Betafunktion und optische Parameter

Kapitel 9
Betafunktion und optische
Parameter
Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2010, version 2.3
Was bisher geschah....
Fokussierung damit Teilchen nicht auseinanderlaufen und gegen die
Vakuumkammer laufen
Geometrische (schwache) Fokussierung nur in horizontaler Ebene - reicht nicht
aus
Daher: Fokussierung mit Quadrupolen (Linsen)
• Magnetische Quadrupole fokussieren nur in einer Ebene
• Zwei Quadrupole fuer Fokussierung in beiden Ebenen
Beschreibung der Teilchenbewegung mit Transformationsmatrizen
Differentialgleichung für Teilchenbewegung in einem Quadrupol – ähnliche
Resultate wie beim harmonischer Oszillator
F0D0 Zelle (QF, Drift, QD, Drift, QF)
2
Vor-und Nachteile der Bahnberechnung mit Matrizen
• Für jedes Teilchen lässt sich die Bahn mit Matrizen berechnen
• Diese Methode ist notwendig, und mit Hilfe von Computerprogrammen
prinzipiell "relativ" einfach
• Für viele Fragenstellungen ist diese Methode zu komplex
• Was passiert, wenn ein Teilchen im Magneten 122 um einen Winkel von
0.01 mrad abgelenkt wird?
• Über die Bewegung eines Vielteilchensystems lässt sich nur wenig
aussagen
Daher wird ein neuer Formalismus eingeführt:
Betatronfunktion und Betatronschwingung
4
Übersicht
Differentialgleichung für die Teilchenbewegung II
Betafunktion
Betatronschwingung
Phasenellipse und Twiss Parameter
Strahlgrösse
Berechnung der Betafunktion
Arbeitspunkt
Closed Orbit
Dispersion
Momentum Compaction
5
Differentialgleichung im Beschleuniger
• Es werden nur Quadrupolfelder betrachtet
• Das Quadrupolfeld in einer Ebene ist in der Regel stückweise konstant
(entweder 0, oder konstant mit einem Wert k)
x' ' (s)  k  x (s)  0 mit k 
e 0 d B z ( s)

 konstant
p
dx
Defokussierender Quadrupol
: k  0
Fokussierender Quadrupol
sonst :
: k  0
: k 0
6
Differentialgleichung der Teilchenbewegung
1 p
 1

x' ' (s)   2
 k ( s)   x ( s) 

(s) p
  ( s)

Für Teilchen ohne Impulsabweichung,und für Strecken
ohne Ablenkmagnet gilt die Differentialgleichung vom Hill' schen Typ :
x' ' (s)  k(s)  x (s)  0
Lösungsansatz :
x(s)  A  u(s)  cos((s)  )
mit Einsetzen folgt :
A   u' 'u  ' 2 k (s)  u  cos(  )  A   2  u''u  ' '   sin(   )  0
7
Lösungsweg
Diese Gleichung muss für alle Phasen und für A  0 richtig sein, daher folgt :
u' ' - u  ' 2  k(s)  u  0
u' ' '
2 
0
u '
Durch Integration erhält man :
s
1
(s)   2
 d
0
u ( )
Damit erhält man weiter :
1
u' ' - 3  k(s)  u  0
u
8
Betafunktion und Betatronschwingungen
Mit Einführung der  - Funktion :
(s) : u2 (s)
und der Emittanz eines einzelnen Teilchens i
ergibt sich für die Teilchenbahn :
x(s)  i  (s)  cos( (s)  )
1
Ausserdem gilt für die Betatronphase : (s)  
 d
0 ()
s
Es ist noch keine Aussage gemacht worden, wie man
Betatronfunktion und Betatronphase ausrechnet
9
Zur Illustration ein Beispiel: „kontinuierliches“
Quadrupolfeld
z
Annahme : k(s)  konstant  k 0 , es wird nur die
Bewegung in der vertikalen Ebene betrachtet :
z' ' (s)  k 0  z(s)  0
Genereller Ansatz : z(s)   i  (s)  cos( (s)  )
Mit dem Ansatz : (s)   0 und  (s)  a  s folgt :
z(s)   i   0  cos(a  s  )
z' (s)    i   0  a  sin( a  s  )
z' ' (s)    i   0  a 2  cos(a  s  )
10
mit Einsetzten in die Differentialgleichung folgt :
  i   0  a 2  cos(a  s   )  k 0   i   0  cos(a  s   )  0
daraus ergibt sich :
 a2  k 0  0

a  k0
 ( s)  k 0  s
s
 (s)  
0
1
 d
 ( )
  ' (s) 
1
 ( s)

 ( s) 
Einsetzen in :
z(s)   i  (s)  cos((s)  )
ergibt : z(s)   i 
1
k0
 cos( k 0  s  )
1
k0
Betafunktion für die Teilchenbewegung im "kontinuierlichen"
Quadrupolfeld (Bewegung nur in einer Ebene stabil!)
GeV
Ein Beschleuniger für Elektronen mit dem Impuls p0 : 1.6
mit einer
c
Vakuumkammer mit dem Radius dr : 0.05m, und einem Magnetfeld an der
Eisenoberfläche von Bx : 0.1T
e0 Bx
1
Quadrupolstärke k0 :
=> k0  0.375
2
p0 dr
m
Die Ablage eines Teilchens ist durch: z ( s)=
Betafunktion: =>  z :
1
k0
i
1
k0
 cos
(
)
k0  s   i gegeben
=>  z  1.634 m
Emittanz des Teilchen :  i : 10
6
p
m und Phase des Teilchen:  i : 
2
12
0.002
0.001
z( pos)
0
0.001
0.002
0
4
8
12
16
20
24
pos
Annahme: Der Beschleuniger hat eine Länge von Lacc : 24m
Die Länge für eine volle Schwingung ist : s2p :
2p
k0
=> s2p  10.264 m
L
Lacc ó acc 1
Die Anzahl der Schwingungen pro Umlauf ist : Qz :
=ô
ds =>
s2p
ô
 ( s)
õ0
Qz  2.338
æ s2p ö
Die maximale Teilchenamplitude ist: z ç
÷  1.278 ´ 10 3 m
è 4 ø
Vergleich mit dem harmonischen Oszillator
0
Bei gegebener Energie des Teilchens
ist die maximale Auslenkung
umgekehrt
proportional zur Rückstellkraft
(Federkonstante).
x
F(x)
Je grösser die Kraft, desto kleiner die
Auslenkung
x
14
Betafunktion und Betatronschwingungen
Der Teilchenwinkel ergibt sich aus der Ableitung der Teilchenposition :
x(s)  i  (s)  cos((s)  )
x' (s)  
i
 (s)  cos((s)  )  sin( (s)  )
( s )
' ( s )
mit : (s)  
2
Eine Beziehung zwischen x(s) und x' (s) zur Konstruktion
des Phasenraums erhält man, indem die Phase (s) aus
den Gleichungen eliminiert wird :
 (s)  x 2 (s)  2  (s)  x (s)  x ' (s)  (s)  x ' 2 (s)  i
1   2 ( s)
mit : (s) 
( s )
15
Phasenellipse – allgemeiner Fall
(s)  x 2 (s)  2  (s)  x(s)  x' (s)  (s)  x' 2 (s)  i
x’
i

 
x'max  i  
i

F  p  i
 
i

i

x max  i  
x
16
Phasenellipse – im Zentrum eines Quadrupols oder im
Fokus
mit
d
 0, d.h. (s)  0
ds
folgt :
1 2
 x    x' 2  i

x’
x ' max 
i

x max  i  
F  p  i
x
17
Betatronschwingungen für viele Teilchen
x(s) 
 i  (s)  cos((s)  )
Eigenschaft der Teilchen
Eigenschaft des Beschleunigers
Eigenschaft der Teilchen
Maximale Amplitude
eines Teilchens
an einer Position s
x max (s) 
 i  (s)
18
Betatronschwingungen für viele Teilchen
Strahlgrösse an
der Position s:
 x ( s) 
 x   x (s) und  z (s) 
 z   z (s)
Die Strahlemittanzen x und z sind statistische Grössen
Bild aus K.Wille
19
Beispiel für Teilchenverteilung im Strahl
In einem Strahl sind die Teilchen in guter Näherung gaussförmig verteilt. Die
transversalen Dimensionen sind durch  z : 1 mm und  x : 1 mm gegeben. Die
Anzahl der Teilchen im Bunch ist N : 10
11
Die transversale Teilchendichte ist:  ( x , z) :
N
2  p   x  z
2
2
æ
x
z ö
ç
÷

2
2
ç 2 
2  z ÷
x
ø
 eè
Zur Kontrolle: Gesamtanzahl der Teilchen:
5
ó
N : ô
õ 5
5
ó
ô  ( x , z) d x d z
õ 5
N  9.99999 ´ 10
10
20
Optische Funktionen entlang einer Zelle
QD B2
B2
B1
B1
QF
B1
B1
B2
B2 QD
von E.Wilson, Vorlesung 2001
22
Beispiel: Low Beta Insertion (z.B. für hohe Luminosität
im Collider)
Beta-Funktion
Gespiegelte BetaFunktion
Quadrupol
Fokus
Quadrupol
23
Layout of insertion for ATLAS and CMS
quadrupole
Q4
quadrupole
Q5
separation
inner quadrupole
dipole (warm) triplet
recombination
dipole
beam II
beam
distance
194 mm
inner quadrupole separation
triplet
dipole
quadrupole
Q4
quadrupole
recombination
Q5
dipole
ATLAS
or CMS
beam I
collision point
24 m
200 m
Example for an LHC insertion with ATLAS or CMS
24
Crossing angle for multibunch operation
QD
QD
QF
QD
QF
QD
Interaction point
Experiment
distance about 100 m




Focusing quadrupole for beam 1, defocusing for beam 2
High gradient quadrupole magnets with large aperture (US-JAPAN)
Total crossing angle of 300 mrad
Beam size at IP 16 mm, in arcs about 1 mm
25
LHC IR5 insertion
LHC IR5 insertion
27
TI8 3 km lange Transferlinie zwischen SPS und LHC
28
TI 8: Beam spot at end of line
TI 8 commissioning
SPC
First shot on BTVI87751 on 23 October 2004, 13:39
TI 8 commissioning / V.Mertens / TCC, 29.10.2004
L.R. Evans – EDMS Document No. 521217
2
29
Strahlprofil im LEP Beschleuniger - Synchrotronlicht
30
Gemessenes Strahlprofil im LHC Beschleuniger –Beam 2
31
Gemessenes Strahlprofil im LHC Beschleuniger –Beam 1
32
Arbeitspunkt
• Der Q-Wert gibt die Anzahl der Schwingungen der Teilchen pro Umlauf an
• Die Q-Werte für die Bewegung in der horizontalen Ebene und in der
vertikalen Ebene sind im allgemeinen unterschiedlich
Q  Wert :

1 L 1
Q


 ds
2  p 2  p 0 ( s )
• Durch eine leichte Änderung der Quadrupolstärken ändern sich die Q-Werte
• Der Q-Wert ändet sich mit der Energie der Teilchen - für Teilchen mit
grösserer Energie ist der Q - Wert kleiner, da die Fokussierung schwächer ist
Chromatizität :
Q
1 L


  k(s)  (s)  ds
p / p 4  p 0
34
Arbeitspunkt – LHC bei 3.5 TeV
35
Quadrupolaufstellfehler und Teilchenbahnen
Idealbahn
gestörte Bahn
fehlaufgestellter Quadrupolmagnet und
Einfluss auf die Teilchenbahn
36
Teilchenschwingungen und ’closed orbit’
Kick und Betatronschwingungen
Idealbahn
Ringbeschleuniger
Magnetfehler und closed orbit
Ringbeschleuniger
Idealbahn
37
Transformationsmatrix für Teilchenkoordinaten
General case for a transformation of particle coordinates from s0 to s1 (with phase
advance in between )

1

 cos (  )   0  sin (  )

0

M :
     cos (  )  1      sin (  )
1
0 1
 0

10

(
(
)
)
(
)
 1   0  sin (  )
0
(
 cos (  )   1  sin (  )
1
)








The transfer matrix around the ring for a position where  = 0
æ cos ( 2pQ)   sin ( 2pQ) ö
ç
÷
M : ç sin ( 2pQ)
÷
(
)

cos
2pQ
ç
÷

è
ø
38
Berechnung des closed orbit ( = 0)
x1 : cos ( 2pQ)  x0    sin ( 2pQ)  xp0
xp1 : 
sin ( 2pQ)

 x0  cos ( 2pQ)  xp0
Assume an additional dipole distortion that changes the angle of the particle:
x1 : cos ( 2pQ)  x0   0  sin ( 2pQ)  xp0
xp1 : 
sin ( 2pQ)
0
 x0  cos ( 2pQ)  xp0  d
The closed orbit is the trajectory that closes itself after one turn, that is:
x1 = x0 = x and xp1 = xp0 = xp
x :
0
xp :

sin ( 2 p  Q)
2 1  cos ( 2p  Q)
1
d
2
d
x :
0

1
2 tan ( p  Q)
d
39
Closed Orbit für einen Ringbeschleuniger
Wenn an einer Stelle des Beschleunigers der Strahl zusätzlich abgelenkt
wird, und der Ablenkwinkel:
d
e0
 B z  l
p
ist der closed orbit:
x( s 0 ) 
( s 0 )
d
2  tan( p  Q)
40
Horizontaler und vertikaler Orbit bei LHC
41
Orbit Swiss Light Source, PSI
Einfluss der Impulsabweichung: Dispersion
Verschiedene Teilchen haben einen unterschiedlichen Impuls. Die
Impulsabweichung liegen im allgemeinen bei 10-4 – 10-2 vom Sollipuls.
p
 10  4 ... 10  2
p
1 p
 1

x' ' (s)   2
 k ( s)   x ( s ) 

(s) p
  ( s)

Keine Ablenkung im Quadrupol, und daher im Quadrupole
1
0
(s)
dann folgt :
1 p
 1 
x' ' (s)   2   x (s) 

(s) p
  ( s) 
43
Differentialgleichung für die Dispersion
Lösungsansatz :
p
1
p
damit folgt die Differentialgleichung für die Dispersionsbahn D(s) :
1
 1 
x' ' (s)   2   x (s) 
 ( s)
  ( s) 
1
 1 
 D' ' (s)   2   D(s) 
 (s)
  (s) 
44
Lösung der Dispersionsbahn
Die Lösung für die Dispersion ergibt sich aus drei Termen:
s
s
s
D(s)  D 0  cos( )  D 0 '  sin( )    (1  cos( ))



D ' ( s)  
D0
s
s
s
 sin( )  D 0 ' cos( )  sin( )




Im Unterschied zur Betatronmatrix ergibt sich eine Dispersion, wenn ein
Teilchen ohne Dispersion und Dispersionsableitung in einen
Ablenkmagneten läuft
45
Matrix für die Dispersion
Um die Dispersionbahn mit einer Matrix zu beschreiben,
sind 3 Terme notwendig:
s
s ö
æ cos( s )


sin(
)


(
1

cos(
)) ÷
ç
æ D0 ö
æ D(s) ö



ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
s
ç D '0 ÷
ç D ' (s) ÷
ç  1  sin( s ) cos( s )
÷
sin(
)
÷
ç
÷  ç 



÷ ´ ç
ç
÷
ç
÷
ç
÷
1
1
0
0
1
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ç
÷
è
ø
46
Dispersionsbahn in einem Ablenkmagneten
p
0
p
p
 10  2
p
x0 = 0
x’0 = 0
x1 = 2.91 mm
x’1 = 3.83 mrad
Beispiel für einen Ablenkmagneten mit einer Länge von 1.5 m und einem
Ablenkradius von  = 3.82 m
47
Die Bahnabweichung nach einer Strecke von
s : 1.5m wird berechnet


æsö
æ s ö   æ 1  cos æ s ö ö 
cos
sin
ç ÷
ç ÷ m ç
ç ÷ ÷  æ D0 ö
æ D1 ö 
m


è ø
è ø
è
è  øø  ç
ç
÷ 
÷
sö
sö
ç Dp1 ÷ :  1m æ s ö
  ç Dp0 ÷
æ
æ
sin ç ÷
ç
÷    sin çè  ÷ø cos çè  ÷ø
÷
 ç
ø
è
dummy
dummy
è
ø 
ø
 è
0
0
1


æ D1 ö æ 0.291 ö
ç
÷ ç
÷
ç Dp1 ÷  ç 0.383 ÷
ç
÷ ç 1 ÷
ø
è dummy ø è
Für ein Teilchen mit Impulsabweichung
p=
p
2
, mit p : 10 gilt:
p0
x1 : D1  p  ( 1m)
xp1 : Dp1  p
x1  2.908 mm
xp1  3.827 ´ 10
3
Dispersionsfunktion am LHC bei 1.18 TeV, Strahl 1
49
Bahnverlängerung – Momentum Compaction
Ein Teilchen mit Impulsabweichung läuft auf einer anderen Bahn um,
deren Länge im allgemeinen unterschiedlich von der Länge der Sollbahn ist.
Der momentum compaction factor wird als relative Längenänderung für
Teilchen mit Impulsabweichung definiert:

L p
/
L
p
Es lässt sich zeigen, dass für den momentum compaction factor gilt:

1 D(s)
ds

L 0  (s)
Die Bahnlänge für eine Teilchen mit
Impulsabweichung ist :
L
p
 
L
p
50
Transformation der Betatronfunktion
æ 0
Definition der Beta - Matrix an der Position s 0 : B 0  ç
è  0
æ  1  1 ö
Beta - Matrix an der Position s1 : B1  ç
÷
è  1  1 ø
 0 ö
÷
0 ø
Man kann zeigen (K.Wille), dass für die Transformation
der Beta - Matrix von s 0 nach s1 gilt :
B1  M  B 0  M T
M T  (M T ) 1  1 und M  M 1  1
M sind die Transformationsmatrizen, die für die
Teilchenbahntransformation eingeführt wurden
51
Transformation der Betafunktion durch eine Driftstrecke
Beispiel: Transformation der Beta Matrix in einer Driftstrecke
æ 0
ç
M1 : ç
ç 0
è
0 ö
÷
1 ÷
0 ÷
ø
æ1
MD : ç
è0
Lö
÷
1ø
T
M2 : MD  M1  MD
2
æ
L
ç 
ç 0 0
M2  ç
L
ç
ç
0
è
T
MD  æ MD ö
è
ø
T
1
L ö
÷
0 ÷
÷
1 ÷
0 ÷
ø
æ1 0ö
÷
è0 1ø
ç
und
MD  MD
1
æ1 0ö
÷
è0 1ø
ç
52
Betatronfunktion für Kreisbeschleuniger
Definition der Beta - Matrix an der Position s 0 :
æ 0
B0  ç
è  0
 0 ö
÷
0 ø
s1
s0
Für die Transformation der Beta - Matrix von
s 0 nach s1 gilt : B1  M  B 0  M T
Aufgrund der Periodizität im Kreisbeschleuniger
gilt ausserdem : B 0  Mring  B 0  Mring
æ 0
ç
è  0
  0 ö æ m11 m12 ö æ  0
÷ç
÷ç
 0 ø è m 21 m 22 ø è   0
T
  0 ö æ m11 m 21 ö
÷ç
÷
 0 ø è m12 m 22 ø
Periodizitätsbedingungen :
k(s  L)  k(s)
(s  L)  (s)
(s  L)  (s)
53
Berechnung der optischen Funktionen
Damit lassen sich die optischenFunktionenberechnen:
0 
0 
2  m12
2  m11  2  m12  m 21  m 22
2
2
m11  m 22
 0
2  m12
1  0
0 
0
2
Es gibt nur dann eine Lösung, wenn gilt :
2  m11  2  m12  m 21  m 22  0
2
2
54
Zusammenfassung: Lösungsweg
• Differentialgleichung für die Teilchenbahn
• Ansatz von neuen Funktionen, der Betafunktion und der Phase
• Ein Teilchen macht harmonische Schwingungen in einem neuen
Koordinatensystem
• Man kann die Betamatrix mit Hilfe der bekannten Übertragunsmatrizen
transformieren, dadurch kann man die Betamatrix um den ganzen
Kreisbeschleuniger transformieren
• Man berücksichtigt die Periodizitätsbedingung nach einem Umlauf
• Damit kann man die Betafunktion errechnen
55