Inhaltsverzeichnis
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Inhaltsverzeichnis Vorwort zur ersten Auflage Vorwort zur zweiten Auflage XVI XVIII I. Allgemeine Grundlagen A. B. C. D. Was ist Mathematik? Die Sprache der Mathematik Die verschiedenen Arten des mathematischen Beweises Deduktion, Induktion und Intuition in der Mathematik II. Einfuhrung der Zahlen A. Einige Betrachtungen aus der Mengenlehre 1. Begriff der Menge und Operationen mit verschiedenen Mengen 2. Relationen und Operationen innerhalb einer Menge B. Natiirliche Zahlen 1. Definition und Darstellung 2. Das Rechnen mit den natiirlichen Zahlen 3. Zahlentheorie C. Negative Zahlen D. Briiche E. Irrationale Zahlen F. Komplexe Zahlen G. Einige abgeleitete Rechenregeln 1. Das Rechnen mit Summen- und Produktzeichen 2. Das Rechnen mit Ungleichungen 1 3 5 6 7 7 7 10 10 11 13 14 15 17 18 21 21 23 III. Kombinatorik A. B. C. D. Permutationen Variationen Kombinationen Binomischer Lehrsatz 27 29 31 33 IV. Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungen A. Matrizen B. Determinanten 1. Definition 2. Verfahren zur Berechnung von Determinanten niedriger Ordnung 3. Laplacescher Entwicklungssatz 4. Das Rechnen mit Determinanten 5. Verfahren zur Berechnung von Determinanten beliebiger Ordnung . . . . 6. Unterdeterminanten und Rang einer Matrix 7. Lineare Abhangigkeit 39 42 42 43 44 45 47 48 50 C. Lineare Gleichungen 1. Einleitung 2. Inhomogene Gleichungssysteme 52 52 53 VI Inhultsverzeichnis a) System gleich vieler Gleichungen und Unbekannter mit nicht verschwindender Koeffizientendeterminante oc) Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten S. 53; P) n Gleichungen mit n Unbekannten S. 55 b) Allgemeines inhomogenes Gleichungssystem a) Bedingungen fur die Losbarkeit S. 58; p) Verfahren zum Auffinden der Losungen S. 61 3. Homogene Gleichungssysteme a) Diskussion der Losbarkeit b) Satze iiber Losungen. Fundamentales Losungssystem c) Allgemeine Losung des inhomogenen Systems 4. Zusammenhang mit Vektorrechnung und analytischer Geometrie 53 58 62 62 64 65 66 V. Gleichungen hoheren Grades A. Gleichungen mit einer Unbekannten 1. Ubersicht iiber die Losungsmethoden 2. Allgemeine Betrachtungen iiber die Existenz und Eigenschaften der Losungen 3. Einige Betrachtungen iiber Polynome B. Gleichungen mit mehreren Unbekannten C. Algebraische und transzendente Zahlen. Konstruktion von Zahlen auf der Zahlengeraden 67 67 68 71 71 72 VI. Unendliche Zahlenfolgen und Reihen A. Unendliche Zahlenfolgen 1. Definition, Bezeichnungen und Beispiele 2. Haufungswerte, Grenzwert, Konvergenz und Divergenz 3. Konvergenzkriterien 4. Das Rechnen mit Grenzwerten B. Unendliche Reihen 1. Definition. Bezeichnungen und Beispiele 2. Reihenrest und Giite der Konvergenz 3. Konvergenzkriterien 4. Das Rechnen mit unendlichen Reihen 5. Potenzreihen C. Definition von Zahlen durch Reihen . 75 75 76 77 80 82 82 84 85 89 90 91 VII. Funktionen A. Erlauterung des Funktionsbegriffes B. Funktionen einer Veranderlichen 1. Qarstellung 2. Interpolation und Extrapolation 3. Umkehrung und implizite Darstellung einer Funktion 95 96 96 97 98 lnhaltsvvrzeichni* 4. Wichtige Begriffe zur Charakterisierung von Funktionen 5. Diskussion einiger spezieller Funktionen a) Algebraische Funktionen b) Exponentialfunktionen c) Logarithmusfunktionen d) Kreisfunktionen e) Zyklometrische Funktionen f) Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrungen g) Einige weitere spezielle Funktionen 6. Einfiihrung des Begriffs der Stetigkeit a) Allgemeine Definition der Stetigkeit b) GleichmaBige Stetigkeit c) Grenzwerte, rechts- und linksseitige Stetigkeit 7. Zuordnung von Funktionswerten mit Hilfe von Grenzwerten 8. Satze iiber stetige Funktionen 9. Definition von Funktionen durch unendliche Reihen C. Funktionen mehrerer Veranderlicher 1. Darstellung 2. Einige Betrachtungen iiber Definitionsbereiche 3. Stetigkeit und gleichmaBige Stetigkeit 4. Quadratische Formen V11 100 102 102 104 106 108 Ill 112 113 115 115 117 117 118 120 120 122 122 126 127 127 VIII. Vektoralgebra A. Definition des Skalars und des Vektors B. Algebraische Operationen mit Vektoren 1. Summe von Vektoren 2. Differenz von Vektoren 3. Zerlegung eines Vektors 4. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 5. Einheitsvektoren und Darstellung eines Vektors durch die Summe der aus den Komponenten gebildeten Vektoren 6. Skalares Produkt 7. Vektorielles Produkt 8. Mehrfache Produkte 131 132 132 134 134 135 135 136 138 141 C. Lineare Abhangigkeit und Darstellung in verschiedenen Raumen 1. Lineare Abhangigkeit von Vektoren 2. Darstellung eines Vektors mit Hilfe eines beliebigen Dreibeins a) Allgemeines Dreibein b) Orthonormiertes Dreibein c) Transformationsgleichungen in Matrixform d) Kovariante und kontravariante Komponenten e) Betrag und skalares Produkt im allgemeinen Fall 143 143 145 145 149 151 152 153 D. Der n-dimensionale Vektorraum 154 VIII Inhaltsverzeichnis IX. Analytische Geometrie A. Aufgaben der analytischen Geometrie B. Beispiele fur die analytische Darstellung von Kurven und Flachen 1. Darstellung durch Gleichungen in x, y und z a) Ebenes Koordinatensystem b) Raumliches Koordinatensystem 2. Parameterdarstellung 159 159 159 159 161 167 C. Abbildungen 1. Begriff der Abbildung 2. Diskussion einiger spezieller Abbildungen a) Parallelverschiebung b) Affine Abbildung mit festliegendem Koordinatenursprung a) Eigenschaften der Abbildung S. 173; B) Aufeinanderfolge mehrerer Abbildungen S. 175; y) Umkehrung der Abbildung S. 175; 5) Eigenwerte und Eigenvektoren S. 176 c) Drehung und Spiegelung als Sonderfall affiner Abbildungen a) Eigenschaften der Abbildungsmatrizen S. 180; P) Aufsuchen der orthogonalen Matrizen zweiter Ordnung S. 182 d) Nichtlineare Abbildungen 3. Systematische Unterteilung der Abbildungen; Erlanger Programm . . . . D. Koordinatentransformationen 1. Allgemeines 2. Diskussion einiger spezieller Transformationen a) Affine Transformationen mit festbleibendem Koordinatenursprung . b) Drehung des Koordinatensystems als Sonderfall der affinen Transformation c) Transformation auf krummlinige Koordinaten 3. Anderung einer Abbildungsmatrix bei der Koordinatentransformation a) Allgemeine Transformation. Invarianz der Spur b) Diagonalisierung von Matrizen E. Diskussion der allgemeinen Gleichung zwei ten Grades. Hauptachsentransformation 170 170 172 172 173 180 185 187 189 189 190 190 193 195 198 198 200 203 X. Differential- und Integralrechnung von Funktionen einer Veranderlichen A. Differentiation von Funktionen 1. Die erste Ableitung einer Funktion 2. Das Rechnen mit Differentialen 3. Differentiation einiger spezieller Funktionen 4. Einige allgemeine Regeln fur das Differenzieren 5. Differentiation weiterer spezieller Funktionen 6. Numerisches Differenzieren 7. Hohere Ableitungen 8. Mittelwertsatz der Differentialrechnung 209 209 211 212 214 218 222 223 224 Inhaltsverzeichnis IX 9. Anwendungen des Differenzierens a) Geschwindigkeit b) Naherungsweise Berechnung von Funktionsanderungen B. Integration von Funktionen 1. Das bestimmte Integral a) Begriff des bestimmten Integrals b) Beispiele zur Berechnung bestimmter Integrate mit Hilfe der Summenformel c) Einige Satze iiber bestimmte Integrale d) Integralabschatzung und Mittelwertsatz der Integralrechnung 2. Das unbestimmte Integral a) Definition der Stammfunktion b) Definition des unbestimmten Integrals 3. Berechnung des bestimmten Integrals mit Hilfe der Stammfunktion . . . 4. Verfahren zur Integration a) Allgemeines b) Zerlegung des Integrals in eine Summe von Integralen c) Abspaltung eines konstanten Faktors d) Substitution einer neuen Variablen e) Partielle Integration f) Rekursion g) Partialbruchzerlegung h) Definition von Funktionen durch Integrale 5. Uneigentliche Integrale 6. Anwendungen des Integrierens a) Flachenberechnungen b) Berechnung der Arbeit c) Angenaherte Berechnung von Summen durch Integration 7. Stieltjessches Integral und Lebesguesches Integral C. Integration und Differentiation unendlicher Folgen und Reihen von Funktionen D. Taylorsche Reihe 1. Aufsuchen der Taylorschen Reihe 2. Ableitung einer Formel zur Abschatzung des Restgliedes 3. Beispiele fiir Reihenentwicklungen E. Unbestimmte Ausdriicke; Ordnung von Null- und Unendlichkeitsstellen . . . 1. Die Ausdrucke 0/0 und oc/x 2. Weitere unbestimmte Ausdrucke 3. Ordnung von Nullstellen und Unendlichkeitsstellen F. Kurvendiskussion; Maxima und Minima 1. Charakteristische Kurvenpunkte 2. Bestimmung von Nullstellen 3. Bestimmung von Maxima und Minima 4. Bestimmung von Wendepunkten und Sattelpunkten 5. Durchfiihrung der Kurvendiskussion 6. Andere Extremwertaufgaben 225 225 227 228 228 228 231 234 234 237 237 238 239 241 241 241 241 242 244 245 245 248 249 252 252 253 255 256 258 261 261 263 264 267 267 270 2^1 273 273 274 275 276 277 279 X lnhaltsverzeichnis XI. Differential- und Integralrechnung von Funktionen mehrerer Veranderlicher A. Differentiation 281 1. Begriff der partiellen Ableitung 281 2. Hohere Ableitungen; Satz von Schwarz 283 3. Allgemeine Betrachtungen iiber die partiellen Ableitungen sowie iiber die Existenz einer Tangentialebene 284 4. Das totale Differential 286 5. Differentiation mittelbarer Funktionen 288 6. Differentiation impliziter Funktionen 290 7. Systeme von Funktionen und deren Umkehrung 293 a) Der Begriff der Funktionaldeterminante 293 b) Existenz und Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion 294 8. Schreibweise des partiellen Differentialquotienten in der Thermodynamik 295 B. Einfaches Integral iiber eine Funktion mehrerer Veranderlicher 1. Eigenschaften des Integrals 2. Differentiation des Integrals 3. Integration des Integrals 4. Besonderheiten bei uneigentlichen Integralen 5. Anwendung der Ergebnisse zur Berechnung bestimmter Integrale . . . . . 299 299 299 301 303 304 C. Bereichsintegrale 1. Definition des zweidimensionalen Bereichsintegrals 2. Berechnung des zweidimensionalen Bereichsintegrals 3. Integrale iiber Bereiche von mehr als zwei Dimensionen 4. Transformation der Variablen als Hilfe zur Integralberechnung 5. Anwendungen a) Berechnung von Volumina b) Berechnung von Oberflachen 306 306 307 311 312 315 315 319 + X c) Berechnung des Integrals J e IX dx D. Kurvenintegrale 1. Definition und Berechnung 2. Wegunabhangigkeit des allgemeinen Kurvenintegrals 3. Vollstandiges und unvollstandiges Differential 4. GauBscher Integralsatz und Greensche Integralformeln E. Flachenintegrale F. Mittelwertsatz und Taylorsche Reihe G. Maxima und Minima 1. Charakteristische Flachenpunkte 2. Bestimmung von Maxima, Minima und Sattelpunkten 3. Bestimmung von Maxima und Minima unter Nebenbedingungen 320 322 322 326 330 331 334 337 338 338 340 342 XII. Vektoranalysis und Tensorrechnung A. Vektoranalysis 1. Vektorfelder und Skalarfelder 349 349 lnhaltsverzeichnis 2. Der Gradient 3. Konservative Vektorfelder 4. Die Divergenz und der Satz von GauB 5. Die Rotation und der Satz von Stokes 6. Nablaoperator und Laplaceoperator 7. Einige Rechenregeln 8. Krummlinige Koordinaten B. Tensorrechnung 1. Einfaches Beispiel fur einen Tensor zweiter Stufe 2. Allgemeine Definition des Tensors zweiter Stufe 3. Tensorellipsoid XI 350 353 355 358 359 360 360 363 363 367 367 XIII. Funktionentheorie A. Aufgaben der Funktionentheorie B. Definition und Darstellung von Funktionen einer komplexen Variablen 1. Folgen und Reihen von komplexen Zahlen 2. Definition von Funktionen 3. Einige Rechenregeln fur komplexe Zahlen 4. Stetigkeit von Funktionen 5. Mehrdeutige Funktionen; Riemannsche Flache C. Differentiation und Integration von Funktionen komplexer Variabler 1. Differentiation; Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen 2. Singulare Stellen 3. Integration 4. Wegunabhangigkeit des Integrals 5. Das Residuum 6. Cauchysche Integralformel D. Reihenentwicklungen von Funktionen einer komplexen Variablen 1. Allgemeines iiber Reihen und Funktionen 2. Taylorsche Reihe 3. Laurent-Reihe 4. Zur Berechnung des Residuums E. Weitere funktionentheoretische Betrachtungen 1. Der Identitatssatz fur analytische Funktionen 2. Analytische Fortsetzung 3. Einteilung der Funktionen 371 371 371 372 376 378 379 381 381 384 384 386 388 391 393 393 394 396 398 399 399 400 401 XIV. Reihenentwicklung nach orthonormierten Funktionensystemen; Integraltransformationen A. Fourierreihen und Fourierintegrale 1. Fourierreihe einer Funktion von einer Variablen in reeller Schreibweise a) Angabe der Formeln und Beispiele b) Beweis 405 405 405 411 XII Inhaltsverzeichnis 2. Fourierreihe einer Funktion von einer Variablen in komplexer Schreibweise • 3. Fourierreihe einer Funktion von mehreren Variablen 4. Fourierintegral 5. Die Deltafunktion B. Darstellung einer Funktion durch eine Reihe aus orthonormierten Funktionen 1. Problemstellung; orthonormierte Funktionensysteme 2. Reihenentwicklung C. Darstellung einer Funktion durch ein Integral (Integraltransformation) 1. Allgemeine Betrachtungen 2. Fouriertransformation 3. Laplacetransformation D. Operatoren E. Funktionen als Vektoren in unendlich-dimensionalen Raumen 1. Deutung einer Funktion f(x) als Vektor 2. Transformation einer Funktion in verschiedene Raume. Hilbertraum . . 3. Diagonalisierung von Abbildungsmatrizen bzw. Operatoren 4. Vereinheitlichung der Schreibweise mit Hilfe von Diracschen bra- und ket-Symbolen 413 415 416 420 422 422 424 428 428 429 432 434 435 435 437 442 444 XV. Differentialgleichungen A. Allgemeine Definitional und Beispiele 1. Gewohnliche Differentialgleichungen 2. Systeme von gewohnlichen Differentialgleichungen 3. Partielle Differentialgleichungen 4. Aufgaben der Theorie der Differentialgleichungen 449 449 452 452 453 B. Gewohnliche Differentialgleichungen erster Ordnung 1. Aussagen iiber die Existenz und Eindeutigkeit der Losungen a) Gleichungen, die sich in eindeutiger Weise nach y' auflosen lassen . . b) Gleichungen, die sich nicht eindeutig nach y' auflosen lassen 2. Verfahren zur Losung der linearen Differentialgleichungen a) Allgemeine Betrachtungen b) Losung der homogenen Gleichung c) Losung der inhomogenen Gleichung 3. Verfahren zur Losung eines Systems von linearen Differentialgleichungen a) Allgemeine Betrachtungen b) Losung homogener Systeme a) Untersuchungen iiber die Losungsmannigfaltigkeit S. 441; P) Aufsuchen des allgemeinen Integrals S. 443 c) Losung inhomogener Systeme 4. Verfahren zur Losung nichtlinearer Differentialgleichungen 454 454 454 457 459 459 459 461 463 463 465 465 467 471 472 C. Gewohnliche lineare Differentialgleichungen hbherer Ordnung 474 1. Allgemeines iiber die Existenz u n d Mannigfaltigkeit der Losungen . . . . 474 liihultsverzeichnis XIII 2. Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten a) Allgemeines b) Differentialgleichung der ungediimpften freien Schwingungen a) Ansatz einer trigonometrischen Funktion S. 476; P) Ansatz einer reellen Exponentialfunktion S. 480; y) Ansatz einer komplexen Funktion S. 481 c) Differentialgleichung der gedampften freien Schwingungen d) Differentialgleichung erzwungener Schwingungen 3. System von Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 4. Lineare Differentialgleichungen mit nichtkonstanten Koeffizienten . . . . a) Allgemeines iiber das Losen von Differentialgleichungen durch Reihen b) Aufsuchen der Losungen einiger spezieller Differentialgleichungen .. a) Legendresche Differentialgleichung S. 466; P) Besselsche Differentialgleichung S. 468; y) Einige weitere Differentialgleichungen S. 497 D. Randwert- und Eigenwertprobleme 1. Randwertaufgaben 2. Eigenwerte und Eigenfunktionen 3. Anwendung der Operatorschreibweise 476 476 476 476 480 481 482 484 E. Partielle Differentialgleichungen 1. Allgemeines 2. Aufsuchen der Losung mit Hilfe des Bernoullischen Produktansatzcs . a) Grundsatzliche Betrachtungen zum Losungsverfahren b) Eindimensionale Wellengleichung (Gleichung der sen wingenden Saite) oc) Ableitung der partiellen Differentialgleichung S. 507; 8) Aufsuchen einer speziellen Losung bei vorgegebenen Anfangs- und Randbedingungen S. 508; y) Allgemeine Betrachtungen iiber die Losungen S. 511 c) Die Gleichung der schwingenden Membran d) Differentialgleichung der Diffusion und Warmeleitung a) Ableitung und Diskussion der Gleichung S. 490; B) Diffusion in einem Stab endlicher Lange S. 491; y) Diffusion in einem unendlich langen Stab S. 493 3. Losung mit Hilfe von Integraltransformationen a) Allgemeines b) Methode der Laplacetransformation c) Methode der Fouriertransformation 4. Losung mit Hilfe der Greenschen Funktion a) Allgemeines b) Beispiel einer gewohnlichen Differentialgleichung c) Beispiel einer partiellen Differentialgleichung 487 492 492 493 493 495 498 498 501 503 504 504 506 506 507 514 518 518 519 521 523 523 524 527 529 529 531 534 XVI. Gruppentheorie A. Grundlagen 1. Definition der Gruppe 2. Konjugierte Elemente und Einteilung in Klassen 539 539 542 XIV Inhaltsverzeichnis B. Symmetriegruppen 1. Symmetrieoperationen 2. Symmetriegruppen 544 544 545 C. Darstellungstheorie 1. Grundlagen der Darstellung von Gruppen 2. Zusammenhang zwischen verschiedenen Darstellungen 3. Irreduzible Darstellungen 4. Charaktertafeln 5. Darstellung im Vektorraum der Normalkoordinaten a) Allgemeine Betrachtungen b) Anwendung auf Normalschwingungen 6. Diagonalisierung von Matrizen. Symmetrische Koordinaten 548 548 549 551 553 554 554 557 561 XVII. Wahrscheinlichkeitsrechnung A. Einleitung 1. Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Einige Aussagen iiber zufallige Ereignisse; Ereignisraum 3. ZufallsgroBen B. Definition und Berechnung der Wahrscheinlichkeit im Falle diskreter ZufallsgroBen 1. Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit 2. Wahrscheinlichkeit der Summe von Ereignissen 3. Diskussion des Falles gleichwahrscheinlicher Elementarereignisse 4. Bedingte Wahrscheinlichkeit 5. Wahrscheinlichkeit des Produktes von Ereignissen 6. Totale Wahrscheinlichkeit 7. Formeln von Bayes 8. Zur axiomatischen Begriindung der Wahrscheinlichkeitsrechnung C. Definition und Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichte im Falle kontinuierlicher ZufallsgroBen 1. Definition der Wahrscheinlichkeitsdichte 2. Wahrscheinlichkeitsdichte der Summe zweier ZufallsgroBen D. Kette von n Versuchen 1. Kette von voneinander unabhangigen Versuchen (Bernoulli-Schema) . . a) Ableitung der exakten Gleichungen b) Diskussion der Funktion Pn(m) c) Naherungsgesetze fiir groBe n a) Formulierung und Diskussion der Grenzwertsatze S. 587; p) Beweis der Grenzwertsatze S. 590; y) Beispiele und Anwendungen S. 592 d) Das Galtonsche Brett e) Das Bernoullische Gesetz der groBen Zahlen 2. Markowsche Ketten a) Definition der Markowschen Kette 567 567 568 569 570 570 572 572 574 576 577 578 578 580 580 582 584 584 584 585 587 594 594 595 595 hiluiliwcrzciclmis XV b) Ubergangsmatrix nach m Versuchen c) Grenzwert der Ubergangsmatrix E. Stochastische Prozesse 1. Definition und Einteilung der stochastischen Prozesse 2. Der Poisson-ProzeB 3. Diskrete Markowprozesse 4. Kontinuierliche Markowprozesse 597 599 600 600 601 603 603 F. Verteilungsfunktionen und Parameter einer Verteilung 1. Definition der Verteilungsfunktion 2. Die Parameter einer Verteilungsfunktion a) Eindimensionale ZufallsgroBe b) Mehrdimensionale ZufallsgroBe G. Aufgaben der Statistik 604 604 606 606 609 609 XVIII. Fehler- und Ausgleichsrechnung A. Zufallige und systematische Fehler 611 B. Mittelwert und Fehler der Einzelmessungen 611 1. Verteilung der MeBwerte und Mittelwert 611 2. Mittlerer Fehler der Einzelmessungen 613 3. Wahrscheinlicher Fehler der Einzelmessung 614 4. Praktische Durchfiihrung der Rechnungen 615 C. Fehlerfortpflanzung 617 1. Fortpflanzung des Fehlers einer Einzelmessung sowie des maximalen Fehlers 617 2. Fortpflanzung des mittleren Fehlers 619 3. Mittlerer Fehler des Mittelwertes 621 D. Ausgleichsrechnung bei zwei voneinander abhangigen MeBgroBen 622 Antworten und Losungen 625 Weiterfiihrende Literatur 653 Register 655
