Trigonometrie

Trigonometrie
Mathe mit Geonext
Hintergrund
Griechisch:
- trigonon = Dreieck
- metron = Maß
Die Trigonometrie ist ein wichtiges
Teilgebiet der Geometrie und somit der
Mathematik.
Hintergrund
Warum nimmt das Dreieck in der
Geometrie so eine wichtige Rolle ein?
Hintergrund
-
Aus Dreiecken lassen sich beliebige
Vielecke zusammensetzen
-
Somit kann man Berechnungen an
beliebigen Vielecken oft auf
Dreiecksberechnungen zurückführen
Einstieg
In der Realschule werden geometrische
Probleme vorwiegend zeichnerisch bzw.
durch Konstruktion gelöst.
Einstieg
Konstruktion eines Dreiecks:
1. Welche Bestimmungsstücke gibt es?
2. Wie viele werden zur Konstruktion
eines Dreiecks benötigt?
Einstieg
Kongruenzsätze:
Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich),
wenn sie,

in den drei Seiten (sss-Satz = Seiten-Seite-SeitenSatz), oder

in einer Seite und zwei Winkeln (wsw = WinkelSeiten-Winkel-Satz und sww = Seite-Winkel-WinkelSatz), oder
Einstieg

in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
(sws = Seiten-Winkel-Seiten-Satz), oder

in zwei Seiten und dem der größeren Seite
gegenüberliegenden Winkel (Ssw = Große-SeiteKleine-Seite-Winkel-Satz)
übereinstimmen.
Einstieg
Es gibt vier Ähnlichkeitssätze:

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in
zwei Winkeln übereinstimmen. (W:W-Satz)

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in
allen Verhältnissen entsprechender Seiten
übereinstimmen. (S:S:S-Satz)
Einstieg

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in
einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden
Seiten übereinstimmen. (S:W:S-Satz)

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie im
Verhältnis zweier Seiten und im Gegenwinkel der
größeren Seite übereinstimmen. (S:s:W-Satz)
Einstieg
Bis zur 10.Klasse werden in der
Realschule geometrische Probleme
hauptsächlich graphisch gelöst .
Darunter leidet aber die Genauigkeit der
Ergebnisse.
Einstieg
Mess- und Zeichengenauigkeit bei
Strecken und Winkeln:
Strecken: höchstens 0,5mm
Winkel:
höchstens 0,5°
Einstieg
Tangens
12 m
12 % 
 tan 
100 m
tan  0,12 
  6,84
rechtwinkliges Dreieck
Tangens
Definition:
In einem Dreieck mit γ = 90° gilt:
a
tan  
b
Gegenkathe te
Tangens 
Ankathete
???
Aufgabe:
An einer Passstraße steht ein Schild an dem du die
Höhe von 1300m gegenüber NN ablesen kannst. Auf
dem Tacho hast du abgelesen, dass du 1500m weit
gefahren bist. Du willst wissen unter welchem Winkel
du bergauf gefahren bist! Selbst bist du bei einer Höhe
von 1000m gegenüber NN gestartet.
Sinus
h  1300m  1000m  300m
300m
sin  
 0,2    11,54
1500m
Sinus
Definition:
Im rechwinkligen Dreieck mit γ = 90° gilt:
a
sin  
c
Gegenkathete
Sinus
Hypotenuse
???
Aufgabe:
Auf einer Landkarte erkennst du, dass eine Straße
eine Steigung von 18% besitzt. Mit deinem Lineal
misst du die Strecke zwischen Start- und Zielpunkt.
Durch maßstabsgetreues Umrechnen kommst du auf
eine Weglänge von 4,8 km. Welche Strecke musst du
tatsächlich fahren, um am Ziel anzukommen?
Kosinus
tan  0,18    10,2
4,8km
4,8km
4,8km
cos 
s

 4,877km
s
cos cos10,2
Kosinus
Definition:
Im rechtwinkligen Dreieck mit γ= 90° gilt:
b
cos  
c
Ankathete
Ko sin us 
Hypotenuse
Fazit
-
Fehlende Bestimmungsstücke können
berechnet werden
-
Man kann geometrische Probleme nicht nur
konstruktiv, sondern auch algebraisch lösen
-
Die algebraische Lösung ist genau
Aber:
Bis jetzt haben wir nur ein ganz
bestimmtes Dreieck betrachtet!
Das rechtwinklige Dreieck
Was gilt für beliebige Dreiecke?
???
Aufgabe:
Zu den wichtigsten Vorhaben der Chemnitzer
Verkehrskonzeptes gehört der Neubau einer
Straßenbahntrasse vom Zentrum in das größte
Wohngebiet der Stadt. Bei der Planung werden die
Maße der bisherigen Streckenführung benutzt.
Berechne die Länge der neuen Straßenbahntrasse,
die vereinfacht als geradlinig angenommen werden
darf.
Lösung
h
sin 49 
 h  2,6km  sin 49  h  1,96km
2,6km
h
sin  
 h  4,1km  sin 
4,1km
 4,1km  sin   2,6km  sin 49
Lösung
sin  2,6km

sin 49 4,1km
2,6km
 sin  
 sin 49  sin   0,48    28,59
4,1km
Lösung
s1
 s1  1,71km
cos 49 
2,6km
s2
 s2  3,6km
cos 28,59 
4,1km
 s ges  s1  s2  5,31km
Sinussatz
Für beliebige Dreiecke gilt der
Sinussatz:
sin  a sin  b sin  c
 ;
 ;

sin  b sin  c sin  a
Einschub
Der Satz von Pythagoras:
a b  c
2
2
2
Gilt nur für rechtwinklige Dreiecke!
Wir suchen aber Beziehungen für
beliebige Dreiecke.
Kosinussatz
Für jedes beliebige Dreieck gilt der
Kosinussatz:
a  b  c  2ab cos ;
2
2
2
b  c  a  2ab cos  ;
2
2
2
c  a  b  2ab cos .
2
2
2