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Research Collection
Doctoral Thesis
Die allgemein kovarianten Grundgleichungen des
elektromagnetischen Feldes im Innern ponderabler Materie vom
Standpunkt der Elektronentheorie
Author(s):
Dällenbach, Hans Walter
Publication Date:
1918
Permanent Link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-000090748
Rights / License:
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Diss.
E
T H
\
'XO^ J
Die
allgemein kovarianteii Grundgleichungen
des elektromagnetischen Feldes
im Innern pondéra bler Materie
vom Standpunkt der Elektronentheorie
Von der
Eidgenössischen
Technischen Hochschule in Zürich
zur
Erlangung
Würde eines
der
der
Doktors
technischen Wissenschaften
genehmigte
Promotionsarbeit
vorgelegt
von
Hans Walter Dällenbach
aus
Referent:
Otterbach
(Bernj
Herr Prof. Dr. H.
Weyl
Korreferent: Herr Prof. Dr. A.Schweitzer
Metzger
à.
Wittig, Leipzig
«96
Meiner Mutter
[
Leer
-
Vide
Empty
-
t
5
—
_
Inhalt.
Kapitel
Im
I
werden
Zugrundelegung
anter
elektronentheoretischen Modells
der
Materie,
das
eines
die
bestimmten
Trennung
von
wahrem Strom und Polarisationsstrom
gewährleistet, aus den allgemein
kovarianten Gleichungen des elektromagnetischen Feldes im leeren Baume
durch einen Prozeß der Mittelung, der der vollkommenen Verschmelzung
on Raum und Zeit, wie sie der Relativitätstheorie eigen ist, Rechnung
trägt, ebensolche allgemein kovariante Feldgleichungen für das Innere
Der Polarisationszustand der Materie wird da¬
der Materie abgeleitet.
bei charakterisiert durch einen „Sechservektor der Polarisation", der sich
in natürlicher Weise als ein Konfigurationsintegral aus den Lagen und
Geschwindigkeiten der in den Molekülen enthaltenen Mikroladungen
ergibt.
Im Kapitel II werden die gewonnenen Feldgesetze für ruhende
Materie mit den Max we 11 sehen identifiziert und ferner gezeigt, daß der
Ausdruck für den Sechservektor der Polarisation
drücken der Elektronentheorie
Im
dann
für
Kapitel
bewegte
Lorentz
zu
den bekannten Aus¬
degeneriert.
werden zunächst für den Fall der Elektrostatik
III
einem beliebig veränderlichem Felde die
Impulsenergietensor anschaulich abgeleitet.
Materie in
Kraftdichte und der
Im IV.
von
Kapitel
werden die Resultate des III. diskutiert.
Die be¬
anisotrope Körper mit Hysterese. Der
Impulsenergietensor ist eine Verallgemeinerung des Minkowskischen.
Es wird gezeigt, daß seine Asymmetrie nicht im Widerspruch steht zu
der in der Relativitätstheorie geforderten Gleichheit von Impulsdichte
und Energiestrom.
rechnete Kraftdichte gilt auch für
Kapitel
Die
I.
Die
Herleitung der Feldgleichungen.
folgenden Eechnungen
werden bei raum-zeitlich kon¬
stantem Gravitationsfeld in einem
Der
Übergang
Arbeit
erst
an
nur
zur
allgemeinen
Lorentzsystem durchgeführt.
Relativitätstheorie ist in dieser
formaler Natur und wird der Einfachheit halber
den Resultaten vorgenommen.
6
—
lauten
leeren
der
der Schreibweise
In
des
Gleichungen
Raum2)
die
—
allgemeinen Relativitätstheorie1)
elektromagnetischen Feldes im
'"</„
a)
luv
«
b)
f"
J
'
flf
c)
{>a~u
-; tv
et
8
f
fop
=
0.
8xv
Induktionsgesetz c) ist eine bloß mathematische Kon¬
des elektro¬
sequenz der Gleichung a), die den Sechservektor f
magnetischen Feldes von einem Viererpotential tpu ableitet.
In Gleichung b) bedeuten o0 die Ruhdichte der Elektrizität und
Das
dx"
"
die
Vierergeschwindigkeit,
=
,/T~
mit der sie
ist.
begabt
Es ist die Ansicht der Elektronentheorie, ein Stück Materie
einem Klumpen von sehr vielen positiven und
aus
negativen elektrischen Ladungen im Räume, zwischen welchen
das Gleichungsschema (I) streng gelte.
bestehe
Gebote stehenden
groben Meßinstrumenten
Bewegungen der ungeheuer zahl¬
imstande,
reichen und winzigen Ladungen im einzelnen zu verfolgen; wir
sind nicht imstande, in einem Zeitmoment den mikroskopischen
Zustand der Materie experimentell festzulegen und die aus
ihm folgenden und durch Gleichungen wie (I) verlangten räum¬
lich-zeitlichen Änderungen der Zustandsgrößen wirklich zu be¬
Mit den
uns zu
die
sind wir nicht
obachten.
Was
werte der
1)
wir
zu
messen
vermögen,
wenn's hoch
Hier wie im
Folgenden
im selben Term stets
zu
Zeit,
immer
ist über zwei
Phys. 49.
Materie.
p. 769.
gleiche
um
nur
Mittel¬
Koordinatenindices
summieren.
2) A.Einstein, Die Grundlage der
Ann. d.
sind
geht, mittlere Schwankungen
mikroskopischen Zustandsgrößen.
Mittelwerte,
allgemeinen Relativitätstheorie,
H. Weyl, Raum,
20.
1916, insbesondere §
Berlin 1918.
—
7
—
;
'
Es sei
eine solche
a
voller Ausnutzung der
—
mikroskopische Zustandsgröße.
unabhängige Veränderliche
den
in
Naturgesetzen auftreten,
definieren wir als Mittelwert der Größe
A
(ï)
G bedeutet ein
/
=
dt
a
physikalisch
In
mit der Eaum und Zeit als
Symmetrie,
a
a.
=
kleines
Weltgebiet, will sagen
Raumgebiet,
Ladungen enthält,
betrachtet während einer zeitlichen Dauer, die ebenfalls sehr
viele der diskreten Erlebnisse, wie Zusammenstöße, Umläufe,
Schwingungen irgendeiner der kleinen Ladungen umspannt.
das sehr viele der kleinen
ein
dr ist das gegen Lorentztransformationen invariante Volumen¬
element des Gebietes G.
Weiterhin lassen wir
Vertrauen
leiten, daß, wenn
(1)
Mittelung auf die
Gleichungen (I) anwenden, wir zu Beziehungen geführt werden,
die gerade die Mittelwerte miteinander verknüpfen, die wir als
experimentelle Physiker tatsächlich beobachten.
wir
den
durch
uns vom
delinierten Prozeß der
Wir konstatieren:
Eine Größe und ihr Mittelwert haben dieselben Kovarianz-
eigenschaften.
Differentiation und
Mittelung
sind vertauschbare Prozesse.
Das Gleichungsschema (I) gilt folglich unverändert ohne
irgendeine spezialisierende Voraussetzung über die Konstitution
der Materie für die Mittelwerte
tials <p
des Feldes
f
Folge gelingen,
achtung gegebenen Größen
in
t,
v
der
Theorie
von
Maxwell
Mittelwerte p0 u^.
Aufmerksamkeit
der
widmen, und
ein genaueres Bild der Materie
Die kleinen
Ladungen
in Zukunft Elektronen
alle Mal
systemen,
—
zusammengefaßt
zu
bisherigen phänomenologischen
identifizieren.
zu
Ihm haben wir
zu
Molekülen.
und g0uf des Poten¬
01, Fiv
und des Stromes q0up.
Es wird uns
und
in
direkt
F
der Beob¬
mit
0u
zu
von
er
Nicht
nun
an
zwingt
so
mit dem
unsere
uns
ganze
fürs erste,
entwerfen.
in der Materie
die Elektronen
—
also
wir
nennen
seien
sie
ein für
Verbänden, zu kleinen Planeten¬
Die totale Ladung eines Moleküls
zu
—
sei Null
und
8
—
nie verlasse ein Elektron sein Molekül.
Wohl
wir ihm zu, daß es unter dem Einfluß eines äußeren,
veränderlichen Feldes im Innern des Verbandes andere und
gestehen
andere Bahnen
um
in
Bewegungen durchlaufe, oder
Gleichgewichtslagen zitternde Schwin¬
stationären
andere und andere
gungen ausführe; der Elektronenverband aber, der durch das
Wort „Molekül" bezeichnet wurde, bleibe dabei beisammen.
Der kondensierte Ausdruck dieser
Forderungen
lautet:
JVo«^r==0,
(2)
n
integriert
kül
Weltgebiet ff, das von irgendeinem Mole¬
irgendeiner physikalisch kleinen Dauer durch
über das
während
-
fegt wird.
Wie die einzelnen Moleküle sich
gegeneinander verhalten,
Körper, ob sie aneinander
einer
in
wie
Flüssigkeit, oder ob sie sich
vorbeikriechen,
schließlich zwischen zwei Zusammenstößen unabhängig von¬
einander bewegen wie in einem idealen Gase, ist für das Fol¬
gende durchaus unwesentlich; denn es ist uns hier gar nicht
zu tun um die Zusammenhänge zwischen elektromagnetischen
und elastischen Eigenschaften der Körper; und es geschieht bloß,
um die Vorstellung zu fixieren und die Überlegungen nicht un¬
nötig zu belasten, wenn wir von nun an trotzdem denken, die
Schwerpunkte der Moleküle seien gegenüber den Veränderungen
des elektromagnetischen Feldes durch elastische Kräfte starr
aneinander gekettet.
Bis jetzt haben wir Elektronen nur als Bausteine von
Wir nennen sie in Zukunft PolariMolekülen kennen gelernt.
sationselehtronen (P) und unterscheiden von ihnen die konvektiven Ladungen {K), die an die Materie
sagen wir an die
der
die
Moleküle
gebunden
makroskopische
Schwerpunkte
Endlich soll noch ein
Bewegung der Materie mitmachen.
Schwärm von frei beweglichen Leitungselektronen [L) stoßend
und selbst gestoßen unter dem Einfluß des Feldes zwischen den
Molekülen durchjagen.
Dieses Modell der Materie legen wir der Mittelung des
Viererstromes q0 w zugrunde. Aus der Definition (1) des Mittel¬
wertes folgt
ob sie verbunden sind
zu
einem festen
—
—
9
—
Co
p0
«"
=
Co
—
K +
M£ +
Co
s°o
M£
•
w£ -f p0M^= Leitungsstrom plus Konvektionsstrom be¬
zeichnen wir
zusammen
als den wahren Strom Jt1.
Um die Existenz eines Stromes der Polarisationselektronen
bequem einzusehen und ihn auf möglichst durchsichtige Weise
zu
berechnen, kehren wir auf die Dauer von einigen Seiten
zurück in den dreidimensionalen, gewöhnlichen, euklidischen
Raum mit einem der Anschauung geläufigen, kartesischen
Koordinatensystem. Unsern Versuchskörper nehmen wir mit,
entleeren ihn aber zuvor von allen konvektiven Ladungen und
Leitungselektronen und behalten zurück den Haufen ungeladener
Moleküle.
Die von früher her noch wild bewegten Polari¬
sationselektronen werden plötzlich alle in ihrer Bewegung ge¬
stoppt; sie sollen in Gleichgewichtslagen zur Ruhe kommen.
Auch der Körper als Ganzes sei in Ruhe, und ein eventuell
vorhandenes elektromagnetisches Feld sinke herab zu einem
bloß elektrostatischen.
Der
zu
die
Aufgabe, den Mittelwert q0 w£ des Viererstromes q0 w
ermitteln, entspricht unter den geschilderten Verhältnissen
viel einfachere, den Mittelwert
pop der Ruhedichte g0 zu
berechnen.
II)
Der Mittelwert selbst ist dabei immer noch durch
definiert,
kann
allerdings jetzt
geschrieben werden.
gebiet
von
und
B
die
wenn
Form:
speziellen
physikalisch
ein
dV sein Volumenelement.
verschieden,
Null
ist
in der
kleines
ist
Q0p
Ladung
Raum¬
dann
immer
lQ0dF
es
ist.
B
Fehlt
im
vorläufig
Innern
das
eines
äußere
Feld,
so
ist
lc0dV=0
Kristalles
klar,
daß
ist, falls
sogar
nur
die
£
Oberfläche des Gebietes R
ein
Wellblech,
schneidet.
positiven
aber
ganz
genügend unregelmäßig,
willkürlich
Polarisieren
wir,
so
Moleküle
etwa wie
Materie
zer¬
allgemeinen die
Richtung, die negativen
werden
Elektronen ungefähr in der
der
im
entgegen der Richtung des äußeren Feldes verschoben.
10
—
—
Geschieht dieses Verschieben nicht über das ganze Ge¬
Intensität, was seinen Grund darin haben
biet R mit derselben
kann, daß einmal das äußere Feld selbst, dann
der
Polarisierbarkeit
Materie
sich
über
das
aber auch die
Gebiet R
von
Raumpunkt zu Raumpunkt langsam und stetig ändern, so ist
evident, daß das im unpolarisierten Zustand ungeladene Ge¬
biet R nun sehr wohl eine Ladung haben kann.
Die ihr ent¬
sprechende Ruhdichte ga ist eben qoP, und sie wollen wir jetzt
berechnen durch Wiedergabe einer Überlegung von H. A.
Lorentz.1)
Bei nach außen gerichteter Normale seien dfv [v
1, 2, 3)
die Komponenten eines Elementes der Oberfläche von R.
dfv zerschneide eine sehr große Menge von Molekülen. Die
Summe dS aller Ladungen, die einerseits zerschnittenen Mole¬
külen angehören, andererseits innen am Flächenelement dfr
haften, verschwindet im unpolarisierten Zustand der Materie;
im polarisierten haben wir dS erst zu ermitteln.
Alle Mole¬
küle seien gleichgebaut und sollen je n Polarisationselektronen
Das kle Elektron besitze die Ladung eh und habe
enthalten.
vom
Schwerpunkt seiner Molekel den Abstand xk mit den
Komponenten xj. Unter allen Molekülen in der Umgebung
von dfv greifen wir alle die heraus, bei denen die Spitze des
=
Vektors xh,
wenn
wir
ihn
mit
sich
parallel
in
den Koordi¬
natenursprung verschieben, in das Innere eines kleinen Volu¬
liegen kommt. Die Moleküle dieser Art
bequemeren Ausdrucks, wegen in der Folge
Wie groß ist die Zahl der roten Moleküle in
„rot" gefärbt.
der Volumeneinheit?
Wir sind offenbar befugt, dafür den
Ansatz zu machen s]cdv, wo die Funktion sk nur noch von
der Lage des Volumenelementes dv zum Koordinatenursprung
abhängt. Ferner: welches sind die roten Moleküle deren
Radius vk vom Flächenelement dfv zerschnitten wird?
Doch
deren
im
alle
wohl
die,
Schwerpunkt
Zylinderchen liegt, das
durch Flächenelement dfv und Vektor xk gebildet wird.
Das
Volumen dieses Zylinderchens ist x/dfv, und Volumen mal
Dichte gibt die Anzahl s^dvx^d^ all der roten Moleküle,
menelementes dv
denken wir
1) H.
uns
A.
zu
des
Lorentz, Weiterbildung der Maxwellschen
Eneykl. d. math. Wiss. V 14, insbesondere Nr.
Elektronentheorie.
Theorie.
27
u.
28.
11
-
—
deren
Ladungen eL jenseits und deren Schwerpunkte diesseits
dfv liegen, falls wir annehmen das Volumen xkvdfy sei
für den herausgegriffenen Vektor r, gerade positiv.
Jedes
dieser Moleküle bedeutet ^eine" Ladung
el jenseits von df\,
alle zusammen aber die Ladung eLxkdvxLvdfv jenseits von
dfr herrührend von zerschnittenen Molekülen.
von
Integrieren
wir
über
möglichen Lagen
alle
des mathe¬
matisch unendlich kleinen Volumenelementes dv, so erwischen
wir damit sicher überhaupt alle Ladungen
ek, die zerschnittenen
Molekülen angehören, und
bedeutet den
noch
die
Überschuß der Ladungen
diesseits
des
ek
jenseits von dfv über
gelegenen. Sum¬
Flächenelementes
mieren wir endlich über alle Polarisationselektronen h
=
1
bis
bedenken, daß die diesseits und jenseits an dfv haften¬
den totalen Ladungen entgegengesetzt gleich sind, so folgt als
Ladung diesseits von dfv
n
und
dS
=
ieLs
-df„^
x^'do.
Die Summe ist nichts anderes als die Summe der Funk¬
tion
über alle
exv
Platz haben.
fließen
zu
Ladungen
e
der
Moleküle, die im Volumen
1
Ladungen wieder zer¬
ausgebreiteten elek¬
endgültig
Lassen wir die diskreten
kontinuierlich
einer räumlich
trischen Ruhdichte q0,
so
^s
wird
=
—
(>u-1'
(/fy
wobei
Das
Integrationsgebiet
r
ist
von
höherer
R, aber immer bloß physikalisch klein.
als
sich außerdem
küle
schneiden
R
darin, daß
darf.
Erinnern
von
Ordnung
klein
Es unterscheidet
seine Oberfläche keine Mole¬
wir
uns,
daß
erkennen
die
Ladung
daß die
verschwindet,
wir,
obiger Formel in einem allen Molekülen gemeinsamen
Koordinatensystem als die gewöhnlichen Koordinaten gedeutet
Jq0
d V einer Molekel
xv
in
so
12
—
werden dürfen.
Das tun wir in der
nochmals
ändern.
zu
und damit den
Folge, ohne die Bezeich¬
Integration von dS über
totale in ihm eingeschlossene
Durch
nung
das Gebiet R erhalten wir
Ladung-
—
die
Mittelwert
deutet q0
fassen wir
J?orfA
(3)
einen
integriert über
Moleküle schneidet,
,
=
/*
m<
=
langsam,
so
r,
gegeben
6
...
der keine
durch
rw
-
(lvr
zu
r
großes Gebiet,
das
achtlos
Der Vektor
Moleküle zerschneidet.
(5)
kleinen Baum
n
dabei ein relativ
R ist
Be¬
0
-/**«*/,=
k
zusammen:
für die
ist ihr Mittelwert
1
,,„,
=
physikalisch
so
..
(4)
variiere
Qap.
verallgemeinernd
irgendeine Raumfunktion,
Noch etwas
«„*•"
daß
=
^h^i-'dV
seine
ersten
Ableitungen innerhalb
R als konstant betrachtet werden dürfen.
Dieses
Gebiet R
Resultat
eine
bleibt
Mischung
auch
dann
bestehen,
verschiedener Arten
von
wenn
das
Molekülen
enthält.
Dies die
sie ist
Überlegung
unabhängig
davon, ob p0
nun
von
von
H. A. Lorentz.
der Zahl der
gerade
ein Skalar
bedeute.
Wir erkennen,
Dimensionen, unabhängig
oder eine Vektor- oder
Ihre
Tensorkomponente
einzige Voraussetzung ist
die Gleichung (3); ihr entspricht aber in der vierdimensionalen
Welt die Gleichung (2), und so erhalten wir in der Tat ohne
weitere Rechnung den gesuchten Polarisationsstrom p°ui*P. Ich
darf es wohl dem Leser überlassen, rasch in der Welt eine
Raumkoordinate
Molekülen
und
zu
dem
unterdrücken
von
ihnen
und
an
zweidimensionalen
beschriebenen
Bündel
von
Weltröhren, sich den vorstehenden Beweis nochmals anschau¬
Dann aber gehen wir weiter und
lich zurecht zu legen.
13
—
notieren in
folgender Gestalt
entsprechenden Ausdrücke
M*v
=
q0
die den
Gleichungen (4)
und
(5)
Î
G
(7)
—
u" xv
=
-x1— [Q0u"x''dT.
Jdx /
Mit
Gleichung (7) haben wir jedenfalls den Tensor Pola¬
gefunden. Nur ist er ganz unsymmetrisch. Die große
Zahl von 16 Komponeaten, über die er jetzt noch verfügt,
bringen .wir niemals in Einklang mit der Einfachheit Max¬
well scher Theorie, die wir bei ruhender Materie als Eesultat
erhalten müssen.
Auch die Tatsache, daß Gleichung (6) sich
nur für den Fall, daß M** ein Sechservektor ist, in einfacher
Weise allgemein kovariant schreiben läßt, legt es nahe, die
folgende partielle Umformung zu versuchen:
risation
M?"
=
=
ç0ut*xr
-eö«*^*
+
Coi (*"**)
Durch Addition der zwei Ausdrücke
symmetrischen und
JJar
Die
=
einen
Ç«
(w„
Komponenten
spaltet Mi"
antisymmetrischen Teil
xv
_
uv
xft)
+
«£>
d
in einen
^ x„y
des
symmetrischen Tensors bedeuten
Größen wie Träg¬
von
heitsmomente, Zentrifugalmomente, statische Momente von
Molekülen, nur stehen immer an Stelle der trägen Massen
die teils positiven, teils negativen Ladungen der Polarisations¬
mittlere
Änderungsgeschwindigkeiten
elektronen.
artiger
Sind
Größen
auch die
nicht
exakt
Änderungsgeschwindigkeiten
Null,
so
sind
sie
doch
konstant über das Gebiet R und tragen nach Formel
bei
zum
Werte
von
(b)
der¬
gewiß
nichts
q0 ufP.
Damit ist der Polarisationsstrom und sind auch die Mittel¬
Feldgleichungen gefunden.
zusammen im folgenden Schema:
werte der
tate
Wir stellen die Resul¬
14
a)
>'r
ô_
b)
•
5 0
d 0
dœv
dxn
IF."" +
M'<")
=
/^
II)
c)
d)
Es ist
kovariant
wie
nur
zu
ox,"
cl'X"
Mf"
=
s1
d
[u^xv
—
x*
uyx^)
.
bemerken, daß diese ohne weiteres allgemein
zu
schreibenden
kristalline,
möglich ist,
Gleichungen sowohl für kristallisierte,
amorphe Körper gelten, wenn es
wie auch
wahren Strom und Polarisationsstrom in der
gemäß Gleichung (2) be¬
der Trägheit der Elek¬
trizität haben wir nirgends abgesehen.
So ist es denn inter¬
essant zu konstatieren, daß die ganze Tücke der Materie wie
Dispersion, Hysterese, Abhängigkeit der elektromagnetischen
Eigenschaften von Temperatur und Elastizität die Feld¬
gleichungen unberührt läßt und in den sogenannten Material¬
gleichungen ihren alleinigen Ausdruck findet Diese ordnen
bekanntlich einem gegebenen Verlauf des elektromagnetischen
durch
die Existenz
dingten
Feldes
Ohne
Weise
zu
von
Molekülen
trennen.
Auch
von
einen ganz bestimmten Verlauf der Polarisation zu.
ihre Kenntnis ist die Lösung des elektromagnetischen
Problems in
irgendeinem konkreten Sonderfall unmöglich, und
es ein Verkennen der dieser Arbeit eigentümlichen
Aufgabe, wenn wir auf sie näher eingingen und etwa ver¬
suchten, Ff* und Mf" in allgemein kovarianter Weise mit¬
einander zu verknüpfen. Es hieße aber die unabhängige Be¬
deutung der Feldgleichungen übergehätzen, wenn wir uns nicht
doch wäre
noch einmal daran erinnerten,
daß sie nur so lange gelten,
Differentialquotienten der in ihnen auftretenden Zustandsgrößen „Feld" und „Polarisation" über physikalisch
kleine Weltgebiete als konstant betrachtet werden dürfen. Da¬
mit schließen wir vor allem Lichtwellen aus, deren Wellenlänge
vergleichbar mit den Moleküldimensionen bzw. deren Frequenz
derselben Größenordnung wie die Eigenfrequenzen der
von
als
die
Polarisationselektronen werden.
15
—
Kapitel
II.
Theorie
von
Anschluß
die
an
Maxwell und
—
bisherige phänomenologische
die Ulektronenthéorie
an
von
Lorentz.
Im Fall ruhender Materie muß das
dessen
zu
und
der Sechservektor F
den Vektoren
Feldstärke
Induktionsgesetz (IIc)
kommen mit dem zweiten Maxwellschen Glei¬
Deckung
chungssystem
zur
Halten
e.
degeneriert infolge¬
magnetische
Induktion b und elektrische
wir
fest
daran
und
erinnern
uns
der
Bedeutung von Jf, so folgt aus der Identität von (IIb) mit dem
ersten Gleichungssystem von Maxwell, daß die Magnetisierung
nx
und die elektrische Polarisation p sich in ruhender Materie
Und endlich aus (IIa) er¬
zum Tensor M>IV.
zusammenschließen
kennen wir als die räumlichen
Komponenten von 0^ das Vek¬
torpotential f
Zeitkomponente das skalare Poten¬
tial (p.
Die folgende Tabelle gibt die Darstellung in Kom¬
und als die
ponenten:
f
b
m
=
1*23'
treten
(IIa, b, c)
-^12"
in
die
b)
ü
=
{F*\ F*\ Fi3),
v*14> *24>
"^8 4»
{M*1, M*\ il43).
ist dabei
gleich
eins
gesetzt.
wir bei ruhender Materie nach Kaum und Zeit,
dreidimensionaler
Vektoranalysis
an
Gleichungen
[b
\
e
-rotf,
=
I"!
=
-8rad?.
|(tb-ii)-(»t« |?).i,
+
{
c)
=
=
[M32, M1S, Mai),
a)
am
-*31»
e
Lichtgeschwindigkeit
Spalten
so
?>=tf4,
{F2i, F*\ F12},
=
~
Die
^1.*s,Ö>8),
=
div
e
+ div p
=
|rote + Ü-0,
(
divb
=
0.
q
,
Stelle
von
16
—
Dies
—
die Maxwellschen
sind
Gleichungen
{m, p. i,ç}.
bei
scharfer
Trennung
{6, e}
geleitete Bedeutung der Vektoren dielektrische Verschiebung
und magnetische Feldstärke fi
b
c + p
b
m tritt klar
in Erscheinung.
Trotzdem bilden sie zusammen einen anti¬
1>' -f- M'tv mit den Ruhkompo¬
symmetrischen Tensor D^v
von
und Materie
Feld
=
=
Die bloß ab¬
—
=
nenten
Damit sind wir noch nicht
zu
Ende, denn
ist nicht
es
sicher,
Komponenten
M^r,
Gleichung (IId) definiert sind, übereinstimmen mit den Aus¬
drücken der bisherigen Elektronentheorie.
Das muß der
Fall sein.
In einem Lorentzsystem, in dem die Materie
ruht, ist
daß die
des Tensors
x"
„,^{
**
l Vi
-
={{x
=
x,y,z),t\,
-^
D2
'
Vi
-
Bs
wie sie durch
'
_à=
U2
]/l
-
-=L=l
'
l/l
-
Ü2
J
und Mf* zerfällt in:
Die
2
*
=
i8*
zu
erstrecken über alle
Ladungen
l
Molekel, ^ über alle Moleküle
ek in der
in der Volumeneinheit und end-
m
lieh die
Integrale
Ein
um
physikalisch
kleine zeitliche Dauer.
elektrisch
quasielastische
führt
über eine
diese
setzen wir:
polarisierbares Teilchen, d. h. ein durch
an eine Gleichgewichtslage gebundenes
In p
0.
Schwingungen aus. Dabei ist m
Kräfte
=
17
—
r-tt/
Das
einzelne
1
+t)a
Zeitmittel
von
Teilchen,
Übereinstimmung
=
~
—
2r-
dJ-
d
dt
1.
—r^-
verschwindet
schon
und wir erhalten als erste
mit der Elektronentheorie
für
das
Annäherung
in
*):
ii
wobei N die Zahl der Moleküle pro Volumeneinheit bedeutet.
Ein
magnetisch polansierbares Teilchen
dagegen
rotiere
sehr rasch in einer kreisähnlichen Bahn.
und
ttl
wird in derselben
Annäherung
*
ebenfalls in
=
Übereinstimmung
Für dieses ist p
wie oben:
=
i
mit der Elektronentheorie.
Die Gleichungen (II) genügen dem Relativitätsprinzip
degenerieren im Kall der Euhe zu den Maxwellschen.
stehen daher, wie Minkowski2) gezeigt hat, in Einklang
den Versuchen an bewegten Körpern.
Kapitel
III.
Ermittlung
der
0,
und
Sie
mit
ponderomotorischen Kraftdichte
und des Impulsenergietensors.
Bestimmung der Kraftdichte xa im Innern bewegter
Naheliegendste, man wendet den durch (1)
definierten Prozeß der Mittelung an auf die Kraftdichte im
Zur
Materie scheint das
Vakuum:
Benutzung der Feldgleichungen und des zu¬
grunde gelegten Materiemodells den Mittelwert des Produkts
und versucht mit
auszudrücken durch die Mittelwerte seiner Faktoren.
1) H. A. Lorentz, a. a. 0.
2) H.Minkowski Grundgleichungen für die elektromagnetischen
Vorgänge
in
bewegten Körpern.
Dällenbach,
Dissertation.
Ges.
Abhandlungen
Bd. 2, p. 352.
2
18
—
Oder,
Lorentzsystem x„ sich
Impulsenergietensor
da in einem
den einfachen Weise
—
vom
in der
folgen¬
tav ableitet:
8 tar
x°
_
~
e
'
x"
Möglichkeit, direkt auf den Mittelwert
Impulsenergietensors loszugehen, etwa in derselben mathe:
matischen Weise, wie das soeben ftir die Kraftdichte skizziert
wurde. Diesen Vorschlag macht Abraham *). doch nicht ohne
ihm einen zweiten wesentlich andern gegenüber zu stellen, und
diesen zweiten, anschaulichen Weg, den Einstein und Laub2)
seiner Zeit schon betreten hatten, werden wir gehen.
sich die
bietet
neue
des
Die
den
Überlegungen,
physikalische
sie
gebiet
sei R
Innern
im
haben, tragen
Ihre
Strenge.
nicht
anschaulich¬
rechtfertigen.
Wir beschränken
Es
machen
zu
Plausibilität und nicht zuletzt ihr einfaches Re¬
sultat müssen
statik.
die wir
mathematischer
Charakter
zunächst «auf den Fall der Elektro¬
uns
ein
beliebiges, physikalisch
ruhenden
eines
äußere Feld auf die
kleines Raum¬
Dielektrikums.
Ladungen
im
Die
durch
Gebiete R
ausgeübte
Kraft muß sich darstellen lassen als Resultante von Spannungen
tj in der Oberfläche von R. In einer ersten Ableitung der
Kraftdichte suchen wir diese Spannungen anschaulich zu er¬
das
mitteln.
Zum
Spannungstensor
e„ e
wie
er
geübt
die
—
d'
V,
r
des leeren Raumes:
e„
wo:
durch den Mittelwert
werden
außen
wird,
am
Moleküle
der
durch
=
{
fur
T
,
bzw. e„ des Mikrofeldes aus¬
hinzu die Kräfte, welche
neu
Gebiet R haftenden
Felde erfahren.
äußeren
Bindungen
c
treten als
<>»
Polarisationsladungen
im
Sie werden durch die innermolekularen
die
auf das Gebiet R
Oberfläche
selbst
von
R
übertragen.
zerschnittenen
So sitzt bei
1) M. Abraham, Frage der Symmetrie des elektromagnetischen
Spannuugstensors. Ann. d. Phys. 44. p. 537. 1914.
2) A. Einstein u. J. Laub, Über die im elektromagnetischen Felde
auf ruhende Körper ausgeübten ponderomotorischen Kräfte.
Ann. d.
Phys. 26. p. 541. 1908.
19
—
—
positiver äußerer Normale außen am Flächenelement dfv die
Ladung pvdfv, und auf sie wirkt im makroskopischen Felde
die Kraft tapvdfv.
Der Spannungstensor des Vakuums wird
also
durch die Anwesenheit des Dielektrikums vermehrt
um
den Term zapr.
Die bis jetzt
angestellte Überlegung ist falsch oder bedarf
Ergänzung.
Makroskopisches Feld und äußeres Feld sind durchaus
nicht identisch; denn entfernen wir das äußere Feld, halten
zum
mindesten einer
aber
den Polarisationszustand der Materie
unmittelbaren
Umgebung aufrecht,
so
in R
meinen der Mittelwert des Mikrofeldes nicht.
bleibende Differenz zwischen äußerem und
Felde,
das sogenannte
die Materie in R in
und seiner
verschwindet im
Polarisationsfeld, ist
Bewegung zu setzen;
allge¬
Die noch
ver¬
makroskopischem
aber nie im Stande
denn
zur
Aufrecht¬
erhaltung des Polarisationszustandes bedürfen wir allerdings
bloß vorstellbarer, aber nur innerer Kräfte.
Der bisherige Aus¬
druck des Spannungstensors ist daher zu ergänzen durch einen
Term ß-j, der den Kräften entspricht, die dasjenige äußere
Feld, das das Polarisationsfeld gerade zu Null ergänzt, auf
die Ladungen p" dfv ausübt.
&* sind also Spannungen, die
bei verschwindendem makroskopischem Felde die Materie in
Folge des unverändert festgehaltenen Polarisationszustandes
Wir werden jetzt von ihnen beweisen, daß sie ein
erfährt.
einfacher Druck sind.
Denken
wir,
die Materie
in Jt
sei vollkommen
homogen
und die Polarisation p" über das ganze Gebiet konstant. Dann
ist die Energiedichte in allen Punkten dieselbe und die Ge¬
samtenergie
direkt
proportional dem Volumen des Gebietes.
irgendeine virtuelle Verrückung, die
weder den Polarisationszustand, noch das Volumen von B
ändert, so bleibt dabei seine Gesamtenergie konstant. Da das
makroskopische Feld Null vorausgesetzt wird, kommen zur
äußeren Arbeitsleistung nur die in der Oberfläche von M
wirkenden Spannungen &J in Betracht.
Ihre Arbeit muß
also bei beliebiger volumentreuer Variation des Gebietes ver¬
schwinden, was nur möglich ist für einen über das ganze Ge¬
Erteilen wir der Materie
biet
konstanten
Druck
Stimmung seiner Größe
&v
—
§rp.
Wir
schreiten
p.
2*
zur
Be-
20
—
—
Das Polarisationsfeld im Element
R
hängt
nicht
nur
Stelle, sondern
vom
der Oberfläche
dfv
Polarisationszustand
an
von
der betreffen¬
Konfiguration und Zustand des ganzen
R
Gebietes
ab.
Diese Unbequemlichkeit veranlaßt uns Inderunyen, des Polarisationsfeldes und damit von p zu betrachten,
und zwar solche, die eintreten infolge Variation der Zustandsgrößen an der betrachteten Stelle allein. Da langsame Ver¬
änderlichkeit der makroskopischen Zustandsgrößen über physi¬
kalisch kleine Gebiete eine wesentliche Voraussetzung dieser
den
von
ganzen Arbeit ist, haben wir uns insbesondere auf unendlich
hieine lokale Änderungen zu beschränken.
In diesem Sinne erteilen wir
der Stelle des Flächen-
an
elementes
dfr dem makroskopischen Felde den Zuwachs dta
von gleicher Richtung wie der Vektor df„ selbst.
Die Polari¬
sation ändere sich dabei um dpr und die früher berechnete,
durch das makroskopische Feld allein erzeugte Spannung er¬
leidet die Zunahme:
d e„
Die
y df, + eCT d p" dfr
dta entsprechende
machen wir wieder
d (e„
=
Zunahme
p)dfr.
des
äußeren
Feidos
rückgängig
haben, um
d!pv der Polarisation aufrecht zu erhalten, gewisse, bloß vor¬
stellbare, innermolekulare Kräfte anzubringen, die im Element
dfv eine Spannung ij ergeben. Kompensieren wir endlich
auch die dta entsprechende Zunahme des Polarisationsfeldes,
und
den Zuwachs
haben wir, um die Polarisation wiederum konstant zu
halten, die fiktiven Spannungen ij nach Definition des Druckes
so
Sjp
vermehren
Sjdp.
Schalten wir
nun
dta von neuem
speziellen Wahl tier relativen
Eichtung von dta und dfv die dadurch auftretende Spannung
prdea gerade iJ + Sjdp Gleichgewicht hält, ij ist hervor¬
gegangen aus bloß inneren Kräften, ergibt also für jedes end¬
liche Stück Materie die Résultante null, so daß wir für unsere
zu,
zu
so
erkennen
um
wir,
daß bei der
Zwecke setzen dürfen:
ÖJdp
woraus,
+
dtay
=
0
eingedenk der gleichen Richtung
folgt:
dp
=
—
p"dea
von
dfv
und
dt
,
21
—
und
aus
dieser
der
von
—
speziellen
unabhängigen Beziehung folgt
Wahl des Flächenelementes
der Druck selbst:
e
-JV^„-
p=
II
Das
Null bis
Integral
zum
über die
zwar
ist
erstrecken
zu
vom
Polarisationszustand
tatsächlich vorhandenen Werte des Feldes und
Folge
Zuständen, wie sie
von
der Materie
von
tatsächlich durchlaufen wurde.
Damit erhalten wir definitiv als elektrostatischen
Spannungs¬
tensor:
C
e„(e-
=
r)
+
<V'JV + r)dK
-
o
oder nach
Einführung
Vektors
des
br
=
e"
Verschiebung:
+ p",
c
t
"
=
e
b"
S
—
fba d e
'
.
0
Ableitung, die sich noch enger an die Arbeit
anschließt, mag das Resultat in
anderem Lichte zeigen.
Eine zweite
von
Einstein und Laub
Die Kraft
&a
auf das
Gebiet R stimmt
bis
auf
physi¬
überein mit der Kraft auf
Ordnung
das Gebiet S', das alle die, aber auch nur die Moleküle voll¬
ständig enthalte, die bei irgendeinem Polarisationszustand dem
Die Oberfläche
Gebiete R ganz oder teilweise angehören.
von R' schneidet also keine innermolekularen Bindungen.
kalisch kleines
&a
ist
höherer
also
die Resultante
der Kräfte,
die
direkt ausübt.
Ladungen
stimmung entwickeln wir das makroskopische
auf die
Feld
in R'
das
äußere
Zu ihrer Be¬
Feld in
eine
Reihe
e„
-
e./0
+
!£*'
Koordinatenursprung, den wir mitten ins Gebiet R'
Der zweite
hinein verlegen, hat das Feld den Wert ea/0.
Term berücksichtigt seine langsame, in erster Annäherung
Im
22
—
—
Betrachten wir zunächst
lineare Veränderlichkeit über R'.
wie wir wissen mit Unrecht
Feld als
identisch,
so
makroskopisches
—
—
und äußeres
wird
IV
IV
Ladungsdichte qw angehörende Elek¬
R' und das zweite gleich
o,„
Integral
Null. Bei Integration über die in ihrer Summe Null ergebenden
Ladungen der Moleküle wird dagegen das erste zu Null und das
Für die der wahren
trizität ist das erste
•
=
zweite nach Definition der Polarisation
vorläufig
pr
=
B',
so
daß wir
als Kraftdichte erhalten
E
"
Erinnern wir
skopischem
und
dieser Ausdruck
6
"y
a
r
x>'
jetzt des Unterschiedes zwischen makro¬
äußerem Felde, so erkennen wir, daß auch
uns
zu
ergänzen ist durch die oben berechnete
Druckkraft, für die ich
unmittelbarere Ableitung
jetzt eine einfachere und
geben vermag. Die elek¬
also endgültig
leider bis
nicht
trostatische Kraftdichte wird
zu
e
0
oder wegen der
Feldgleichung
f)
V
f'.v
+
d pv
Iür~
_
~~
""'"
0
Da
der erste Term sich in bekannter Weise als Diver¬
genz der Max wellschen Spannungen im leeren Eaume schreiben
läßt, ist die.Identität mit dem ursprünglichen Resultate nach¬
gewiesen.
Damit
verlassen
wir
das
Gebiet
der Elektrostatik
und
gehen über zur Berechnung der Kraftdichte bzw. des Impuls¬
energietensors im allgemeinen Falle eines beliebigen, raum¬
zeitlich veränderlichen elektromagnetischen Feldes im Innern
23
—
—
elektrisch und
uns
magnetisch polarisierbarer Materie. Wir können
fassen; denn sie macht sich durch fast wörtliche
kurz
Übertragung
der
vorstehenden
Überlegungen
dem
aus
dimensionalen Raum in die vierdimensionale Welt.
zum
Impulsenergietensor
a
m
der Oberfläche
gebietes
G als
neu
im leeren Raum
1
F"'+
F
'
ti
des
drei¬
So treten
8*F«ßF
4
.
aß
ff
beliebigen, physikalisch
kleinen Welt¬
hinzu die Kräfte
M"*df
F
iv',
an
die das
Feld auf die außen
am Element dfr
makroskopische
ausübt.
Polarisationsladungen
Wegen des Unter¬
schiedes von makroskopischem und äußerem Felde
im Fall
der Magnetostatik tritt er besonders klar zutage
sind sie
zu ergänzen durch Spannungen Oa*, von denen, durch die voll¬
kommen entsprechende Variationsbetrachtung wie oben, an
einem Weltgebiet und der in ihm beschlossenen Wirkungsgröße
haftenden
—
—
bewiesen wird, daß sie einen einfachen Druck 0
deuten.
"
=
S
v
p
GO*
..
Übertragung
be-
der
Berechnung von p lür das
elektrostatische Feld auf den Fall der Magnetostatik, die
Superposition der zwei Spezialfälle zum allgemeinen des elek¬
tromagnetischen Feldes und endlich die Formulierung des
Resultates im vierdimensionalen Kalkül ergeben
Die
I)
Die kleinen Buchstaben m«' und
Feld sollen daran
erinnern, daß
faß
von
Polarisation und
sie hier laufende Größen be¬
deuten und die wirklich vorhandenen
F.
nur
als
grationsweg
obere
ist
Grenze
wieder die
des
Folge
Zustandsgrößen M"ß und
Inte¬
Integrals auftreten.
von
Zuständen wie sie die
Materie tatsächlich durchlaufen hat.
Der
Impulsenergietensor
wird
jetzt endgültig
F
Tv
=
F
(F" + Mu,) + <v
1
'
0
+
maß)dfnß,
24
oder nach Einführen des Tensor
Die Kraftdichte xa
folgt
Verschiebung
ihnen im
aus
V>*„= J^WffT/}
wo
negative Determinante
ff die
das Ohristoffelsche
F?" + M^*
zu
IffTf.
und
Gravitationspotentiale
Dreiindizessymbol
vitationskraft bedeuten.
=
allgemeinen Fall
)au\
der
B^v
{y}
die
negative
Gra¬
Für verschwindendes Schwerefeld
re¬
duziert sie sich auf
cîL»
(10)
x.
und
noch
in dieser
nur
=
speziellen
Gestalt wird sie
Von
Tj spaltet
leeren Raumes ab.
in der
Folge
sich in natürlicher Weise der Tensor des
Der ihm
entsprechende
dichte läßt sich bekanntlich umformen
"f
daß mit
Benützung
der
Anteil der Kraft¬
zu
fi Ff
F
so
uns
beschäftigen.
a xr
Feldgleichung (IIb)
xa sich schreiben
läßt
=
F
««
Das
J><
+
'
df°"
-riXv
Mf
!
i
Induktionsgesetz (II c)
iikBMi1'
/
d
x"
daß
scheint
die Kraftdichte
in
\
2
J
vermittelt die
'
"ß
j
Beziehung
=
2
so
I— fm*ßdf A
der
dx"
bemerkenswerten Gestalt
er¬
—
Kapitel
IV.
25
_
Diskussion der Resultate des
vorausgehenden.
Kapitels.
Welches sind die
Gültigkeitsgrenzen
des
aufgestellten Im¬
pulsenergietensors ?
Wie schon erwähnt, eine wesentliche
Voraussetzung dieser
langsame Veränderlichkeit der makroskopischen
Zustandsgrößen Feld und Polarisation über physikalisch kleine
Arbeit ist die
Weltgebiete.
Ferner muß die
Geltung
der
wahrem
der scharfen
Strome
Trennung von
gegeben sein, d. h.
Bedingung (2).
Dem letzten
zugrunde,
Möglichkeit
und
Polarisationsstrom
daß
Kapitel liegt unausgesprochen die Annahme
die Zahl
ruhenden Baumvolumen
der Moleküle in einem
sich
zur
Materie
während des Polarisierens nicht
Trifft das nicht zu, d. h. variiert der elastische Ver¬
zerrungszustand der Materie, so bleibt der aufgestellte Tensor
ändere.
gültig, sofern wir die aus ihm folgende Kraftdichte nicht auf
Volumeneinheit, sondern stets auf die im unverzerrten Zu¬
die
stand
und,
in
der Volumeneinheit
sofern wir
zur
enthaltenen
Moleküle
beziehen
Kraftdichte die durch die elastische Ver¬
zerrung mitbestimmten Striktionskräfte
wollen wir hier nicht eingehen.
beifügen.
Auf
sie
Diese Einschränkungen zugegeben, kann die Materie im
übrigen beliebig beschaffen sein; insbesondere gilt der Tensor
für amorphe, wie kristallisierte Körper, für Ferromagnetika
mit und ohne Hysterese, ja selbst für dispergierende Medien,
was allerdings von geringer Bedeutung ist, da Dispersion erst
bei Feldfrequenzen aufzutreten pflegt, die außerhalb der For¬
derung langsamer Veränderlichkeit über physikalisch kleine
Weltgebiete liegen.
bequemen Vergleich mit den früheren Arbeiten über
Gegenstand spalten wir bei ruhender Materie nach
Raum und Zeit und notieren im folgenden Schema die
Zum
denselben
Buhkomponenten
analysis:
des
Tensors
in
dreidimensionaler
Vektor-
26
—
t1
e.rb,
+
%ix
-[b,b]x
-/|(b,de)+(M$)}|e*by+ !),.&,, jeA+$*&«!
i
!
f
ej,b,,
tybx + tj./f),
-/{(Me)
Ij,yb„
+
+
(M$)l|e,b. + lj,bT
T'
e^ + tizh,,
e.b„+6»6,;;
e,b,
M»
+
-[b.b],;
1
o
-/{(b,rfe)+(6,d$)}
-!&,&],
1
Ml
[e,ft.
1
[e,t)l
j
J*{(e,rfb)
($,db)l
-f
0
Für
lineare
der
Abhängigkeit
Polarisation
Felde
vom
degeneriert Tj
Minkowski.1)
statischen Spannungen sind identisch mit den Ausdrücken,
zum
Tensor
Die elektro¬
von
e
wie
sie
Cohn-)
durch Variation der
Energiedichte
I
(e, dfy
o
gefunden
wie wir
Es
Energiedichte und Energieströmung
verlangen müssen.
hat.
es
fällt
in
die
der
auf,
Augen, wie weitgehend die alte HertzFeldgrößen je,ï)}{b,h} sich behauptet.
Würden nicht der eigentümlich verschiedene Kovarianzcharakter
der beiden Maxwellschen Gleichungssysteme und die elek¬
tronentheoretische Deutung so entschieden für die Abraham
sehe Symmetrie fe, 6}{b, fi} sprechen, man wäre versucht, beim
Anblick des aufgestellten Impulsenergietensors von neuem der
Hertzschen den Vorzug zu geben.
sche
Symmetrie
treten
-
des
Wir wenden uns jetzt
Impulsenergietensors.
Daß der
Tensor
gemischte
Besprechung der Asymmetrie
zur
Tav asymetrisch ist,
kann
uns
nicht wundern; allein auch die rein kovarianten, bzw. kontravarianten
T
=a
'S v a
r,v
'Vor
sind
___
fjo
a
T"
und
ci
rV
v
es.
1) H. Minkowski, a. a. 0.
2) E. Cohn, Das elektromagnetische
Feld
(Hirzel 1900).
27
—
—
Der mathematische Ausdruck dafür ist die Existenz des
Differenztensors
J<"
=
Tav
—
T"°
=
F
"
Mi'
•'
—
M
°
Ffv
Seine räumlichen Ruhkomponenten
[e,p]
+
[m,6]
=
(J32, J13, J21)
bedeuten bekanntlich das auf die Volumeneinheit der Materie
ausgeübte Drehmoment
[b,ö]
den
+
und seine zeitlichen
[m,e]
=
(J", J«, J«)
Überschuß der Impulsdichte über den Energiestrom.
Das scheint
bedenklich,
sich
vergegenwärtigt,
Impulsdichte und Energie¬
strom, als dem mathematischen Ausdruck für die Trägheit
der Energie, wie für den energetischen Ursprung aller trägen
Masse, innewohnt. Einwände, die von dieser Seite gegen den
aufgestellten Tensor gemacht werden, ist entgegen zu halten,
daß die eigentlichen und strengen Naturgesetze die Mikrögesetze sind. Durch ihre unter gewissen Voraussetzungen
[hier insbesondere Gleichung (2)J errechneten Mittelwerte,
welche
Bedeutung
wenn
der Gleichheit
man
von
werden sie natürlich nicht angetastet.
Es bleibt aber weiter
zu
erläutern, wie
aus
einem sym¬
metrischen Tensor durch Ausüben des Prozesses der Mittelung (1)
Hierzu das Folgende:
asymmetrischer entstehen kann.
beansprucht garnicht der durch (1) definierte strenge Mittel¬
wert des symmetrischen Mikrotensors zu sein, ist es sogar
sicher nicht, denn im unpolarisierten Zustand entspricht dem
Mikrofelde, obschon sein Mittelwert verschwindet, doch eine
von Null verschiedene und daher niemals durch makroskopische
Zustandsgrößen ausdrückbare Energiedichte.
ein
T
"
Die
Frage endlich,
ob
Tj wenigstens
den Zuwachs dar¬
den der Mittelwert des Mikrotensors durch das Polari¬
stellt,
erleidet, lassen wir offen; denn es ist sehr wohl mög¬
lich,
Symmetrieeigenschaften von Tensorkomponenten,
die sich über das physikalisch kleine Mittelungsgebiet derart
wild ändern, wie das beim Mikrotensor des elektromagnetischen
Feldes der Fall ist, dem Mittelwerte nicht erhalten bleiben.
sieren
daß die
28
—
Daß
beispielsweise
stalles in
physikalisch
kleines Stück eines Kri-
einem elektrischen Felde ein Drehmoment erfährt,
das für ein unendlich kleines Gebiet nicht zutrifft,
obschon
kommt
ein
—
daher, daß schon
nur
im einzelnen Molekül entgegen¬
gesetzte Ladungen vorhanden sind, die
eine in dem
physikalisch
positiven und negativen
Ladungsdichte ç also
unzählige Male zwischen
und herspringende Funk¬
kleinen Stück
Werten hin-
tion darstellt.
Tj
ist daher für
muß,
ansetzen
man
uns
um
Zur Diskussion der
Gleichung (11).
Strom.
Die
Materie.
richtige Kraftdichte
Kraftdichte
Tensor, den
erhalten.
zu
selbst stützen wir
uns
auf
Der erste Term ist die Kraft auf den wahren
zwei
anderen sind Kräfte auf die
Im
hängt das
nichts anderes als der
die
allgemeinen,
Integral
polarisierbare
Hysterese
d. h. bei Anwesenheit
von
jm"fdfnß
Integrationsweg
vom
gegen
m"ßdfBg
Für
ab.
hysteresefreie
Differential, was
ein exaktes
trope, linear polarisierbare Dielektrika
zu
Medien ist da¬
B. für aniso¬
z.
den bekannten In-
tegrabilitätsbedingungen
führt,
wo
die
die durch
e'*
b'
=
*'*e„
definierten Dielektrizitätskonstanten bedeuten.
Integrals
ist also durch die Grenzen allein
Der Wert des
bestimmt, und
wir
sind imstande, seinen Gradienten auszudifferenzieren:
fix°
bJ
'»«J
2
O
der zweite allein
Abhängigkeit
stalt
an:
J
dx°
laß
0
Der erste Term
nimmt also
*
Sa"
vom
der
für
rührt her
vom
Gradienten der
Polarisation
Gradienten des Feldes,
eindeutig vorausgesetzten
vom
hysteresefreie Medien
Felde.
die
Die Kraftdichte
ganz einfache Ge¬
(12)
Abgesehen
wahren Strom erfährt also ein
vom
freies Medium in einem
außer Drehmomenten
hysterese¬
beliebigen elektromagnetischen Felde
nur
da Kräfte,
Polarisation
der
wo
die funktionelle Ab¬
Felde
einen Gradienten
hängigkeit
ein
insbesondere
also
zeigt;
homogener Körper nur in seiner
und
Das ist ein Resultat,
zwar senkrecht zu ihr.
Oberfläche,
das bei einer Impulsdichte [e, f)] statt [b, b] niemals erfüllt
wäre, und hier müßte der Experimentator einsetzen, der hier¬
über den allerdings schwer zu führenden praktischen Entscheid
für nötig hält.
Für
vom
isotrope Körper, deren Materialgleichungen durch
b
=
ee
und
b
gegeben seien,
wo
die
=
fit)
Dielektrizitätskonstanten"
raumzeitlich
variabel, noch beliebige eindeutige Funktionen e(e) und fi[b)
des Feldes bedeuten, nehmen die Ruhkomponenten der Glei¬
chung (12) die bekannten, hier aber mit erweitertem Gültigkeits¬
bereich auftretenden Werte
an:
b
e
*i,«.8
=
ft6]
+
?e-Jgrade(e,rfe) -Jgrad
O
*4
=
(~-) (6, di)
0
-M-J-^-Mej-J—^^M6).
«
0
Die
Leistungsdichte enthält außer dem Joule sehen Effekt
Glieder, die dann von NuU verschieden sind, wenn
(i, e)
c und n noch
explizite von dtr Zeit abhängen, was z. B. da
der Fall sein wird, wo sie beide Funktionen der Temperatur
noch
und diese sich mit der Zeit ändert.
—
Es
ist
das
Eesultat
30
dieser
—
Arbeit,
nachgewiesen
zu
Lösung des elektromagnetischen Problems
im groben (makroskopisch) im Innern ponderabler, bewegter
Materie in jedem Weltpunkte außer dem wahren Viererstrom
nur eine einzige, durch die Konfiguration der Mikroladungen
allein bestimmte Größe, nämlich den durch Gleichung (IId)
definierten Tensor der Polarisation in seiner Abhängigkeit vom
Mittelwerte des Feldes, von Temperatur, elastischem Ver¬
zerrungszustand etc. kennen muß.
haben, daß
man
zur
—
31
—
Lebensabriß.
Ich,
ton
Bern)
Hans Walter
bin
am
«ines Beamten.
Frühling
Tertia
Dällenbach
29. Mai 1892 in
Nach
von
Burgdorf geboren
(Kan¬
als Sohn
vier Jahren Primarschule trat ich
1903 daselbst in das städtische
brachte den
Otterbach
Übergang
aus
Gymnasium
im
Die
ein.
der humanistischen Abtei¬
lung in die realistische, die ich im Herbst 1911 mit dem
Reifezeugnis verließ. Meine unmittelbar darauffolgenden Stu¬
dienjahre an der Maschineuingenieurabteilung der E. T. H.
fanden ihren Abschluß im Sommer 1916 durch das Diplom
für Elektroingenieure. Seit Oktober 1916 bin ich als Assistent
für Maschinenzeichnen und Konstruieren bei Herrn Prof. Meyer
in Stellung.
Außer durch eine zweimalige Ferienpraxis in den Werk¬
stätten
und
im
Örlikon erfuhren
„Bureau de Lausanne"
sowohl das
Studium,
der Maschinenfabrik
wie auch meine
Tätig¬
keit als Assistent öfters kürzere und längere Unterbrüche durch
Seit 1912 in den letzten Jahren als Leutnant
Militärdienst.
der Feldartillerie
war
ich
bis
heute
an
ca.
800
Tagen
ent¬
weder einberufen oder dann in Zivil mit militärischen Arbeiten
beauftragt.
Es
ist
mir eine
angenehme Pflicht, allen meinen hoch¬
verehrten Lehrern, insbesondere den Herren Professoren Albert
Einstein,
Aurel
Stodola,
Hermann
Weyl
und
Medicus, die auf meine Bildung in technischer, wie
vor
Fritz
allem
physikalisch-mathematischer
philosophischer Beziehung
größten Einfluß waren, an dieser Stelle meinen tiefen
Dank auszusprechen.
Meiner Mutter aber, die nach dem frühen Tode meines
Vaters die ganze Last der Erziehung ihrer drei Söhne allein
zu tragen wußte, widme ich diese Arbeit.
in
vom
und