Mengen und Abbildungen

Mengen und Abbildungen
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Der Mengenbegriff
Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge
Kartesisches Produkt
Abbildungen
Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl
Vollständige Induktion
Mengen und Abbildungen
Unter einer Menge M verstehen wir die Zusammenfassung von
wohl unterschiedenen Objekten x zu einer Gesamtheit.
Für jedes Objekt x soll daher feststehen, ob es zu M gehört —
in diesem Fall schreiben wir x ∈ M und sagen x ist Element von
M — oder nicht — in diesem Fall schreiben wir x ∈
/ M und sagen
x ist kein Element von M .
In diesem Sinn sprechen wir von der Menge N aller natürlichen
Zahlen 0, 1, 2, 3, . . . und illustrieren dies durch die aufzählende
Mengenschreibweise
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
1
Für M = {2, 3, 4} ist somit 3 ∈ M , aber
√
5∈
/ M.
Die aufzählende Schreibweise für Mengen ist suggestiv, aber nur
für endliche Mengen unproblematisch: Aus Darstellung
P = {2, 3, 5, 7, 11, . . .}
nicht eindeutig erkennbar, dass Menge aller Primzahlen gemeint.
Zu Klarheit verhilft die beschreibende Darstellung von Mengen
P = {p | p ist eine Primzahl}.
Entsprechend ist — etwas holprig —
{2, 3, 4} = {n | n ∈ N mit 2 ≤ n und n < 5}
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Gleichheit von Mengen, leere Menge
Aus der Auffassung einer Menge als Gesamtheit ihrer Elemente
ergibt sich automatisch der Begriff der Gleichheit zweier Mengen:
Zwei Mengen M und N sind gleich, wenn sie dieselben Elemente
enthalten. Also
M = N bedeutet (x ∈ M ⇐⇒ x ∈ N )
Hier steht ⇐⇒ abkürzend für dann und nur dann oder kürzer
genau dann.
Aus systematischen Gründen ist es wichtig, auch die Menge ohne
Elemente, die leere Menge ∅ zuzulassen:
∅ = {}
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Teilmengen, Inklusion
Besteht eine Menge N nur aus Elementen einer anderen Menge
M , so nennen wir N eine Teilmenge von M und schreiben N ⊆ M ,
in Worten N ist enthalten in M . Somit
N ⊆ M genau dann, wenn gilt (x ∈ N =⇒ x ∈ M ).
Hier steht =⇒ abkürzend für wenn—dann oder impliziert.
Wir bezeichnen die durch ⊆ ausgedrückte Beziehung auch als
Mengeninklusion, kurz Inklusion. Für dieselbe gilt
1. Aus N ⊆ M und M ⊆ P folgt N ⊆ P (Transitivität)
2. Aus N ⊆ M und M ⊆ N folgt M = N (Antisymmetrie).
Methode zum Nachweis der Gleichheit zweier Mengen.
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Durchschnitt und Vereinigung
Unter dem Durchschnitt zweier Mengen M und N verstehen wir
die Menge derjenigen Elemente, die zugleich der Menge M und
der Menge N angehören.
In Zeichen: M ∩ N , in Worten: M geschnitten N . Somit
M ∩ N = {x | x ∈ M und x ∈ N }.
Unter der Vereinigung zweier Mengen M und N verstehen wir
die Zusammenfassung der Elemente beider Mengen. In Zeichen:
M ∪ N , in Worten: M vereinigt N . Somit besteht M ∪ N aus
allen Elementen die zu M oder zu N gehören. Also
M ∪ N = {x | x ∈ M oder x ∈ N }.
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Mengendifferenz
Die Differenz zweier Mengen M und N wird gebildet als
M \ N = {x | x ∈ M und x ∈
/ N }.
M \ N besteht daher aus denjenigen Elementen, die in M aber
nicht in N gelegen sind.
Betrachten wir Teilmengen A, B, . . . einer festgehaltenen Menge
M , so nennen wir M \ A das Komplement von A in M , etc.
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Rechenregeln (de Morgan)
Komplement- und sonstige Mengenbildungen stehen für Teilmengen A, B einer festen Menge M in Wechselwirkung:
• M \ (M \ A) = A
• A ⊆ B ⇐⇒ M \ A ⊇ M \ B
• M \ (A∪B) = (M \ A)∩(M \ B)
• M \ (A∩B) = (M \ A)∪(M \ B)
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Geordnete Paare, kartesisches Produkt
Je zwei mathematischen Objekten x und y ordnen wir ein neues
Objekt, das geordnete Paar (x, y) zu. Wir vereinbaren die folgende Gleichheit von Paaren
(x, y) = (x0, y 0) ⇐⇒ x = x0 und y = y 0
und nennen dann x die erste und y die zweite Komponente, oder
auch Koordinate, von (x, y).
Sind M und N Mengen, so heißt
M × N = {(m, n) | m ∈ M und n ∈ N }
das kartesische Produkt oder direkte Produkt von M und N .
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Abbildungen (= Funktionen)
M und N seien Mengen.
Eine Abbildung (Funktion) von M nach N ist eine Vorschrift, die
jedem Element m ∈ M ein eindeutig bestimmtes Element n ∈ N
zuordnet, welches wir mit f (m) bezeichnen.
Wir nennen M den Definitionsbereich und N den Wertebereich
von f .
Schreibweise: f : M −→ N , m 7→ f (m).
Beispiel: f : N → N, n 7→ 2n, ist eine Abbildung, aber
√
g : R → R, x 7→ x, nicht (2 Gründe!)
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Gleichheit von Abbildungen
Eine Abbildung f : M → N besteht aus drei Bestimmungsstücken:
dem Definitionsbereich M , dem Wertebereich N , sowie der Zuordnungsvorschrift x 7→ f (x).
Zwei Abbildungen f : M → N und f 0 : M 0 → N 0 sind demgemäß
gleich, wenn sie in allen drei Daten übereinstimmen, andernfalls
sind sie verschieden.
Beispiel: Die Abbildungen f : N → N, x 7→ 2x, und g : N → N,
x 7→ x + x, sind gleich.
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Merke: Zwei Abbildungen f, g : M → N sind genau dann verschieden, wenn für mindestens ein m ∈ M die Beziehung f (m) 6=
g(m) gilt.
Redeweisen: Sei f : M → N eine Abbildung und m ∈ M , n ∈ N .
Wir nennen f (m) das Bild von m (unter f ).
Falls f (m) = n, nennen wir m ein Urbild von n unter f . Warum
nicht das Urbild?
Für A ⊆ M und B ⊆ N heißt entsprechend
f (A) := {f (a) | a ∈ A} das Bild von A (unter f ) und
f −1(B) := {x ∈ M | f (x) ∈ B} das Urbild von B (unter f ). Warum
hier das Urbild?
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Bijektive Abbildungen
Bijektive Abbildungen stellen eine umkehrbar eindeutige Beziehung
zwischen den Elementen zweier Mengen her.
Fundamental für das Abzählen! Denken Sie an das Zählen der
Personen in diesem Hörsaal!
Eine Abbildung f : M → N heißt bijektiv, falls jedes n ∈ N genau
ein Urbild unter f besitzt.
Beispiel: Die identische Abbildung 1M : M → M , m → m, ist
eine bijektive Abbildung.
f : N → N, n 7→ n + 1, ist dagegen nicht bijektiv (warum?).
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Bijektiv = surjektiv + injektiv
In der Praxis überprüft man f : M → N auf Bijektivität, indem
separat Injektivität und Surjektivität von f untersucht werden.
Eine Abbildung f : M → N heißt injektiv, wenn aus f (m1) =
f (m2) mit m1, m2 ∈ M stets m1 = m2 folgt.
Gleichbedeutend: Aus m1 6= m2 in M folgt stets f (m1) 6=
f (m2) in N .
Eine Abbildung f : M → N heißt surjektiv, wenn f (M ) = N gilt,
gleichbedeutend jedes n ∈ N Bild eines Elements aus M ist.
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Beispiele
Die Abbildung f : N → N, x 7→ x2, ist injektiv, jedoch nicht
surjektiv.
Die Abbildung f : R → R≥0, x 7→ x2, ist nicht injektiv, jedoch
surjektiv.
Die Abbildung f : R → R, x 7→ x3, ist bijektiv.
Hinweis: Abbildung besteht aus drei Bestimmungsstücken!
R = {x | x ist eine reelle Zahl},
R≥0 = {x ∈ R | x ≥ 0}.
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Die natürlichen Zahlen
Für uns reicht die Vorstellung, dass die natürlichen Zahlen diejenigen sind die man zum Zählen und daher zur Anzahlbestimmung
endlicher Mengen verwendet. Es sind dies die Zahlen
0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Wir setzen als bekannt voraus, wie man (Addition, Multiplikation) mit natürlichen Zahlen rechnet und wie man dieselben der
Größe nach vergleichen kann (m ≤ n, m < n).
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Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl
Die bei weitem wichtigste Eigenschaft der natürlichen Zahlen ist
das
Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl: Gegeben sei irgendeine nichtleere Menge M von natürlichen Zahlen (M darf dabei
endlich oder unendlich sein, muss aber wie verlangt mindestens
ein Mitglied enthalten). Dann gibt es unter allen Zahlen von M
eine kleinste.
Formelmäßig ausgedrückt: Falls ∅ 6= M ⊆ N, so existiert eine
Element m0 ∈ M mit m0 ≤ m für jedes m ∈ M .
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Kommentar
Aus dem Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl folgt das Prinzip
der vollständigen Induktion, welches erlaubt (tapferes Schneiderlein!) auf einen Streich unendlich viele Behauptungen (Aussagen) zu beweisen.
Wir stellen uns daher vor, dass wir jeder natürlichen Zahl n ≥ 1
eine Aussage A(n) zugeordnet haben, etwa die Behauptung
n(n + 1)
2
Den Beweis von A(1), A(2), . . . wollen wir mit einem einzigen
Beweis erledigen!
A(n) :
1 + 2 + 3 + ··· + n =
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Prinzip der vollständigen Induktion
= Unendlich viele auf einen Streich
Für jede natürliche Zahl n ≥ 1 sei eine Behauptung A(n) vorgelegt.
Es gelte
(1) A(1) ist wahr;
(2) Falls A(n) wahr ist, dann ist auch A(n + 1) wahr.
Dann ist A(n) wahr für jede natürliche Zahl n
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Beweis des Prinzips der vollständigen
Induktion
Nehmen an, dass es natürliche Zahl n0 gibt, für die A(n0) falsch
ist. Zeigen, dass diese Annahme zu Widerspruch führt!
Nach Annahme hat M = {n ∈ N | A(n) ist falsch} mindestens ein
Element, nämlich n0. Nach dem Prinzip der kleinsten natürlichen
Zahl hat M folglich ein kleinstes Mitglied m0.
Wegen (1) ist m0 6= 1, somit m0 > 1. Somit ist m = m0 − 1
eine natürliche Zahl ≥ 1, die nicht in M liegt, für die daher A(m)
wahr ist. Wegen (2) ist wegen der Richtigkeit von A(m) auch die
Aussage A(m+1), somit die Aussage, A(m0) wahr, Widerspruch!
Ursprüngliche Annahme daher falsch, Prinzip somit bewiesen.
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Anwendungsbeispiel
Zeigen durch vollständige Induktion, dass für jedes n ≥ 1 die
Behauptung
A(n) :
n(n + 1)
1 + 2 + 3 + ··· + n =
2
richtig ist.
(1) Induktionsverankerung: Es gilt A(1), da 1 = 1·(1+1)
.
2
(2) Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass A(n)
richtig ist, d.h. wir nehmen an, dass (für dieses n) die Formel
n(n + 1)
1 + 2 + 3 + ··· + n =
2
gilt.
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Wir müssen zeigen, dass unter dieser Voraussetzung auch A(n +
1) gilt:
n(n + 1)
(1 + 2 + 3 + · + n) + (n + 1) =
+ (n + 1)
2
n(n + 1) + 2(n + 1)
=
2
(n + 2)(n + 1)
=
2
(n + 1)(n + 2)
=
2
Dies ist gerade die Aussage A(n + 1).
(Beweisende)
I.V.
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Alternativer Beweis
Alternativer Beweis: Wir schreiben die (Summe der) Zahlen 1
bis n 2-mal in unterschiedlicher Reihenfolge untereinander und
summieren intelligent!
1
n
+
+
2
n−1
+
+
3
n−2
+ ··· +
+ ··· +
n−1
2
+
+
n
1
(n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + · · · + (n + 1) + (n + 1)
Das Doppelte der gesuchten Summe ist daher n(n + 1).
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Kommentar: Das obige Argument kannte schon der kleine Carl
Friedrich Gauß (1777-1855):
”In der Schule hatte der Lehrer die Aufgabe gestellt, alle Zahlen
von 1 bis 100 zusammenzuzählen. Er hatte die Aufgabe kaum
zu Ende gestellt, schon schreibt der kleine Gauß eine Zahl auf
seine Tafel, bringt diese nach vorn und legt sie vor den Lehrer
mit den Worten ”Ligget se” (Da liegt sie). Die anderen Kinder
rechnen die ganze Stunde hindurch und der Lehrer überlegt sich
schon, die Strafe für eine solche Frechheit mit dem Rohrstock zu
zahlen, doch der kleine Gauß sitzt mit einer ruhigen Sicherheit
an seinem Platz und wartet auf das Ende der Stunde. Auf seiner
Tafel steht die richtige Zahl 5050”.
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