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5. Erweiterungen der Zahlenmenge
Die natürlichen Zahlen sind zwar abgeschlossen unter
Addition und Multiplikation, denn für n, m   ist (n + m) 
 und (nm)  . Dagegen ist n - m und n/m nicht immer
eine natürliche Zahl.
5.1 Die ganzen Zahlen
Die Erweiterung zu den ganzen Zahlen geschah im 13.
Jahrhundert, im Zeitalter des aufblühenden Bankwesens,
durch Leonardo von Pisa über die Interpretation von negativen
Zahlen als Schulden.
 = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
Leonardo von Pisa
(1170 - 1240)
= Fibonacci
Die natürlichen Zahlen sind zwar abgeschlossen unter
Addition und Multiplikation, denn für n, m   ist (n + m) 
 und (nm)  . Dagegen ist n - m und n/m nicht immer
eine natürliche Zahl.
5.1 Die ganzen Zahlen
Die Erweiterung zu den ganzen Zahlen geschah im 13.
Jahrhundert, im Zeitalter des aufblühenden Bankwesens,
durch Leonardo von Pisa über die Interpretation von negativen
Zahlen als Schulden
 = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
Die ganzen Zahlen können als Äquivalenzklassen von Paaren
aus natürlichen Zahlen, n1, n2  , definiert werden.
2  [(1, 3)] = { (n1, n2) | n2 - n1 = 2 } = { (1, 3), (2, 4), (3, 5), ... }
0  [(1, 1)] = { (n1, n2) | n2 = n1 } = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), ... }
(-1)  [(2, 1)] = { (n1, n2) | n1 - n2 = 1 } = { (2, 1), (3, 2), (4, 3), ...
}
(-2)  [(3, 1)] = { (n1, n2) | n1 - n2 = 2 } = { (3, 1), (4, 2), (5, 3), ...
Die Abbildung Absolutbetrag bildet die ganze Zahl x auf die
nicht negative Zahl |x| ab
|x| =
{
x falls x  0
- x falls x  0
x ≤ |x|
5.4 Man beweise die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
|x + y| ≤ |x| + |y|
Augustin Louis Cauchy
(1789 - 1857)
Hermann Amandus Schwarz
(1843-1921)
5.4 Man beweise die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
|x + y| ≤ |x| + |y|
5.5 Man beweise die Ungleichung
||x| - |y|| ≤ |x - y|
Die ganzen Zahlen bilden eine Gruppe (, +), denn mit der üblichen
Addition erfüllen sie die Gruppenaxiome.
5.2 Gruppe
Eine Gruppe (G, ) ist eine endliche oder unendliche Menge G
zusammen mit einer Operation  so dass:
G ist abgeschlossen bezüglich der Operation 
 a, b  G: (a  b)  G
(5.1)
Die Operation  ist assoziativ
 a, b, c  G: (a  b)  c = a  (b  c)
(5.2)
In G existiert ein neutrales Element n (für alle Elemente dasselbe)
 n  G  a  G: a  n = a = n  a
(5.3)
Zu jedem Element a der Gruppe existiert ein Inverses a-1
 a  G  a-1  G: a  a-1 = n
(5.4)
Ist  außerdem kommutativ, so heißt (G, ) eine abelsche
Gruppe.
(, +) ist keine Gruppe (denn es fehlen das Neutrale und das
Inverse).
(, ) ist keine Gruppe (denn es fehlt das Inverse).
({ r   | r  0 }, +) ist keine Gruppe (denn es fehlt das Inverse).
(, +) ist eine abelsche Gruppe.
(, ) ist keine Gruppe (denn es fehlt das Inverse zu 0).
({ r   | r > 0 }, ) ist eine abelsche Gruppe.
Es sei 3 die Menge aller dreikomponentigen Vektoren und + die
Vektoraddition. Dann ist (3, +) eine abelsche Gruppe.
Sei M die Menge aller umkehrbaren nn-Matrizen und  die
Matrixmultiplikation. Dann ist (M, ) eine nichtabelsche Gruppe.
Es sei G = { 0, 1 } und die Verknüpfung  definiert durch die Liste
00=0
01=1=10
11=0
Dann ist (G, ) eine abelsche Gruppe.
Es sei M eine beliebige Menge. F(M) sei definiert durch
F(M) = { f | f : M  M ist bijektive lineare Abbildung }
und  sei die Verknüpfung von Abbildungen
(f  g)(M) = f(g(M)).
Diese Verknüpfung ist assoziativ, und es existiert ein neutrales
Element id: M  M. Wegen der Bijektivität existiert zu jedem f die
Umkehrabbildung f-1. (F(M),  ) ist eine nichtabelsche Gruppe,
nämlich die Gruppe der Transpositionen (Umstellungen) von M.
III
IX
XI
XI
//
\\
5.3 Die rationalen Zahlen
a c ad c b ad  c b
 


b d bd d b
bd
2 2/2 1


6 6/2 3
a c ac
 
b d bd
a c a d
/  
b d b c
Schon im 14 Jahrhundert hat Nicole von Oresme mit Hilfe von
Identitäten wie
43 = 64 = 82
sogar gebrochene Exponenten eingeführt
43/2 = 8
Vorsicht bei negativen Zahlen!
(-8) = (-2)3 = (-2)6/2 = 64 = 8
ist falsch. Grundsätzlich dürfen nur
positive Zahlen mit gebrochenen
Exponenten versehen werden.
Nicole von Oresme
(1323 - 1382)
Mit Hilfe der Exponentialrechnung kann man die rationalen Zahlen
als Dezimalzahlen (d) oder Binärzahlen (b) darstellen:
Dezimal:
725d = 7102 + 2101 + 5100
1/8d = 0,125d = 0100 + 110-1 + 210-2 + 510-3
1/3d = 0,333...d = 0100 + 310-1 + 310-2 + 310-3
+ ...
Binär:
1101b = 123 + 122 + 021 + 120 = 13d
11,01b = 121 + 120 + 02-1 + 12-2 = 3,25d
Alle anderen positiven Zahlen außer 1 können anstelle von 10
oder 2 ebenfalls als Basis dienen.
5.2 Stellen Sie 2, 7, 45, 1/2, 17/4 als Binärzahlen dar.
5.3 Wandeln Sie 110011; 101; 100,001 in Dezimalzahlen um.
Die Menge aller Brüche ist die Menge  der rationalen Zahlen.
 ist abgeschlossen unter der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (außer Division durch Null). Da jeder Bruch
einen Zähler aus  und einen Nenner aus  besitzt, können
die rationalen Zahlen auch als Äquivalenzklassen von Zahlenpaaren definiert werden. Sie bilden einen angeordneten Körper.
Beispiele (mit z   und n  ):
1/2  [(1, 2)] = { (z, n) | 2z = n } = { (1, 2), (2, 4), (3, 6), ... }
0  [(0, 1)] = { (z, n) | z = 0 } = { (0, 1), (0, 2), (0, 3), ... }
(-1/2)  [(-1, 2)] = { (z, n) | 2z = -n } = { (-1, 2), (-2, 4), (-3, 6), ...
}
5.4 Körper
Ein Körper (K, +, ) ist eine endliche oder unendliche Menge K
(mit mindestens zwei Elementen) zusammen mit zwei
Verknüpfungen, die üblicherweise durch + und  gekennzeichnet
werden, so dass gilt:
(K, +, ) ist abgeschlossen unter Addition und Multiplikation. (5.5)
+ und  sind assoziativ und kommutativ.
(5.6)
 ist distributiv über +:  a, b, c  K: a(b + c) = ab + ac.
(5.7)
Neutrales Element (+):  0  K  a  K: a + 0 = a = 0 + a.
(5.8)
Neutrales Element ():  1  K  a  K: 1a = a = a1.
(5.9)
Inverses (+):  a  K  a'  K: a + a' = 0 = a' + a.
Inverses ():  a  K \ { 0 }  a-1  K: aa-1 = 1 = a-1a.
(5.10)
Axiome der Anordnung  a, b, c  K:
Es gilt genau eine der drei Aussagen: a < b, a = b, a > b (5.12)
a < b  b < c  a < c.
(5.13)
a < b  a + c < b + c.
(5.14)
a < b  0 < c  a  c < b  c.
(5.15)
(5.12) bezeichnet man auch als Trichotomie.
Beispiele für angeordnete Körper sind (, +, ) und (, +, ).
Beide
sind nicht algebraisch abgeschlossen, denn  enthält keine
Quadratwurzeln aus negativen Zahlen und  enthält nicht einmal
alle Wurzeln aus positiven rationalen Zahlen.
(, +, ) ist Körper, algebraisch abgeschlossen, indem jede
algebraische Gleichung eine Lösung in  besitzt, doch die
5.5 Die reellen Zahlen
2  a/b
2b2 = a2 ?
Jede Wurzel aus einer natürlichen Zahl, die nicht selbst eine
natürliche Zahl ist, kann nicht als Bruch dargestellt werden.
Man bezeichnet solche Zahlen als Irrationalzahlen.
=U
Die Gleichung
x2 = 2
besitzt zwei Lösungen, nämlich 2 und -2.
Dedekindsches Schnittaxiom
Es seien A und B zwei Mengen mit folgenden Eigenschaften:
AB=
(5.16)
A≠≠B
(5.17)
(a  A  b  B)  a < b
(5.18)
A
A
0
B

Dann existiert s  , so dass für jedes a 
und jedes b  B: a ≤ s ≤ b.
A = { a | a ≤ 1 } und B = { b | b > 1 }
A = { a | a < 1 } und B = { b | b  1 }
A = { a | a < 2 } und B = { b | b > 2 }
Richard Dedekind
(1831 - 1916)
Dann liefert das Schnittaxiom die reelle Zahl s = 2  . Es
existiert keine rationale Zahl, welche die Forderung a ≤ s ≤ b
erfüllte. 2 gehört nicht zu .
5.7 Die komplexen Zahlen
x2 = (-1)
imaginäre Einheit
i = (-1)
Eine komplexe Zahl z besteht aus Realteil a und Imaginärteil ib
z = a + ib
Ist a = 0, so heißt z imaginär, ist b = 0, so heißt z reell.
Die Zahl kann als Vektor in der komplexen Ebene, auch GaußEbene genannt, veranschaulicht werden. Der Imaginärteil ib ist
nicht konkret darstellbar (sonst wäre er reell). Daher drückt man
seinen Betrag b mit Hilfe der als "imaginär" definierten
senkrechten Achse aus.
Der Betrag |z| der Zahl z ist
die Länge des Vektors
| z |  a2  b2
Die komplex konjugierte Zahl z*
Der Betrag |z| der Zahl z ist
die Länge des Vektors
| z |  a2  b2
Die komplex konjugierte Zahl z*
z* = a - ib
|z|2 = zz* = a2 + b2
Addition und Subtraktion erfolgen komponentenweise:
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
(a + ib) - (c + id) = (a - c) + i(b - d)
Bei der Multiplikation i2 = (-1) beachten, i2bd = -bd:
(a + ib)  (c + id) = (ac - bd ) + i(ad + bc)
Bei der Division (a + ib) / (c + id) verwendet man den reellen
Hauptnenner (c + id)  (c - id):
a  ib a  ib c  id ac  bd  i (bc - ad)



c  id c  id c  id
c2  d 2
i
ii = i2 = -1
iii = i3 = -i
iiii = i4 = 1
Rafael Bombelli (1526 – 1572)
Addition und Subtraktion erfolgen komponentenweise:
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
(a + ib) - (c + id) = (a - c) + i(b - d)
Bei der Multiplikation i2 = (-1) beachten, i2bd = -bd:
(a + ib)  (c + id) = (ac - bd ) + i(ad + bc)
Bei der Division (a + ib) / (c + id) verwendet man den reellen
Hauptnenner (c + id)  (c - id):
a  ib a  ib c  id ac  bd  i (bc - ad )



c  id c  id c  id
c2  d 2
i
ii = i2 = -1
iii = i3 = -i
iiii = i4 = 1
iiiii = i5 = i
Rafael Bombelli (1526 – 1572)
i(a + ib) = -b + ia.
i
ii = i2 = -1
iii = i3 = -i
iiii = i4 = 1
iiiii = i5 = i
Um Wurzeln zu berechnen, ist die Komponentenform ungeeignet.
i = (
1
i

2
2
) denn (
1
i
)

2
2
(
1
i
)

2
2
=
1
i i2
2 
2
2 2
=i
|z| = 1 = |eij|
Polarform
a = cosj
b = sinj
z = cosj + isinj
cosj + isinj =
eij
Eulersche Gleichung
| z |  a2  b2
tanj = b/a
eijeij* = eije-ij = (cosj + isinj)(cosj - isinj) = cos2j + sin2
z = |z|eij
z1z2 = |z1|eij1  |z2|eij2 = |z1||z2|ei(j1
+ j2)
z1/z2 = |z1|eij1 / |z2|eij2 = ei(j1 - j2)|z1|/|z2|
Die Multiplikation einer komplexen Zahl mit i = eip/2 dreht
den Vektor um p/2 = 90°:
eij  i = eij eip/2 = ei(j+p/2)
Exponentialrechnung
zn = |z|n  eijn
n
z = |z|1/n  eij/n
eij = ei(j + k2p)
1 = (ei2p)1/2 = eip = -1 und (ei(2p + 2p))1/2 = ei2p = 1.
(-1) = (eip)1/2 = eip/2 = i und (ei(p + 2p))1/2 = ei3p/2 = -i.
i = (eip/2)1/2 = eip/4 und (ei(p/2 + 2p))1/2 = ei5p/4.
3
1 = (ei2p)1/3 = ei2p/3 und (ei(2p + 2p))1/3 = ei4p/3
und (ei(2p + 4p))1/3 = ei6p/3 = 1.
41
= (ei2p)1/4 = eip/2 = i und (ei(2p + 2p))1/4 = eip = -1
und (ei(2p + 4p))1/4 = ei3p/2 = -i und (ei(2p + 6p))1/4 = ei2p = 1.
4 ( 1)
= (eip)1/4 = eip/4 und (ei(p + 2p))1/4 = ei3p/4
und (ei(p + 4p))1/4 = ei5p/4 und (ei(p + 6p))1/4 = ei7p/4.
|eij| = 1  Einheitswurzeln
( 2)  (3)  i 2  i 3   6
( 2)  ( 3)  ( 2)  ( 3)  ( 1)  2  ( 1)  3  2  3  6
?
5.7 Berechnen Sie
(3 + 4i) + (7 + 2i)
(3 + 5i) + (3 - 2i)
(3 + 4i) - (3 - 2i)
(2 - 4i) - (1 - 2i)
(2 + 4i)  (3 + 2i)
(2 - 4i)  (1 - 2i)
(3 + 5i) / (1 + 2i)
(3 + 5i) / (3 - 2i)
5.8 Zeichnen Sie die Zahlen und ihre komplex konjugierten
Zahlen in die komplexe Ebene ein.
5.9 Berechnen Sie die Beträge.
5.10 Stellen Sie die Zahlen in Polarform dar und führen Sie die
Multiplikationen und Divisionen darin aus.
5.11 Berechnen Sie die drei dritten Einheitswurzeln aus (-1),
stellen Sie sie in Komponentenform dar und prüfen Sie die
Ergebnisse durch dreimalige Multiplikation jeder Wurzel mit sich
selbst in Komponentenform.
5.12 Berechnen Sie die fünf fünften Einheitswurzeln aus 1 und
stellen Sie sie in Komponentenform dar.