̇ + RC
U = 0; dU
dt + RC = 0; yh = Ke
Lösung der homogenen Dgl.
R
dt
RC
t
= Ke− RC , K ∈ R ist allgemeine
• Partikuläre Lösung
Dgl.
R t der inhomogenen
t
t
t
U0
U
− RC
−
0
yp = e
e RC dt = e RC RC RCe RC = U0 (hätte man erraten können)
RC
t
Variation der Konstanten: Up = K(t)e− RC Einsetzen in Differenzialgleichung
t
t
t
U0
1 − RC
1
K̇e− RC − K RC
e
+ RC
Ke− RC = RC
t
U0 RC
RC e
t
⇒ K = U0 e RC + K
1
t
− RC
U (t) = U0 + Ke
,K ∈ R
Anfangswertaufgabe: U (0) = 0 ⇒ 0 = U0 + K ⇒ K = −U0
t
U (t) = U0 (1 − e− RC )
K̇ =
Bernoulische Differenzialgleichung
Eine Differenzialgleichung der Form y 0 = g(x)y + r(x)y α , α ∈ R heißt Bernoulische Differenzialgleichung.
• α = 0: inhomogene Differenzialgleichung
• α = 1: homogene Differenzialgleichung
• sonst: Übung
68
7.3. Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
7.3. Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Definition an (x)y (n) + . . . + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = a(x) heißt lineare Differenzialgleichung
n−ter Ordnung. a(x) heißt Störfunktion. Ist a(x) = 0, so heißt Differenzialgleichung
n
P
homogen, andernfalls inhomogen. L[y] :=
ai (x)y (i) lineare Differenzialoperator
i=0
(y (0) = y)
• Es gilt (Linearität von L): L[y1 + y2 ] = L[y1 ] + L[y2 ]
L[cy] = cL[y]
Satz Die allgemeine Lösung y der Differenzialgleichung (1) ist gleich der Summe einer
partikulären Lösung yp der inhomogen Differenzialgleichung und der allgemeine
Lösung der zugehörigen homogenen Differenzialgleichung L[y] = 0 y = yp + yh
7.3.1. Lösungsstruktur homogene Differenzialgleichung
Satz Die Lösungen der homogenen Differenzialgleichung bilden einen Vektorraum, d.h.
mit je zwei Lösungen y1 , y2 ist auch jede Linearkombination C1 y1 + C2 y2 (C1 , C2 ∈
R) Lösung.
Das Lösungsgebilde einer homogenen Differenzialgleichung n−ter Ordnung ist ein Vektorraum der Dimension n.
• f1 (x), . . . , fn (x) heißen linear unabhängig, wenn sich die Nullfunktion nur trivial
darstellen lässt, d.h. c1 f1 (x) + . . . + cn fn (x) ≡ 0 ⇒ c1 = . . . = cn = 0
Satz Sind f1 , . . . , fn (n − 1)−mal
differenzierbar und ist die Wronskische Determinate
f1 (x)
...
fn (x) 0
f1 (x)
...
fn0 (x) ..
..
..
.
.
.
(n−1)
(n−1)
f
(x)
.
.
.
f
(x)
n
1
an einer Stelle x0 (und damit überall) ungleich 0, so sind f1 , . . . fn linear unabhängig. Umkehrung gilt, falls f1 , . . . , fn Lösungen einer homogenen Differenzialgleichung.
Beispiel: f1
1
W (x) = 0
0
= 1, f2 = x, f3 = x2
x x2 1 2x = 2 6= 0 ⇒ 1, x, x2 linear unabhängig
0 2
69
7. Gewöhnliche Differenzialgleichungen
Beweis: Sei c1 f1 + . . . + cn fn = 0, (n − 1)-maliges Differenzieren liefert homogenes
quadratisches lineares Gleichungssystem für ci :
c1 f1 + . . . + cn fn = 0
..
.
(n−1)
(n−1)
c1 f1
+ . . . + cn fn
= 0 Dieses Gleichungssystem hat genau dann nicht triviale
Lösungen, wenn Koeffizientendeterminate (=Wronskische Determinante) verschwindet.
• Im allgemeinen ist das Herstellen einer Basis (Fundamentalsystem) durch elementare Funktionen nicht möglich, deshalb Beschränkung auf Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
7.3.2. Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Vorgelegt sei die Differenzialgleichung an y (n) + . . . + a1 y (1) + a0 y = a(x), ai ∈ R
• Ermittlung der allgemeinen Lösung der homogenen Differenzialgleichung:
n
P
(i)
ai yn = 0
(i=0)
Lösungsansatz: yh = eλx Einsetzen in die Differenzialgleichung und anschließende
Division durch eλx liefert die charakteristische Gleichung an λn + . . . + a1 λ + a0 = 0
Diese Gleichung hat n Lösungen, reell oder konjugiert komplex.
1. Alle Lösungen λ der charakteristischen Gleichung sind reell und paarweise verschieden: λ1 , . . . , λn . Dann lautet die allgemeine Lösung der homogenen Differenzialgleichung yh = c1 eλ1 x + . . . + cn eλn x . (Mit der Wronskische Determinate kann
nachgerechnet werden, dass die eλi x eine Fundamentalsystem bilden)
Beispiel y 000 + 2y 00 − y 0 − 2y = 0 charakteristische Gleichung λ3 + 2λ2 − λ − 2 = 0
(Hornerschema; In Frage kommen Teiler des absoluten Gliedes) λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = −2
sind Lösungen
yh = c1 ex + c2 e−x + c3 e−2x
2. Die charakteristische Gleichung hat nur reelle Nullstellen, die aber nicht alle verschieden sind. Hat λ die Vielfachheit l, so hat die Differenzialgleichung die linear
unabhängigen Lösungen eλx , xeλx , . . . , xl−1 eλx .
x
e
1
xex x 2x
Für λ = 1 und l = 2: x x
=e = e2x 6= 0
e e + xex 1 1 + x
Beispiel 2
„sinnvolles“
1
-1
1
70
y 000 − 3y 0 − 2y = 0 ⇒ charakteristische Gleichung λ3 − 3λ − 2 = 0
Probieren: λ1 = −1; λ2 − λ − 2 = 0 ⇒ λ2 = −1; λ3 = 2
0 -3 -2
-1 1
2
-1 -2 0
7.3. Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
Fundamentalsystem: e−x , xe−x , e2x
allgemeine Lösung: yh = C1 e−x + C2 xe−x + C3 e2x ; Ci ∈ R
3. Die charakteristische Gleichung hat nicht nur reelle Lösungen. Sind alle Koeffizienten ai der Differenzialgleichung (und damit der charakteristischen Gleichung) reell,
so ist mit jeder nichtreellen Lösung λ der charakteristischen Gleichung auch die
konjugiert komplexe λ Lösung der charakteristischen Gleichung (mit gleicher Vielfachheit!). Basis des Lösungsraumes ergibt sich wie bisher, ist aber (leider) nicht
reell.
Übergang zur reellen Basis:
Mit λ = α + βi ist auch λ = α − βi Lösung der charakteristischen Gleichung, d.h. zu
jedem Basiselement xµ e(α+βi)x gibt es das weitere Basiselement xµ e(α−βi)x
„Halbe Summe“ und 1i mal „halbe Differenz“ sind wieder Lösungen der Differenzialgleichung, sie sind reell und linear unabhängig.
•
1 µ (α+βi)x
+ xµ e(α−βi)x ) = 21 xµ eαx (eβix + e−βix ) = xµ eαx cos (βx)
2 (x e
NR: eiφ + e−iφ = cos φ + i sin φ + cos −φ + i sin −φ = 2 cos φ
eiφ − e−iφ = cos φ + i sin φ − cos −φ − i sin −φ = 2i sin φ
•
1
µ (α+βi)x
2i (x e
− xµ e(α−βi)x ) = . . . = xµ eαx sin (βx)
• Die nicht reellen Basiselemente xµ e(α+βi)x und xµ e(α−βi)x werden durch die reellen
Basiselemente xµ eαx cos (βx) und xµ eαx sin (βx) ersetzt.
Beispiel 3 y 00 + 4y 0 + 13y = 0 ⇒ λ2 + 4λ + 13 = 0 ⇒ λ1/2 = −2 ± 3i
allgemeine Lösung (komplex): yh = C1 e(−2+3i)x + C2 e(−2−3i)x
Übergang zur reellen Basis:
allgemeine Lösung (reell): yh = C1 e−2x cos (3x) + C2 e−2x sin (3x)
• Ermittlung einer partikulären Lösung yp der inhomogenen Differenzialgleichung
n
P
ai y (i) = a(x)
i=0
– Variation der Konstanten: allgemein, aufwändig - wird hier nicht behandelt.
– Ansatzmethode:
∗ a(x) = (b0 + b1 x + . . . + bm xm )eqx ⇒
∗ Ansatz: yp = (B0 + B1 x + . . . + Bm xm )eqx xl , wobei l die Vielfachheit von
q als Lösung der charakteristischen Gleichung ist, führt zu einer partikulären Lösung.
∗ Ansatz in Dgl einsetzen
∗ Division durch eqx
∗ Koeffizientenvergleich
71
7. Gewöhnliche Differenzialgleichungen
Beispiel 4 y 00 + 4y 0 + 13y = 54xex ⇒ λ1/2 = −2 ± 3i 6= 1 = q, d.h. l = 0
Ansatz: yp = (B0 + B1 x)ex · x0 | ∗ 13
yp0 = B1 ex + (B0 + B1 x)ex = (B0 + B1 + B1 x)ex | ∗ 4
yp00 = B1 ex + (B0 + B1 + B1 x)ex = (B0 + 2B1 + B1 x)ex | ∗ 1
Einsetzen und Dividieren durch ex
18B0 + 6B1 + 18B1 x = 54x
18B0 + 6B1 = 0
18B1 = 54
B1 = 3; B0 = −1
yp = (3x − 1)ex
y = yp + yh = (3x − 1)ex + e−2x (C1 cos (3x) + C2 sin (3x))
Beispiel 5 y 000 − 2y 00 + y 0 = (2 + 3x2 )e0x
λ1 = 0, λ2 = λ3 = 1; yh = C1 + C2 ex + C3 xex
Ansatz: yp = (B0 +B1 x+B2 x2 )e0x x1 (q = 0 ist 1-fache Nullstelle der charakteristischen
Gleichung)
• Ableiten, Einsetzen in Dgl. Koeffizientenvergleich: yp = 20x+6x2 +x3 ⇒ y = yp +yh
• a(x) = b(x)eqx cos (ωx) + C(x)eqx sin (ωx) mit q, ω ∈ R; b(x), c(x) ∈ R[x]
Ansatz: yp = (B(x)eqx cos (ωx) + C(x)eqx sin (ωx))xl mit B(x), C(x) ∈ R[x]
grad B(x) = grad C(x) = max (grad b(x), grad c(x)) und l ist die Vielfachheit von
q + iω als Lösung der charakteristischen Gleichung.
• Ist Störfunktion a(x) eine Summe obiger Funktionen, so dient als Ansatz für yp die
entsprechende Summe.
Beispiel y 00 + y = x2 + cos x, d.h. q = 0, ω = 1
λ2 + 1 = 0 ⇒ λ1,2 = ±i ⇒ yh = C1 cos x + C2 sin x
Ansatz für yp :
yp = B0 + B1 x + B2 x2 + (A cos x + B sin x)x1 , da i = 0 + 1i = q + ωi 1-fache Nullstelle
der charakteristischen Gleichung
yp0 = B1 + 2B2 x + (−A sin x + B cos x)x + A cos x + B sin x
00
yp = 2B2 + (−A cos x − B sin x)x − 2A sin x + 2B cos x
yp00 + yp = x2 + cos x
x2 : B2 = 1
x1 : B1 = 0
x0 : B0 + 2B2 = 0 ⇒ B0 = −2
cos x : 2B = 1
sin x : −2A = 0
yp = −2 + x2 + 12 x sin x
y = yp + yh
72
7.3. Lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
7.3.3. Lineare Differenzialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten
Lineares Differenzialgleichungssystem 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten y 0 =
 0


 


y1
a11 . . . a1m
y1
a1 (x)
 

..
..  ; y =  ..  ; a =  .. 
Ay + a(x) mit y 0 =  ...  ; A =  ...
 . 
 . 
.
. 
0
ym
am1 . . . amn
ym
am (x)
Für m = 2:
y10 = a11 y1 + a12 y2
y20 = a21 y1 + a22 y2
a(x) = 0 ⇒ homogen; sonst inhomogen
• Die allgemeine Lösung eines homogenen Systems ist Vektorraum der Dimension m
y = yh + yp
• Zusammenhang mit linearer Differenzialgleichung m−ter Ordnung: siehe Übung 4
Lösung des homogenen Systems: y 0 = Ay; y h = eλx v; v konstanter Vektorraum
v = eλx
Einsetzen ⇒ λ
eλx
Av
⇒ Eigenwertproblem (A − λE)v = 0 homogenes lineares Gleichungssystem für v mit
quadratischer Koeffizientenmatrix A − λE
x
2 8
ẋ
=
Beispiel 1
y
3 −8
ẏ
x
= eλt v
Ansatz:
y
2 − λ
8 Eigenwerte = λ2 + 6λ − 40 = 0 ⇒ λ1 = 4, λ2 = −10
3
−8 − λ
v11
−2
8
Eigenvektoren: λ1 = 4 :
=0
3 −12
v12
v21
12 8
=0
λ2 = −10 :
3 2
v22
- Lösen ohne ATV
−2v11 + 8v12 = 0 ⇒ v11 = 4v12 ⇒ v 1 = 4 1 v 2 = −2 3
x
4 4t
−2 −10t
= C1
e + C2
e
y
1
3
Beispiel 2
0 y1
−5 3
y1
=
y20
−15 7
y2
1
1
Eigenwerte: λ1 = 1 + 3i, λ2 = 1 − 3i v 1 =
, v2 =
2+i
2−i
y1
1
1
= K1
e(1+3)i x + K2
e(1−3)i x
y2
2+i
2−i
Übergang zur reellen Basis:
73
7. Gewöhnliche Differenzialgleichungen
y1
cos (3x)
sin (3x)
x
x
= C1 e
+ C2 e
y2
2 cos (3x) − sin (3x)
2 sin (3x) + cos (3x)
3ix
NR: <((2 + i)e = <((2 + i)(cos (3x) + i sin (3x)) = 2 cos (3x) − sin (3x)
=((2 + i)e3ix = =((2 + i)(cos (3x) + i sin (3x)) = 2 sin (3x) + cos (3x)
• Ist γ(λ) < α(λ), so Ansatzerweiterung erforderlich: wird nicht behandelt
• Ansätze für inhomogene Systeme: wird nicht behandelt
7.4. Potenzreihenansätze
y 0 = y 2 + x2 ; y(0) = 0
• Taylorentwicklung für y an der Entwicklungsstelle x0 = 0 : y = y(0) + y 0 (0)x +
1 00
1 000
2 y (0) + 6 y (0) + . . .
y(0) = 0 (AB)
y 0 (0) = 0 aus Dgl.
y 00 = 2yy 0 + 2x ⇒ y 00 (0) = 0; y 000 (0) = 2; y (4) = y (5) = y(6) = 0; y (7) = 80
1 3
1 7
7
y(x) = 31 x3 + 80
7! x + . . . = 3 x + 63 x
• y=
∞
P
ak xk einsetzen in Dgl.; Koeffizientenvergleich
k=0
• wdh. Differenz der Dgl. unter Benutzung von ak =
74
1 (k)
(0)
k! y
(„Tayloransatz“)
8. Numerische Methoden
Aufgabe der numerischen Mathematik:
• Bereitstellung von Rechenvorschriften (Algorithmen) unter Beachtung der zur Verfügung stehenden Hilfsmittel
• Eingangsdaten (Meßwerte) fehlerbehaftet: Fehlerrechnung
• Oft existiert kein Verfahren zur exakten Bestimmung des Ergebnisses, oder solche
Verfahren sind zu kompliziert. (z.B. Nullstellenberechnung von Polynomen ≥ 5.
Grades.)
• „Aufschaukeln“ von Rundungsfehlern ⇒ Stabilität eines Verfahrens
8.1. Näherungsweises Lösen von Gleichungen
Geg.: reelle Funktion f (x); Ges.: L = {x ∈ R|f (x) = 0}
Wenn zur Bestimung von L keine „exakten“ Verfahren existieren oder diese zu kompliziert sind: Näherungsverfahren:
Strategie:
1. Ermittlung grober Näherungswerte durch graphische Verfahren
2. Verbesserung dieser Näherungswerte durch iterative Verfahren
8.1.1. Graphische Ermittlung grober Näherungswerte
a) Nullstellenverfahren: Wertetabelle für y = f (x); Zeichnung dieser Kurve; Ablesen
von Näherungswerten von Nullstellen von f (x).
b) Schnittstellenverfahren: Umformung von f (x) = 0 in g(x) = h(x) (nicht eindeutig)
Ziel: g und h möglichst „einfach“, Zeichnen der Kurven zu g und h; Ablesen der
Schnittstellen
8.1.2. Iterative Verfahren
Geg: f (x); Ges: x ∈ R mit f (x) = 0
• Annahme: f (x) = 0 kann (i.a. auf verschiedene Weise) in Iterationsform x = g(x)
gebracht werden, d.h. Nullstellen von f sind die Fixpunkte von g
75
8. Numerische Methoden
xn
ξ
x
Abbildung 8.1.: Iterative Verfahren
• Näherungslösung x0 von f (x) = 0 sei bekannt (z.B. graphisch ermittelt)
Wir konstruieren Folge (xn ) nach der Iterationsvorschrift
xn+1 = g(xn ); n = 0, 1, 2, . . . (*)
(*) brauchbar, wenn lim xn = x.
Ist xn+1 besserer Näherungswert für x als xn ?
xn−1 −x = g(xn )−g(x) = g(xxnn)−g(x)
(xn −x) = g 0 (ξ)(xn −x) für gewisses ξ ∈ (xn , x)
−x
Konvergenzkriterium für (x) Ist in einer Umgebung U eines Fixpunktes x von g, die
alle xn enthält, die Bedingung |g 0 (x)| < 1 erfüllt, so konvergiert die Folge (xn ) gemäß (*)
(x0 ∈ U ) gegen x.
Ist außerdem g 0 (x) > 0, so konvergiert (xn ) monoten gegen x
Ist außerdem g 0 (x) < 0, so konvergiert (xn ) oszillierend gegen x
Beispiel f (x) = x3 − 5x + 1
1.
x
f (x)
-3
-11
-2
3
-1
5
0
1
1
-3
2
-1
3
13
Näherungswerte für Nullstellen: −2, 4; 0, 2; 2, 1
Umformung |{z}
x3 = |5x{z
− 1} Näherungswerte für Nullstellen: −2, 4; 0, 2; 2, 1
g(x)
h(x)
2. 1. Iterationsform: x = 51 (x3 + 1) =: g1 (x)
g10 (x) = 53 x2 ; g10 (−2, 4) = 3, 46, g10 (0, 2) = 0, 024 „gute“ Konvergenz , g10 (2, 1) = 2, 65
2. Iterationsform x =
genz
1
5−x2
= g2 (x) „gute“ Konvergenz für x0 = 0, 2; sonst Diver-
q
q
3. Iterationsform x = + 5 − x1 = g31 (x); x = − 5 −
0 (x) einen Pol.
Für x0 = 0, 2 hat g31
„gute Konvergenz“ für x0 = −2, 4 und x0 = 2, 1.
* Weitere Iterationsformen ?
76
1
x
= g32 (x)
8.1. Näherungsweises Lösen von Gleichungen
Folie 8.1
Konvergenz von Iterationsverfahren
Iterationsvorschrift: x0 gegeben, xn+1 = g(xn ) mit n ∈ N
Fixpunkt x: g(x) = x
monotone Konvergenz (0 < g (x) < 1)
y
y=x
y = g(x)
x1 x2 x
x0
x
oszillierende Konvergenz (−1 < g (x) < 0)
y
y=x
y = g(x)
x2 x x1
x0
x
Divergenz (|g (x)| ≥ 1)
y = g(x)
y=x
y
x x0 x1 x2 . . .
x
g(x)
20
h(x)
10
f (x)
3
2
1
1
2
3
10
20
77
8. Numerische Methoden
y
x1
x
x
x0
Abbildung 8.2.: Newtonverfahren
8.1.3. Newton-Verfahren
• Entwickelt von Sir Isaac Newton1
f (x) = 0 → x = g(x) := x −
xo Näherung für f (x) = 0
f (x)
f 0 (x) ; xn+1
= xn −
f (xn )
f 0 (xn )
• Taylorpolynom 1. Ordnung (= Tangente an y = f (x) bei x0 ): T1 (x1 ) = f (x0 ) +
0)
f 0 (x0 )(x1 − x0 ) = 0 ⇒ f 0 (x0 )x1 = f 0 (x0 )x0 − f (x0 ) ⇒ x1 = x0 − ff0(x
(x0 )
00
(x)f (x)
• konvergiert für: | f(f
0 (x))2 | < 1
|g 0 (x)| = |1 −
f 0 (x)f 0 (x)−f (x)f 00 (x)
|
(f 0 (x))2
= |1 − 1 +
f (x)f 00 (x)
|
(f 0 (x))2
<1
Quadratwurzeliteration f (x) = x2 − a; a > 0
x2 = a ⇒ x = xa ⇒ 2x = x + xa ⇒ x = 21 (x + xa )
xn+1 = 12 xn + xan
g(x) = 12 (x + xa )
g 0 (x) = 12 (1 −
a
);
x2
|1 −
a
|
x2
< 2 ⇒ −1 <
a
x2
<3⇒
a
x2
< 3 ⇒ x2 >
a
3
2
I.V. 1 a
4(3
Es reicht x20 > a3 ; denn (vollständige Induktion x2n+1 = 41 (x2n + 2a + xa2 ) >
7
etwas positives) = 12
a > a3
a = 2; x0 = 1; x1 = 23 ; x2 = 12 ( 32
1
78
n
+ 45 ) =
17
12
+ 2a +
= 1, 416; X3 = 1, 4142...
Sir Isaac Newton (1642 - 1727) englischer Physiker, Mathematiker, Astronom, Alchemist,
Philosoph und Verwaltungsbeamter.
8.2. Interpolation
8.2. Interpolation
Problem: Geg: n + 1 Stützpunkte (
xk
|{z}
,
yk ), k = 0, 1, . . . , n Ges: Funktion
|{z}
Stützstellen Stützwerte
F (x) (einer bestimmten Funktionsklasse) mit F (xk ) = yk ; k = 0, 1, . . . n
n
P
ai ϕi (x)
Oft F (x) als LK aus „Basisfunktion“ dargestellt: F (x) =
| {z }
i=0
Basisfunktion
Hier Beschränkung auf Klasse P der Polynome
Basisfunktionen (z.B.): 1, x, x2 , . . . , xn , d.h. P (x) =
n
P
ai xi
i=0
Aus den n + 1 Interpolationsbedingungen P (xk ) = yk werden die n + 1 Koeffizienten
ak bestimmt.
Verwendung spezieller Basisfunktionen für die Klasse der Polynome bringt Rechenvorteile
8.2.1. Methode von Newton
• Basisfunktionen für P : Ni (x) = (x − x0 ) · . . . · (x − xi−1 ); N0 (x) = 1
Newtonsche Polynome: N0 (x) = 1; N1 (x) = x − x0 ; N2 (x) = (x − x0 )(x − x1 )
n
P
Ansatz: P (x) =
ci Ni (x); Bestimmung der Koeffizienten ci , so dass P (xk ) = yk
i=0
erfüllt sind
P (x) = c0 + c1 (x − x0 ) + c2 (x − x0 )(x − x1 ) + . . . + cn (x − x0 ) · . . . · (x − xn−1 ) heißt
Newtonsches Interpolationspolynom
• Interpolationsbedingungen liefern folgendes LGS:
P (x0 ) = c0 = y0
P (x1 ) = c0 + c1 (x1 − x0 ) = y1
P (x2 ) = c0 + c1 (x2 − x0 ) + c2 (x2 − x0 )(x2 − x1 ) = y2
..
.
Dieses LGS für die ci ist gestaffelt
Lösung c0 = y0
−y0
c1 = xy11 −x
=: [x1 , x0 ]
0
c2 =
y2 −y0 −c1 (x2 −x0 )
(x2 −x0 )(x2 −x1 )
= ... =
[x2 ,x1 ]−[x1 ,x0 ]
x2 −x0
=: [x2 , x1 , x0 ]
Die bei der Lösung der gestaffelten LGS auftretenden Steigungen sind allgemein
y −y
wie folgt definiert: [xi , xj ] = xii −xjj
[xi , xj , xk ] =
[xi ,xj ]−[xj −xk ]
xi −xk
Schema zur Berechnung der Steigungen (Steigungsspiegel ):
xk 0 1 2 4 3
yk -3 1 2 7 2
79
8. Numerische Methoden
weitere Stützstelle
xk
yk
2
5
2
2
-1
4
-2
3-2=
1
-1
1
-1
4
2
0
-2
1
2
2
-4
-5
1
2
7
-3
1
= c0
= c1
2
-3
5
3
3
-1
3
2
5
2
-4
-1
− 21
− 76
− 56
2
3
− 16
1
6
= c2 =
= c3
= c4
2− 52
−1
1
6
-8
P3 (x) = 2 + 52 (x − 2) + 21 (x − 2)(x − 4)
P4 (x) =P3 (x)+ 16 (x − 2)(x − 4)(x − 1)x
+ 21 (x − 2)(x − 4)(x − 1)
Bermerkungen
1. Reihenfolge der Stützstellen ist beliebig
2. Wird ein weiterer Stützpunkt hinzugenommen, so müssen Koeffizienten nicht neu
berechnet werden
3. Ohne Interpolationspolynom explizit zu kennen, können Funktionswerte für vorgegebene Argumente direkt im Steigungsspiegel berechnet werden. Dazu wird folgender Fakt (o.B.) ausgenutzt:
• Für Polynome n−ten Grades stimmen die Steigungen n-ter Ordnung überein,
während alle höheren Ordnungen verschwinden
4. Berechnung von Ableitungswerten in Steigungsspiegel: Übung
5. Vereinfachen der Rechnung bei äquidistanten Stützstellen; statt Steigungsspiegel
wird das einfacher zu berechnende „Differenzenschema“ aufgestellt: Übung
Zum Beispiel: Nebenrechnung für Funktionswertberechnung an Stelle (-1)
t− 23
−5
t+ 76
−2
=
1
6
⇒ t = − 56 +
= − 16 ⇒ t =
2
6
−
2
3
7
6
= − 61
= − 65
8.2.2. Interpolation durch Splinefunktion
• Interpolationsfehler kann über gesamten Intervall nicht dadurch beliebig klein gemacht werden, indem man die Anzahl der Stützstellen erhöht.
• Mit der Anzahl der Stützstellen wächst der Grad des Polynoms und damit die
Anzahl der Extremstellen (Schwingungen; ggf sehr nachteilig)
80
8.3. Approximation
• Ausweg: Interpolationsaufgabe nicht durch ein Polynom lösen:
– Interpolationsintervall in Teileintervalle zerlegen
– über Teilintervallen Interpolationspolynome von kleinem Grad k verwenden
(Praxis: k = 3, kubische Splines)
– „Glattheit“ der Kurve durch die Forderungen sichern, dass Ableitungen bis zu
einer gewissen Ordnung (Praxis bis 2. Ordnung) stetig sind.
Aus Bronstein... (19.7)
1. S(x) erfüllt die Interpolationsbedingung S(xi ) = fi (i = 1, 2, ..., N )
2. S(x) ist in jedem Teilintervall [xi , xi+1 ](i = 1, 2, ..., N − 1) ein Polynom vom Grad
≤3
3. S(x) ist 2mal stetig differenzbierbar im gesamten Approximationsintervall [x1 , xN ]
4. S(x) erfüllt spezielle Randbedingungen:
a) S 00 (xi ) = S 00 (xN ) = 0 (man spricht dann von natürlichen Splines)
8.3. Approximation
Approximation = Verallgemeinerung der Interpolation
Oft erforderlich y = f (x) näherungsweise durch „einfachere Ersatzfunktion“ zu ersetzen. Im Allgemeinen mehr Wertepaare vorhanden als Parameter in Ansatz für Ersatzfunktion fA enthalten, d.h. Interpolationsforderungen nicht für alle Wertepaare erfüllbar
→ Approximationsforderungen? Verschiedene Approximationsforderungen möglich
8.3.1. Diskrete Approximation im Mittel
• Grundlage: Methode der Kleinsten Fehlerquadrate (Gauß)
• Approximation durch Polynome
Gegeben n + 1 Stützpunkte (xk , yk ); k = 0, . . . , n
m
P
Gesucht: F (x) =
aj xj , m < n (m = n bedeutet Interpolation!, dann kann Q = 0
j=0
erreicht werden!)
Dabei sind die aj so zu bestimmen, dass Q(a0 , . . . , am ) :=
n
P
k=0
(F (xk ) − yk )2 → min
• Notwendige Bedingung für Vorliegen eines Extremwertes (Minimum) für Q:
∂Q
∂ai = 0; i = 0, . . . , m
n
n
P
P
∂Q
(F (xk ) − yk ) ∂F∂a(xik ) = 2
(F (xk ) − yk )xik = 0
∂ai = 2
k=0
k=0
81
8. Numerische Methoden
n P
m
P
aj xjk − yk )xik = 0 ⇒
(
k=0 j=0
n
m
P
P
aj
j=0
k=0
xj+i
=
k
n
P
k=0
yk xik ; i = 0, . . . , m
Normalgleichungssystem (NGS): Approximationsbedingung
Beispiel NGS mit m = 2, n = 3 (Polynom 2. Grades „durch“ 4 Stützpunkte)
2
2
2
2
i = 0 : a0 (1 + 1 + P
1 + 1) + a1 (x
P0 +2 x1 +
Px2 + x3 ) + a2 (x0 + x1 + x2 + x3 ) = y0 + y1 + y2 + y3
a0 (n + 1) + a1 xk + a2 xk =
yk
2
2
3
3
i = 1P
: a0 (x0 + xP
1 + x2 + xP
3 ) + a1 (x
P0 + . . . + x3 ) + a2 (x0 + . . . + x3 ) = y0 x0 + . . . + y3 x3
2
3
a0 xkP
+ a1 xkP
+ a2 xkP
=
ykP
xk
i = 2 : a0 x2k + a1 x3k + a2 x4k =
yk x2k
xk -1 −√12 0 √12
1
yk 13 31 3 1
3 3
y = f (x) = 3x
Gesucht: Durch Approximation im Mittel bestimme man quadratisches Ausgleichspolynom: F (x) = a0 + a1 x + a2 x2 (m = 2; n = 4)
a0
a
a
1
P1
P2 2
P
n
+
1
x
x
P
P k2 P k3 P yk
P xk2 P xk3 P xk4 P yk xk2
xk
xk
xk
yk xk
NGS ist LGS mit m + 1 Gleichungen zur Bestimmung der m + 1 Koeffizienten aj ; j =
0, . . . , m
yk
yk xk
yk x2k
x4k
k
xk x2k x3k
1
0
-1
1
1
3
√
1
1
1
1
1
-2
4
16
3 3
2
0
0
0
√1
1
1
1
3
3
2
4
16
4
1
1
1
3
P
0 2,5 0 2,125 6,64273 3,24402 3,91068
5a0 + 2, 5a2 = 6, 64273
2, 5a1 = 3, 24402
2, 5a0 + +2, 125a2 = 3, 91068
mit den Lösungen
a0 = 0, 99179
a1 = 1, 29761
a2 = 0, 67350
für F (x) = a0 + a1 x + a2 x2
Bemerkung:
P j
• Da die Stützstellen xk symmetrisch zum Nullpunkt liegen, ergibt sich
xk = 0,
falls j ungerade und damit die „schachbrettartige“ Besetzung des Gleichungssystems
(2 Teilsysteme)
82
8.3. Approximation
• Betrachtet man beliebige Funktionen als Approximationsfunktionen, ergibt sich
i.a. ein nicht lineares Gleichungssystem. Linearität bleibt erhalten, falls Approximationsfunktion F eine Linearkombination bekannter Funktionen ϕj ist: F (x) =
a0 ϕ0 (x) + . . . + am ϕm (x)
8.3.2. Stetige Approximation im Mittel
Gegeben: Funktion f (x) stetig auf [a, b]
Rb
Naheliegend: Q̃ := a |F (x) − f (x)|dx → min
Statt Rdessen wird der „mittlere quadratische Fehler“ verwendet:
b
Q := a (F (x) − f (x))2 dx → min
• größere Abweichungen werden stärker (durch Quadrieren) berücksichtigt
• Theorie der euklidische Vektorräume (Vektorräume mit Skalarprodukt) kann angewendet werden
⇒ Gesucht: Funktion F (x) auf [a, b] mit F (x) =
Rb
2
a (F (x) − f (x)) dx → min
m
P
aj ϕj (x) mit Q(a0 , . . . , am ) :=
j=0
• Mit Q̃ bzw. Q erhält man unterschiedliche F̃ bzw. F
∂Q
Notwendige Bedingung für Minimum: ∂a
= 0; i = 0, . . . , m
i
m
Rb
Rb
P
NGS:
aj = a ϕj (x) · ϕi (x)dx = a f (x)ϕi (x)dx; i = 0, . . . , m
j=0
• Geometrische Deutung: Die zwischen F (x) und f (x) eingeschlossene Fläche über
[a, b] soll minimalen Inhalt haben
Rb
∂Q
m = 1 : Q(a0 , a1 ) = a (F (x) − f (x))2 dx → min Notwendige Bedingung ∂a
=
0
∂Q
∂a1 = 0
R
R
R
R
R
Q(aR0 , a1 ) = a20 ϕ20 dx + a21 ϕ21 dx + f 2 dx + 2a0 a1 ϕ0 ϕ1 dx − 2a0 ϕ0 f dx −
2a1 ϕ1 f dx
R 2
R
R
R
∂Q
∂a0 = 2a0 ϕ0 dx + 2a1 ϕ0 ϕ1 dx − 2 ϕ0 f dx = 2 (a0 ϕ0 + a1 ϕ1 − f )ϕ0 dx
(a0 ϕ0 + a1 ϕ1 − f )2 = a20 ϕ20 + a1 ϕ21 + f 2 + 2a0 a1 . . .
Vergleich der diskreten und stetigen Approximation
diskret
stetig
(n + 1) Stützpunkte (xk , yk )
auf [a, b] stetige Funktion f (x)
m
P
Approximationsfunktion F (x) =
aj ϕj , m < n mit
Q0 =
n
P
j=0
(F (xk ) − yk )2 → min
k=0
Q0 =
Rb
a (F (xk )
− f (xk ))2 dx → min
Satz NGS = LGS mit (m + 1) Gleichungen für (m + 1) Unbekannte a0 , . . . , am mit
eindeutiger Lösung, falls {ϕ0 , . . . , ϕm } linear unabhängig
83
8. Numerische Methoden
Beweis {ϕ0 , . . . , ϕm } linear unabhängig in C[a, b] und (a0 , . . . , am ) eine Lösung des „hom
m
P
P
mogenen NGS“, d.h.
aj (ϕj , ϕi ) = 0(∗); ϕ(x) :=
aj ϕj (x).
j=0
j=0
Wir betrachten folgende Skalarprodukte: (ϕ, ϕi ) =
ϕi (x)dx =
m
P
(∗)
R
ϕ(x)ϕi (x)dx =
j=0
aj (ϕj , ϕi ) = 0, also (ϕ, ϕi ) = 0 für alle i
j=0
m
P
(ϕ, ϕ) = (ϕ,
aj ϕj (x)) =
m
P
j=0
j=0
m
P
aj (ϕ, ϕj ) = 0 ⇒ ϕ = 0 ⇒ 0 = ϕ =
lineare Unabhängigkeit der ϕj ): a0 = a1 = . . . = am = 0
m
P
j=0
aj
R
ϕj (x) ·
aj ϕj ⇒ (wegen
Folie 8.3
Der Euklidische Vektorraum C[a, b]
• Die Menge C[a, b] aller auf [a, b] stetigen Funktionen bildet bzgl. punktweiser Addition und üblicher Multiplikation
mit reellen Zahlen einen reellen (unendlich-dimensionalen)
Vektorraum.
• In C[a, b] wird
b
durch (f, g) := (f (x) · g(x))dx ein Skalarprodukt,
a
durch f :=
(f, f ) eine Norm und
durch d(f, g) := f − g ein Abstand erklärt.
C[a, b] wird damit zu einem Euklidischen Vektorraum.
• Ein Funktionensystem (ϕi) aus C[a, b] heißt orthogonal
bzw. orthonormiert, wenn
(ϕi, ϕj ) = 0 für i = j und (ϕi, ϕi) = 0 bzw.
(ϕi, ϕj ) = 0 für i = j und (ϕi, ϕi) = 1 gilt.
a0
(ϕ0 , ϕ0 )
(ϕ0 , ϕ1 )
(ϕ0 , ϕ2 )
a1
(ϕ1 , ϕ0 )
(ϕ1 , ϕ1 )
(ϕ1 , ϕ2 )
a2
(ϕ2 , ϕ0 )
(ϕ2 , ϕ1 )
(ϕ2 , ϕ2 )
1
(f, ϕ0 )
(f, ϕ1 )
(f, ϕ2 )
Beispiel: f (x) = 3x soll im Intervall [−1, 1] stetig im Mittel approximiert werden mit
ϕ0 (x) = 1, ϕ1 (x), ϕ2 (x) = x2 und Fs = a0 + a1 x + a2 x2
84
8.3. Approximation
• Das Normalgleichungssystem (NGS) bei stetiger
Approximation im Mittel zur Bestimmung der ai
m
(Approximationsfunktion F (x) =
aj ·ϕj (x)) lautet dann:
j=0
m
j=0
aj · (ϕj , ϕi) = (f, ϕi); i = 0, . . . , m.
• Wesentliche Vereinfachungen für die Berechnung der ai
ergeben sich, wenn die (ϕi) ein orthogonales Funktionensystem bzw. ein orthonormiertes Funktionensystem
(Gram-Schmidt) bilden:
(f, ϕi)
ai =
bzw.
ai = (f, ϕi).
(ϕi, ϕi)
• Beispiele für orthogonale Funktionensysteme sind die
Legendreschen Polynome als Basisfunktionen für die
Klasse der Polynome (Aufgabe 40) und die Funktionen
{1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x), . . .} als Basisfunktionen
für die Klasse der trigonometrischen“ Polynome.
”
a0
a1
a2
1
(1, 1)
(1, x)
(1, x2 )
(3x , 1)
(x, 1)
(x, x)
(x, x2 )
(3x , x)
(x2 , 1) (x2 , x) (x2 , x2 ) (3x , x2 )
R1
⇒ NGS (siehe oben) Berechnen der Skalarprodukte: (1, 1) = −1 1dx = x|1−1 =
R1
x
8
2; (1, x) = ϕ1−1 xdx = 0; (3x , 1) = −1 3x dx = ln3 3 |1−1 = 3 ln
3 ≈ 2, 4273
Werte 0,5
1
3x
1,73
3
Fα (x) 1,81 2,96
F1 (x) 1,78 2,89
T2 (x) 1,70 2,70
Beispiele für orthogonale Funktionssysteme
1. Legendresche Polynome
Im Vektorraum der Polynome bilden die Potenzfunktion
xi ; i = 0, 1, . . . eine Basis,
R1
3
2
aber kein orthogonales Funktionssystem (1, x ) = −1 1 · x2 dx = x3 |1−1 = 23 6= 0
Mit „Gram-Schmidt“ lässt sich aus jedem System linear unabhängiger Vektoren
ein System von orthogonalen Vektoren konstruieren, die den gleichen Vektorraum
erzeugen. ⇒ Legrendsche Polynome: P0 (x) = 1, P1 (x) = x, P2 (x) = 12 (3x2 −1); (n+
1)Pn+1 = (2n + 1)xPn − nPn−1
85
8. Numerische Methoden
Bestapproximation
. . . beudeutet nicht „andere“ Approximation, sondern gemeinsames „Dach“.
siehe auch Folie: 8.4 (Orthogonalprojektion-Bestapproximation)
Folie 8.4
Orthogonalprojektion-Bestapproximation
V = R2
v
v − projW (v)
W = R1
projW (v)
v
w
projW (v)
v−w
V = R3
v − projW (v)
W = R2
Allgemein:
Sei W ein endlich-dimensionaler Unterraum eines Vektorraumes V mit Skalarprodukt (Euklidischer Vektorraum) und
v ∈ V . Dann ist projW (v) die beste“ Näherung von v in W ,
”
d.h. v − projW (v) < v − w für alle projW (v) = w ∈ W .
Sei V Vektorraum mit Skalarprodukt (euklidischer Vektorraum), W ≤ V endlichdimensionaler Unterraum und {w0 , . . . , wm } Orthogonalbasis für W .
W ⊥ := {v ∈ V |(v, w) = 0 für alle w ∈ W } . . . orthogonales Komplement zu W .
Es gilt:
1. W ⊥ ≤ V (W ⊥ ist Unterraum von V )
2. W ∩ W ⊥ = {0}
3. (W ⊥ )⊥ = W
• Für alle v ∈ V existiert eindeutige Darstellung v = w̃ + u mit w̃ ∈ W, u ∈ W ⊥
w̃ heißt Orthogonalprojektion von v auf W ; Bezeichnung: w̃ = projw (v)
86
8.3. Approximation
Ist {w0, w1, . . . , wm} eine orthogonale Basis für W , so gilt:
projW (v) =
(v, w0)
(v, wm)
· w + ... +
·w .
(w0, w0) 0
(wm, wm) m
Stetige Approximation im Mittel:
V = C[a, b]; W = Pm Vektorraum der Polynome höchstens
m-ten Grades (dim Pm = m + 1);
Legendresche Polynome als orthogonale Basis.
Approximation (2π-periodischer Funktionen) durch
trigonometrische Polynome:
V = C[−π, π]; W = Tm Vektorraum der trigonometrischen
Polynome höchstens m-ter Ordnung (dim Tm = 2m + 1);
{ 12 , cos(x), sin(x), . . . , cos(mx), sin(mx)} als orthogonale Basis.
Daraus ergeben sich die Fourierkoeﬃzienten
π
aj = π1 · f (x) · cos(jx)dx; j = 0, 1, . . . , m und
−π
π
bj = π1 · f (x) · sin(jx)dx; j = 1, 2, . . . , m
−π
und damit das trigonometrische Approximationspolynom
m
F (x) = a20 + (aj · cos(jx) + bj · sin(jx)).
j=1
Ist f gerade bzw. ungerade, so sind alle bj = 0 bzw. alle aj = 0.
87
8. Numerische Methoden
Näherungslösungen linearer Gleichungssysteme (LGS),
Diskrete Approximation im Mittel:
Ein LGS Ax = b (m Gleichungen, n Unbekannte) ist genau
dann lösbar, wenn b im Spaltenraum Col(A) von A liegt.
Falls Ax = b nicht lösbar ist, sucht man einen Vektor x̂ ∈ Rn ,
so dass Ax̂ − b minimal wird.
Man erhält alle x̂, indem man b in Col(A) projiziert (b̂ :=projColAb)
und das (lösbare) LGS Ax̂ = b̂ löst:
V = Rm; W =ColA; kanonische Basis als orthogonale Basis.
Eﬀektiver ist folgende Vorgehensweise:
Da b − Ax̂ = b − b̂ orthogonal zu allen Vektoren aus Col(A)
ist, gilt AT (b − Ax̂) = 0, also
AT Ax̂ = AT b (Normalsystem zu Ax = b).
Genau die Lösungen des Normalsystems AT Ax̂ = AT b sind
die Näherungslösungen eines gegebenen (nicht lösbaren) LGS
Ax = b.
Bei der diskreten Approximation im Mittel entsteht das LGS,
indem man die Stützstellen in das Approximationspolynom
einsetzt und gleich den Stützwerten setzt. Dieses LGS ist i.a.
nicht lösbar.
Die Lösungen des zugehörigen Normalsystems sind die Koeﬃzienten für das Approximationspolynom.
88
8.3. Approximation
• projw (v) = w̃ =
Beweis: Sei w̃ =
m
P
i=0
m
P
i=0
(v,wi )
(wi ,wi ) wi
=
m
P
i=0
(v,wi )
w
||wi ||2 i
ai wi ⇒ (w̃, wk ) = ak (wk , wk ) ⇒ ak =
(w̃,wk )
(wk ,wk ) (1)
v = w̃ + u ⇒ (v, wk ) = (w̃, wk ) + (u, wk ) = (w̃, wk )(2)
(1), (2) ⇒ ak =
(v,wk )
(wk ,wk )
Problem: Geg: v ∈ V, W ≤ V
Ges: w̃ ∈ W , sodass w̃ „beste Näherung (Approximation)“ für v ist, d.h. für alle w ∈
W, w 6= w̃ gilt: ||v − w̃|| < ||v − w|| (gdw. ||v − w̃||2 < ||v − w||2 ) (Approximation im
(quadratischen) Mittel)
Behauptung w̃ = projw v (ohne Beweis)
Stetige (und diskrete siehe 8.3.3.1) Approximation im Mittel hätte mit „Bestapproximation“ behandelt werden können: siehe Folie 8.4.2
Anwendung der Bestapproximation auf zwei andere Fälle:
Näherungslösungen für LGS
LGS Ax = b (*) mit A = (a1 , . . . , an ) ∈ Rm×n , x = (x1 , . . . , xn )T , b = (b1 , . . . , bm )T
(*) lösbar und x Lösung von (*) gdw. b = x1 a1 . . . + xn an , d.h. (*) lösbar gdw. b ∈
Col(A) (b Element des Spaltenraums von A)
x Lösung von (*) heißt ||Ax − b|| = 0
Ist (*) nicht lösbar, wird x̃ mit ||Ax̃ − b|| minimal als Näherungslösung gesucht.
Mit „obigen Konzept“ heißt das:
V = Rm , v = b, V ≥ W = Col(A), b̃ = projColA b ⇒ Ax̃ = b̃(∗∗)
(∗∗) ist lösbar. 1. Möglichkeit: b berechnen und dann (∗∗) lösen; besser: 2. Möglichkeit:
siehe Folie 8.4.3
Beispiel:
x1 − x2 = 4
3x1 + 2x2 = 1
−2x1 + 4x2 = 3
RgA = 2, Rg(A|b) = 3 (z.B. mit Determinantenkriterium: det(A|b) 6= 0)
Gesucht: x̃ ∈ R2 , so dass ||Ax̃ − b|| minimal wird
(*) nicht lösbar, d.h. ||Ax
6 0 für alle x ∈ R2
 − b|| =
1 −1
1 3 −2 
14 −3
3
2 =
AT A =
−1 2 4
−3 21
−2 4
 
4
1 3 −2  
1
T
1 =
A b=
−1 2 4
10
3
89
8. Numerische Methoden
14 −3
x̃1
1
=
−3 21
x̃2
10
51
x̃1 = 285
; x̃2 = 143
285 aber:
x̃1 − x̃2 = −0, 3
3x̃1 + 2x̃2 = 1, 5
−2x̃1 + 4x̃2 = 1, 6
Fourierreihen
Periodische Vorgänge spielen in Physik und Technik eine große Rolle. Zur Beschreibung
werden periodische Funktionen benutzt, insbesondere Sinus- und Kosinusfunktionen.
Harmonische Analyse: Darstellung periodischer Funktionen durch Reihen- bzw. „trigonometrische Polynome“ aus Sinus- und Kosinusfunktionen (Fourier2 -Reihen).
• Eine reelle Funktion f mit f (x + p) = f (x) für alle x ∈ R, 0 < p ∈ R, heißt
periodische Funktion mit der Periodenlänge p. („schwarze Tafel“: p; Bronstein: T)
Kreisfrequenz: w = 2π
p
Wir beschäftigen uns o.B.d.A. mit 2π-periodische Funktionen: Hat f Periodenlänge p,
p
so hat g(x) := f (x · 2π
) die Periodenlänge 2π:
p
p
p
g(x + 2π) = f ((x + 2π) 2π
) = f (x 2π
+ p) = f (x 2π
) = g(x)
Wir wollen solche Funktionen durch „trigonometrische Polynome“ approximieren und
dazu das Prinzip der Bestapproximation verwenden:
m
P
F (x) = a0 12 +
(aj cos (jx) + bj sin (jx)) heißt trigonometrisches Polynom der Ordj=1
nung m.
V = C̃[−π, π]; W = Tm . . . VR der trigonometrische Polynome der Ordnung ≤ m
Man kann zeigen: { 12 , cos x, sin x, . . . , cos mx, sin mx} orthogonale Basis für Tm und dim Tm =
2m + 1
Orthogonalitätsrelation der trigonometrischen Funktionen:
(
Rπ
Rπ
0 falls k 6= l
−π sin (kx) sin (lx)dx = −π cos (kx) cos (lx)dx =
π falls k = l
Rπ
Rπ 1
Rπ 1
−π sin (kx) cos (lx)dx = −π 2 sin (kx)dx = −π 2 cos (kx)dx = 0
⇒ Fourierkoeffizienten: aj (j = 0, . . . , m), bj (j = 1, . . . , m)
∞
P
Fourier-Reihe zu f : S(x) = a0 12 +
(aj cos (jx) + bj sin (jx))
j=1
2
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) war ein französischer Mathematiker und
Physiker.
90
8.3. Approximation
• Für jede integrierbare Funktion f kann man formal die Fourier-Reihe zu f bilden.
Für welche Funktion f konvergiert die Fourier-Reihe gegen f ?
Was passiert an den Sprungstellen?
Dirichletsche Bedingungen Eine 2π-periodische Funktion f erfülle folgende Bedingungen:
1. f sei im Intervall [−π, π] stückweise stetig, d.h. f ist in [−π, π] bis auf endlich
viele Unstetigkeitsstellen x0 , für die lim f (x) und lim f (x) existieren,
x→x0 +0
stetig
x→x0 −0
2. Das Intervall (−π, π) lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen
f (x) stetig und monoton ist.
Dann konvergiert die Fourierreihe S(x) von f (x) für alle x mit der Summe S(x) =
1
2 (f (x − 0) + f (x + 0)), wobei f (x ± 0) = lim f (x)
x→x0 ±0
Insbesondere ist also S(x) = f (x) für alle x, an denen f stetig ist.
Beispiele:
1. gerade Rechteckkurve.
R 3π
Rπ
a0 = π1 ( −2 π 2dx − π2 2dx) = π2 (π − π) = 0
2
2
a0 muss oft gesondert berechnet werden!
Rπ
R 3π
3jπ
2
aj = π2 ( −2 π cos (jx)dx − π2 cos (jx)dx) = . . . = jπ
(3 sin jπ
2 − sin 2 )
2
2
j gerade: aj = 0
8
j ungerade: j = 2l − 1 : a2l−1 = . . . = (2l−1)π
(−1)l+1
8
a0 = 0; a1 = π8 ; a2 = 0; a3 = − 3π
alle bj = 0, da f gerade!
Dirichlet-Bedingungen für geg. f ⇒ f (x) ∼ S(x) = 12 (f (x − 0) + f (x + 0))
f (x) im Beispiel gerade.
Ra
Ra
f (x) gerade, d.h. f (x) = f (−x) ⇒ −a f (x)dx = 2 0 f (x)dx
Ra
f (x) ungerade, d.h. f (x) = −f (−x) ⇒ −a f (x)dx = 0
Da cos (jx) gerade und sin (jx) ungerade ist, folgen daraus die Fourierkoeffizienten.
Rπ
aj = π2 R 0 f (x) cos (jx)dx; bj = 0, falls f gerade.
π
bj = π2 0 f (x) sin (jx)dx; aj = 0, falls f ungerade
2. Sägezahnkurve:
91
8. Numerische Methoden
y
a=
2
π
2
x
π
−π
−3π
3π
−2
f (x) = ax für −π < x < π, a > 0 und f (x + 2π) = f (x)
f ungerade,
also aj = 0; j = 0, 1, . . .
R
2a π
j+1 ⇒ f (x) ∼ 2a( sin x − sin 2x + sin 3x − + . . .)
bj = π 0 x sin (jx)dx |{z}
= 2a
j (−1)
1
2
3
a=1:x∼
2( sin1 x
−
part. Int.
sin 2x
sin 3x
2 + 3
− + . . .); x =
π
2
:
π
4
= 1 − 13 + 15 − + (Leibnizreihe)
3. Parabelbögen
y
−π
−3π
x
π
3π
f (x) = x2 für −π < x < π und f (x + 2π) = f (x)
2
x
Man erhält x2 = π3 − 4( cos
− cos222x + cos323x − + . . .)
12
∞
P
2
2
1
Für x = π : π 2 = π3 − 4( −1
− 14 + . . .) ⇒ π6 =
12
k2
k=1
Bemerkung Komplexe Schreibweise von Fourierreihen: erweist sich bei Schwingungsvorgängen in der Technik als sehr brauchbar und ökonomisch.
∞
∞
−∞
∞
P
P
P
P
S(x) =
cj eijx = c0 +
cj eijx +
cj eijx = c0 +
cj (cos jx + i sin jx) +
∞
P
j=1
j=−∞
j=1
j=−1
j=1
c−j (cos(jx) − i sin jx)
= c0 +
∞
P
j=1
((cj + c−j ) cos jx + i(cj − c−j ) sin jx)
Vergleich mit reeller Darstellung der Fourierreihe ergibt: a0 = 2c0 ; aj = cj + c−j ; bj =
a −ib
a +ib
i(cj − c−j )Rbzw. c0 = a20 ; cj = R j 2 j ; c−j = j 2 j R
1
1
cj = 2π
( f (x) cos jxdx − i f (x) sin jxdx) = 2π
f (x)eijx dx
Beispiel einer Funktion, welche die Dirichletbedingung verletzt:
1
2 ≤x≤1:y =x
1
1
3 ≤x≤ 2 :y =1−x
92
8.3. Approximation
1
4
1
5
≤x≤
≤x≤
1
3
1
4
:y=
:y=
1
3
5
6
+x
−x
93
9. Wahrscheinlichkeitstheorie
Einige Stichworte zum Thema:
• Zufall
• zufälliges Ereignis
• Hn (A) . . . Häufigkeit
• hn (A) =
Hn (A)
n
. . . relative Häufigkeit
• Wahrscheinlichkeitstheorie
• Gesetz der großen Zahlen
• Zufallsgröße
• Wahrscheinlichkeitsverteilung
9.1. Zufällige Ereignisse, Ereignisfeld
Zufälliges Ereignis Ein Versuch, der unter Beibehaltung gewisser festgelegter Bedingungen beliebig oft wiederholbar ist und dessen Ausgang im Rahmen gewisser Möglichkeiten ungewiss ist, wird zufälliger Versuch genannt. Die Ergebnisse eines zufälligen
Versuches heißen (zufällige) Ereignisse.
Zufälliger Versuch
Werfen einer Münze
Werfen eines Würfels
Erfassen der Anzahl
der Kunden, die in
Zeiteinheit ein Geschäft aufsuchen
Versuchsausgänge (Ereignisse)
A . . . Zahl liegt oben
B . . . Wappen liegt oben
Ak . . . Augenzahl k wird
geworfen
B . . . Augenzahl ist gerade
C . . . Es wird höchstens eine 2 geworfen
Ak . . . in ZE trafen k Kunden ein
Bk . . . in ZE trafen mindestens k Kunden ein
Mengendarstellung
A = {Z}
B = {W }, Ω = {Z, W }
Ak = {k}
B = {2, 4, 6}
C = {1, 2}; Ω = {1, . . . , 6}
Ak = {k}
Bk = {k, k + 1, . . .}
95
9. Wahrscheinlichkeitstheorie
Folie 9.1
Kombinatorik
Gegeben: n Elemente
Gesucht: Anzahl möglicher Zusammenstellungen von allen Elementen oder einem Teil dieser Elemente
Lösungsweg: Sollen alle n Elemente genau einmal in jeder Zusammenstellung enthalten sein?
ja: Anordnungsprobleme
nein
Permutation
k Elemente werden zusammengestellt
Sind alle n Elemente
verschieden?
Wird die Anordnung der Elemente berücksichtigt?
ja
nein
Permutation
ohne Wiederholung
Permutation
mit Wiederholung
ja: Auswahl- und
Anordnungsprobleme
nein: Auswahlprobleme
Variation von n Elementen
zu je k Elementen
Kombination von n Elementen
zu je k Elementen
Kann jedes der n Elemente nur
einmal in jeder Variation
auftreten?
Kann jedes der n Elemente nur
einmal in jeder Kombination
auftreten?
ja
Variation
ohne
Wiederholung
nein
Variation
mit
Wiederholung
ja
nein
Kombination
ohne
Wiederholung
Kombination
mit
Wiederholung
• Ereignisse werden durch Mengen dargestellt
Spezielle Ereignisse:
– Sicheres Ereignis: Ω: tritt stets ein
– Unmögliches Ereignis: ∅: tritt nie ein
Ω wird als Menge der Elementarereignisse bezeichnet
• Jede Teilmenge A ⊆ Ω heißt Ereignis. A tritt genau dann ein, wenn ein Elementar–
ereignis w ∈ A eintritt.
• Seien A, B ⊆ Ω Ereignisse
– A ⊆ B: A zieht B nach sich
n
∞
T
T
– A ∩ B;
Ai ;
Ai : Summe der Ereignisse; tritt genau dann ein, wenn mini=1
i=1
destens eines der Ereignisse eintritt
– A ∪ B: Produkt der Ereignisse; tritt genau dann ein, wenn sowohl A als auch
B eintritt
– A ∪ B = ∅: A und B heißen unvereinbar.
– A \ B: Differenz
– A = Ω \ A: Komplementärereignis zu A
96
9.1. Zufällige Ereignisse, Ereignisfeld
Folie 9.2
Anordnungsprobleme
Permutation ohne Wiederholung für n verschiedene Elemente
Pn = n! = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1
Permutation mit Wiederholung bei k Gruppen mit n1 , n2 , . . . , nk
gleichen Elementen
n1 ,n2 ,...,nk
Pn,w
=
n!
n1 ! · n2 ! · . . . · nk !
Auswahl- und Anordnungsprobleme
Variation ohne Wiederholung von n Elementen zu je k Elementen
Vn(k) =
n!
= n · (n − 1) · . . . · (n − (k − 1))
(n − k)!
Variation mit Wiederholung von n Elementen zu je k Elementen
(k)
Vn,w
= nk
Auswahlprobleme
Kombination ohne Wiederholung von n Elementen zu je k Elementen
Cn(k) =
n
k
=
n!
(n − k)! · k!
Kombination mit Wiederholung von n Elementen zu je k Elementen
(k)
=
Cn,w
n+k−1
k
=
(n + k − 1)!
(n − 1)! · k!
97
9. Wahrscheinlichkeitstheorie
Ereignisfeld E ⊆ P (Ω) heißt Ereignisfeld , falls Ω ∈ E und E abgeschlossen ist gegenüber
abzählbaren Summen und Komplementärbildungen.
Atomare und zusammengesetzte Ereignisse Ein Ereignis A ∈ E heißt atomar, falls für
alle B ∈ E gilt: B ⊂ A ⇒ B = ∅. Andernfalls heißt A zusammengesetzt.
9.2. Relative Häufigkeit
relative Häufigkeit Ein zufälliger Versuch werde n−mal wiederholt. Die Anzahl Hn (A)
des Eintretens eines Ereignisses A heißt die absolute Häufigkeit von A.
hn (A) =
Hn (A)
n
heißt die relative Häufigkeit von A.
Eigenschaften der relativen Häufigkeit von hn (A)
1. 0 ≤ hn (A) ≤ 1
2. hn (Ω) = 1
3. hn (A ∪ B) = hn (A) + hn (B), falls A ∩ B = ∅
4. hn (A) = 1 − hn (A)
5. hn (∅) = 0
6. hn (A ∪ B) = hn (A) + hn (B) − hn (A ∩ B)
• Relative Häufigkeit hn ist grobes Maß für die Zufälligkeit der Ereignisse eines Versuchs. Wählt man n immer größer, so werden größere Abweichungen immer seltener:
gewisse Stabilität für hinreichend großes n.
9.3. Wahrscheinlichkeit
Klassische Wahrscheinlichkeit Voraussetzungen:
1. Es gibt nur endlich viele Versuchsausgänge
2. Die Versuchsausgänge schließen einander aus und sind „gleichmöglich“
Klassiche Wahrscheinlichkeit eine Ereignisses A ∈ E :
P (A) =
98
Anzahl der für A „günstigen“ Versuchsergebnisse
Anzahl der möglichen Versuchsergebnisse
9.3. Wahrscheinlichkeit
x
a
{
l
ϕ
x
x = −l sin ϕ
l − sin ϕ
x = a − l sin ϕ
{
π
2π
ϕ
Abbildung 9.1.: Das Nadelproblem
• Die so definierten Wahrscheinlichkeiten genügen denselben Gesetzen wie die relative
Häufigkeit.
P
P (A1 ) = . . . = P (Ak ) = k1 ; P (A) =
P (Ai )
i:Ai ⊆A
Geometrische Wahrscheinlichkeit Voraussetzungen:
1. unendlich viele Versuchsausgänge zugelassen
2. Die Versuchsausgänge schließen einander aus und sind „gleichmöglich“
Bezeichnet F (A) den Flächeninhalt des dem Ereignis A zugeordneten Teilgebiets
(A)
die geovon G, das dem sicheren Ereignis entspricht, so bezeichnet P (A) = FF (G)
metrische Wahrscheinlichkeit von A.
Beispiel Buffonsches Nadelproblem1
In einer Ebene sind parallele Geraden im gleichen Abstand a gezogen. Auf der Ebene
wird eine Nadel der Länge l < a zufällig geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
P , dass sie eine Gerade trifft?
Betrachtung eines a−Streifens: Ein Ende der Nadel sei markiert, Lage der Nadel werde
durch x (=Abstand des markierten Endes von der „unteren“ Parallelen) und Richtung ϕ
der Nadel beschrieben.
G = {(x, ϕ)|0 ≤ x ≤ a ∧ 0 ≤ ϕ ≤ 2π} ⇒ F (G) = 2πa
A = {(x, ϕ)|x + l sin ϕ ≥ a ∧ 0 ≤ ϕπ} ∪ {(x, ϕ)|x + l sin ϕ ≤ 0 ∧ π ≤ ϕ ≤ 2π}
0 ≤ ϕ ≤ π : a ≥ x ≥ a − l sin ϕ
π ≤ ϕ ≤ 2π : 0 ≤R x ≤ −l sin ϕ
R 2π
π
F (A) = πa − 0 (a − l sin ϕ)dϕ + π (−l sin ϕ)dϕ = . . . = 4l
(A)
4l
2l
2l
P = FF (G)
= 2πa
= πa
π = a·P
1
Georges Louis Leclerc, Comte de Buffon (1707 - 1788) französischer Naturforscher.
99
9. Wahrscheinlichkeitstheorie
Axiomatischer Aufbau der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Kolmogorov2 )
(W1) Jedem Ereignis A ∈ E wird eindeutig eine reelle Zahl P (A), die sogenannte Wahrscheinlichkeit von A, mit 0 ≤ P (A) ≤ 1 zugeordnet; P : E → [0, 1]
(W2) P (Ω) = 1
(W3) Sind Ai ; i = 1, 2, . . . , paarweise unvereinbare Ereignisse, so gilt: P (
∞
P
∞
S
Ai ) =
i=1
P (Ai )
i=1
Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit (Folgerungen aus den Axiomen)
1. P (∅) = 0 : ∅ ∈ E. Sei A ∈ E ⇒ A ∩ ∅ ⇒ P (A) = P (A ∪ ∅) = P (A) + P (∅) ⇒
P (∅) = 0
2. P (A) = 1 − P (A) : A ∈ E; A ∪ A = Ω; A ∩ A = ∅
1 = P (Ω) = P (A ∪ A) = P (A) + P (A) ⇒ P (A) = 1 − P (A)
3. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
4. A ⊆ B ⇒ P (A) ⊆ P (B)
• P (A) = 0 hat nicht A = ∅ und P (A) = 1 nicht A = Ω zur Folge
9.3.1. Bedingte Wahrscheinlichkeit
E . . . Ereignisfeld, B ∈ E mit P (B) > 0, so heißt P (A|B) =
P (A∩B)
P (B)
die bedingte Wahr-
scheinlichkeit A unter der Bedingung B.
Es gilt: P (A|B)P (B) = P (B|A)P (A) (= P (A ∩ B))
P (A ∩ B) = P (A|B)P (B) = P (B|A)P (A) (Multiplikationsregel)
• Für feste B ∈ E, A ∈ E gelten für die bedingten Wahrscheinlichkeiten P (A|B)
dieselben Rechenregeln wie für die unbedingten Wahrscheinlichkeiten.
2
Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow (1903 - 1987) einer der bedeutendsten Mathematiker
des 20. Jahrhunderts.
100
9.3. Wahrscheinlichkeit
Beispiel Würfeln mit einem Würfel; A . . . Augenzahl ≤ 4; B . . . AZ=3,5,6
P (A) = 46 = 23 ; P (B) = 63 = 21 ; P (A ∩ B) = 16 ; P (A|B) = 13 ; P (B|A) = 41
Problemstellung
Bei einer Spielshow kann der Kandidat ein Auto gewinnen. Dem Spiel liegen die folgenden
Regeln zugrunde.
1. Ein Auto und zwei Ziegen werden zufällig hinter drei Tore verteilt.
2. Zu Beginn des Spiels sind alle Tore verschlossen.
3. Der Kandidat wählt ein Tor aus, das aber verschlossen bleibt.
4. Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann wählt der Moderator von
den anderen beiden Toren eines zufällig aus und öffnet es.
5. Hat der Kandidat ein Tor mit einer Ziege gewählt, dann öffnet der Moderator
dasjenige der beiden anderen Tore, hinter dem die zweite Ziege steht.
6. Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu überdenken und
das andere ungeöffnete Tor zu wählen.
7. Das vom Kandidaten letztendlich gewählte Tor wird geöffnet und er erhält das
Auto, falls es sich hinter diesem Tor befindet.
Definition: Ist für A, B ∈ E P (A|B) = P (A), so heißt A unabhängig von B. ⇒ Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse P (A ∩ B) = P (A)P (B)
unvereinbar
unabhängig
A∩B =∅
P (A ∩ B) = P (A)P (B)
P (A ∩ B) = 0 P (A ∩ B) > 0, falls P (A), P (B) > 0
• Sei A1 , . . . An ein vollständiges System von Ereignissen, d.h. Ai 6= ∅; ∩Ai = Ω; Ai ∩
Aj = ∅ für i 6= j (entspricht Zerlegung von Ω)
n
P
Dann gilt für jedes B ∈ E : P (B) =
P (B|Ai )P (Ai ) Formel der totalen Wahri=1
scheinlichkeit
Beweis: B =
n
S
i=1
(Ai ∩ B) mit (Ai ∩ B) ∩ (Aj ∩ B) = ∅ ⇒ P (B) =
n
P
i=1
P (Ai ∩ B)
wichtige Formeln
• Bedingte Wkt. P (A|B) :=
P (A∩B)
P (B)
• Multiplikationsregel: P (A ∩ B) = P (A|B)P (B) = P (B|A)P (A)
P
• Formel der totalen Wk: P (B) = P (B|Ai )P (Ai ) (siehe Übung)
i
• Bayesche Formel: P (Ak |B) =
P (B|Ak )P (Ak )
P
P (B|Ai )P (Ai )
i
101
9. Wahrscheinlichkeitstheorie
Folie 9.3
Wahrscheinlichkeitsraum
Ergebnisse von zufälligen Versuchen heißen (zufällige)
Ereignisse.
Den Ereignissen werden Mengen zugeordnet und die
Mengenoperationen interpretiert.
E ⊆ P(Ω) heißt Ereignisfeld, wenn
• Ω ∈ E und
• E gegen Komplement- und abzählbare Summenbildung abgeschlossen ist.
Eine Abbildung P : E −→ [0, 1] ordnet jedem
Ereignis A eine Wahrscheinlichkeit P (A) zu, wobei
die Abbildung P folgende Eigenschaften hat:
• P (Ω) = 1 und
• für paarweise unvereinbare Ereignisse Ai ; i = 1, 2, . . .
∞
∞
gilt:
P ( Ai) =
P (Ai).
i=1
i=1
[Ω, E, P ] heißt dann Wahrscheinlichkeitsraum.
Eine Abbildung X : Ω −→ R heißt Zufallsgröße,
falls für jedes x ∈ R gilt:
{ω ∈ Ω | X(ω) < x} =: (X < x) ∈ E.
Die durch FX (x) := P (X < x) deﬁnierte Abbildung
FX : R −→ [0, 1] heißt die
Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X.
102
9.4. Zufallsgrößen
Beispiel Nachrichtenübertragungssystem
gestörter Kanal
Quelle −−−−−−−−−→ Empfänger
A1 . . . Quelle sendet xi i = 1, . . . , n
Bj . . . Empfänger erhielt yj j = 1, . . . , m
pi := P (Ai ); pT = (p1 , . . . , pn ); qj := P (Bj ); q T = (q1 , . . . , qm )
Gegeben: p, pij := P (Bj |Ai ); P := (pij ) (Matrix)
Gesucht: q
P
P
P
pij pi = pi pij ⇒ q T = pT P
P (Bj ) = P (Bj |Ai )P (Ai ), d.h. qj =
i
i
i


0.7 0.2 0.1
Zahlenbeispiel: n = m = 3; Sendewahrscheinlichkeit: pT = (0.5, 0.3, 0.2) 0.3 0.5 0.2
0.3 0 0.7
T
⇒ q = (0.5, 0.25, 0.25)


0.70 0.18 0.12
p p
p p
P (Bj |Ak )P (Ak )
0 
= kjqj k = Pkjpijkpi ⇒ (rjk ) = 0.40 0.60
rjk =
P (Bj )
i
0.20 0.24 0.56
Z
Z
A
2
3
1
Ai . . . Auto steht hinter Tür i
Mi . . . Moderator öffnet Tür i; i = 1, 2, 3
Kandidat wählt Tür 1 ⇒ Moderator wählt Tür 2 Vergleich von P (A3 |M2 ) und P (A1 |M2 )
Ziegenbeispiel:
P (A3 |M2 ) =
P (A1 |M2 ) =
P (M2 |A3 )P (A3 )
P (M2 |A1 )P (A1 )+P (M2 |A2 )P (A2 )+P (M2 |A3 )P (A3 )
P (M2 |A1 )P (A1 )
1
2
=
11
23
1
2
=
=
1 31
1 1
( +0+1)
3 2
=
2
3
1
3
9.4. Zufallsgrößen
Zufallsgröße = reellwertige Funktion; Versuchsausgängen werden reelle Zahlen zugeordnet
Definition: Es sei [Ω, E, P ] ein Wahrscheinlichkeitsraum
• Zufallsgröße X
• Verteilungsfunktion FX der Zufallsgröße X
FX zu Beispiel auf Folie (Würfeln mit zwei ununterscheidbaren Würfeln):
• Charakteristische Eigenschaften einer Verteilungsfunktion F :
1. 0 ≤ F (x) ≤ 1 für alle x ∈ R
2. x1 < x2 ⇒ F (x1 ) ≤ F (X2 ) monoton steigend
3.
4.
lim F (x) = F (x0 ) linksseitig stetig
x→x0 −0
lim F (x) = 0
x→−∞
103
9. Wahrscheinlichkeitstheorie
5. lim F (x) = 1
x→∞
• Mit der Verteilungsfunktion FX lassen sich die Wahrscheinlichkeiten dafür berechnen, dass X Wert aus beliebigem Intervall annimmt.
1. P (X = c) = FX (c + 0) −FX (c); ist c Stetigkeitsstelle von FX , so wird P (X =
| {z }
lim FX (x)
x→c+0
c) = 0
2. P (a < X < b) = FX (b) − FX (a + 0)
3. P (a ≤ X < b) = FX (b) − FX (a)
4. P (a ≤ X ≤ b) = FX (b + 0) − FX (a)
• Ist g eine reelle stetige Funktion und X eine Zufallsgröße, so ist auch X ◦ g eine
Zufallsgröße.
X
y
Ω −→ R −
→R
• X . . . Zufallsgröße mit Verteilungsfunktion FX
1. y = g(X) = aX + b, a 6= 0
Fy (x) = FX ( x−b
a ) für a > 0
Fy (x) = 1 − FX ( x−b
a + 0) für a < 0
Beweis für a > 0: Fy (x) = P (Y < x) = P (aX + B < x) = P (X < x−b
a ) =
x−b
FX ( a )
a < 0: Fy (x) = P (Y < x) = P (aX + b < x) = P (X > x−b
a ) = 1 − P (X ≤
x−b
x−b
a ) = 1 − FX ( a + 0)
(
0
für x ≤ 0
2. y = X 2 ⇒ FY (x) =
√
√
FX ( x) − F (− x + 0) für x > 0
(
0
für x ≤ 0
3. y = |X| ⇒ Fy (x) =
FX (x) − FX (−x + 0) für x > 0
9.4.1. Diskrete Zufallsgrößen
Diskrete Zufallsgröße Eine Zufallsgröße heißt diskret, falls sie endlich oder abzählbar
unendlich viele Werte annehmen kann.
Charakterisiert ist eine diskrete Zufallsgröße durch ihre Einzelwahrscheinlichkeiten: pk =
P (X = xk ); k = 1, 2, . . . wobei xk die Werte sind, die die Zufallsgröße annehmen kann.
Definition X . . . diskrete
Zufallsgröße, die xk mit Wahrscheinlichkeiten pk annimmt.
P
Dann heißt EX := xk pk der Erwartungswert der Zufallsgröße X und D2 X := E(X −
k
P
EX)2 = (xk − EX)2 pk Streuung (auch Dispersion oder Varianz) der Zufallsgröße X.
k
√
σX := D2 X heißt Standardabweichung der Zufallsgröße X.
104
9.4. Zufallsgrößen
Eigenschaften
1. pk ≥ 0
P
pk = 1
2.
k
3. FX (x) = P (X < x) =
P
pk
k:xk <x
Verteilungsfunktion ist eine Treppenfunktion, die bei xk Sprünge der Höhe pk hat.
Erwartungswert EX
Streuung D2 x
Standardabweichung σx =
√
D2 X
• Erwartungswert ist i.A. kein Wert der betrachteten Zufallsgröße
Folgerungen
1. E(aX + b) =
P
P
P
(axk + b)pk = a xk pk + b pk = aEX + b
2. E(X − EX) = 0 folgt aus 1. mit a = 1 und b = −EX
Beispiel Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schütze ein Ziel trifft, sei bei jedem Schuss
0,4. Der Schütze darf maximal 4 Schüsse abgeben, falls nicht getroffen wurde.
X . . . Anzahl der Schüsse; Die Schüsse, die der Schütze abgibt sind diskrete Zufallsgrößen
mit den Werten 1,2,3,4
Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: Ai . . . i-ter Schuss ist Treffer; P (Ai ) = 0, 4
Ereignisse Ai sind vollständig unabhängig
(X = 1) = A1 ; p1 = P (A1 ) = 0, 4; (X = 2) = A1 ∩ A; p2 = P (A1 )P (A2 ) = 0, 24
(X = 3) = A1 ∩ A2 ∩ A3 ; p3 = 0, 144; (X = 4) = A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ (A4 ∪ A4 ); p4 = 0, 216
Verteilungstabelle:
xk
1
2
3
4
pk 0,4 0,24 0,144 0,216
EX = 1 · 0.4 + 2 · 0, 24 + 3 · 0, 144 + 4 · 0, 216 = 2, 176
D2 X √
= (1 − 2, 176)2 · 0.4 + . . . + (4 − 2, 176)2 · 0, 216 = 1, 377
σx = D2 X = 1, 173
Satz: Sei X eine diskretePZufallsgröße.
P Dann gilt:
D2 X = EX 2 − (EX)2 = x2k pk − ( xk pk )2
k
P
P
P
P
Beweis:P D2 X P
= (xk −EX)2 pk = (x2k −2xk EX+(EX)2 )pk = x2k pk −2EX xk pk +
(EX)2 pk = x2k pk − 2(EX)2 + (EX)2 = EX 2 − (EX)2
105
9. Wahrscheinlichkeitstheorie
p
p
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.4
0.3
0.2
0.1
x
1 2 3 4
(a) Histogramm
1 2 3 4
x
(b) Verteilungsfunktion
Abbildung 9.2.: Grafische Darstellung des Beispiels
Folgerungen:
1. X . . . diskrete Zufallsgröße a, b ∈ R ⇒ D2 (aX + b) = a2 D2 X
2. (folgt aus 1.) D2 √ X2
D X
= 1 : Normierung
3. für die Zufallsgröße Z :=
X−EX
√
D2 X
gilt EZ = 0, D2 Z = 1 Standardisierung
Tschebychevsche Ungleichung P (|X − EX| ≥ kσX ) ≤
1
k2
9.4.2. Spezielle diskrete Verteilungen
Diskrete gleichmäßige Verteilung
Eine (diskrete) Zufallsgröße X mit den Werten x1 , x2 , . . . , xn heißt gleichmäßig verteilt
wenn für k = 1, 2, . . . n gilt:
• pk = P (X = xk ) =
• EX =
1
n
• D2 X =
n
P
1
n
xk
k=1
1
n
n
P
k=1
x2k − ( n1
n
P
xk )2
k=1
Binomialverteilung
A . . . zufälliges Ereignis mit P (A) = p
Hn (A) . . . Anzahl des Auftretens von A in n unabhängigen Versuchen (absolute Häufigkeit als Zufallsgröße) pk = P (Hn (A) = k); (Hn (A) = k) tritt ein gdw. k−mal A und
(n − k)-mal A eintritt.
Jedes solche
Ereignisfolge hat Wahrscheinlichkeit pk (1 − p)n−k n
Da es k derartige Ergebnisfolgen gibt, folgt P (Hn (A) = k) = nk pk (1 − p)n−k
d.h. HN (A) besitzt eine Binomialverteilung mit den Parametern n und p.
106
9.4. Zufallsgrößen
• Hn (A) als Zufallsgröße, P (A) = p ⇒ Hn (A) ist B(n, p)-verteilt
• Einzelwahrscheinlichkeiten
b(k, n, p) sind Summanden der Binomialentwicklung:
1 = ((1 − p) + p)n = n0 (1 − p)n + n1 p(1 − p)n−1 + . . . + nn pn
• P (A) = p; hn (A) als Zufallsgröße. Dann gilt Ehn (A) = p; lim D2 hn (A) = 0
n→∞
Beweis: Hn (A) ist B(n, p)-verteilt. D2 hn (A) =
p) =
p(1−p) n→∞
−−−→
n
D2 Hnn(A)
=
1
D2 Hn (A)
n2
=
1
np(1−
n2
0
Zufällige Anzahl der Ausschussteile in einer Stichprobe vom Umfang n aus endlicher
Grundgesamtheit (z.B. Tagesproduktion) mit Ausschussanteil p besitzt B(n, p), wenn
Entnahme der Teile hintereinander durchgeführt wird und vor jeder Entnahme das vorher
entnommene Teil zurückgelegt wird.
• Stichprobe mit Zurücklegen
Hypergeometrische Verteilung
• Stichprobe ohne Zurücklegen
Seien N, M, n ∈ N mit m ≤ N, n ≤ N Eine (diskrete) Zufallsgröße mit den Werten
k ∈ N mit k ≤ n, k ≤ M, n − k ≤ N − M heißt hypergeometrisch verteilt mit den
Parametern N, M und n, wenn
M N −M
P (X = k) =
k
gilt.
n−k
N
n
M
N M N −n
M
2
D X = n
1−
N
N N −1
EX = n
Beispiel: Wahrscheinlichkeit für einen 4er bei „6 aus 49“
N = 49, M = 6, n = 6
(6)(43)
P (X = 4) = 4 49 2 = 0, 00097 = 1%
(6)
• Für k = 0, 1, . . . , n gilt
M N −M
n k
k
n−k
lim
=
p (1 − p)n−k
N
N,M →∞
k
n
|
{z
}
|
{z
}
ohne Zurücklegen
M
N
mit Zurücklegen
=: p = const
107
9. Wahrscheinlichkeitstheorie
Im Fall n << N kann man Einzelwahrscheinlichkeiten der hypergeometrische Verteilung durch die Einzelwahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung ersetzen.
p := M
N
Poissonverteilung
eλ =
∞
P
k=0
λk
k!
⇒
P λk
k!
e−λ = e−λ
P λk
k!
=1
• Praktische Bedeutung der Poissonverteilung: Lässt sich Zufallsgröße X als Anzahl
des Eintretes eines zufälligen Ereignisses mit kleiner Wahrscheinlichkeit p in langer
Serie unabhängige Versuche interpretieren, so kann X näherungsweise als poissonverteilt angesehen werden. Dabei wird λ(= EX) gleich dem arithmetischen Mittel
der beobachteten Werte der Zufallsgröße X gesetzt.
Beispiel: Fernsprechvermittlung, durchschnittlich 420 Anrufe pro Stunde. Es können
maximal 10 Verbindungen pro Minute hergestellt werden.
Lösung: Wahrscheinlichkeit, dass Anzahl der Anrufe Kapazität übersteigt.
X . . . zufällige Anrufe pro Minute (poissonverteilt mit λ = EX = 420
60 = 7, P (X >
10 k
P
7 −7
≈ 0, 0986
10) = 1 − P (X ≤ 10) = 1 −
k! e
k=0
Tschebyscheffsche Ungleichung P (|X − EX| ≥ kσx ) ≤
speziell: EX = 0, k = 3 : P (|X| ≥ 3σx ) ≤
P (−3σx < X < 3σx ) ≥ 89 ≈ 0, 89
1
k2
1
9
9.4.3. Stetige Zufallsgrößen
stetige Zufallsgröße Eine Zufallsgröße X heißt stetig, wenn es eine nichtnegative (stückRb
weise) stetige reelle Funktion fX gibt, so dass P (a ≤ X ≤ b) = a fX (x)dx für alle
a ≤ b gilt.
Folgerungen:
RC
R∞
• −∞ fX (x)dx = 1; P (X = c) = C fX (x)dx = 0
Rx
• Verteilungsfunktion FX (x) = −∞ fX (t)dt
X
• Es gilt: dF
dx = fX (x)
R∞
• EX = −∞ xfX (x)dx
• E(aX + b) = aEX + b; E(X − EX) = 0
R∞
• D2 X = E(X − EX)2 = −∞ (x − EX)2 fX (x)dx = EX 2 − (EX)2
√
• σX = D 2 x
• D2 (aX + b) = a2 D2 X Normierung und Standardisierung
108
9.4. Zufallsgrößen
9.4.4. Spezielle stetige Verteilungen
stetige gleichmäßige Verteilung
Eine (stetige) Zufallsgröße X heißt gleichmäßig verteilt über [a, b] wenn die Dichte fX
die Form
(
1
a≤x≤b
fX (x) = b−a
0
sonst
hat.
FX (x) =
EX =
D2 X =
Z
∞


0
x−a
 b−a

1
xfX (x)dx =
−∞
∞
Z
−∞
a
a+b
2
(x − EX)2 fX (x)dx =
fX (x)
1
b−a
x<a
a≤x≤b
x>b
(b − a)2
12
FX (x)
1
a
b
b
Normalverteilung
Seien µ, σ ∈ R, σ > 0 Eine (stetige) Zufallsgröße X heißt normalverteilt mit den Parametern µ und σ 2 oder N (µ, σ 2 )-verteilt, wenn die Dichte fX die Form
fX (x) = √
(x−µ)2
1
e− 2σ2
2πσ
−∞<x<∞
hat.
Bezeichnung: ϕ(x; µ, σ 2 ) := fX (x)
Φ(x, µ, σ 2 ) = FX (x) =
EX = µ
Z
x
−∞
ϕ(t; µ, σ 2 )dt = √
1
2πσ
Z
x
e−
(t−µ)2
2σ 2
dt
−∞
D2 X = σ2
109
9. Wahrscheinlichkeitstheorie
Bemerkung: Integral nicht geschlossen auswertbar, Näherungswerte aus Tabellen für
standardisierte Normalverteilung N (0, 1).
ϕ(x) bzw. Φ(x) bezeichnet die Dichte bzw. Verteilungsfunktion der N (0, 1)-Verteilung.
X ∈ N (µ, σ 2 ) ⇒ EX = µ, D2 X = Rσ 2
√
2
∞
Übung: Beweis unter Verwendung −∞ e−t dt = 2π
• Die Funktionen ϕ, Φ sind für positive Argumente vertafelt. Berechnung der Werte
für Verteilungsfunktion und Dichte einer N (µ, σ 2 )-verteilten Zufallsgröße aus diesen
Tabellen:
Eigenschaften:
• ϕ(x; µ, σ 2 ) = σ1 ϕ( x−µ
σ )
• Φ(x; µ, σ 2 ) = Φ( x−µ
σ ), d.h.
• X ∈ N (µ, σ 2 ) ⇒
X−µ
σ
∈ N (0, 1)
• ϕ(−x) = ϕ(x)
• Φ(−x) = 1 − Φ(x)
• Φ(0) =
1
2
Beispiel für Umrechnung X ∈ N (µ, σ 2 )
P (|X − µ| < kσ) = P (−kσ < X − µ < kσ) = P (−k <
x−µ
< k) = Φ(k) − Φ(−k) =
σ }
| {z
∈N (0,1)
Φ(k) − (1 − Φ(k)) = 2Φ(k) − 1
z.B. k = 3
P (|x − µ| < 3σ) = 2Φ(3) − 1 = 2 · 0.99865 − 1 ≈ 0.997
P (|X − EX| ≥ kσX ) ≤ k12 ⇒ P (|X − EX| < kσX ) ≥ 1 −
1
k2
Vorkommen der Normalverteilung
• Beobachtungsfehler bei Meßvorgängen
• zahlenmäßig erfassbare Eigenschaften der Serienfertigung
• Überlappung einer großen Anzahl unabhängiger zufälliger Effekte
Beispiel Lieferung von Kondensatoren, deren Kapazität K N (200, 25)-verteilt ist. Gesucht: Toleranzgrenzen 200 ± α, so dass Wahrscheinlichkeiten für Auftreten eines fehelrhaften Kondensators, d.h. |K − 200| > α, kleiner als 0.001.
P (|K − 200| > α) = 1 − P (200 − α ≤ K ≤ 200 + α) = 1 − (Φ(200 + α; 200, 25) −
α
α
α
Φ(200 − α; 200, 25)) = 1 − Φ( α5 ) + Φ( −α
5 ) = 1 − Φ( 5 ) + 1 − Φ( 5 ) = 2(1 − Φ( 5 )) < 0.001 ⇒
α
Φ( 5 ) > 0.9995
3.29 < α5 ⇒ α > 16.45
110
9.4. Zufallsgrößen
Exponentialverteilung
Sie a > 0 Eine (stetige) Zufallsgröße X heißt exponentialverteilt mit dem Parameter α,
wenn die Dichte fX die Form
(
0
x≤0
fX (x) =
−αx
αe
x>0
hat.
(
0
FX (x) =
1 − e−αx
x≤0
x>0
1
α
1
2
D X = ( )2
α
EX =
Vorkommen:
• Dauer von Telefongesprächen
• Lebensdauer von Schaltelemente
• Zeitdifferenzen zwischen Eintreffen von Kunden
Prüfverteilungen
werden in Statistik gebraucht: χ2 −, t−, F −-Verteilung
χ2 -Verteilung Sei m ∈ N Eine (stetige) Zufallsgröße X heißt χ2 -verteilt mit m Freiheitsgraden, wenn die Dichte fX die Form:

0
x≤0
m
fX (x) =
−1 − x2
1
2
e
x>0
 m2 m x
2 Γ( 2 )
hat.
χ2m;p bezechnet das Quantil der Ordnung p der χ2 -Verteilung mit m Freiheitsgraden.
EX = m
Gammafunktion: Γ : R+ → R;
Eigenschaften:
• Γ(x) = (x − 1)Γ(x − 1),
D2 X = 2m
R∞
Γ(x) := 0 tx−1 e−t dt x > 0
x>1
111
9. Wahrscheinlichkeitstheorie
• Γ(1) = 1
√
• Γ( 12 ) = π
• ⇒ Γ(n) = (n − 1)! für n ∈ N, n ≥ 1
Folgerungen:
• Ist X = N (0, 1) ⇒ X 2 ist χ2 -verteilt mit m = 1.
• Eine χ2 -Verteilung mit m = 2 ist Exponentialverteilung mit α =
1
2
Konfidenzschätzungen: Konstruktion eines Vertrauensintervalls für einen unbekannten
Parameter
Beispiel Konfidenzschätzung für unbekannte Wkt. („Hochrechnung bei Wahlen“)
43% haben Partei A gewählt; p = 0.43; Stichprobe vom Umfang 1000
Hn (A) ist binomialverteilt mit den Parametern n = 1000 und p = 0.43
Nachrechnen ergibt (eventuell näherungsweise mit Normalverteilung, s. „gleich“)
P (405 ≤ Hn (A) ≤ 455) = 0.9
„Umgekehrtes“ Vorgehen: Wahlergebnis noch nicht bekannt, Stichprobe vom Umfang
1000 ausgezählt, 430 Stimmen für Partei A, d.h. hn (A) = 0.43
Für welche Stimmenanteile p in der Wahlbevölkerung liegt das Stichprobenergebnis in
einem Intervall „großer“ Wahrscheinlichkeit?
Hn (A) ist binomialverteilt mit n = 1000 und p ≈ 0.43
• Eine B(n, p)-verteile Zufallsgröße ist für großes n näherungsweise N (np, np(1 − p))verteilt. (Moivre-Laplace) Gute Näherung liegt für np(1 − p) > 9 vor. (LaplaceBedingung)
• Hn ist B(n, p)-verteilt mit n = 1000, p = 0.43 Laplace-Bedingung ist erfüllt: 1000 ·
0.43 · 0.57 ≈ 245, also ist Hn mit guter Näherung N (np, np(1 − p))- und Z :=
√Hn −np = qhn −p mit guter Näherung N (0, 1)-verteilt.
p(1−p)
np(1−p)
n
q
• Wegen P (−k ≤ Z ≤ k) = 2Φ(k) − 1 ergibt sich γ := 2Φ(k) − 1 = P (−k p(1−p)
≤
n
q
q
q
P (−hn − k p(1−p)
≤ −p ≤ −hn + k p(1−p)
hn − p ≤ k p(1−p)
n ) =q
n
n ) = P (hn −
q
q
p(1−p)
k p(1−p)
≤ p ≤ hn + k p(1−p)
n
n ) = P (|hn − p| ≤ k
n
Für beliebige vorgegebene
Wahrscheinlichkeit γ = 2Φ(k)−1 lässt sich Interval: [hn (A)−
q
q
p(p−1)
p(1−p
k
n , hn (A) + k
n ] mit folgenden Eigenschaften angeben:
• Intervall ist zufällig; Grenzen hängen von Stichprobenergebnis hn ab
• γ ist Wahrscheinlichkeit dafür, dass Intervall den wert p enthält
112
9.4. Zufallsgrößen
• Wir wählen α = 0.05, d.h.γ = 0.95, so ergibt sich Φ(k) = 0.975 und damit (aus der
Tafel) k = 1.96.
Die quadratische Ungleichung
q
|0.43 − p| ≤ 1.96 · p(1−p)
1000 hat die Lösungen
p1 ≈ 0.40 und p2 ≈ 0.46, d.h. mit 95%iger „Sicherheit“ liegt der Stimmenanteil
zwischen 40% und 46%.
113
A. Übungsblätter
115
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1. Übungsblatt - 15.10.-19.10.2007: RSA; Operationen
1. (a) Wählen Sie für eine RSA-Verschlüsselung die Primzahlen p = 7, q = 11 und als
geheimen Schlüssel j = 43. Ermitteln Sie die Parameter n und k, die öﬀentlich bekannt
gegeben werden. Wie lautet der Geheimtext r, wenn jemand den Klartext M = 13
mit dem öﬀentlichen Schlüssel chiﬀriert hat?
(b) Der Klartext M wurde mit dem öﬀentliche RSA-Schlüssel (n, k) = (899, 11) zum
Geheimtext 671 verschlüsselt. Entschlüsseln Sie den Geheimtext, indem Sie zunächst
n faktorisieren. Wenden Sie zum Entschlüsseln den Chinesischen Restsatz an.
H 2. (a) Für den RSA-Modul n = 317940011 ist bekannt geworden, dass ϕ(317940011) =
317902032 gilt. Benutzen Sie dies, um n als Produkt von Primfaktoren darzustellen.
(b) Bestimmen Sie alle RSA-Moduln n mit ϕ(n) = 24. Geben Sie zu n jeweils die Zerlegung in Primfaktoren an.
3. Zeigen Sie, dass die durch a ◦ b := ab + a + b erklärte Verknüpfung ◦ eine assoziative
und kommutative Operation in der Menge R \ {−1} ist.
Bestimmen Sie das neutrale Element bzgl. ◦ , und geben Sie zu jedem Element a ∈ R \ {−1}
das inverse Element a−1 an.
4. Gegeben sind sechs bijektive Abbildungen fi der Menge R \ {0, 1} auf sich (i = 1, 2, . . . , 6):
f1 (x) = x, f2 (x) = 1 − x, f3 (x) =
1
1
x−1
x
, f4 (x) =
, f5 (x) =
, f6 (x) =
.
x
1−x
x
x−1
Stellen Sie für die Menge M = {f1 , f2 , . . . , f6 } mit der Hintereinanderausführung ◦ als
Verknüpfung eine Operationstafel auf. Welche Eigenschaften hat ◦ in M ?
Hinweis: (fi ◦ fj )(x) = fj (fi (x)) (Relationenprodukt).
5. (a) Wie viele Elemente hat die Gruppe aller Bewegungen in der Ebene, die ein Quadrat
auf sich abbilden? Beschreiben Sie die Elemente dieser Gruppe durch Angabe der
Permutationen, denen die Eckpunkte des Quadrates bei den einzelnen Abbildungen
unterworfen werden.
Stellen Sie die Operationstabelle für diese Gruppe (Diedergruppe D4 ) auf.
H(b) Untersuchen Sie den gleichen Sachverhalt für ein Rechteck.
Bemerkungen.
Gelegentlich werden Übungsaufgaben mit H“ oder mit *“ versehen. Die mit H“ gekenn”
”
”
zeichneten Aufgaben sind schriftlich bis zur darauffolgenden Übung vorzubereiten, die mit *“
”
gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwieriger.
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2. Übungsblatt - 22.10.-26.10.2007: Rechnen mit Permutationen
6. (a) Geben Sie für die folgenden Permutationen der Menge M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
die Hauptproduktdarstellung (Produkt elementefremder Zyklen) an:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
p=
, q = (12)(123)(12), r = (123)(45)(16789)(15)
2 3 4 5 1 6 7 9 8
sowie sämtliche Potenzen von s = (12345678).
(b) Berechnen Sie für die Permutationen
1 2 3 4 5
p=
4 3 1 2 5
und
q=
1 2 3 4 5
2 4 5 3 1
mit der Hintereinanderausführung von Permutationen als Operation die Produkte
pq, qp, p2 , q 2 , p2 q 2 , (pq)2 sowie p−1 , q −1 , p−1 q −1 , q −1 p−1 , (pq)−1 , (qp)−1 .
Geben Sie außerdem die Permutation p−1 qp an.
7. p, q, x und y seien Permutationen der Menge A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} mit
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
p=
und q =
.
3 2 1 4 6 8 7 5
2 4 3 1 5 8 6 7
(a) Welche Ordnungen haben diese Permutationen?
Bestimmen Sie die Hauptproduktdarstellung von p7 und q 99 .
(b) Wie viele Elemente hat die von p erzeugte Gruppe (zyklische Untergruppe der S8 )?
Geben Sie alle Elemente von < p > an.
(c) Ermitteln Sie x und y aus den Gleichungen xp2 = q 4 und pyp−1 = q.
(d) Geben Sie alle möglichen Ordnungen einer Permutation aus S8 mit jeweils einem Beispiel an. Überlegen Sie zunächst, dass die grösste Ordnung 15 ist.
8. Es seien p1 = (12), p2 = (34), p3 = (56) Permutationen aus der symmetrischen Gruppe S6 .
(a) Bilden Sie alle Produkte mit endlich vielen Faktoren aus diesen Permutationen.
(b) Begründen Sie, dass die Menge dieser Permutationen eine Gruppe bildet, eine Untergruppe U der S6 .
(c) Welche Ordnungen haben die Elemente von U ? Ist U abelsch oder sogar zyklisch?
H 9. Für die Permutationen
1 2 3 4 5 6 7 8
p=
und
3 1 4 7 5 8 2 6
q=
1 2 3 4 5 6 7 8
2 6 1 7 8 3 5 4
sind die Lösungen x, y, z der Gleichungen px = q, yp = q, p9 q 3 zpq = p−1 q gesucht.
*10. Aus der Vorlesung ist bekannt, wie man die Ordnung einer Permutation (als Element der
entsprechenden symmetrischen Gruppe Sn ) aus ihrer Hauptproduktdarstellung ermitteln
kann.
Benutzen Sie das Ergebnis um herauszufinden, ob sich der Zyklus (123) für eine passende
natürliche Zahl n als dritte Potenz einer Permutation der symmetrischen Gruppe Sn darstellen lässt.
Bemerkungen.
Für die Behandlung dieses Übungsblattes ist die Folie 5.5 hilfreich.
Zur Lösung der Aufgabe 8. schadet ein Blick auf die Folie 5.6 nicht.
Gelegentlich werden Übungsaufgaben mit H“ oder mit *“ versehen:
”
”
Die mit H“ gekennzeichneten Aufgaben sind schriftlich bis zur darauffolgenden Übung vorzu”
bereiten, die mit *“ gekennzeichneten sind etwas schwieriger.
”
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3. Übungsblatt - 29.10.-2.11.2007: Halbgruppen und Gruppen
H 11. Man überprüfe, ob die folgenden Verknüpfungen Halbgruppen bzw. Gruppen sind.
(a) (N, ◦) mit x ◦ y := x · y + y für alle x, y ∈ N.
(b) (Q\{0}, ◦) mit x ◦ y := x · |y| für alle x, y ∈ Q\{0}.
Zusatz: Wenn Sie für diese Operation kein neutrales Element n finden, suchen Sie
nach einem links- (nl ) bzw. rechtsneutralem (nr ) Element, so dass nl ◦ x = x
bzw. x ◦ nr = x für alle x ∈ Q\{0} gilt.
(c) (Z, ◦) mit x ◦ y := x + y + 2 für alle x, y ∈ Z.
12. Vervollständigen Sie die Multiplikationstabellen
(b)
(a)
◦1 a b c d
a a b c d
b b
c c
c
d d
◦2 a b c d
a a b c d
b b a
a
c c
d d
so, dass die Menge {a, b, c, d} mit den durch die Tafeln definierten Operationen eine Gruppe bildet. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?
Hinweis: Für den Nachweis der Assoziativität kann man die Isomorphie zu bekannten Gruppen ausnutzen.
13. Beweisen Sie, dass U = {1, −1, i, −i} eine Untergruppe von (C, ·) ist.
Weisen Sie durch Vergleich der Gruppentafeln die Isomorphie zu einer der Gruppen aus
Aufgabe 12 nach. Vergleichen Sie auch mit der Gruppe aus Aufgabe 5(b).
14. (a) Betrachten Sie die Gruppe (Z15 , +). Emitteln Sie alle Elemente von < 2 >, < 6 >
und < 11 >. Geben Sie alle Untergruppen von (Z15 , +) an.
*(b) Zeigen Sie, dass die Untergruppen zyklischer Gruppen zyklisch sind.
H 15. Es bezeichne R+ die Menge der positiven und R0 die Menge der von Null verschiedenen
reellen Zahlen. Machen Sie sich klar, dass (R, +), (R+ , ·) und (R0 , ·) Gruppen sind.
(a) Zeigen Sie, dass die Gruppen (R+ , ·) und (R, +) zueinander isomorph sind,
d.h. es gibt eine bijektive Abbildung f : (R+ , ·) −→ (R, +) mit der Eigenschaft
f (ab) = f (a) + f (b) für alle a, b ∈ R+ (Isomorphismus).
*(b) Beweisen Sie, dass es aber keinen Isomorphismus zwischen (R0 , ·) und (R, +) gibt.
Bemerkungen.
Gelegentlich werden Übungsaufgaben mit H“ oder mit *“ versehen:
”
”
Die mit H“ gekennzeichneten Aufgaben sind schriftlich bis zur darauffolgenden Übung vorzu”
bereiten, die mit *“ gekennzeichneten sind etwas schwieriger.
”
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4. Übungsblatt 05.-09.11.2007: Untergruppen, Normalteiler
H 16. Wir betrachten die prime Restklassengruppe (Z∗15 , ·).
(a) Geben Sie alle ihre Elemente und die zugehörigen Inversen an.
(b) Ermitteln Sie die Ordnungen aller Elemente dieser Gruppe.
Ist Z∗15 zyklisch?
(c) Ist Z∗15 isomorph zur D4 oder zur Gruppe U aus Aufgabe 8?
(d) Gibt es Untergruppen von Z∗15 , die nicht Normalteiler sind?
17. Es sei p =
1
2
...
i
...
j
...
n
p(1) p(2) . . . p(i) . . . p(j) . . . p(n)
∈ Sn eine Permutation.
Ein Paar (i, j) mit i < j heißt Inversion von p, falls p(i) > p(j) gilt. Eine Permutation
heißt gerade bzw. ungerade, falls die Anzahl ihrer Inversionen gerade bzw. ungerade ist.
Man kann zeigen, dass
- eine Permutation genau dann gerade ist, wenn in ihrer Hauptproduktdarstellung die
Anzahl der Zyklen gerader Länge gerade ist,
- das Produkt zweier gerader bzw. zweier ungerader Permutationen gerade und das
Produkt aus einer geraden und einer ungeraden Permutation ungerade ist und
- jede Permutationsgruppe nur aus geraden oder je zur Hälfte aus geraden und ungeraden Permutationen besteht; insbesondere besteht die symmetrische Gruppe Sn je
zur Hälfte aus geraden und ungeraden Permutationen.
(a) Bestimmen Sie sämtliche Untergruppen und Normalteiler der S3 .
(b) Mit An wird die Menge der geraden Permutationen aus Sn bezeichnet.
Zeigen Sie, dass An ein Normalteiler in der Gruppe Sn ist.
18. (a) Gegeben sei die Permutation π = (12)(13)(14).
(i) Ermitteln Sie die von der Permutation π erzeugte zyklische Untergruppe U der
S4 .
(ii) Berechnen Sie die Nebenklassen (34)U und U (34). Ist die Untergruppe U Normalteiler der S4 ?
(b) Die Gruppen G1 = (Z4 , +) und G2 = (Z∗8 , ·) sind Gruppen der Ordnung 4. Geben Sie
die zu G1 bzw. G2 isomorphen Untergruppen (im Sinne des Satzes von Cayley) von
SG1 bzw. SG2 an.
19. Es sei GLn (R) die Gruppe aller reellen regulären Matrizen und SLn (R) die Teilmenge
dieser Matrizen mit der Determinante 1.
*(a) Zeigen Sie, dass SLn (R) ein Normalteiler in GLn (R) ist.
(b) Beweisen Sie die Isomorphie zwischen der Faktorgruppe GLn (R)/SLn (R) und der
multiplikativen Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen.
Hinweis: Hilfreich ist die Verwendung des Homomorphiesatzes.
H 20. Beweisen Sie:
(a) Für Linksnebenklassen einer Gruppe G nach einer Untergruppe U sind folgende Aussagen logisch äquivalent:
(i) aU = bU
(ii) b ∈ aU
(iii) a−1 b ∈ U .
(b) Ist U Untergruppe einer Gruppe G mit ind(G : U ) = 2, so ist U Normalteiler in G.
Mit ind(G : U ) wird die Anzahl der Nebenklassen von U in G bezeichnet.
Bemerkungen.
Die mit H“ gekennzeichnete Aufgabe ist schriftlich bis zur darauffolgenden Übung vorzubereiten.
”
Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwieriger.
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5. Übungsblatt 12.-16.11.2007: Abelsche Gruppen
21. (a) Es sei (G, ∗) eine Gruppe, und für alle a, b ∈ G gelte (a ∗ b)2 = a2 ∗ b2 .
Zeigen Sie, dass die Gruppe abelsch ist.
(b) In einer Gruppe (G, ∗) mit neutralem Element e gelte a ∗ a = e für alle a ∈ G.
Zeigen Sie, dass die Gruppe abelsch ist.
*(c) Zeigen Sie, dass es in jeder Gruppe gerader Ordnung mindestens ein Element der
Ordnung 2 gibt.
22. Fassen Sie im Folgenden Zn als additive Restklassengruppe modulo n auf.
(a) Welche Ordnungen haben die Elemente (1, 1), (2, 0), (3, 0) und (3, 1) in der Gruppe
Z9 × Z2 ?
(b) Wir betrachten die abelsche Gruppe Z9 × Z3 . Finden Sie, falls möglich, Elemente mit
den Ordnungen 3, 6, 9 und 27.
23. (a) Gesucht ist die Anzahl der paarweise nicht isomorphen abelschen Gruppen der Ordnungen 18, 19, 20, 24 und 6125. Geben Sie diese Gruppen als direktes Produkt von
zyklischen Gruppen von Primzahlpotenzordnung gemäß Basissatz und zum anderen
mit möglichst wenig Faktoren an.
(b) Seien p und q Primzahlen und a ∈ N. Zeigen Sie, dass es dann gleich viele abelsche
Gruppen der Ordnung pa bzw. q a gibt.
H 24. Wir betrachten abelsche Gruppen der Ordnung n, n ∈ N .
(a) Wie viele paarweise nicht isomorphe abelsche Gruppen gibt es,
falls n = 16, 360, 675, 900, 1001, 1176?
(b) Bestimmen Sie die kleinste Zahl n so, dass es genau 6 Isomorphietypen von abelschen
Gruppen der Ordnung n gibt.
H 25. (a) Es gibt drei abelsche Gruppen mit 8 Elementen.
(i) Geben Sie diese Gruppen mit ihren Elementen an.
(ii) Finden Sie, wenn möglich, in jeder dieser Gruppe ein Element der Ordnung 2, 4
und 8.
(iii) Vergleichen Sie diese Gruppen mit den Gruppen der Ordnung 8 aus den Aufgaben
5(a), 8 und H 16.
(b) A und B seien Gruppen. Finden Sie eine homomorphe Abbildung von A × B auf A.
Zeigen Sie mittels Homomorphiesatz, dass (A × B)/B ∼
= A gilt, wobei B die zu B
isomorphe Gruppe B = {(eA , b) | b ∈ B} bezeichnet.
Bemerkungen.
Gelegentlich werden Übungsaufgaben mit H“ oder mit *“ versehen. Die mit H“ gekenn”
”
”
zeichneten Aufgaben sind schriftlich bis zur darauffolgenden Übung vorzubereiten, die mit *“
”
gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwieriger.
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6. Übungsblatt 19.11.-23.11.2007: Ringe, Ideale und Körper
26. Wir betrachten im Ring aller reellen zweireihigen Matrizen die Teilmenge M aller Matrizen
a b
der Form
.
−b a
(a) Zeigen Sie, dass M mit der übliche Matrizenaddition und -multiplikation als Operationen einen Körper bildet.
H (b) Betrachten Sie diese Matrizen über Z2 , und geben Sie die Operationstafeln für Addition und Multiplikation an. Gibt es Nullteiler?
27. Es sei R ein kommutativer Ring mit 1.
(a) Beweisen Sie: Für jedes a ∈ R ist aR = {ar | r ∈ R} =: (a) das kleinste Ideal von R,
das a enthält (das vom Element a erzeugte Ideal).
Ideale der Form (a) heißen Hauptideale; ein Ring, in dem jedes Ideal so darstellbar
ist, heißt Hauptidealring.
(b) Überlegen Sie, wie man ein von zwei Elementen a, b erzeugtes Ideal (a, b) darstellen
kann. Welche Elemente von R müssen jedenfalls in (a, b) liegen?
(c) Man bestimme im Ring Z das kleinste Ideal I, das 4 und 6 enthält (Bez. I = (4, 6)).
Ist I ein Hauptideal, d.h. lässt sich I in der Form (d) = dZ für passendes d ∈ Z
darstellen?
28. (a) Berechnen Sie den ggT der Polynome
P = 20 + 21X + 4X 2 + 10X 3 + 8X 4 und Q = 5 + 9X + 4X 2 + 5X 3 + 4X 4
in Q[X], Z2 [X] und Z3 [X].
(b) Stellen Sie in Z3 [X] den ggT von P und Q in der Form ggT(P, Q) = F · P + G · Q
mit F, G ∈ Z3 [X] dar.
Hinweis: Verwenden Sie den Erweiterten Euklidischen Algorithmus.
H 29. (a) Bestimmen Sie im Restklassenring Z9 alle Lösungen der Gleichung 2x2 + 2x + 5 = 0.
*(b) Zeigen Sie, dass in einem Integritätsbereich I jede Gleichung ax2 + bx + c = 0 mit
a, b, c ∈ I höchstens zwei verschiedene Lösungen haben kann.
30. Betrachten Sie die beiden folgenden linearen Gleichungssysteme im Körper Z5 :
x + 3y + 3z = 3
4x + y + 2z = 1
2x + 2y + 2z = 2
x + 3y + 3z = 3
4x + y + 2z = 1
3x + y + 4z = 1
(a) Untersuchen Sie diese Gleichungssysteme auf Lösbarkeit (Lösbarkeitskriterium, Determinante).
(b) Berechnen Sie ggf. die Lösungsmenge (z.B. mit dem Austauschverfahren).
H (c)
How to share a secret“
”
In einer Firma mit n Abteilungen sollen nur jeweils k (k ≤ n) Abteilungsleiter gemeinsam Zugang zu einem Tresor mit Geheimunterlagen erhalten. Dazu könnte man
wie folgt vorgehen:
Ein Computer wählt zufällig eine (möglichst große) Primzahl p, ein Polynom
P = m + a1 X + . . . + ak−1 X k−1 ∈ Zp [X] und n subkeys“ s1 := P (1), . . . , sn := P (n).
”
Dabei bezeichnet P die zu P gehörige Polynomfunktion. Das absolute Glied m von
P heißt masterkey“ und ermöglicht den Zugang zum Tresor.
”
Jeder der n Abteilungsleiter erhält seinen subkey (auf einer Chipkarte). Bei Eingabe
von k subkeys kann der Computer nun das Polynom P (eindeutig, warum?) (k − 1)sten Grades und damit den masterkey m zur Öﬀnung des Tresors bestimmen.
Berechnen Sie für n = 5, k = 3, p = 11 sowie s1 = 2, s2 = 5, s3 = 5, s4 = 2, s5 = 7
das Polynom P und den masterkey m aus drei (beliebigen) subkeys.
Bemerkungen.
Gelegentlich werden Übungsaufgaben mit H“ oder mit *“ versehen. Die mit H“ gekenn”
”
”
zeichneten Aufgaben sind schriftlich bis zur darauffolgenden Übung vorzubereiten, die mit *“
”
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7. Übungsblatt 26.11.-30.11.2007: Endliche Körper
H 31. (a) Zerlegen Sie das Polynom P = (X 2 − 3)(X 3 − X 2 + X − 1) aus Q[X] in irreduzible
Polynome über Q[X], R[X] und C[X].
*(b) Beweisen Sie: Ein Polynom P ∈ Z[X] besitzt keine Nullstelle α ∈ Z, wenn P (0) und
P (1) ungerade sind.
Hinweis: Fallunterscheidung α gerade bzw. α ungerade.
32. (a) Ermitteln Sie die Nullstellen der Polynome P1 = X + X 2 und P2 = −X + X 3 sowohl
in Z6 als auch in Z7 .
*(b) Es sei p eine Primzahl. Man zeige, dass in Zp [X] gilt:
X p − X = X · (X − 1) · . . . · (X − (p − 1)).
Hinweis: Nutzen Sie den kleinen Satz von Fermat.
33. Bestimmen Sie mit Hilfe des (erweiterten) Euklidischen Algorithmus die multiplikativen
Inversen von
(a) 1 + X 2 in GF(2)[X]/1 + X + X 4 und 1 + X in GF(3)[X]/2 + X + X 2
H (b) 55 in Z89 und (1 + X 2 + X 6 ) in GF(2)[X]/1 + X + X 3 + X 4 + X 8
34. (a) Bestimmen Sie in Z2 [X] alle irreduziblen Polynome vom Grade 2, wählen Sie davon
ein Polynom P aus, und konstruieren Sie den Körper GF(4) = Z2 [X]/P .
H (b) Oﬀensichtlich ist das Polynom Q = 1 + X 2 nicht irreduzibel über Z2 [X].
Konstruieren Sie den Ring R := Z2 [X]/Q, und geben Sie Nullteiler in R an.
35. Wir betrachten den Körper K := Z2 [X]/P mit P = 1 + X 2 + X 3 .
α bezeichne eine Nullstelle von P .
(a) Berechnen Sie alle Potenzen von α als Polynome höchstens zweiten Grades in K.
(b) Ermitteln Sie die Ordnungen und die Inversen aller Elemente in der additiven und
multiplikativen Gruppe von K.
(c) Berechnen Sie in K folgende Ausdrücke:
6
2
(α3 + 1)(α2 + α + 1), (α5 + α3 + 1)−1 , α +9 α .
α
Bemerkungen.
Gelegentlich werden Übungsaufgaben mit H“ oder mit *“ versehen. Die mit H“ gekenn”
”
”
zeichneten Aufgaben sind schriftlich bis zur darauffolgenden Übung vorzubereiten, die mit *“
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8. Übungsblatt 03.-07.12.2007: Irreduzible Polynome, endliche Körper
36. Wir betrachten den Polynomring Z2 [X].
(a) Bestimmen Sie alle Polynome dritten Grades. Welche davon sind irreduzibel?
Sind die irreduziblen Polynome sogar primitiv?
Die reduziblen Polynome schreibe man als Produkt irreduzibler.
(b) Geben Sie jeweils ein reduzibles Polynom vierten und fünften Grades an, dass keine
Nullstellen besitzt.
H (c) Seien P1 , . . . , Pk alle irreduziblen Polynome vom Grad 3.
Zeigen Sie, dass X 8 − X = X · (X − 1) · P1 · . . . · Pk gilt.
Man weise nach, dass alle Elemente des Körpers K aus Aufgabe 35 Nullstellen des
Polynoms X 8 − X sind.
H 37. (a) Gesucht sind alle irreduziblen Polynome 4. Grades über GF(2).
Hinweis: Es kommen nur 8 Polynome in die engere Auswahl“ .
”
(b) Welche dieser Polynome sind sogar primitiv?
38. (a) Stellen Sie eine Logarithmentafel für GF(16) auf, indem Sie Z2 [X] nach einem primitiven Polynom passenden Grades faktorisieren.
(b) Konstruieren Sie ein linear rückgekoppeltes Schieberegister mit diesem primitiven Polynom als Rückkopplungspolynom zur Erzeugung aller Elemente von GF(16).
39. (a) Zeigen Sie, dass in GF(pn ) gilt: (a + b)p = ap + bp .
Hinweis: Nutzen Sie dazu den binomischen Satz.
*(b) Beweisen Sie durch vollständige Induktion über r, dass in GF(pn ) gilt:
r
r
r
(a + b)p = ap + bp .
40. In jedem Körper gilt (a · b)p = ap · bp . Daher ist die Abbildung
f : GF(pn ) −→ GF(pn ) mit f (a) = ap ein Homomorphismus (FrobeniusHomomorphismus).
H (a) Zeigen Sie, dass die Abbildung f injektiv ist.
*(b) Nutzen Sie die Verträglichkeit von f mit Addition und Multiplikation aus, um zu
zeigen, dass für jedes Polynom P ∈ GF(p)[X] gilt: P (X p ) = (P (X))p .
Bemerkungen.
Gelegentlich werden Übungsaufgaben mit H“ oder mit *“ versehen. Die mit H“ gekenn”
”
”
zeichneten Aufgaben sind schriftlich bis zur darauffolgenden Übung vorzubereiten, die mit *“
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9. Übungsblatt 10.-14.12.2007: Anwendungen in der Codierungstheorie
Ein Code (binärer Blockcode) C der Länge n ist eine Teilmenge des Vektorraums (GF (2))n .
C heißt zyklisch, falls C gegen zyklisches Vertauschen der Komponenten abgeschlossen ist,
d.h. aus (c0 , . . . , cn−2 , cn−1 ) ∈ C folgt stets (cn−1 , c0 , . . . , cn−2 ) ∈ C.
C heißt linear, wenn C ein Untervektorraum von (GF (2))n ist.
Fasst man die Codewörter (c0 , . . . , cn−1 ) ∈ C als Polynome“ c0 + c1 X + . . . + cn−1 X n−1 aus
”
dem Faktorring Rn := GF(2)[X]/X n − 1 auf, so wird die zyklische Vertauschung durch eine
Multiplikation mit X beschrieben: (c0 + c1 X . . . + cn−1 X n−1 )X = cn−1 + c0 X + . . . + cn−2 X n−1 .
Die zyklotome Klasse von s (modulo pm − 1) ist definiert durch
Zs = {s, sp, sp2 , . . . , spk−1 }, wobei k die kleinste natürliche Zahl ist mit spk ≡ s (mod pm − 1).
Ist a ein erzeugendes Element der multiplikativen Gruppe von GF(pm ),
(X − ai ).
so gilt für die Minimalpolynome von as über GF(p): Irr(as ,GF(p))=
i∈Zs
41. *(a) Zeigen Sie, dass C ⊆ Rn genau dann zyklisch und linear ist, wenn C ein Ideal von Rn
ist.
(b) Welche der folgenden Mengen sind Ideale von R6 ?
I1 = {0, 1 + X 4 , X + X 5 , 1 + X + X 4 + X 5 }
I2 = {0, 1 + X 2 + X 4 , X + X 3 + X 5 , 1 + X + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 }
42. (a) Zerlegen Sie das Polynom X 16 − X ∈ GF(2)[X] in irreduzible Faktoren.
Benutzen Sie dazu den folgenden Satz:
n
X p −X = Produkt aller über GF(p) irreduziblen, normierten Polynome, deren Grad
n teilt.
(b) Wir betrachten den Körper GF(16) (vergleiche Aufgabe 38).
Finden Sie die Minimalpolynome zu 1, α, α3 , α5 und α7 , und berechnen Sie deren
Produkt.
43. Wir betrachten das Galois-Feld GF(9).
(a) Man bestimme die drei normierten irreduziblen quadratischen Polynome P1 , P2 , P3
über Z3 . Sind alle drei Polynome primitiv?
(b) Man zeige, dass X 9 − X = X(X − 1)(X − 2)P1 (X)P2 (X)P3 (X) gilt.
(c) Das Polynom X 9 − X zerfällt vollständig über GF(9). Man gebe die Nullstellen der
jeweiligen Polynome P1 , P2 , P3 an. Nutzen Sie GF(9) wie auf Folie 5.14 angegeben.
H 44. (a) Mit Hilfe zyklotomer Klassen bestimme man die irreduziblen Teiler von X 8 − X über
GF(2).
(b) Man gebe die zyklotomen Klassen zum Polynom X 31 − 1 über GF(2) an.
H 45. (a) Geben Sie den jeweiligen Grad der irreduziblen Teiler des Polynoms X 63 − 1 über
GF(2) an.
(b) Welchen Grad haben die irreduziblen Teiler des Polynoms X 27 − X über GF(3)?
(c) Wie viel irreduzible Polynome vom Grad 4 gibt es über GF(3)?
Bemerkungen.
Gelegentlich werden Übungsaufgaben mit H“ oder mit *“ versehen. Die mit H“ gekenn”
”
”
zeichneten Aufgaben sind schriftlich bis zur darauffolgenden Übung vorzubereiten, die mit *“
”
gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwieriger.
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10. Übungsblatt 17.-21.12.2007: Verbände
46. Wir betrachten die prime Restklassengruppe (Z∗15 , ·) (vgl. Aufgabe 16.):
(a) Bestimmen Sie alle Untergruppen (es gibt acht) dieser Gruppe.
Welche Elementeanzahlen kommen dafür nur in Frage?
Beachten Sie, dass nicht alle Untergruppen zyklisch sein müssen.
(b) Die Menge U(Z∗15 ) der Untergruppen der Z∗15 ist bezüglich ⊆ verbandsgeordnet.
Machen Sie sich Infimum und Supremum klar, und zeichnen Sie das Hasse-Diagramm
dieses Verbandes.
Zum Vergleich ist der Untergruppenverband U (Z12 ) auf Folie 5.10.2. angegeben.
47. Die Menge N ist durch die Teilbarkeitsrelation | verbandsgeordnet.
Beschreiben Sie Infimum x ∧ y und Supremum x ∨ y für x, y ∈ N, und machen Sie sich
folgenden Zusammenhang klar:
x ∧ y = x gdw. x ∨ y = y gdw. x | y
Hat der Verband (N, ∧, ∨) ein kleinstes bzw. ein größtes Element?
Hängt die Antwort davon ab, ob man die Null zu N zählt oder nicht?
48. (N, ≤) ist eine verbandsgeordnete Menge.
Auf N × N wird wie folgt eine Halbordnungsrelation erklärt:
(k, l) (m, n) genau dann wenn, k ≤ m ∧ l ≤ n.
Wird N × N mit dieser Relation zu einem Verband?
Gilt das allgemein für L1 × L2 mit Verbänden L1 und L2 ?
Untersuchen Sie, welche der folgenden Abbildungen von (N×N, ) in (N, ≤) surjektiv oder
monoton sind:
f (m, n) = m + n
g(m, n) = |m − n|
h(m, n) = 2m · 3n
H 49. Der sparsame Bürgermeister einer Gemeinde hatte für das Jahr 2007 am Rathaus eine
Lichterkette mit 52 Glühlampen, die sich einzeln schalten lassen, angebracht. Dabei bewirkt jeder Schaltvorgang eine Änderung des Zustandes (an - aus - an - aus - . . . ).
Am Neujahrstag 2007 (Montag, 1. Kalenderwoche (KW)) ließ er alle Glühlampen anschalten. An jedem Montag wurde erneut geschaltet:
In der n-ten KW wurde jede (n + 1)-ste Glühbirne geschaltet, dh. an- oder ausgeschaltet.
• Am Heilig Abend 2007 (Montag, 52. Kalenderwoche) wird letztmalig geschaltet. Wie
viele und welche Glühlampen brennen dann?
• Welche Glühlampen hätten am Heilig Abend gebrannt, wenn die Kette aus 104
Glühlampen bestanden hätte?
• Versuchen Sie, Ihre Ergebnisse zu begründen, zu verallgemeinern und exakt zu formulieren.
H 50. Den 26 Buchstaben des Alphabets werden der Reihe nach die Elemente 0 bis 25 aus
Z26 zugeordnet. Die Elemente x werden gemäß einer Abbildung f : Z26 −→ Z26 mit
f (x) = ax + b verschlüsselt.
*(a) Welche Bedingungen müssen a und b erfüllen, damit f injektiv ist bzw. Fixpunkte
hat?
(b) Wir betrachten nun die spezielle Abbildung f , die dem Buchstaben I das Element 2
und dem Buchstaben M das Element 14 aus Z26 zugeordnet.
(i) Bestimmen Sie daraus a, b ∈ Z26 . Ist f bijektiv?
(ii) Verschlüsseln Sie die Nachricht FROHE durch die Abbildung f , und geben Sie
die verschlüsselte Zeichenfolge an.
(iii) Die Zeichenfolge UGJQDR sei durch Verschlüsselung mit der obigen Abbildung
f entstanden. Wie lauten die Entschlüsselungsfunktion f −1 und der Klartext?
(iv) Gibt es Buchstaben, so dass bei Verschlüsselung mit f Original und Bild übereinstimmen?
Bemerkungen.
Gelegentlich werden Übungsaufgaben mit H“ oder mit *“ versehen. Die mit H“ gekenn”
”
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zeichneten Aufgaben sind schriftlich bis zur darauffolgenden Übung vorzubereiten, die mit *“
”
gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwieriger.
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11. Übungsblatt 07.-11.01.2008:
Hüllenoperatoren, ordnungserhaltende Abbildungen
51. In welchem der folgenden Fälle ist C ein Hüllenoperator auf N?
(a) C(X) = X ∪ {x + 1 | x ∈ X}
∅ : falls X endlich
(b) C(X) =
N : sonst
X : falls X endlich
(c) C(X) =
N : sonst
X : falls 2 ∈ X
(d) C(X) =
N : sonst
52. Es sei A eine Menge und H eine Teilmenge der Potenzmenge von A, d.h. H ∈ P(P(A)).
Die Teilmenge H heißt Hüllensystem auf A, wenn sie A enthält und gegen beliebige
Durchschnitte abgeschlossen ist.
(a) Geben Sie alle Hüllensysteme auf A für A = {1} und A = {1, 2} an.
*(b) Es gibt eine bijektive Beziehung zwischen den Hüllenoperatoren und den Hüllensystemen auf einer Menge A:
Ist C : P(A) −→ P(A) ein Hüllenoperator, so ist die Menge H = {C(X) | X ⊆ A} aller
Hüllen ein Hüllensystem. Umgekehrt gehört
zu jedem Hüllensystem H ein Hüllenoperator C : P(A) −→ P(A) mit C(X) = {H ∈ H | X ⊆ H}.
Zeigen Sie den ersten Teil der Behauptung.
Beweisen Sie: H ist die Menge aller Fixpunkte von C.
(c) Machen Sie sich diese Situation nochmals für A = Z∗15 (vgl. Aufgabe 46.) klar;
C(X) beschreibe die von X erzeugte Untergruppe.
H 53. (a) Beweisen Sie: Jeder vollständige Verband L ist beschränkt, d.h. L hat ein kleinstes
und ein grösstes Element.
(b) Sei A eine unendliche Menge. Ist (P(A), ∩, ∪) ein vollständiger Verband?
Mit Pf in (A) werde die Menge aller endlichen Teilmengen von A bezeichnet.
Ist Pf in (A) bzgl. ∩ und ∪ ein Verband oder sogar ein vollständiger Verband?
54. Wir betrachten die Mengen N \ {0} der natürlichen und Nu der ungeraden natürlichen
Zahlen jeweils bzgl. der Teilbarkeitsrelation. Beweisen Sie:
(a) Die Abbildung f : N \ {0} −→ Nu , wobei f (n) die größte ungerade Zahl bezeichnet,
die n teilt, ist ordnungserhaltend.
*(b) Die geordneten Mengen N und Nu sind isomorph.
Hinweis. Man bilde jede Primzahl auf die nächstfolgende ab.
*H 55. (a) Wie viele Abbildungen f : {1, 2, . . . , n} −→ {1, 2, 3} gibt es?
Wie viele davon sind gleichzeitig surjektiv und ordnungserhaltend?
(b) Geben Sie eine bijektive ordnungserhaltende Abbildung zwischen Verbänden an, deren
Umkehrabbildung nicht ordnungserhaltend ist.
Gibt es eine solche Abbildung auch zwischen Ketten?
Hinweis. Man findet ein solches Beispiel schon für sehr kleine Verbände; vier Elemente genügen.
Bemerkungen.
Gelegentlich werden Übungsaufgaben mit H“ oder mit *“ versehen. Die mit H“ gekenn”
”
”
zeichneten Aufgaben sind schriftlich bis zur darauffolgenden Übung vorzubereiten, die mit *“
”
gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwieriger.
Das gesamte Mathe-Team wünscht eine frohe Weihnacht und einen guten
Rutsch nach 2008.
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12. Übungsblatt 14.-18.01.2008: Partielle Ableitungen
56. Gegeben seien die Funktionen z = f (x, y) = x2 + y 2 + 8x − 6y und z = g(x, y) = ex
2
2+ y
4
.
(a) Beschreiben Sie die Niveaulinien von f und g.
(b) Welche Kurven schneiden die durch diese Funktionen gegebenen Flächen aus der
(x, z) - bzw. (y, z) -Ebene aus?
57. (a) Ermitteln Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung für die folgenden
Funktionen:
(i) z = f (x, y) = y x + xy
x+y
(ii) z = f (x, y) = x2 e2y + arctan 1−xy
(b) Weisen Sie nach, dass z = f (x, y) = ( 13 x3 + 1) cosh(y)
2 − 4f 2 = 4x4 erfüllt.
die (partielle Diﬀerenzial-)Gleichung x2 fxx
xy
√
√
58. (a) Berechnen Sie das totale Diﬀerenzial der Funktion z = f (x, y) = x − y + ln xy.
(b) Untersuchen Sie, ob die folgenden Ausdrücke totale Diﬀerenziale sind, und berechnen
Sie gegebenenfalls die zugehörigen Funktionen z = f (x, y):
(i) (2x + 2xy 4 )dx + (4y 3 x2 + 3y 2 )dy
(ii) x sin(y)dx + x2 cos(y)dy
59. Ermitteln Sie jeweils die Gleichung der Tangentialebene, die im Punkt P0 (x0 , y0 , z0 ) die
durch z = f (x, y) gegebene Fläche berührt:
√
(i) z = f (x, y) = 12 4 − (x2 + y 2 ); P0 (1, 2, z0 )
(ii) z = f (x, y) =
x2 y
, |x| = 2; P0 (1, 3, z0 )
4 − x2
H 60. (a) Gegeben sei die Funktion z = f (x, y) = x2 + 9y 2 − 36y + 27.
(i) Ermitteln Sie die Gestalt der Niveaulinien, insbesondere für c = 0 und c = 27.
(ii) Welche Schnittkurve ergibt sich beim Schnitt mit der (y, z) -Ebene?
(iii) Geben Sie die Gleichung der Tangentialebene, die im Punkt P0 (3, 2, z0 ) die durch
f dargestellte Fläche berührt, an.
y
(b) Erfüllt die Funktion z = f (x, y) = xe− x die (partielle Diﬀerenzial-)Gleichung
xzxy + 2(zx + zy ) = yzyy ?
Bemerkungen.
Gelegentlich werden Übungsaufgaben mit H“ oder mit *“ versehen. Die mit H“ gekenn”
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13. Übungsblatt 21.-25.01.2008: Implizite Diﬀerenziation; Fehlerrechnung
61. (a) In einem rechtwinkligen Dreieck wurde die Hypothenuse mit c = (130 ± 3)m und die
Kathete mit a = (50 ± 2)m gemessen. Welcher absolute Fehler ergibt sich hieraus für
den Winkel α?
(b) Für die Messung der Hypothenuse und Kathete soll die gleiche Fehlerschranke vorliegen. Wie gross darf diese maximal sein, wenn der absolute Fehler des Winkels unter
einem Grad liegen soll?
H 62. Schätzen Sie den relativen Fehler, der bei der Berechnung des Volumens V = 13 πr 2 h eines
geraden Kreiskegels entsteht, ab, falls bei der Messung des Grundkreisradius r ein relativer Fehler von höchstens 2% und bei der Messung der Höhe h ein relativer Fehler von
höchstens 3% angenommen werden kann.
Frage: Wie kann man die Formel für V mittels Integralrechnung herleiten?
63. Berechnen Sie Ḟ =
dF
dt
für die Funktionen
(a) F (t) = f (x, y) = ln((x + y)xy) mit x = t2 − 1, y = t2 + 1 (|t| > 1);
(b) F (t) = f (x, y) = x+y
x−y mit x = x(t), y = y(t).
64. (a) Durch die Gleichung (x2 + y 2 )2 − 2x(x2 + y 2 ) − y 2 = 0 ist eine Kardioide gegeben.
Ermitteln Sie die Gleichungen der Tangenten an diese Kurve für x = 0, y = 0.
H (b) Durch die Gleichung cos(xy) = x + 2y ist implizit eine Funktion y = f (x) gegeben.
Ermitteln Sie f (0) und f (0) sowie die Gleichung der Tangente an die Kurve im
Schnittpunkt mit der y-Achse.
65. Durch F (x, y, z) = 0 ist eine Funktion z = f (x, y) in impliziter Form gegeben. Berechnen
Sie die Funktionswerte der partiellen Ableitungen erster Ordnung von z = f (x, y) im
Punkt (x0 , y0 , z0 ) für
(a) F (x, y, z) = z + x ln(z) + y = 0
(b) F (x, y, z) = y 2 − 2−z (x − z) = 0
(x0 , y0 , z0 ) = (5, −1, 1)
(x0 , y0 , z0 ) = (7, 4, −1)
Bemerkungen.
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14. Übungsblatt 30.01.-03.02.2006: Taylorentwicklung; Extremwertaufgaben
66. An der Entwicklungsstelle (x0 , y0 ) = (0, 1) soll zur Funktion z = f (x, y) = ln(x2 + y)
das Taylorpolynom 2. Grades (Taylorformel bis einschließlich der partiellen Ableitungen
zweiter Ordnung) berechnet werden.
Wie lautet der Normaleneinheitsvektor der Tangentialebene an die durch z = f (x, y) gegebene
Fläche an der Entwicklungsstelle?
67. Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf relative Extremstellen.
Geben Sie jeweils die Art der Extremstellen und die zugehörigen Funktionswerte an.
(a) z = f (x, y) = x3 y − 3xy + y 2 + 1
*(b) z = f (x, y) = x4 + y 4 − 2x2 + 4xy − 2y 2
H (c) z = f (x, y) = xy ln(x + y)
H 68. Betrachten Sie die Funktion f aus Aufgabe 67. (c).
(a) Ermitteln Sie die Tangentialebene f1 zu f im Punkt (2, −1, f (2, −1)) in Parameterdarstellung und als Gleichung in Koordinatenform.
(b) Berechnen Sie das Taylorpolynom f2 zweiten Grades zu f ?
69. (a) Geben Sie die Koordinaten des Punktes an, für den die Summe der Quadrate der
Abstände zu den Punkten (1,2), (2,3) und (3,4) minimal ist.
Welche Koordinaten hat der gesuchte Punkt, wenn n (n ≥ 1) Punkte
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) gegeben sind?
2
2
y
(b) Gegeben sei die Ellipse mit der Gleichung x2 + 2 = 1 (a, b > 0), die durch den
a
b
festen Punkt P0 (x0 , y0 ) (x0 , y0 > 0) geht.
Bestimmen Sie die Längen a, b der Halbachsen, so dass der Flächeninhalt der Ellipse
minimal wird.
√
*70. x2 + 2 3xy − y 2 − 8 = 0 ist die Gleichung einer Hyperbel, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt.
Welche Punkte auf der Hyperbel haben von diesem Punkt die kleinste Entfernung?
Bemerkungen.
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1. Übungsblatt 14.-18.04.2008:
Diﬀerenzialgleichungen erster Ordnung
1. Gegeben sei die Diﬀerenzialgleichung sin(x) · y + cos(x) · y = sin(2x).
(a) Überprüfen Sie, dass für alle C ∈ R die Funktionen y = f (x) =
C + sin(x)
sin(x)
Lösungen dieser Diﬀerenzialgleichung sind.
(b) Welche dieser Lösungen hat für x = π
4 einen relativen Extremwert?
(c) Hat die in (b) ermittelte Lösung weitere Extremstellen im Bereich 0 < x < π ?
2. (a) Geben Sie eine Diﬀerenzialgleichung erster Ordnung an, deren Lösungen
2
die Funktionen f (x) = a · e−x · cos(x), a ∈ R, sind.
(b) Lösen Sie die in (a) gefundene Diﬀerenzialgleichung, und ermitteln Sie diejenige
Lösung, die der Anfangsbedingung y(0) = 5 genügt.
3. Trennung der Veränderlichen
(a) Lösen Sie folgende Diﬀerenzialgleichungen:
(i) y − cos(x) · y = cos(x)
(ii) xy + y = y 2
(b) Behandeln Sie folgende Anfangswertaufgabe (AWA):
ẋ = et−x ; x(1) = 1 + ln(2)
*4. Wachstumsprozesse mit Sättigungsgrenze“ können durch die folgende Diﬀerenzialglei”
chung beschrieben werden: ẋ = αx(t)(1 − βx(t)), α, β > 0.
Geben Sie die Lösungen dieser Diﬀerenzialgleichung an, berechnen Sie lim x(t) und intert→∞
pretieren Sie Ihre Ergebnisse.
H 5. Gegeben sei die Funktion f (x, y) = sin(x) · ex+ay , a ∈ R.
(a) Ermitteln Sie alle ersten und zweiten Ableitungen von f .
(b) Für welche Werte von a erfüllt f die partielle Diﬀerenzialgleichung:
2fx − fxx − fyy = 0 ?
Bemerkungen.
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2. Übungsblatt 21.-25.04.2008: Diﬀerenzialgleichungen erster Ordnung
6. Lösen Sie folgende Ähnlichkeitsdiﬀerenzialgleichungen bzw. AWA:
y2
(a) 2xy + x = 0
(b) xy = y(ln y − ln x), x, y > 0; y(1) = e2
(c) xyy = 4y 2 + x2
7. Lösen Sie folgende Diﬀerenzialgeichungen (bzw. AWA), falls sie sich durch Trennen der
Variablen behandeln lassen oder sich auf derartige Diﬀerenzialgleichungen zurückführen
lassen:
(a) e−y · (y + 1) = 1; y(0) = ln 2
(b) (sin x) · y + (cos x) · y = sin(2x)
(c) x2 y 2 y + xy 3 = 1
xy
. Interpretieren Sie die Lösungskurven geometrisch.
*(d) y = 2 · 2
x − y2
8. (a) Man löse folgende homogene lineare Diﬀerenzialgleichungen erster Ordnung:
(ii) x2 y + (1 − 2x)y = 0
(i) sin(x) · y + cos(x) · y = 0
(b) Zu den homogenen Diﬀerenzialgleichungen aus (a) betrachte man folgende Störfunktionen h(x), bestimme eine partikuläre Lösung der so entstehenden inhomogenen
Diﬀerenzialgleichungen und gebe ihre allgemeine Lösung an:
(i) h(x) = sin(2x)
(ii) h(x) = x2
*9. Eine Diﬀerenzialgleichung (erster Ordnung) der Form y = g(x)y + r(x)y α, α ∈ R \ {0, 1},
heißt Bernoullische Diﬀerenzialgleichung.
(a) Durch die Substitution z = y 1−α , überführe man eine Bernoullische Diﬀerenzialgleichung in eine lineare Diﬀerenzialgleichung. Was ergibt sich für α = 0 bzw. α = 1?
(b) Lösen Sie folgende Bernoullische Diﬀerenzialgleichungen:
√
(ii) (xy + 2y) · cos2 (x) = 2x · y, y 0
(i) x2 y 2 y + xy 3 = 1
H 10. Lösen Sie folgende Anfangswertaufgaben:
(a) (1 + ex )yy = ey , y(0) = 0
2
(c) y + 2xy = 2xe−x , y(0) = 1
(b) xy − y =
x2 + y 2 , y(1) = 1
Bemerkungen.
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3. Übungsblatt 28.-02.05.2008:
Lineare Diﬀerenzialgleichungen höherer Ordnung
11. (a) Lösen Sie die folgenden homogenen (linearen) Diﬀerenzialgleichungen:
(i) y −y −2y = 0
(ii) y −3y +3y −y = 0
(iii) y (4) −3y −2y +2y +12y = 0
H (b) Überprüfen Sie die lineare Unabhängigkeit der Fundamentallösungen aus (ii) mit der
Wronskischen Determinante.
12. Mittels Ansatzmethode löse man folgende inhomogenen Diﬀerenzialgleichungen:
(i) y + 4y − 5y = 2x
(ii) y + 4y = cos(2x)
(iii) y − 3y + 3y − y = 12 ex
13. Gegeben sei folgende Diﬀerenzialgleichung y (4) − y + 3y + 5y = g(x).
Man gebe Ansätze zur Bestimmung einer partikulären Lösung dieser inhomogenen
Diﬀerenzialgleichung an, falls die Störfunktion g(x) folgende Gestalt hat:
(i) g(x) = 2x2 + 3x3
(ii) g(x) = (4x − 5)e−x
(iv) g(x) = ex (4 sin(2x) − cos(2x)) (v) g(x) = 2 + cosh(x)
(iii) g(x) = 3x cos(2x)
(vi) g(x) = sinh2 (x)
14. Lösen Sie folgende Anfangswertaufgaben:
(a) 4y + 12y + 9y = 0; y(0) = y (0) = 1, y (0) = −3
H (b) y − 4y − 3y + 18y = 8e2x − 54x2 + 63; y(0) = 10, y (0) = 0, y (0) = 5
H 15. Bestimmen Sie den Typ der folgenden Diﬀerenzialgleichungen, und machen Sie sich das
zugehörige Lösungsverfahren klar:
y2 − x
(b) y =
(a) x(y − y) = 1 + x2 ex
2y(x + 1)
(c) y − 4y + 4y = sinh(2x)
(d) y 2 + x2 y = xyy Bemerkungen.
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4. Übungsblatt 05.-16.05.2008:
Diﬀerenzialgleichungssysteme, Tayloransatz; Wiederholung
16. (a) Sei y (n) = f (x, y, y , . . . , y (n−1) ) eine Diﬀerenzialgleichung n-ter Ordnung.
Wir setzen y1 := y, y2 := y , . . . , yn := y (n−1) und betrachten das
= yn , yn = f (x, y1 , . . . , yn ).
Diﬀerenzialgleichungssystem y1 = y2 , . . . , yn−1
(i) Man überlege sich (für n = 3 und f (x, y, y ) = a0 y + a1 y + a2 y ), dass dieses
System der gegebenen Diﬀerenzialgleichung lösungsäquivalent“ ist, d.h.
”
Ist y Lösung der Diﬀerenzialgleichung, so löst (y1 , y2 , . . . , yn )T
mit y1 = y, y2 = y , . . . , yn = y (n−1) das System; umgekehrt ist y1 Lösung der
Diﬀerenzialgleichung, falls (y1 , y2 , . . . , yn )T Lösung des Systems ist.
(ii) Man löse durch Überführung in das zugehörige System die
Diﬀerenzialgleichung y − y − 2y = 0 (vgl. Aufgabe 11. (a)(i)).
H (b) Lösen Sie folgendes Diﬀerenzialgleichungssystem:
y1 = y2 + y3 , y2 = y1 + y3 , y3 = y1 + y2 .
17. Mittels Tayloransatz nähere man die Lösung zur AWA (1 + x2 )y = xy; y(0) = 3
durch ein Taylorpolynom fünften Grades an.
Lösen Sie diese AWA konventionell“, und entwickeln Sie die Lösung in eine Potenzreihe.
”
Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem ermittelten Taylorpolynom.
18. (a) Wir betrachten das Polynom dritten Grades p(x) := −2x3 + x2 + x + 54 .
Ermitteln Sie ein quadratisches Polynom q(x) := ax2 + bx + c mit q(x) = p(x) für
x = 0, x = 1 und x = 32 . Führen Sie die Probe durch.
(b) Gesucht ist eine Funktion g(x) der Gestalt g(x) = a1 + a2 ea3 x .
Gibt es zu den folgenden Wertetabellen
(i)
1 2 3
x
f (x) 1 4 3
bzw.
(ii)
x
0 2
f (x) 5 3
4
13
5
passende a1 , a2 , a3 ∈ R, so dass f und g an den gegebenen Stellen übereinstimmt?
Berechnen Sie ggf. diese Koeﬃzienten.
W 19. Alle im Folgenden angegebenen Permutationen seien Elemente der S8 , d.h. Permutationen
auf der Menge A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
(a) Es seien p = (243)(1875)(2634)(58), q = (57)(51)(52)(53) und
r=
1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 5 1 8 7 6
(i) Stellen Sie p, q und alle Potenzen der Permutation r als Produkt elementefremder
Zyklen dar (Hauptproduktdarstellung).
(ii) Geben Sie alle Fixpunkte von p, q, und r an.
(b) Berechnen Sie das Produkt p−1 ◦ q ◦ p für
(i) p = (574), q = (126)
(ii) p = (135)(12), q = (1574)
(c) Es sei p = (16)(243)(578), q = (1875)(2634).
(i) Ermitteln Sie x und y aus den Gleichungen p ◦ x = q und y ◦ p = q .
(ii) Gibt es eine Permutation z, die der Gleichung
q −5 ◦ p5 ◦ z ◦ q 3 = p−1 ◦ q −1 genügt?
(d) (i) Wie viele Elemente hat die von p = (163)(243)(578) in S8 erzeugte zyklische
Untergruppe?
(ii) Geben Sie die kleinste Untergruppe der S8 an, die die beiden Permutationen
p = (123) und q = (45) enthält.
⎛
⎞
1 2 0
W 20. Gegeben sei die Matrix A = ⎝ 2 1 0 ⎠.
2 2 2
(a) Man betrachte A als Matrix über GF(7):
(i) Bestimmen Sie die Determinante und den Rang von A.
(ii) Gibt es einen Vektor bT ∈ (GF(7))3 , so dass das lineare Gleichungssystem
Ax = b nicht lösbar ist?
(b) Man betrachte A als Matrix über GF(3):
(i) Geben Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems Ax = 0 elementweise an.
(ii) Begründen Sie, dass Ax = b für bT = (1, 0, 0) ∈ (GF(3))3 nicht lösbar ist.
Bemerkungen.
Gelegentlich werden Übungsaufgaben mit H“ oder mit *“ versehen. Die mit H“ gekenn”
”
”
zeichneten Aufgaben sind schriftlich bis zur darauffolgenden Übung vorzubereiten, die mit *“
”
gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwieriger.
Die mit W“ versehenen Aufgaben sind Aufgaben zur Wiederholung und sollen der Klausurvor”
bereitung dienen.
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Mathematik 4 für Informatiker - SS 2008
5. Übungsblatt 19.-23.05.2008:
Iteration, Newtonverfahren; Wiederholung
• Bitte Taschenrechner mitbringen.
21. (a) Gegeben sind die Gleichungen
(i) x4 − 2x − 2 = 0
(iii) lg(x) − x2 + 3 = 0
(ii) ex + x2 − 4 = 0
√
(iv) x2 − x − 2 = 0 .
• Ermitteln Sie graphisch Näherungswerte für alle reellen Lösungen dieser Gleichungen.
• Transformieren Sie diese Gleichungen auf verschiedene Weise auf Iterationsformen x = g(x).
(b) Gegeben ist die Gleichung ex − 2x − 3 = 0.
(i) Ermitteln Sie graphisch Näherungswerte für alle Lösungen dieser Gleichung.
(ii) Untersuchen Sie, welche der folgenden Iterationsformen für die Verbesserung dieser Näherungswerte geeignet sind:
x = 12 (ex − 3) =: g1 (x)
x = ln(2x + 3) =: g2 (x)
22. Verbessern Sie die jeweils größten ermittelten Näherungswerte aus den Aufgaben 21. (i)
und H (iii) unter Nutzung geeigneter Iterationsformen.
Führen Sie mindestens 5 Iterationsschritte aus.
23. (a) In Aufgabe 21. (iii) ergibt sich ein Näherungswert zu x0 = 1, 7.
Verbessern Sie diesen Wert durch 3 Iterationsschritte mit dem Newtonverfahren.
Kontrollieren Sie die Konvergenzbedingung.
*(b) Leiten Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens eine Iterationsvorschrift zur numerischen
√
Berechnung von 3 a, a > 0 her.
W 24. Wir betrachten die primen Restklassengruppen (Z∗n , ·) für n=8, 10 und 24.
(a) Bestimmen Sie alle Elemente dieser Gruppen.
(b) Ermitteln Sie die Ordnungen aller Elemente und zu jedem Element das Inverse.
(c) Falls möglich, geben Sie jeweils eine Untergruppe mit zwei, drei bzw. vier Elementen an.
W 25. Gegeben sei der endliche Körper K := Z2 [X]/P mit P (X) = 1 + X 3 + X 4 .
α sei eine Nullstelle von P.
(a) Wieviele Elemente hat der Körper K und die multiplikative Gruppe dieses Körpers?
(b) Ermitteln Sie die Ordnungen und die Inversen aller Elemente in der additiven und
multiplikativen Gruppe von K.
(c) Hat die multiplikative Gruppe nichttriviale Untergruppen?
(d) Berechnen Sie in K folgende Ausdrücke:
(i) (α+α2 +α3 )−1
(ii)(1+α+α2 )(α+α2 +α3 )α−3
(iii)
(1 + α + α2 + α3 )(1 + α + α3 )
1 + α2 + α3
(e) Was ergibt sich für P (α8 )?
Bemerkungen.
Gelegentlich werden Übungsaufgaben mit H“ oder mit *“ versehen. Die mit H“ gekenn”
”
”
zeichneten Aufgaben sind schriftlich bis zur darauffolgenden Übung vorzubereiten, die mit *“
”
gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwieriger.
Die mit W“ versehenen Aufgaben sind Aufgaben zur Wiederholung und sollen der Klausurvor”
bereitung dienen.
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6. Übungsblatt 26.-30.05.2008: Interpolation
• Bitte Taschenrechner mitbringen.
26. Gegeben seien die folgenden Stützpunkte:
xi 1
3 5 6
yi 3 −3 15 48
.
(a) Bestimmen Sie ein Interpolationspolynom P entsprechenden Grades nach Newton.
(b) Ermitteln Sie jeweils P (4) durch Einsetzen in P (x) und direkt im Steigungsspiegel.
*(c) Ermitteln Sie jeweils P (4) durch Einsetzen in P (x), im Hornerschema für P (x) und
direkt im Steigungsspiegel.
27. Bei äquidistanten Stützstellen (Schrittweite h) kann das Newtonsche Interpolationsverfahren vereinfacht werden. Statt des Steigungsspiegels wird das einfacher zu berechnende
Diﬀerenzenschema aufgestellt: c0 = y0 ;
[x x ] − [x x ]
(y − y1 ) − (y1 − y0 )
Δ2 y 0
Δy0
; c2 = [x2 x1 x0 ] = 2 x1 − x 1 0 = 2
=:
;
h
h · 2h
2
0
2h2
Δi y 0
.
allgemein: ci =
i!hi
Die Ausdrücke Δi heißen aufsteigende Diﬀerenzen i-ter Ordnung.
c1 = [x1 x0 ] =:
(a) Bestimmen Sie mit dem Diﬀerenzenschema (für äquidistante Stützstellen) die Newtonsche Form des Interpolationspolynoms zu folgender Wertetabelle:
4
xi −4 −2 0 2
.
yi −31
5 1 5 −31
(b) Durch Umformung kann man das Newtonsche Interpolationspolynom in die Form
a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 (Normalform) bringen.
Treﬀen Sie eine Aussage über die Koeﬃzienten a1 und a3 in diesem Polynom, ohne
die Umformung durchzuführen.
H (c) Wie verändert sich das Polynom, wenn der Stützpunkt (6,5) hinzugenommen wird?
28. Gegeben seien n ≥ 2 Punkte, die auf einer Geraden liegen.
(a) Welchen Grad hat das Newton-Interpolationspolynom N (x) zu diesen n Stützpunkten?
*(b) Ein weiterer Punkt liege außerhalb dieser Geraden.
Welchen Grad hat das Newton-Interpolationspolynom P (x) =
n + 1 Stützpunkten? Diskutieren Sie dazu die Koeﬃzienten ci .
n
i=0
ci Ni (x) zu diesen
*29. Vgl. Bronstein u. a., Taschenbuch der Mathematik, Abschnitt 19.7.1 Kubische Splines:
Es seien N Interpolationspunkte (xi , fi ), i = 1, . . . , N gegeben.
Für den (natürlichen) kubischen Interpolationsspline S(x) wird für das Intervall [xi , xi+1 ]
mit der Länge hi = xi+1 − xi folgender Ansatz gemacht:
Si (x) = ai + bi (x − xi ) + ci (x − xi )2 + di (x − xi )3 ; i = 1, . . . , N − 1.
Aus den Forderungen an S(x) ergeben sich für die gesuchten Koeﬃzienten folgende Gleichungssysteme:
• ai = fi ; i = 1, . . . , N − 1, außerdem wird aN = fN gesetzt.
c − ci−1
; i = 2, . . . , N − 1.
• di−1 = i
3hi−1
Diese Formel gilt auch für i = N , wenn man cN einführt und gleich Null setzt.
a −a
2c
+ ci
hi−1 ; i = 2, . . . , N .
• bi−1 = i h i−1 − i−13
i−1
• c1 = 0 und
a
− ai ai − ai−1
−
; i = 2, . . . , N − 1.
ci−1 hi−1 + 2(hi−1 + hi )ci + ci+1 hi = 3 i+1
hi
hi−1
(a) Veriﬁzieren Sie die Gleichungen für die di , indem Sie die Stetigkeit von S (x) ausnutzen.
H(b) Zeigen Sie, dass sich unter Verwendung der Stetigkeit von S(x) und S (x), die weiteren Gleichungen herleiten lassen.
30. (a) Berechnen Sie die Splinefunktion zu der in der Vorlesung verwendeten Wertetabelle:
0 1 2 4
xi
.
yi −3 1 2 7
H (b) Die in (a) benutzte Tabelle werde durch den weiteren Stützpunkt (3, 2) ergänzt.
Berechnen Sie dazu die Splinefunktion.
H (c) Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse und plotten Sie die jeweiligen Kurven mit MAPLE.
Die entsprechenden Befehle lauten >spline bzw. >plot.
Bemerkungen.
Gelegentlich werden Übungsaufgaben mit H“ oder mit *“ versehen. Die mit H“ gekenn”
”
”
zeichneten Aufgaben sind schriftlich bis zur darauffolgenden Übung vorzubereiten, die mit *“
”
gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwieriger.
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7. Übungsblatt 02.-06.06.2008: Approximation
• Bitte Taschenrechner mitbringen.
31. Gegeben sei die folgende Wertetabelle
xk −1 0 1 2 3
.
yk
4 1 1 3 6
(a) Welchen Grad besitzt ein zugehöriges Interpolationspolynom höchstens?
(b) Man bestimme Ausgleichspolynome F (x) dritten, zweiten Grades und ersten Grades
n
(F (xk ) − yk )2 , der dabei auftritt.
sowie den jeweiligen Fehler
k=0
(c) Geben Sie das zur Wertetabelle gehörige Interpolationspolynom an.
32. Durch die Substitution z := x − 1 erhält man aus der Wertetabelle aus Aufgabe 31
zum Nullpunkt symmetrische Stützpunkte (xk , zk ). Das bringt Rechenvorteile und führt
zu folgendem Normalgleichungssystem:
1
b0 b1 b2 b3
5 0 10 0 15
0 10 0 34 6
10 0 34 0 44
0 34 0 130 18
Lösen Sie dieses Gleichungssystem. Daraus erhalten Sie die Approximationsfunktion F(z).
Nutzen Sie das Hornerschema, um daraus die Approximationsfunktion F (x) zu gewinnen.
H 33. Gegeben ist die Wertetabelle
zk −2 −1 0 1 2
.
yk −8 −2 0 2 12
Gesucht ist das Ausgleichspolynom F(z) dritten Grades.
(a) Stellen Sie das zugehörige Normalgleichungssystem auf.
(Hinweis: Sie können dazu Aufgabe 32 nutzen.)
(b) Ermitteln Sie F(z).
(c) Überlegen Sie was zu tun wäre, wenn ein quadratisches Ausgleichspolynom ermittelt
werden sollte.
34. Durch stetige Approximation im Mittel bestimme man zur Funktion f (x) =
Intervall [−1, 1] ein Polynom 3. Grades.
1
im
1 + x2
Benutzen Sie als Basisfunktionen für den Vektorraum der Polynome höchstens dritten
Grades die Funktionen 1, x, x2 , x3 .
Die Potenzen von x sind bekanntlich im Wechsel gerade bzw. ungerade Funktionen.
Wie und warum kann man den Ansatz für das Approximationspolynom wegen dieser Eigenschaft und einer Eigenschaft von f (x) vereinfachen?
H *35. Lösen Sie Aufgabe 34 nochmals, in dem Sie die Legendreschen Polynome P0 , P1 , P2 , P3
mit P0 (x) = 1, P1 (x) = x und allgemein
(n + 1)Pn+1 (x) = (2n + 1)xPn (x) − nPn−1 (x), n ≥ 1, verwenden.
Diese Polynome sind paarweise orthogonal zueinander. Berechnen Sie die Polynome P2 ,
P3 und das Skalarprodukt (P2 , P3 ).
Man kann wiederum den vereinfachten Ansatz aus der Aufgabe 34 verwenden. Zeigen Sie
dazu, dass auch die Legendreschen Polynome im Wechsel gerade bzw. ungerade sind.
Bemerkungen.
Gelegentlich werden Übungsaufgaben mit H“ oder mit *“ versehen. Die mit H“ gekenn”
”
”
zeichneten Aufgaben sind schriftlich bis zur darauffolgenden Übung vorzubereiten, die mit *“
”
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8. Übungsblatt 09.-13.06.2008
Näherungsweises Lösen linearer Gleichungssysteme; Wiederholung
⎛
⎜
⎜
36. Gegeben seien die Matrix A = ⎜
⎜
⎝
⎞
⎛
1 −1 1
⎜
1
0 0 ⎟
⎟
⎜
⎟
1
1 1 ⎟ und der Vektor b = ⎜
⎜
⎝
1
2 4 ⎠
1
3 9
4
1
1
3
6
⎞
⎟
⎟
⎟.
⎟
⎠
(a) Untersuchen Sie das lineare Gleichungssystem A · x = b auf Lösbarkeit.
(b) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem AT A · x̂ = AT b, und vergleichen Sie mit
Aufgabe 31.(b).
∈ R3 mit
*(c) Sei A ∈ Rm×3 , b ∈ Rm , x
⎞
⎛
⎛
1 x1 x21
⎜
..
.. ⎟ , b = ⎜
A = ⎝ ...
⎝
.
. ⎠
2
1 xm xm
⎞
⎞
⎛
b1
x
1
.. ⎟ , x
2 ⎠
. ⎠ =⎝ x
x
3
bm
Überprüfen Sie, dass das lineare Gleichungssystem AT A · x̂ = AT b dem Normalgleichungssystem der diskreten Approximation bei Anpassung eines Polynomes 2. Grades
an m Stützpunkte entspricht.
37. Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem:
x1 + x2
x1 + x2
x1 + x3
x1 + x3
=1
=3
=8
=2
Dieses Gleichungssystem Ax = b ist oﬀensichtlich nicht lösbar.
Man bestimme alle Näherungslösungen x̂ dieses Systems, d.h. alle x̂ mit ||Ax̂−b|| minimal.
Wie groß wird ||Ax̂ − b|| ?
38. (a) Man berechne durch stetige Approximation im Mittel ein Polynom 2. Grades zur
Funktion f (x) = ex im Intervall [−1, 1].
W (b) Bestimmen Sie mittels Diﬀerentialrechnung a, b, c ∈ R, so dass
1
−1
ax2 + bx + c − ex
2
dx
minimal wird.
W 39. (a) Gegeben seien die folgenden Permutationen aus der Gruppe S4 :
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
,
,
,
.
1 2 3 4
2 1 4 3
3 4 1 2
4 3 2 1
(i) Schreiben Sie diese Permutationen in Zyklenschreibweise.
(ii) Zeigen Sie, dass diese vier Permutationen eine Untergruppe U der S4 bilden.
Schreiben Sie für U eine Gruppentafel auf.
Ist U zyklisch oder kommutativ?
(b) Betrachten Sie den Körper GF(2) und das Polynom P (X) = X 3 + 1 über diesem
Körper.
(i) Schreiben Sie P (X) als Produkt irreduzibler Polynome, und konstruieren Sie mit
einem geeigneten Faktor GF(4).
(ii) Geben Sie die Gruppentafel der additiven Gruppe V von GF(4) an, und vergleichen Sie V mit U .
W 40. (a)
√
√ 2
• Von der durch z(x, y) = a − x − y , a > 0, gegebenen Fläche bestimme
man die Tangentialebene τ (x, y) im Punkt (x0 , y0 ); x0 , y0 > 0.
• Zeigen Sie, dass die Summe der Achsenabschnitte von τ (x, y) mit den Koordinatenachsen unabhängig vom gewählten Punkt (x0 , y0 ) ist.
Hinweis. Bestimmen Sie dazu die Achsenabschnittsform von τ (x, y).
(b) Berechnen Sie Lage und Art aller relativen Extremstellen sowie die Funktionswerte
an diesen Stellen für folgende Funktionen:
(i) z = x2 − xy + 2y 2 − 15 ln(x) − ln(y)
xy
1−1
(ii) z = 27 + x
y
Bemerkungen.
Gelegentlich werden Übungsaufgaben mit H“ oder mit *“ versehen. Die mit H“ gekenn”
”
”
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9. Übungsblatt 16.-20.06.2008
Fourierpolynome und -reihen
41. (a) Bei der Berechnung der Fourierkoeﬃzienten kann das Integrationsintervall [−π, π]
durch ein beliebiges Integrationsintervall der Länge 2π ersetzt werden.
Zeigen Sie dazu, dass für eine 2π-periodische Funktion ϕ und jedes a ∈ R gilt:
a+2π
π
ϕ(x) dx =
ϕ(x) dx.
a
−π
(b) Geben Sie die allgemeine Berechnungsvorschrift für die Fourierkoeﬃzienten einer
p-periodischen Funktion an.
42. (a) Skizzieren Sie die Funktion f (x) = max {sin(x), 0}.
(b) Bestimmen Sie die (kleinste) Periode von f (x) und ihre Fourierreihe S(x).
Gilt f (x) = S(x)?
43. Beschreiben Sie die durch die folgende Skizze (Parabelbögen) gegebene periodische
Funktion f (x) durch einen analytischen Ausdruck.
1.2
1
0.8
y0.6
0.4
0.2
–1
0
1
2
x
3
4
5
(a) Berechnen Sie die Fourierkoeﬃzienten dieser Funktion.
(b) Leiten Sie aus der Fourierreihe S(x) für f (x) eine Reihe mit der Summe π 2 her.
H 44. (a) Skizzieren Sie die durch folgende Bedingungen gegebene Funktion f (x):
f (x) = 2 − 12 (x − 2)2 , f (−x) = −f (x) für 0 ≤ x < 2; f (−2) = −2;
f (x + 4) = f (x) für x ∈ R.
(b) Berechnen Sie das Fourierpolynom S3 (x) dritter Ordnung dieser Funktion.
*45. (a) Beweisen Sie die Minimaleigenschaft der Fourier-Polynome:
Es sei f (x) eine auf (−π, π) deﬁnierte Funktion mit höchstens endlich vielen Unn
(ak cos(kx) + bk sin(kx)); (ak , bk ∈ R) ein
stetigkeitsstellen und Sn (x) = a20 +
k=1
trigonometrisches Polynom n-ter Ordnung.
Zeigen Sie (mit Hilfe der Diﬀerentialrechnung), dass der mittlere quadratische Fehler
π
(f (x) − Sn (x))2 dx minimal wird, wenn die ak , bk die Fourierkoeﬃzienten von f
−π
sind.
(b) Berechnen Sie
f (x).
π
−π
(f (x) − S1 (x))2 dx für die in Aufgabe 42. (a) gegebene Funktion
Bemerkungen.
Gelegentlich werden Übungsaufgaben mit H“ oder mit *“ versehen. Die mit H“ gekenn”
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10. Übungsblatt 23.-27.06.2008
Kombinatorik, Ereignisse, Wahrscheinlichkeiten
H 46. Machen Sie sich in Zusammenhang mit dem Kapitel 9. Wahrscheinlichkeitstheorie“ der
”
Vorlesung mit den Grundbegriﬀen der Kombinatorik (Permutation, Variation, Kombination) anhand der folgenden Aufgaben (wieder) bekannt; vgl. Folien 9.1 und 9.2.
Eine gute Übersicht ﬁndet sich auch in der schwarzen Formelsammlung“:
”
Merziger u. a., Formeln und Hilfen zur Höheren Mathematik. Binomi Verlag.
(a) Wie viele Anordnungen der Buchstaben a, b, c, d, e, f, g gibt es, bei denen d unmittelbar links von a steht?
(b) Ein Passwort besteht aus zwei Buchstaben und vier Ziﬀern, wobei die Ziﬀern, aber
nicht die Buchstaben, mehrfach auftreten dürfen. Wie viele Passwörter gibt es?
(c) An einem Pferderennen sind acht Pferde beteiligt. Wie viele Möglichkeiten gibt es,
eine Vorhersage über die drei erstplatzierten Pferde ohne bzw. mit Angabe der Reihenfolge zu treﬀen?
*(d) Wie viele n-stellige Dezimalzahlen enthalten die Ziﬀern 3 und 9, nicht aber die Ziﬀern
2, 4 und 8? Führende Nullen seien ausgeschlossen.
47. (a) Eine Warenlieferung bestehe aus 15 einwandfreien und 5 fehlerhaften Stücken.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist unter vier zufällig entnommenen Stücken mindestens ein fehlerhaftes?
(b) Die Zeichen des Morse-Alphabets sind aus zwei Elementen, Punkt und Strich, zusammengesetzt.
Wie viele Zeichen lassen sich daraus bilden, wenn zur Bildung eines Zeichens
• genau fünf Elemente,
• nicht mehr als fünf Elemente
verwendet werden sollen?
Es soll ein Zeichen mit höchstens fünf Elementen gesendet werden.
Unter der Annahme, dass dabei jedes der möglichen Zeichen mit gleicher Wahrscheinlichkeit erscheinen kann, berechne man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein fünfelementiges Zeichen gesendet wird.
*(c) Es haben 5 Personen an der Garderobe ihren Mantel abgegeben. Die Rückgabe der
Mäntel erfolgt rein zufällig. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass keiner seinen
eigenen Mantel zurückerhält.
48. Zwei Personen wollen sich an einem bestimmten Ort zwischen 0 und 1 Uhr treﬀen. Beide
Personen versprechen, während dieser Zeit (unabhängig voneinander) am vereinbarten Ort
einzutreﬀen und nötigenfalls 15 Minuten zu warten.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich beide Personen treﬀen?
Was ergibt sich, wenn die Wartezeit auf n Minuten, n ≤ 60, abgeändert wird?
49. In einer Kiste werden 100 gleichartige Teile angeliefert, wovon 65 aus dem Werk I stammen,
unter denen sich drei Ausschussteile beﬁnden, und 35 aus dem Werk II stammen, unter
denen sich zwei Ausschussteile beﬁnden. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass
ein zufällig aus der Kiste entnommenes Teil
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
vom Werk I stammt,
ein Ausschussteil ist,
ein gutes Teil vom Werk II ist,
ein gutes Teil ist, wenn es vom Werk II stammt,
ein gutes Teil vom Werk I ist, wenn vorher bereits ein derartiges Teil entnommen
wurde.
50. (a) Eine Münze wird 2n-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass gleich
oft Wappen und Zahl geworfen wird?
*(b) Ein Würfel wird n-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim n-ten
Wurf zum m-ten mal (1 ≤ m ≤ n) eine Sechs gewürfelt wird?
H (c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 7-stellige Zahl, die entsteht, wenn sie
die Ziﬀern 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 in zufälliger Reihenfolge enthält, durch 2, 3, 4 bzw. 5
teilbar ist.
Bemerkungen.
Gelegentlich werden Übungsaufgaben mit H“ oder mit *“ versehen. Die mit H“ gekenn”
”
”
zeichneten Aufgaben sind schriftlich bis zur darauffolgenden Übung vorzubereiten, die mit *“
”
gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwieriger.
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Mathematik 4 für Informatiker - SS 2008
11. Übungsblatt 30.06.-04.07.2008
Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Zufallsgrößen
51. Beweisen Sie
(a) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
(b) A ⊆ B =⇒ P (A) ≤ P (B)
(c) unter Verwendung der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit Formel von Bayes:
P (B|Ak )·P (Ak )
Sei P (B) > 0. Dann gilt: P (Ak |B) = n
.
P (B|Ai )·P (Ai )
i=1
52. Zur Übermittlung von Informationen stehen sechs unabhängig voneinander arbeitende
Kanäle zur Verfügung. Zwei davon haben eine Übertragungszuverlässigkeit von 60%, drei
eine von 80% und einer eine von 90%.
(a) Eine Information wird über einen zufällig ausgewählten Kanal gesendet. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit wird sie richtig übertragen?
(b) Eine andere Information wird über alle sechs Kanäle gleichzeitig übertragen. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit wird sie genau einmal bzw. mindestens einmal richtig
übertragen?
53. (a) In einem Posten von 50 Tablettenpackungen beﬁnden sich fünf unvollständige.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Käufer, der
(i) 20 dieser Packungen kauft, genau zwei unvollständige Packungen erhält,
(ii) 5 dieser Packungen kauft, genau eine unvollständige Packung erhält,
(iii) eine Packung kauft, eine vollständige Packung erhält?
H (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in einer Familie mit vier Kindern
(i) zwei Jungen und zwei Mädchen,
(ii) drei Jungen und ein Mädchen,
(iii) nur Jungen
gibt, wenn man annimmt, dass Jungen- und Mädchengeburten unabhängig und
gleichwahrscheinlich sind?
54. Eine Klausur enthält drei Multiple-Choice-Aufgaben. Jede Aufgabe lässt drei Antworten
zu, von denen mindestens eine richtig ist.
Eine Aufgabe wird genau dann mit einem Punkt bewertet, wenn genau die richtigen Antworten angekreuzt sind; ansonsten wird die Aufgabe mit null Punkten bewertet.
Man betrachte als Menge Ω der Elementarereignisse alle möglichen Bewertungen der drei
Aufgaben: Ω = {(i, j, k) | i, j, k ∈ {0, 2}}.
Die zugeordnete Zufallsgröße X ordnet jedem Elementarereignis die Summe der Einzelbewertungen für die drei Aufgaben zu: X : Ω → R mit X((i, j, k)) = i + j + k.
(a) Berechnen Sie alle Einzelwahrscheinlichkeiten P(ω) (ω ∈ Ω) und den Erwartungswert EX
der Zufallsgröße X.
(b) Wir nehmen an, dass für das Bestehen dieses Teils der Klausur mindestens zwei Aufgaben
richtig beantwortet sein müssen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Bestehens bei zufälligem Ankreuzen?
H 55. Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der in einem Spiel erzielten Tore einer Fußballmannschaft. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X hat folgendes Aussehen:
1
2
3
4
5
6
k (Anzahl der Tore) 0
P (X = k)
0, 3 0, 4 0, 1 0, 1 0, 06 0, 02 0, 02
(a) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsgröße X.
(b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Spiel von dieser Mannschaft
weniger als 3 Tore geschossen werden.
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in drei aufeinanderfolgenden Spielen von
dieser Mannschaft insgesamt höchstens ein Tor erzielt wird, falls angenommen wird,
dass die Spielergebnisse beider Spiele unabhängig sind?
Bemerkungen.
Gelegentlich werden Übungsaufgaben mit H“ oder mit *“ versehen. Die mit H“ gekenn”
”
”
zeichneten Aufgaben sind schriftlich bis zur darauffolgenden Übung vorzubereiten, die mit *“
”
gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwieriger.
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Mathematik 4 für Informatiker - SS 2008
12. Übungsblatt 07.07.-11.07.2008
Zufallsgrößen, Verteilungen
56. (a) 5 Prozent aller Fluggäste erscheinen in der Regel nicht zum Abflug. Die Fluggesellschaft verkauft deshalb 95 Tickets für 93 Plätze. Wie viel Fluggäste erwartet man im
Mittel? Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten alle Fluggäste einen Platz?
(b) Nach den Erfahrungen eines Lektors befinden sich im Mittel auf 500 Seiten 625 Druckfehler.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit (Poisson-Verteilung) dafür, dass sich auf einer
Seite mindestens drei Druckfehler befinden.
H 57. Ein Student fährt mit Wahrscheinlichkeit 0,9 mit der Straßenbahn zum Studienort und
nimmt mit Wahrscheinlichkeit 0,1 das Auto. Bei der Fahrt mit der Straßenbahn gibt es im
Mittel bei 10 Prozent der Fahrten Verspätung, bei der Fahrt mit dem Auto dagegen bei
20 Prozent.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Student am Studienort pünktlich erscheint?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt er an genau einem Tag in der Woche (5 Tage)
zu spät?
(c) An wie viel Tagen in einem Semester von 75 Tagen kommt der Student im Mittel
pünktlich zum Studienort?
58. In einer Firma werden Chips hergestellt. Ein Posten von 5000 Stück enthält 100 fehlerhafte.
Wie groß ist die Ausschusswahrscheinlichkeit?
(a) Es werden 80 Stück zufällig entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
sich darunter kein fehlerhaftes befindet?
Bestimmen Sie die Parameter sowie Erwartungswert und Streuung der dazugehörigen
hypergeometrischen Verteilung.
*(b) Unter der Voraussetzung, dass der Stichprobenumfang klein gegenüber dem Umfang
des Postens ist, lässt sich diese Wahrscheinlichkeit näherungsweise durch eine Binomialverteilung (mit welchen Parametern?) bestimmen. Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeit mit der entsprechenden Binomialverteilung. Bestimmen Sie Erwartungswert
und Streuung dieser Binomialverteilung.
*(c) Für großes n und kleine Wahrscheinlichkeit p kann man die Binomialverteilung durch
eine Poissonverteilung (mit welchem Parameter?) annähern. Berechnen Sie nochmals
die in (a) genannte Wahrscheinlichkeit mit der entsprechenden Poissonverteilung.
59. (a) Es sei X eine binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern n = 10 und p = 0, 3.
Man ermittle folgende Wahrscheinlichkeiten:
(i) P (X = 0)
(ii) P (X > 0)
(iii) P (X ≥ 9)
(iv) P (X < 2)
(v) P (X = 0|X < 2)
(b) X sei eine stetige Zufallsgröße mit Erwartungswert 1 und Streuung 4. Mit Z werde
die zugehörige standardisierte Zufallsgröße bezeichnet. Man gebe die folgenden Wahrscheinlichkeiten mittels Z an:
(i) P (X ≥ 1)
(ii) P (X < 2)
60. Es sei f eine durch
f (x) =
(iii) P (|X| > 4)
(iv) P (|X −1| > 6)
(v) P (X 2 < 4).
αx2 (1 − x), 0 ≤ x ≤ 1
0, sonst
gegebene Funktion.
(i) Man bestimme α so, dass f die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße X ist.
(ii) Man ermittle die Verteilungsfunktion FX von X sowie EX und D2 X.
(iii) Man berechne P X < 12 und P (X < EX).
Bemerkungen.
Gelegentlich werden Übungsaufgaben mit H“ oder mit *“ versehen. Die mit H“ gekenn”
”
”
zeichneten Aufgaben sind schriftlich bis zur darauffolgenden Übung vorzubereiten, die mit *“
”
gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwieriger.
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Mathematik 4 für Informatiker - SS 2008
13. Übungsblatt 14.07.-18.07.2008: stetige Verteilungen,
Klausurvorbereitung
61. (a) Die Zufallsgröße X sei normalverteilt mit μ = 1 und σ 2 = 4. Man ermittle folgende
Wahrscheinlichkeiten (Tafel verwenden):
(i) P (X ≥ 1) (ii) P (X < 2) (iii) P (|X| > 4) (iv) P (|X −1| > 6)
Außerdem bestimme man die Konstanten α so, dass gilt:
(vi) P (X < α) = 0, 5
(v) P (X 2 < 4).
(vii) P (|X − μ| < α) = 0, 95.
(b) Man ermittle für eine mit dem Parameter λ = 2 exponentialverteilte Zufallsgröße X
die Wahrscheinlichkeiten:
(i) P (X < 2) (ii) P (X ≥ 4) (iii) P (X < 2|X < 4).
62. Zwei User surfen im Internet. Die Dauer ihrer Internet-Sessions (in Minuten) sei normalverteilt mit einer Standardabweichung von σ = 15 (für beide User).
(a) Die mittlere Dauer einer Session des Users A betrage 90 Minuten. Schätzen Sie
zunächst mithilfe der Tschebyscheﬀschen Ungleichung die Wahrscheinlichkeit, dass
eine Session zwischen einer und zwei Stunden dauert.
Ermitteln Sie diese Wahrscheinlichkeit exakt, und berechnen Sie außerdem die Wahrscheinlichkeit, dass die Session zwischen (90 ± 3 · 15) min dauert.
(b) Der User B surft nur in 20 Prozent der Fälle länger als eine Stunde. Wie groß ist der
Erwartungswert der Dauer einer seiner Sessions?
W 63. Lösen Sie folgende AWA bzw. Diﬀerenzialgleichung:
(a) y cos2 (x) = 2y + e2x − 2y sin2 (x), y(0) = 2
x+y
(b) y = x − y .
W 64. Bestimmen Sie zu folgenden Diﬀerenzialgleichungen die allgemeine Lösung der zugehörigen
homogenen und den Ansatz für eine partikuläre Lösung der inhomogenen Diﬀerenzialgleichung:
(a) y (4) + 2y + 5y + 8y + 4y = 8 − 2 sinh(x)
(b) y + 6y + 9y = 3x2 − 4e−3x .
W 65. Lösen Sie die AWA y − y − y + y = 6x + e−x ; y(0) = 6, y (0) = − 47 , y (0) = 27 .
Bei den folgenden Aufgaben sollen Sie Ihre Antworten (ausführlich) begründen. Derartige multiplechoice-Aufgaben gehören nicht zu den Klausuraufgaben.
W 66.
Gegeben seien die folgenden Punkte (xk , yk ) : (−2, −1), (−1, 1), (0, 5), (1, 17), (2, 43).
Welche Aussagen sind richtig?
Durch die Hinzunahme
Es gibt ein Polynom
Der Grad des InterPunktes (3, 89) wird
polationspolynoms ist
3. Grades durch die ge- des
der Grad des Interpolagegebenen Punkte.
höchstens 4
tionspolynoms erhöht.
W 67.
Gegeben sei die Funktion f (x) =
W 68.
Aus
dem
Ansatz
F (x) = a0 + a1 x + a2 x2
für ein Approximationspolynom
zweiten
Grades folgt a1 = 0.
1
,
1+x2
−1 ≤ x ≤ 1. Welche Aussagen sind richtig?
Eine Gleichung des
Normalgleichungssystems für ein Approximationspolynom
zweiten Grades lautet
a0 + 23 a2 = π.
Es gibt kein Appro-
ximationspolynom dritten Grades.
Für die Fourierreihe zur Funktion f (x) = |x| , −π ≤ x ≤ π und f (x + 2π) = f (x) , gilt:
Sämtliche Fourierkoeﬃbk verschwinden.
zienten
a0 = 0
a2 = 0
Bemerkungen.
Die mit W“ versehenen Übungsaufgaben dienen zur Vorbereitung auf die Klausur Teilfach”
”
prüfung Mathematik II für Informatiker“ die am 1. August 2008, 13.00 Uhr stattﬁndet.
B. Ausgewählte Lösungen zu den
Übungen
161
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Ausgewählte Lösungen (Mathematik 3 für Informatiker) WS 2007/08
1. Übungsblatt - 15.-19.10.2007: RSA, Operationen
1. (a) Schließer: (n, k) = (77, 7), Öﬀner: (p, q, j) = (7, 11, 43), r = 137 mod 77 = 62
(b) n = 29 · 31, ϕ(n) = 840, j = 11−1 mod 840 = 611, M = 100
H 2. (a) n = p · q und ϕ(n) = (p − 1) · (q − 1). Werte für n und ϕ(n) einsetzen ⇒ n = 12457 · 25523
(b) n ∈ {5 · 7, 3 · 13} = {35, 39}
3. ◦ mit a ◦ b := ab + a + b ist eine Operation (Abbildung ◦ : M × M → M ) auf der Menge
M = R\ {−1}, denn sei a ◦ b := ab + a + b = −1, dann gilt:
/M
ab + a + b = −1 =⇒ a(b + 1) = −(1 + b) =⇒ a = − 1+b
b+1 = −1 ∈
◦ mit a ◦ b := ab + a + b ist eine assoziative Operation, denn es gilt ∀a, b, c ∈ M :
a ◦ (b ◦ c) = a ◦ (bc + b + c)
= abc + ab + ac + bc + a + b + c
= (ab + a + b)c + ab + a + b + c = (ab + a + c) ◦ c
= (a ◦ b) ◦ c
Desweiteren ist ◦ mit a◦b := ab+ a+ b eine kommutative Operation mit 1◦ = 0 als neutrales
a
( ∀a ∈ M ).
Element, und zu a gehört als inverses Element bezüglich ◦ a−1 = − a+1
4. fi ◦ fj ist durch (fi ◦ fj ) (x) = fj (fi (x)) erklärt. Die Operation ◦ ist assoziativ, da die Hintereinanderausführung von Abbildungen assoziativ ist. Die Operation ◦ ist nicht kommutativ, da
z.B. f2 ◦ f3 = f3 ◦ f2 . Das neutrale Element bezüglich ◦ ist f1 . Zu jedem Element existiert in
eindeutigerweise ein Inverses: f1−1 = f1 ; f2−1 = f2 ; f3−1 = f3 ; f4−1 = f5 ; f5−1 = f4 ; f6−1 = f6 .
5. (a)
s1
s2
s3
s4
s5
s6
s7
s8
=
=
=
=
=
=
=
=
ε
(1
(1
(1
(2
(1
(1
(1
◦
s1
s2
s3
s4
s5
s6
s7
s8
4 3 2)
3)(2 4)
2 3 4)
4)
2)(3 4)
3)
4)(2 3)
H (b)
s1
s2
s3
s4
=
=
=
=
ε
(1 3)(2 4)
(1 4)(2 3)
(1 2)(3 4)
s1
s1
s2
s3
s4
s5
s6
s7
s8
s2
s2
s3
s4
s1
s8
s5
s6
s7
s3
s3
s4
s1
s2
s7
s8
s5
s6
s4
s4
s1
s2
s3
s6
s7
s8
s5
s5
s5
s6
s7
s8
s1
s2
s3
s4
s6
s6
s7
s8
s5
s4
s1
s2
s3
◦
s1
s2
s3
s4
s1
s1
s2
s3
s4
s2
s2
s1
s4
s3
s3
s3
s4
s1
s2
s4
s4
s3
s2
s1
s7
s7
s8
s5
s6
s3
s4
s1
s2
s8
s8
s5
s6
s7
s2
s3
s4
s1
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Ausgewählte Lösungen (Mathematik 3 für Informatiker) WS 2007/08
2. Übungsblatt - 22.10.-26.10.2007: Rechnen mit Permutationen
7. p = (13)(568) und q = (124)(687).
(a) Die Ordnung von p ist kgV(2,3)=6 und die Ordnung von q ist kgV(3,3)=3.
Damit ist p7 = p6 · p = ε · p = p und q 99 = (q 3 )33 = (ε)33 = ε.
(b) < p >= {ε, (13), (568), (586), (13)(568), (13)(586)}
pyp−1 = q ⇒ y = (243)(578)
(c) xp2 = q 4 ⇒ x = (124)(56)(78),
(d) Mögliche Ordnungen sind 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12 und 15. Permutationen mit zwei Zyklen
der Länge 3 und 5 in der Hauptproduktdarstellung ergeben die maximale Ordnung 15.
8. Es seien p1 = (12), p2 = (34), p3 = (56) Permutationen aus der symmetrischen Gruppe S6 .
(a) Es gibt insgesamt 8 mögliche Produkte: pi1 · pj2 · pk3 , i, j, k ∈ {0, 1}.
p1 = (12), p2 = (34), p3 = (56), p4 = p1 p2 = (12)(34), p5 = p1 p3 = (12)(56),
p6 = p2 p3 = (34)(56), p7 = p1 p2 p3 = (12)(34)(56), p8 = ε
(b) Die Menge dieser 8 Permutationen bildet nach dem Untergruppenkriterium eine Gruppe,
eine Untergruppe der S6 .
(c) U ist abelsch, da die Permutationen p1 , p2 , p3 untereinander elementfremd sind und damit
auch all ihre Produkte aus elementfremden Zyklen bestehen. Ausser der identischen Permutation, die die Ordnung 1 hat, haben alle Permutationen von U die Ordnung 2, denn sie
bestehen aus Zyklen der Länge 2. U ist nicht zyklisch, denn es gibt keine Permutation in
U mit der Ordnung 8.
H 9.
p = (1 3 4 7 2)(6 8) =⇒ p10 = ε
px = q ⇒ x = p−1 q = (1 6 4)(2 5 8 3) |
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
=⇒
p9 q 3 zpq
p10 q 3 zpq
q 4 zpq
zpqq −1
zpp−1
z
=
=
=
=
=
=
q = (1 2 6 3)(4 7 5 8) =⇒ q 4 = ε
yp = q ⇒ y = qp−1 = (1 7 5 6)(2 8 3)
p−1 q
pp−1 q
q2
q
qp−1
(1 7 5 6)(2 8 3)
|
|
|
|
p◦
q◦
◦ q −1
◦ p−1
*10. Seien l1 , l2 , . . . , lk die Längen der Zyklen in der Hauptproduktdarstellung einer Permutation p.
Da die Zyklen disjunkt sind, gilt: pn = pn1 pn2 · · · pnk . Die Ordnung von pi ist li für i = 1, 2, . . . , k.
Also hat p die Ordnung kgV (l1 , l2 , . . . , lk ).
Annahme: Es gibt eine Permutation p ∈ Sn mit p3 = (1 2 3). Dann gilt p9 = , p hat also die
Ordnung 9. Da 9 das kgV der Zyklenlängen von p ist, besteht p aus Zyklen der Länge 3 und 9,
wobei mindestens ein Zyklus der Länge 9 vorhanden ist. Bildet man p3 , dann verschwinden die
Zyklen der Länge 3 und die Zyklen der Länge 9 zerfallen in jeweils 3 Zyklen der Länge 3. Das
ist aber ein Widerspruch!
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3. Übungsblatt - 29.10.-2.11.2007: Halbgruppen und Gruppen
H 11. (a) (N, ◦) mit x ◦ y := x · y + y ist nicht assoziativ, also keine Halbgruppe.
(b) (Q\{0}, ◦) mit x ◦ y := x · |y| ist assoziativ, also eine Halbgruppe. Ein linksneutrales
Element existiert nicht, dafür gibt es zwei rechtsneutrale Elemente: +1 und -1.
(c) (Z, ◦) mit x ◦ y := x + y + 2 ist assoziativ. Das neutrale Element ist n = −2 und
x−1 = −4 − x ist das inverse Element zu x (für alle x ∈ Z). Damit liegt eine Gruppe vor.
12. Die Tabellen sind jeweils nur auf eine Weise zu vervollständigen: die erste Tabelle ist isomorph
zur Z4 , die zweite Tabelle zur V4 .
Bemerkung: Z4 (erzeugende Elemente b und d) und V4 sind (bis auf Isomorphie) die einzigen
Gruppen der Ordnung 4. Für die Ordnungen 1, 2 und 3 gibt es jeweils nur die entsprechenden
zyklischen Gruppen. Die V4 ist die kleinste nicht-zyklische Gruppe.
13. Die Menge der vierten Einheitswurzeln U = {1, −1, i, −i} bildet mit der Multiplikation von
komplexen Zahlen eine Gruppe der Ordnung 4, eine Untergruppe von (C, ·).
Es handelt sich um eine zyklische Gruppe, wobei i und −i die Ordnung 4 haben, und damit
erzeugende Elemente sind: (U, ·) = i = −i.
Die Gruppe U ist isomorph zu der durch die erste Tafel definierten Gruppe in Aufgabe 12.
Die Gruppe aus Aufgabe 5.(b) entspricht der durch die zweite Tafel definierten Gruppe.
14. (a) Erzeugende Elemente sind 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14; das sind die zur Gruppenordnung teilerfremden Elemente. Daher gilt < 2 >=< 11 >= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}.
Für < 6 > gilt < 6 >= {0, 3, 6, 9, 12}.
Als Untergruppen kommen nur Untergruppen der Ordnung 1, 3, 5, 15 in Frage (Satz von
Lagrange).
Untergruppen: U1 = {0}, U2 = {0, 5, 10} =< 5 >, U3 = {0, 3, 6, 9, 12} =< 3 >,
U4 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} =< 1 >
*(b) Sei Z = a zyklische Gruppe, U ≤ Z und m > 0 minimal mit am ∈ U .
Dann gilt U = am : am ≤ U trivial.
Angenommen, x = akm+l = (am )k al ∈ U, 0 ≤ l < m. Wegen (am )k , x ∈ U ist auch
(am )−k x = al ∈ U . Da m minimal folgt daraus l = 0.
H 15. (a) Die Abbildung f mit f (x) = ln(x) ist ein gesuchter Isomorphismus (Injektivität folgt aus
der Monotonie von f ).
*(b) Angenommen, f : (R0 , ·) −→ (R, +) ist Isomorphismus und a = 0. Dann gilt:
f (a2 ) = f (a) + f (a) = 2f (a) und f (a2 ) = f ((−a)2 ) = f (−a) + f (−a) = 2f (−a). Folglich
ist f (a) = f (−a) im Widerspruch zur Injektivität von f .
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4. Übungsblatt - 5.11.- 9.11.2007: Gruppen, Normalteiler
H 16. (a) Inverse: 2−1 = 8 , 8−1 = 2 , 7−1 = 13 , 13−1 = 7 , 4−1 = 4 , 11−1 = 11 , 14−1 = 14
(b) Die Ordnung der Elemente 4, 11, 14 ist 2. Die Ordnung der Elemente 2, 7, 8, 13 ist 4. Es
gibt kein Element der Ordnung 8, also ist diese Gruppe auch nicht zyklisch.
(c) (Z∗15 , ·) ist eine abelsche Gruppe. Die D4 (Aufgabe 5.(a)) ist nicht abelsch. Folglich gibt es
keine Isomorphie zu dieser Gruppe. Die Gruppe U aus Aufgabe 8 ist abelsch, jedoch hatten
dort alle Elemente (bis auf das neutrale) die Ordnung 2. Also gibt es auch zu dieser Gruppe
keine Isomorphie.
17. (a) s1 = ε , s2 = (1 2 3), s3 = (1 3 2), s4 = (1 2), s5 = (1 3), s6 = (2 3)
U1 = {s1 } und U6 = S3 sind (triviale) Normalteiler:
S3 /U1 = {{s1 }{s2 }{s3 }{s4 }{s5 }{s6 }}, S3 /U6 = {{s1 , s2 , s3 , s4 , s5 , s6 }}
U2 = {s1 , s4 }, U3 = {s1 , s5 }, U4 = {s1 , s6 } sind Untergruppen.
Es gilt s2 Ui = Ui s2 , i = 2, 3, 4, folglich sind U2 , U3 , U4 keine Normalteiler.
U5 = {s1 , s2 , s3 } = {ε, (123), (132)} = A3 ist Normalteiler:
si U5 = {s1 , s2 , s3 } = U5 si falls i = 1, 2, 3
=⇒ {{s1 , s2 , s3 }, {s4 , s5 , s6 }}
si U5 = {s4 , s5 , s6 } = U5 si falls i = 4, 5, 6
(b) An ist Untergruppe, da ε ∈ An = ∅ und das Produkt gerader Permutationen gerade ist und
das Inverse einer geraden Permutation gerade ist. An ist sogar Normalteiler, denn:
Sei p ∈ Sn gerade =⇒ pAn = An = An p.
Sei p ∈ Sn ungerade =⇒ pAn = Sn \An = An p.
18. (a) (i) U =< π >= {ε, (1234), (13)(24), (1432)}
(ii) (34)U = {(34), (123), (1324); (142)} = {(34, (124), (1423), (132)} = U (34).
(b) G2 = (Z∗8 , ·), Z∗8 = {1, 3, 5, 7}. Nach dem Satz von Cayley erhält man durch die AbbilPermutationsgruppe:
a ∈ G2 , a : G2 → G2 mit x → x · a.
dungen a die zu G2 isomorphe
1357
=ε
1 → 1 : x → x · 1
1357
1357
= (13)(57) =: q
3 → 3 : x → x · 3
3175
1357
= (15)(37) =: r
5 → 5 : x → x · 5
5713
1357
= (17)(35) = qr
7 → 7 : x → x · 7
7531
H 20. (a) (i) ⇒ (ii) Sei aU = bU =⇒ b = be ∈ aU
(ii) ⇒ (iii) Sei b ∈ aU =⇒ b = au =⇒ a−1 b = u ∈ U
(iii) ⇒ (i) Sei a−1 b ∈ U =⇒ (a−1 b)−1 = b−1 a ∈ U =⇒ bU = b(b−1 aU ) = (bb−1 a)U = aU
(b) Es gibt jeweils 2 Links- und Rechtsnebenklassen: U , aU und U , U a mit a ∈
/ U.
=⇒ aU = G\U = U a, d.h. gU = U g für alle g ∈ G =⇒ U ist Normalteiler.
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5. Übungsblatt 12.-16.11.2007: Abelsche Gruppen
23. (a) Falls ggT(m, n) = 1, dann gilt Zm ×Zn ∼
= Zn·m . In solch einem Fall lässt sich die Anzahl der
Faktoren bei der Darstellung der abelschen Gruppen als direktes Produkt von zyklischen
Gruppen gegenüber der Anzahl gemäß Basissatz verkleinern.
Für abelsche Gruppen der Ordnung 6125 gibt es 6 verschiedene Isomorphietypen.
Z.B.: Z5 × Z5 × Z5 × Z7 × Z7 ∼
= Z5 × Z35 × Z35 und Z5 × Z25 × Z7 × Z7 ∼
= Z35 × Z175 .
(b) Seien p und q Primzahlen und a ∈ N. Dann gibt es gleich viele abelsche Gruppen der
Ordnung pa bzw. q a . Denn nach dem Basissatz ist die Anzahl der Isomorphietypen gleich
der Anzahl der möglichen ’Zerlegungen’ des Exponenten a. Diese ist jedoch unabhängig
von p und q.
H 24. (a) Wir betrachten abelsche Gruppen der Ordnung n mit k Isomorphietypen, n, k ∈ N .
n 16 360 675 900 1001 1176
k 5
6
6
8
1
6
(b) Die Primfaktorzerlegung muss aus zwei Faktoren bestehen, da 6 sich als Produkt von zwei
Faktoren darstellen lässt. Die zwei kleinsten Primzahlen sind 2 und 3. Wegen 6 = 2 · 3,
müssen die Potenzen 2 und 3 sein. Da 22 · 33 > 23 · 32 = 72, ist die gesuchte Zahl n = 72.
H 25. (a) Es gibt drei abelsche Gruppen mit 8 Elementen bis auf Isomorphie.
(i) Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Z2 × Z4 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3)}
Z2 × Z2 × Z2 = {(0, 0, 0), (0, 0, 1)(0, 1, 0, ), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
(ii) • Z8 ist zyklisch. Z.B. haben die Elemente 1 und 3 die Ordnung 8.
Das Element 4 hat die Ordnung 2. Das Element 2 hat die Ordnung 4.
• Z2 × Z4 ist nicht zyklisch, damit gibt es kein Element der Ordnung 8.
Die Ordnung von (0,2) ist 2, die Ordnung von (1,1) ist 4.
• Z2 × Z2 × Z2 ist nicht zyklisch. Es gibt kein Element der Ordnung 8 und auch kein
Element der Ordnung 4. Ausser (0, 0, 0) haben alle Elemente die Ordnung 2.
(iii) Vergleich mit den Gruppen der Ordnung 8 aus den früheren Übungen:
Aufgabe 5.(a) die Diedergruppe D4 ist nicht abelsch, kann deshalb nicht zu einer der
obigen Gruppen isomorph sein.
In Aufgabe 8 ergab sich aus den drei untereinander elementfremden Permutationen der
Ordnung 2 die Gruppe U . Es gilt U ∼
= Z2 × Z2 × Z2
Für die prime Restklassengruppe Z∗15 (Aufgabe H16) gilt: Z∗15 ∼
= Z2 × Z4 .
(b) Die Projektion pA : A×B → A von A×B auf A mit (a, b) → a ist oﬀensichtlich ein surjektiver
Homomorphismus und ker pA = {(a, b)| pA (a, b) = eA } = {(a, b)| a = eA , b ∈ B} = B .
Nach dem Homomorphiesatz gilt dann (A×B)/B ∼
=A.
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6. Übungsblatt 19.11.-23.11.2007: Ringe, Ideale und Körper
• M ist Unterring, da E
∈ M und
M abgeschlossen
bzgl. Addition und Multiplikation.
a b
c d
Betrachte dazu X =
, Y =
∈ M, dann ist X − Y, X · Y ∈ M.
−b a
−d c
• Die Kommutativität bzgl. der Multiplikation erhält man durch einfaches Nachrechnen!
• Für jedes 0 = X∈ M existiert
X −1 : det(X) = a2 + b2 = 0 ⇐⇒ a = b = 0 ⇐⇒ X = 0 ;
a −b
∈ M.
X −1 = 2 1 2
b a
a +b
0 0
1 0
0 1
1 1
H (b) M : 0 =
,E=
,A=
,B=
.
0 0
0 1
1 0
1 1
B ist Nullteiler, da B · B = 0. Damit ist M über Z2 kein Körper.
26. (a)
27. (a) • (a) = ∅, da a · 1 = a ∈ (a); • ar, as ∈ (a) ⇒ ar + as = a(r + s) ∈ (a);
• ar ∈ (a) ⇒ −ar = a(−r) ∈ (a); • ar ∈ (a), s ∈ R ⇒ (ar)s = a(rs) ∈ (a).
Also (a) ist Ideal, das a enthält, somit folgt aR ⊇ (a). Ist andererseits I Ideal von R, das
a enthält, so folgt aR ⊆ I. Demnach ist (a) kleinstes Ideal, das a enthält.
(b) (a, b) = aR + bR = {ar1 + br2 | r1 , r2 ∈ R}; gleiche Argumentation wie bei (a).
(c) I = 4Z + 6Z I = 2Z
Allgemein gilt: (a, b) = (d), wobei d =ggT(a, b). Zu zeigen bleibt: aZ + bZ = dZ.
Sei d = ka + lb (Vielfachsummendarstellung), dann gilt:
• x ∈ aZ + bZ =⇒ x = ag + bh = d(a g + b h) =: dc ∈ dZ
• x ∈ dZ =⇒ x = (ka + lb)c = a · kc + b · lc ∈ aZ + bZ
28. (a) P = 8X 4 + 10X 3 + 4X 2 + 21X + 20, Q = 4X 4 + 5X 3 + 4X 2 + 9X + 5
• In Q [X] gilt: ggT(P, Q) = 44X + 55 ∼ 4X + 5
• In Z2 [X] gilt: P = X, Q = X 3 + X + 1 =⇒ ggT(P, Q) = 1
• In Z3 [X] gilt: P = 2X 4 +X 3 +X 2 +2, Q = X 4 +2X 3 +X 2 +2 =⇒ ggT(P, Q) = 2X+1
Man beachte, dass der ggT nur bis auf Einheiten (invertierbare Elemente) eindeutig bestimmt ist. Demzufolge ist der ggT der Polynome P und Q in Z3 [X] 2X + 1 ∼ X + 2.
Die Ergebnisse für Z2 [X] bzw. Z3 [X] kann man auch mittels der Lösung über Q [X] bestimmen, indem man das Ergebnis dieser Aufgabe entsprechend modulo 2 bzw. 3 rechnet.
(b)
2X + 1 = (X 2 + 2X) · Q + (X 2 + 2X + 2) · P
30. (a) Koeﬃzientendeterminante des linken LGS ist gleich 4 = 0, also LGS eindeutig lösbar.
Der Rang der Koeﬃzientenmatrix ist gleich dem Rang der erweiterten Koeﬃzientenmatrix
(=2), folglich ist das LGS lösbar mit einem freien Parameter.
(b) Die Lösungen sind: x = z = 0, y = 1
bzw. x = 2t, y = 1, z = t; t ∈ Z5 .
H (c) Ein Polynom vom Grad (k − 1) ist eindeutig durch k Punkte bestimmt. Denn es ergibt sich
ein lineares Gleichungssystem mit einer Koeﬃzientenmatrix ( Vandermond-Matrix“) deren
”
Determinante stets = 0 ist. Gesucht ist m (masterkey) für m + a1 X + a2 X 2 ∈ Z11 . Wir
wählen (z.B.) die ersten 3 subkeys“, also s1 = P (1) = 2, s2 = P (2) = 5, s3 = P (3) = 5
”
und erhalten das lineare Gleichungssystem:
⎫
1 + a1 + a2 = 2 ⎬
1 + 2a1 + 4a2 = 5
z.B. mit ATV =⇒ Ergebnis : m = 7, a1 = 2, a2 = 4
⎭
1 + 3a1 + 9a2 = 5
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7. Übungsblatt 26.11.-30.11.2007: Endliche Körper
√
H 31. (a) (X 2 − 3) hat die reellen Nullstellen ± 3, die nicht rational sind. (X 3 − X 2 + X − 1) hat
die rationale Nullstelle 1 und die konjugiert komplexen Nullstellen ±i.
Damit ergeben sich folgende Zerlegungen:
über Q[X] : P = (X − 1)(X 2 −√3)(X 2 + √
1),
über R[X] : P = (X − 1)(X − √3)(X + √3)(X 2 + 1),
über C[X] : P = (X − 1)(X − 3)(X + 3)(X − i)(X + i).
ai ungerade
(b) P (0) ungerade =⇒ a0 ungerade, P (1) ungerade =⇒
• Angenommen α gerade =⇒ a0 gerade. Widerspruch!
• Angenommen α = 2m + 1 ungerade =⇒ 0 = ai αi = ai (2m + 1)i = 2b + ai =⇒
ai gerade. Widerspruch!
33. (a) (1 + X 2 )−1 = 1 + X + X 3 in GF(2)[X]/1 + X + X 4
(1 + X)−1 = X in GF(3)[X]/2 + X + X 2
H (b) 55−1 = 34 in Z89 , denn 1 = −21 · 89 + 34 · 55 ≡ 34 · 55 (mod 89)
X8
X4
X3
+
+
+X +1
X6 + X2 + 1
X3 + X2 + X + 1
1
=⇒
=⇒
X8 + X4 + X3 + X + 1 X6 + X2 + 1
1
0
0
1
·(X 2 )
1
X2
·(X 3 + X 2 )
3
2
5
4
X +X
X +X +1
1 = (X 2 + X 3 )(1 + X + X 3 + X 4 + X 8 ) + (1 + X 4 + X 5 )(1 + X 2 + X 6 )
1 = (1 + X 4 + X 5 )(1 + X 2 + X 6 ) (mod 1 + X + X 3 + X 4 + X 8 ),
d.h. (1 + X 2 + X 6 )−1 = 1 + X 4 + X 5 in GF(2)[X]/1 + X + X 3 + X 4 + X 8 .
34.H (b) Q = X 2 + 1 ist reduzibel (1 ist Nullstelle) =⇒ R := Z2 [X]/Q ist ein Ring, kein Körper.
Z2 [X]/Q = 0, 1, α, α + 1|α2 = 1 , Nullteiler: α + 1
0
1
α
α+1
+
0
0
1
α
α+1
1
0
α+1
α
1
α
α+1
0
1
α
α
1
0
α+1 α+1
35. (c) (α3 + 1)(α2 + α + 1) = α2 (α2 + α + 1) = α2 + α
(α5 + α3 + 1)−1 = α−4 = α2 + 1
α6 + α2 = α = α−1 = α6 = α2 + α
α9
α2
·
1
α
α+1
1
1
α
α+1
α
1
α+1
α
0
α+1 α+1 α+1
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8. Übungsblatt 03.-07.12.2007: Irreduzible Polynome, endliche Körper
36. H(c) X 8 − X = X(1 + X)(1 + X + X 3 )(1 + X 2 + X 3 )
H 37. (a) Es gibt 16 Polynome vom Grad 4 in GF(2)[X]. Davon kommen die 8 Polynome mit a0 = 0
(diese haben 0 als Nullstelle) nicht als irreduzibel in Frage. Ausserdem entfallen (über Z2 )
alle Polynome mit einer geraden Anzahl von Summanden, denn für diese ist 1 eine Nullstelle.
Polynom
1 + X + X2 + X3 + X4
1 + X3 + X4
1 + X2 + X4
1 + X + X4
Zerlegung
irreduzibel primitv
1 + X + X2 + X3 + X4
ja
nein
3
4
1+X +X
ja
ja
(1 + X + X 2 )2
nein
nein
1 + X + X4
ja
ja
(b) Es gibt 3 irreduzible Polynome vom Grad 4 in GF(2)[X].
Sei α Nullstelle eines solchen Polynoms. Der Körper hat 24 = 16 Elemente, die multiplikative
Gruppe 15. Es genügt, die Potenzen von α nur bis α5 zu ermitteln. Wenn man für α5 noch
nicht wieder 1 erhält , erzeugt α alle 15 Elemente.
• 1 + X + X2 + X3 + X4
α Nullstelle, α4 = 1 + α + α2 + α3
α, α2 , α3 , α4 = 1 + α + α2 + α3 , α5 = αα4 = 1 =⇒ α ist kein erzeugendes Element
=⇒ 1 + X + X 2 + X 3 + X 4 ist nicht primitiv.
• 1 + X3 + X4
α Nullstelle, α4 = 1 + α3 bzw. α4 + α3 = 1
α, α2 , α3 , α4 = 1 + α3 , α5 = 1 + α + α3 ... =⇒ α ist erzeugendes Element
=⇒ 1 + X 3 + X 4 ist primitiv.
• 1 + X + X 4 ist primitiv (vgl. auch Aufgabe 38.).
39. *(b) Sei r ∈ N. Für r = 1 gilt die Aussage, vgl. 39.(a).
r
r
r
Wir nehmen an, dass die Behauptung (a + b)p = ap + bp für r bewiesen ist.
r
r p r p
r+1
r
r p
r p
r
r
= (a + b)p ·p = (a + b)p
= ap + bp
= ap + bp
= ap ·p + bp ·p
Es ist (a + b)p
r+1
r+1
r+1
=⇒ (a + b)p
= ap + bp .
40. In jedem Körper gilt (a · b)p = ap · bp . Daher ist die Abbildung
f : GF(pn ) −→ GF(pn ) mit f (a) = ap
ein Homomorphismus (Frobenius- Homomorphismus).
H (a) Die Abbildung f ist injektiv.
Sei f (a) = f (b) =⇒ ap = bp =⇒ 0 = ap − bp = (a − b)p =⇒ a − b = 0 , somit a = b.
*(b) Es sei p eine Primzahl und P (X) = a0 + a1 X + · · · + an−1 X n−1 + an X n aus Zp [X].
P (X p ) =
=
=
=
=
an (X p )n + . . . + a1 X p + a0
an (X n )p + . . . + a1 X p + a0
| ai = api
(an · X n )p + . . . + (a1 · X)p + ap0 | (a + b)p = ap + bp
(an · X n + . . . + a1 · X + a0 )p
(P (X))p
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9. Übungsblatt 10.-14.12.2007: Anwendungen in der Codierungstheorie
H 44. (a) Sei α erzeugendes Element der multiplikativen Gruppe von GF(8)= Z2 [X]/1 + X 2 + X 3 .
Die irreduziblen Teiler von X 7 − 1 sind die Minimalpolynome von αs , s = 0, 1, · · · , 6.
Zyklotome Klassen: Z0 = {0}, Z1 = {1, 2, 4}, Z3 = {3, 6, 5}.
Die vier irreduziblen Teiler von X 8 − X sind:
X,
X − 1,
(X − α)(X − α2 )(X − α4 ) = X 3 + X 2 + 1,
(X − α3 )(X − α6 )(X − α5 ) = X 3 + X + 1.
=⇒ X 8 − X = X(X − 1)(X 3 + X 2 + 1)(X 3 + X + 1)
Falls man zum Faktorisieren anstelle X 3 + X 2 + 1 das Polynom X 3 + X + 1 verwendet,
gehört zur zyklotomen Klasse Z1 das Minimalpolynom X 3 + X + 1 und entsprechend zur
zyklotomen Klasse Z3 das Minimalpolynom X 3 + X 2 + 1.
5
(b) X(X 31 − 1) = X 2 − X
s=0
s=1
s=3
s=5
s=7
s = 11
s = 15
Z0 = {0}
Z1 = {1, 2, 4, 8, 16}
Z3 = {3, 6, 12, 24, 17}
Z5 = {5, 10, 20, 9, 18}
Z7 = {7, 14, 28, 25, 19}
Z11 = {11, 22, 13, 26, 21}
Z15 = {15, 30, 29, 27, 23}
H 45. Verwendung des Satzes:
n
X p − X = Produkt aller über GF(p) irreduziblen, normierten Polynome, deren Grad n teilt.
6
(a) X(X 63 − 1) = X 2 − X, über GF(2).
Teiler der 6 sind 1, 2, 3 und 6. Demzufolge sind die irreduziblen Polynome X −1, X 2 +X +1,
X 3 + X + 1 und X 3 + X 2 + 1 Teiler von X 63 − 1.
Damit sind 9 (63 − 1 − 2 − 3 − 3 = 54 = 9 · 6) irreduzible Polynome vom Grad 6 Teiler von
X 63 − 1.
3
(b) X 27 − X = X 3 − X = X(X − 1)(X − 2)(X 24 + · · ·), über GF(3).
Die Teiler von X 27 − X haben Grad 1 oder 3. Es gibt 8 irreduzible Polynome vom Grad 3
über GF(3).
4
(c) X 3 − X = X 81 − X, über GF(3).
Es gibt 3 lineare und 3 quadratische irreduzible Polynome über GF(3) (jeweils normiert).
81 − 3 − 3 · 2 = 72 = 18 · 4. Also gibt es 18 normierte irreduzible Polynome vom Grad 4
über GF(3).
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10. Übungsblatt 17.-21.12.2007: Verbände
47. Infimum bzw. Supremum werden durch den größten gemeinsamen Teiler bzw. durch das kleinste
gemeinsame Vielfache beschrieben.
Der Verband (N, ∧, ∨) hat ein kleinstes Element 1 (denn 1 teilt alle natürlichen Zahlen) und falls
0 ∈ N ein größtes Element 0 (denn alle natürlichen Zahlen, einschließlich der 0, sind Teiler der 0).
H 49. Beim m-ten Schaltvorgang wird genau dann die n-te Glühlampe geschaltet, wenn m|n. Nach
Abschluss der gesamten Prozedur“ ist die n-te Lampe so oft geschaltet worden wie n Teiler hat
”
und brennt folglich genau dann, wenn n eine ungerade Anzahl von Teilern hat. Dies ist genau
dann der Fall, wenn n eine Quadratzahl ist.
• Zu Heilig Abend 2007 brennen nur die Glühlampen 1, 4, 9, 16, 25, 36 und 49.
• Besteht die Kette aus 104 Glühlampen und würde 104 mal geschaltet, entstünde die analoge
Situation. Wird aber nur 52 mal geschaltet, werden genau die Lampen mit den Nummern
53 bis 104 “einmal zu wenig“ geschaltet,
d.h. zu Heilig Abend 2007 brennen die Glühlampen mit Quadratzahlnummern aus dem
Bereich 1 bis 52 und die mit Nichtquadratzahlnummern aus dem Bereich 53 bis 104.
H 50. (a) Für f : Z26 −→ Z26 mit f (x) = ax + b gilt:
• f injektiv gdw. ggT(a, 26) = 1 (denn dann existiert a−1 und damit auch f −1 ).
• Wann hat f Fixpunkte? Für f (x) = ax + b gibt es ein Element x mit f (x) = x,
falls ax + b = x bzw. (a − 1)x = −b eine Lösung (in Z26 ) hat.
Diese Kongruenz ist lösbar genau dann, wenn ggT(a − 1, 26)|b gilt.
(b) Wir betrachten die spezielle Abbildung f , die dem Buchstaben I das Element 2 und dem
Buchstaben M das Element 14 aus Z26 zugeordnet.
(i) Wir bestimmen die Verschlüsselungsfunktion. Mittels der in der Aufgabenstellung gemachten Angaben gelten folgende Gleichungen:
2 = f (8) = a · 8 + b
a = 3, b = 4
⇒ 4a = 12 ⇒
14 = f (12) = a · 12 + b
a = 16, b = 4
(ii)
⇒
f1 (x) = 3x + 4
f2 (x) = 16x + 4
Da ggT(3, 26) = 1 gilt, ist f1 injektiv und damit bijektiv (endliche Menge).
Wegen ggT(16, 26) = 1 ist f2 nicht injektiv.
x=
3x + 4 =
F
5
19
T
R
17
3
D
O
14
20
U
H
7
25
Z
E
4
16
Q
(iii) y = 3x + 4 =⇒ 9y = 27x + 36 =⇒ 9y = x + 10 =⇒ x = 9y − 10 =⇒ f −1 (y) = 9 · y + 16
y=
9y + 16 =
U
20
14
O
G
6
18
S
J
9
19
T
Q
16
4
E
D
3
17
R
R
17
13
N
(iv) f hat Fixpunkte, da ggT(3 − 1, 26) = 2 und 2| − 4 (bzw. 2|22)
3x + 4 = x(mod 26) =⇒ 2x = 22 (mod 26) bzw. 2x=22+26 (mod 26)
=⇒ zwei Lösungen x1 = 11 (Buchstabe L) und x2 = 24 (Buchstabe Y).
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11. Übungsblatt 07.-11.01.2008:
Hüllenoperatoren, ordnungserhaltende Abbildungen
52. *(b) (=⇒): Sei C : P(A) −→ P(A) ein Hüllenoperator mit den Eigenschaften (C1) bis (C3)
und H = {C(X) | X ⊆ A}:
Nach (C1) ist C(A) = A, folglich gilt A ∈ H.
Sei D der Durchschnitt einer beliebigen Familie von Mengen Hi , i ∈ I, aus H.
Nach (C3) und der Deﬁnition von H gilt für alle i ∈ I : C(D) ⊆ C(Hi ) = Hi .
Folglich ist C(D) ⊆ D und damit nach (C1) sogar C(D) = D, also D ∈ H.
Sei X Fixpunkt von C, d.h. C(X) = X, so folgt X ∈ H.
Sei H ∈ H, d.h. H = C(X) für gewisses X ∈ P(A), so folgt C(H) = C(C(X)) = C(X) = H.
Also ist H Fixpunkt von C.
H 53. (a) Sei (L, ∧, ∨) ein vollständiger Verband.
Kleinstes Element: 0 = ∧L, grösstes Element: 1 = ∨L. Also ist (L, ∧, ∨) beschränkt.
(b) (P(A), ∩, ∪) ist vollständiger Verband, da beliebige Durchschnitte und Vereinigungen existieren und in P(A) liegen.
Kleinstes Element: 0 = ∩P(A) = ∅, grösstes Element: 1 = ∪P(A) = A.
(Pf in (A), ∩, ∪) ist ein (Teil-)Verband von (P(A), ∩, ∪)).
/ Pf in (A), denn ∪Pf in (A) nicht endlich.
Pf in (A) ist nicht vollständig, da ∪Pf in (A) ∈
54. *(b) Sei p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, · · · die Folge aller Primzahlen.
Jede natürliche Zahl besitzt eine, bis auf die Reihenfolge der Faktoren, eindeutige Zerlegung
in ein Produkt von Primzahlpotenzen.
i
,
Wir betrachten die Abbildung f : N \ {0} −→ Nu mit f (1) = 1 und f ( pαi i ) = pαi+1
d.h. jede Primzahl in der Primzahlzerlegung wird durch die nächstgrößere ersetzt.
Diese Abbildung ist oﬀensichtlich bijektiv, und es gilt: m | n ⇐⇒ f (m) | f (n) .
*H 55. (a) Es gibt 3n Abbildungen von {1, 2, . . . , n} in {1, 2, 3}.
Es bezeichne ni die Anzahl der auf i; i = 1, 2, 3; abgebildeten Elemente.
Wegen der Surjektivität sind alle ni > 0, und es gilt:
1 ≤ n1 ≤ n − 2, 1 ≤ n2 ≤ n − 2, 1 ≤ n3 = n − n1 − n2 ≤ n − 2.
Daraus ergibt sich für die Anzahl der surjektiven, ordnungserhaltenden Abbildungen:
(n − 2) + (n − 3) + . . . + 1 = 12 (n − 1)(n − 2).
(b) L1 und L2 seien die folgenden durch ihr Hasse-Diagramm dargestellten Verbände
b4
a4
L1 :
a2
a3
b3
L2 :
b2
a1
b1
und f : L1 −→ L2 mit f (ai ) = bi ; i = 1, 2, 3, 4.
f ist oﬀensichtlich bijektiv und ordnungserhaltend;
andererseits gilt b2 ≤ b3 , f −1 (b2 ) = a2 und f −1 (b3 ) = a3 sind jedoch nicht vergleichbar;f −1
ist nicht ordnungserhaltend. Zwischen Ketten gibt es solche Abbildungen nicht.
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Fachrichtung Mathematik
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Ausgewählte Lösungen (Mathematik 3 für Informatiker) WS 2007/08
12. Übungsblatt 14.-18.01.2008: Partielle Ableitungen
1
+ y1 dy
− √x−y
(b) (i) zx = 2x + 2xy 4 =⇒ z(x, y) = zx dx = x2 + x2 y 4 + C(y)
zy = 4x2 y 3 + C (y) = 4x2 y 3 + 3y 2 =⇒ C (y) = 3y 2 =⇒ C(y) = y 3 + K
=⇒ z = f (x, y) = x2 + x2 y 4 + y 3 + K, K ∈ R
Der gegebene Ausdruck ist also ein totales Diﬀerential.
(ii) P (x, y) = x sin(y) =⇒ Py (x, y) = x cos(y)
Q(x, y) = x2 cos(y) =⇒ Qx (x, y) = 2x cos(y)
Py = Qx =⇒ Der gegebene Ausdruck ist kein totales Diﬀerential.
58. (a) dz =
1
2
√1
x−y
+
1
x
dx +
1
2
59. Gleichung der Tangentialebene : z = f1 (x, y) = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 )
√
√
√
√
(i) fx = − √ x 2 2 , fx (1, 2) = − 12 ; fy = − √ y 2 2 , fy (1, 2) = − 22 ; f (1, 2) = 12
2
4−(x +y )
√
2
=⇒ x + 2y + 2z = 4 ist
8xy
, fx (1, 3) =
(ii) fx =
(4 − x2 )2
4−(x +y )
die gesuchte Ebenengleichung.
8
x2
1
; fy =
, fy (1, 3) = ; f (1, 3) = 1
2
3
(4 − x )
3
=⇒ 8x + y − 3z = 8 ist die gesuchte Ebenengleichung.
H 60. (a) z = f (x, y) = x2 + 9y 2 − 36y + 27
(i) x2 + 9y 2 − 36y + 27 = c =⇒ x2 + 9(y − 2)2 = c + 9,
=⇒
(c ≥ −9)
(y − 2)2
x2
+ c+9 = 1
(c + 9)
9
Die Niveaulinien sind Ellipsen mit den Halbachsen a =
Mittelpunkt M(0, 2).
x2
+ (y − 2)2 = 1, a = 3, b = 1,
c=0
=⇒
9
x2 (y − 2)2
+
= 1, a = 6, b = 2,
c = 27 =⇒
36
4
√
√
c + 9, b = 13 · c + 9 und dem
(ii) x = 0, Parabel: z = 9(y − 2)2 − 9,
(iii) Tangentialebene im Punkt P0 = (3, 2, z0 ) :
z0 = f (3, 2) = 0, fx = 2x, fx (3, 2) = 6; fy = 18y − 36, fy (3, 2) = 0;
=⇒ 6x − z = 18 ist die gesuchte Ebenengleichung.
y
(b) zx = (1 + xy )e− x ,
y
zxy = zyx = − xy2 e− x ,
y
zy = −e− x ,
Es gilt die angegebene partielle Diﬀerenzialgleichung.
y
zyy = x1 e− x
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13. Übungsblatt 21.-25.01.2008: Implizite Diﬀerenziation; Fehlerrechnung
H 62. V = 13 π · r 2 · h, Vr = 23 πrh, Vh = 13 πr 2
dV = Vr dr + Vh dh = 23 πrhdr + 13 πr 2 dh, ΔV ≈ dV
|ΔV | ≤ Vr |Δr| + Vh |Δh| =⇒
|ΔV |
V
≤ 2 |Δr|
r +
|Δh|
h
= 0.07 = 7%
Herleitung der Formel:
2
b
h V = π [ϕ(y)]2 dy = π r − hr y dy = 13 πr 2 h
a
0
64. F (x, y) = F (x, f (x)) = 0 =⇒ Fx · 1 + Fy · y = 0 =⇒ y = f (x) = − FFxy ,
⎛
⎞
0 Fx Fy
y = f (x) = 13 · det ⎝ Fx Fxx Fxy ⎠ = 13 · −Fy2 Fxx + 2Fx Fy Fxy − Fx2 Fyy
Fy
Fy
Fy Fxy Fyy
(a) F (x, y(x)) = (x2 + y 2 )2 − 2x(x2 + y 2 ) − y 2 = 0
Fx = 2(2x − 1)(x2 + y 2 ) − 4x2 ,
Fy = 4y(x2 + y 2 ) − 4xy − 2y
Tangente in P1 (0, 1): y = 1 + x, Tangente in P2 (0, −1): y = −1 − x
H (b) F (x, y(x)) = cos(xy) − x − 2y = 0
Fx = −y sin(xy) − 1, Fxx = −y 2 cos(xy), Fy = −x sin(xy) − 2, Fyy = −x2 cos(xy),
Fxy = − sin(xy) − xy cos(xy)
1 = −1
8
(−2)3
1
Tangente: y = m(x − x0 ) + y0 =⇒ y = − 2 (x − 0) +
f (0) = 12 , f (0) = − 12 , f (0) =
1
2
=⇒ x + 2y = 1
*65.
F (x, y, z) = F (x, y, z(x, y)) = 0 =⇒
∂F ∂z
∂F
∂F ∂z
∂F
+
·
= 0 und
+
·
=0
∂x
∂z ∂x
∂y
∂z ∂y
(a) Gegeben ist z = f (x, y) mit F (x, y, z) = z + x · ln(z) + y = 0.
zx (5, −1) = 0, zy (5, −1) = − 16
(b) Gegeben ist z = f (x, y) mit F (x, y, z) = y 2 − 2−z (x − z) = 0.
−z
−z
−z
+
(−1)
·
2
ln(2)
·
(−1)
·
(x
−
z)
+
(−1)
·
2
·
(−1)
·zx = 0
−2
∂F
∂x
∂F
∂z
=⇒ −2 + (16 · ln(2) + 2) · zx (7, 4) = 0 =⇒ zx (7, 4) =
1
8 ln(2) + 1
2y + (−1) · 2−z ln(2) · (−1) · (x − z) + (−1) · 2−z · (−1) ·zy = 0
∂F
∂y
∂F
∂z
=⇒ 8 + (16 · ln(2) + 2) · zy (7, 4) = 0 =⇒ zy (7, 4) = −
4
8 ln(2) + 1
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14. Übungsblatt 30.01.-03.02.2006: Taylorentwicklung; Extremwertaufgaben
67. *(b) zx = 0 : x3 − x + y = 0, zy = 0 : y 3 + x − y = 0 =⇒ y 3 = (−x)3
√ √
√ √ Kritische Punkte:
P1 (0, 0),
P2 2, − 2 und P3 − 2, 2
D(x, y) = 16 (3xy)2 − 3 x2 + y 2
• D(0, 0) = 0 weitere Untersuchungen notwendig!
g(x) := f (x, x) = 2x4 hat
bei x= 0 ein Minimum
h(x) := f (x, −x) = 2x2 x2 − 4 hat bei x = 0 ein Maximum
Somit hat f bei (0, 0) einen Sattelpunkt
√ √ √
√
• D 2, − 2 > 0 und zxx 2, − 2 > 0 =⇒ Minimum mit zM in = −8
√ √ √ √ • D − 2, 2 > 0 und zxx − 2, 2 > 0 =⇒ Minimum mit zM in = −8
y
= 0, zy = x · ln(x + y) + x+y
=0
1
1
Kritische Punkte: P1 (1, 0), P2 (0, 1) und P3 12 e− 2 , 12 e− 2
H (c) zx = y · ln(x + y) +
2
zyy = x ·
y+2x
,
(x+y)2
2
+xy+y
zxy = ln(x + y) + x (x+y)
2
2
x2 +xy+y 2
D(x, y) := zxx zyy − (zxy )2 = xy · (x+2y)(y+2x)
−
ln(x
+
y)
+
(x+y)4
(x+y)2
1 − 12 1 − 12
1
1 − 12 1 − 12
D(1, 0) < 0, D(0, 1) < 0, D 2 e , 2 e
= 2 > 0 und zxx 2 e , 2 e
>0
zxx = y ·
x+2y
,
(x+y)2
x
x+y
=⇒ Minimum in P3 mit zM in = − 81e
H 68. (a) f (2, −1) = 0, fx (2, −1) = fy (2, −1) = −2, fxx (2, −1) = 0, fyy (2, −1) = 6, fxy = 3
⎛ ⎞ ⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
2
1
0
x
Tangentialebene:
- in Parameterdarstellung: ⎝ y ⎠ = ⎝ −1 ⎠ + u ⎝ 0 ⎠ + v ⎝ 1 ⎠ ; u, v ∈ R
z
0
−2
−2
- in Koordinatenform: f1 (x, y) = 2 − 2x − 2y
(b) Taylorpolynom 2. Grades: f2 (x, y) = −1 + x − 2y + 3y 2 + 3xy
69. (a) Q(x, y) = (x − 1)2 + (y − 2)2 + (x − 2)2 + (y − 3)2 + (x − 3)2 + (y − 4)2 → minimieren
x1 +x2 +x3
= 2, Qy (x, y) = 0
3
n
n
1 xi und y = n1
yi
x= n
i=1
i=1
Qx (x, y) = 0 ⇒ x =
Für n Punkte folgt:
⇒y=
y1 +y2 +y3
3
a2 ·y 2
= 1 ⇒ b2 = a2 −x02
0
√
√
= 0 ⇒ a = 2x0 , b = 2y0
(b) ZF: A = π · a · b → minimieren unter der Nebenbedingung
f (a) = π 2 · a2 ·
a2 ·y02
,
a2 −x20
f (a) = 2π 2 · y02 · a3 ·
a2 −2x20
2
(a2 −x20 )
=3
x20
a2
+
y02
b2
x2 + y 2 → minimieren gdw. x2 + y 2 → minimieren
√
Nebenbedingung: x2 + 2 3xy − y 2 − 8 = 0
√
Lagrangesche Methode: L(x, y; λ) = x2 + y 2 + λ x2 + 2 3xy − y 2 − 8
√ Lx = 2x + λ 2x + 2 3y = 0 =⇒ λ = − x+x√3y
√ Ly = 2y + λ −2y + 2 3x = 0
√
Lλ = x2 + 2 √ 3xy − y 2 − 8 = 0
. . . =⇒ y = x3 =⇒ . . . =⇒ x2 = 3
√ √
3, 1 , P2 − 3, −1
P1
*70. ZF: d =
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1. Übungsblatt - 14.04.-18.04.2008:
Diﬀerenzialgleichungen erster Ordnung
dx
dx
= α · dt =⇒
= α · t + C1 , C1 ∈ R
x · (1 − βx)
x · (1 − βx)
1−
1
1
=x
.
Mittels Partialbruchzerlegung erhält man:
x · (1 − βx)
x − β −1
Demzufolge
ergibt sich:
x
x
= C2 · eαt mit C2 ∈ R.
ln −1 = α · t + C1 mit C1 ∈ R, d.h.
x−β
x − β −1
*4. dx = αx · (1 − βx)
dt
=⇒ x(t) =
=⇒
C · eαt
=
β(Ceαt − 1))
1
β(1−
1
)
C· αt
e
=⇒ lim (x(t)) = 1
β
t→∞
Der Parameter α steht für das Wachstum einer Population, der Parameter β repräsentiert
die Einschränkung des Wachstums einer Population durch z.B. Nahrungs- bzw. Platzmangel
(Streitigkeiten innerhalb einer Population). Diese Modellierung wurde 1837 von dem Biomathematiker Verhulst angegeben.
H 5. (a) fx = (cos(x) + sin(x)) ex+ay , fxx = 2 cos(x) ex+ay , fxy = a(cos(x) + sin(x)) ex+ay
fy = a sin(x) ex+ay , fyy = a2 sin(x) ex+ay
(b)
2fx − fxx − fyy = 0
=⇒ (2 sin(x) − a2 sin(x)) ex+ay = 0
Es gilt: ex+ay
(2 − a2 ) · sin(x) · ex+ay = 0
√
√
> 0 und sin(x) ≡ 0 =⇒ a2 = 2 =⇒ a1 = 2 , a2 = − 2.
=⇒
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Ausgewählte Lösungen (Mathematik 4 für Informatiker) SS 2008
2. Übungsblatt - 21.04.-25.04.2008: Diﬀerenzialgleichungen erster Ordnung
7. (b) Es handelt sich um eine inhomogene, lineare Diﬀerenzialgleichung. Sie ist nicht auf eine
Diﬀerenzialgleichung, die durch Trennen der Variablen lösbar ist, zurückführbar (Lösung
siehe Aufgabe 8. (a)(i),(b)(i)).
(c) Es handelt sich um eine Bernoullische Diﬀerenzialgleichung. Diese nichtlineare Dgl wird
durch Substitution auf eine lineare Dgl zurückgeführt (Lösung siehe Aufgabe *9.(b)(i)).
y
2
y
2z
=
= z (1+z ) · 1 ⇒
x
=
2
,
Subst.:
z
:=
,
z
+
xz
⇒
z
*(d) y = 2 x2xy
2
2
2
2
y
x
x
−y
1−z
1−z
1−( x
)
dx
1−z 2
2 = ln |x| + ln |C | =⇒ x2 + (y − C)2 = C 2
1
x ⇒ ln |z| − ln 1 + z
z(1+z 2 ) dz =
Die Lösungskurven sind Kreise mit Mittelpunkt M(0,C) und Radius C.
*9. (a) Eine Bernoullische DGL hat die Gestalt: y (x) = g(x) · y + r(x) · y α , α ∈ R\{0, 1}
Mit der Substitution z := y 1−α erhält man eine DGL 1. Ordnung in z:
z = (1 − α) · g(x) · z + (1 − α) · r(x)
α = 0 =⇒ y (x) − g(x) · y = r(x) inhomogene lineare DGL 1.Ordnung
homogene lineare DGL 1.Ordnung
α = 1 =⇒ y (x) + h(x) · y = 0
(b) (i) y = − x1 · y + x12 · y −2 , α= −2
z := y 3 =⇒ z = 3 · − x1 · z + 3 · x12 , zh = C · x13
Ansatz: zp (x) = C(x) · x13 , einsetzen in die DGL ⇒ C (x) = 3x ⇒ C(x) = 32 x2
3
allgemeine Lösung für z: z(x) = zh (x) + zp (x) = C · x13 + 2x
,C∈R
C
3
3
allgemeine Lösung für y: y (x) = x3 + 2x , C ∈ R
√
y = 0 ist Lösung
(ii) y = − x2 · y + cos22 (x) · y, α = 0.5;
√
z := y =⇒ z = 12 · − x2 · z + 12 · cos22 (x) , zh = Cx
Ansatz: zp (x) =
C(x)
x
⇒ C (x) =
x
cos2 (x)
=⇒ C(x) = x · tan(x) + ln | cos(x)|
allgemeine Lösung für z: z(x) = zh (x) + zp (x) = Cx + tan(x) + x1 ln | cos(x)|, C ∈ R
2
allgemeine Lösung: =⇒ y(x) = Cx + tan(x) + x1 ln | cos(x)| ∨ y = 0, C ∈ R
−y
dx
1+ex −y
ye dy = 1+
H 10. (a) (1 + ex ) y · y = ey , y(0) = 0,
ex . . . ⇒ (1 + y)e = ln ex − C,
x
y(0) = 0 ⇒ C = ln(2) − 1 ⇒ 1+y
ey = ln (1 + e ) − x + 1 − ln(2)
√
√
2
2
2 = ln |x|+C
⇒
ln
z
+
1
+
z
(b) y − xy = 1 + xy , z(x) = xy , z(1) = 1 ⇒ z = 1+z
x
√ √ 2
= ln 1 + 2 |x|
z(1) = 1 ⇒ C = ln 1 + 2 , ln xy + 1 + xy
√ √
√ ⇒ y + x2 + y 2 = 1 + 2 x2 ⇒ y(x) = 12 · (1 + 2)x2 + 1 − 2
2
(c) Lösung der homogenen DGL: yh = Ce−x
2
Ansatz: yp (x) = C(x) · e−x , einsetzen in die DGL ⇒ C (x) = 2x ⇒ C(x) = x2
2
allgemeine Lösung: y(x) = C + x2 e−x , C ∈ R
2
Nebenbedingung: y(0) = 1 ⇒ C = 1 ⇒ y(x) = 1 + x2 e−x , C ∈ R
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3. Übungsblatt - 28.04.-02.05.2008: Lineare Diﬀerenzialgleichungen höherer Ordnung
3
14. (a) λ1 = 0, λ2,3 = − 32 =⇒ y(x) = A + (B + C · x) · e− 2 x ,
3
3
y (x) = 12 e− 2 x · (−3B + C(2 − 3x)) , y (x) = − 14 e− 2 x · (−9B + C(12 − 9x))
y(0) = 1 = A + B, y (0) = 1 = − 32 B + C, y (0) = −3 = 94 B − 3C
3
=⇒ A = 1, B = 0, C = 1 =⇒ y(x) = 1 + x · e− 2 x
H(b) λ1 = −2, λ2,3 = 3 , =⇒ yh (x) = C1 e−2x + (C2 + C3 x) e3x
Ansatz: yp (x) = Ae2x + Bx2 + Cx + D
=⇒ yp (x) = 2Ae2x + 2Bx + C , yp (x) = 4Ae2x + 2B , yp (x) = 8Ae2x
DGL: 4Ae2x + 18Bx2 + (18C − 6B)x + (18D − 3C − 8B) = 8e2x − 54x2 + 63
Koeﬃzientenvergleich liefert: A = 2, B = −3, C = −1, D = 2
y(x) = C1 e−2x + e3x (C2 + C3 x) + 2e2x − 3x2 − x + 2
y (x) = −2C1 e−2x + e3x (3C2 + C3 + 3C3 x) + 4e2x − 6x − 1
y (x) = 4C1 e−2x + e3x (9C2 + 6C3 + 9C3 x) + 8e2x − 6
⎫
y(0) = 10 =
C1 + C2 + 4 ⎬
=⇒ C1 = C2 = 3, C3 = −6
y (0) = 0 = −2C1 + 3C2 + C3 + 3
⎭
y (0) = 5 = 4C1 + 9C2 + 6C3 + 2
=⇒ y(x) = 3e−2x + 3e3x (1 − 2x) + 2e2x − 3x2 − x + 2
H 15. (a) lineare DGL 1. Ordnung, inhomogen: y(x) = C · ex + ex ln |x| +
(b) Bernoulli Typ, Substitution z = y 1−α : y 2 (x) = x + (x + 1) · ln
x2
2
C
x+1
(c) lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeﬃzienten, inhomogen:
y(x) = C1 e2x + c2 x e2x + 14 x2 e2x − 18 e−2x
y
(d) Ähnlichkeitsdgl., Substitution: z = xy : e x = C · y
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4. Übungsblatt 05.-16.05.2008: Diﬀerenzialgleichungssysteme, Tayloransatz; Wiederholung
16. H(b)
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
y1
0 1 1
y1
y1 = y2 + y3
y2 = y1 + y3 ⇐⇒ ⎝ y2 ⎠ = ⎝ 1 0 1 ⎠ · ⎝ y2 ⎠
y3 = y1 + y2
y3
y3
1 1 0
λ1 = 2, EV: t · (1, 1, 1)T , λ2/3 = −1, EV: t1 · (1, 0, −1)T + t2 · (1, −1, 0)T ; t, t1 , t2 ∈ R\{0}
⎛ ⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎞ ⎛
⎞
1
1
1
y
y1
=⇒ ⎝ y2 ⎠ = ⎝ y ⎠ = C1 · e2x · ⎝ 1 ⎠ + C2 · e−x · ⎝ 0 ⎠ + C3 · e−x · ⎝ −1 ⎠
y3
y 1
−1
0
⎛
W 19. (a) (i) p = (15)(36)(78), q = (12357), r = (12345)(68)
(ii) Fixpunkte p : 2 und 4, q : 4, 6 und 8, r : 7.
(b) (i) p−1 ◦ q ◦ p = (126)
(ii) p−1 ◦ q ◦ p = (1743)
(c) (i) x = p−1 ◦ q = (13246857), y = q ◦ p−1 = (17856432)
(ii) z = p−1 ◦ q ◦ p−1 = (1423)(5867)
(d) (i) p = (16243)(578) hat die Ordnung 15(=kgV(5,3)). Demzufolge hat die von p erzeugte
zyklische Untergruppe 15 Elemente.
(ii) p = (123) und q = (45) haben elementfremde Zyklen.
Die kleinste Untergruppe der S8 , die p und q enthält hat somit 6 Elemente.
π1 = (1) = ε, π2 = p = (123), π3 = p2 = (132), π4 = q = (45), π5 = p ◦ q = (123)(45),
π6 = p2 ◦ q = (132)(45)
W 20. (a) (i) detA = −6 ≡ 1 (mod 7) =⇒ A hat Rang 3.
(ii) Ax = b lösbar gdw. RgA = Rg(A|b)
RgA = 3 =⇒ Rg(A|b) ≥ 3 ; Rg(A|b) = 3 , da A|b nur 3 Zeilen besitzt.
=⇒ Es gibt kein b, so dass Ax = b nicht lösbar ist.
(b) (i) x = t · (1, 1, 1, )T , t ∈ GF(3) =⇒ x1 = (0, 0, 0)T , x2 = (1, 1, 1)T , x3 = (2, 2, 2)T
(ii) Es gilt 2 =RgA =Rg(A|b) = 3 , d.h. Ax = b ist nicht lösbar.
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5. Übungsblatt 19.-23.05.2008: Iteration, Newtonverfahren; Wiederholung
22. (iii) lg(x) − x2 + 3 = 0, x0 = 1.7
=⇒ x = lg(x) + 3 = g(x), g (x) =
1
2x ln 10
·√
1
,
lg (x)+3
g (1.7) ≈ 0.1
x0 = 1.70000, x1 = 1.79734, x2 = 1.80406, x3 = 1.80451, x4 = 1.80454,
x5 = 1.80454, x6 = 1.80454, x7 = 1.80454
=⇒
x̄ = 1.8045
23. *(b) Das Newton-Verfahren liefert folgende Rekursionsvorschrift:
1
a
xn+1 =
2xn + 2
3
xn
Die Konvergenzbedingung dafür lautet:
f (x) · f (x) 2 = 1 − a < 1
(f (x))2 3
x3
Demzufolge muss für die Gewährleistung der Konvergenz des Newton-Verfahrens x3 > 25 a
gelten. Mittels vollständiger Induktion zeigt man: Ist x3 > 25 a für ein xn erfüllt, so auch für
xn+1 .
W 24.
• n = 8: Z∗8 = {1, 3, 5, 7} , |Z∗8 | = 4.
Alle Elemente sind zu sich selbst invers (Ordnung 2).
Eine Untergruppe mit zwei Elementen ist z.B. {1, 3}, Untergruppen mit drei Elementen
gibt es nicht (3 4). Eine Untergruppe mit 4 Elementen ist die Gruppe selbst.
Z∗8 ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe V4 .
• n = 10: Z∗10 = {1, 3, 7, 9} , |Z∗10 | = 4.
Die Elemente 3 und 7 haben die Ordnung 4, das Element 9 hat die Ordnung 2.
Inverse: 3−1 = 7, 7−1 = 3, 9−1 = 9
Untergruppe mit zwei Elementen: {1, 9}, Untergruppen mit drei Elementen gibt es nicht.
Eine Untergruppe mit 4 Elementen ist die Gruppe selbst.
Z∗10 ist isomorph zur zyklischen Gruppe (Z4 , +) = {0, 1, 2, 3}.
• n = 24: Z∗24 = {1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23} , |Z∗24 | = 8.
Alle Elemente sind zu sich selbst invers (Ordnung 2).
Untergruppe mit zwei Elementen z.B.: {1, 23}, Untergruppen mit drei Elementen gibt es
nicht. Eine Untergruppe mit 4 Elementen ist z.B.{1,11,13,23}.
W 25. (a) Der Körper K hat 24 = 16 Elemente und die multiplikative Gruppe K ∗ 15.
(b) Additive Gruppe: alle Elemente haben die Ordnung 2, da K Körper über Z2 .
Multiplikative Gruppe: Die Elemente α, α2 , α4 , α7 , α8 , α11 , α13 , α14 haben die Ordnung 15,
die Elemente α3 , α6 , α9 , α12 haben die Ordnung 5 und α5 , α10 haben die Ordnung 3.
(c) K ∗ hat auch nichttriviale Untergruppen, z.B.: {1, α5 , α10 }.
(d) Mittels Logarithmentafel bechnet man leicht: (i) = α7 = 1 + α + α2
(α6 )(α5 )
(ii) = α7 · α8 · α12 = 1 + α; (iii) =
=1
α11
(e) α NS von P ∈ Z2 [X] =⇒ P (α8 ) = (((P (α))2 )2 )2 = 0
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6. Übungsblatt 26.-30.05.2008: Interpolation
26. p(x) = 3 − 3(x − 1) + 3(x − 1)(x − 3) + (x − 1)(x − 3)(x − 5) = x3 − 6x2 + 8x
27. (a) p(x) = C0 + C1 (x + 4) + C2 (x + 4)(x + 2) + C3 (x + 4)(x + 2)x + C4 (x + 4)(x + 2)x(x − 2)
Δk y 0
, wobei h der konstante Abstand zwischen den Stützstellen ist (h=2).
mit Ck =
k! · hk
y i Δ1 y i Δ2 y i Δ3 y i Δ4 y i
xi
−4 −31
36
5
−40
−2
−4
48
1
8
−96
0
4
−48
256
5
−40
160
2
−36
112
72
4 −31
36
5
6
p(x)
40
48
96
= −31 + 36
2 (x + 4) − 2!·22 (x + 4)(x + 2) + 3!·23 (x + 4)(x + 2)x − 4!·24 (x + 4)(x + 2)x(x − 2)
= −31 + 18(x + 4) − 5(x + 4)(x + 2) + (x + 4)(x + 2)x − 14 (x + 4)(x + 2)x(x − 2)
(= 1 + 2x2 − 14 x4 )
(b) Wie man aus der Wertetabelle entnehmen kann, handelt es sich um ein symmetrisches
Polynom. Somit sind die Koeﬃzienten a1 und a3 gleich Null.
(c) Hinzunahme des Stützpunktes (6, 5) liefert:
256
256
2 1 4
p5 (x) = p(x)+ 5!·2
5 (x+4)(x+2)x(x−2)(x−4) = 1+2x − 4 x + 5!·25 (x+4)(x+2)x(x−2)(x−4)
1 5
= 60 4x − 15x4 − 80x3 + 120x2 + 256x + 60
28. (a) Ansatz Newton-Interpolationspolynom bei n Stützpunkten: N (x) =
n−1
ci Ni (x)
i=0
Da die n Punkte auf einer Geraden liegen, gilt: N (x) = c0 + c1 N1 (x)
*(b) P (x) = N (x) + cn Nn (x) mit cn = 0; P (x) ist Polynom n−ten Grades.
30. (a) Man erhält für S(x) in den entsprechenden Intervallen:
39 3
[0,1]: S1 (x) = −3 + 223
46 x − 46 x
53 (x − 1) − 117 (x − 1)2 + 57 (x − 1)3 = − 117 + 511 x − 144 x2 + 57 x3
[1,2]: S2 (x) = 1 + 23
46
46
23
46
23
46
43 (x − 2) + 27 (x − 2)2 − 9 (x − 2)3 = 147 − 281 x + 54 x2 − 9 x3
[2,4]: S3 (x) = 2 + 46
23
46
23
46
23
46
2
H (b) Splinefunktion:
9 3
[0,1]: S1 (x) = −3 + 65
14 x − 14 x
27 (x − 1)2 + 3 (x − 1)3 = − 27 + 101 x − 18 x2 + 3 x3
(x
−
1)
−
[1,2]: S2 (x) = 1 + 19
7
14
14
7
14
7
14
25 (x − 2)3 = − 115 + 365 x − 12x2 + 25 x3
[2,3]: S3 (x) = 2 − 21 (x − 2) − 97 (x − 2)2 + 14
7
14
14
57 (x − 3)2 − 19 (x − 3)3 = 479 − 823 x + 114 x2 − 19 x3
(x
−
3)
+
[3,4]: S4 (x) = 2 + 16
7
14
14
7
14
7
14
H (c) Kontrolle mit MAPLE
Spline-Interpolation: > spline ([0, 1, 2, 3, 4], [−3, 1, 2, 2, 7], x, cubic)
Graﬁsche Darstellung mit > plot
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7. Übungsblatt 02.-06.06.2008: Approximation
H 33. (a)
⎫
1 ⎪
a0 a1 a2 a3
⎪
⎪
5 0 10 0
4 ⎪
⎪
⎪
⎬
0 10 0 34 44
16 ⎪
10 0 34 0
⎪
⎪
⎪
0 34 0 130 164 ⎪
⎪
⎭
NGS:
=⇒
a0 = −
12
4
, a1 = 1, a2 = , a3 = 1
35
7
12
(b) F̂ (z) = z 3 + 74 z 2 + z − 35
12 .
(c) Beim NGS entfällt die a3 -Spalte und die letzte Zeile F(z) = 74 z 2 + 22
z
−
5
35
34. Q(a0 , a1 , . . . , am ) :=
b
(F (x) − f (x))2 dx → min mit gegebenem f stetig auf dem Intervall [a, b]
a
und F (x) =
NGS:
m
m
aj ϕj (x) gesucht. (ϕj , ϕi ) =
j=0
b
a
ϕj (x) · ϕi (x)dx
aj (ϕj , ϕi ) = (f, ϕi ), i = 0, 1, . . . , m
j=0
1
Da f (x) = 1+x
2 gerade Funktion und das Approximationsintervall [−1, 1] symmetrisch zum
Nullpunkt ist, können im Ansatz für F (x) die ungeraden Basisfunktionen x und x3 weggelassen
werden.
F (x) = a0 + a2
(ϕ0 , ϕ0 ) = (1, 1) =
1
−1
(ϕ2 , ϕ2 ) = (x2 , x2 ) =
x2 ,
ϕ0 (x) := 1, ϕ2 (x) :=
1dx = 2 ,
x4 dx = 52 ,
−1
1
2
(f, ϕ2 ) = ( 1+x
2,x ) =
−1
a0 a2
1
2
π
2 3
2
NGS:
2 2 2− π
3 5
2
x2
1+x2
dx =
⇒ a0 =
a0
a2
1
(ϕ0 , ϕ0 ) (ϕ2 , ϕ0 ) (f, ϕ0 )
(ϕ0 , ϕ2 ) (ϕ2 , ϕ2 ) (f, ϕ2 )
NGS:
(ϕ0 , ϕ2 ) = (ϕ2 , ϕ0 ) = (1, x2 ) =
1
1
x2
1
(f, ϕ0 ) = ( 1+x
2 , 1) =
1
−1
(1 −
1
) dx
1+x2
1
−1
1
x2 dx = 32
−1
1
1+x2
dx = [arctan(x)]1−1 = π
2
= [x − arctan(x)]1−1 = 2 − π
2
15
3
15 15
3
15
π − , a2 = (3 − π) ⇒ F (x) = π −
+ (3 − π)x2
2
4
4
2
4
4
H *35. Die Legendreschen Polynome sind im Wechsel gerade und ungerade:
Sei Pn−1 gerade und Pn ungerade
2n+1
n
2n+1
n
n+1 (−x) Pn (−x) − n+1 Pn−1 (−x) = n+1 x Pn (x) − n+1
P1 (x) = x, P2 (x) = 12 3x2 − 1 , P3 (x) = 12 5x3 − 3x
=⇒ Pn+1 (−x) =
P0 (x) = 1,
Pn−1 (x) = Pn+1 (x).
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8. Übungsblatt 09.-13.06.2008
Näherungsweises Lösen linearer Gleichungssysteme; Wiederholung
36. *(c) Das Gleichungssystem AT A · x̂ = AT b entspricht dem NGS, das sich bei der diskreten
Approximation eines Polynoms 2. Grades an die m Stützpunkte (xk , bk ), k = 1, · · · m ergibt.
⎛
1
AT A = ⎝ x1
x21
⎞⎛
··· 1
⎜
· · · xm ⎠ ⎝
· · · x2m
1
..
.
x1
..
.
1 xm
⎛
m
xk
x2k
⎞
k
k
⎟
⎞ ⎜
⎜
⎟
x21
⎜ 2 3 ⎟
.. ⎟ = ⎜
xk
xk
xk ⎟
⎟
. ⎠ ⎜
k
k
k
⎜
⎟
2
⎜
⎟
xm
⎝ 3 4 ⎠
2
xk
xk
xk
k
k
⎛ bk
⎞ ⎜ k
⎞⎛
⎜
b1
1 ··· 1
⎜ ⎜
⎟
⎜
.
xk bk
AT b = ⎝ x1 · · · xm ⎠ ⎝ .. ⎠ = ⎜
⎜ k
2
2
x1 · · · xm
⎜
bm
⎝ x2k bk
⎛
k
⎛
k
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎛
⎞
4 2 2
14
37. Man löst das System AT Ax̂ = AT b, d.h. ⎝ 2 2 0 ⎠ x̂ = ⎝ 4 ⎠ und erhält
2 0 2
10
x̂ =
x̂1 x̂2 x̂3
T
=
5 −3 0
T
+t·
−1 1 1
√
(t ∈ R) mit Ax̂ − b = 2 5
T
38. (a) Bei der Anpassung der Funktion f (x) = ex mittels stetiger Approximation durch Polynom
3 (11−e2 )+ 3 x+ 15 (e2 −7)x2 .
2. Grades erhält man aus dem unten stehenden NGS: F (x) = 4e
e
4e
(1, 1) =
1
a0
a1
1
a2 2 x
(1, 1)
(x, 1) x , 1 (e , 1)
(1,
x)
(x,
x2 , x (ex , x)
2 x)
1, x
x, x2
x2 , x2
ex , x2
1dx = 2, (x, x) = (1, x2 ) = (x2 , 1) =
−1
(1, x) = (x, 1) = (x, x2 ) = (x2 , x) = 0
(ex , 1) =
1
−1
W (b) F (a, b, c) =
ex dx = e − 1e ,
(ex , x) =
1
−1
1
x2 dx = 32 ,
−1
x ex dx = 2e ,
1 2
2
ax + bx + c − ex dx → min
−1
→
a0 a1 a2
1
2
2 0 3 e − e1
2
0 32 0
e
2 0 2 e− 5
e
3
5
(x2 , x2 ) =
1
x4 dx = 52
−1
1
ex , x2 = x2 ex dx = e − 5e
−1
F partiell diﬀerenzieren nach a, b, c und Auswertung der Integrale führt auf das gleiche
Gleichungssystem wie in (a).
2
W39. (a) (i) ε, p := (1 2)(3 4), q := (1 3)(2 4), r := (1 4)(2 3)
(ii) Diese vier Permutationen bilden eine kommutative, nicht zyklische Untergruppe der
S4 , da Isomorphie zur V4 besteht.
(b) (i) 1 ist Nullstelle von x3 + 1 =⇒ x3 + 1 = x2 + x + 1 (x + 1)
GF(4) = GF(2)/(x2 + x + 1) = a · α + b| a, b ∈ GF(2), α2 = α + 1
(ii) Es gilt U ∼
= V mit ε → 0, p → 1, q → α, r → α + 1
U
ε
p
q
r
ε
ε
p
q
r
p
p
ε
r
q
q
q
r
ε
p
r
r
q
p
ε
V
0
1
α
α+1
0
0
1
α
α+1
1
1
0
α+1
α
α
α
α+1
0
1
α+1 α+1
α
1
0
W40. (a) Die Tangentialebene an die Fläche z(x, y) im Punkt (x0 , y0 ) lautet:
√
√
√
√ 2 a−√x0 −√y0
a− x0 − y0
√
√
(x
−
x
)
−
(y − y0 )
z = a − x0 − y0 −
0
y0
x0
=⇒
√x
a x0
+
√y
a y0
+
z
√
√
a(a− x0 − y0 )
(b) (i) Minimum in P (3, 1)
(ii) Maximum in P (−3, 3)
= 1, Summe der Achsenabschnitte: a2 .
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9. Übungsblatt 16.-20.06.2008: Fourierreihen
2
H 44. (a)
1
–6
–4
–2
0
–1
2
4
6
–2
(b) f ungerade, p = 4
p
2
f (x) ∼
=⇒
∞
k=1
∞
π kx
kx
=
bk sin 2π
b
sin
k
p
2
k=1
2
2
2 · f (x) sin 2π kx dx = 1 · f (x) sin π kx dx = 2x − 1 x2 · sin π kx dx
bk = p
p
2 −2
2
2
2
0
− p2
3π x
x
+b
sin
(πx)+b
sin
bk = . . . = − 4 3 (−1)k 2 + (kπ)2 − 2 ⇒ S3 (x) = b1 sin π
2
3
2
2
(kπ)
mit b1 ≈ 1.7893, b2 ≈ −0.6366, b3 ≈ 0.4435
*45. (a) Q(a0 , . . . , an , b1 , . . . , bn ) :=
2
n
π
a0
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) dx → min
f (x) − 2 −
−π
∂Q
∂a0
=0
∂Q
∂aj
= −2 ·
=⇒
π
=⇒
π
−π
k=1
π
−π
f (x)dx − a0 π = 0
f (x) −
a0
2
f (x) cos(jx)dx =
−π
=⇒
∂Q
∂bj
=⇒
n
n
ak
π
·
π
f (x)dx
−π
n
bk
k=1
0,
falls
k=j
π
sin(kx) cos(jx)dx
−π
0
π
π
f (x) cos(jx)dx = aj cos2 (jx)dx = πaj =⇒ aj = π1
f (x) cos(jx)dx
−π
−π
−π
n
π
a0
= −2 ·
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) · sin(jx)dx = 0, j = 1, 2, . . . , n
f (x) − 2 −
π
−π
f (x) sin(jx)dx =
π
k=1
n
ak
k=1
f (x) sin(jx)dx = bj
π
π
−π
cos(kx) sin(jx)dx +
(f (x) −
n
0
sin2 (jx)dx = πbj =⇒ bj =
−π
1
π
− 12 sin(x))2 dx =
0
−π
bk
k=1
(b) Aufgabe 42: f (x) = max{sin(x), 0}, S1 (x) =
−π
π
1
π
cos(kx) cos(jx)dx +
−π
π
−π
π
a0 =
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) · cos(jx)dx = 0, j = 1, 2, . . . , n
k=1
k=1
−π
=⇒
−
=⇒
1
π
1
π
π
sin(kx) sin(jx)dx
−π
π
0,
falls
k=j
f (x) sin(jx)dx
−π
+ 12 sin(x).
π
(− π1 − 12 sin(x))2 dx + (sin(x) −
0
1
π
− 12 sin(x))2 dx, t := x + π
π
π
(− π1 − 12 sin(t − π))2 dx + ( 12 sin(x) − π1 )2 dx = ( π22 − π2 sin(x) + 12 sin2 (x))dx =
0
0
0
=− sin(t)
π 2 −8
4π
≈ 0, 148
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10. Übungsblatt 23.-27.06.2008
Kombinatorik, Ereignisse, Wahrscheinlichkeiten
H 46. (a) (d a), b, c, e, f, g =⇒ 6! Anordnungen
6
4
(b) Anzahl der Passwörter: 26 · 25 · 10 ·
2
8
(c) ... ohne Angabe der Reihenfolge:
Möglichkeiten
3
8
... mit Angabe der Reihenfolge:
· 3! Möglichkeiten
3
* (d) 6 · 7n−1 − 2 · 5 · 6n−1 + 4 · 5n−1
47. * (c) Anzahl der Permutationen einer 5-elementigen Menge 5! = 120. Man überdenke die möglichen Hauptproduktdarstellungen von fixpunktfreien Permutationen einer 5-elementigen
Menge.
5 3!
44 = 11 = 0, 36.
5!
· 3 = 24+20 = 44 Permutationen ohne Fixpunkt =⇒ 120
Es gibt 5 +
30
3
Versuchsausgänge.
50. (a) 22n mögliche
2n
Möglichkeiten, dass genau n-mal Wappen (bzw. Zahl) geworfen wird.
n
2n
n
p=
22n
*(b) A sei das Ereignis bei den ersten (n − 1) Würfen wird genau (m − 1)-mal die 6 gewürfelt
bzw. bei den ersten (n − 1)-Würfen wird genau (n − 1) − (m − 1))-mal nicht die 6 gewürfelt.
B sei das Ereignis beim n−ten Wurf wird die 6 gewürfelt.
n−1
· 5n−m
n−m
n−m
n−1
1
·5 n
·6=
p = P (A) · P (B) =
n−1
6
n−m
6
H (c) Teilbarkeit durch 2:
Teilbarkeit durch 3:
Teilbarkeit durch 4:
Teilbarkeit durch 5:
p = 4 · 6! = 74
7!
p=0
p = 12 · 5! = 72
7!
1 · 6! = 1
7
7!
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DRESDEN
Fachrichtung Mathematik
Institut für Algebra
Dr. J. Brunner
Ausgewählte Lösungen (Mathematik 4 für Informatiker) SS 2008
11. Übungsblatt 30.06.-04.07.2008
Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Zufallsgrößen
53. (a) 50 Packungen, darunter 5 unvollständige.
5
45
5
45
1
4
2
18
≈ 0.3641, (ii)
≈ 0.3516,
(i)
50
50
20
5
w
H (b) (i) P (A) =
(2,2)
P4
= 2!4!2! · 14 = 0.375
w (4)
2
V2
w
(ii) P (B) =
5
45
0
1
= 0.9
50
1
= 0.25
1
(iii) P (C) = 16
(iii)
(3,1)
P4
24
H 55. Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der in einem Spiel erzielten Tore einer Fußballmannschaft. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X hat folgendes Aussehen:
1
2
3
4
5
6
k (Anzahl der Tore) 0
P (X = k)
0, 3 0, 4 0, 1 0, 1 0, 06 0, 02 0, 02
(a) EX = 1, 36, D 2 X = 2, 0304
(b) P (X < 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 0, 8
(c) Xi sei Toranzahl im i-ten Spiel, i = 1, 2, 3.
P (X1 + X2 + X3 ≤ 1) = P (X1 + X2 + X3 = 0) + P (X1 + X2 + X3 = 1)
P (X1 + X2 + X3 = 0) = P ({X1 = 0} ∩ {X2 = 0} ∩ {X3 = 0}) = 0, 33
P (X1 + X2 + X3 = 1) = P ({X1 = 1} ∩ {X2 = 0} ∩ {X3 = 0})
+P ({X1 = 0} ∩ {X2 = 1} ∩ {X3 = 0}) + P ({X1 = 0} ∩ {X2 = 0} ∩ {X3 = 1}) = 3 · 0, 32 · 0, 4
=⇒ P (X1 + X2 + X3 ≤ 1) = 0, 027 + 0, 108 = 0, 135
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DRESDEN
Fachrichtung Mathematik
Institut für Algebra
Dr. J. Brunner
Ausgewählte Lösungen (Mathematik 4 für Informatiker) SS 2008
12. Übungsblatt 07.07.-11.07.2008: Zufallsgrößen, Verteilungen
H 57. A... Student nimmt das Auto, A... er nutzt die Straßenbahn.
(a) B Student ist pünktlich. P (B) = P (B|A)·P (A)+P (B|A)·P (A) = 0, 9·0, 9+0, 8·0, 1 = 0, 89
(b) X...Anzahl der Tage innerhalb einer Woche, an denen der Student pünktlich kommt.
X ist binomialverteilt mit n = 5 und p = 0, 89. (Student kommt an einem von 5 Tagen zu
spät bzw. Student
kommt an 4 von 5 Tagen pünktlich.)
5
P (X = 4) =
· 0, 894 · 0, 111 = 0, 55 · 0, 6274 = 0, 3451
4
(c) EX = n · p = 75 · 0, 89 = 66, 75. Der Student ist im Mittel an 67 Tagen pünktlich.
58. *(b) n = 80 5000 = N =⇒ Approximation der Hypergeometrischen Verteilung H(5000, 100, 80)
durch die Binomialverteilung B(n, p) mit n = 80 und p = 0, 02
0
80 ≈ 0, 1986, E(X) = n · p = 80 · 0, 02 = 1, 6
P (X = 0) = 80
0 · 0, 02 · 0, 98
D 2 (X) = n · p · (1 − p) = 80 · 0, 02 · (1 − 0, 02) = 1, 568
*(c) n = 80 ≥ 50; p = 0, 02 ≤ 0, 05 =⇒ Approximation der Binomialverteilung durch die
Poissonverteilung mit λ = n · p = 80 · 0, 02 = 1, 6
P (X = 0) =
59. (b) (i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
60.
(i)
∞
λ0 −λ
0! e
= e−1,6 ≈ 0, 2019
P (X ≥ 1) = P (Z ≥ 0)
P (X < 2) = P (Z < 0, 5)
P (|X| > 4) = 1 − P (|X| ≤ 4) = 1 − P (−4 ≤ X ≤ 4) = 1 − P (−2, 5 ≤ Z ≤ 1, 5)
P (|X − 1| > 6) = P (X < −5) + P (X > 7) = P (Z < −3) + P (Z > 3)
P (X 2 < 4) = P (−2 < X < 2) = P (−1, 5 < Z < 0, 5)
f (x)dx = 1 =⇒ 1 = α
−∞
1
0
x2 (1 − x)dx =⇒ α = 12
⎧
, für x ≤ 0
⎨ 0
3
x (4 − 3x) , für 0 < x ≤ 1
(ii) FX (x) =
⎩
1
, für x > 1
EX =
∞
−∞
x · fX (x)dx = 12
∞
1
0
x · x2 (1 − x)dx = . . . = 35
1
x2 · x2 (1 − x)dx = . . . = 25
−∞
0
2
1
D2 X = EX 2 − (EX)2 = 52 − 53 = 25
3 5
(iii) P (X < 0.5) = FX (0.5) = 21
4 − 3 · 12 = 16
EX 2 =
x2 · fX (x)dx = 12
3 297 = 0, 4752
P (X < EX) = P X < 35 = FX 53 = 53
4 − 3 · 35 = 625
C. Folien
191
Folie 5.5
Rechnen mit Permutationen
Permutationen sind bijektive Abbildungen einer (endlichen) Menge
auf sich. Eine Permutation p auf der Menge {1,2,3, . . . ,n} kann
durch eine (zweizeilige) Funktionstabelle beschrieben werden:
1
2
3 ... n
p=
.
p(1) p(2) p(3) . . . p(n)
Durch Nacheinanderausführung ist auf der Menge der Permutationen eine binäre Operation ( Multiplikation“) ◦ erklärt:
”
(p ◦ q)(x) = q(p(x)).
Das Operationszeichen ◦ wird künftig weggelassen:
(pq)(x) = q(p(x))
Für das Rechnen mit Permutationen ist die (einzeilige) Zyklenschreibweise von großem Vorteil:
Jede Permutation lässt sich als Produkt elementefremder Zyklen
schreiben (Hauptproduktdarstellung).
Elementefremde Zyklen sind vertauschbar, obwohl die Multiplikation von Permutationen nicht kommutativ ist.
Ein zweielementiger Zyklus heißt Transposition. Jede Permutation lässt sich als Produkt von Transpositionen darstellen.
Alle Permutationen einer n-elementigen Menge bilden bzgl.
Nacheinanderausführung eine Gruppe: Sn .
Die Gruppe Sn wird symmetrische Gruppe n-ten Grades
genannt. Sie hat n! Elemente.
Die Sn und ihre Untergruppen heißen Permutationsgruppen.
Folie 5.6
Erzeugung bei Gruppen
Sei G eine Gruppe und K eine Teilmenge (Komplex) von G.
Mit K werde die von K erzeugte Untergruppe von G bezeichnet;
das ist die kleinste Untergruppe von G, die die Menge K enthält.
K n bzw. nK, n ∈ N \ {0}, bezeichne die Menge aller Produkte
bzw. Summen aus n Elementen aus K bei multiplikativer bzw.
additiver Schreibweise der Gruppenoperation.
Weiter sei K 0 := {e} bzw. 0K := {0} und K −1 bzw. −K die
Menge der Inversen zu den Elementen aus K bei multiplikativer
bzw. additiver Schreibweise.
Dann gilt:
K =
n∈N
(K ∪ K −1)n =
n∈N
n(K ∪ (−K))
In speziellen Fällen lässt sich die Formel vereinfachen:
• G endlich:
K =
n
K =
n∈N
nK
n∈N
• G abelsch (additive Schreibweise):
K = {α1k1 + . . . + αnkn | n ∈ N, αi ∈ Z, ki ∈ K, ki = kj }
• G endlich und abelsch:
K = {α1k1 + . . . + αnkn | n = |K|, αi ∈ N, ki ∈ K, ki = kj }
Homomorphiesatz
Kern
des Homomorphismus
Ker ϕ = {(a, b) | ϕ(a) = ϕ(b)}
ist Kongruenzrelation
ϕ : H1 → H2 Homomorphismus
⇒ ϕ(H1 ) H1 /Kerϕ
ϕ : H1 → H2 mit
ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) ∗ ϕ(b)
R Kongruenzrelation
H/R mit [a]R [b]R = [a ∗ b]R
Faktorstruktur
Homomorphismus ϕ
nicht möglich
U ⊆ H mit
a, b ∈ U ⇒ a ∗ b ∈ U
Äquivalenzrelation ρ mit
a1 ρa2 ∧ b1 ρb2
⇒ (a1 ∗ b1 )ρ(a2 ∗ b2 )
Charakterisierung
von KR durch spezielle
Teilstrukturen
Kongruenzrelation ρ
Kriterien für
Teilstruktur U
Halbgruppe: (H, ∗)
• Assoziativgesetz
Ker ϕ = {(a, b) | ϕ(a) = ϕ(b)} KR
ker ϕ = {a | ϕ(a) = e} Normalteiler
ϕ : G1 → G2 Homomorphismus
⇒ ϕ(G1 ) G1 /Kerϕ = G1 /kerϕ
wie bei Halbgruppen
N Normalteiler
G/N mit aN bN = (a ∗ b)N
Normalteiler:
Untergruppe N mit aN = N a
für alle a ∈ G
wie bei Halbgruppen
Gruppe: (G, ∗)
• Assoziativgesetz
• neutrales Element
• inverses Element
∅ = U ⊆ G mit
a, b ∈ U ⇒ [a ∗ b ∈ U ∧ a−1 ∈ U ]
Ring: (R, +, ∗)
• (R, +) abelsche Gruppe
• (R, ∗) Halbgruppe
• Distributivgesetze
∅ = U ⊆ R mit
a, b ∈ U ⇒ [a+b ∈ U ∧−a ∈ U ∧a∗b ∈ U ]
Äquivalenzrelation ρ mit
a1 ρa2 ∧ b1 ρb2
⇒ [(a1 + b1 )ρ(a2 + b2 ) ∧ (a1 ∗ b1 )ρ(a2 ∗ b2 )]
Ideal:
Unterring I mit aI, Ia ⊆ I
für alle a ∈ R
I Ideal; R/I mit
(a + I) ⊕ (b + I) = (a + b) + I und
(a + I) (b + I) = (a ∗ b) + I
ϕ : R1 → R2 mit
ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) und
ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) ∗ ϕ(b)
Ker ϕ = {(a, b) | ϕ(a) = ϕ(b)} KR
ker ϕ = {a | ϕ(a) = 0} Ideal
ϕ : R1 → R2 Homomorphismus
⇒ ϕ(R1 ) R1 /Kerϕ = R1 /kerϕ
Folie 5.7
Folie 5.8
Diedergruppe der Ordnung 10
D5 = 5
2
4
d,
s
|
d
=
s
=
e,
sd
=
d
s Erzeugendensystem definierende Relationen
∗
e
d
d2
d3
d4
s
ds
d 2 s d 3 s d4 s
e
e
d
d2
d3
d4
s
ds
d 2 s d 3 s d4 s
d
d
d2
d3
d4
e
ds
d2s d3s d4s
d2
d2
d3
d4
e
d
d2s d3s d4s
s
ds
d3
d3
d4
e
d
d2
d3s d4s
s
ds
d2 s
d4
d4
e
d
d2
d3
d4s
s
ds
d 2 s d3 s
s
s
d4 s d 3 s d 2 s
ds
e
d4
d3
d2
d
d4 s d 3 s d 2 s
d
e
d4
d3
d2
d 4 s d3 s
d2
d
e
d4
d3
s
ds ds
s
d2s d2s
ds
s
d3s d3s d2s
ds
s
d4 s
d3
d2
d
e
d4
d4s d4s d3s d2s
ds
s
d4
d3
d2
d
e
Untergruppen von D5:
({e}, ∗)
({e, s}, ∗)
({e, d3s}, ∗)
({e, d4s}, ∗)
({e, ds}, ∗)
({e, d, d2, d3, d4}, ∗)
({e, d2s}, ∗)
({e, d, d2, d3, d4, s, ds, d2s, d3s, d4s}, ∗)
Folie 5.9
LNKZ (G : U ) = RNKZ (G : U )
Seien G = S3 = {ε, (13), (12), (132), (123), (23)} und
U = {ε, (23)} < S3. Dann ergeben sich folgende Nebenklassen:
LNK:
εU =
U
= (23)U
(12)U = {(12), (132)} = (132)U
(13)U = {(13), (123)} = (123)U
RNK: U ε
=
U
= U (23)
U (12) = {(12), (123)} = U (123)
U (13) = {(13), (132)} = U (132)
Folie 5.10.1
Zyklische Gruppe der Ordnung 12
Z12 = a | a12 = e
= {e, a, a2 . . . , a11}
Vereinbarung: a0 = e
ai ∗ aj := a(i+j)mod 12
für alle i, j ∈ {0, 1, . . . , 11}
∗
e
a
e
a
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
e
a
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
e
a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
e
a
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
e
a
a2
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
e
a
a2
a3
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
e
a
a2
a3
a4
a6
a7
a8
a9
a10
a11
e
a
a2
a3
a4
a5
a7
a8
a9
a10
a11
e
a
a2
a3
a4
a5
a6
a8
a9
a10
a11
e
a
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a9
a10
a11
e
a
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a10
a11
e
a
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a11
e
a
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
Folie 5.10.2
Zyklische Gruppe der Ordnung 12
Z12 = a | a12 = e
ai ∗ aj := a(i+j)mod 12
für alle i, j ∈ {0, 1, . . . , 11}
Untergruppen:
• Alle Untergruppen von Z12 sind zyklisch.
• Aus U ≤ Z12 folgt |U | ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
• Alle Untergruppen sind Normalteiler, denn Z12 ist abelsch.
U1 = a = {e, a, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11}
= a5 = a7 = a11
U2 = a2 = {e, a2, a4, a6, a8, a10}
= a10
U3 = a3 = {e, a3, a6, a9}
= a9
U1
U4 = a4 = {e, a4, a8}
= a8
6
6
U3
U2
U5 = a = {e, a }
U6 = e = {e}
U4
U5
U6
Folie 5.10.3
Zerlegung von Z12 in LNK nach U4 = {e, a4, a8}:
e{e, a4, a8} =
a{e, a4, a8} =
{e ∗ e, e ∗ a4, e ∗ a8}
{a ∗ e, a ∗ a4, a ∗ a8}
a2{e, a4, a8} =
{a2 ∗ e, a2 ∗ a4, a2 ∗ a8}
a4{e, a4, a8} =
{a4 ∗ e, a4 ∗ a4, a4 ∗ a8}
a3{e, a4, a8} =
a5{e, a4, a8} =
a6{e, a4, a8} =
a7{e, a4, a8} =
a8{e, a4, a8} =
a9{e, a4, a8} =
{a3 ∗ e, a3 ∗ a4, a3 ∗ a8}
{a5 ∗ e, a5 ∗ a4, a5 ∗ a8}
{a6 ∗ e, a6 ∗ a4, a6 ∗ a8}
{a7 ∗ e, a7 ∗ a4, a7 ∗ a8}
{a8 ∗ e, a8 ∗ a4, a8 ∗ a8}
{a9 ∗ e, a9 ∗ a4, a9 ∗ a8}
= {e, a4, a8}
= {a, a5, a9}
= {a2, a6, a10}
= {a3, a7, a11}
= {a4, a8, e}
= {a5, a9, a}
= {a6, a10, a2}
= {a7, a11, a3}
= {a8, e, a4}
= {a9, a, a5}
a10{e, a4, a8} = {a10 ∗ e, a10 ∗ a4, a10 ∗ a8} = {a10, a2, a6}
a11{e, a4, a8} = {a11 ∗ e, a11 ∗ a4, a11 ∗ a8} = {a11, a3, a7}
{{e, a4, a8}, {a, a5, a9}, {a2, a6, a10}, {a3, a7, a11}}
Faktorgruppe (G/U4, ) = (G/{e, a4, a8}, ):
{e, a4, a8}
{a, a5, a9}
{e, a4, a8}
{e, a4, a8}
{a, a5, a9} {a2, a6, a10} {a3, a7, a11}
{a, a5, a9} {a2, a6, a10} {a3, a7, a11}
{a, a5, a9} {a2, a6, a10} {a3, a7, a11} {e, a4, a8}
{a2, a6, a10} {a2, a6, a10} {a3, a7, a11} {e, a4, a8}
{a3, a7, a11} {a3, a7, a11} {e, a4, a8}
{a, a5, a9}
{a, a5, a9} {a2, a6, a10}
Folie 5.10.4
∗
e
a4
a8
a
a5
a9
a2
a6 a10 a3
a7 a11
e
e
a4
a8
a
a5
a9
a2
a6 a10 a3
a7 a11
a4
a4
a8
e
a5
a9
a
a6 a10 a2
a8
a8
e
a4
a9
a
a5 a10 a2
a
a
a5
a9
a2
a6 a10 a3
a5
a5
a9
a
a6 a10 a2
a9
a9
a
a5 a10 a2
a2
a2
a6 a10 a3
a6
a6 a10 a2
a10 a10 a2
a3
a7
a7 a11 a3
a7
a7 a11 a4
a7
e
a8
e
a4
a7
e
a4
a8
a8
e
a5
a9
a
a8
e
a4
a9
a
a5
a7
e
a4
a8
a
a5
a9
a8
e
a5
a9
a
a6 a10 a2
a8
e
a4
a9
a
a5 a10 a2
e
a4
a8
a
a5
a9
a7 a11 a3
a6 a11 a3
a7 a11 a4
a7 a11 a3
a7 a11 a4
a11 a11 a3
a6 a11 a3
a8
a6 a11 a3
a3
a7 a11 a3
a2
a6
a6 a10
{e, a4, a8}
{a, a5, a9} {a2, a6, a10} {a3, a7, a11}
{e, a4, a8}
{e, a4, a8}
{a, a5, a9} {a2, a6, a10} {a3, a7, a11}
{a, a5, a9}
{a, a5, a9} {a2, a6, a10} {a3, a7, a11} {e, a4, a8}
{a2, a6, a10} {a2, a6, a10} {a3, a7, a11} {e, a4, a8}
{a3, a7, a11} {a3, a7, a11} {e, a4, a8}
{a, a5, a9}
{a, a5, a9} {a2, a6, a10}
Folie 5.11
Homomorphiesatz
ϕ
A
ϕ(A)
natKer
∼
=
ϕ
A/Ker ϕ
Folie 5.12
Faktorisierung von Ringen
Z4 :=
Z
ϕ
{0, 1, 2, 3}
Z2 [X]/1 + X + X 2 :=
Z2 [X]
ϕ
{0, 1, α, α + 1|α2 = 1 + α}
∼
=
Z/(4)
∼
=
Z2 [X]/(1 + X + X 2 )
• ϕ(a) berechnet Rest bei Division von a durch 4.
• ϕ(P ) berechnet Rest bei Division von P durch 1 + X + X 2 .
• ϕ ist surjektiver Homomorphismus.
• ϕ ist surjektiver Homomorphismus.
• kerϕ = {a ∈ Z | ϕ(a) = 0 } = 4Z = (4).
• kerϕ = {P ∈ Z2 [X] | ϕ(P ) = 0} = (1 + X + X 2 )Z2 [X] = (1 + X + X 2 ).
• Z4 ist kein Körper, da 4 keine Primzahl.
• Z2 [X]/1 + X + X 2 ist Körper, da 1 + X + X 2 irreduzibel.
Folie 5.13
Charakterisierung endlicher Körper
1. Ist K ein Körper mit q Elementen, so ist q eine Primzahlpotenz.
2. Zu jeder Primzahlpotenz q = pn gibt es (bis auf Isomorphie) genau einen Körper mit q Elementen (Bez. Galois-Feld GF(q)):
Für n = 1 ist GF(p) Zp.
Für n > 1 ist GF(q) ein Erweiterungskörper von Zp, d.h. es wird
modulo p gerechnet. (Insbesondere gilt: GF(q) Zq .)
3. Die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers ist zyklisch.
(Die additive Gruppe ist nur für n = 1 zyklisch.)
4. Zu jeder Primzahl p und jeder natürlichen Zahl n > 1 existiert
ein über Zp irreduzibles Polynom vom Grade n, nämlich das Minimalpolynom eines erzeugenden Elementes der multiplikativen
Gruppe von GF(pn ). Dieses Polynom ist sogar primitiv.
5. Ein Körper hat genau dann pn Elemente, wenn er Zerfällungskörper
n
von X p − X über Zp ist.
Folie 5.14
Beispiel: Konstruktion von GF(9)
(allgemein: GF(pn))
Es sei K = Z3 und Q = 1 + X 2 .
Q ist irreduzibel in Z3[X], da Q keine Nullstelle in Z3 hat (Einsetzen!), also
ist Z3[X]/Q GF(9) ein Körper.
Z3[X]/1 + X 2 = {a0 + a1 α | a0 , a1 ∈ Z3 ∧ α2 = 2} =
= {0, 1, 2, α, 1 + α, 2 + α, 2α, 1 + 2α, 2 + 2α}
Q ist nicht primitiv: α0 = 1, α1 = α, α2 = 2, α3 = 2α, α4 = 1,
d. h. α erzeugt nicht alle von Null verschiedenen Elemente des Ringes.
Es gibt jedoch stets ein primitives Polynom, z. B. ist Q∗ := 2 + X + X 2
primitiv: α0 = 1, α1 = α, α2 = 1 + 2α, α3 = 2 + 2α, α4 = 2,
α5 = 2α, α6 = 2 + α, α7 = 1 + α, (α8 = 1).
Z3[X]/2 + X + X 2 = {a0 + a1 α | a0 , a1 ∈ Z3 ∧ α2 = 1 + 2α} =
= {αi | i = 0, . . . , 7} ∪ {0}
Logarithmentafel für GF(9) (mit primitivem Polynom Q∗ = 2 + X + X 2 )
KE
0
1
α
α2
α3
α4
α5
α6
α7
KV Log.
a0 a1
0 0 −∞
10
0
01
1
12
2
22
3
20
4
02
5
21
6
11
7
Addition der Körperelemente (KE) in GF(9):
Addition der Koordinatenvektoren (KV)
komponentenweise mod 3 (allgemein: mod p)
Multiplikation der KE in GF(9):
Addition der Logarithmen (Log.) mod 8 (allg.: mod (pn − 1))
3
4
2
Beispielrechnung: α2 + α5 = α7 = α−5 = α3 (= 2 + 2α)
α +α
α
Folie 5.15
Irreduzible Polynome über GF(p)
p=2:
p=3:
1 + X + X2
1 + X + X3
1 + X + X4
1 + X2 + X5
1 + X + X6
1 + X3 + X7
1 + X2 + X3 + X4 + X8
1 + X4 + X9
1 + X 3 + X 10
1 + X 2 + X 11
1 + X + X 4 + X 6 + X 12
1 + X + X 3 + X 4 + X 13
1 + X + X 6 + X 10 + X 14
1 + X + X 15
1 + X + X 3 + X 12 + X 16
1 + X 3 + X 17
1 + X 7 + X 18
1 + X + X 2 + X 5 + X 19
1 + X 3 + X 20
2 + X + X2
1 + 2X + X 3
2 + X + X4
1 + 2X + X 5
2 + X + X6
1 + 2X + X 2 + X 7
p=5:
2 + X + X2
2 + 3X + X 3
2 + 2X + X 2 + X 4
2 + 4X + X 5
p=7:
3 + X + X2
2 + 3X + X 3
5 + 3X + X 2 + X 5
Alle angegebenen Polynome P sind sogar primitiv,
d.h. α := X erzeugt die multiplikative Gruppe des Körpers Zp[X]/P .
Folie 6.1
Partielle Diﬀerenziation
z
z = f (x, y)
x = x0
∂f
(x , y )
∂x 0 0 ∂f
(x0, y0 )
∂y
P (x0 , y0 , z0 )
y = y0
x
y
Folie 6.2
Totales Diﬀerenzial - Tangentialebene
z
z = f (x, y)
Δz
...
...
...
...
..
...
...........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
...........
.
.
.
.
... ......................................
.
.
. ..
......... ....
0
.
.
. . ..
.........
....
.
.
....
.
...
.
....
.
.
.
P ..
fx Δx
fy Δy
Δy
y
Tangentialebene
Δx
dz
x
Folie 6.3
Diﬀerential, Tangentialebene
Funktion einer Veränderlichen y = f (x) :
Diﬀerential: dy = f (x0)dx
Tangente (von f (x) im Punkt (x0, f (x0))):
y = f (x0)+f (x0)(x−x0) = f (x0)x−f (x0)x0 +f (x0)
Funktion zweier Veränderlicher z = f (x, y) :
Totales Diﬀerential: dz = fx(x0, y0)dx+fy (x0, y0)dy
Tangentialebene (von f (x, y) im Punkt (x0, y0, f (x0, y0))):
z = f (x0, y0) + fx(x0, y0)(x − x0) + fy (x0, y0)(y − y0) =
= fx(x0, y0)x+fy (x0, y0)y−fx(x0, y0)x0−fy (x0, y0)y0+
+f (x0, y0)
⎛
(Gleichung in Koordinatenform)
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
x0
1
0
⎠+u ⎝
⎠+v ⎝
⎠
y0
0
1
x=⎝
f (x0, y0)
fx(x0, y0)
fy (x0, y0)
u, v ∈ R
(Parameterdarstellung)
Folie 6.4
Taylorsche Formel
f (x, y) =
n
k=0
mit
Rn(x, y) =
1
k!
[fx(x0, y0)(x−x0)+fy (x0, y0)(y−y0)](k) +Rn (x, y)
1
(n+1)!
[fx (x0 + ϑ(x − x0), y0 + ϑ(y − y0))(x − x0) +
+fy (x0 + ϑ(x − x0), y0 + ϑ(y − y0))(y − y0 )](n+1)
(0 < ϑ < 1)
Für n=1 erhält man eine lineare Näherungsfunktion f1(x, y),
die Tangentialebene:
f1(x, y) = f (x0, y0 ) + fx (x0, y0)(x − x0) + fy (x0, y0)(y − y0) =
= f (x0, y0 )+df (df totales Diﬀerential von f )
Für n=2 erhält man eine quadratische Näherungsfunktion f2 (x, y)
(Fläche 2. Ordnung):
f2(x, y) = f (x0, y0 ) + fx (x0, y0)(x − x0) + fy (x0, y0)(y − y0) +
+ 12 fxx (x0, y0 )(x − x0)2 + fxy (x0, y0)(x − x0)(y − y0 ) +
+ 12 fyy (x0, y0)(y − y0)2
Folie 6.5
Extremstellen
Sei u = f (x) eine reelle Funktion und x0 ∈ Vf .
f besitzt in x0 eine
relative oder lokale Maximumstelle,
wenn es eine Umgebung U von x0 gibt, so dass
f (x) ≤ f (x0) für alle x ∈ U ∩ Vf gilt.
f (x0) heißt dann relatives Maximum und
(x0, f (x0)) relativer Maximumpunkt.
Analog: Minimum
rel. Extremstelle = rel. Maximum- oder Minimumstelle
rel. Extremwert = rel. Maximum oder Minimum
rel. Extrempunkt = rel. Maximum- oder Minimumpunkt
Wird U durch den gesamten Definitionsbereich Vf von f
ersetzt, so ist relativ“ durch absolut“ zu ersetzen.
”
”
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DRESDEN
Fachrichtung Mathematik
Institut für Algebra
Dr. J. Brunner
Lösung der Schwingungsgleichung
ẍ + 2δ ẋ + ω02x = b · cos(ω1t)
ω0 . . . Eigenfrequenz
ω1 . . . Erregerfrequenz
Untersuchung der homogenen DGL
(freie Schwingungen)
ẍ + 2δ ẋ + ω02x = 0
charakteristische Gleichung
0 = λ2 + 2δλ + ω02 = 0
λ1/2 = −δ ± δ 2 − ω02
Lösung der Schwingungsgleichung: ẍ + 2δ ẋ + ω02 x = 0, λ1/2 = −δ ±
δ 2 − ω02
1. Fall (starke Dämpfung): δ 2 > ω02
=⇒ λ1, λ2 < 0;
γ :=
δ 2 − ω02
xh(t) = (C1eγt + C2e−γt) · e−δt, C1, C2 ∈ R
lim (xh(t)) = 0
t→∞
5
C1 = 10, C2 = −5
4
δ = 1, γ = 0.5
3
2
C1 = −5, C2 = 10
1
C1 = 4, C2 = −5
0
2
–1
–2
C1 = −5, C2 = 4
4
6
8
10
Lösung der Schwingungsgleichung: ẍ + 2δ ẋ + ω02 x = 0, λ1/2 = −δ ±
δ 2 − ω02
2. Fall (aperiodischer Grenzfall): δ 2 = ω02
=⇒ λ1 = λ2 = −δ
xh(t) = (C1 + C2 · t) · e−δt, C1, C2 ∈ R
lim (xh(t)) = 0
t→∞
C1 = −2, C2 = 8
2
δ=1
1
0
1
2
–1
C1 = 2, C2 = −5
–2
3
4
5
6
7
Lösung der Schwingungsgleichung: ẍ + 2δ ẋ + ω02 x = 0, λ1/2 = −δ ±
δ 2 − ω02
3. Fall (schwache Dämpfung): δ 2 < ω02
=⇒ λ1, λ2 ∈ C\R;
ω :=
ω02 − δ 2
xh(t) = C1e(−δ+iω)t + C2e(−δ−iω)t, C1, C2 ∈ R
lim (xh(t)) = 0
t→∞
Übergang zu einer reellen Basis
xh(t) = (C1 cos(ωt) + C2 sin(ωt)) · e−δt
= A · sin (ω(t − t0)) · e−δt
mit A := C12 + C22 und t0 so, dass
sin(ωt0) = − CA1 und cos(ωt0) =
C2
A
15
10
5
0
10
20
30
40
–5
–10
δ=
1
10 ,
ω = 1, t0 = 0, A = 20
50
Lösung der Schwingungsgleichung: ẍ + 2δ ẋ + ω02 x = b · cos(ω1 t)
Untersuchung der inhomogenen DGL:
(erzwungene Schwingungen)
ẍ + 2δ ẋ + ω02x = b · cos(ω1t)
Ansatzmethode liefert partikuläre Lösung
xp(t) =
b·
ω02
−
ω12
· cos(ω1t) + 2δω1 · sin(ω1t)
2
2 2
ω0 − ω1 + 4δ 2ω12
xp(t) beschreibt eine harmonische Schwingung mit der
gleichen Frequenz ω1 wie die der angelegten Spannung.
Die homogenen Lösungen“ streben für t → ∞ gegen 0.
”
Demnach nähert sich nach dem Einschwingprozess“
”
jede Lösung der Schwingungsgleichung der harmonischen
”
Schwingung“ xp(t) an.
Folie 8.1
Konvergenz von Iterationsverfahren
Iterationsvorschrift: x0 gegeben, xn+1 = g(xn ) mit n ∈ N
Fixpunkt x: g(x) = x
monotone Konvergenz (0 < g (x) < 1)
y
y=x
y
= g(x)
x0
x1 x2 x
x
oszillierende Konvergenz (−1 < g (x) < 0)
y
y=x
y = g(x)
x2 x x1
x0
x
Divergenz (|g (x)| ≥ 1)
y = g(x)
y=x
y
x x0 x1 x2 . . .
x
Folie 8.3
Der Euklidische Vektorraum C[a, b]
• Die Menge C[a, b] aller auf [a, b] stetigen Funktionen bildet bzgl. punktweiser Addition und üblicher Multiplikation
mit reellen Zahlen einen reellen (unendlich-dimensionalen)
Vektorraum.
• In C[a, b] wird
b
durch (f, g) := (f (x) · g(x))dx ein Skalarprodukt,
a
durch f :=
(f, f ) eine Norm und
durch d(f, g) := f − g ein Abstand erklärt.
C[a, b] wird damit zu einem Euklidischen Vektorraum.
• Ein Funktionensystem (ϕi) aus C[a, b] heißt orthogonal
bzw. orthonormiert, wenn
(ϕi, ϕj ) = 0 für i = j und (ϕi, ϕi) = 0 bzw.
(ϕi, ϕj ) = 0 für i = j und (ϕi, ϕi) = 1 gilt.
• Das Normalgleichungssystem (NGS) bei stetiger
Approximation im Mittel zur Bestimmung der ai
m
(Approximationsfunktion F (x) =
aj ·ϕj (x)) lautet dann:
j=0
m
j=0
aj · (ϕj , ϕi) = (f, ϕi); i = 0, . . . , m.
• Wesentliche Vereinfachungen für die Berechnung der ai
ergeben sich, wenn die (ϕi) ein orthogonales Funktionensystem bzw. ein orthonormiertes Funktionensystem
(Gram-Schmidt) bilden:
(f, ϕi)
bzw.
ai = (f, ϕi).
ai =
(ϕi, ϕi)
• Beispiele für orthogonale Funktionensysteme sind die
Legendreschen Polynome als Basisfunktionen für die
Klasse der Polynome (Aufgabe 40) und die Funktionen
{1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x), . . .} als Basisfunktionen
für die Klasse der trigonometrischen“ Polynome.
”
Folie 8.4
Orthogonalprojektion-Bestapproximation
V = R2
v
v − projW (v)
W = R1
projW (v)
v
w
projW (v)
v−w
V = R3
v − projW (v)
W = R2
Allgemein:
Sei W ein endlich-dimensionaler Unterraum eines Vektorraumes V mit Skalarprodukt (Euklidischer Vektorraum) und
v ∈ V . Dann ist projW (v) die beste“ Näherung von v in W ,
”
d.h. v − projW (v) < v − w für alle projW (v) = w ∈ W .
Ist {w0, w1, . . . , wm} eine orthogonale Basis für W , so gilt:
projW (v) =
(v, w0)
(v, wm)
· w0 + . . . +
·w .
(w0, w0)
(wm, wm) m
Stetige Approximation im Mittel:
V = C[a, b]; W = Pm Vektorraum der Polynome höchstens
m-ten Grades (dim Pm = m + 1);
Legendresche Polynome als orthogonale Basis.
Approximation (2π-periodischer Funktionen) durch
trigonometrische Polynome:
V = C[−π, π]; W = Tm Vektorraum der trigonometrischen
Polynome höchstens m-ter Ordnung (dim Tm = 2m + 1);
{ 12 , cos(x), sin(x), . . . , cos(mx), sin(mx)} als orthogonale Basis.
Daraus ergeben sich die Fourierkoeﬃzienten
π
aj = π1 · f (x) · cos(jx)dx; j = 0, 1, . . . , m und
−π
π
1
bj = π · f (x) · sin(jx)dx; j = 1, 2, . . . , m
−π
und damit das trigonometrische Approximationspolynom
m
a
F (x) = 20 + (aj · cos(jx) + bj · sin(jx)).
j=1
Ist f gerade bzw. ungerade, so sind alle bj = 0 bzw. alle aj = 0.
Näherungslösungen linearer Gleichungssysteme (LGS),
Diskrete Approximation im Mittel:
Ein LGS Ax = b (m Gleichungen, n Unbekannte) ist genau
dann lösbar, wenn b im Spaltenraum Col(A) von A liegt.
Falls Ax = b nicht lösbar ist, sucht man einen Vektor x̂ ∈ Rn ,
so dass Ax̂ − b minimal wird.
Man erhält alle x̂, indem man b in Col(A) projiziert (b̂ :=projColAb)
und das (lösbare) LGS Ax̂ = b̂ löst:
V = Rm; W =ColA; kanonische Basis als orthogonale Basis.
Eﬀektiver ist folgende Vorgehensweise:
Da b − Ax̂ = b − b̂ orthogonal zu allen Vektoren aus Col(A)
ist, gilt AT (b − Ax̂) = 0, also
AT Ax̂ = AT b (Normalsystem zu Ax = b).
Genau die Lösungen des Normalsystems AT Ax̂ = AT b sind
die Näherungslösungen eines gegebenen (nicht lösbaren) LGS
Ax = b.
Bei der diskreten Approximation im Mittel entsteht das LGS,
indem man die Stützstellen in das Approximationspolynom
einsetzt und gleich den Stützwerten setzt. Dieses LGS ist i.a.
nicht lösbar.
Die Lösungen des zugehörigen Normalsystems sind die Koeﬃzienten für das Approximationspolynom.
Folie 9.1
Kombinatorik
Gegeben: n Elemente
Gesucht: Anzahl möglicher Zusammenstellungen von allen Elementen oder einem Teil dieser Elemente
Lösungsweg: Sollen alle n Elemente genau einmal in jeder Zusammenstellung enthalten sein?
ja: Anordnungsprobleme
nein
Permutation
k Elemente werden zusammengestellt
Sind alle n Elemente
verschieden?
Wird die Anordnung der Elemente berücksichtigt?
ja
nein
Permutation
ohne Wiederholung
Permutation
mit Wiederholung
ja: Auswahl- und
Anordnungsprobleme
nein: Auswahlprobleme
Variation von n Elementen
zu je k Elementen
Kombination von n Elementen
zu je k Elementen
Kann jedes der n Elemente nur
einmal in jeder Variation
auftreten?
Kann jedes der n Elemente nur
einmal in jeder Kombination
auftreten?
ja
Variation
ohne
Wiederholung
nein
Variation
mit
Wiederholung
ja
nein
Kombination
ohne
Wiederholung
Kombination
mit
Wiederholung
Folie 9.2
Anordnungsprobleme
Permutation ohne Wiederholung für n verschiedene Elemente
Pn = n! = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1
Permutation mit Wiederholung bei k Gruppen mit n1 , n2 , . . . , nk
gleichen Elementen
n1 ,n2 ,...,nk
Pn,w
=
n!
n1 ! · n2 ! · . . . · nk !
Auswahl- und Anordnungsprobleme
Variation ohne Wiederholung von n Elementen zu je k Elementen
Vn(k) =
n!
= n · (n − 1) · . . . · (n − (k − 1))
(n − k)!
Variation mit Wiederholung von n Elementen zu je k Elementen
(k)
= nk
Vn,w
Auswahlprobleme
Kombination ohne Wiederholung von n Elementen zu je k Elementen
Cn(k)
=
n
k
=
n!
(n − k)! · k!
Kombination mit Wiederholung von n Elementen zu je k Elementen
(k)
Cn,w
=
n+k−1
k
=
(n + k − 1)!
(n − 1)! · k!
Folie 9.3
Wahrscheinlichkeitsraum
Ergebnisse von zufälligen Versuchen heißen (zufällige)
Ereignisse.
Den Ereignissen werden Mengen zugeordnet und die
Mengenoperationen interpretiert.
E ⊆ P(Ω) heißt Ereignisfeld, wenn
• Ω ∈ E und
• E gegen Komplement- und abzählbare Summenbildung abgeschlossen ist.
Eine Abbildung P : E −→ [0, 1] ordnet jedem
Ereignis A eine Wahrscheinlichkeit P (A) zu, wobei
die Abbildung P folgende Eigenschaften hat:
• P (Ω) = 1 und
• für paarweise unvereinbare Ereignisse Ai ; i = 1, 2, . . .
∞
∞
gilt:
P ( Ai) =
P (Ai).
i=1
i=1
[Ω, E, P ] heißt dann Wahrscheinlichkeitsraum.
Eine Abbildung X : Ω −→ R heißt Zufallsgröße,
falls für jedes x ∈ R gilt:
{ω ∈ Ω | X(ω) < x} =: (X < x) ∈ E.
Die durch FX (x) := P (X < x) deﬁnierte Abbildung
FX : R −→ [0, 1] heißt die
Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X.
Folie 9.4.
Zusammenhang diskreter Verteilungen
• Hypergeometrische Verteilung (Parameter : M, N, n)
P (X = k) =
M
N −M
k n− k
N
n
M · (1 − M ) · N − n
2
EX = n · M
X
=
n
·
,
D
N
N
N N −1
N groß
M
N
=: p = const.
• Binomialverteilung (Parameter : p, n)
P (X = k) =
n
k
pk (1 − p)n−k
EX = n · p, D 2X = n · p · (1 − p)
n groß, p klein
n · p =: λ = const.
• Poisson − Verteilung (Parameter : λ)
k
P (X = k) = λ e−λ
k!
EX = λ, D 2X = λ
Index
χ2 -Verteilung, 111
Ähnlichkeitsdifferenzialgleichungen, 66
Äußere Verknüpfung, 21
algebraisch, 44
Algebraische Struktur, 22
analytischen Ausdruck, 51
Approximation, 81
Diskret im Mittel, 81
Stetig im Mittel, 83
assoziativ, 22
Basissatz, 37
Bayesche Formel, 101
Bestapproximation, 86
Binomialverteilung, 106
Buffonsches Nadelproblem, 99
Cayley, Satz von, 28
Charakteristik, 45
Chinesischer Restsatz, 17
closure operator, 49
Codierungstheorie, 46
Determinante
Wronskische, 69
Differenzial
totales, 55
Differenzialgleichung
Ähnlichkeits-, 66
Anfangswertaufgabe, 66
Bernoulische, 68
Definition, 65
Eindeutigkeit, 65
Existenz, 65
explizit, 65
gewöhnliche, 65
homogen, 67
implizit, 65
inhomogen, 67
konstante Koeffizienten, 72
lineare, 67
n-te Ordnung, 68
partielle, 65
Potenzreihen, 74
Störfunktion, 69
Trennung der Veränderlichen, 66
Variation der Konstanten, 67
Differenziation
Erweiterte Kettenregel, 59
Extremwertaufgaben, 62
Höhere Ableitungen, 59
Implizite, 58
zusammengesetze Funktionen, 58
direktes Produkt, 24, 36
Dirichletsche Bedingung, 91
Ereignis
atomar, 98
Sicheres, 96
Unmögliches, 96
zufälliges, 95
zusammengesetzt, 98
Ereignisfeld, 98
Erwartungswert, 104
Erweiterungskörper, 44
Erzeugendsystem, 23
Exponentialverteilung, 110
Extremwertaufgaben, 62
Faktorgruppe, 30
227
Index
Faktorring, 38
Fehlerrechnung, 57
Fermat-Test, 19
Fixpunktsatz, 50
Fourierreihe, 90
Funktion
reelle
in n Veränderlichen, 51
Funktionsystem
orthogonales, 85
GF
Koeffizientenvektor, 43
Logarithmus, 43
rechnen, in, 43
Gleichungen
Näherungsweises Lösen, 75
Gleichungssysteme
Näherungslösung, 89
Gruppe, 24
abelsch, 24
Basissatz, 37
direkt unzerlegbar, 36
Index, 29
Kern, 35
Häufigkeit
absolute, 98
relative, 98
Hüllen, 49
Hüllenoperator, 49
Halbgruppe, 22
Halbgruppen
Isomorphismus, 24
Hauptidealring, 39
Homomorphismus
natürlicher, 31
Hypergeometrische Verteilung, 107
Interpolation, 78
irreduzibel, 41
Körper, 38
endliche, 39
Klassifikation, 40
228
Erweiterung, 44
Grad, 44
kleiner Fermat, 16
Koeffizientenvektor, 43
kommutativ, 22
Komplementärereignis, 96
Konfidenzschätzung, 112
Kongruenzrelation, 12
Lagrange, Satz von, 29
Lagrangesche Multiplikatorenmethode, 64
lattice-ordered, 47
Legendresche Polynome, 85
LGS
Näherungslösung, 89
Linearcode, 46
zyklisch, 46
Linksnebenklasse, 29
Linksnebenklassenzerlegung, 29
Minimalpolynom, 45
Monoid, 22
Multiplikationsregel, 101
Näherungslösung
Gleichung, 75
LGS, 89
Näherungsverfahren, 75
Nadelproblem, 99
natürlicher Homomorphismus, 31
Nebenklassenzerlegung, 29
neutrales Element, 22
Newton-Verfahren, 76
Niveaulinien, 51
Normalteiler, 30
Nullstellenverfahren, 75
Numerik, 75
Operation
binär, 21
n-stellige, 21
Operationen, 21
Ordnungshomomorphismus, 50
Orthogonalprojektion, 86
Index
partielle Ableitung, 52
Poissonverteilung, 108
Polynom
primitiv, 43
Polynomring, 39
Prüfverteilungen, 111
prime Restklassengruppe mod n, 15
primitiv, 43
Primkörper, 44
Primzahltests, 19
Pseudo-Primzahl, 19
Quadratwurzeliteration, 78
Rechtsnebenklasse, 29
Ring, 38
Hauptideale, 39
Ideal, 38
Ringe
Faktorisierung, 41
RSA-Algorithmus, 18
Satz von Euler, 16
Schnittstellenverfahren, 75
Schwarz
Satz von, 55
Splinefunktion, 80
Störfunktion, 69
Standardabweichung, 104
Steigungsspiegel, 79
Struktursatz
zyklische Gruppe, 36
Verbandsisomorphismus, 50
Verfahren
graphisch, 75
iterativ, 75
Verteilung
χ2 , 111
Binomial, 106
Exponential, 110
Hypergeometrische, 107
Poisson, 108
Wahrscheinlichkeit
Axiome, 99
bedingte, 100
Eigenschaften, 100
geometrische, 99
totale, 101
Wahrscheinlichkeitsraum, 103
Wahrscheinlichkeitstheorie, 95
Wronskische Determinante, 69
Zerfällungskörper, 45
Zeuge, 20
Zufallsgröße, 103
diskrete, 104, 106
Eigenschaften, 104
stetige, 108
zyklisch, 46
Tangentialebene, 55
Taylorentwicklung, 59
transzendent, 44
trivialen Untergruppen, 30
Tschebychevsche Ungleichung, 106
Unterhalbgruppenkriterium, 23
Verband, 48
vollständig, 49
verbandsgeordnet, 47
Verbandshomomorphismus, 50
229

Zugehörige Unterlagen

UE 7

2 - (sin(α)) · 0 1 - Mathematisches Institut der Universität Bonn

Mathematik für Informatiker

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