Kreuzprodukt - Winkel zwischen zwei Vektoren

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Kreuzprodukt - Winkel zwischen zwei Vektoren - Grundwissen
Definition: Winkel zwischen zwei Vektoren
r
r
r
Seien u und v zwei vom Nullvektor o verschiedene Vektoren.
r r
r
r
Unter dem Winkel (u ; v ) zwischen den Vektoren u und v (gelesen "Winkel
u v" oder "Winkel zwischen den Vektoren u und v") versteht man den nicht überstumpfen Winkel zwischen den beiden die Vektoren repräsentierenden Pfeile.
Die Weite dieses Winkels bezeichnet man meistens mit dem griechischen Buchstaben ϕ , (gelesen "Phi"). Die Weite des Winkels ist eine aus Maßzahl und Maßeinheit ( 1° ) zusammengesetzte Größe.
Satz: Berechnung der Weite des Winkels zwischen zwei Vektoren mit dem
Kreuzprodukt
r
r
r
Seien u und v zwei vom Nullvektor o verschiedene Vektoren und sei ϕ die
r
r
Weite des Winkels zwischen den Vektoren u und v .
Dann gilt (nach dem Sinussatz der elementaren Geometrie)
r r
r r
r r
|u×v|
|u×v |
|u×v|
sin( ϕ ) = r r , also ϕ = arcsin( r r ) oder ϕ = 180° − arcsin( r r ) .
| u |⋅| v |
| u |⋅| v |
| u |⋅| v |
Weiter gilt
sowie
r r
r r r
u || v ⇔ u × v = o (Parallelitätskriterium)
r r
r r r r
u ⊥ v ⇔| u × v |=| u | ⋅ | v | (Orthogonalitätskriterium, unhandlich)
 1 
 − 1
r  
r  
Beispiel: Berechne den Winkel zwischen den Vektoren u =  3  und v =  4  .
− 2 
3
 
 
 1   − 1
 17 
   
 
 3 × 4 
 − 1
r r
− 2  3 
7
| u× v |
   
 
Lösung: sin( ϕ) = r
=
=
r = 2
2
2
2
2
2
|u |⋅| v|
14 ⋅ 26
1 + 3 + ( −2) ⋅ ( −1) + 4 + 3
⇒ ϕ ≈ 74,8° oder ϕ ≈ 180° − 74,8° = 105,2°
2010 Thomas Unkelbach
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