E1 V11 überarbeitet_JR

Systeme von Massepunkten Bisher einzelner Massepunktjetzt Vielteilchensysteme: Massen Geschw. 𝑣! , 𝑣! , 𝑣! … Orte 𝑟! , 𝑟! , 𝑟! … 𝑚! , 𝑚! , 𝑚! … !! !! !!! !! !⋯
!! !!! !⋯
! ! !!
=
!!
𝑀 = ! 𝑚! !!!
Schwerpunkt der Masseverteilung 𝑟! =
!
„Gesamtmasse
“ 𝑟⃑! 𝑟⃑ !
𝑟⃑! Schwerpunktgeschwindigkeit: 𝑑𝑟!
1
=
𝑑𝑡 𝑀
𝑚!
Impuls: 𝑝=
𝑑𝑟!
=
𝑑𝑡
𝑚! 𝑣!
= 𝑣! 𝑀
𝑝! = 𝑚𝑣! 𝑚! ∗ 𝑣! = 𝑀 ∗ 𝑣! 𝑝! =
Gesamtimpuls Im abgeschlossenen System (ohne äußere Kräfte) gilt 𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. „Impulserhaltungssatz“ Wirkt eine äußere Kraft auf ein Massensystem: „Schwerpunktsatz“ 𝐹 = 𝑀 𝑎! Der SP eines Systems bewegt sich so, als wäre dort die gesamte Masse vereinigt. Bsp. Erde S Geschoß: H H Trümmer SP H H Molekül Weg des SP etc. Es gibt ein ausgezeichnetes Koordinatensystem, das Schwerpunktsystem: 𝑟! = 𝑟!" + 𝑟! (Laborsystem) (SP-­‐System) 𝑝!" = 0 𝑚! 𝑟!" = 0 Schwerpunkt: Die Schwerkraft eines Systems von M.P. greift im S.P. an 𝑟⃑! − 𝑟⃑! 𝑚! 𝑟⃑! − 𝑟⃑! 𝑚! 𝑟⃑! 𝑟⃑! =
!! !!!
!! !!!
!
= !! !
Drehmomente ⇒ 𝑙! ∗ 𝑚! ∗ 𝑔 = 𝑙! ∗ 𝑚! ∗ 𝑔 𝑀 = 0 bei wenn Kraft im S.P. angreift Kinetische Energie eines Systems von Massepunkten 𝑣! = 𝑣!" + 𝑣! Kin. Energie im S.P. System? Beispiel 2 Teilchen: 1
1
𝐸!"# = 𝑚! 𝑣!! + 𝑚! 𝑣!! 2
2
1
= 𝑚! 𝑣!! + 𝑣!
2
!
1
+ 𝑚! 𝑣!! + 𝑣! ! 2
!
!
!
!
= ! 𝑚! 𝑣!!
+ 𝑚! 𝑣!!
+ ! 𝑚! + 𝑚! 𝑣!! + 𝑚! 𝑣!! + 𝑚! 𝑣!! ∗ 𝑣! = 𝑃!! + 𝑃!! ∗ 𝑣! = 0 weil 𝑃!! = −𝑃!! 𝑚! 𝑟⃑! + 𝑚! 𝑟⃑!
𝑚! + 𝑚!
!
!
𝐸!"# = 𝐸!"#
+ ! 𝑀𝑣!! „innere kin. Energie“ „Translationsenergie des Systems“ ≜z.B. die Wärme, Bewegung der Atome im ≜ die kin. Energie der im S.P. vereinigten Gesamtmasse Drehimpuls eines Massensystems !
𝐿! =
𝑟! ×𝑝! =
𝑚! 𝑟!" + 𝑟! × 𝑣!" + 𝑣! !!!
= 𝑀 𝑟! ×𝑣! +
+
𝑚! (𝑟! ×𝑣!" ) +
= 0 𝑚! 𝑟!" ×𝑣!" 𝑚! (𝑟!" ×𝑣! ) = 0 𝐿! = 𝑀 𝑟! ×𝑣! +
Drehimpuls der Gesamtmasse bzgl. 0 𝑚! 𝑟!" ×𝑣!" Gesamtdrehimpuls im SP -­‐ System Reduzierte Masse Zwei Teilchen mit Massen 𝑚! , 𝑚! und Wechselwirkung 𝐹!" = −𝐹!" Bewegungsgleichung der Relativgeschwindigkeit 𝑑
𝐹!" 𝐹!"
1
1
𝑣! − 𝑣! =
−
=
+
𝐹 𝑑𝑡
𝑚! 𝑚!
𝑚! 𝑚! !"
! ∗!
Def: 𝜇 = ! !!!! !
⇒ 𝐹!" = 𝜇
!
„reduzierte Masse“ 𝑑𝑣!"
𝐹!" = 𝜇𝑎!" 𝑑𝑡
Die Relativbew. Zweier Teilchen mit WW kann auf die Bewegung eines Teilchens reduziert werden. !!
!
Test: 𝐸!"#
≝
!
!
!
!
𝑣!"
= !
𝑚! 𝑣!! − ! 𝑀𝑣!! … (Übung) !
!
!
𝐸!"#
= ! 𝜇𝑣!"
Stöße zwischen zwei Teilchen 𝑚! 𝑣⃑! ′ 𝑚! 𝑣⃑! Θ! Θ! 𝑚! 𝑣⃑! 𝑚! 𝑣⃑! ′ Θ! : asymptotischer Streuwinkel des Teilchens 1 Θ! : asymptotischer Streuwinkel des Teilchens 2 Grundgleichungen: 𝑝!! + 𝑝!! = 𝑝! + 𝑝! Impulssatz !
!
𝐸!"#,!
+ 𝐸!"#,!
= 𝐸!"#,! + 𝐸!"#,! + 𝑄 𝑄 = 0 𝑄 < 0 𝑄 > 0 Energiesatz elastischer Stoß inelastischer Stoß superelastischer Stoß Nicht –zentrale, elastische Stöße 𝑦 Spezialfall Endpunkt von 𝑝!! ≜ 𝑝(𝑥, 𝑦) 𝑝! = 0 𝑝!! 𝑝! =
𝑝!!
+
𝑦 𝑝! 𝑝!! 𝑥 𝑝!! Wähle z-­‐Achse in Richtung 𝐿 = 𝑟×𝑝! , dann Stoß in der x-­‐y Ebene. Nach Zeichnung ersichtlich: 𝑥² + 𝑦² = 𝑝!!" 𝑢𝑛𝑑 𝑝! − 𝑥
!!!
!!!
=
!! !! ! !! !
!!!
+
! ! !! !
!!!
!
+ 𝑦² = 𝑝!!" 𝑥 𝑥 − 𝜇𝑣!
!
+ 𝑦² = 𝜇𝑣! ! 𝑝!! 𝑝!! Θ! Θ! 𝜇 ∗ 𝑣! M Spezialfall 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 𝑝!! Aus dem Satz von Thales folgt: 𝑝!! 𝑝⃑!! ⊥ 𝑝⃑!! M VERSUCH Münzen Spezialfall Zentraler Stoß Wie viel Energie wird übertragen? Δ𝐸!"# 4 ∗ 𝑚! ∗ 𝑚!
=
(𝑚! + 𝑚! )!
𝐸!"#,!
1 𝑚!
𝑚!
Das Gleiche im Schwerpunktsystem: (jetzt 𝑝!! ≠ 0) Elastischer Stoß: 𝑝!! = −𝑝!! !
!
𝑝⃑!! + 𝑝⃑!! = 𝑝⃑!!
+ 𝑝⃑!!
= 0 𝑝⃑!! 𝑝⃑!! 𝑝⃑!! ⇒ entspricht Drehung der Vektoren im SP-­‐
System !
𝑝⃑!!
!
!
𝑝!!
= −𝑝!!
! | Und |𝑝⃑!! | = |𝑝⃑!!
Allgemein (inelastischer Stoß) !
!!!
!!
!
=
!!! !
!!
+ 𝑄 Energiesatz im Schwerpunktsystem Newton-­‐Diagramm (Geschwindigkeitsdiagramm) 𝑣⃑!! 𝑣⃑! !
𝑣⃑!!
𝑣⃑!! Θ! 0 Θ! !
𝑣⃑!!
𝜗! S 𝑣⃑! Potential Ablenkfunktion Θ(𝑏) 𝑉(𝑟) 𝜋 𝑉 = ∞ 𝑉 = 0 𝑟
= 𝑟 + 𝑟 „hardcore potential“ 1 𝑏
𝑟! + 𝑟!
!
2. Beispiel Gravitationspotential 𝑉 𝑟 ~ ! 𝑉(𝑟̇ ) 𝑟 𝜗 𝜗
𝑣!!
cot ! ! = −
∗ 𝑏 2
𝐺∗𝑀
𝑝 𝑝
2
𝑉 𝑏 𝑎
𝐸!"#
Ablenkung des Kometenfluges unabhängig von der Masse des Kometen. Vgl. Coulombstreuung (𝛼 Teilchen an Atomkernen: Rutherford) Potentialstreuung Was lernt man aus der Untersuchung von Stößen? Impulsübertrag Δ𝑝 = 𝐹 𝑑𝑡 A b : Stoßparameter B Ablenkwinkel im Schwerpunktsystem 𝑝!! !
!
!
!!
sin ! ≈ !! !
!
𝑝! Der Streuwinkel ist eine Funktion des Stoßparameters è Ablenkfunktion 1.) Beispiel: harte Kugel und 𝑚! ≪ 𝑚! 𝛼 𝜗 𝑚! 𝜗(𝑏) = 2 arccos
𝑏
𝑟! + 𝑟!
!
𝑏 = (𝑟! + 𝑟! ) cos !