V11_Schriftlich multiplizieren und dividieren

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Sommersemester 2015
Arithmetik in der Grundschule
Di 08-10 Uhr
Audimax
V 1 14.04.
V 2 21.04
Arithmetik in der Grundschule – Anfänge und Ziele
Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind
V 3 28.04.
V 4 05.05.
Zahlenraum bis 20 (Kl. 1)
Addieren und Subtrahieren im Zahlenraum bis 20 (Kl. 1)
V 5 12.05.
V 6 19.05.
V 7 02.06.
V 8 09.06.
Zahlenraum bis 100 - Zahlsysteme (Kl. 2)
Halbschriftliches Addieren und Subtrahieren (Kl. 2)
Multiplizieren und Dividieren (Kl. 2)
Kleines Einmaleins (Kl. 2)
V 9 16.06.
V10 23.06.
V11 30.06.
V12 07.07.
Zahlenraum bis 1 Million (Kl. 3, 4); Stellenwertsysteme
Schriftliches Addieren und Subtrahieren (Kl. 3)
Schriftliches Multiplizieren und Dividieren (Kl. 4)
Üben und Anwenden
V13 14.07.
Zusammenfassung
Klausur 21.07.
8-10 Uhr, Audimax und HS 1
1
V 11 Schriftliches Multiplizieren und Dividieren
1 Schriftliche Multiplikation
– 1.1 Normalverfahren
– 1.2 Erarbeitung
– 1.3 Schwierigkeitsfaktoren und Besonderheiten
2 Schriftliche Division
– 2.1 Anforderungen
– 2.2 Erarbeitung
– 2.3 Schwierigkeitsfaktoren
2
1 Schriftliche Multiplikation
Quellen: Schipper (2009), Padberg (2011),
Radatz/Schipper u.a.: Handbuch Kl. 4;
Wittmann/Müller: Handbuch II;
Grundschulunterricht 1/2009;
Baireuther (2000): Mathematikunterricht; Kl. 3/4
3
1.1 Normalverfahren (seit 1958)
•
•
•
•
•
beide Faktoren in derselben Zeile
rechte Zahl Multiplikator, linke Zahl Multiplikand¹
Man beginnt mit der höchsten Stelle des zweiten Faktors.
Die Überträge behält man im Kopf und addiert sie an der nächsten Stelle.
Abschließend werden die Teilsummen addiert.
4
1Zur
Erinnerung:
Bei den im Kopf zu lösenden
Multiplikationsaufgaben steht der
Multiplikator (meistens) links:
12+12+12=3·12
5
Weitere Notationsformen, die teilweise schon zu
Beginn des 20. Jahrhunderts gebräuchlich waren:
Grundlegend:
- Stellenwerte
beachten
- Distributivgesetz
wird angewendet
234 ∙ 28 = 234 ∙ 20 + 234 ∙ 8
(Distributivgesetz)
und Adam Ries
6
1.2 Erarbeitung der schriftlichen
Multiplikation
• ein Verfahren, das von den Kindern in der Regel nicht
entdeckt werden kann
• Erarbeitung nach heutigen Gesichtspunkten:
– Verzicht auf kleinschrittige Führung
– Herausforderung individueller Rechenwege
– Verzicht auf ausschließlichen Gebrauch des Normalverfahrens
auch nach dessen Einführung (Alternative: halbschriftliches
Rechnen, Malkreuz)
7
Eine Sachsituation zum Einstieg
• Die Schule erhält 3 neue Tafeln, das Stück zu je 983 €. Wie
hoch sind die Kosten für die 3 Tafeln?
Quelle: Schipper, 2009, S. 218
oder:
• Wie viele Stunden hat ein Jahr?
Quelle: Wittmann/Müller; Schulbuch
„Zahlenbuch“, Kl. 4
8
Zur Sachsituation 1
Die Multiplikation aus der Addition
gleicher Summanden herleiten
983
+ 983
+ 983
983 ∙3
2949
2
2 949
- Drei mal drei gleich neun.
- Drei mal acht gleich 24,
übertrage 2.
- Dreimal neun gleich
siebenundzwanzig plus
zwei gleich
neunundzwanzig.
Mit gleicher Grundidee
und Sprechweise kann
dann die Form der
schriftlichen
Multiplikation
dargestellt werden.
Quelle: Schipper, 2009, S. 218
9
Zur Sachsituation 2
Die Schüler/innen verschiedenste Lösungswege
in kleinen Arbeitsgruppen entdecken lassen
10
Zahlenbuch, Kl. 4
11
Auswertung (Strategiekonferenz)
• Vorstellen und Vergleichen der Rechenwege
• Einschätzung der Kinder: „Malkreuz am günstigsten“
Das schriftliche Verfahren als ökonomischer Rechenweg
• „Wir lernen ein schnelles Verfahren mit leichten Teilaufgaben.“
• von der Lehrperson an der Tafel laut vorgerechnet (Vermittlung des
Algorithmus):
12
Vermitteln des
Algorithmus:
Zahlenbuch, Kl. 4
Gleiche Stellenwerte sind mit der gleichen Farbe markiert.
Hinweis: Überträge werden gemerkt. Evtl. können ausgestreckt Finger
als Merkhilfe genutzt werden. (Schipper, 2009, S. 219)
13
Man kann auch auf ältere Verfahren verweisen, z. B. auf die Methode John Nepers
(1550-1617) mit Malstreifen:
Quelle: Zahlenbuch
•
•
Beim Rechnen wird ziffernweise einzeln
multipliziert. Im Ergebnis sind Zehner
und Einer durch eine schräge Linie
getrennt. So entsteht ein Gitter.
Entsteht beim Addieren ein Übertrag,
wird er an der nächsten Stelle
vermerkt.
14
Überschlagsrechnung
• 6468 ·348
(Lösung: 2 250 864)
– Runden¹:
6000 ·300= 1 800 000
– „Konstanz“ berücksichtigen:
6000 ·400= 2 400 000
7000 ·300= 2 100 000
Funktionen des Überschlags:
• zur Ergebnisschätzung vor der Rechnung
• zur Kontrolle nach der Rechnung
15
Rundungsregeln
Steht in der rechten Nachbarzahl 0, 1, 2, 3, 4
wird abgerundet.
Steht in der rechten Nachbarzahl 5, 6, 7, 8, 9
wird aufgerundet.
16
Hinweise zur Überschlagsrechnung
• Vertiefung des Stellenwertverständnisses
• Fortsetzung des Kopfrechenkurses
• Hauptschwierigkeit: sichere Handhabung der Endnullen: z. B.
bei 80 ·400
• beim Runden: „kräftig“ runden
– 6468 ·348 (6000 ·300)
• nach Rundungsregeln oder im Sinne des gegensinnigen
Veränderns vorgehen (einen Faktor abrunden, den anderen
aufrunden)
– 6468 ·348 (6000 ·400 oder 7000 ·300)
17
1.3 Schwierigkeitsfaktoren und
Besonderheiten
• Nullen im Multiplikanden oder Multiplikator
• Übertragsziffern (Anzahl und Größe)
• Veranschaulichen des Multiplizierens mit
10/100
18
Besonderheiten: Multiplizieren mit 0 und 1
19
Diagnostischer
Test
nach Padberg, S.
272
20
Veranschaulichen des Verzehnfachens mit der
Stellenwerttafel (s. Padberg)
„...einfach eine Null
anhängen.“
• Durch die Multiplikation mit 10 werden aus Einern Zehner,
aus Zehnern Hunderter, aus den Hundertern Tausender.
• Jede Ziffer wird in der Stellentafel um eine Stelle nach links
verschoben. Da die Einerstelle hierdurch leer wird, müssen
wir dies dort durch eine Null kenntlich machen.
21
2 Schriftliche Division
Lösen Sie: 14531: 12
Vorteile der anderen schriftlichen Verfahren
gegenüber dem halbschriftlichen Rechnen:
• Rechnen mit kleinen Zahlen
• Reduzierung des Schreibaufwandes
Diese Vorteile gelten bei der Division nur
eingeschränkt.
22
2.1 Anforderungen
• Anforderungen in den Bundesländern recht
einheitlich:
• Dividieren durch einstellige Zahlen (evtl. auch
Zehnerzahlen)
• Überprüfung durch eine Kontrollrechnung
(Multiplikation)
• Überschlagsrechnung
23
• Bildungsstandards
– Die KMK (2004) formuliert nur Anforderungen für
die Addition, Subtraktion und Multiplikation:
• „ schriftliche Verfahren der Addition, Subtraktion und
Multiplikation verstehen, geläufig ausführen und bei
geeigneten Aufgaben anwenden“.
– Die schriftliche Division wird in den
Bildungsstandards nicht erwähnt.
24
Komplexität des Verfahrens
•
•
•
•
•
•
Überschlag
Ermitteln des ersten Teildividenden
Multiplizieren
Subtrahieren
Zwischenkontrolle
Herunterholen der nächsten Ziffer
• ...
25
• halbschriftlich: Teilaufgaben können flexibel gewählt
werden.
• schriftlich: Es muss immer der größte Teildividend
bestimmt werden.
• Dabei kommt es häufig zu Korrekturen, Unterbrechungen,
Fehlern:
• 29472 : 8= 35...
• 24
Schüler setzen das Verfahren fort
• 54
und bemerken den Fehler später.
Sie müssen den Einstieg für die
• 40
Korrektur rückwärtsgehend suchen.
• 14
26
2.2 Erarbeitung der schriftlichen Division
27
Beispiel 1: Anschauliches Herleiten der schriftlichen Division
über das Verteilen
Verteilen
• 8325 € sollen an 5
Personen verteilt werden.
•
•
•
•
Die 8 Scheine zu 1000 € sollen – soweit
wie möglich an 5 Personen verteilt
werden. Jeder bekommt einen Schein, 3
bleiben übrig. Die restlichen 3
Tausender werden umgetauscht in 30
Hunderter.
Die insgesamt 33 Hunderter werden an
5 Personen verteilt. Jeder bekommt 6
Scheine, 3 bleiben übrig. Die restlichen
3 Hunderter werden umgetauscht in 30
Zehner.
Die insgesamt 32 Zehner werden an 5
Personen verteilt. Jeder bekommt 6
Scheine, 2 bleiben übrig. Die restlichen
2 Scheine zu 10€ werden umgetauscht
in 20 Eurostücke.
Die insgesamt 25 Eurostücke werden an
5 Personen verteilt. Jeder bekommt 5
Eurostücke – die Aufgabe ist fertig.
Übertragen in die Schriftform
Quelle: Heike Hahn,
Grundschulunterricht,
1/2009
28
Die Grundschule in Kusel hat sich am Wettbewerb „Das längste
Kinderbild der Welt“ beteiligt und den ersten Platz belegt.
Entsprechend der Länge des Bildes hat die Schule 940 € gewonnen.
Dieses Geld wird nun zu gleichen Teilen an die 4 Klassen vergeben.
• Veranschaulicht die
Gesamtsumme mit
Geld.
• Legt für die 4 Klassen
leere Blätter bereit.
• Verteilt das Geld.
• Schreibt mit Zahlen
auf, wie ihr verteilt
habt.
Quelle: ebenda
29
Beispiel 2: Verfahren nachvollziehen
Finde heraus, wie Tims Schwester gerechnet hat.
Quelle: Schulbuch „Rechenwege“
30
Vermittlung des Algorithmus
Zahlenbuch 4
31
• Weitere Anregungen aus Schulbüchern
32
Berücksichtigung verschiedener Stufen
Matheprofis 4
33
Eine schöne Idee aus dem Duden-Buch „Mathematik 4“: Den
Teildividenden markieren
Wie wurde die Aufgabe 4518:6 gerechnet? Erklärt und ergänzt.
34
2.3 Schwierigkeitsfaktoren
• Aufgaben mit Nullen
– Aufgaben mit Zwischen- oder Endnullen im Quotienten bereiten
die meisten Schwierigkeiten.
– Diese „Nullfehler“ nehmen im Verlauf der Schulzeit eher zu als ab.
• Thematisierung der Probleme im Unterricht
– sorgfältige Sprechweise
– Überschlagsrechnung (auch zur Vorausbestimmung der Anzahl
der Ziffern)
35
Zwischennullen im Quotienten
Endnullen im Quotienten
36
Berücksichtigung der Problembereiche im Unterricht
aus „Welt der Zahl“
37
„Matheprofis“
38
• Fazit …
39
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