Betafunktion und optische Parameter
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Kapitel 9 Betafunktion und optische Parameter Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2010, version 2.3 Was bisher geschah.... Fokussierung damit Teilchen nicht auseinanderlaufen und gegen die Vakuumkammer laufen Geometrische (schwache) Fokussierung nur in horizontaler Ebene - reicht nicht aus Daher: Fokussierung mit Quadrupolen (Linsen) • Magnetische Quadrupole fokussieren nur in einer Ebene • Zwei Quadrupole fuer Fokussierung in beiden Ebenen Beschreibung der Teilchenbewegung mit Transformationsmatrizen Differentialgleichung für Teilchenbewegung in einem Quadrupol – ähnliche Resultate wie beim harmonischer Oszillator F0D0 Zelle (QF, Drift, QD, Drift, QF) 2 Vor-und Nachteile der Bahnberechnung mit Matrizen • Für jedes Teilchen lässt sich die Bahn mit Matrizen berechnen • Diese Methode ist notwendig, und mit Hilfe von Computerprogrammen prinzipiell "relativ" einfach • Für viele Fragenstellungen ist diese Methode zu komplex • Was passiert, wenn ein Teilchen im Magneten 122 um einen Winkel von 0.01 mrad abgelenkt wird? • Über die Bewegung eines Vielteilchensystems lässt sich nur wenig aussagen Daher wird ein neuer Formalismus eingeführt: Betatronfunktion und Betatronschwingung 4 Übersicht Differentialgleichung für die Teilchenbewegung II Betafunktion Betatronschwingung Phasenellipse und Twiss Parameter Strahlgrösse Berechnung der Betafunktion Arbeitspunkt Closed Orbit Dispersion Momentum Compaction 5 Differentialgleichung im Beschleuniger • Es werden nur Quadrupolfelder betrachtet • Das Quadrupolfeld in einer Ebene ist in der Regel stückweise konstant (entweder 0, oder konstant mit einem Wert k) x' ' (s) k x (s) 0 mit k e 0 d B z ( s) konstant p dx Defokussierender Quadrupol : k 0 Fokussierender Quadrupol sonst : : k 0 : k 0 6 Differentialgleichung der Teilchenbewegung 1 p 1 x' ' (s) 2 k ( s) x ( s) (s) p ( s) Für Teilchen ohne Impulsabweichung,und für Strecken ohne Ablenkmagnet gilt die Differentialgleichung vom Hill' schen Typ : x' ' (s) k(s) x (s) 0 Lösungsansatz : x(s) A u(s) cos((s) ) mit Einsetzen folgt : A u' 'u ' 2 k (s) u cos( ) A 2 u''u ' ' sin( ) 0 7 Lösungsweg Diese Gleichung muss für alle Phasen und für A 0 richtig sein, daher folgt : u' ' - u ' 2 k(s) u 0 u' ' ' 2 0 u ' Durch Integration erhält man : s 1 (s) 2 d 0 u ( ) Damit erhält man weiter : 1 u' ' - 3 k(s) u 0 u 8 Betafunktion und Betatronschwingungen Mit Einführung der - Funktion : (s) : u2 (s) und der Emittanz eines einzelnen Teilchens i ergibt sich für die Teilchenbahn : x(s) i (s) cos( (s) ) 1 Ausserdem gilt für die Betatronphase : (s) d 0 () s Es ist noch keine Aussage gemacht worden, wie man Betatronfunktion und Betatronphase ausrechnet 9 Zur Illustration ein Beispiel: „kontinuierliches“ Quadrupolfeld z Annahme : k(s) konstant k 0 , es wird nur die Bewegung in der vertikalen Ebene betrachtet : z' ' (s) k 0 z(s) 0 Genereller Ansatz : z(s) i (s) cos( (s) ) Mit dem Ansatz : (s) 0 und (s) a s folgt : z(s) i 0 cos(a s ) z' (s) i 0 a sin( a s ) z' ' (s) i 0 a 2 cos(a s ) 10 mit Einsetzten in die Differentialgleichung folgt : i 0 a 2 cos(a s ) k 0 i 0 cos(a s ) 0 daraus ergibt sich : a2 k 0 0 a k0 ( s) k 0 s s (s) 0 1 d ( ) ' (s) 1 ( s) ( s) Einsetzen in : z(s) i (s) cos((s) ) ergibt : z(s) i 1 k0 cos( k 0 s ) 1 k0 Betafunktion für die Teilchenbewegung im "kontinuierlichen" Quadrupolfeld (Bewegung nur in einer Ebene stabil!) GeV Ein Beschleuniger für Elektronen mit dem Impuls p0 : 1.6 mit einer c Vakuumkammer mit dem Radius dr : 0.05m, und einem Magnetfeld an der Eisenoberfläche von Bx : 0.1T e0 Bx 1 Quadrupolstärke k0 : => k0 0.375 2 p0 dr m Die Ablage eines Teilchens ist durch: z ( s)= Betafunktion: => z : 1 k0 i 1 k0 cos ( ) k0 s i gegeben => z 1.634 m Emittanz des Teilchen : i : 10 6 p m und Phase des Teilchen: i : 2 12 0.002 0.001 z( pos) 0 0.001 0.002 0 4 8 12 16 20 24 pos Annahme: Der Beschleuniger hat eine Länge von Lacc : 24m Die Länge für eine volle Schwingung ist : s2p : 2p k0 => s2p 10.264 m L Lacc ó acc 1 Die Anzahl der Schwingungen pro Umlauf ist : Qz : =ô ds => s2p ô ( s) õ0 Qz 2.338 æ s2p ö Die maximale Teilchenamplitude ist: z ç ÷ 1.278 ´ 10 3 m è 4 ø Vergleich mit dem harmonischen Oszillator 0 Bei gegebener Energie des Teilchens ist die maximale Auslenkung umgekehrt proportional zur Rückstellkraft (Federkonstante). x F(x) Je grösser die Kraft, desto kleiner die Auslenkung x 14 Betafunktion und Betatronschwingungen Der Teilchenwinkel ergibt sich aus der Ableitung der Teilchenposition : x(s) i (s) cos((s) ) x' (s) i (s) cos((s) ) sin( (s) ) ( s ) ' ( s ) mit : (s) 2 Eine Beziehung zwischen x(s) und x' (s) zur Konstruktion des Phasenraums erhält man, indem die Phase (s) aus den Gleichungen eliminiert wird : (s) x 2 (s) 2 (s) x (s) x ' (s) (s) x ' 2 (s) i 1 2 ( s) mit : (s) ( s ) 15 Phasenellipse – allgemeiner Fall (s) x 2 (s) 2 (s) x(s) x' (s) (s) x' 2 (s) i x’ i x'max i i F p i i i x max i x 16 Phasenellipse – im Zentrum eines Quadrupols oder im Fokus mit d 0, d.h. (s) 0 ds folgt : 1 2 x x' 2 i x’ x ' max i x max i F p i x 17 Betatronschwingungen für viele Teilchen x(s) i (s) cos((s) ) Eigenschaft der Teilchen Eigenschaft des Beschleunigers Eigenschaft der Teilchen Maximale Amplitude eines Teilchens an einer Position s x max (s) i (s) 18 Betatronschwingungen für viele Teilchen Strahlgrösse an der Position s: x ( s) x x (s) und z (s) z z (s) Die Strahlemittanzen x und z sind statistische Grössen Bild aus K.Wille 19 Beispiel für Teilchenverteilung im Strahl In einem Strahl sind die Teilchen in guter Näherung gaussförmig verteilt. Die transversalen Dimensionen sind durch z : 1 mm und x : 1 mm gegeben. Die Anzahl der Teilchen im Bunch ist N : 10 11 Die transversale Teilchendichte ist: ( x , z) : N 2 p x z 2 2 æ x z ö ç ÷ 2 2 ç 2 2 z ÷ x ø eè Zur Kontrolle: Gesamtanzahl der Teilchen: 5 ó N : ô õ 5 5 ó ô ( x , z) d x d z õ 5 N 9.99999 ´ 10 10 20 Optische Funktionen entlang einer Zelle QD B2 B2 B1 B1 QF B1 B1 B2 B2 QD von E.Wilson, Vorlesung 2001 22 Beispiel: Low Beta Insertion (z.B. für hohe Luminosität im Collider) Beta-Funktion Gespiegelte BetaFunktion Quadrupol Fokus Quadrupol 23 Layout of insertion for ATLAS and CMS quadrupole Q4 quadrupole Q5 separation inner quadrupole dipole (warm) triplet recombination dipole beam II beam distance 194 mm inner quadrupole separation triplet dipole quadrupole Q4 quadrupole recombination Q5 dipole ATLAS or CMS beam I collision point 24 m 200 m Example for an LHC insertion with ATLAS or CMS 24 Crossing angle for multibunch operation QD QD QF QD QF QD Interaction point Experiment distance about 100 m Focusing quadrupole for beam 1, defocusing for beam 2 High gradient quadrupole magnets with large aperture (US-JAPAN) Total crossing angle of 300 mrad Beam size at IP 16 mm, in arcs about 1 mm 25 LHC IR5 insertion LHC IR5 insertion 27 TI8 3 km lange Transferlinie zwischen SPS und LHC 28 TI 8: Beam spot at end of line TI 8 commissioning SPC First shot on BTVI87751 on 23 October 2004, 13:39 TI 8 commissioning / V.Mertens / TCC, 29.10.2004 L.R. Evans – EDMS Document No. 521217 2 29 Strahlprofil im LEP Beschleuniger - Synchrotronlicht 30 Gemessenes Strahlprofil im LHC Beschleuniger –Beam 2 31 Gemessenes Strahlprofil im LHC Beschleuniger –Beam 1 32 Arbeitspunkt • Der Q-Wert gibt die Anzahl der Schwingungen der Teilchen pro Umlauf an • Die Q-Werte für die Bewegung in der horizontalen Ebene und in der vertikalen Ebene sind im allgemeinen unterschiedlich Q Wert : 1 L 1 Q ds 2 p 2 p 0 ( s ) • Durch eine leichte Änderung der Quadrupolstärken ändern sich die Q-Werte • Der Q-Wert ändet sich mit der Energie der Teilchen - für Teilchen mit grösserer Energie ist der Q - Wert kleiner, da die Fokussierung schwächer ist Chromatizität : Q 1 L k(s) (s) ds p / p 4 p 0 34 Arbeitspunkt – LHC bei 3.5 TeV 35 Quadrupolaufstellfehler und Teilchenbahnen Idealbahn gestörte Bahn fehlaufgestellter Quadrupolmagnet und Einfluss auf die Teilchenbahn 36 Teilchenschwingungen und ’closed orbit’ Kick und Betatronschwingungen Idealbahn Ringbeschleuniger Magnetfehler und closed orbit Ringbeschleuniger Idealbahn 37 Transformationsmatrix für Teilchenkoordinaten General case for a transformation of particle coordinates from s0 to s1 (with phase advance in between ) 1 cos ( ) 0 sin ( ) 0 M : cos ( ) 1 sin ( ) 1 0 1 0 10 ( ( ) ) ( ) 1 0 sin ( ) 0 ( cos ( ) 1 sin ( ) 1 ) The transfer matrix around the ring for a position where = 0 æ cos ( 2pQ) sin ( 2pQ) ö ç ÷ M : ç sin ( 2pQ) ÷ ( ) cos 2pQ ç ÷ è ø 38 Berechnung des closed orbit ( = 0) x1 : cos ( 2pQ) x0 sin ( 2pQ) xp0 xp1 : sin ( 2pQ) x0 cos ( 2pQ) xp0 Assume an additional dipole distortion that changes the angle of the particle: x1 : cos ( 2pQ) x0 0 sin ( 2pQ) xp0 xp1 : sin ( 2pQ) 0 x0 cos ( 2pQ) xp0 d The closed orbit is the trajectory that closes itself after one turn, that is: x1 = x0 = x and xp1 = xp0 = xp x : 0 xp : sin ( 2 p Q) 2 1 cos ( 2p Q) 1 d 2 d x : 0 1 2 tan ( p Q) d 39 Closed Orbit für einen Ringbeschleuniger Wenn an einer Stelle des Beschleunigers der Strahl zusätzlich abgelenkt wird, und der Ablenkwinkel: d e0 B z l p ist der closed orbit: x( s 0 ) ( s 0 ) d 2 tan( p Q) 40 Horizontaler und vertikaler Orbit bei LHC 41 Orbit Swiss Light Source, PSI Einfluss der Impulsabweichung: Dispersion Verschiedene Teilchen haben einen unterschiedlichen Impuls. Die Impulsabweichung liegen im allgemeinen bei 10-4 – 10-2 vom Sollipuls. p 10 4 ... 10 2 p 1 p 1 x' ' (s) 2 k ( s) x ( s ) (s) p ( s) Keine Ablenkung im Quadrupol, und daher im Quadrupole 1 0 (s) dann folgt : 1 p 1 x' ' (s) 2 x (s) (s) p ( s) 43 Differentialgleichung für die Dispersion Lösungsansatz : p 1 p damit folgt die Differentialgleichung für die Dispersionsbahn D(s) : 1 1 x' ' (s) 2 x (s) ( s) ( s) 1 1 D' ' (s) 2 D(s) (s) (s) 44 Lösung der Dispersionsbahn Die Lösung für die Dispersion ergibt sich aus drei Termen: s s s D(s) D 0 cos( ) D 0 ' sin( ) (1 cos( )) D ' ( s) D0 s s s sin( ) D 0 ' cos( ) sin( ) Im Unterschied zur Betatronmatrix ergibt sich eine Dispersion, wenn ein Teilchen ohne Dispersion und Dispersionsableitung in einen Ablenkmagneten läuft 45 Matrix für die Dispersion Um die Dispersionbahn mit einer Matrix zu beschreiben, sind 3 Terme notwendig: s s ö æ cos( s ) sin( ) ( 1 cos( )) ÷ ç æ D0 ö æ D(s) ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ s ç D '0 ÷ ç D ' (s) ÷ ç 1 sin( s ) cos( s ) ÷ sin( ) ÷ ç ÷ ç ÷ ´ ç ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 1 0 0 1 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø ç ÷ è ø 46 Dispersionsbahn in einem Ablenkmagneten p 0 p p 10 2 p x0 = 0 x’0 = 0 x1 = 2.91 mm x’1 = 3.83 mrad Beispiel für einen Ablenkmagneten mit einer Länge von 1.5 m und einem Ablenkradius von = 3.82 m 47 Die Bahnabweichung nach einer Strecke von s : 1.5m wird berechnet æsö æ s ö æ 1 cos æ s ö ö cos sin ç ÷ ç ÷ m ç ç ÷ ÷ æ D0 ö æ D1 ö m è ø è ø è è øø ç ç ÷ ÷ sö sö ç Dp1 ÷ : 1m æ s ö ç Dp0 ÷ æ æ sin ç ÷ ç ÷ sin çè ÷ø cos çè ÷ø ÷ ç ø è dummy dummy è ø ø è 0 0 1 æ D1 ö æ 0.291 ö ç ÷ ç ÷ ç Dp1 ÷ ç 0.383 ÷ ç ÷ ç 1 ÷ ø è dummy ø è Für ein Teilchen mit Impulsabweichung p= p 2 , mit p : 10 gilt: p0 x1 : D1 p ( 1m) xp1 : Dp1 p x1 2.908 mm xp1 3.827 ´ 10 3 Dispersionsfunktion am LHC bei 1.18 TeV, Strahl 1 49 Bahnverlängerung – Momentum Compaction Ein Teilchen mit Impulsabweichung läuft auf einer anderen Bahn um, deren Länge im allgemeinen unterschiedlich von der Länge der Sollbahn ist. Der momentum compaction factor wird als relative Längenänderung für Teilchen mit Impulsabweichung definiert: L p / L p Es lässt sich zeigen, dass für den momentum compaction factor gilt: 1 D(s) ds L 0 (s) Die Bahnlänge für eine Teilchen mit Impulsabweichung ist : L p L p 50 Transformation der Betatronfunktion æ 0 Definition der Beta - Matrix an der Position s 0 : B 0 ç è 0 æ 1 1 ö Beta - Matrix an der Position s1 : B1 ç ÷ è 1 1 ø 0 ö ÷ 0 ø Man kann zeigen (K.Wille), dass für die Transformation der Beta - Matrix von s 0 nach s1 gilt : B1 M B 0 M T M T (M T ) 1 1 und M M 1 1 M sind die Transformationsmatrizen, die für die Teilchenbahntransformation eingeführt wurden 51 Transformation der Betafunktion durch eine Driftstrecke Beispiel: Transformation der Beta Matrix in einer Driftstrecke æ 0 ç M1 : ç ç 0 è 0 ö ÷ 1 ÷ 0 ÷ ø æ1 MD : ç è0 Lö ÷ 1ø T M2 : MD M1 MD 2 æ L ç ç 0 0 M2 ç L ç ç 0 è T MD æ MD ö è ø T 1 L ö ÷ 0 ÷ ÷ 1 ÷ 0 ÷ ø æ1 0ö ÷ è0 1ø ç und MD MD 1 æ1 0ö ÷ è0 1ø ç 52 Betatronfunktion für Kreisbeschleuniger Definition der Beta - Matrix an der Position s 0 : æ 0 B0 ç è 0 0 ö ÷ 0 ø s1 s0 Für die Transformation der Beta - Matrix von s 0 nach s1 gilt : B1 M B 0 M T Aufgrund der Periodizität im Kreisbeschleuniger gilt ausserdem : B 0 Mring B 0 Mring æ 0 ç è 0 0 ö æ m11 m12 ö æ 0 ÷ç ÷ç 0 ø è m 21 m 22 ø è 0 T 0 ö æ m11 m 21 ö ÷ç ÷ 0 ø è m12 m 22 ø Periodizitätsbedingungen : k(s L) k(s) (s L) (s) (s L) (s) 53 Berechnung der optischen Funktionen Damit lassen sich die optischenFunktionenberechnen: 0 0 2 m12 2 m11 2 m12 m 21 m 22 2 2 m11 m 22 0 2 m12 1 0 0 0 2 Es gibt nur dann eine Lösung, wenn gilt : 2 m11 2 m12 m 21 m 22 0 2 2 54 Zusammenfassung: Lösungsweg • Differentialgleichung für die Teilchenbahn • Ansatz von neuen Funktionen, der Betafunktion und der Phase • Ein Teilchen macht harmonische Schwingungen in einem neuen Koordinatensystem • Man kann die Betamatrix mit Hilfe der bekannten Übertragunsmatrizen transformieren, dadurch kann man die Betamatrix um den ganzen Kreisbeschleuniger transformieren • Man berücksichtigt die Periodizitätsbedingung nach einem Umlauf • Damit kann man die Betafunktion errechnen 55
