Sinus, Kosinus und Tangens in der Geometrie
Werbung
Sinus, Kosinus und Tangens in der Geometrie Probleme und Strategien Folgende Problemstellungen treten in den unterschiedlichsten Situation auf: • Berechnen der Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck . Die Seitenlängen a und b sind gegeben durch: . 𝑏 a = c · sin(α) b = c · cos(α) 𝛼 𝑎 . Es gilt der Satz des Pythagoras: 𝑐 2 2 c = a +b 2 → Strategien • Zerlegung von Kräften . Zerlegung der Gewichtskraft Fg : 𝐹𝐻 . FH = Fg · sin(α) 𝛼 FN = Fg · cos(α) 𝛼 → Strategien 1 𝐹𝑔 𝐹𝑁 • Sinus und Kosinus am Einheitskreis (Radius r = 1) . Die Koordinaten der Punkte P und S sind jeweils gegeben durch: 𝑦 1 xs = cos( β) y p = sin(α) ys = sin( β) . Es gilt das Additionstheorem 𝑟 𝛽 cos 𝛽 sin 𝛽 x p = cos(α) 𝑂 sin 𝛼 𝑃 = (𝑥𝑝 , 𝑦𝑝 ) 𝛼 𝑥 cos 𝛼 1 𝑟 𝑆 = (𝑥𝑠 , 𝑦𝑠 ) sin2 (α) + cos2 (α) = 1. → Strategien • Sinus- und Kosinussatz . Greifen zwei Kräfte F1 und F2 an einem Massepunkt P an, so gilt für die resultierende Kraft FR : → | FR |2 = → | F1 |2 → + | F2 |2 → → − 2| F1 | · | F2 | · cos(180◦ . Es gilt weiter: 𝐹1 − α ). 𝑃 → sin( β) = | F1 | · sin(180◦ − α) → | FR | 𝐹𝑅 𝛼 𝛽 . 𝐹2 → Strategien → Übungsaufgaben und deren Lösungen finden Sie im zugehörigen ILIAS Modul → Regeln und Hinweise ↓ Anwendungsbereiche 2 Anwendungsbereiche In vielen Aufgabestellungen treten Trigonometrische Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens auf. Mögliche Anwendungsbereiche sind: i) Kräftezerlegung: A α β − → F1 An einem gemeinsamen Massenpunkt (A) wirken − → − → zwei Kräfte mit | F1 | = 4,4N und | F2 | = 5,4N. − → Die resultierende Kraftwirkung sei mit | FR | = 5N gegeben. − → F2 − → FR Welche Winkel bilden die Kräfte jeweils mit − → FR ? −→ Lösungsweg ii) Schräger Wurf: Der Neigungswinkel einer schrägen Ebene beträgt 25◦ . Eine 2 kg schwere Kugel wird entlang dieser schrägen Ebene von einer um 15 cm zusammengedrückten Feder reibungsfrei nach oben beschleunigt und löst sich anschließend von der N Feder. Die Federkonstante D der Feder beträgt 700 m . 𝑥𝑚𝑎𝑥 𝑥 Welchen maximalen Abstand zum Ende der entspannten Feder erreicht der Körper? ℎ𝑚𝑎𝑥 0 𝑥0 𝛼 . . ℎ0 −→ Lösungsweg 3 iii) Vermessung, Geodäsie: a) Ein Aussichtsturm wird von einer stehenden Person mit einer Augenhöhe von 1,70 m unter einem Winkel von 20◦ zur Horizontalen anvisiert. ℎ𝑔 𝛼 . 𝑙 Wie hoch ist der Aussichtsturm, wenn die Person 35 m davon entfernt steht? ℎ𝑎 −→ Lösungsweg b) 𝐾 Der Kapitän eines Kreuzfahrtschiffes (K) peilt zur Standortbestimmung die Spitze eines Aussichtsturms unter einem Winkel von α = 35◦ und einen Leuchtturm unter einem Winkeln von β = 45◦ an. Laut einer Landkarte beträgt unter einem Richtungswinkel von γ = 110◦ die Entfernung zwischen Leuchtturm und Fernsehturm 50 km. 𝛼 𝛽 𝛿 𝑘 𝐿 𝛾 Wie weit ist das Kreuzfahrtschiff vom Leuchtturm entfernt? −→ Lösungsweg → Übungsaufgaben und deren Lösungen finden Sie im zugehörigen ILIAS Modul ↓ Regeln und Hinweise 4 𝐹
