Sinus, Kosinus und Tangens in der Geometrie

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Sinus, Kosinus und Tangens
in der Geometrie
Probleme und Strategien
Folgende Problemstellungen treten in den unterschiedlichsten Situation auf:
• Berechnen der Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck
. Die Seitenlängen a und b
sind gegeben durch:
.
𝑏
a = c · sin(α)
b = c · cos(α)
𝛼
𝑎
. Es gilt der Satz des Pythagoras:
𝑐
2
2
c = a +b
2
→ Strategien
• Zerlegung von Kräften
. Zerlegung der Gewichtskraft Fg :
𝐹𝐻
.
FH = Fg · sin(α)
𝛼
FN = Fg · cos(α)
𝛼
→ Strategien
1
𝐹𝑔
𝐹𝑁
• Sinus und Kosinus am Einheitskreis (Radius r = 1)
. Die Koordinaten der Punkte P und
S sind jeweils gegeben durch:
𝑦
1
xs = cos( β)
y p = sin(α)
ys = sin( β)
. Es gilt das Additionstheorem
𝑟
𝛽
cos 𝛽
sin 𝛽
x p = cos(α)
𝑂
sin 𝛼
𝑃 = (𝑥𝑝 , 𝑦𝑝 )
𝛼
𝑥
cos 𝛼
1
𝑟
𝑆 = (𝑥𝑠 , 𝑦𝑠 )
sin2 (α) + cos2 (α) = 1.
→ Strategien
• Sinus- und Kosinussatz
. Greifen zwei Kräfte F1 und F2 an einem Massepunkt P an, so gilt für die
resultierende Kraft FR :
→
| FR |2
=
→
| F1 |2
→
+ | F2 |2
→
→
− 2| F1 | · | F2 | · cos(180◦
. Es gilt weiter:
𝐹1
− α ).
𝑃
→
sin( β) = | F1 | ·
sin(180◦ − α)
→
| FR |
𝐹𝑅
𝛼
𝛽
.
𝐹2
→ Strategien
→ Übungsaufgaben und deren Lösungen
finden Sie im zugehörigen ILIAS Modul
→ Regeln und Hinweise
↓
Anwendungsbereiche
2
Anwendungsbereiche
In vielen Aufgabestellungen treten Trigonometrische Funktionen Sinus, Kosinus und
Tangens auf. Mögliche Anwendungsbereiche sind:
i) Kräftezerlegung:
A
α
β
−
→
F1
An einem gemeinsamen Massenpunkt (A) wirken
−
→
−
→
zwei Kräfte mit | F1 | = 4,4N und | F2 | = 5,4N.
−
→
Die resultierende Kraftwirkung sei mit | FR | = 5N
gegeben.
−
→
F2
−
→
FR
Welche Winkel bilden die Kräfte jeweils mit
−
→
FR ?
−→ Lösungsweg
ii) Schräger Wurf:
Der Neigungswinkel einer schrägen Ebene beträgt 25◦ . Eine 2 kg schwere Kugel
wird entlang dieser schrägen Ebene von einer um 15 cm zusammengedrückten
Feder reibungsfrei nach oben beschleunigt und löst sich anschließend von der
N
Feder. Die Federkonstante D der Feder beträgt 700 m
.
𝑥𝑚𝑎𝑥
𝑥
Welchen maximalen Abstand zum
Ende der entspannten Feder erreicht
der Körper?
ℎ𝑚𝑎𝑥
0
𝑥0
𝛼
.
.
ℎ0
−→ Lösungsweg
3
iii) Vermessung, Geodäsie:
a)
Ein Aussichtsturm wird von einer stehenden Person mit einer Augenhöhe von
1,70 m unter einem Winkel von 20◦ zur
Horizontalen anvisiert.
ℎ𝑔
𝛼
.
𝑙
Wie hoch ist der Aussichtsturm, wenn die
Person 35 m davon entfernt steht?
ℎ𝑎
−→ Lösungsweg
b)
𝐾
Der Kapitän eines Kreuzfahrtschiffes (K)
peilt zur Standortbestimmung die Spitze
eines Aussichtsturms unter einem Winkel
von α = 35◦ und einen Leuchtturm unter
einem Winkeln von β = 45◦ an. Laut
einer Landkarte beträgt unter einem Richtungswinkel von γ = 110◦ die Entfernung
zwischen Leuchtturm und Fernsehturm
50 km.
𝛼 𝛽
𝛿
𝑘
𝐿
𝛾
Wie weit ist das Kreuzfahrtschiff vom
Leuchtturm entfernt?
−→ Lösungsweg
→ Übungsaufgaben und deren Lösungen
finden Sie im zugehörigen ILIAS Modul
↓
Regeln und Hinweise
4
𝐹
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