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Geometrie
6. Ebene Geometrie
Ein Punkt ist, was keinen Teil hat.
Euklid (325 - 275)
Gerade
analytisch:
y = mx + c
y(0) = c
y(1) – y(0) = (m1 + c) – (m0 + c) = m
Parallelen
Lot oder Normale
2p = 360°
1° = p/180
Strahlensätze
Thales von Milet
(624 - 545)
a c

b d
a
f

ab g
Satz des Thales
Thales von Milet
(624 - 545)
Alle Winkel im Halbkreis sind rechte Winkel.
Winkelsumme im Dreieck
Leonhard Euler
(1707 - 1783)
Satz des Pythagoras
Pythagoras
(570 - 500)
c2 = 4 * ab/2 + (a - b)2 = a2 + b2
Sehet !
a2 + b2 = c2
ma2 + mb2 = mc2
a
b
c
a2 + b2 = c2
ma2 + mb2 = mc2
a2 + b2 = c2
ma2 + mb2 = mc2
a2 + b2 = c2
ma2 + mb2 = mc2
Projektive Geometrie
Girard Desargues
(1593 - 1662)
Alle Parallelen streben zu einem Punkt der Unendlichkeitslinie.
Trinity College, Cambridge
Pietro Perugino: Fresco at the Sistine Chapel, 1482
Ordnet man den geometrischen Punkten Zahlen
(Koordinaten) zu, so gelangt man zur analytischen
Geometrie, begründet von
Pierre de Fermat
(1601 - 1665)
René Descartes
(1596 - 1650)
Abszisse, Ordinate.
Darstellung von Funktionen anhand ihrer Graphen.
7. Trigonometrie
Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen
a
sin =
c
b
cos =
c
a sin
tan = =
b cos
p
sin = cos( - )
2
sin0 = 0
p
sin = 1
2
p/2 = 90°
Kathete
1
b
cot = =
tan 
a
Hypotenuse
p
cos = sin( - )
2
p
cos0 = 1 cos = 0
2
sin2 + cos2
=1
sin = sin(+ k
2p)
cos = cos( + k
2p)
sin(-) = -sin
cos(-) = cos
8. Vektoren
Im dreidimensionalen euklidischen Raum 3 ist ein Vektor A ein
geordnetes Tripel, dessen Komponenten reelle Zahlen sind.
 a1 
 
A =  a2 
a 
 3
 ax 
 
oder A =  ay 
a 
 z
x
 
oder A =  y 
z
 
A = B  a1 = b1  a2 = b2  a3 = b3
|A| =
2
a1
2
 a2
2
 a3
8.1 Vektoraddition
 a1   b1   a1  b1 
    

A + B = C oder  a2  +  b2  =  a2  b2 
a  b  a  b 
 3  3  3 3
A+B=B+A
(A + B) + C = A + (B + C)
A+0=A=0+A
0
 
0 = 0
0
 
A+B=0
A + (-B) = A - B
 - a1 


B = - A =  - a2 
- a 
 3
A-B≠B–A
(A - B) - C ≠ A - (B - C)
8.2 Skalarmultiplikation
A =
 a 
 1
 a2 



a
 3
A = A
(mA) = (m)A = mA
(A ± B) = A ± B
( ± m)A = A ± mA
2
2
2
a

a

a
|A| = | 1
2
3 |
y
D3
L
C
4
 p/4
A
5
B 2
x
8.2 Schreiben Sie die Strecken als Vektoren A, B, C, D.
Berechnen Sie daraus L und |L|.
8.3 Einheitsvektor
A
A =
|A|
|A|  
0
|A0| = 1
koordinatenfreie Darstellung: A = |A| A0
X = Y
>0
X besitzt dieselbe Richtung wie Y
 1
 
0
X =  0  Y0 =
0
 
0
0
 
0
 1 Z =
0
 
0
0
 
0
 1
 
0
A = axX + ayY + azZ
 ax 
 
=  ay 
a 
 z
8.4 Skalarprodukt (inneres Produkt)
3  3  
 a1   b1 
   
 a2   b2  = a1b1 + a2b2 + a3b3
a  b 
 3  3
A  B  C ist nicht definiert: (A  B)  C ≠ A  (B  C
kein neutrales Element 1 mit A  1 = A
kein Inverses A-1 mit A  A-1 = 1
A / B ist nicht definiert.
Aus C = A / B würde C  B = A folgen.
AB=BA
A  (B ± C) = (A  B) ± (A  C)
|A| =
A A
A

A-B
B
Zwei Vektoren schließen einen Winkel  mit 0 ≤  ≤ p ein.
AB
cos =
| A || B |
AB
cos =
| A || B |
A·B = |A|·|B|·cos
A B = A B1 = |A|
|B1|
Projektion von B auf A
B1 = (B A0) A0
AB=0
B
A  B = |A||B|
A  B = -|A||B|
B
B
A
8.1 A =
3
 - 1 ,
 
2
B=
Berechnen Sie:
A (B - C)
(A + C) B
(A B) C
|A|
A0
 1
 1 , C =
 
0
- 2
 - 2.
 
 4
8.3 Berechnen Sie den Winkel zwischen der
Würfeldiagonale und der Seitendiagonale,
a) die einen gemeinsamen Punkt besitzen,
b) die keinen gemeinsamen Punkt besitzen.
8.3 Berechnen Sie den Winkel zwischen der
Würfeldiagonale und der Seitendiagonale,
a) die einen gemeinsamen Punkt besitzen,
b) die keinen gemeinsamen Punkt besitzen.
8.4 Berechnen Sie A, B, |A|, , .
8.5 a) Berechnen Sie die Vektoren A, B, C, D, die Längen
der Kanten und die Winkel an der Spitze der Pyramide. Die
Spitze liegt 60 Einheiten höher als die Basis A, B, C, D.
b) Legen Sie den Punkt B 20 Einheiten tiefer und den Punkt
D 30 Einheiten höher und berechnen Sie alles neu.
8.5 Kreuzprodukt (äußeres Produkt)
3  3  3
A B = X0(aybz - azby) + Y0(azbx - axbz) + Z0(axby - aybx)
 a1   b1   a2 b3  a3 b2 
    

 a2   b2  =  a3 b1  a1b3 
a  b   a b  a b 
 3  3  1 2 2 1
Zyklische Vertauschung der Indizes x  y  z  x ...
bzw. 1  2  3  1 ...
A0=0=0A
Das Kreuzprodukt ist antikommutativ:
A  B = -(B  A)
A  (B ± C) = (A  B) ± (A  C)
|A  B| = |A||B|sin
Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren
A B = N0
|A|
|B|
sin
Rechte-Hand-Regel
X0 Y0 = Z0
|A B| = |A B2| = |A|
|B2|
|A  B| = |A||B|sin
Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren
A B = N0
|A|
|B|
sin
Rechte-Hand-Regel
X0 Y0 = Z0
|A B| = |A B2| = |A|
|B2|
A0=0=0A
Das Kreuzprodukt ist antikommutativ:
A  B = -(B  A)
A  (B ± C) = (A  B) ± (A  C)
Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ:
0 = (X0 X0) Y0 X0 (X0 Y0) = X0 Z0 = -Y0
Das Spatprodukt
(A  B)  C= (B  C)  A = A  (B  C)
kombiniert Skalarprodukt und Kreuzprodukt.
Volumen eines aus drei Vektoren gebildeten Spates oder
Parallelepipeds. Von sechs Parallelogrammflächen begrenztes
Prisma.
Fläche |A B| = |A|
|B|
sin(A, B) und Höhe N0 C
8.6 Parallelverschiebung
 bx 
 
B =  by  A =
b 
 z
 ax 
 
 ay  A' =
a 
 z
ax = a'x + bx
ay = a'y + by
az = a'z + bz
 a' x 


 a' y 
 a' 
 z
8.6 Parallelverschiebung
 bx 
 
B =  by  A =
b 
 z
 ax 
 
 ay  A' =
a 
 z
ax = a'x + bx
ay = a'y + by
az = a'z + bz
 a' x 


 a' y 
 a' 
 z
a'x = ax - bx
a'y = ay - by
a'z = az - bz
Die in K' konzentrische Kugel x'2 + y'2 + z'2 = r2 beschreibt
man in K durch (der Radius r bleibt unverändert)
(x - bx)2 + (y - by)2 + (z - bz)2 = r2 = 0
8.7 Polarkoordinaten
|A| = ax2  ay2  az2
= arccos(az/|A|)
ax = |A| sin
cos

ay = |A| sin
sin
 = arctan(ay/ax)
az = |A| cos
3
9. Geometrie des 
9.1 Geradengleichungen
Jede Gerade besitzt zwei Richtungen.
G(A0) = { P  3 | P = A0 mit    }
Anstelle eines Einheitsvektors A0 kann man eben so gut
G = { P | P = A + B mit    }
Durch zwei Punkte des 3 verläuft genau eine Gerade.
G' = { P | P = (A - B) + B mit    }
P = A + B
 x   ax 
 bx 
  

 
 y  =  ay  +  by 
 z   a 
b 
   z
 z
x = ax + bx
y = ay + by
z = az + bz
 2
 
9.3 Man berechne die Projektion des Vektors  4  auf die x-Achse.
 1
 
9.4 Die Kanten eines Würfels liegen in den Achsen des kartesischen Koordinatensystems
(im rein positiven Bereich). Man berechne den Einheitsvektor der Würfeldiagonalen und
2
 
die Projektion des Vektors  4  auf diese Diagonale.
 - 1
 
9.5 Eine Quader besitzt die Seitenlängen 3, 2 und 1. Man berechne den Einheitsvektor
einer Raumdiagonale. Man berechne die Projektion der längsten Seite auf die Diagonale.
9.3 Ebenengleichungen
Eine Ebene, die den Ursprung enthält, wird durch zwei Vektoren A
 0 und B  0, aufgespannt, sofern die Vektoren nicht zu ein und
derselben Geraden gehören, sofern also   : A  B. Die
Ebene ist dann gegeben durch
E(A, B) = { P | P = A + mB mit , m   }
Ebene, die drei beliebige Punkte A, B, C enthält:
E(A, B, C) = { P | P = (A - C) + m(B - C) + C mit m,   
}