V9.2_Schriftlich multiplizieren und dividieren

Vorlesung zur Arithmetik
• V1 18./19.04.
• V2 -./26.04.
•
V3
02./03.05.
•
V4
09./10.05.
•
V5
16./17.05.
•
•
•
•
•
V6
V7
V8
V9
V10
23./24.05.
30.05./31.05.
06./07.06.
20./21.06.
27./28.06.
•
•
•
V11 04./05.07.
V12 11./12.07.
V13 18. 07.
Arithmetik in der Grundschule
Die Entwicklung des Zahlbegriffs
beim Kind/Konzepte für den
Anfangsunterricht
Natürliche Zahlen im
Anfangsunterricht
Die Grundrechenoperationen Addition
und Subtraktion
Die Grundrechenoperationen
Multiplikation und Division
Rechengesetze und Rechenstrategien
Rechenfakten automatisieren
Entwicklung von Zahlen und Zahlsystemen
Schriftliche Rechenverfahren
Rechenschwäche und
Rechenbegabung
Aufgabenformate und Übungsangebote
Zusammenfassung und Überblick
Klausur
1
V 9.2 Schriftliches Multiplizieren und Dividieren
1 Schriftliche Multiplikation
– 1.1 Normalverfahren
– 1.2 Erarbeitung
– 1.3 Schwierigkeitsstufen/Besonderheiten
2 Schriftliche Division
– 2.1 Normalverfahren
– 2.2 Erarbeitung
– 2.3 Schwierigkeitsfaktoren
2
Rahmenplan Grundschule (Rheinland-Pfalz)
Kl. 3/4
3
Kernlehrplan Saarland 2009
• Das schriftliche Verfahren der Multiplikation mit bis zu 3-stelligem
Multiplikator verstehen und sicher beherrschen.
• Das schriftliche Verfahren der Division mit einstelligem und
zehnernahem zweistelligem Divisor beherrschen.
• Lösungen durch Überschlagsrechnen und durch Anwenden der
Umkehroperation kontrollieren
• Division ohne Rest
• Division mit Rest
• weitere Kontrollmöglichkeiten z.B. Taschenrechner, PC
4
Quellen: Schipper (2009), Padberg (2005),
Radatz/Schipper/Dröge/Ebeling: Handbuch Kl. 4;
Wittmann/Müller: Handbuch II;
Grundschulunterricht 1/2009;
Baireuther (2000): Mathematikunterricht; Kl. 3/4
5
1.1 Normalverfahren in der BRD seit 1958:
•
•
•
•
•
beide Faktoren in derselben Zeile
rechte Zahl Multiplikator, linke Zahl Multiplikand¹
Man beginnt mit der höchsten Stelle des zweiten Faktors.
Die Überträge behält man im Kopf und addiert sie an der nächsten Stelle.
Abschließend werden die Teilsummen addiert.
6
1Zur
Erinnerung:
Bei den im Kopf zu lösenden
Multiplikationsaufgaben steht der
Multiplikator (meistens) links:
12+12+12=3·12
7
Weitere Notationsformen, die teilweise schon zu
Beginn des 20. Jahrhunderts gebräuchlich waren:
8
1.2 Erarbeitung der schriftlichen Multiplikation
• ein Verfahren, das von den Kindern in der Regel nicht
entdeckt werden kann
• Erarbeitung nach heutigen Gesichtspunkten:
– Verzicht auf kleinschrittige Führung
– Herausforderung individueller Rechenwege
– Verzicht auf ausschließlichen Gebrauch des
Normalverfahrens auch nach dessen
Einführung (Alternative: halbschriftliches
Rechnen, Malkreuz)
9
(1) Eine Sachsituation zum Einstieg
Quelle: „Rechenwege“
oder:
Wie viele Stunden hat ein Jahr?
Quelle: „Zahlenbuch“
10
(2) Erarbeiten von Rechenwegen in der Gruppe:
Versucht, die Aufgabe 188 · 25 zu lösen.
11
12
(3) Auswertung (Strategiekonferenz)
• Vorstellen und Vergleichen der Rechenwege
• Einschätzung der Kinder: „Malkreuz am günstigsten“
(4) Das schriftliche Verfahren als ökonomischer Rechenweg
• „Wir lernen ein schnelles Verfahren mit leichten Teilaufgaben.“
• von der Lehrperson an der Tafel laut vorgerechnet:
13
14
Man kann auch mit einem älteren Verfahren einsteigen oder darauf
verweisen, z. B. auf die Methode John Nepers (1550-1617) mit Malstreifen:
Quelle: Zahlenbuch
•
Beim Rechnen wird ziffernweise
einzeln multipliziert. Im Ergebnis
sind Zehner und Einer durch eine
schräge Linie getrennt. So entsteht
ein Gitter.
Entseht beim Addieren ein Übertrag,
wird er an der nächsten Stelle
vermerkt.
15
1.3 Weiteres Vorgehen: Zuwendung zu einzelnen
Schwierigkeitsstufen; Einbeziehen des Überschlages
• Multiplikation mit einstelligem Multiplikator
– Aufgabe:
– Überschlag:
– Rechnung:
82 628 · 5
80 000 · 5 = 400 000
82628·5
413140
16
Multiplikation mit Vielfachen von 10, 100,...
• Aufgabe:
• Überschlag:
• lange Rechnung:
3 869 ·30
4 000 ·30=120 000
3869·3
11607
• kurze Rechnung
11607·10=116070
3869 ·30
16070
17
Vorschlag: Algorithmus über eine ausführliche
Form des Aufschreibens herleiten
Kurzform (evtl. Mitschreiben der
Merkziffern)
Quelle: Baireuther.
Mathematik. Kl. 3/4
18
Multiplikation mit beliebigen mehrstelligen Zahlen
• 348·486
1392
2784
2088
169128
Lange Rechnung:
• 348·400
348·80
139200
27840
348·6
2088
19
Überschlagsrechnung
• 6468 ·348
(Lösung: 2 250 864)
– Runden¹:
6000 ·300= 1 800 000
– „Konstanz“ berücksichtigen:
6000 ·400= 2 400 000
7000 ·300= 2 100 000
Funktionen des Überschlags:
• zur Ergebnisschätzung vor der Rechnung
• zur Kontrolle nach der Rechnung
20
Rundungsregeln
Steht in der rechten Nachbarzahl 1, 2, 3, 4
wird abgerundet.
Steht in der rechten Nachbarzahl 5, 6, 7, 8,
9 wird aufgerundet.
21
Hinweise zur Überschlagsrechnung
• Vertiefung des Stellenwertverständnisses
• Fortsetzung des Kopfrechenkurses
• Hauptschwierigkeit: sichere Handhabung der Endnullen: z. B.
bei 80 ·400
• beim Runden: „kräftig“ runden
– 6468 ·348 (6000 ·300)
• nach Rundungsregeln oder im Sinne des gegensinnigen
Veränderns vorgehen (einen Faktor abrunden, den anderen
aufrunden)
– 6468 ·348 (6000 ·400 oder 7000 ·300)
22
1.3 Schwierigkeitsfaktoren/Besonderheiten
• Nullen im Multiplikanden oder Multiplikator
• Übertragsziffern (Anzahl und Größe)
• Veranschaulichen des Multiplizierens mit
10/100
23
Besonderheiten: Multiplizieren mit 0 und 1
24
Diagnostischer
Test
nach Padberg, S.
272
25
Veranschaulichen des Verzehnfachens mit der
Stellenwerttafel (s. Padberg)
„...einfach eine Null
anhängen.“
• Durch die Multiplikation mit 10 werden aus Einern Zehner,
aus Zehnern Hunderter, aus den Hundertern Tausender.
• Jede Ziffer wird in der Stellentafel um eine Stelle nach links
verschoben. Da die Einerstelle hierdurch leer wird, müssen
wir dies dort durch eine Null kenntlich machen.
26
Verzehnfachen am Schulabakus
(s. Johann/Matros)
234·10
– Zurückführen auf die wiederholte Addition.
– Nach dem Bündeln sieht man, dass jedes Steinchen der
Ausgangszahl 234 um eins nach links verschoben wurde.
27
2 Schriftliche Division
Lösen Sie: 17 389 : 24
Vorteile der anderen schriftlichen Verfahren
gegenüber dem halbschriftlichen Rechnen:
• Rechnen mit kleinen Zahlen
• Reduzierung des Schreibaufwandes
Diese Vorteile gelten bei der Division nur
eingeschränkt.
28
• halbschriftlich: Teilaufgaben können flexibel gewählt
werden.
• schriftlich: Es muss immer der größte Teildividend
bestimmt werden.
• Dabei kommt es häufig zu Korrekturen, Unterbrechungen,
Fehlern:
• 29472 : 8= 35...
• 24
Schüler setzen das Verfahren
• 54
fort und bemerken den Fehler
• 40
später. Sie müssen den
• 14
Einstieg für die Korrektur
rückwärtsgehend suchen.
29
Anforderungen in den Bundesländern
recht einheitlich:
•Dividieren durch einstellige Zahlen (evtl. auch
Zehnerzahlen)
•Überprüfung durch eine Kontrollrechnung
(Multiplikation)
•Überschlagsrechnung
30
Beispiel:
Überschlag:
•
• Rechnung:
•
•
•
•
•
•
•
•
21 000 : 7 = 3 000
•
•
3 207 ·7
Kontrolle:
22 449 : 7 = 3 207
21
14
14
04
0
49
49
0
22449: 7
Aufgabe, bei der
mit einem
erhöhten
Fehleranteil zu
rechnen ist.
22 449
31
2.1 Komplexität des Verfahrens
•
•
•
•
•
•
•
Überschlag
Ermitteln des ersten Teildividenden
Multiplizieren
Subtrahieren
Zwischenkontrolle
Herunterholen der nächsten Ziffer
...
32
2.2 Erarbeiten des Verfahrens
33
Anschauliches Herleiten der schriftlichen Division über das
Verteilen
Verteilen
Übertragen in die Schriftform
• 8325 € sollen an 5 Personen
verteilt werden.
•
•
•
•
Die 8 Scheine zu 1000 € sollen –
soweit wie möglich an 5 Personen
verteilt werden. Jeder bekommt
einen Schein, 3 bleiben übrig. Die
restlichen 3 Tausender werden
umgetauscht in 30 Hunderter.
Die insgesamt 33 Hunderter werden
an 5 Personen verteilt. Jeder
bekommt 6 Scheine, 3 bleiben übrig.
Die restlichen 3 Hunderter werden
umgetauscht in 30 Zehner.
Die insgesamt 32 Zehner werden an 5
Personen verteilt. Jeder bekommt 6
Scheine, 2 bleiben übrig. Die
restlichen 2 Scheine zu 10€ werden
umgetauscht in 20 Eurostücke.
Die insgesamt 25 Eurostücke werden
an 5 Personen verteilt. Jeder
bekommt 5 Eurostücke – die Aufgabe
ist fertig.
Quelle: Heike Hahn,
Grundschulunterricht,
1/2009
34
Die Grundschule in Kusel hat sich am Wettbewerb „Das
längste Kinderbild der Welt“ beteiligt und den ersten Platz
belegt. Entsprechend der Länge des Bildes hat die Schule
940 € gewonnen. Dieses Geld wird nun zu gleichen Teilen
an die 4 Klassen vergeben.
• Veranschaulicht
die Gesamtsumme
mit Geld.
• Legt für die 4
Klassen leere
Blätter bereit.
• Verteilt das Geld.
• Schreibt mit
Zahlen auf, wie ihr
verteilt habt.
Quelle: ebenda
35
Vorschläge aus Schulbüchern
(1) Einstiegsmöglichkeiten
Die Kinder erhalten eine Vorlage. Finde heraus, wie Tims Schwester
gerechnet hat.
„Rechenwege“
36
(2) Exakte Vermittlung des
Algorithmus
Zahlenbuch 4
37
Berücksichtigung
verschiedener Stufen
„Matheprofis“
Matheprofis 4
38
Eine schöne Idee aus dem Duden-Buch „Mathematik 4“: Den
Teildividenden markieren
Wie wurde die Aufgabe 4518:6 gerechnet? Erklärt und ergänzt.
39
2.3 Schwierigkeitsfaktoren
• Aufgaben mit Nullen
– Aufgaben mit Zwischen- oder Endnullen im Quotienten bereiten
die meisten Schwierigkeiten.
– Diese „Nullfehler“ nehmen im Verlauf der Schulzeit eher zu als ab.
• Thematisierung der Probleme im Unterricht
– sorgfältige Sprechweise
– Überschlagsrechnung (auch zur Vorausbestimmung der Anzahl
der Ziffern)
40
Zwischennullen im Quotienten
Endnullen im Quotienten
41
Berücksichtigung der Problembereiche im Unterricht
aus „Welt der Zahl“
42
„Matheprofis“
43