8. Vektoren Allgemein ist ein Vektor ein geordnetes n-Tupel, das bestimmten Rechenregeln unterliegt. Wir beschränken uns aber zunächst auf den dreidimensionalen euklidischen Raum 3. Dort ist ein Vektor A ein geordnetes Tripel, dessen Komponenten reelle Zahlen sind. a1 A = a2 a 3 ax oder A = ay a z x oder A = y z Ortsvektor oder Polarvektor A = B a1 = b1 a2 = b2 a3 = b3 |A| = 2 a1 2 a2 2 a3 8.1 Vektoraddition a1 b1 a1 b1 A + B = C oder a2 + b2 = a2 b2 a b a b 3 3 3 3 A+B=B+A (A + B) + C = A + (B + C) A+0=A=0+A 0 0 = 0 0 A+B=0 A + (-B) = A - B - a1 B = - A = - a2 - a 3 A-B≠B–A (A - B) - C ≠ A - (B - C) 8.2 Skalarmultiplikation a1 A = a2 a 3 A = A (mA) = (m)A = mA (A ± B) = A ± B ( ± m)A = A ± mA 2 2 2 a a a |A| = | 1 2 3 | y D3 L C 4 j =p/4 A 5 B 2 x 8.2 Schreiben Sie die Strecken als Vektoren A, B, C, D. Berechnen Sie daraus L und |L|. 8.3 Einheitsvektor A A = |A| |A| 0 |A0| = 1 koordinatenfreie Darstellung: A = |A| A0 Die Relation "X besitzt dieselbe Richtung wie Y “ ist eine Äquivalenzrelation. X = Y mit > 0 1 0 X = 0 Y0 = 0 0 0 0 Z = 1 0 0 0 0 1 0 A = axX + ayY + azZ ax = ay a z 8.4 Skalarprodukt (inneres Produkt) 3 3 a1 b1 a2 b2 = a1b1 + a2b2 + a3b3 a b 3 3 A B C ist nicht definiert: (A B) C ≠ A (B C kein neutrales Element 1 mit A 1 = A kein Inverses A-1 mit A A-1 = 1 A / B ist nicht definiert. Aus C = A / B würde C B = A folgen. AB=BA A (B ± C) = (A B) ± (A C) |A| = A A 8.1 A = 3 - 1 , B = 2 Berechnen Sie: A (B - C) (A + C) B (A B) C |A| A0 1 1 , C = 0 - 2 - 2. 4 Nach dem Kosinussatz gilt A-B A |A - B|2 = |A|2 + |B|2 - 2|A||B|cosj j B (a1 - b1)2 + (a2 - b2)2 + (a3 - b3)2 = a12 + a22 + a32 + b12 + b22 + b32 - 2 |A| |B| cosj -2a1b1 - 2a2b2 - 2a3b3 = - 2 |A| |B| cosj A B = |A| |B| cosj Zwei Vektoren schließen einen Winkel j mit 0 ≤ j ≤ p ein. AB cosj = | A || B | Es gilt also für B = X0 ax A X 0 cos = = = 0 | A| |A| | A|| X | A X 0 ax = |A| cos cos A = |A| cos cos Zwei Vektoren schließen einen Winkel j mit 0 ≤ j ≤ p ein. AB cosj = | A || B | Es gilt also für B = X0 ax A X 0 cos = = = 0 | A| |A| | A|| X | A X 0 ax = |A| cos cos A = |A| cos cos (a0x)2 + (a0y)2 + (a0z)2 = 1 Winkelsatz des Pythagoras cos2 + cos2 + cos2 = 1 AB cosj = | A || B | A·B = |A|·|B|·cosj AB=0 B A B = |A||B| A B = -|A||B| B B A A03 A02 A k A j = kj 0 0 Kroneckersches -Symbol: kj = A01 1 für k = j { 0 sonst Leopold Kronecker (1823 – 1891) A B = A B1 = |A| |B1| Projektion von B auf A B1 = (B A0) A0 8.3 Berechnen Sie den Winkel zwischen der Würfeldiagonale und der Seitendiagonale, a) die einen gemeinsamen Punkt besitzen, b) die keinen gemeinsamen Punkt besitzen. 8.3 Berechnen Sie den Winkel zwischen der Würfeldiagonale und der Seitendiagonale, a) die einen gemeinsamen Punkt besitzen, b) die keinen gemeinsamen Punkt besitzen. 8.4 Berechnen Sie A, B, |A|, , . 8.5 a) Berechnen Sie die Vektoren A, B, C, D, die Längen der Kanten und die Winkel an der Spitze der Pyramide. Die Spitze liegt 60 Einheiten höher als die Basis A, B, C, D. b) Legen Sie den Punkt B 20 Einheiten tiefer und den Punkt D 30 Einheiten höher und berechnen Sie alles neu. 8.5 Kreuzprodukt (äußeres Produkt) 3 3 3 A B = X0(aybz - azby) + Y0(azbx - axbz) + Z0(axby - aybx) a1 b1 a2 b3 a3 b2 a2 b2 = a3 b1 a1b3 a b a b a b 3 3 1 2 2 1 Zyklische Vertauschung der Indizes x y z x ... bzw. 1 2 3 1 ... A0=0=0A Das Kreuzprodukt ist antikommutativ: A B = -(B A) A (B ± C) = (A B) ± (A C) Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ: 0 = (X0 X0) Y0 X0 (X0 Y0) = X0 Z0 = -Y0 |A B| = |A||B|sinj Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren A B = N0 |A| |B| sinj Rechte-Hand-Regel X0 Y0 = Z0 |A B| = |A B2| = |A| |B2| |A B| = |A||B|sinj Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren A B = N0 |A| |B| sinj Rechte-Hand-Regel X0 Y0 = Z0 |A B| = |A B2| = |A| |B2| Das Spatprodukt (A B) C= (B C) A = A (B C) kombiniert Skalarprodukt und Kreuzprodukt. Volumen eines aus drei Vektoren gebildeten Spates oder Parallelepipeds. Von sechs Parallelogrammflächen begrenztes Prisma. Fläche |A B| = |A| |B| sin(A, B) und Höhe N0 C 8.6 Parallelverschiebung bx B = by A = b z ax ay A' = a z ax = a'x + bx ay = a'y + by az = a'z + bz a' x a' y a' z 8.6 Parallelverschiebung bx B = by A = b z ax ay A' = a z ax = a'x + bx ay = a'y + by az = a'z + bz a' x a' y a' z a'x = ax - bx a'y = ay - by a'z = az - bz Die in K' konzentrische Kugel x'2 + y'2 + z'2 = r2 beschreibt man in K durch (der Radius r bleibt unverändert) (x - bx)2 + (y - by)2 + (z - bz)2 = r2 = 0 8.7 Polarkoordinaten |A| = ax2 ay2 az2 = arccos(az/|A|) ax = |A| sin cosj ay = |A| sin sinj j = arctan(ay/ax) az = |A| cos 8.8 Vektorraum Ein Vektorraum (V, K, s) über dem Körper K ist eine abelsche Gruppe (V, +) zusammen mit einer Skalarmultiplikation s, d.h. einer Abbildung s: KV V. Wir schreiben für das Bild s(, A) auch A oder A. Für diese Abbildung gilt, wenn A, B V und , m K und 1 das Einselement des Körpers K ist: ( + m)A = A + mA (A + B) = A + B (m)A = (m A) 1A = A = A1 Beispiele für V: Menge aller Punkte des 3 Menge aller Abbildungen f: