Elektrische und magnetische Felder

0-1
TU Dresden
Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik
Institut Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik
Prof. Dr.-Ing. habil. Renate Merker
Skript
Elektrische und magnetische
Felder
Vorlesung für Studiengang Mechatronik,
Regenerative Energiesysteme
Wirtschaftsingenieurwesen, Lehramt
Sommersemester 2017
TUD  IEE  Prof. Merker
Vorlesungsskript » Elektrische und Magnetische Felder «
0-2
Gliederung:
1.
Grundlagen des elektrischen Feldes
2.
Stationäres elektrisches Strömungsfeld
3.
Elektrostatisches Feld
4.
Magnetfeld
Anhang: Mathematische Grundlagen
TUD  IEE  Prof. Merker
Vorlesungsskript » Elektrische und Magnetische Felder «
1-1
1. Grundbegriffe des elektrischen Feldes
1.1 Ladungsdichten
Raumladung
Flächenladung
Linienladung
stetige Verteilung einer Ladung Q über
Volumen V
Fläche A
Linie mit Länge l
d→0
l
a<< l
mit
mit
Raumladungsdichte
∆Q
ρ = lim
∆V → 0 ∆V
[ρ ] =
Flächenladungsdichte
∆Q
σ = lim
∆A→ 0 ∆ A
[σ ] =
C
m3
C
m2
mit
Linienladungsdichte
∆Q
λ = lim
∆ l →0 ∆l
[λ ] = C
m
Bild 1-1
1.2 Felder im Raum
a) Feldbegriff
Feld:
Jedem Punkt eines Raumes ist eindeutig ein Wert einer
physikalischen Größe zugeordnet.
Feldgröße: physikalische Größe, die den Raumzustand definiert
(Beispiele: Temperatur, Druck, Geschwindigkeit, Feldstärke)
Feldbild:
Graphische Darstellung eines Feldes
Bild 1-2
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
1-2
Grundbegriffe des elektrischen Feldes
b) Ortsvektoren
Ortsvektoren
- kartesisches Koordinatensystem:
- Kugelkoordinatensystem:
z
ez
z
x
ex
z
z
y
ey
z
y
er
y
r
y
r
x
x
y
r
x
r = I r I er = r er = x2 + y2 + z2 er
x
 x
 
ez =  y 
 z
 
r = x ex + y ey + z
er =
r
IrI
Bild 1-3
c) Skalar- und Vektorfelder
r
Skalarfeld
Jedem Raumpunkt r ist
zugeordnet ein
skalarer Wert
z
vektorieller Wert
r
F3
z
p2
Vektorfeld
r
F2
r
F
r
Fzez
p
r
Fxe x
y
r
r
r
r
p2
y
p1
r
F1
x
x
Darstellung
r
r
F = f (r )
r
r
r
F = Fx (x, y, z) ex + Fy (x, y, z) ey
r
+ Fz (x, y, z) ez
r
p = f (r )
p = f k ( x, y, z)
Bild 1-4
Skalarfeld
Vektorfeld
Feldbilder
Richtung der Linien
Flächen (Linien)
mit
gleichen Werten
Feldlinien
Dichte der Linien
z
z
p2
p1
p1
y
y
p1
x
x
Beispiele:
• Äquipotentialflächen
je größer der Betrag der vektoriellen Werte,
umso dichter die Feldlinien
• Isothermen (iso : gleich)
• Isobaren (baros: Druck)
Vektorfelder können homogen
oder inhomogen sein
Bild 1-5
TUD
IEE
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1-3
Grundbegriffe des elektrischen Feldes
Beispiele für Feldbilder:
homogenes Vektorfeld
inhomogenes Vektorfeld
Vektorfeld:
Vektorfeld:
Feldbild:
Raumpunkte →
äquidistante Feldlinien
vektorielle Werte (Betrag und Richtung gleich)
Feldbild:
Raumpunkte →
nicht äquidistante Feldlinien
vektorielle Werte (Betrag und Richtung
unterschiedlich)
Darstellung
Darstellung
inhomogenes Vektorfeld
Beispiel
Vektorfeld
Feldbild
Darstellung
vektorielle Werte
je größer der Betrag der
vektoriellen Werte
Tangenten an Feldlinien
umso dichter die Feldlinien
Feldbild des Vektorfeldes der Geschwindigkeit eines Luftstromes im Fön
Bild 1-6 – Bild 1-9
1.3 Coulombsches Gesetz
TUD
IEE
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1-4
Grundbegriffe des elektrischen Feldes
Coulombsches Gesetz in Vektorform
Q
r
r
r Q1
−F
r
r
r
r
r
er = r =
r
r
r
F
Q1, Q > 0
r Q1 Q r
Q1 Q
F=
e
=
r
4πε 0 r 2
4πε 0 r 2
r
Q1 Q r
r
r
r =
r
4πε 0 r 3
Beispiel:
r
F
z
gesucht:
r
r
Kraft F auf Ladung Q im Raumpunkt r
Q
r
er
r
r
y
Q1
x
Bild 1-10
1.4 Elektrische Feldstärke
r r
F (r )
z
r
r
Probeladung Q
Feste Ladung Q1 versetzt Raum in den
Zustand, dass auf eine Probeladung Q in
jedem Raumpunkt r eine Kraft
r r
F (r )
y
ausgeübt wird.
feste Ladung Q1
x
Bild 1-11
TUD
IEE
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1-5
Grundbegriffe des elektrischen Feldes
Definition der elektrischen Feldstärke:
r
r F
E=
Q
[E ] = [F ] = 1 N
[Q ] C
=1
Ws
V
=1
m As
m
Bild 1-12
Beispiele von Feldbildern der elektrischen Feldstärke:
r
E
r
E
Q
Feldbild der elektrischen Feldstärke
einer Punktladung
I
I
Feldbild der elektrischen Feldstärke
eines flächenhaften Leiters
Bild 1-13
TUD
IEE
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1-6
Grundbegriffe des elektrischen Feldes
1.5 Spannung und Potenzial
a) Definition des Potenzials
Voraussetzung:
r r
r
E (r ) hat in jedem Raumpunkt r
Ladung Q im elektrischen Feld
r
eine potenzielle Energie W (r )
Definition des Potenzials:
[ϕ ] = [W ] = 1 Ws = 1 V
[Q ] As
r
r W (r )
ϕ (r ) =
Q
Bild 1-14
W(r )
Q
I
I
• Raumpunkte gleichen Potenzials
liegen auf Äquipotenziallinien
(~flächen)
r
E
r
r
• Potenzialfeld ist ein Skalarfeld
Äquipotentiallinie
(Äquipotentialfläche)
Bild 1-15
r
E
I
I
ϕ1
ϕ2
ϕ3
ϕ4
r
E
Q
ϕ1
ϕ2
ϕ3
ϕ4
• Potenzial nimmt in Richtung der Feldstärke ab:
ϕ1> ϕ2 > ϕ3 >ϕ4
• Äquipotenzialflächen so zeichnen, dass zwischen benachbarten gleiche
Potenzialdifferenz: ϕ1−
ϕ2 = ϕ2− ϕ3 = ϕ3−ϕ4= ...
Bild 1-16
TUD
IEE
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1-7
Grundbegriffe des elektrischen Feldes
Bezugspotenzial:
Beispiele für Wahl des Bezugspotenzials
r
E
ϕ=0
I
I
ϕ1
ϕ2
ϕ3
ϕ4
r
E
Q
ϕ1
ϕ2
ϕ3
ϕ4
ϕ=0
Bild 1-17
TUD
IEE
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1-8
Grundbegriffe des elektrischen Feldes
b) Berechnung des Potenzials aus der Feldstärke
ϕ( r )
r
E
r
d r'
ϕ(r0)
Q
Q
I
I
r
r0
Die Ladung Q hat im Raumpunkt r0
die potenzielle Energie W(r0). Bei der
Bewegung der Ladung Q zum
Raumpunkt r gibt sie die Energie
r
r r
r
r
∫ F (r ' ) d r ' ab.
r
r0
Die potenzielle Energie W(r) der
Ladung Q im Raumpunkt r ergibt sich
zu:
r
r
r
r r
r
r
r
r
W (r ) = W (r0 ) − ∫ F (r ' ) d r '
r
r
W (r ) = ϕ ( r ) Q
mit
und
r r
r r
F (r ) = E (r ) Q
r
r0
folgt:
r
r r
r
r
r
r
ϕ (r ) = ϕ (r0 ) − ∫ E ( r ' ) d r '
r
r0
Bezugspotenzial
Bestimmung des Potenzials aus
der elektrischen Feldstärke
Linienintegral der
elektrischen Feldstärke
1-16
Bild 1-18
Spezialfall homogenes elektrisches Feld:
r
E
r r
r − r0
r
r0
homogenes elektrisches Feld:
r r
r
E (r ) = E
,
d.h. Feldstärke ist an allen Raumpunkten gleich
r
r
Bild 1-19
TUD
IEE
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1-9
Grundbegriffe des elektrischen Feldes
c) Spannung
ϕ( r1)
Ur1 r2
r
E
dr‘
:
I
I
Spannung zwischen
den Raumpunkten r1 und r2
r1
ϕ(r2 )
r2
r
r
U rr1rr2 = ϕ ( r1 ) − ϕ (r2 )
r
r
r
r0
r
r0
r1
r2
r r
r r
r
r
r
r
= ϕ ( r0 ) − ∫ E (r ' ) d r '−ϕ (r0 ) + ∫ E (r ' ) d r '
Ur1 r2
r
r2
r r
r
U rr1rr2 = ∫ E ( r ' ) d r '
Definition der Spannung
r
r1
Linienintegral der
elektrischen Feldstärke
Bild 1-20
TUD
IEE
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1-20
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
1 - 10
Grundbegriffe des elektrischen Feldes
Beispiel zur Berechnung von Potenzial und Spannung im homogenen elektrischen
Feld:
geg.:
y/cm
r
r
E = E x ex
=1
V r
ex
cm
ϕ (r0 ) = 0V ,
r
-2
-1
1
2
x/cm
r  0
r0 =  
 0
ges.:
ϕ (r ), r =  
 y
U 02 , U 21
r r
2V
1V
ϕ(0)=0V
-1V
-2V
 x
Bild 1-21
TUD
IEE
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1 - 11
Grundbegriffe des elektrischen Feldes
d) Existenzbedingungen für das Potenzial
Existenzbedingung für das Potenzial:
r
Zu einem Vektorfeld E existiert ein Potenzialfeld (d.h. jedem Raumpunkt
ist eindeutig ein Potenzialwert zugeordnet), wenn das Linienintegral
r
r
∫
r r r
E ( r ′)d r ′
vom Weg c unabhängig ist, d.h.:
r
r0 ,c
r
r
ϕ(r0)
∫
r
E
c1
c2
I
I
ϕ(r)
r0
r
r
r r r
E (r ′)d r ′ =
∫
r r r
E (r ′)d r ′
r
r0 ,c1
r
r0 ,c2
r
r
r
r0
r
r0 , c1
r
r , − c2
r r r
E
∫ (r ′)d r ′ +
r r r
E
∫ (r ′)d r ′ = 0
r
Bild 1-22
ϕ(r0)
∫
c
I
r0
I
ϕ(r)
r
c
r r
r
E (r ′) d r ′ = 0
Umlaufintegral r
(Zirkulation von E ) ist Null.
Folgerung:
Maschensatz (dU = E dr)
allgemein gilt:
Ein Vektorfeld A hat genau dann ein Potenzial, wenn das Umlaufintegral
rr
∫cA(r ) d r =0
r
auf einem geschlossenen Integrationsweg c verschwindet.
A heißt dann wirbelfrei.
1-20
Bild 1-23
TUD
IEE
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Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
1 - 12
Grundbegriffe des elektrischen Feldes
wirbelfreie Felder
nicht wirbelfreie Felder
rr r
A(r ) d r =0
∫ A(r) d r ≠0
∫c
rr
r
A
r
A
c
r
c
c
Beispiele:
• elektrostatisches Feld
• Magnetfeld
• stationäres elektrisches Strömungsfeld
• elektrisches Feld bei veränderlichem Magnetfeld
Bild 1-24
e) Berechnung der Feldstärke aus dem Potenzial
r r
Berechnung der Feldstärke E (r ) aus einem gegebenen Potenzial
r
ϕ ( r ) = ϕ ( x, y , z ) :
r r
 ∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ r 
r
E (r ) = − grad ϕ (r ) = −
ex +
ey +
ez 
∂y
∂z 
 ∂x
r r
r
r
r
E (r ) =
= E x ex + E y e y + E z ez
Veranschaulichung:
ϕ
grad
Gradient φ (grad φ): Vektor in Richtung
des steilsten Anstieges des Potenzials
E
ϕ1
ϕ2
ϕ3
ϕ1
ϕ2
ϕ3
ϕ4
Feldstärke E = - grad φ : in Richtung
des steilsten Sinkens des Potenzials
ϕ4
1-21
Bild 1-25
Beispiel zur Berechnung des Feldstärkefeldes aus dem Potenzialfeld:
TUD
IEE
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Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
Grundbegriffe des elektrischen Feldes
TUD
IEE
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1 - 13
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
1 - 14
Grundbegriffe des elektrischen Feldes
y/cm
r
 y cm 
E

= −10
V cm
 x cm 
2
ϕ = 25V
y cm =
2,5
x cm
ϕ = 15V
y cm =
1,5
x cm
ϕ = 5V
y cm =
0,5
x cm
1
1
2
x/cm
Bild 1-26
1.6 Zusammenfassung
Q1, Q > 0:
r Q1 Q r
Q1 Q r
F=
e =
r
2 r
4πε 0 r
4πε 0 r 3
Coulombsches Gesetz:
elektrische
Feldstärke
r
r F
E=
Q
Q1
r
er
r
r
r
r
r
r = r er = x e x + y e y + z e z
r r
 ∂ϕ r ∂ϕ r
r
∂ϕ r 
E ( r ) = − grad ϕ( r ) = −
ex +
ey +
ez 
∂y
∂z 
 ∂x
r
r
U rr1 , rr2 = ϕ(r1 ) − ϕ(r2 )
r
r2
r r r
= E (r ′)d r ′
∫
r
r1
r
ϕ(r1 )
r
r
r
Q F
elektrische
Spannung
U rr1 ,rr2
r
r
r r
r
r
r
ϕ( r ) = ϕ( r0 ) − E ( r ′) d r ′
∫
r
r0
r
ϕ( r0 ) Bezugspotenzial
U rr1 ,rr2
Vektorfeld
(Feldliniendarstellung)
elektrisches
Potenzial
r
ϕ( r ) = ϕ( x, y , z )
r
ϕ( r2 )
Skalarfeld
(Isolinien ~flächendarstellung)
r
ϕ(r0 )
r
E
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TUD
IEE
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1-27
Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
2-1
2. Stationäres elektrisches Strömungsfeld
2.1 Wesen des stationären elektrischen Strömungsfeldes
Wesen des stationären elektrischen Strömungsfeldes
A2
elektrischer Leiter:
E
A1
Q
I
F
v
I
r
• Medium: elektrischer Leiter beliebiger Form (linienhafter,
flächenhafter, räumlicher Leiter)
dQ
• Stationäres Strömungsfeld: I =
= konst.
dt
• für das Leitergebiet gilt das Ohmsche Gesetz: U=IR
• im Leitergebiet: Ladungsströmung mit Geschwindigkeit v( r ) :
r r
r r
v ( r ) = µ E( r ),
2
[µ] = [v ] = m
[E ] Vs
µ
Beweglichkeit der Ladungsträger
Bild 2-1
• Gesamtstrom I teilt sich auf in gleiche Teilströme ∆ I in Teilvolumen
mit Querschnitt ∆ A
→ Stromröhren
Spuren der Stromröhren: Strömungslinien
Strömungslinien
∆
A1
∆
I
∆
A2
Stromröhren
I
I
Strömungsfeld im Querschnitt eines elektrischen Leiters
Bild 2-2
2.2 Stromdichte
a) Definition
TUD
IEE
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2-2
Strömungsfeld
Spezialfall: homogenes Strömungsfeld
I
A┴
I
I
A┴
J
I
Bild 2-3
b) Zusammenhang zwischen Stromdichte und Feldstärke
TUD
IEE
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2-3
Strömungsfeld
r
r
J =κ E
mit
κ = ρR µ
Ohmsches Gesetz des stationären Strömungsfeldes
elektrische Leitfähigkeit (Materialkonstante)
[κ ] = [ρ R ][µ ] = 1 As3 m
2
m Vs
=1
A
1
S
=
=1
Vm Ωm
m
Konzentration freier
beweglicher Ladungsträger
(Raumladungsdichte ρR)
elektrische Leitfähigkeit κ
hängt ab von
Beweglichkeit µ der
Ladungsträger
Stoffe ohne freie Ladungsträger (Isolierstoffe) haben sehr kleines κ.
Bild 2.4
Beispiele für elektrische Leitfähigkeiten:
108
metallische Leiter
106
Kohle
104
102
Seewasser
10
elektrische Leitfähigkeiten
κ / (Ω−1⋅m−1)
Flusswasser
10-2
Erdboden
10-4
destilliertes Wasser
10-6
Pressstoffe
10-8
10-10
10-12
Porzellan
Glas
Glimmer
10-14
10-16
IEE
Quarzglas
Polyäthylen, PTFE
2-5
Bild 2-5
TUD
Keramik Isolierstoffe
Prof. Merker
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2-4
Strömungsfeld
c) Beziehung zwischen Strom und Stromdichte
Spezialfall:
allgemeiner Fall:
• homogenes Strömungsfeld
• inhomogenes Strömungsfeld
Fläche A wird um Winkel α geneigt:
A
I
I
A
I
J
Zerlegung der Fläche A in Flächenelemente dA, durch die Strom dI fließt :
A
A┴
I
α
α
A
J
I
dI
dA
J
dA
Bild 2-6
TUD
IEE
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2-5
Strömungsfeld
d) Kontinuität der Stromdichte
Kontinuität der Stromdichte:
Der Gesamtstrom durch eine geschlossene Hülle ist stets NULL:
r r
I ges = ∫∫ J dA = 0
Naturgesetz
H
J
dA
dA
J
Hüllfläche: H
Das Stromdichtefeld ist quellenfrei. Folgerung: Es gilt der Knotenpunktsatz.
Bild 2-7
e) Ausgewählte Beispiele für Stromdichten
Stromdichte
J / (A/mm2)
elektrische Freileitung
1
Isolierte Leiter (Al, Cu, 1,5mm2 Durchmesser)
10,7
Elektrogeräte, Motoren
3…8
Halbleiterbauelemente
10…100
Elektronenröhre (an Katoden)
0,1
Bild 2-8
TUD
IEE
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2-6
Strömungsfeld
2.3 Bedingungen an Grenzflächen
a) senkrechte und tangentiale Strömung
κ1 < κ 2
κ1
J1
κ1
κ2
db→ 0
E1
dl
J2
dA2
db→ 0
κ2
dA1
dA2
E2
r r
∫∫ J dA = J 2 dA2 − J1 dA1 = 0
r r
E
∫ dr = E1 dl − E2 dl = 0
→ J1 = J 2 = J
→ E1 = E2 = E
E
J
Bild 2-9
J1 = κ1 E1 = κ 2 E2 = J 2
E1 =
E1 κ 2
=
E2 κ1
E1
J1 J 2
=
= E2
κ1 κ 2
J1 κ1
=
J 2 κ2
E2
J1
J2
κ1 < κ 2
Bild 2-10
b) Brechungsgesetz für Feldlinien
κ1 < κ 2
κ1
κ2
E2t
J1n
J1
α1
J2
α2
E2
b
E1
a
J1n = J 2 n
tan α 2 =
E2 t J 2 t
=
E2 n J 2 n
κE
tan α1 J1t
κ
=
= 1 1t = 1
tan α 2 J 2t κ 2 E2t κ 2
a
Beim Übergang in ein besser (schlechter)
leitendes Medium werden die Feldlinien vom
(zum) Einfallslot weg (hin) gebrochen.
Dabei gilt:
E1t J1t
=
E1n J1n
b
J2n
E1t
tan α1 =
tan α1 κ1
=
tan α 2 κ 2
Brechungsgesetz für
Feldlinien
E1t = E2t
Bild 2-11
TUD
IEE
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2-7
Strömungsfeld
c) Grenzfläche zum idealen Leiter und Nichtleiter
Grenzfläche
κ1
Grenzfläche
κ2 → ∞
κ1
J
E
tan α1 =
κ2 → 0
J
E
idealer Leiter
κ1
tan α 2 = 0 ⇒ α1 = 0
κ2
Feldlinien senkrecht auf Grenzfläche
Grenzfläche ist Äquipotenzialfläche
Eine Äquipotenzialfläche kann durch
eine ideal leitende Grenzfläche ersetzt
werden, ohne dass sich das Feldbild
ändert.
Nichtleiter
κ1
tan α 2 → ∞ ⇒ α1 → 90°
κ2
Feldlinien entlang der Grenzfläche
(Grenzfläche ist Einhüllende der Feldlinien)
tan α1 =
Äquipotenzialflächen senkrecht auf
Grenzfläche
Eine Hüllfläche von Feldlinien kann
durch eine ideal nicht leitende
Grenzfläche ersetzt werden, ohne
dass sich das Feldbild ändert.
Bild 2-12
Anwendung:
Leiter
Nichtleiter
2-12
Bild 2-13
TUD
IEE
Prof. Merker
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2-8
Strömungsfeld
2.4 Berechnung elementarer Strömungsfelder
Rechenschema für elementare Strömungsfelder:
Berechnung elementarer Strömungsfelder
r r
I
r
r
J =κE
∫∫ J dA r
I=
A
J
r
E
r
r
r r
r
r
r
ϕ ( r ) = ϕ ( r0 ) − E ( r ′) d r ′
r r
r
E (r ) = − grad ϕ(r )
∫
r
r0
r
ϕ(r )
U
R=
I
r
l *
R=
κA
U
r r
r1 , r2
r2
r r r
r
r
= ϕ ( r1 ) − ϕ (r2 ) = ∫ E ( r ′) d r ′
r
r1
U rr1 ,rr2
* Bemessungsgleichung für homogenes Feld
U rr1 ,rr2
κ
r r
E J
I
r
ϕ( r1 )
I
A
r
ϕ( r2 )
Bild 2-14
2.4.1 Kugelsymmetrische Anordnung
a) Punkt- Einströmung
Feldbild:
in sehr großer Entfernung
Gegenelektrode
r
r2 U rr1 ,rr2
I
r
r1
isolierte
Zuführung
r
r ϕ (r )
r
J
Äquipotenzialflächen:
konzentische
Kugelflächen
κ
Strömungslinien
Strom I verteilt sich gleichmäßig in alle Richtungen
Bild 2-15
TUD
IEE
Prof. Merker
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2-9
Strömungsfeld
Berechnung der Größen für die Punkt-Einströmung:
r r
r r
r
ges.: J (r ), E (r ), ϕ ( r )
dA
I
r
r
κ
Hülle H
J
Bild 2-16
TUD
IEE
Prof. Merker
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2 - 10
Strömungsfeld
b) Anwendung: Halbkugelerder
Halbkugelerder (Radius rE)
I
κ →∞
κ =0
r2
r1
κ
Us
ϕ = const.
E
Bild 2-17
Berechnung:
Ersatzanordnung:
Feld einer Punkt-Einströmung
I
I
κ =0
κ →∞
κ =0
κ
κ
E
E
Bild 2-18
TUD
IEE
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Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
2 - 11
Strömungsfeld
Darstellung des Potenzials (Potenzialtrichter) und der Äquipotenzialflächen
ϕ (r) /ϕ (r E )
ϕ (r ) =
I
,
2π κ r
ϕ (rE ) =
ϕ (r )
1
=
ϕ (rE ) r
für
r > rE :
für
r ≤ rE : ϕ (r ) = ϕ (rE )
I
2π κ rE
rE
r/r E
(da innerhalb der Halbkugel
r
r J
κ → ∞ und somit E = = 0 gilt )
κ
Bild 2-19
ϕ(r)/ϕ(rE)
Veranschaulichung der Schrittspannung
r/r E
Bild 2-20
TUD
IEE
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2 - 12
Strömungsfeld
2.4.2 Zylindersymmetrische Anordnung
Einströmung in unendlich ausgedehnten Linienleiter
Feldbild:
Berechnung:
I
I
r
r
J
r
r
J
r
ϕ (r )
κ
Strom I verteilt sich
gleichmäßig radial
senkrecht zum Leiter
Bild 2-21
TUD
IEE
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r ges.:
r r r
r
J ( r ), E ( r ), ϕ ( r )
l
dA
κ
Äquipotenzialflächen:
konzentische
Zylindermantelflächen
Hülle H
2-19
Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
Strömungsfeld
TUD
IEE
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2 - 13
Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
2 - 14
Strömungsfeld
2.4.3 Überlagerung von Feldern
r r
r
r
gesucht: Potenzial ϕ (r ) und Feldstärke E (r ) herrührend von einer am Raumpunkt r1
gelegenen Punkteinströmung I1
ges.:
I1
r r
r
E ( r ), ϕ ( r )
r r
r − r1
r1
Lösung:
r
r
ϕ (r ) =
I1
r r
4πκ r − r1
r r
r r
I (r − r )
E ( r ) = 1 r 1r 3
4πκ r − r1
0
Bild 2-22
Überlagerungssatz für mehrere Punkt-Einströmungen:
Die Feldgrößen (E, ϕ) der einzelnen Einströmungen addieren sich (vektoriell,
skalar) in jedem Raumpunkt r.
ges.:
I1
r1
r r
r
E (r ), ϕ (r )
r r
r − r1
r
r r
r − r3
r r
3 r
r r
r
1 3 I n (r − rn )
E ( r ) = ∑ En ( r ) =
∑ r r
4πκ n =1 r − rn 3
n =1
I2
I3
r2
0
r3
3
r
r
1 3 In
ϕ( r ) = ∑ ϕ n ( r ) =
∑r r
4πκ n =1 r − rn
n =1
Bild 2-23
TUD
IEE
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2 - 15
Strömungsfeld
Beispiel: Überlagerung der Felder zweier gleich gerichteter Punkt-Einströmungen
ges.:
r r
r
E (r ), ϕ ( r )
y
y
r r
r − r1
r r
r − r2
r
I1
-a
I2
r1
r2
x
a
x
Bild 2-24
TUD
IEE
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2 - 16
Strömungsfeld
Spezialfälle:
Feldbilder:
- elektrische Feldstärke
Überlagerung zweier gleich gerichteter
Punkt-Einströmungen
Überlagerung zweier entgegengesetzt
gerichteter Punkt-Einströmungen
I
I
I
I
- Potenzial:
Potential (Angaben in V)
Potential (Angaben in V)
1800-2000
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
-200
-400
-600
-800
-1000
-1200
-1400
-1600
-1800
-2000
1600-1800
2 00 0
1400-1600
1200-1400
1 8 00
1000-1200
1 6 00
800-1000
1400
600-800
400-600
200-400
1 8 0 0 -2 0 0 0
1 6 0 0 -1 8 0 0
1 4 0 0 -1 6 0 0
1200
1 2 0 0 -1 4 0 0
1 0 0 0 -1 2 0 0
1000
8 0 0 -1 0 0 0
0-200
800
6 0 0 -8 0 0
-200-0
60 0
4 0 0 -6 0 0
-400--200
2 0 0 -4 0 0
40 0
0 -2 0 0
-600--400
-800--600
-1000--800
2 00
0
-1200--1000
-1400--1200
-1600--1400
950-1000
950-1000
900-950
900-950
800-850
750-800
700-750
650-700
600-650
550-600
500-550
450-500
400-450
350-400
300-350
250-300
200-250
150-200
100-150
50-100
0-50
-50-0
-100--50
-150--100
-200--150
-250--200
-300--250
-350--300
-400--350
-450--400
-500--450
-550--500
-600--550
-650--600
-700--650
-750--700
-800--750
-850--800
-900--850
-950--900
850-900
850-900
-1800--1600
3
800-850
2,5
750-800
2
700-750
1,5
650-700
1
600-650
0,5
550-600
0
500-550
450-500
-0,5
400-450
-1
350-400
-1,5
300-350
-2
250-300
-2,5
200-250
-3
150-200
100-150
50-100
0-50
Bilder 2-25-2-28
TUD
IEE
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2 - 17
Strömungsfeld
Spiegelungsprinzip
keine Feldänderungen beim:
Schneiden mittels eines idealen
Nichtleiters entlang Strömungslinien:
I
Schneiden mittels eines idealen
Leiters entlang Äquipotenzialflächen:
I
idealer
Nichtlei
ter
I
I
idealer
Leiter
I
I
idealer
Nichtleiter
2-26
Bild 2-29
Anwendung des Spiegelungsprinzips:
I
I
Modell
idealer
Nichtleiter
Kugelerder in endlicher Tiefe
I
I
I
Bild 2-30
TUD
IEE
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2 - 18
Strömungsfeld
Beispiel für die Anwendung des Spiegelungsprinzips:
Aufgabe:
geg.: Kugelerder mit Radius R in Tiefe a
ges.: E(x), ϕ(x) auf der Erdoberfläche
Modell zur Lösung:
y
I
Ersatzanordnung
(Modell):
Überlagerung zweier
gleich gerichteter
Punkt-Einströmungen
I
ges.:
r r
r
E (r ), ϕ (r )
r1
r
x
x
κ
a
R
r2
I
R
Bild 2-31
TUD
IEE
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2 - 19
Strömungsfeld
2.5 Verlustleistungsdichte im Strömungsfeld
Abschnitt einer Stromröhre mit Volumen ∆ V = ∆ A ∆ l :
E
∆U
J
∆ PV
∆A
∆l
umgesetzte Leistung ∆ PV im Volumen ∆ V:
r
r
rr
∆PV = ∆U ∆I = E ∆ l J ∆ A = E J ∆V
∆I
Definition der Verlustleistungsdichte pV :
∆PV
∆V →0 ∆V
pV = lim
Die Verlustleistung PV in einem Volumen V folgt zu:
rr
J2
pV = E J = κ E 2 =
κ
PV = ∫∫∫ pV dV
V
Bild 2-32
Beispiel: homogenes Feld
TUD
IEE
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2 - 20
Strömungsfeld
2.6 Widerstandsberechnung räumlicher Leiter
geg.: räumliche Leiteranordnung mit Leitfähigkeit κ
Problemstellung:
U
I
κ
ges.: Widerstand R=U/I oder Leitwert G = I/U der Anordnung
Lösungsmöglichkeiten:
a) Berechnung über Feldgrößen und Definitionsgleichung (siehe Kap. 2.4)
Bedingung:
1. Kontaktflächen sind Äquipotenzialflächen
2. Begrenzungen zum Nichtleiter sind
Einhüllende von Stromlinien
Bild 2-33
Rechenschema:
Widerstandsberechnung räumlicher Leiter
über Feldgrößen:
κ
r r
E J
I
r
ϕ( r1 )
I
I=
∫∫
r r
J dA
r
r2
U
R=
allg.: Rrr1 , rr2 =
I
I
G=
U
∫
r r r
E ( r ′)d r ′
r
r1
∫∫
A
I
A
r
ϕ( r2 )
r
E
r
J
A
U rr1 ,rr2
r
ϕ(r )
r r
J dA
r
U rr1 ,rr2
r2
r r r
r
r
= ϕ ( r1 ) − ϕ (r2 ) = ∫ E ( r ′) d r ′
r
r1
U rr1 ,rr2
Bild 2-34
TUD
IEE
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2 - 21
Strömungsfeld
Beispiel: Berechnung des „Kugelwiderstandes“ einer konzentrischen Anordnung
Anordnung
Ersatzanordnung:
Feld einer Punkt-Einströmung
I
I
r
ri
r
ra
r
ri
r
ra
I
κ
κ
Äquipotenzialflächen
Bild 2-35
TUD
IEE
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Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
2 - 22
Strömungsfeld
b) Widerstandsberechnung räumlicher Leiter über die Bemessungsgleichung
des Widerstandes/Leitwertes für das homogene Feld
über Bemessungsgleichung des Widerstandes/Leitwertes für
homogenes Feld:
l
κA
R=
G=
κ
κA
l
I
A
I
l
Weg:
1. Zerlegung des Feldraumes in differentielle Raumelemente mit
annähernd homogener Feldverteilung
2. Bestimmung des Widerstandes dR / Leitwertes dG des
differentiellen Raumelementes, wenn Raumelemente in Serie/
parallel geschaltet sind
3. Berechnung des Gesamtwiderstandes/Gesamtleitwertes durch
Integration
Bild 2-36
Beispiele:
• Berechnung des „Kugelwiderstandes“ einer konzentrischen Anordnung
Reihenschaltung der Widerstände dR
der differentiellen Raumelemente (rote
Bereiche):
I
r
ri
r
ra
I
I
...
I
dr
κ
Bild 2-37
TUD
IEE
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Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
2 - 23
Strömungsfeld
• Widerstand eines bogenförmigen Leiters
radiale Durchströmung
Reihenschaltung der Widerstände dR
der differentiellen Raumelemente (rote
Bereiche):
I
I
dr
r
r1
r
r
...
A
I
b
r
r2
I
Bild 2-38
• Widerstand eines bogenförmigen Leiters
Längsdurchströmung
A
I
b
Parallelschaltung der Widerstände dR
der differentiellen Raumelemente (rote
Bereiche):
I
r
r
I
r
r1
r
r2
...
I
Bild 2-39
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
2 - 24
Strömungsfeld
2.7 Zusammenfassung
Stationäres Strömungsfeld
r
r
r J = κE
E
r r
J
∫∫ dA = 0
P3
H
H
P2
r r
E
∫ dr = 0
Antriebsquelle von
Trägerströmung
r r
I = ∫∫ J dA
A
c
P1
A
H
κ
r r
∫∫ J dA = 0
P4
H
Gleichstromkreis (Integralverhalten zwischen ausgezeichneten Schnittstellen P):
P3
R2
∑υ Iυ = 0
P2
∑µ U µ = 0
R3
P1
IEE
Quelle: R. Paul, ET1
P4
Bild 2-40
TUD
R1
Prof. Merker
R4
2-37
Vorlesungsskript » Elektrische und magnetische Felder «
3-1
3. Elektrostatisches Feld
3.1 Wesen des elektrostatischen Feldes
Strömungsfeld
J
ϕ
E
I = konst.
Leiter: κ >0
U
κ→0
I →0
elektrostatisches Feld
J = (κ E ) → 0
ϕ
E
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
+Q
Dielektrikum ε
(κ = 0)
-Q
U
Bild 3-1
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3-2
Elektrostatisches Feld
Beispiele elektrostatischer Felder
E
+
+
+
+
+
+Q
+
+
+
+
+
-Q
-
E
-Q
+Q
Plattenkondensator
kugelsymmetrische Anordnung
+Q hat immer –Q als Partner im Raum
Bild 3-2
3.2 Influenz
+ +
+
+
-Q
+
+
+
+
In einem Leiter im elektrischen
Feld werden Ladungen
getrennt (verschoben):
+
Influenz:
+
+
+
+
+
+Q
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+Q +
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
+
- -Q
-
+
+
+
+
+
+Q +
+
+
+
+
+
-
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
- -Q
-
Bild 3-3
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3-3
Elektrostatisches Feld
Anwendung:
Abschirmung einer Ladung durch kurzzeitig geerdete Metallhülle:
Bild 3-4
Dielektrische Polarisation:
verschiedene Arten der dielektrischen Polarisation:
z.B. atomare Polarisation, Dipol-Polarisation
z.B. in M.Ahlbach:
Grundlagen der
Elektrotechnik 1
Elektret
+
+
+
+
+
+Q +
+
+
+
+
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
Elektretelektrisches Analogon zum Dauermagneten
- -Q
Anwendungen: bei Erfordernis eines elektrischen
Feldes: Luftfilter, Elektret-Mikrofone etc.
-
Dielektrikum
Bild 3-5
3.3 Physikalische Größen des elektrostatischen Feldes
a) Verschiebungsfluss und Verschiebungsflussdichte
Anordnung: Metallhüllen auf Äquipotenzialflächen, im Mittelpunkt Ladung Q
Ladung Q (bzw. ∆Q ) bewirkt in den Metallhüllen (bzw. Teilen der
Metallhüllen) eine Ladungsverschiebung:
∆A
Verschiebungsflussröhre
∆Ψ = ∆Q
• In allen Metallhüllen werden gleiche
Ladungen verschoben.
• Die auf einer geschlossenen Metallhülle
insgesamt verschobene Ladung ist gleich
der umhüllten Ladung.
+Q ∆Q
D
• Ladungsverschiebung bei Q = konstant
ist unabhängig vom Dielektrikum
Verschiebungsflusslinien
(von + nach -)
Definition Verschiebungsfluss Ψ :
(Analogie SF: Strom I )
Ψ=Q
[Ψ ] = [Q ] = 1As
Bild 3-6
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3-4
Elektrostatisches Feld
Spezialfall: homogenes Feld
U
ϕ
E
+
+
+
+
+
+
+Q
U
D
E
ϕ
- +
- +
- + - +
- + - +
-
+
-
-
+
-
- +
- +
- + - +
- + - +
-
+
-
-
+
-
- +
- +
- + - +
- + - +
-
+
-
+
+Q
-Q
Ψ =Q
A
-Q
D=
Q
A
Der Verschiebungsfluss Ψ transportiert (im Gegensatz zum
Strom I im SF) nichts Materielles wie etwa Ladungsträger.
Er überträgt die Wirkung des zugrunde liegenden Kraftfeldes von
einem zu einem anderen Punkt, so dass Ladungen in Leitern, die
in das Feld eingebracht werden, verschoben werden.
Bild 3-7
Grundeigenschaft:
Der Verschiebungsfluss Ψ im nicht leitenden Medium durch eine
geschlossene Hülle H ist gleich der eingeschlossenen Ladung Q:
r r
D
∫∫ dA = Q
H
+Q
dA
Naturgesetz
(Gaußsches Gesetz
der Elektrostatik)
D
Analogie SF:
r r
I ges = ∫∫ J dA = 0
H
Das elektrostatische Feld
ist ein Quellenfeld.
Hüllfläche: H
Bild 3-8
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3-5
Elektrostatisches Feld
Beispielanordnung:
dA
dA
Hüllfläche H: Kugeloberfläche
-Q1
eingeschlossene Ladung: -Q1
D
Bild 3-8
b) Zusammenhang zwischen Verschiebungsflussdichte und Feldstärke
relative Dielektrizitätszahl εr (bei
20°C)
Bariumtitanat
einige 1000
Glas
5…12
Holz
2…7
Papier
1,5…3
Destilliertes Wasser
80
Porzellan
5
Polystyren
2,6
Metalle
1
Silizium
12
Galiumarsenid
Bild 3-9
11
Elektrodenspannung U = const.
Elektrodenladung Q = const.
ε
ε
ε0
ε0
D
E
U = konst.
U
Q, Ψ,D vergrößern sich (E konst.):
ε
ε
E
D
U = konst.
U
a)
IEE
b)
3-9
Bild 3-10
TUD
E,U verkleinern sich (D konst.):
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3-6
Elektrostatisches Feld
c) Bedingungen an Grenzflächen
Grenzfläche zwischen zwei Dielektrika
ε1 > ε 2
ε1
ε1
ε2
ε2
D1n
α1
D2
α2
α1
D2n
E1
D1
a
E2
E2t
b
α2
b
E1t
a
D1n = D2 n
E1t = E2t
tan α1 D1t E2 n ε 1 ε 0ε r1 ε r1
=
=
=
=
=
tan α 2 D2t E1n ε 2 ε 0ε r 2 ε r 2
Ladungsfluss durch Grenzfläche ist stetig.
Grenzfläche ist Quelle (Senke) von Feldlinien.
Spezialfall: Grenzfläche zu Leitern
Leiter mit κ→ ∞:
E=0
Bild 3-11
TUD
IEE
Prof. Merker
+ D
+
+
+
+
E
ε
κ=0
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3-7
Elektrostatisches Feld
d) Kapazität
+Q
+
+
+
D
+
+
ε
Ψ =Q ~U
-Q
-
Ψ
Proportionalitätskonstante: Kapazität C
-
C=
-
Analogie SF:
G=
I
U
(Q ist Ladung auf einer Elektrode)
B
+
A
Definition
der
Kapazität
Q
U
[C ] = [Q] = As = C = F
[U ] V V
U
(Farad )
anschaulich:
C=
Verschiebungsfluss Ψ zwischen den Elektroden A,B mit Ladungen ± Q
Spannung U zwischen den Elektroden A,B
C
Kapazität C ist die Eigenschaft des
Bauelementes Kondensator,Schaltzeichen des Kondensators:
+Q
-Q
U
Bild 3-12
3.4 Berechnung einfacher elektrostatischer Felder
Rechenschema:
r
E
r r
r
E (r ) = − grad ϕ(r )
r
r
D=εE
r
r
r
D
Q =
r r
∫∫ D d A
A
Q, Ψ
r r
r
r
r
ϕ ( r ) = ϕ ( r0 ) − E ( r ′) d r ′
∫
r
r0
r
ϕ(r )
r
r2
r r r
r
r
U rr1 ,rr2 = ϕ ( r1 ) − ϕ (r2 ) = ∫ E ( r ′) d r ′
C=
Ψ Q
=
U U
r
r1
U rr1 ,rr2
U rr1 ,rr2
C=
ε A*
d
* Bemessungsgleichung für homogenes Feld
ε
Q
r r
E D
r
ϕ( r1 )
-Q
A
r
ϕ( r2 )
Bild 3-13
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3-8
Elektrostatisches Feld
a) homogenes Feld (z.B. Feld eines Plattenkondensators)
+Q
+
+
+
+
+
+
D
-Q
-
geg.: A, Q, d,ε
-
ε
ges.: E, ϕ (x), U0d , C
Fläche A
-
+
Plattenabstand d
ϕ (x)
0
x
d
−
Qd
ε A
Bild 3-14
b) Feld einer Punktladung Q (kugelsymmetrisches Feld)
Feldbild:
Berechnung:
r
r2 U rr1 ,rr2
r
r1
dA
r
r ϕ (r )
r
Q
r
r
D
Q
Hülle H
ε
D
r r
r r
r
ges.: D( r ), E ( r ), ϕ ( r )
Äquipotenzialflächen:
konzentische
Kugelflächen
3-14
Bild 3-15
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Elektrostatisches Feld
TUD
IEE
Prof. Merker
3-9
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3 - 10
Elektrostatisches Feld
Anwendung: Berechnung der Kapazität eines Kugelkondensators:
-Q
r
ri
ε
Ersatzladungsanordnung:
Feld einer Punktladung
r
ra
U
r
ri
ε
+Q
U
+Q
r
ra
Äquipotenzialflächen
Bild 3-16
c) Feld einer Linienladung Q (zylindersymmetrisches Feld)
Feldbild:
Berechnung:
r
r
D
r
r
D
r
ϕ (r )
Q
r ges.:
r r r
r
D ( r ), E (r ), ϕ (r )
Q
l
ε
ε
dA
Hülle H
Äquipotenzialflächen:
konzentrische
Zylindermantelflächen
Bild 3-17
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Elektrostatisches Feld
TUD
IEE
Prof. Merker
3 - 11
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3 - 12
Elektrostatisches Feld
Anwendung:
Berechnung der Kapazität eines Zylinderkondensators/Koaxialkabels
Koaxialkabels
1 Innenleiter, 2 Dielektrikum,
3 Außenleiter, 4 Schutzmantel
Ersatzladungsanordnung:
Feld einer Linienladung
r
ri +Q
r
ra
r
ri
r
ra
+Q
ε
ε
Äquipotenzialflächen
U
U
Bild 3-18
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3 - 13
Elektrostatisches Feld
d) Feld zweier paralleler Linienladungen
y
-λ
λ
-a
+λ
λ
a
x
z
y
r
r
E ( r ), ϕ ( r )
y
r r
r − r1
r r
r − r2
r
+λ
λ
-λ
λ
-a
Analogie SF:
entgegengesetzte
Einströmungen in
Linienleiter
rges.:
r1
r2
x
a
x
Bild 3-19
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3 - 14
Elektrostatisches Feld
e) Elektrostatisches Feld und Strömungsfeld treten gemeinsam auf
e) Elektrostatisches Feld und Strömungsfeld treten gemeinsam auf
Material: z.B. Halbleiter
CAB Kapazität der Anordnung im Dielektrikum (ε )
ε
κ
RAB Widerstand der Anordnung im Leiter (κ )
A
B
RAB ⋅ C AB
U Q
=
=
I U
r r
D
∫∫A r dAr = ε = τ
∫∫ J dA κ
τ:
Relaxationszeit
A
ε
=
κ
e
t
h
c
i
d
m
o
r
t
S
τ=
e
t
h
c
i
d
s
s
u
l
f
s
g
n
u
b
e
i
h
c
s
r
e
V
anschauliche Interpretation:
in einem beliebigen Raumpunkt der Anordnung
Bild 3-20
3.5 Kondensatoren
Kondensatoren sind wichtige passive Bauelemente mit Einsatz
z.B. für
• Energiespeicherung (z.B. Blitzgerät)
• Informationsspeicherung (DRAM)
• Sensoren in mikro-elektro-mechanischen
Systemen (MEMS)
Beschleunigungssensors
(Quelle: Bosch)
Klassifikation nach Bauformen/praktische Ausführungsformen:
• Röhrchenkondensatoren
• Scheibenkondensatoren
z.B. in M.Ahlbach:
Grundlagen der
Elektrotechnik 1
• Mehrschichtkondensatoren
mit unterschiedlichen Dielektrika wie Papier, Keramik, Kunststofffolie
Bild 3-21
3.5.1 Bemessungsgleichung (homogenes Feld)
(Herleitung siehe Kapitel 3.4a )
ε
C=
ε A
d
Analogie SF:
G=
κA
l
A
d
Beispiel:
Gegeben ist ein Plattenkondensator mit A = 100cm2, d = 1mm,
Dielektrikum Luft: ε 0 = 8,854 ⋅ 10−12
TUD
IEE
Prof. Merker
As
Vm
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3 - 15
Elektrostatisches Feld
Vm
Achtung: Es existiert eine untere Grenze für den Plattenabstand d . Diese wird von
U
der Durchbruchfeldstärke E BR ≈
des Dielektrikums bestimmt.
d
EBR ist die Feldstärke, bei der eine leitende Überbrückung zwischen den Elektroden
entsteht.
kV
kV
Beispiele: Luft: E BR ≈ 30
Isolator: E BR ≈ 500
cm
cm
Bild 3-22
3.5.2 Zusammenschaltung von Kondensatoren
a) Parallelschaltung
Q
Q
Q2 C
2
Q1 C1
- Q1
C
U
U
- Q2
C=
Q Q1 + Q2
=
= C1+ C2
U
U
-Q
-Q
allgemein:
Q Q
U= 1= 2
C1 C2
n
C = C1 + K + Cn = ∑ Cµ
µ =1
Ladungsteiler:
Die Kapazitätswerte addieren sich bei
parallel geschalteten Kondensatoren.
Q1 C1
=
Q2 C2
Bild 3-23
b) Reihenschaltung
Q1
Q2 -Q2
C2
-Q1
C1
U1
Q
U2
U
U = U1 + U 2
U
Voraussetzung: Es fließen keine Ladungen ab.
C=
Spannungsteiler:
U1 =
Q
C1
U2 =
U 1 C2
=
U 2 C1
-Q
C
Q
C2
U = U1 + U 2 =
1
C1
Q
C1
+
Q
C2
U1
C2
=
=
1
1
U
C1 + C2
+
C1 C2
Q = Q1 = Q2
Q
Q
1
=
=
U U1 + U 2 U 1 + U 2
Q Q
C=
1
1 + 1
C1 C2
allgemein:
n
1
1
=∑
C µ =1 Cµ
Bild 3-24
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3 - 16
Elektrostatisches Feld
Anwendungen:
Beschleunigungssensor
Drehratensensor
Bild: Kammstruktur eines
oberflächenmikromechanisch
en Beschleunigungssensors.
(Quelle: Bosch)
Bild: Funktionsprinzip eines
oberflächenmikromechanischen
Drehratensensors. (Quelle: Bosch)
Bild 3-25
c) RC – Netze bei Gleichspannung
Ersatzschaltbilder für RC-Kombinationen für den stationären Zustand,
d.h. für t → ∞: I (t ) == C d U (t ) = 0
dt
R
C
C
UR = 0
Uc= U
Uc= U
Widerstand durch
Kurzschluss ersetzen
U
U
C
R
R
U= I R
I
Bild 3-26
TUD
IEE
Prof. Merker
Kondensator durch
Leerlauf ersetzen
U= I R
I
3-
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3 - 17
Elektrostatisches Feld
3.6 Verschiebungsstrom
a) Erscheinung und Definition
+Q
H
-Q
ε
H
IV
IK
- Gesetzmäßigkeit:
Jeder Strom wird von einem Magnetfeld umwirbelt.
dQ
≠ 0 gilt: Im Dielektrikum ist ein
dt
- für den Fall
Magnetfeld nachweisbar.
IK Konvektionsstrom
(Ladungsträgerstrom)
• Durch das Dielektrikum fließt ein Strom:
IV Verschiebungsstrom
• Magnetfelder um IK und IV sind gleich groß.
→ IK = IV
Definition des Verschiebungsstromes IV :
IV =
d Ψ dQ
=
dt
dt
Bild 3-27
Verschiebungsstrom bei Auf- und Entladung eines Kondensators:
Aufladung des
Kondensators
dQ
dt > 0
Iv in Richtung
H
von D (E, Ψ)
I=IK
D
U(t )
H
IV
H
I=IK
t
U(t )
D
dQ
dt = 0
U(t )
Iv = 0
t
U(t )
Entladung des
Kondensators
Iv entgegen Richtung
von D (E, Ψ)
dQ
dt < 0
H
D
U(t )
H
IV
I=IK
I=IK
U(t )
TUD
IEE
Prof. Merker
H
t
3-28
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3 - 18
Elektrostatisches Feld
b) Verschiebungsstromdichte
c) Heterostrukturen
IK
ε
I
A
ε
κ
κ
Ersatzschaltung:
R
I
B
A
IV
Materialien (z.B. Halbleiter), die
gleichzeitig Leitfähigkeit κ und
Dielektrizitätskonstante ε besitzen
C
B
C Kapazität der Anordnung
R Widerstand der Anordnung
I = I K + IV
→ an jeder Stelle des Raumes der Heterostruktur gilt:
r r
r
J = J K + JV
r
r
r
dE
J =κ E +ε
dt
Die Gesamtstromdichte ist die Summe aus Stromdichte des
Konvektionsstromes plus Verschiebungsstromdichte.
Bild 3-29
TUD
IEE
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Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3 - 19
Elektrostatisches Feld
Anwendung: Ersatzschaltung einer Anordnung:
Anordnung:
Ersatzschaltung:
d
κ = 0, ε1
I
A1
I
κ , ε2
IV2
C2
IV1
C1
I
A2
I
IK
U(t)
R
U(t)
Bild 3-30
3.7 UI - Beziehung am Kondensator
a) lineare Kapazität
Q
C
I(t)
Q=CU
Annahme: lineare Kapazität C
U(t)
U
I K = IV
Es gilt:
I (t ) = I K = IV =
I (t ) =
dQ
dt
d (C U )
d U (t )
=C
dt
dt
mit Q = C U
folgt:
(C unabhängig von U und t )
Bild 3-31
TUD
IEE
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Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3 - 20
Elektrostatisches Feld
allgemein gilt:
Die Kondensatorladung Q ist immer stetig.*
(besitzt keine Sprünge, darf aber Knickstellen aufweisen)
* rechts- und linksseitiger Grenzwert stimmen überein:
Q (- t0) = Q (+ t0) bei t = t0
für zeitunabhängige Kapazität C gilt:
Die Kondensatorspannung U ist stetig.
Bild 3-32
TUD
IEE
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Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Elektrostatisches Feld
3 - 21
Beispiele:
TUD
IEE
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Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3 - 22
Elektrostatisches Feld
b) RC-Kreis
UR(t)
ges: UC ( t ), I( t )
I(t)
R
Uq(t)
C
UC(t)
Ladevorgang mit Uq ( t ) = U0 (Gleichspannung)
Entladevorgang mit Uq ( t ) = 0
Anfangsbedingung: Kondensatorspannung UC0
Anfangsbedingung: UC0
bei t
=0
= UC ( t0 ),
t0 = 0 Startpunkt der Entladung
=0
UC(t)
UC(t)
U0
UC0
τ
t
t
Bild 3-33
TUD
IEE
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Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3 - 23
Elektrostatisches Feld
3.8 Energie im elektrostatischen Feld
a) Energie
Energiespeicherung im Kondensator ist reversibel:
Ladevorgang:
Annahme: W0 = 0, Q0 = 0
R
Q
C 2
U
2
W = ∫ U dQ′
0
U
C
C 2
U
2
W = QU = CU 2
Kondensator:
C 2
U
2
Q
Q
Q
Q2 C 2
U = , W = ∫ dQ′ =
= U
C
C
2C 2
0
Entladevorgang:
C
Spannungsquelle: U =konst.: W = UQ
R
Gespeicherte Energie im Kondensator
kann zurück gewonnen werden.
Bild 3-31
TUD
IEE
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Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3 - 24
Elektrostatisches Feld
Beispiele für Energiespeicherung:
Energieakkumulation und stoßartige Abgabe
t1
Ri
Uc Ic
Ic
Uc
U0
z.B.
- Blitzgerät
- Kondensatorzündung
- Impulsstromschweißen
t1
t
Bild 3-32
TUD
IEE
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Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3 - 25
Elektrostatisches Feld
b) Energiedichte
Energiedichte
Energie wird im elektrostatischen Feld gespeichert.
Für Volumen ∆ V = ∆ A ∆ l gilt:
∆U
D
∆V
∆A
∆l
∆Ψ=∆Q=D∆A
Bild 3-33
∆W DE
E 2 D2
=
=ε
=
2
2
2ε
∆V →∞ ∆V
Energiedichte w:
w = lim
Gesamtenergie W:
W=
∫∫∫ w dV
V
Beispiele für maximal erreichbare Energiedichten w:
• in Luft: Emax = 30
kV
As
, ε 0 = 8,854 ⋅ 10−12
cm
Vm
V
(3 ⋅ 106 )2
2
Emax
−12 As
m
= 8,854 ⋅ 10
w = ε0
2
Vm
2
µ Ws
Ws
w = 40
= 40
3
m
cm3
kV
As
• in Glas: Emax = 500
, ε 0 = 8,854 ⋅ 10−12
, εr = 8
cm
Vm
w = ε0 εr
2
Emax
Ws
= 8,854 ⋅ 10− 2
2
cm3
Bild 3-37
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3 - 26
Elektrostatisches Feld
3.9 Kraft auf Grenzflächen
3.9.1 Kraft auf leitende Grenzflächen
+Q
+
+
+
+
F
F
-Q
-
Beobachtung:
Kraft F zwischen geladenen
Elektroden, die Anziehung dieser
bewirkt.
Bild 3-38
a) globale Kraftgleichung (F ausgedrückt durch C )
+Q
-Q
Energiebilanz bei Verschiebung
der rechten Platte um dx:
W Feld = WF =
F
dx
Wm = F ⋅ x
Q2
2C
nimmt ab
nimmt zu
Q = konst. → E = konst., D = konst.
Bild 3-39
TUD
IEE
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Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Elektrostatisches Feld
3 - 27
Anwendungen:
Elektrostatischer Motor
Bild 3-40
TUD
IEE
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Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3 - 28
Elektrostatisches Feld
DMD: Digital Mirror Device
digitale Steuerung und Projektion von Licht
- Kantenlänge: 10,8 µm,
- 12° aus horizontaler Ruhelage
kippbar
- einzeln pro Sekunde tausendfach
bewegbar
> 2 Millionen Mikrospiegel
Quelle: BioPhotonik 2008
Spiegelelektrode
Prinzip:
elektrostatische Kräfte
3-37
Bild 3-41
3.9.2 Kraft auf ladungsfreie Grenzflächen
a) quergeschichtete Dielektrika
a) quer geschichtete Dielektrika
Grenzfläche A
dx
I = 0 → Q = konst. → D = konst.
nach Grenzflächenbedingungen nur
Normalkomponenten:
ε1 , V1
D1n = D2 n = D, E1n , E2 n
ε 2 , V2
F
dWF + dWm = 0
D2
D2
dV1 +
dV2 + F dx = 0
2ε 1
2ε 2
D2
D2
Adx −
Adx + F dx = 0
2ε 1
2ε 2
Energiezunahme
p=
Energieabnahme
F D  1 1  E1n E2 n
 − =
=
(ε 1 − ε 2 )
A
2  ε 2 ε 1 
2
2
ε1 > ε 2
dV1 = Adx
Volumenzunahme
dV2 = − Adx Volumenabnahme
Kraftdichte p an Grenzfläche ist Differenz der Energiedichten beider Medien.
Bild 3-42
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3 - 29
Elektrostatisches Feld
b) längsgeschichtete Dielektrika
ε1 > ε 2
b) längs geschichtete Dielektrika
U = konst. → E = konst.
nach Grenzflächenbedingungen nur
Tangentialkomponenten:
E1t = E2t = E , D1t , D2t
ε2
dA′
ε1E 2
A
ε 2E 2
dV2 + F dx = UdQ
2
2
dQ = ( D1 − D2 ) dA′
ε1E 2
2
F=
dV1 +
Adx −
ε1E 2
2
ε 2E 2
A−
2
Adx + F dx = E l E (ε 1 − ε 2 ) b dx
ε 2E 2
2
dx
F
dWF + dWm = dWel
A


F E2
(ε1 − ε 2 ) = D1t D2t  ε1 − ε 2 
p= =
A 2
2  ε1ε 2 
ε1
b
l
U
dV1 = Adx
Volumenzunahme
dV2 = − Adx Volumenabnahme
dA′ = b dx, A = lb
Bild 3-43
c) Schlussfolgerungen
Kraft wirkt immer senkrecht auf die Trennfläche der Dielektrika in Richtung des Mediums mit
der kleineren Permittivität
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
3 - 30
Elektrostatisches Feld
3.10 Zusammenfassung
Elektrostatisches Feld und Strömungsfeld
Korrespondenzen
elektrisches Strömungsfeld
elektrostatisches Feld
Feldstärke E
Verschiebungsfluss Ψ
E istr wirbelfrei
r
∫ E dr = 0
Feldstärke E
Strom I
Verschiebungsflussdichte D
Stromdichte J
D=εE
J=κE
Kapazität C
Leitwert G
Unterschiede
r r
D hat Quellen:
∫∫H D dA = Q
ε variiert:
10-11…10-7 As/Vm
(4 Dekaden)
Es gibt kein Medium mit ε = 0.
r r
J ist quellenfrei:
∫∫H J dA = 0
κ variiert:
10-17…108 A/Vm
(25 Dekaden)
Es gibt Nichtleiter mit praktisch κ = 0.
Bild 3-44
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
4-1
4. Magnetfeld
4.1 Wesen des magnetischen Feldes
Auftreten von Magnetfeldern z.B.:
- in der Umgebung von Naturmagneten:
- in der Umgebung elektrischer Ströme
(Jeder elektrische Strom ist von einem
Magnetfeld umwirbelt.)
N
S
N
NS
S
- in der Umgebung der Erde:
H
I
Quelle: http://www.polarlichtinfo.de/cms/front_content.php?idcat=59
4-1
Bild 4-1
4.2 magnetische Feldgrößen
r
4.2.1 magnetische Feldstärke H , Durchflutungsgesetz
Jeder elektrische Strom ist von einem Magnetfeld umwirbelt:
I
(rechte Handregel)
H
I
H
H
I
stromdurchflossener Leiter
stromdurchflossene Spule
Bild 4-2
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
4-2
Magnetisches Feld
Durchflutungsgesetz (Naturgesetz):
r
Das Umlaufintegral über die magnetische Feldstärke H auf einem
geschlossenen Weg c ist gleich dem Gesamtstrom (Durchflutung) Iumf
durch eine beliebige in c eingespannte Fläche A.
J
r r
r r
∫ H d r = ∫∫ J dA = I
c
umf
dA
A
A
mit
r
r r
r
r
dD
J = J K + JV = J K +
dt
c
folgt:
r
r r
r
dD r
∫c H d r = ∫∫A ( J K + dt ) dA
H
ε, κ
Durchflutungsgesetz
(1. Maxwellsche Gleichung,
Integralform)
Bild 4-3
Spezialfall: Durchflutung bei stromführenden Leitern:
Beispiel:
I2
I1
I3
dA
A1
c
A2
H
A3
Verallgemeinerung:
Θ=
∫
r r
Hdr =
c
IEE
Iν = I
∑
ν
=1
umf
Die Durchflutung Θ ist gleich der vorzeichenbehafteten Summe Iumf aller umfaßten Ströme.
4-
Bild 4-4
TUD
n
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
4-3
Magnetisches Feld
4.2.2 Berechnung einfacher Magnetfelder
κ
J
r
r
I
geg.: nebenstehende vom Strom Ι
durchflossener Anordnung,
Stromdichte J
r r
r r
H (r )
ges.: magnetische
r Feldstärke H (r )
im Raumpunkt r
Bild 4-5
a) Berechnung mittels Durchflutungsgesetz
Beispiele:
1. linienhafter Leiter
z
I
I
y
r
dr
v
eLv r
er r
c
r r
H (r )
c
r
r
x
r r
H (r )
y
r
eL
r r
eL ×er
0r
er
r
r
r r
H (r )
r
r
H y ey
H x ex r
r
x
Bild 4-6
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
4-4
TUD
IEE
Magnetisches Feld
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
4-5
Magnetisches Feld
2. zylindrischer Leiter
y
I
R
r
x
c
z
A
A´
Bild 4-7
Anwendung: Kompassmissweisung durch stromführendes Kabel im Meer
Anordnung: Ein einpoliges Seekabel führt von Süden nach Norden einen
Gleichstrom von I = 1kA und liegt in einer Tiefe von h = 30m.
r
x
HE
r
H
z
y
x
h
y
ges.:
Um wieviel Grad α
weicht der Kompass im
Schiff von der S-NRichtung ab?
r
Ar
Magnetfeld der Erde: H E = 16 e z
m
Ν
S
α
r
HK
I
Lösung:
Ν
S
r
1. Berechnung der Feldstärke HK an der Wasseroberfläche herrührend vom Kabel
r r
r r
I r r
I
H K (r ) =
(eL × er ) =
( eL × r )
2
2π r
2π r
mit
r r
eL = e z
 x
r  
und r =  y 
 
0
Bild 4-8
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
4-6
Magnetisches Feld
r
ex
r r
eL × r = 0
r
ey
r
ez
− y
r
r  
1 = − y ex + x e y =  x 
 0 
0
 
0
x
y
r
H K ( x , y ,0 ) =
− y
 
x 
2
2 
2π ( x + y )  
 0 
I
r
Für die Feldstärke HK an der Wasseroberfläche (x = h) im Schiff über dem Kabel
(y = 0) folgt:
r
H K (h,0,0) =
 0
 
I
I r
ey
 h =
2
2π (h + 0)   2π h
 0
r
Ar
H K (h,0,0) = 5,3 e y
m
Für den Winkel α folgt:
Ν
S
r
Ar
H E = 16 ez
m
A
m
tan α =
= 0,33 → α = 18,3°
A
16
m
Ν
S
5,3
α
r
Ar
H K = 5,3 e y
m
Bild 4-9
3. Paralleldrahtleitung
y
r r
H 1 (r )
r r
r − r2
I2 = I
r
r2
-a
r r
H 2 (r )
r
r
r − r1
r
r H (rr )
r
r1
I1 = I
a
x
Bild 4-10
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
4-7
Magnetisches Feld
4. Zylinderspule der Länge l mit w Windungen
l
c1
A
r
H
B
c2
Bild 4-11
b) Berechnung der magnetischen Feldstärke mit dem Biot-Savartschen Gesetz
Biot-Savartsches Gesetz
geg.:
vom Strom I durchflossener r
linienhafter Leiter (Raumkurve r ′(λ ) )
ges.:
r r
H (r )
magnetische Feldstärke
r
im Raumpunkt r
r
dr′
I
r r
H (r )
r
a
r
r′
r
r1
r
r2
r
r
0
Bezugspunkt
Lösung: Biot-Savartsches Gesetz:
r r
I
H (r ) =
4π
r
r2
r r
d r′ × a
I
∫rr a 3 = 4π
1
r
r2
r r r
d r ′ × ( r − r ′)
∫rr rr − rr′ 3
1
r
r r r
r
a = r − r ′ : Abstandsvektor von r nach r ′
r
r ′(λ) : Raumkurve, die den Leiter beschreibt
r
r ∂ r ′(λ )
dr′ =
dλ : Linienelement des Leiters
∂λ
Bild 4-12
4-12
Beispiele:
1. Magnetfeld eines geraden Leiterstückes
z
r r
z2
I
r
r′
z1
y
r
r
0
ges.: Magnetfeld H (r ) auf x –Achse
herrührend von dem geraden vom
Strom I durchflossenen Leiterstück auf
der z –Achse
r r
H (r )
x
Bild 4-13
TUD
IEE
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4-8
Magnetisches Feld
z
z2
y
I
r r
H (r )
x
- z2
TUD
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4-9
Magnetisches Feld
z
I
y
r r
H (r )
x
z
y
I
r r
H (r )
x
-b
Bild 4-14
2. Kreisring in der yz-Ebene mit Radius R
ges.:
r
r
Magnetfeld H (0,0,0) im Raumpunkt r = (0,0,0)
herrührend von dem vom Strom I durchflossenen
Kreisring in der y z –Ebene
y
I
r
r′
(0,0,0)
r
d r′
x
R
y
I
z
λ
r
r′
R
z
Bild 4-15
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4 - 10
Magnetisches Feld
4.2.3 Weitere magnetische Feldgrößen
a) magnetische Spannung
magnetische Spannung V
c
r
r2
r
r1
r
H
r
Vrr1 rr2 =
r
r2
r r
H
∫ d r,
[V ] = A
r
r1 ,c
0 (Bezugspunkt)
r
H
r r
H
∫ dr =
c1
I c2
c1 , c2
r r
H
∫ dr+
r
r1 , c1
r
r1
r r
H
∫ dr =I
r
r2 ,c2
(Die Addition der magnetischen Spannungen in
einem geschlossenen Umlauf c=c1+c2 ergibt die
Summe der eingeschlossenen Ströme.)
r
r2
r
r1
r
r2
0
r
r2
Schlussfolgerungen:
- das Integral
r
r
∫H dr
ist i.a. vom Weg c abhängig
r
r1 , c
- die magnetische Feldstärke hat i.a. kein skalares Potenzial
4-16
b) magnetischer Fluss und magnetische Flussdichte
magnetischer Fluss Φ
I
∆Φ
∆A
∆A
∆Φ
Bild 4-17
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4 - 11
Magnetisches Feld
Kontinuität der magnetischen Flussdichte B:
Der Gesamtfluss durch eine geschlossene Hülle ist stets NULL:
r r
B
∫∫ dA = 0
Naturgesetz
H
B
dA
dA
B
Hüllfläche: H
Das Feld der magnetischen Flussdichte ist quellenfrei.
Folgerung: Es gilt der Knotenpunktsatz.
Bild 4-18
c) Zusammenhang zwischen magnetischer Feldstärke und magnetischer
Flussdichte
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4 - 12
Magnetisches Feld
Einteilung der Materialien in:
• nicht ferromagnetische Materialien
µr
diamagnetische Stoffe
Kupfer
0,999 990
Quecksilber
0,999 975
Silber
0, 999 981
Wasser
0,999 991
µr
paramagnetische Stoffe
Aluminium
1,000 022 0
Sauerstoff
1,000 001 3
Platin
1,000 360 0
Zinn
1,000 003 8
B = f(H)
B
H
Bild 4-19
•
ferromagnetische Materialien
Weiß‘sche Bezirke
Blochwände
H
ohne äußeres
Magnetfeld
schwaches äußeres
Magnetfeld
H
starkes äußeres
Magnetfeld
Bild 4-20
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4 - 13
Magnetisches Feld
µr
ferromagnetische Stoffe
Eisen, rein
200…2 000
Mumetall (76% Ni, 5% Cu, 3% Mo, Fe Rest)
25 000
Supermalloy (80% Ni, 16% Fe, 4% Mo)
130 000
B = f(H) Hysteresekurve
B
Sättigung (H~B)
Bs
Anwendung:
magnetischer Fluss statischer und
niederfrequenter Magnetfelder
konzentriert sich im Stoff
A:
Br :
Hc:
Bs:
Br
Hc
A
unmagnetischer Zustand
Remanenzflussdichte
Koerzitivfeldstärke
Sättigungsflussdichte
H
Neukurve
Sättigung (H~B)
Anwendung:
Magnetische Remanenz bildet Basis für alle
Speicherverfahren auf Magnetismusbasis
(z.B. Festplatten, Magnetbänder)
4-21
d) magnetischer Widerstand
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4 - 14
Magnetisches Feld
e) Rechenschema
Berechnung elementarer magnetischer Felder, magnetischer Kreise
Vrr1 ,rr2
Rm =
Rm =
V
Φ
r
r2
r r
Vrr1 ,rr2 = H d r ′
∫
l *
r
r1
µA
Φ=
Φ
r
r
∫∫ B dA
r
B
A
r
r
B=µH
r
H
Spezialfall Durchflutungsgesetz:
I umf
r r
= H dr =
* Bemessungsgleichung für homogenes Feld
∫∫
r
J,I
A
Vrr1 ,rr2
r r
B H
Φ
∫
r r
JdA
Φ
A
Bild 4-22
Beispiel:
Beispiel: Berechnung des magnetischen Flusses durch eine
rechteckige Leiterschleife auf der x -Achse im Feld eines Linienleiters
z
r
dA
I
h
y
r
H
x1
x2
x
Bild 4-23
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4 - 15
Magnetisches Feld
4.3 Magnetische Kreise
4.3.1 Grundgesetze
a) Durchflutungsgesetz
Eisen
I
kleiner Luftspalt
w
w Windungszahl
Φ
I
B
c2
w
A
c1
Bild 4-24
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4 - 16
Magnetisches Feld
Beispiel:
magnetischer Kreis:
elektrische Ersatzschaltung:
I
Rm1
w
Φ
Rm2
Rm4
Rm3
Bild 4-25
b) Kontinuitätsgesetz
Hüllfläche: H
dA
Φ1
A1
A3
Φ2
A2
r r
r r
r r
r r
0 = ∫∫ B dA = ∫∫ BdA + ∫∫ BdA + ∫∫ BdA
H
Φ3
A1
A2
A3
0 = − Φ1 + Φ 2 + Φ 3
Bild 4-26
4.3.2 Beispiel für die Berechnung magnetischer Kreise
µ, A
Φ1
Φ
Rm =
I
w
a
µA
a
gesucht: Φ1
a
a
Lösung:
Φ1
Rm 2
=
Φ Rm 2 + Rm 3
elektrische Ersatzschaltung:
Rm1 = 3Rm
Φ
Φ1
Rm 2 = Rm
Iw
Φ=
Rm 3 = 3Rm
Φ1 =
wI
Rm1 + Rm 2 Rm 3
wI
Rm 2
(Rm1 + Rm2 Rm3 ) (Rm2 + Rm3 )
Bild 4-27
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4 - 17
Magnetisches Feld
4.4 Induktion von Spannung
4.4.1 Induktionsgesetz
Induktionsgesetz:
dB
<0
dt
B
dB >0
dt
E
B
Ändert sich die magnetische
Flussdichte über der Zeit so ist
sie von einem elektrischen
(Wirbel-) Feld E umgeben.
E
r
r r
∂B r
E
d
r
=
−
∫c
∫∫A ∂t dA
Umlaufintegral der
elektrischen Feldstärke auf
geschlossenem Weg c
Induktionsgesetz (2. Maxwellsche
Gleichung, Integralform)
Flächenintegral der
Flussdichteänderung durch
eine auf c aufgespannte
Fläche A
(Richtung: Rechtsschraube)
B
dA
A
c
E
4-28
Bild 4-28
Längs des geschlossenen Weges c tritt eine Induktionsspannung Ui auf.
Sie ist das Wegintegral der induzierten elektrischen Feldstärke:
r
r r
∂B r
U i = ∫ E d r = − ∫∫ dA
∂t
c
A
Lenzsche Regel:
dB >0
dt
H
dB
dt <0
B
I
B
Wird die sich ändernde magnetische
Flussdichte durch eine Leiterschleife
umschlossen, so entsteht in dieser
Leiterschleife ein Induktionsstrom I.
H
Der Induktionsstrom I bewirkt ein
Magnetfeld H, das der
Flussdichteänderung entgegenwirkt.
H
I
H
Bild 4-29
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4 - 18
Magnetisches Feld
Beispiel:
B(t)
I(t)
A
dB >0
dt
Strom I1 in
Leiterschleife?
dB
<0
dt
A
A
I1
I1
Strom I so gerichtet, dass sein Magnetfeld der
Erhöhung
Verringerung
von B in Leiterschleife entgegen wirkt.
4-30
Bild 4-30
4.4.2 Ruheinduktion
a) induzierte Spannung in einer Leiterschleife (w = 1)
Anordnung: Ruhende Leiterschleife (mit vernachlässigbarer kleiner
Öffnung) in einem zeitlich sich ändernden B - Feld
r
r r
∂B r
U i = ∫ E d r = − ∫∫ dA
∂t
c
A
B·
dA
mit A = konstant folgt:
r
r r
∂B r
d
dΦ
− ∫∫ dA = − ∫∫ B dA = −
∂t
dt A
dt
A
c
E
r r
dΦ
Ui = ∫ Ed r = −
dt
c
Bild 4-31
dΦ >0
dt
Φ
Ersatzschaltung
A
c1
E
c2
+A
- UAB
B
= - Ui
Φ·
UAB
B
(Integrationsweg c, Rechtsschraube)
Bild 4-32
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4 - 19
Magnetisches Feld
b) induzierte Spannung bei mehrfachem Umlauf (w > 1)
Induktionsfluss Ψ
Ψ = ∑ Φn
Φ1
n
A1
A2
Φn: von der n-ten Windung
umfasster magnetischer Fluss
Φ2
Φ
Spezialfälle:
• alle w Windungen umfassen den
magnetischen Fluss Φ
Ψ = wΦ
Φ
• nur eine Windung
Ψ =Φ
Bild 4-33
Induzierte Spannung bei mehrfachem Umlauf (w > 1)
·
Φ
A
·
Φ
1
A1
A2
·
Φ
2
U AB = ∑
ν
UAB
für
B
d Φv d Ψ
=
dt
dt
Ψ = wΦ
U AB = w
gilt:
dΦ
dt
Bild 4-34
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4 - 20
Magnetisches Feld
c) Berechnung der Induktionsspannung bei Ruheinduktion
Anordnung: Leiter, in dem Spannung UAB erzeugt wird, umfasst ein
zeitlich sich änderndes Magnetfeld
U AB =
d Ψ (t )
dt
Ψ (t )
Ψ (t ) = ∑ Φ n (t )
n
Ψ (t ) = w Φ (t )
Φ (t ) =
Φ (t )
∫∫
A
r
r
B ( t ) dA r
r
r
B (t ) = µ H (t )
B (t )
r
H (t )
r
r
I umf (t ) = H (t ) d r
∫
I (t )
Bild 4-35
Beispiel:
Beispiel: Berechnung der Spannung UAB an der rechteckigen
Leiterschleife im zeitl. sich ändernden Magnetfeld eines Linienleiters
z
I
B
h
A
y
r
H
x1
x2
UAB
x
4-36
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4 - 21
Magnetisches Feld
4.4.3 Bewegungsinduktion
a) Kraft auf Ladung im Magnetfeld –Lorentzkraft
r
r
Auf eine sich mit der Geschwindigkeit v in einem konstanten Magnetfeld B
bewegende Ladung Q wird eine Kraft
(
r
r r
F =Q v×B
)
Lorentzkraft
ausgeübt.
rechte Handregel für Richtung:
B
v
Q
Wirkung F (Mittelfinger)
Vermittlung B (Zeigefinger)
F
Ursache v
(Daumen)
Bild 4-37
b) induzierte Spannung an einem bewegten Leiter in einem konstanten
Magnetfeld
B
Eel
-
B
Fel
Fm
v
c
+
A
Bild 4-38
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4 - 22
Magnetisches Feld
Spezialfälle:
Spezialfälle: Leiter der Länge l, B homogen, v konstant
2.
1.
3.
v
B
r r
v×B
v
B
B
B
v
B
A
A
r r r
r
B, v × B ↑↓ dr
r
v
B
r r
v×B
r
v
UAB = v B l
A
r r r
r
B , v × B dr
r r r
r
v ↑↑ B, v × B = 0
UAB = 0
UAB = 0
Bild 4-39
c) Beispiele
• bewegte Leiterschleife in einem zeitlich konstanten Magnetfeld
z
h
r
r
v = v ex
r
d r1
r
r
B = Bey
r
d r2
I
r r
r
v × B = v B ez
D
E
A
y
F
ri
ra
gesucht: induzierte Spannung UAB
A( c )
UAB
B
c: A→ D → E → F →G
x
D
E
F
r r r
r r r
r r r
U AB = − ∫ (v × B ) d r − ∫ (v × B ) d r − ∫ (v × B ) d r
A
r r
r
(v × B) ↑↑ d r1
U AB = −v B (ra ) h
U AB
v hµ 0 I  1 1 
 − 
=
2π  ri ra 
B
r r r
U AB = − ∫ (v × B ) d r
Lösung:
D
E
=0
−0
r r
r
(v × B) ↑↓ d r2
+ v B (ri ) h
B
r r r
− ∫ (v × B ) d r
F
=0
−0
B (x ) = µ 0
I
2πx
(siehe 4.2.3 e))
ri = vt , ra = vt + ( ra − ri )
4-40
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4 - 23
Magnetisches Feld
•
Unipolarmaschine
A
Unipolarmaschine
B
B homogen
UAB < 0
A
-
UAB > 0
+
ω
B
A
-
+
B
ω
v
F
B
B
F
v
Bild 4-41
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4 - 24
Magnetisches Feld
4.5 Selbst- und Gegeninduktion
Φ21(t)
Spule (2)
w2
U2
H1(t)
I1(t)
w1
U1
Φ11(t)
Spule (1) =
Erregerspule
I1(t) → H1(t) → B1(t)
Φ11(t) → U1(t)
Selbstinduktion
Φ21(t) → U2(t)
Gegeninduktion
Bild 4-42
4.5.1 Selbstinduktion, Induktivität
a) Definition der Induktivität L
L=
Ψ
=
I
Induktionsfluss Ψ durch die vom Strom I umschlossene Fläche
erregender Strom I
[L] = [Ψ ] = Vs = Ω s = H (Henry)
[I ] A
Bauelement:
I
Spule:
L
mit Induktivität L
Bild 4-43
Selbstinduktion, Induktivität
U AB =
d Ψ (t )
dt
L=
Ψ (t )
Ψ (t ) = ∑ Φ n (t )
L=
Ψ
I
w2
Rm
linearer Fall: Ψ ∼ I
n
Ψ (t ) = w Φ (t )
Φ (t ) =
Φ (t )
r
r
∫∫ B(rt ) dA
A
B (t )
r
r
B (t ) = µ H (t )
r
H (t )
r
r
I umf (t ) = H (t ) d r
∫
I (t )
Bild 4-44
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4 - 25
Magnetisches Feld
b) Bemessungsgleichung der Induktivität
Φ
I
w
Rm : magnetischer Widerstand, der
von den Windungen w umschlungen
wird
Bild 4-45
Beispiel: Bestimmung der Induktivität einer Eisendrossel mit Luftspalt
µ, A
lE : mittlere Eisenlänge
I
w
lF : Luftspaltlänge
Bild 4-46
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4 - 26
Magnetisches Feld
c) Strom-Spannungsbeziehung an der Spule (Induktivität)
Beispiel:
Anschalten einer Gleichspannung an eine Spule bei t = 0
t=0
geg.: Strom I(t) = I0 für t ≤ 0
I(t)
ges.: Strom I(t) für t > 0
U0
I0
Bild 4-47
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4 - 27
Magnetisches Feld
d) Reihen- und Parallelschaltung von nicht gekoppelten Spulen
I 1 L1
Ln
U1 U2
Un
I
L
U
dI (t )
U =L
dt
U = U 1 + U 2 + KU n
L
I 2 L2
I
dI (t ) n
dI (t ) dI (t ) n
= ∑ Li
=
∑ Li
dt
dt
dt i =1
i =1
I n Ln
…
…
…
L 1 L2
I = I1 + I 2 + K I n
dI (t ) n dI (t )
=∑
,
dt
dt
i =1
n
U
U
=∑
L i =1 Li
n
1
1
=∑
L i =1 Li
n
L = ∑ Li
i =1
nicht gekoppelte Spulen verhalten sich bei der Zusammenschaltung wie Widerstände
4-48
Bild 4-48
4.5.2 Gegeninduktion, Gegeninduktivität
a) Definition der Gegeninduktivität M
Fall 1:
Fall 2:
Φ21(t)
(2)
Induktions
spule
Φ22(t)
(2) Erregerspule
w2
w2
I2(t)
I1(t)
w1
(1) Erregerspule
Φ11(t)
w1
Φ12(t)
(1)
Induktions
spule
Bild 4-49
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4 - 28
TUD
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Magnetisches Feld
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Magnetisches Feld
4 - 29
Spezialfälle der Kopplung von Spulen:
ideale Kopplung:
k 21 = k12 = 1 ⇒ k = 1 ⇒ M 2 = L1 L2
keine Kopplung:
k 21 = k12 = 0 ⇒ k = 0 ⇒ M 2 = 0
(auch bei Abschirmung und großer Entfernung)
Bild 4-50
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4 - 30
Magnetisches Feld
b) Zwei gekoppelte Spulen (Zweitor)
I1
I2
L1
L2
gleichsinnige Kopplung
gegensinnige Kopplung
M >0
M <0
Punkte charakterisieren Windungsanfang
gleichsinnige Kopplung
gegensinnige Kopplung
I2
Ψ21
I1
I2
Ψ21
I1
Ψ12
Ψ12
Bild 4-51
c) Beispiel zur Bestimmung von Induktivität und Gegeninduktivität zweier
gleichsinnig gekoppelter Spulen
Φ11 + Φ12
I2
I1
w2
w1
a
Φ21 + Φ22
a
a
Bild 4-52
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Magnetisches Feld
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4 - 31
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4 - 32
Magnetisches Feld
4.5.3 Strom- Spannungsbeziehungen an Gegeninduktivitäten
a) Grundgleichungen
M >0
U1
I1
I2
L1
L2 U2
w1
Wirkungsschema:
w2
Ψ1
Ψ11
Ψ12
w1
I1
r
H1
r
B1
w1
Φ11
Φ12
Φ 21
r
B2
r
H2
I2
Φ 22
w2
w2
Ψ21
Ψ22
Ψ2
Bild 4-53
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4 - 33
Magnetisches Feld
Beispiele für Spezialfälle:
M >0
Beispiele für Spezialfälle:
1. Spannungsbeziehung bei ausgangsseitigem Leerlauf:
dI
dI
I 2 (t ) = 0 ⇒ U1 = L1 1 , U 2 = M 1
dt
dt
U1 L1
L1
1 L1 ü
=
=
=
=
U 2 M k L1 L2 k L2 k
für
Rm1 = Rm 2 = Rm :
ü=
L1
w
w
, L1 = 1 , L2 = 2
L2
Rm
Rm
2
2
⇒
U1
I1
I2
L1
L2 U2
w1
w2
ü: Übersetzungsverhältnis
w
⇒ ü= 1
w2
k : Koppelfaktor
2. Strombeziehung bei ausgangsseitigem Kurzschluss:
U 2 (t ) = 0 ⇒ M
dI1
dI
= − L2 2
dt
dt
L2
I 2 (t ) + I 0
M
I1
L
L2
1
=− 2 =−
=−
I2
M
k
k L1 L2
⇒
I1 (t ) = −
L2
1
=−
L1
ük
4-54
b) Reihenschaltung gekoppelter Spulen
Reihenschaltung gekoppelter Spulen:
gleichsinnige Kopplung:
I1
I
L1 I2
L2
U1
U2
I
L
U
U
U = U1 + U 2
I = I1 = I 2
dI1
dI
dI
dI
+ M 2 + L2 2 + M 1
dt
dt
dt
dt
dI
U = (L1 + L2 + 2M )
dt
U = L1
U =L
dI
dt
L = (L1 + L2 + 2M )
Bild 4-55
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4 - 34
Magnetisches Feld
gegensinnige Kopplung:
I1
I
L1
L2
U1
U2
I2
I
U
U
U = U1 − U 2
L
I = I1 = − I 2
dI1
dI
dI
dI
+ M 2 − L2 2 − M 1
dt
dt
dt
dt
dI
U = (L1 + L2 − 2 M )
dt
U = L1
U =L
dI
dt
L = (L1 + L2 − 2 M )
Bild 4-56
4.6 Energie und Kräfte im Magnetfeld
4.6.1 Energie und Energiedichte
a) Energie
dW
dt
dW = U I dt
P =U ⋅I =
I
P
U
w
U=
Ψ = w⋅Φ
dΨ
dt
dW = I dΨ
Ψ
W (Ψ ) = W (Ψ1 ) + ∫ I dΨ ′
Ψ1
Energie bei
Induktionsflussänderung von
Ψ1 auf Ψ.
Energie geht vom Stromkreis in das magnetische Feld der Spule und wird dort
gespeichert.
Bild 4-57
Spezialfall:
• linearer I-Ψ- Zusammenhang: Ψ = LΙ
• Induktionsflussänderung von 0 auf Ψ durch Stromerhöhung von 0 auf Ι
• W(0) = 0
I
Für diesen Spezialfall gilt:
W = ∫ I ′ L dI ′ = L
0
I2
2
Die in der Spule mit der Induktivität L gespeicherte Energie:
W =L
I 2 Ψ2
=
2
2L
Analogie ESTF: W = C
U2
2
Bild 4-58
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4 - 35
Magnetisches Feld
b) Energiedichte
B
∆W
∆A
∆Ψ 2
∆W =
2L
∆Ψ = w ∆Φ = w B ∆ A
∆l
L=
∆Φ = B ∆ A
∆W =
Energiedichte:
w=
mit
und
w2 w2
=
µ ∆A
Rm ∆l
folgt:
w 2 B 2 ∆ A2
B2
∆
l
=
∆V
2 w2 µ ∆ A
2µ
∆W B 2 HB
=
=
∆V 2µ
2
Analogie ESTF:
w=
DE
2
Bild 4-59
4.6.2 Kraftwirkungen im Magnetfeld
a) globale Kraftgleichung (F als Funktion von I und L)
F
I
L
Prinzip der virtuellen Verschiebung:
dWel = dWmag + dWmech
L
UIdt = d ( I 2 ) + Fdx
2
mit Udt = d Ψ = d ( LI ), I = konst.
I
U
dWel
dx
F
folgt:
I2
dL + Fdx
2
Kraft wirkt immer in
I 2 dL
Richtung einer
F=
2 dx
Induktivitätsvergrößerung
I 2 dL =
I
Bild 4-60
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
4 - 36
Magnetisches Feld
Beispiel: Elektromagnet
I
lE : mittlere Eisenlänge
w
F=
L=
w2
,
Rm
l Fe
+ 2x
µr
2x
Rm =
+
=
µ0 µr A µ0 A
µ0 A
F
l Fe
x
F=−
I 2 dL
,
2 dx
( Iw) 2 µ 0 A
I 2 w2 µ0 2 A
=
−
2
2
∗
2 l
l Fe
+ 2x

 Fe + 2 x 
 µr

(
Kraft wirkt in Richtung einer
Induktivitätsvergrößerung, d.h.
x-Verkleinerung bzw.
Verkürzung der Feldlinien
)
Bild 4-61
b) lokale Kraftgleichung (F als Funktion von H und B)
µ1 < µ 2
Annahme:
µ2
µ1
r r
Energiebilanz bei Verschiebung um dx:
F
dWmag + dWmech = 0
BH
dV + Fdx = 0
2
BH
→F=
A
2
dx
p=
r
homogenes B -Feld, B, H zeitlich konstant
→ Φ = konst. (abgeschlossenes System)
B
F BH
=
A
2
dV = − Adx
(Volumenabnahme)
Kraft pro Fläche, Druck auf Grenzfläche,
Energiedichte, mechanische Spannung
Bild 4-62
Spezialfälle:
quergeschichtetes Medium:
längsgeschichtetes Medium:
µ1 < µ 2
Bn1
Bn2
F
µ2
µ1
µ2
F
Bn1 = Bn 2 = Bn
F 1
p = = Bn2
A 2
µ1
Ht1
µ1 < µ 2
Ht2
H t1 = H t 2 = H n
 1
1 
 −

 µ1 µ 2 
p=
F 1 2
= H t (µ1 − µ 2 )
A 2
Kraft wirkt immer in Richtung des Mediums mit dem kleineren µ.
Bild 4-63
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
4 - 37
Magnetisches Feld
c) Kraft auf bewegte Ladungen im Magnetfeld
(siehe Kapitel 4.4.3a) Lorentzkraft)
d) Kraft auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld
Kraft auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld
Ein gerader Leiter der Länge l befindet sich in einem homogenen Magnetfeld mit der
Flussdichte B und wird vom Strom Ι durchflossen:
r
l
I
(
r r
r
F = I l ×B
B
)
Kraft auf Leiter
r
l : Vektor der Länge l und der Richtung
F
des Stromes Ι
r
Spezialfall: l
r
B
F = IlB
Bild 4-64
Anwendung:
µ0
I1 → H 1 =
l
l
B1
I1
2π r
F1 = I 2 B1l = µ 0
→ B1 = µ 0
I1
2π r
I1 I 2l
2π a
Größenwerte:
H1
I 1 = I 2 = 100 A, a = 1cm, l = 1m
H2
F2
I1
F1 = 0,2 N = F2
F1
I2
r
a
• Leiter mit gleichsinnigen Stromfluss ziehen einander an.
• Leiter mit ungleichsinnigen Stromfluss stoßen einander ab.
Bild 4-65
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
4 - 38
Magnetisches Feld
5. Wechselseitige Verkopplung des elektrischen und des magnetischen Feldes
Maxwellsche Gleichungen in Integralform
1. Maxwellsche Gleichung (Durchflutungsgesetz)
r
r r
r r
dD r
H
d
r
=
J
d
A
+
∫
∫∫A
∫∫A dt dA
2. Maxwellsche Gleichung (Induktionsgesetz)
r
r r
∂B r
∫ E d r = − ∫∫A ∂t dA
Nebenbedingungen:
∫∫
H
r r
D dA = Q = ∫∫∫ ρ dV
V
(D-Feld hat Quellen)
r r
B
∫∫H dA = 0
(B-Feld ist quellenfrei)
Materialgleichungen (für isotrope und ruhende Materialien):
r
r
J = κ E,
r
r
D=εE
r
r
B=µ H
Bild 4-66
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript »Elektrische und magnetische Felder«
Anhang
A1
Mathematische Grundlagen
1. Ortsvektoren
a) Darstellung
- im kartesischen Koordinatensystem
z
z
z
ey
ez
ex
y
y
r
x
y
ez
x
ex
ex , ey , ez … Einheitsvektoren
x
in x, y, z –Richtung mit
Ortsvektor:
r
r
r
ex = e y = ez = 1
r = x ex + y ey + z ez
Betrag des Ortsvektors:
I r I = r = x2 + y2 + z2
Bild A-1
- im Kugelkoordinatensystem
z
z
y
r
r = I r I er = r er
y
er
x
x
er … Einheitsvektor
in Richtung des Ortsvektors
r
r
r
r
r
r r x ex + y e y + z ez
er = =
r
x2 + y 2 + z 2
Bild A-2
TUD
IEE
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Vorlesungsskript » Elektrische und Magnetische Felder «
A2
Anhang
b) Anwendung zur Beschreibung von Kurven c
Beispiele:
Richtung
Beschreibung der Kurve c:
y
1.
b
c
r
r
r
r
r = x1ex + λe y
Parameter λ : a K b
Richtung
a
x
x1
2.
Beschreibung der Kurve c:
y
r
r
r
r = x1ex + λe y
b
c
r
Parameter λ : b K a
a
x
x1
Bild A-3
3.
y
R
Beschreibung der Kurve c:
c
r
r
r
r = xex + ye y
y
r α
x
xR
R
x
x
y
y
cos α = r = , sin α = r =
r
R
r
R
r
r
r
r = R cos α ⋅ ex + R sin α ⋅ e y
Parameter α : 0 Kπ
Bild A-4
Allgemeine Beschreibung einer Kurve c :
z
r(λ)
c
r
r
r
r
r (λ ) = x (λ ) e x + y (λ ) e y + z (λ ) e z
y
λ : a...b
ez
ex
x
Bild A-5
TUD
IEE
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Vorlesungsskript » Elektrische und Magnetische Felder «
A3
Anhang
2. Verknüpfung von Vektoren
r
b
r r
α α = (a, b )
r
a
- Skalarprodukt:
rr r r
r r
a b = a b cos (a , b )
rr rr
ab =b a
r r
Beispiele: ex ex = 1
r
ex
r r
ex e y = 0
r
ey
r
ex
r
ex
Berechnung:
r
r
r
r
r
r
a = a1ex + a2 e y , b = b1ex + b2 e y
(
)(
)
rr
r
r
r
r
a b = a1ex + a2e y ⋅ b1ex + b2e y
r r
r r
r r
r r
= a1b1 ex ex + a1b2 ex e y + a2b1 e y ex + a2b2 e y e y
{
{
{
{
=1
=0
rr
a b = a1b1 + a2b2
TUD, IEE,
Prof.
Merker
Bild
A-6
- Vektorprodukt (Kreuzprodukt):
Betrag:
r r r
r r
c = a b sin ( a , b )
=0
=1
r r r
a×b = c
Richtung:
(Mittelfinger)
r
c
r
b
(rechte Hand)
(Zeigefinger)
r r
(a , b )
r
a
Berechnung:
r
r
r
r
a = a1 ex + a2 e y + a3ez
r
r
r
r
b = b1 ex + b2 e y + b3ez
(Daumen)
r
ex
r r r
c = a × b = a1
r
ey
a2
r
ez
a3
b1
b2
b3
Bild A-7
TUD
IEE
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Vorlesungsskript » Elektrische und Magnetische Felder «
A4
Anhang
3. Linienintegrale
a) Vektorfeld: Feld von Vektoren
r
F3
z
r
F
y
r
F2
r
F1
x
an jedem Raumpunkt mit Ortsvektor r
existiert ein Vektor
r r
r r
r r
r r
F (r ) = Fx (r ) ex + Fy (r ) e y + Fz (r ) ez
z
F(r)
r
Fzez
r
Fxex
y
r
r
Beispiel: Kraftfeld: an jedem r
x
r r
wirkt Kraft F (r )
Bild A-8
b) Linienintegral
Beispiel:
r
F
Berechnung der Arbeit W, die von einem
Kraftfeld
beim Verschieben
r
eines Massepunktes auf einem Weg s verrichtet wird
Fall A:
r
F
Arbeit = Kraft ·
r
s
es gilt:
Fall B:
r
F
α
r
1. F = konstant
r r
2. ( F , s ) = 0 o
W =F
s
W = F′
r
F′
r
s
es gilt:
Weg
r r
W= F s
s
W = ( F cos α ) s
r r
W = F ⋅s
r
1. F = konstant
r r
2. ( F , s ) = α = konstant
Bild A-9
TUD
IEE
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Vorlesungsskript » Elektrische und Magnetische Felder «
A5
Anhang
Fall C:
Arbeit:
W = lim
c
∆ rci
∆ rcj
r
r2
r
r1
nr→ ∞
∆ rci →0 i =1
r
r2
r r
F (rcj )
r r
F (rci )
r r
r
F
∑ (rci ) ⋅ ∆rci
n
r r
F
∫ dr
=
r
r1
(c)
r
r2
W=
r r
F
∫ dr
r
r1
(c)
Linienintegral von F entlang c
(F entlang c integrieren)
es gilt:
r
r
Kurve c vom Raumpunkt r1 zu r 2 mit der Darstellung
1. Weg:
r
r
r
r
r (λ ) = x ( λ ) e x + y (λ ) e y + z ( λ ) e z , λ : a K b
2. Kraft:
r r
r r
r r
r r
F (r ) = Fx (r ) ex + Fy (r ) e y + Fz (r ) ez
r
ist an den Raumpunkten r nicht konstant
TUD, IEE, Prof. Merker
Bild A-10
c) Berechnung des Linienintegrals
W=
r
r2
r r b
∂x
∂y
∂z
d
=
(
+
+
) dλ
F
r
F
F
F
x
y
z
∫
∫ ∂λ
r
∂
∂
λ
λ
r
a
mit:
1
(c )
- Weg (Kurve c):
r
r
r
r
r (λ ) = x (λ ) e x + y (λ ) e y + z (λ ) e z , λ : a K b
r
- Wegdifferential ( d r entlang Kurve c):
r
r ∂r
∂x r ∂y r ∂z r
dr =
⋅ dλ = ( e x +
ey +
ez ) dλ
∂λ
∂λ
∂λ
∂λ
- Vektorfeld:
r r
r r
r r
r r
F (r ) = Fx (r ) ex + Fy (r ) e y + Fz (r ) ez
Bild A-11
TUD
IEE
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Vorlesungsskript » Elektrische und Magnetische Felder «
A6
Anhang
d) Berechnung des Linienintegrals für ein Beispiel
gesucht:
r
r
die von einem Kraftfeld F = Fx ex ( Fx = konst .) geleistete Arbeit W
bei Verschiebung eines Massepunktes entlang
- des Halbkreises c1
- der Strecke c2
y
R
r
r
F = Fx ex
c1
Kraft:
r
r
F = Fx ex
y
r α
x
xR
c2
-R
Weg c1:
Weg c2:
r
r
r
r (λ ) = R cos λ ex + R sin λ e y
r
r
r (λ ) = λ e x
λ : π K0
λ : −RK + R
Bild A-12
Lösung:
Weg c1:
r
r
r
r (λ ) = R cos λ ex + R sin λ e y , λ : π K 0
r
r
r
dr = − R sin λ ex + R cos λ e y dλ
(
0
)
(
)
r r
r
r
r
W = ∫ F d r = ∫ Fx ex − R sin λ ex + R cos λ e y dλ
π
c1
0
= ∫ Fx (− R sin λ )dλ = Fx R[cos λ ]π0 = 2 Fx R
π
Weg c2:
r
r
r (λ ) = λ e x , λ : − R K R
r r
dr = e x dλ
r r
W = ∫ F dr =
c1
R
r r
∫ Fx ex ex dλ
−R
R
∫ Fx dλ = Fx [λ ]− R = 2Fx R
=
R
−R
Bild A-13
e) Umlaufintegral
y
c1
Integral entlang eines geschlossenen
Weges c = c1 + c3 heißt
x
c3
r r
∫cF d r = ∫c +c
1
3
Umlaufintegral
r r
∫cF d r
r r
r r
r r
F dr = ∫ F dr + ∫ F dr
c1
c3
Bild A-14
TUD
IEE
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Vorlesungsskript » Elektrische und Magnetische Felder «
A7
Anhang
r
f) Spezialfälle des Linienintegrals
r r r2 r r
∫ E dr = ∫ E dr
r
r1
c
c
1.Fall:
r
r
• Weg c Gerade vom Raumpunkt r1 nach Raumpunkt r2 :
r
• Vektor E konstant für alle Raumpunkte
r r
r2 − r1
c
r
r1
r
E
r
r2
r
r
r
r1
c
r
r1
c
r r r2 r r r r2 r r r r
∫ E d r = ∫ E d r = E ∫ d r = E (r2 − r1 )
c
r r
r r
r r r
r = r1 + λ (r2 − r1 ), λ : 0 K1, dr = (r2 − r1 )dλ
r r 1 r r r
r r r 1
r r r
(
)
(
)
(r2 − r1 )
=
−
=
−
=
E
d
r
E
r
r
d
λ
E
r
r
d
λ
E
2
1
2
1
∫
∫
∫
bzw. ausführlich mit:
c
0
0
16
Bild A-15
2.Fall:
- in kartesischen Koordinaten:
• Weg c liegt auf Koordinatenachse (x- y- oder z-Achse)
r
• Vektor E verläuft parallel zu Weg c und ist nicht konstant,
Beispiel: Weg c liegt auf x-Achse:
r
r
E = E x ( x ) ex
r
r
E = E x ( x ) ex
c
a
c
b
r
r
Weg c : r = x e x , x : a...b
x
a
Weg c :
b
x
r
r
r = x ex , x : b...a
Linienintegral:
r r b
E
∫ d r = ∫ E x ( x) dx
r r a
E
∫ d r = ∫ E x ( x) d x
c
c
a
b
Bild A-16
TUD
IEE
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Vorlesungsskript » Elektrische und Magnetische Felder «
A8
Anhang
3.Fall: in Kugelkoordinaten:
r
• Weg c liegt auf Ortsvektor r
r
• Vektor E verläuft parallel zu Weg c und ist nicht konstant
z
r
r
E = Er ( r ) er
r
c
r
y
c
Weg c :
x
r
r
r = r er , r : r1...r2
r1
r2
r r r2
∫ E d r = ∫ E r (r ) d r
c
r1
Bild A-17
4. Flächenintegrale
HomogenesVektorfeld
Fläche A
r
A
r
A
r
S
r
S
A
r r
r r
S A ⇒ S A = S A cos 0o = S A
1. Fall:
r
A
r
A
r
S
r
S
r r
cos( S , A)
A
2. Fall:
r r
r r
r r
cos( S , A) = konstant ⇒ S A = S A cos( S , A)
Bild A-18
r
Fläche A
∆ Ai
r
∆ Ai
r
S (∆Ai )
n
Flächenintegral:
TUD
IEE
Prof. Merker
r
∆ Ai
Vektorfeld S
lim
r
r
r r
∑ S (∆Ai ) ∆Ai = ∫∫ S dA
nr→∞
i =1
∆ Ai →0
A
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A9
Anhang
r r
S
∫∫ dA
Flächenintegral, wenn Fläche A
eine geschlossene Hülle H:
H
H
Bild A-19
Spezialfall:
r
• Vektorfeld S durchsetzt Fläche A senkrecht
r r
S
∫∫ dA = ∫∫ S dA
A
A
r
• auf Fläche A ist Betrag von S konstant
= S ∫∫ dA = S A
A
r
d
A
r
S dA
r
dA
r
S
r
dA r
l
S
A
r r
S dA
A
r r
S
∫∫ dA = S A
Fläche A ist
Kugeloberfläche
Fläche A ist
Zylindermantel
A = 4πr 2
A
A
r
A = 2πrl
r r
S
∫∫ dA = S A
r r
S
∫∫ dA = S A
A
A
Bild A-20
Beispiel zur Berechnung eines Flächenintegrals:
Aufgabe: Berechnung der Ladung Q auf einer rechteckigen Fläche A
y
geg.: Flächenladungsdichte σ = c x y
y2
c = 3 mC/cm4,
x1= 1cm, x2= 7cm,
y1= 1cm, x2= 5cm
dA
dy
dx
y1
A
x1
x2
→ Q = ∫∫ σ dA
Lösung: differenzielle Ladung dQ im
differenziellen Flächenelement dA: dQ
x
= σ dA
Flächenintegral
A
y 2 x2
y 2 x2
y2
x2
Q = ∫∫ σ dA = ∫ ∫ σ dx dy = ∫ ∫ c x y dx dy = ∫ c y
2
A
y1 x1
y1 x1
y1
x − x1
x − x1 y 2
= ∫c y 2
dy = c 2
2
2
2
y1
y2
2
2
2
2
y2
y1
dy
x1
x2 − x1 y 2 − y1
= 884 mC
2
2
2
=c
x2
2
2
2
Bild A-21
TUD
IEE
Prof. Merker
Vorlesungsskript » Elektrische und Magnetische Felder «
A10
Anhang
5. Volumenintegral
stetige Verteilung einer Ladung Q über Volumen V
V
V
homogen
inhomogen
Dichte der Ladung im Raum → Raumladungsdichte ρ:
ρ=
∆Q
∆V →0 ∆V
ρ = lim
Q
V
Q = ∫∫∫ ρ dV
Q = ρV
V
Volumenintegral
Bild A-22
Beispiel zur Berechnung eines Volumenintegrals:
Aufgabe: Berechnung der Ladung Q in einem Volumen V
z
dV
V
y
geg.: Raumladungsdichte
x
c = 2 mC/cm4, x2= 2cm, y2= 3cm,
z1= 1cm, z2= 2cm,
z2
z1
x2
y2
→ Q = ∫∫∫ ρ dV
c
z
ρ = (x2 + y2 )
Lösung: differenzielle Ladung dQ im
differenziellen Flächenelement dV: dQ
= ρ dV
dV = dx dy dz
Volumenintegral
V
Q = ∫∫∫ ρ dV =
V
z 2 y 2 x2
z 2 y 2 x2
c
∫ ∫ ∫ ρ dx dydz = ∫ ∫ ∫ z ( x
z1 0 0
2
+ y 2 )dx dydz
z1 0 0
x
2
z 2 y2
3

c  x3
cx
2 
= ∫ ∫  + y x  dy dz = ∫ ∫  2 + y 2 x2  dy dz
z3
z 3
0
z1 0
z1 0

z 2 y2
Bild A-23
y2
(
)
z2
3
c  x2
y3 
c
3
3
=∫ 
y+
x2  dz = ∫
x2 y2 + y2 x2 dz
z 3
3 0
3z
z1
z1
z2
=
(
)
(
)
c 3
c 3
z
z
3
3
x2 y2 + y 2 x2 ln z z2 = x2 y 2 + y2 x2 ln 2
1
3
3
z1
Q = 36 mC
Bild A-24
TUD
IEE
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Formelübersicht
Magnetfeld
Vrr1 ,rr2
V
Φ
Rm =
r
r2
r r
Vrr1 , rr2 = H d r ′
∫
r
r1
l *
Rm =
µA
Φ=
Φ
∫∫
r r
B dA
A
I=
I
∫∫
r
r
B=µ H
r
B
r r
J dA
r
r
J =κE
r
J
A
r
r r
r r
dD r
∫ H d r = ∫∫A J dA + ∫∫A dt dA
r
r
D=εE
r
E
r
D
Q =
r
r
∫∫ D d A
A
Q, Ψ
r r
r
E (r ) = − grad ϕr(r )
r
r r
r
r
r
ϕ( r ) = ϕ( r0 ) − E ( r ′) d r ′
∫
U
R=
I
R=
Durchflutungsgesetz:
r
H
r
r0
r
ϕ(r )
C=
Ψ Q
=
U U
r
l *
κA
U
r r
r1 , r2
r2
r r r
r
r
= ϕ (r1 ) − ϕ ( r2 ) = ∫ E (r ′) d r ′
C=
r
r1
U rr1 ,rr2
stationäres Strömungsfeld
ε A*
d
elektrostatisches Feld
* Bemessungsgleichung für homogenes Feld
U AB =
d Ψ (t )
dt
Magnetfeld
L=
Ψ (t )
Ψ (t ) = ∑ Φ n (t )
n
Ψ (t ) = w Φ (t )
Φ (t ) =
Φ (t )
∫∫
A
Ψ
I
L=
w2
Rm
r
r
B (t ) dA r
r
B (t ) = µ H (t )
r
B (t )
Induktionsgesetz:
r
r r
∂B r
∫ E d r = −∫∫A ∂t dA
r
E
TUD
IEE
Prof. Merker
r
H (t )
r
r
I umf (t ) = H (t ) d r
∫
I (t )