Untitled - Die Onleihe

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1 Einführung
Bogenmaß, Trigonometrie und Vektoren
Bogenmaß:
 Winkel können in Grad (°) oder im Bogenmaß (Einheit: 1 Radiant, Abkürzung
1 rad ) angegeben werden. Dabei gilt 2 rad  360 . Die Einheit 1 rad wird
auch oft weggelassen.
 Rechnet man mit dem Taschenrechner mit den trigonometrischen Funktionen (Sinus,
Kosinus, Tangens, …) von Winkeln im Bogemaß, so muss unbedingt von DEG
auf RAD umgestellt werden!
 Umrechnung zwischen ° und rad:
inrad
in° ∙
°
bzw.
in°
inrad ∙
°
.
Beispiel:
a) Ein Winkel von 60° entspricht also 60° ∙
°
rad im Bogenmaß. Wie oben
bereits angegeben, wird statt rad oft einfach geschrieben.
b) Der Winkel
entspricht
∙
°
165°.
c) Oft muss man sinnvoll runden, z.B. entspricht ein Winkel von 211° gerundet
211° ∙ ° 3,68 rad .
Einige trigonometrische Beziehungen:
Abbildung 1.1: Rechtwinkliges Dreieck zur Definition von sin, cos und tan.
(vgl. dazu Abbildung 1.1) definiert man Sinus,
Am rechtwinkligen Dreieck
Kosinus und Tangens wie folgt:
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1.7 Ein paar mathematische Grundlagen
, cos
sin
21
, sowie
.
tan
Abbildung 1.2: Dreieck zur Illustration des Sinus- und des Kosinussatzes.
Im allgemeinen Dreieck (vgl. dazu Abbildung 1.2) gelten
(Sinussatz)
und
2∙
∙
∙ cos (Kosinussatz).
Der Kosinussatz ist auch sinngemäß auf die Winkel
und
übertragbar.
Die Umkehrfunktionen von Sinus, Kosinus und Tangens heißen Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens, kurz arcsin, arccos und arctan.
Beispiel:
Gesucht ist die Lösung der Gleichungen
a) sin
mit 0°
a)
1
2
sowie b) tan
2,00
90°.
arcsin
30°
b)
arctan 2,00
63,4°.
Wir berechnen probehalber beide Winkel auch im Bogenmaß. Es ergibt sich dann
a)
arcsin
b)
arctan 2,00
1,11.
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22
1 Einführung
Trigonometrischer Pythagoras:
Für alle Winkel
gilt die Beziehung sin
Übrigens schreibt man statt sin
1.
cos
verkürzt sin
.
Vektoren:
Abbildung 1.3: Zum Vektorbegriff.
 Vektoren haben einen Betrag und eine Richtung und – sofern es sich um physikalische Größen handelt – eine Einheit.
 Man kann daher einen Vektor durch einen Pfeil darstellen (vgl. Abbildung
1.3), dessen Länge ein Maß für den Betrag ist und dessen Richtung durch die
Gerade bestimmt ist, entlang derer der Vektor ausgerichtet ist. Oft wird zusätzlich der Begriff der Orientierung verwendet. Durch die Pfeilspitze ist die Orientierung festgelegt.
 Sprechen wir vom Betrag des Vektors, so schreiben wir | |, oder kurz .
 Vektoren können als freie, linienflüchtige oder gebundene Vektoren auftreten.
 Freie Vektoren können beliebig zu sich selbst parallel verschoben werden, sie
spielen in diesem Vorkurs aber keine bedeutende Rolle.
 Wichtiger sind hier die linienflüchtigen Vektoren, die längs ihrer Wirklinie verschoben werden können. Kräfte sind hier das wichtigste Beispiel, vgl. Abschnitt
2.3.
eines
 Gebundene Vektoren sind z.B. Ortsvektoren. Der Ortsvektor
Punkts ist der Pfeil, der vom Ursprung eines Koordinatensystems zu diesem Punkt zeigt.
 Zum Umgang mit Vektoren, wie wir ihn in diesem Vorkurs benötigen, siehe
Abschnitt 2.3. Wir kommen hier mit wenigen Eigenschaften und Rechengesetzen aus. Eine ausführlichere Darstellung findet sich jedoch in [2] bzw. aus
mathematischer Sicht in [3].
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1.7 Ein paar mathematische Grundlagen
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Differentialrechnung
Wir beschränken uns an dieser Stelle auf die Wiederholung elementarer Ableitungsregeln und verweisen ansonsten auf [3].
Elementare Ableitungsregeln:
Summen- und Faktorregel:
Gegeben seien zwei beliebige Funktionen
und
, deren erste Ableitungen
und
existieren. Die zugehörigen ersten Ableitungen bezeichnen wir mit ′
′ . Möchte man dann die zusammengesetzte Funktion
∙
∙
ableiten, so gilt
∙
∙ ′
( und sind hier beliebige, aber konstante Zahlen).
Produktregel:
Gegeben seien zwei beliebige Funktionen
und
, deren erste Ableitungen
∙
abexistieren. Möchte man dann die zusammengesetzte Funktion
leiten, so gilt
∙
∙ ′ .
Kettenregel:
Gegeben seien zwei beliebige Funktionen
und
, deren erste Ableitungen
ableiten, so gilt
existieren. Möchte man dann die verkettete Funktion
∙ ′ .
Schreibweise in der Physik bei zeitlichen Ableitungen:
In der Physik taucht häufig die Zeit als Variable auf. Tritt dann die erste Ableiauf, so schreibt man in der Physik für diese
tung einer zeitabhängigen Funktion
(anstatt ′ ).
meistens
Beispiele:
Wir bestimmen die folgenden ersten Ableitungen:
3 ∙ sin x
, also ′
3 ∙ cos x
dung der Summen- und Faktorregel)
b)
∙ cos x , also
cos
∙
Produktregel)
a)
c)
5 ∙ cos 2
5 ∙ sin 2
tenregel).
(unter der Anwen(unter Anwendung der
, also
∙4
20 ∙ sin 2
(unter Anwendung der Ket-
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