kap_3_3_2_halbschriftlich_2

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3.3 Lösungsstrategien für mündliches
und halbschriftliches Rechnen
• 3.3.1 Halbschriftliche Addition und
Subtraktion
• 3.3.2 Halbschriftliche Multiplikation
und Division
Rahmenplan
• Rahmenplan Hessen S. 154:
• Das halbschriftliche Rechnen wird auch bei den
multiplikativen Operationen zur Entlastung des Gedächtnisses
und zur übersichtlichen Darstellung von Rechenschritten
eingesetzt. Dabei ist eine rigorose Formalisierung zu vermeiden;
Zwischenschritte notiert jedes Kind nur so lange, wie es dies
selbst für notwendig hält.
• Problem für die Unterrichtspraxis:
• Der Rahmenplan macht keine klaren Aussagen zu
Aufgabentypen bzw. zur Größe der Zahlen.
Aufgabentypen
• Multiplikation und Division mit Zehnerzahlen
• Multiplikation einer einstelligen Zahl mit gemischten
Zehnerzahlen
• Multiplikation einer einstelligen Zahl mit gemischten
Hunderterzahlen
• Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen (beide Faktoren ≤ 20)
Lösungsstrategien
• Multiplikation:
•
•
•
•
•
Analogieaufgaben
Schrittweises Rechnen
Vereinfachen
Hilfsaufgabe
Malkreuz
• Division:
• Analogieaufgaben
• Schrittweises Rechnen
• Hilfsaufgabe
Lösungsstrategien
• Analogieaufgaben
• (beonders beim Rechnen mit Zehnern und Hundertern)
• Beispiele:
20 · 7
2 · 7 = 14
20 · 7 = 140
1800 : 3
18 : 3 = 6
1800 : 3 = 600
Lösungsstrategien
Lösungsstrategien zur Multiplikation
• Schrittweises Rechnen
•
•
•
•
9 · 28
9 · 20 = 180
9 · 8 = 72
9 · 28 = 252
•
•
•
•
•
8 · 237
8 · 200 = 1600
8 · 30 = 240
8 · 7 = 56
8 · 237 = 1896
• Kurzform: 1600 + 240 + 56 = 1896
Lösungsstrategien
• Schrittweises Rechnen
•
•
•
•
13 · 14
13 · 10 = 130
13 · 4 = 52
13 · 14 = 182
Lösungsstrategien zur Multiplikation
• Hilfsaufgabe
• 17 · 19 = 340 – 17 = 323
• 17 · 20 = 340
• 38 · 99 = 3800 – 38 = 3762
• 38 · 100 = 3800
Lösungsstrategien zur Multiplikation
• Vereinfachen
• 16 · 50 = 800
•
8 · 100 = 800
• 28 · 25 = 700
• 14 · 50
•
7 · 100
Lösungsstrategien zur Multiplikation
Lösungsstrategien zur Multiplikation
• Malkreuz
• Beispiel: 13 · 16
·
10
3
10
100
30
130
6
60
18
78
160
48
208
Lösungsstrategien zur Multiplikation
• Arbeitsmittel: Vierhunderterfeld
Lösungsstrategien zur Multiplikation
• Multiplizieren am Vierhunderterfeld - Malkreuz
Lösungsstrategien zur Division
• Schrittweises Rechnen
• 693 : 3
• 600 : 3 = 200
•
90 : 3 = 30
•
3:3= 1
• 693 : 3 = 231
Lösungsstrategien zur Division
• Schrittweises Rechnen
• 237 : 3
• Problem: Wie kann man zerlegen?
237 : 3 =
210 : 3 = 70
27 : 3 = 9
237 : 3 = 79
237 : 3 =
180 : 3 = 60
30 : 3 = 10
27 : 3 = 9
237 : 3 = 79
237 : 3 =
240 : 3 = 80
3:3= 1
237 : 3 = 79
Häufige Schülerfehler beim
Multiplizieren und Dividieren
• 8 · 60 = 488
• Multiplikation der Null als 8 · 0 = 8
• 40 · 20 = 80
• Vernachlässigen einer Null
• 6 · 60 = 660
• Perseverationsfehler (Nachwirken von Zahlen)
Häufige Schülerfehler beim Dividieren
• 800 : 20 = 400 oder 800 : 20 = 4
• Fehlerhaftes Nullenstreichen
• 400 : 80 = 20
• Vertauschen der ersten Ziffern bei Dividend und Divisor
• 400 : 80 = 51
• Fehlerhafte Division durch Null
• (gerechnet: 40 : 8 = 5, 0 : 0 =1)
Rechnen mit Kommazahlen
Division mit Rest
• In Deutschland gab (gibt) es eine Diskussion um die
Schreibweise der Division mit Rest.
• Möglichkeiten:
• Restschreibweise
• 13 : 5 = 2 Rest 3
• Zerlegungsschreibweise
• 13 : 5; 13 = 5 · 2 +3
• Divisionsschreibweise
• 13 : 5 = 2 + (3 : 5)
Division mit Rest
• Argumente gegen die Restschreibweise:
• (1) Gleichheitszeichen wird nicht korrekt im Sinne der
mathematischen Identität gebraucht.
• (2) Die Restschreibweise verstößt gegen die Transitivität der
Gleichheitsrelation.
• 14 : 4 = 3 Rest 2 und 11 : 3 = 3 Rest 2
• Aber es gilt nicht: 14 : 4 = 11 : 3
Verknüpfung von Rechenoperationen
• Gewinnung der Regel „Punktrechnung geht vor
Strichrechnung“
• Beispiel: 2 + 3 · 5
•
•
•
•
•
•
Methodischer Weg:
Ausprobieren und Überprüfen am Sachverhalt
2 + 3 · 5 = 25 ?oder
2 + 3 · 5 = 17 ?
Möglicher Sachverhalt:
Zwei einzelne Joghurtbecher und 3 x 5 Joghurtbecher in einer
Palette werden “zusammengezählt”
Übungsformen
• Automatisierendes Üben
• Ziel: Fertigkeiten
• Merkmal: schnelles und sicheres Beherrschen von
Handlungen (teilweise automatisiert)
• Einprägendes Üben
• Ziel: Kenntnisse
• Merkmal: abrufbares Wissen
• Operatives Üben
• Ziel: Fähigkeiten
• Merkmal: flexibles Anwenden beim Problemlösen
Beispiele für Operative Übungen
•Nachbaraufgaben (Handbuch produktiver Rechenübungen, Bd. 2, S. 71)
Beispiele für Operative Übungen
Ist das immer so?
Beispiele für Operative Übungen
• Zifferntausch
• Aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 sollen je zwei zweistellige Zahlen
gebildet und multipliziert werden.
• 1. Frage:
• Wie viele verschiedene Aufgaben gibt es?
• 2. Frage:
• Versucht die Aufgaben nach der Größe ihrer Ergebnisse zu
ordnen! Ihr braucht nicht unbedingt auszurechnen, wenn ihr es
anders entscheiden könnt.
Beispiele für Operative Übungen
• Zifferntausch
Beispiele für Operative Übungen
• „Immer 22“
• Wähle aus den Ziffernkärtchen mit den Zahlen 0 bis 9 drei
beliebige aus.
• Es lassen sich damit sechs verschiedene zweistellige Zahlen
bilden.
• Addiere die sechs Zahlen. Dividiere anschließend durch die
Summe der drei ausgewählten Zahlen.
• Das Ergebnis der Divisionsaufgabe ist immer 22.
• Warum?
Beispiele für Operative Übungen
• „Immer 22“
•
Beispiel: 3, 4, 6
Zehner
Einer
3
4
6
6
4
3
4
6
4
3
3
6
2 · 13
2 · 13
Beispiele für Operative Übungen
• Rechenketten
•
•
•
•
•
•
•
•
Beispiel:
Merke dir eine Zahl
Multipliziere die Zahl mit 6!
Addiere zum Ergebnis 3!
Dividiere das neue Ergebnis durch 3!
Subtrahiere vom neuen Ergebnis 1!
Vergleiche Endergebnis und Startzahl!
Das Endergebnis ist doppelt so groß wie die Startzahl.
Alternative Multiplikationsverfahren
• Verdopplungs- /Halbierungsverfahren („Russisches
Bauernmultiplizieren)
• Verdopplungsverfahren
• Die Neperschen Streifen / Gittermethode
• Diese Verfahren sind vor allem als Alternativen zum schriftlichen
Normalverfahren zu verstehen.
Alternative Multiplikationsverfahren
• Verdopplungs- /Halbierungsverfahren
• „Russisches Bauernrechnen“
• Grundidee: Ein Faktor wird verdoppelt, der andere halbiert.
• Beispiel: 346 · 36
•
•
•
•
•
•
346 · 36
= 692 · 18
= 1384 · 9 +1384
> 2768 · 4
= 5536 · 2
= 11072 · 1
11072
+ 1384
12456
Also: 346 · 36 = 12456
346 · 36
692 · 18
1384 · 9
2768 · 4
5536 · 2
11072 · 1
Alternative Multiplikationsverfahren
• Verdopplungsverfahren
• Es muss nur das Verdoppeln und das Multiplizieren mit
Zehnerpotenzen beherrscht werden.
• Beispiel:
• 4379 · 86
• · 8 35032
• · 4 17516
• · 2 8758
• · 1 4379 · 86
•
4379 · 80 = 350320
•
4379 · 4 = 17516
•
4379 · 2 = 8758
•
4379 · 86 = 376594
Alternative Multiplikationsverfahren
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