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8. Vektoren
Allgemein ist ein Vektor ein geordnetes n-Tupel, das bestimmten
Rechenregeln unterliegt. Wir beschränken uns aber zunächst auf den
dreidimensionalen euklidischen Raum 3. Dort ist ein Vektor A ein
geordnetes Tripel, dessen Komponenten reelle Zahlen sind.
 a1 
 
A =  a2 
a 
 3
 ax 
 
oder A =  ay 
a 
 z
x
 
oder A =  y 
z
 
Ortsvektor
oder
Polarvektor
A = B  a1 = b1  a2 = b2  a3 = b3
|A| =
2
a1
2
 a2
2
 a3
8.1 Vektoraddition
 a1   b1   a1  b1 
    

A + B = C oder  a2  +  b2  =  a2  b2 
a  b  a  b 
 3  3  3 3
A+B=B+A
(A + B) + C = A + (B + C)
A+0=A=0+A
0
 
0 = 0
0
 
A+B=0
A + (-B) = A - B
 - a1 


B = - A =  - a2 
- a 
 3
A-B≠B–A
(A - B) - C ≠ A - (B - C)
8.2 Skalarmultiplikation
 a1 


A =  a2 
 a 
 3
A = A
(mA) = (m)A = mA
(A ± B) = A ± B
( ± m)A = A ± mA
2
2
2
a

a

a
|A| = | 1
2
3 |
y
D3
L
C
4
j =p/4
A
5
B 2
x
8.2 Schreiben Sie die Strecken als Vektoren A, B, C, D.
Berechnen Sie daraus L und |L|.
8.3 Einheitsvektor
A
A =
|A|
|A|  
0
|A0| = 1
koordinatenfreie Darstellung:
A = |A| A0
Die Relation "X besitzt dieselbe Richtung wie Y “
ist eine Äquivalenzrelation. X = Y mit  > 0
 1
 
0
X =  0  Y0 =
0
 
0
0
 
0
Z
=
1
 
0
 
0
0
 
0
 1
 
0
A = axX + ayY + azZ
 ax 
 
=  ay 
a 
 z
8.4 Skalarprodukt (inneres Produkt)
3  3  
 a1   b1 
   
 a2   b2  = a1b1 + a2b2 + a3b3
a  b 
 3  3
A  B  C ist nicht definiert: (A  B)  C ≠ A  (B  C
kein neutrales Element 1 mit A  1 = A
kein Inverses A-1 mit A  A-1 = 1
A / B ist nicht definiert.
Aus C = A / B würde C  B = A folgen.
AB=BA
A  (B ± C) = (A  B) ± (A  C)
|A| =
A A
8.1 A =
3
 - 1 , B =
 
2
Berechnen Sie:
A (B - C)
(A + C) B
(A B) C
|A|
A0
 1
 1 , C =
 
0
- 2
 - 2.
 
4
Nach dem Kosinussatz gilt
A-B
A
|A - B|2 = |A|2 + |B|2 - 2|A||B|cosj j
B
(a1 - b1)2 + (a2 - b2)2 + (a3 - b3)2
= a12 + a22 + a32 + b12 + b22 + b32 - 2
|A|
|B|
cosj
-2a1b1 - 2a2b2 - 2a3b3 = - 2
|A|
|B|
cosj


A B = |A|
|B|
cosj
Zwei Vektoren schließen einen Winkel j mit 0 ≤ j ≤ p ein.
AB
cosj =
| A || B |
Es gilt also für B = X0
ax
A X 0
cos =
=
=
0
| A|
|A|
| A|| X |
A X 0
ax = |A|
cos
 cos 


A = |A|  cos 
 cos 


Zwei Vektoren schließen einen Winkel j mit 0 ≤ j ≤ p ein.
AB
cosj =
| A || B |
Es gilt also für B = X0
ax
A X 0
cos =
=
=
0
| A|
|A|
| A|| X |
A X 0
ax = |A|
cos
 cos 


A = |A|  cos 
 cos 


(a0x)2 + (a0y)2 + (a0z)2 = 1
Winkelsatz des Pythagoras
cos2 + cos2 + cos2 = 1
AB
cosj =
| A || B |
A·B = |A|·|B|·cosj
AB=0
B
A  B = |A||B|
A  B = -|A||B|
B
B
A
A03
A02
A k A j = kj
0
0
Kroneckersches -Symbol:
kj =
A01
1 für k = j
{
0 sonst
Leopold Kronecker (1823 – 1891)
A B = A B1 = |A|
|B1|
Projektion von B auf A
B1 = (B A0) A0
8.3 Berechnen Sie den Winkel zwischen der
Würfeldiagonale und der Seitendiagonale,
a) die einen gemeinsamen Punkt besitzen,
b) die keinen gemeinsamen Punkt besitzen.
8.3 Berechnen Sie den Winkel zwischen der
Würfeldiagonale und der Seitendiagonale,
a) die einen gemeinsamen Punkt besitzen,
b) die keinen gemeinsamen Punkt besitzen.
8.4 Berechnen Sie A, B, |A|, , .
8.5 a) Berechnen Sie die Vektoren A, B, C, D, die Längen
der Kanten und die Winkel an der Spitze der Pyramide. Die
Spitze liegt 60 Einheiten höher als die Basis A, B, C, D.
b) Legen Sie den Punkt B 20 Einheiten tiefer und den Punkt
D 30 Einheiten höher und berechnen Sie alles neu.
8.5 Kreuzprodukt (äußeres Produkt)
3  3  3
A B = X0(aybz - azby) + Y0(azbx - axbz) + Z0(axby - aybx)
 a1   b1   a2 b3  a3 b2 
    

 a2   b2  =  a3 b1  a1b3 
a  b   a b  a b 
 3  3  1 2 2 1
Zyklische Vertauschung der Indizes x  y  z  x ...
bzw. 1  2  3  1 ...
A0=0=0A
Das Kreuzprodukt ist antikommutativ:
A  B = -(B  A)
A  (B ± C) = (A  B) ± (A  C)
Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ:
0 = (X0 X0) Y0 X0 (X0 Y0) = X0 Z0 = -Y0
|A  B| = |A||B|sinj
Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren
A B = N0
|A|
|B|
sinj
Rechte-Hand-Regel
X0 Y0 = Z0
|A B| = |A B2| = |A|
|B2|
|A  B| = |A||B|sinj
Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren
A B = N0
|A|
|B|
sinj
Rechte-Hand-Regel
X0 Y0 = Z0
|A B| = |A B2| = |A|
|B2|
Das Spatprodukt
(A  B)  C= (B  C)  A = A  (B  C)
kombiniert Skalarprodukt und Kreuzprodukt.
Volumen eines aus drei Vektoren gebildeten Spates oder
Parallelepipeds. Von sechs Parallelogrammflächen begrenztes
Prisma.
Fläche |A B| = |A|
|B|
sin(A, B) und Höhe N0 C
8.6 Parallelverschiebung
 bx 
 
B =  by  A =
b 
 z
 ax 
 
 ay  A' =
a 
 z
ax = a'x + bx
ay = a'y + by
az = a'z + bz
 a' x 


 a' y 
 a' 
 z
8.6 Parallelverschiebung
 bx 
 
B =  by  A =
b 
 z
 ax 
 
 ay  A' =
a 
 z
ax = a'x + bx
ay = a'y + by
az = a'z + bz
 a' x 


 a' y 
 a' 
 z
a'x = ax - bx
a'y = ay - by
a'z = az - bz
Die in K' konzentrische Kugel x'2 + y'2 + z'2 = r2 beschreibt
man in K durch (der Radius r bleibt unverändert)
(x - bx)2 + (y - by)2 + (z - bz)2 = r2 = 0
8.7 Polarkoordinaten
|A| = ax2  ay2  az2
= arccos(az/|A|)
ax = |A| sin
cosj

ay = |A| sin
sinj
j = arctan(ay/ax)
az = |A| cos
8.8 Vektorraum
Ein Vektorraum (V, K, s) über dem Körper K ist eine abelsche
Gruppe (V, +) zusammen mit einer Skalarmultiplikation s, d.h.
einer Abbildung s: KV  V.
Wir schreiben für das Bild s(, A) auch A oder A.
Für diese Abbildung gilt, wenn A, B  V und , m  K und 1 das
Einselement des Körpers K ist:
( + m)A = A + mA
(A + B) = A + B
(m)A = (m A)
1A = A = A1
Beispiele für V: Menge aller Punkte des 3
Menge aller Abbildungen f:   