Versuch 24: Röntgenstrahlung

Röntgenstrahlung
• Röntgenstrahlung
Vorbereitung: Erzeugung von Röntgenstrahlen, Funktionsweise einer Röntgenröhre, spektrale Zusammensetzung von Röntgenstrahlung, Eigenschaften von Röntgenstrahlung, Wechselwirkung mit Materie (Absorption und Streuung), Nachweis und Spektrometrie (Bragg-Reflexion) von Röntgenstrahlung, Funktionsweise eines Zählrohrs.
Dieser Versuch wurde aus Studiengebühren beschafft!
1.
Grundlagen der Röntgenstrahlung
Energie nimmt zu
Wellenlänge nimmt zu
Röntgenstrahlen sind elektromagnetische Wellen (wie Licht), die in einem Wellenlängenbereich von ca. 10-9 m bis 10-11 m liegen, wie in der Tabelle zu ersehen ist befindet sich dieser
Teil zwischen dem Bereich des ultravioletten Lichts und der Gammastrahlung (Abb. 1).
Abb. 1: Einteilung elektromagnetischer Strahlung nach Frequenzen und Wellenlängen.
Röntgenstrahlung
2. Erzeugung von Röntgenstrahlung
Röntgenstrahlen werden in einer evakuierten Röhre erzeugt; dabei werden Elektronen aus der
Glühkathode herausgelöst und mittels einer anliegenden Spannung zwischen Kathode und
Anode in Richtung der positiven Elektrode beschleunigt (Abb.2). Nach dem Durchlauf der
angelegten Hochspannung UA (ca. 10 kV - 100 kV) besitzen die Elektronen am Ende eine kinetische Energie.
Ekin = e⋅UA
e: Ladung eines Elektrons
Heizspannung
(Heizstrom)
Glühkathode
hν
Vakuum
UH
-
e-
-
Glühkathode
Anode
UA Anodenspannung
_
+
Abb. 2: Schematischer Aufbau einer Röntgenröhre mit Ionisationskammer.
Diese kinetische Energie wird beim Auftreffen auf die Anode hauptsächlich in Wärmeenergie
(99%) umgewandelt und nur ein kleiner Anteil wird als Röntgenstrahlung emittiert. Im Anodenmaterial verlieren die Elektronen Energie durch inelastische Stöße mit den Elektronen
der Atome und durch Abstrahlung bei Ablenkung und Beschleunigung im Coulombfeld des
Atomkerns. Bei diesem Vorgang entsteht ein kontinuierliches Spektrum, das Bremsspektrum.
Dabei ist diese Röntgenstrahlung zusammengesetzt aus Röntgen- Bremsstrahlung und Charakteristischer Röntgenstrahlung wobei die Entstehung der jeweiligen Art zur Namensgebung
führte.
2.1 Röntgen- Bremsstrahlung (kontinuierliches Bremsspektrum)
Röntgen- Bremsstrahlung entsteht, wenn Elektronen im elektrischen Feld eines Atomkernes
abgebremst werden. Dabei „verliert“ das Elektron durch den Abbremsvorgang Energie, die
infolge des Energieerhaltungssatzes zum Großteil in Energie der entstehenden Photonen EPh
umgewandelt wird (Abb. 3).
Z
e-
hν
Abb. 3: Abbremsvorgang eines Elektrons im Coulombfeld eines Kerns mit
Aussendung eines Photons.
Die Energieabgabe verläuft dabei in unterschiedlichen, kontinuierlichen Beträgen, wodurch
ein kontinuierliches Spektrum entsteht.
Röntgenstrahlung
Die Photonenenergie Eph ist abhängig von der Wellenlänge bzw. der Frequenz.
EPh =h⋅v=
λ: Wellenlänge Röntgenstrahlung
h: Plancksches Wirkungsquantum
c: Lichtgeschwindigkeit
ν: Frequenz Röntgenstrahlung
h⋅c
λ
Je größer also die Energie der Photonen, desto größer die Frequenz v und desto kleiner die
Wellenlänge λ der Röntgenstrahlung.
Die kürzeste Wellenlänge λmin des Röntgenspektrums entsteht, wenn ein Elektron seine gesamte Energie in nur einen Prozess beim Abbremsen abgibt (Gl. 3).
λ min =
λmin: Grenzwellenlänge
h: Plancksches Wirkungsquantum
c: Lichtgeschwindigkeit
e: Elementarladung
U: Beschleunigungsspannung
h⋅c
e⋅U
Die nachfolgende Abbildung zeigt verschiedene Bremsspektren in Abhängigkeit von den Beschleunigungsspannungen und den Emissionsstrom.
50 kV
I
I
35 kV
50 kV
I > I0
I0
25 kV
20 kV
λ
λmin
Abb. 4: Kontinuierliches Bremsspektrum in Abhängigkeit von der
Beschleunigungsspannung und ihre
jeweilige Grenzwellenlänge.
λmin
λ
Abb. 5: Kontinuierliches Bremsspek-trum
mit jeweils zwei identischen Beschleunigungsspannungen, aber unterschiedlichem
Emissionsstrom.
2.2 Die charakteristische Röntgenstrahlung
Das Atom besteht aus eine Kern mit positiver Ladung Z * e und Z Elektronen, deren Aufenthaltswahrscheinlichkeit und Energien von den jeweiligen Quantenzahlen abhängen. Elektronen mit annähernd gleichen Energien werden zu einzelnen Gruppen, zu Schalen zusammenfassen. Diese werden von innen nach außen mit Elektronen aufgefüllt (Pauliprinzip) und
dementsprechend in diese Richtung durch Großbuchstaben gekennzeichnet (K, L, M, N,
usw.).
Diese Schalen sind Energieniveaus die die Energie der Elektronen der Schale charakterisieren. Die Höhe der Energie der Energieniveaus ist zunehmend von innen nach außen.
Röntgenstrahlung
Ist die kinetische Energie der beschleunigten Elektronen groß genug, um ein Elektron beim
Auftreffen aus der Atomhülle zu schlagen (ionisieren) dann kann ein Elektron aus einer weiter
außen befindlichen Schale in die entstandene Lücke überspringen. Dabei sind nicht alle Übergänge erlaubt, sondern nur solche welche bestimmte Auswahlregeln erfüllen (Abb. 6). Dies ist
abhängig von der Energie der beteiligten Energieniveaus.
Die Differenzenergie Eaußen-Einnen wird in Form elektromagnetischer Strahlung im Wellenlängenbereich der Röntgenstrahlung abgegeben (Gl. 4). Dieses Röntgenquant (=Photon) hat eine
h⋅c
EPh =E außen −Einnen =h⋅v=
feste Energie:
λ
Hierbei sind eine große Zahl von Übergängen möglich (Abb. 6). Es entsteht ein Linienspektrum, welches vom Atomaufbau und speziellen Eigenschaften des Anodenmaterials abhängig
ist; die so entstandene Röntgenstrahlung wird Charakteristische Strahlung (Abb. 7) genannt.
n
_
e
_
P
O
6
5
N
4
M
3
L
2
K
1
Abb. 6: Mögliche Übergänge beim Herausschlagen eines Elektrons der inneren
Schalen.
I
λ
Abb. 7: Charakteristische Röntgen-strahlung.
Weitere Spezifikationen sind das Zusammenfassen der einzelnen Linien zu Serien. Übergänge
von äußeren Schalen in die K- Schale werden als K- Serie bezeichnet, der Übergang L zu K
bezeichnet man als Kα- Strahlung, den Übergang von M zu K als Kβ usw.
3. Absorption von Röntgenstrahlen
3.1 Wechselwirkung von Röntgenstrahlung mit Materie
Zwei Prozesse werden bei der Wechselwirkung von Röntgenstrahlen mit Materie unterschieden.
Bei der Absorption bewirkt die Energie des Photons chemische Veränderungen der Moleküle
und kann auch in Wärme umgewandelt werden. Bei Streuung wird die Richtung des Photons
und auch die Energie verändert. Die Wechselwirkung mit Materie umfasst:
∗
∗
∗
∗
klassische Streuung
Photoeffekt
Comptoneffekt
Paarbildung
Röntgenstrahlung
3.2Klassische Streuung
Die klassische Streuung findet ohne Energieänderung jedoch mit Richtungsänderung statt.
Zu beachten ist ihre dadurch auftretende Streustrahlung im Rahmen von Strahlenschutzmaßnahmen.
3.3 Photoeffekt
Der Photoeffekt ist eine Absorption der Röntgenstrahlen, wobei die Energie der Photonen auf
die Elektronen übertragen werden. Es entsteht ein freies Elektron, wenn beim Energieübertrag
ein gewisser Schwellenwert, die Bindungsenergie E (Bild 8) des Elektrons im Atom überschritten wird. Zurück bleibt ein positiv geladenes Atom (Ion).
Abb. 8: Photoeffekt
3.4 Compton- Effekt
Darunter versteht man die Streuung eines Photons an gebundenen Elektronen der Atome. Bei
Streuung an vergleichsweise schwach gebundenen Elektronen der äußeren Atomhülle (N,
O, ...Schale) kann die Bindungsenergie vernachlässigt werden. Das Photon gibt dabei nur
einen Teil seiner Energie (Eγ=hv) an ein Elektron ab. Das Photon fliegt mit verringerter Energie (Eγ’=hv’) d.h. mit größerer Wellenlänge und veränderter Richtung weiter (Abb. 8). Das
Elektron hat die Energiedifferenz Ee = Eγ - Eγ’ übernommen und wird emittiert. Zurück bleibt
ein ionisiertes Atom.
Abb. 9: Comptoneffekt
Röntgenstrahlung
3.5 Paarbildung (Elektron- Positron- Paarerzeugung)
Bei der Paarbildung werden ein Elektron und ein Positron erzeugt. Das Positron vereinigt sich
wieder mit einem Elektron, wobei eine sogenannte Vernichtungsstrahlung erzeugt wird (Vernichtung, da zwei Teilchen verschwinden). Diese Vernichtungsstrahlung ist energieärmer als
die einfallende, primäre Röntgenstrahlung.
Abb. 10: Paarbildung
3.6 Das Schwächungsgesetz
Alle vorher erwähnten Effekte führen zu einer Schwächung bzw. einer Absorption der ionisierenden elektromagnetischen Strahlung. Wird die Intensität vor dem Eintritt in die Materie gemessen (I0) und nach dem Durchgang (I), so läßt sich die Schwächung durch das sogenannte
Schwächungsgesetz beschreiben.
Die Intensität nimmt dabei exponentiell mit der Dicke des durchstrahlten Materials ab
(Abb. 11).
I=I0⋅e−μ⋅d
I: Intensität nach dem Materiedurchgang
I0: Intensität vor dem Materiedurchgang
µ: Schwächungskoeffizient (Extinktionskoeffizient)
d: Dicke der absorbierenden Schicht
I
I0
d
Abb. 11: Intensitätsverlauf in Abhängigkeit von der Dicke des Absorbermaterials.
Die Schwächung der Intensität wird dabei verursacht durch:
∗ Absorption, ausgedrückt durch den Absorptionskoeffzienten τ.
∗ Streuung, beschrieben mit dem Streukoeffizienten σ.
Dies bedeutet für den Extinktionskoeffizienten µ:
µ=τ+σ
Röntgenstrahlung
Abb. 12: Grafische Darstellung des Schwächungskoeffizienten aufgetragen über der
Strahlungsenergie als Summe der einzelnen Prozesse.
Bei der Absorption werden Elektronen aus der Atomhülle gelöst. Die Energie des Röntgenquants wird dabei auf das Elektron übertragen. Der Absorptionskoeffzient τ hängt von der
Wellenlänge der Röntgenstrahlung λ der Ordnungszahl Z des Absorbermaterials und dessen
Dichte ρ ab. Dieser Zusammenhang wird angenähert durch die empirisch ermittelte Beziehung:
τ/ρ = K ⋅ Z3 ⋅ λ3
Abb. 13: Schwächungskoeffizient in
Abhängigkeit von der Ordnungszahl
Z bei λ = const.
Abb. 14: Schwächungskoeffizient in
Abhängigkeit von der Wellenlänge λ.
Bei obiger Gleichung für τ/ρ ist der Faktor K eine dimensionsbehaftete Größe, die abschnittsweise konstant ist und bei einigen bestimmten Wellenlängen (=Absorptionskanten) springt,
weil mit wachsender Energie plötzlich Elektronen einer tieferen Schale herausgeschlagen
werden (Abb. 13/ 14).
Diese Kanten sind ein Indiz für das Vorhandensein von diskreten Energiezuständen in der
Atomhülle (Schalen gleicher Energie).
Röntgenstrahlung
4. Nachweis von Röntgenstrahlung
4.1 Ionisationskammer
Röntgenstrahlung kann auch in einer Ionisationskammer nachgewiesen werden, wobei hier
nur die durch Strahlung erzeugte Ionenmenge gemessen wird. Diese Kammer ist im Prinzip
ein Plattenkondensator, der so angeordnet ist, dass die Röntgenstrahlung zwischen den Platten
eindringen kann. An den Kondensator liegt dabei eine Spannung an. Durch die ionisierende
Wirkung der Röntgenstrahlung entstehen zwischen den Kondensatorplatten Ladungsträger
positiver und negativer Ladung, welche dann aufgrund der Spannung an eine Elektrode wandern und somit einen Strom bewirken, der gemessen wird. Hier ist das anliegende elektrische
Feld nicht so stark, dass sich Ionen infolge von Stoßprozessen bilden können, was eine direkte
Messung der durch die ionisierende Strahlung entstandenen Ladungsträger zur Folge hat.
Abb. 15: Funktionsprinzip der Ionisationskammer.
4.2 Geiger- Müller Zählrohr
Das Geiger-Müller Zählrohr besteht im Wesentlichen aus einem Metallrohr, in dessen Mitte
sich ein dünner Draht befindet. Zwischen beiden liegt eine hohe Spannung an. Tritt nun durch
das Fenster Röntgenstrahlung in das Zählrohr werden durch die Strahlung Ionen erzeugt, welche durch die anliegende Spannung zur jeweils gegenpoligen Elektrode beschleunigt werden.
Die Spannung ist dabei so hoch, dass die entstandenen Ladungsträger soviel Energie gewinnen, um durch Stoßprozesse mit weiteren Gasmolekülen neue Ionen zu erzeugen (Elektronenlawine). Durch jeden so entstandenen Ladungsträger kommt es zu einen kurzer Stromstoß, der
die anliegende Spannung zum Zusammenbruch bringt und einen Stromfluss erzeugt. Dies
wird dann durch ein Registriergerät festgehalten.
Registrierung
+
-
U
+
ionisierende Strahlung
_ Draht
+
+
_
_
Fenster
Abb. 16: Funktionsprinzip des Geiger- Müller- Zählrohrs.
Röntgenstrahlung
4.3 Weitere Nachweismöglichkeiten
Hier sollen noch zwei Möglichkeiten erwähnt werden, die beide auf die fluoreszierende Wirkung der Strahlung beruhen. Einmal direkt an Fluoreszenzschirmen und mit einem Szintillationszähler.
4.4 Spektrometrie von Röntgenstrahlung: Bragg-Reflektion
Bei der „Bragg-Reflexion“ handelt es sich um die Beugung von Röntgenlicht an den Atomen,
Molekülen bzw. Ionen von Kristallen und nachfolgender Interferenz der gebeugten Strahlung.
H. Bragg und W. L. Bragg erkannten (1913), dass man die Beugung und Interferenz von
Röntgenstrahlen auch als Reflexion an den Netzebenen von Kristallen deuten kann. Netzebenen sind gedachte durch die Gitterbausteine gehende Ebenen. Der Abstand zweier benachbarter, zueinander paralleler Ebenen wird Netzabstand d genannt.
1
/
1
2
2
N1
N2
θ
θ
A1
θ
θ
θ
B2
B1
/
d
A2
Abbildung 17: Herleitung der Bragg-Bedingungg
Um die sog. Bragg-Bedingung herzuleiten, wird eine Schar paralleler Netzebenen betrachtet,
an denen das einfallende Röntgenlicht „reflektiert“ werden soll. Der Gangunterschied (B 1A2 +
A2b2) zweier an benachbarten Netzebenen reflektierter Wellen beträgt, wie die Geometrie
zeigt, am Ort des Detektors 2dsinθ. Damit dort ein Intensitätsmaximum wahrgenommen wird,
muss der Gangunterschied nach dem Gesetz der Wellenmechanik ein ganzzahliges Vielfaches
der Wellenlänge sein. Somit erhält man die Bragg-Bedingung:
2d⋅sin q=n⋅λ
n = 1,2,3,....
Dabei ist θ der Glanzwinkel, unter dem das Röntgenlicht mit der Wellenlänge λ auf die reflektierenden Netzebenen fällt und d der Abstand dieser Ebenen. Obige Gleichung besagt,
dass bei gegebenem Netzabstand jede Wellenlänge λ der einfallenden Strahlung nur unter einem ganz bestimmten Winkel „reflektiert“ wird. Beugung und Interferenz von Röntgenstrahlung nach der Bragg-Bedingung ermöglicht den Bau von Spektralapparaten.
Bei den folgenden Versuchen wird die Bragg-Reflexion an Einkristallen verwendet.
5. Dosimetrie und Strahlenschutz
Die Dosimetrie beschäftigt sich mit der Messung der ionisierenden Strahlung, vor allem die
Messung der Strahlendosis. Der Begriff der Strahlendosis stammt aus der Pharmakologie. Bei
den Messungen werden verschieden Parameter erfasst und unterschieden. Die zwei wichtigsten Maßeinheiten sind:
Röntgenstrahlung
5.1 Energiedosis
Die Energiedosis gibt die Energie an, die von der Strahlung auf die bestrahlte Materie übertragen wird:
Energiedosis=
absorbierte Energie
durchstrahlte Masse
[Energiedosis]= 1 Gray = 1 Gy = 1 Ws/Kg
(früher rad) (Gl. 9)
[absorbierte Energie] = 1 Ws
[durchstrahlte Masse] = 1 kg
5.2 Äquivalentdosis H
Um die verschiedene biologische Wirksamkeit unterschiedlicher Strahlungsarten (α, β, γ, n)
zu berücksichtigen, wurde die Äquivalentdosis H eingeführt. Sie ergibt sich aus der Energiedosis durch Muliplikation mit einem dimensionslosen Wichtungsfaktor Q. Die Einheit ist wie
bei der Energiedosis J/kg, um aber eindeutig darzustellen, dass dabei bereits der Wichtungsfaktor Q berücksichtigt ist, wurde als Einheit von H das Sievert eingeführt.
[H] = 1J/kg = 1 Sv
Tab. 1: Wichtungsfaktoren unterschiedlicher Strahlungsarten
Strahlungsart
Photonen (Röntgen- und γ-Strahlung)
Elektronen
Protonen
Neutronen
α-Teilchen
Q
1
1
5
5-20
20
5.3 Ionendosis
Die Ionendosis ist eine Einheit, die sich auf die durch Ionisation entstandene Ladung der Ionenpaare bezieht.
Ionendosis=
Ladungder Ionenpaare [Ionendosis] = 1 C/kg (früher 1 r, Röntgen)
[Ladung der Ionenpaare] = 1 C
durchstrahlte Masse
[durchstrahlte Masse] = 1 kg
Mit einem Umrechnungsfaktor, der von der durchstrahlten Materie abhängt, lassen sich Ionen- und Energiedosis ineinander umrechnen. Eine materialspezifischer Umrechnungsfaktor
kommt durch die unterschiedliche Energieaufnahme des Materials zustande (z.B. Luft: 2,25
C/kg ).Die Ionen- und Energiedosis von Luft entspricht in etwa der von Gewebe, nur die Volumina sind verschieden.
1 kg Luft hat etwa 1 Kubikmeter Volumen, Gewebe etwa einen Liter.
5.3 Ionendosisleistung
Die Ionendosisleistung ist definiert als:
Ionendosisleistung=
Ionendosis
Zeit
[Ionendosisleistung] = 1 C/kg s
[Ionendosis] = 1 C/kg
[Zeit] = 1 s
Röntgenstrahlung
6. Versuchsdurchführung
Bei der Untersuchung der Röntgenstrahlung mittels der Bragg-Reflexion wird der Kristall an
der Aufnahme am Goniometer befestigt, danach wird am Bedienfeld der Scan-Modus COUPLED eingestellt. Bei dieser Einstellung wird der Arm des Goniometers im Verhältnis 2:1 betrieben, dies führt dazu, dass bei Drehung des Messarms und damit des auf ihn sitzenden Detektors um einen Winkel 2 θ der Kristall genau um die Hälfte dieses Winkels mitgedreht wird.
Dadurch ist die zum Nachweis der Bragg-Reflexion erforderliche Gleichheit des Ein- und
Ausfallwinkels gewährleistet.
Die vorliegende Röhre hat eine Molybdänanode und kann mit einer Anodenspannung
UA: 0- 35 kV betrieben werden. Der Emissionsstrom IA ist von 0 - 1 mA einstellbar.
6.1 Untersuchung der spektralen Zusammensetzung der Röntgenstrahlung
Mit Hilfe der Bragg-Reflexion soll die spektrale Zusammensetzung der in einer Röntgenröhre
erzeugten Strahlung untersucht werden.
6.1.1 Spektrum mit NaCl- Einkristall
a) Nehmen Sie das Spektrum der Röntgenröhre (UA = 30 kV; I = 1,0 mA) mit Hilfe der
Bragg-Reflexion an einem NaCl-Einkristall (d = 282 pm) auf. Der entsprechende Winkelbereich ist dabei zweckmäßig auf βUnten = 2,5 o; βOben = 30 o und einen Messintervall
von δβ = 0,1o einzustellen. Das Zeitintervall δt ist auf 1 sec einzustellen. Bestimmen Sie
hieraus mit Hilfe der Bragg-Beziehung die Wellenlänge der Mo-Kα - Linie und der MoKβ- Linie für alle Beugungsordnungen.
b) Nehmen Sie nun das Spektrum für UA = 15 - 35 kV in 5 kV – Schritten auf. Alle anderen Einstellungen bleiben wie bei der vorhergehenden Messung eingestellt. Bestimmen
Sie aus dem kurzwelligen Ende des Spektrums das Planksche Wirkungsquantum h.
6.1.2 Spektrum mit LiF- Einkristall
Nehmen Sie das Spektrum mit den Einstellungen wie in Aufgabe 6.1.1. a) auf. Unter Verwendung der Ergebnisse aus dieser Aufgabe können Sie den Netzebenenabstand des LiF Kristalls
bestimmen.
6.2 Absorption von Röntgenstrahlen
Wie man aus obiger Aufgabe erkennen kann, entsteht in der Röntgenröhre sog. weiße Röntgenstrahlung; d.h. Röntgenstrahlung, die aus einem Kontinuum von Wellenlängen zusammengesetzt ist. Das Absorptionsgesetz ist aber nur für monochromatische Strahlung exakt erfüllt.
Darum wird mit Hilfe der Bragg-Reflexion versucht, nahezu monochromatische Strahlung zu
erzeugen. Der gewählte Winkel bestimmt die Intensität I0 und die Härte der Strahlung, die auf
den Absorber trifft.
Bestimmung des Schwächungskoeffizienten µ
a) Setzen Sie den NaCl-Einkritstall ein, wählen Sie 30 kV Röhrenspannung, und stellen
Sie den Bragg-Winkelbereich für die Kα - und die Kβ -Linie ein (β = 5-9°). Integrieren
Sie die Intensität I dieser Linien nach Durchdringung von Aluminiumfolien unterschiedlicher Dicke. Zur Auswertung trage man ln (I0/I) = f(d) graphisch auf und bestimmen Sie den Schwächungskoeffizienten µ aus der Steigung.
Die Absorption von Röntgenstrahlung nimmt mit der Dicke der durchstrahlten Probe zu, dies
ist das Ergebnis aus der Teilaufgabe a). In der nächsten Aufgabe wird die Abhängigkeit des
photoelektrischen Massenabsorptionskoeffizienten τ/ρ von der Ordnungszahl Z durch die
Röntgenstrahlung
Verwendung verschiedener Absorbermaterialien gezeigt. In dem hier verwendeten Energiebereich der Röntgenstrahlung kann der Comptoneffekt vernachlässigt werden (Streukoeffizient
σ<<τ). Deshalb kann man den Absorptionskoeffzienten τ mit den linearen Schwächungskoeffizienten µ gleichsetzen.
Tab.3: Aufstellung der verschiedenen Filtermaterialien
Element
C (Kunststoff)
Al
Ni
Cu
Zr
Mo
Ag
Ordnungszahl Z
6
13
28
29
40
42
47
Dichte ρ in g/cm3
1,1
2,71
8,91
8,94
6,52
10,2
10,5
Dicke in mm
2,0
0,5
0,1
0,07
0,05
0,1
0,05
b) Integrieren Sie wie in Aufgabe a) die Intensität I der K α - Linie nach dem Durchgang
durch die verschiedenen Filter. Tragen Sie danach κ/ρ doppelt logarithmisch gegen Z
auf und überprüfen Sie, ob ein Potenzgesetz vorliegt.