Markus Frank Strahlungskorrekturen im Higgs

Markus Frank
Strahlungskorrekturen im Higgs-Sektor
des Minimalen Supersymmetrischen
Standardmodells mit CP-Verletzung
RHOMBOS-VERLAG • BERLIN
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Abbildungen: Markus Frank
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Druck: dbusiness GmbH, Berlin, Eberswalde
ISBN 3-937231-01-3
Strahlungskorrekturen im Higgs-Sektor
des Minimalen Supersymmetrischen
Standardmodells mit CP-Verletzung
Zur Erlangung des akademischen Grades eines
D OKTORS DER N ATURWISSENSCHAFTEN
von der Fakultät für Physik der Universität (TH) Karlsruhe
genehmigte
D ISSERTATION
von
Dipl.–Phys. Markus Frank
aus Karlsruhe
Tag der mündlichen Prüfung:
Referent:
Korreferent:
6. Dezember 2002
Prof. Dr. W. Hollik
Prof. Dr. Th. Mannel
Danksagung
An dieser Stelle möchte ich mich bei all jenen bedanken, die mit ihrer Unterstützung
zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben:
Zuerst bei Herrn Prof. Dr. Wolfgang Hollik für die Betreuung meiner Arbeit, seine Bereitschaft, jederzeit für Fragen und Diskussionen zur Verfügung zu stehen
sowie die Unterstützung und Hilfestellungen zur richtigen Zeit.
Ebenso auch bei Herrn Prof. Dr. Thomas Mannel für die bereitwillige kurzfristige
Übernahme des Korreferats, die mir in der Endphase meiner Arbeit eine große
Hilfe war.
Bei Herrn Dr. Sven Heinemeyer, der unabhängig davon, ob unsere Arbeitsplätze
15 Meter oder 6000 Kilometer auseinanderlagen, jederzeit mit guten Vor- und
Ratschlägen, Nachfragen und motivierenden Kommentaren zur Stelle war. Seine
Unterstützung hat zu dem Fortschritt und der endgültigen Form meiner Arbeit
entscheidend beigetragen.
Bei Herrn Dr. Georg Weiglein für zahlreiche Diskussionen, Tips und Hilfestellungen während der gesamten Entstehung meiner Dissertation.
Bei Herrn Dr. Thomas Hahn für viele lehrreiche Tips und Tricks zu Computern
im allgemeinen und zu Fortran und Mathematica im speziellen. Genauso für die
Programmpakete FeynArts und FormCalc (samt zugehörigem Support), ohne die
meine Arbeit wesentlich komplizierter und fehleranfälliger geworden wäre.
Und natürlich bei allen weiteren aktiven und ehemaligen Mitgliedern des Instituts
für Theoretische Physik, die ich während meiner Zeit hier kennengelernt habe, für
zahlreiche Diskussionen, Fragen und Antworten zu verschiedensten Themen, die
immer neuen Stoff zum Nachdenken boten – und nicht zuletzt auch dafür, daß es
aufgrund der wahrscheinlich in jeder Hinsicht einmaligen Arbeitsatmosphäre am
Institut nie langweilig wurde.
Schließlich: dem Graduiertenkolleg “Elementarteilchenphysik an Hochenergiebeschleunigern” für die finanzielle Unterstützung.
Inhaltsverzeichnis
1 Das Minimale Supersymmetrische Standardmodell
1.1 Supersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Teilcheninhalt des MSSM . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Brechung der Supersymmetrie im MSSM . . . .
1.4 Die Sektoren des MSSM . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Das Higgs-Potential . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Der Fermion-Sfermion-Sektor . . . . . . .
1.4.3 Der Chargino-Sektor . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Der Neutralino-Sektor . . . . . . . . . . .
1.5 Zusammenfassung des Modells . . . . . . . . . .
1.6 Phänomenologische Motivation des MSSM . . .
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2 Berechnung von Strahlungskorrekturen
2.1 Regularisierung und Renormierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Ein-Schleifen-Selbstenergien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Dimensionale Regularisierung und Dimensionale Reduktion . .
2.1.3 On-shell-Renormierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 MS-Renormierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Renormierung skalarer Multipletts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Renormierung in der Basis der Wechselwirkungs-Eigenzustände
2.2.2 Basiswechsel und Mischungsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Renormierung in der Basis der Masseneigenzustände . . . . . . .
2.2.4 Renormierung der Mischungsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Diagonalisierung des Propagators in höheren Ordnungen . . . .
2.3 Computeralgebraische Berechnung der Korrekturen . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Software zur Berechnung der Korrekturen . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Spezielle numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Der Higgs-Sektor des MSSM
3.1 Higgs-Potential und Higgs-Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Der Higgs-Sektor in niedrigster Ordnung . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Form der Mischungsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Einführung physikalischer Parameter im Higgs-Potential .
3.2.3 Bestimmung der physikalischen Massenterme . . . . . . .
3.2.4 Massen und Mischungswinkel in niedrigster Ordnung . .
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Inhaltsverzeichnis
6
3.3
3.4
Der Higgs-Sektor in 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Renormierung des Higgs-Potentials . . . . . . . . . . .
3.3.2 Festlegung der freien Renormierungskonstanten . . . .
3.3.3 CP-Verletzung im Higgs-Sektor in höheren Ordnungen
Bestimmung der Higgs-Massen in höheren Ordnungen . . . .
3.4.1 Polmassen in höheren Ordnungen . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Exakte Ein-Schleifen-Näherung . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Verbesserte Ein-Schleifen-Näherung . . . . . . . . . . .
3.4.4 On-shell-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Higgs-Massen im MSSM mit reellen Parametern
4.1 Feld- und tan -Renormierung im Higgs-Sektor . . . . . . .
4.1.1 Allgemeine Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Renormierungsbedingungen im Higgs-Sektor . . . .
4.1.3 Einfluß der Renormierungen auf m h(1) . . . . . . . . .
4.1.4 Einfluß der tan -Renormierung auf mh(1) . . . . . . .
4.1.5 MS- und On-shell-IV-Renormierung . . . . . . . . . .
4.2 Vergleich verschiedener Näherungen in 1. Ordnung . . . . .
4.2.1 Die p2 =0-Näherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Resultate für die leichte Higgs-Masse mh(1) . . . . . .
4.2.3 Resultate für die schwere Higgs-Masse m H(1) . . . . .
4.2.4 Berechnung des effektiven Mischungswinkels . . . .
4.3 Einfluß der Sektoren des MSSM auf die Massenkorrekturen
4.3.1 Sektoren des MSSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Beiträge der Sektoren zu mh(1) . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Differenz zwischen m4t -Näherung und t-t̃-Sektor . . .
4.3.4 Einfluß des b-b̃-Sektors . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Korrekturen zur Masse der geladenen Higgs-Bosonen . . . .
4.4.1 Einfluß der Wahl des freien Massenparameters . . . .
4.4.2 Einfluß der Sektoren und Näherungen auf m H (1) . .
4.4.3 Parameterabhängigkeit von m H (1) . . . . . . . . . . .
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5 Higgs-Massen im MSSM mit komplexen Parametern
5.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Einschränkung der Phasen durch elektrische Dipolmomente .
5.1.3 Phänomenologie des cMSSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 CP-verletzende Anteile in H1, H2 und H3 . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 CP-Eigenschaften des leichten Higgs-Bosons . . . . . . . . . .
5.2.2 CP-Eigenschaften der schweren Higgs-Bosonen . . . . . . . .
5.3 Korrekturen zur Masse des leichtesten Higgs-Bosons . . . . . . . . .
5.3.1 Einfluß der Phasen von A0 bzw. Xt . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Einfluß der Phasen von , M1 und M2 . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Massenaufspaltung zwischen m H2 und m H3 . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Mischungsmatrix U und effektive Kopplungen . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
5.5.1
5.5.2
5.5.3
7
Einfluß der Sektoren und des äußeren Impulses auf U . . . . . . . . 127
Einfluß der Phasen von , M1 und M2 auf U . . . . . . . . . . . . . 131
Effektive Kopplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6 Zusammenfassung
141
Einführung
Die immer genauere experimentelle Bestätigung des Standardmodells der Teilchenphysik an Hochenergiebeschleunigern in den letzten beiden Jahrzehnten hat auch die
Zuversicht erhöht, daß die Massen der beobachteten Teilchen tatsächlich durch den
Higgs-Mechanismus generiert werden. Um diese Zuversicht in Gewißheit zu verwandeln, fehlt jedoch noch ein wichtiger Punkt: der Nachweis der Existenz des zugehörigen
Higgs-Bosons. Die untere experimentelle Grenze für die Masse eines StandardmodellHiggs-Bosons liegt momentan bei ca. 114 GeV, während andererseits elektroschwache
Präzisionsanalysen einen Wert oberhalb von 200 GeV unwahrscheinlich werden lassen.
Unter anderem gibt die Lage dieser beiden Schranken Anlaß, eine bestimmte Erweiterung der Theorie des Standardmodells genauer zu untersuchen: das Minimale Supersymmetrische Standardmodell, kurz MSSM genannt. Dessen Higgs-Sektor ist komplexer als der des Standardmodells; statt nur einem neutralen Higgs-Boson enthält das
MSSM drei solcher Teilchen sowie ein Paar geladener Higgs-Bosonen. Außerdem besitzt es eine Eigenschaft, die dem Standardmodell fehlt: eine aus der Theorie selbst
folgende Obergrenze für die Masse des leichtesten neutralen Higgs-Bosons, die nach
Berücksichtigung aller bekannten Korrekturen momentan bei ca. 135 GeV liegt. Dieser
Wert läßt sich bereits mit der nächsten Generation von Hochenergiebeschleunigern erreichen, so daß in naher Zukunft mit definitiven Aussagen über die Existenz des MSSM
zu rechnen ist.
Dies erklärt das große Interesse an einer möglichst präzisen Bestimmung der Masse
des leichtesten MSSM-Higgs-Bosons. Dabei stellt sich heraus, daß Korrekturen höherer
Ordnung hier eine ungewöhnlich große Rolle spielen; die Unterschiede zwischen den
Werten in niedrigster und erster Ordnung betragen teilweise über 50%. Kommende Beschleunigerexperimente werden diese Masse jedoch –sollte das Higgs-Boson existieren–
mit einer relativen Genauigkeit von ca. 0,1% messen können. Hierdurch wird verständlich, daß die möglichst vollständige Bestimmung der Korrekturen in den ersten Ordnungen der Störungstheorie zu einer vordringlichen Aufgabe geworden ist.
Da sich jedoch bereits die Berechnung der zweiten Ordnung sehr aufwendig gestaltet, kommt einer genauen Analyse der Korrekturen erster Ordnung große Bedeutung
zu. Diese kann Anhaltspunkte dafür liefern, welche der noch unbekannten Korrekturen höherer Ordnung die größte Relevanz besitzen. Im günstigsten Fall kann sogar eine
Abschätzung der Größe dieser Korrekturen gegeben werden.
Genau dieses Ziel verfolgt die vorliegende Arbeit. Hierfür werden die vollständigen Korrekturen erster Ordnung zu allen Massen im Higgs-Sektor des MSSM berechnet und untersucht; dies schließt erstmals auch die Masse der geladenen Bosonen ein.
9
10
Um das Ergebnis allgemein zu halten und nicht durch implizite Annahmen bestimmte
Effekte von vorneherein auszuschließen, wird auch die Möglichkeit des Auftretens CPverletzender Werte für die im Higgs-Sektor relevanten Parameter berücksichtigt. Dabei
stellen sich unter anderem folgende Fragen:
Welchen Einfluß besitzen verschiedene Definitionen der Renormierungskonstanten auf das Resultat für die Higgs-Massen (insbesondere auf die leichteste) in erster Ordnung?
Wieviel tragen die einzelnen Sektoren des MSSM zum Gesamtergebnis bei?
Was bewirkt die Verwendung unterschiedlicher Approximationen bei dessen Berechnung?
Und schließlich: wie verändert das mögliche Auftreten CP-verletzender Mischungen zwischen den neutralen Higgs-Bosonen deren Massen?
Die Antworten hierauf werden in den folgenden Kapiteln gegeben.
Kapitel 1
Das Minimale Supersymmetrische
Standardmodell
Das Minimale Supersymmetrische Standardmodell (MSSM) [1, 2] stellt die einfachste supersymmetrische Erweiterung des experimentell sehr gut bestätigten Standardmodells (SM) [3] der Teilchenphysik dar. Der erste Abschnitt dieses Kapitels skizziert die der Supersymmetrie zugrundeliegenden Konzepte, die folgenden behandeln
das MSSM aus dem Blickwinkel der Phänomenologie. Dabei stehen insbesondere die
zur Durchführung von konkreten theoretischen Rechnungen und deren Vergleich mit
zukünftigen Experimenten notwendigen Größen und Relationen im Vordergrund, weniger jedoch ihre formale Herleitung. Das Higgs-Potential des MSSM wird aufgrund
seiner zentralen Bedeutung für die vorliegende Arbeit nochmals ausführlich in dem
folgenden eigenen Kapitel 3 behandelt.
1.1 Supersymmetrie
Unter der Bezeichnung “Supersymmetrie” versteht man in der Teilchenphysik eine
Symmetrie, deren Transformationen Quantenfelder mit halb- und ganzzahligem Spin
miteinander verbinden und so bosonische und fermionische Freiheitsgrade ineinander
überführen. Die Supersymmetrie erreicht dies durch die Einführung von antikommutierenden Operatoren Q und Q , deren Wirkung auf bosonische Zustände B bzw. fermionische Zustände F sich symbolisch wie folgt darstellen läßt (Spinorindizes werden
in der folgenden qualitativen Darstellung unterdrückt):
Q B
F
Q F
B
Q Q
Q Q 0
(1.1)
Eine derartige Symmetrie muß aufgrund des Zusammenhangs von Spin und PoincaréGruppe [4] mit den Symmetrien der Raumzeit verknüpft sein. Dies äußert sich z.B. im
Auftreten des 4-Impuls-Operators P in den nichtverschwindenden Antikommutatoren
zwischen den Supersymmetrie-Generatoren Q und Q ,
Q Q 11
2 P (1.2)
12
Kapitel 1. Das Minimale Supersymmetrische Standardmodell
wobei die Pauli-Matrizen bezeichnet.
Die Realisierung der Supersymmetrie im Rahmen einer relativistischen, vierdimensionalen Quantenfeldtheorie beginnt mit dem Artikel von Wess und Zumino [5]. Die
besondere Beachtung, die der Supersymmetrie seither entgegengebracht wird, erklärt
sich unter anderem aus zwei Arbeiten, die die Freiheit bei der Einführung neuer Symmetrien stark einschränken: Das Haag-Lopuszanksi-Sohnius-Theorem [6] als Erweiterung des Coleman-Mandula-Theorems [7] sagt aus, daß die Supersymmetrie die einzige Möglichkeit ist, in einer nichttrivialen, wechselwirkenden Quantenfeldtheorie die
raumzeitliche Symmetrie mit einer weiteren, inneren Symmetrie zu verbinden.
Auf eine detaillierte Einführung in den zum grundlegenden Verständnis der Supersymmetrie notwendigen Formalismus wird an dieser Stelle verzichtet, da dieser für die
Vorstellung der Resultate der folgenden Kapitel nicht benötigt wird. Statt dessen sei auf
die sehr gut nachvollziehbare Einführung [8] anhand des Beispiels der einfachsten supersymmetrischen relativistischen Quantenfeldtheorie (Wess-Zumino-Modell) verwiesen. Weiterhin ist ein Großteil der für die Entwicklung der Supersymmetrie relevanten
Originalartikel in [9] zusammengestellt.
Eine supersymmetrische Theorie ordnet jedem Freiheitsgrad einen Superpartner zu,
wobei zusammengehörige bosonische und fermionische Teilchen ein sog. Supermultiplett bilden. Zwei Arten von Supermultipletts sind für das MSSM relevant: Die chiralen
Supermultipletts, die aus einem chiralen zweikomponentigen Weyl-Fermion und seinem skalaren Superpartner bestehen, sowie die Eichmultipletts, die aus jeweils einem
Spin-1-Boson und seinem fermionischen Superpartner bestehen.
Ein wesentlicher Aspekt einer sypersymmetrischen Theorie ist, daß die Form der
zulässigen Nicht-Eichkopplungen für chirale Supermultipletts in der Lagrangefunktion
durch die Forderung der Invarianz unter Supersymmetrietransformationen stark eingeschränkt wird: Alle diese Terme, die Wechselwirkungen und Massen einschließen,
lassen sich aus einem Superpotential ableiten, das eine analytische Funktion der in der
Theorie auftretenden skalaren Felder sein muß. Äquivalent dazu kann das Superpotential auch als Funktion von chiralen Superfeldern [10] dargestellt werden, die alle Felder
eines zugehörigen Supermultipletts enthalten. Im folgenden wird von dieser Notation
nur einmal –bei der Festlegung des MSSM-Superpotentials (1.3)– Gebrauch gemacht,
so daß für eine detaillierte Einführung des Konzepts der Superfelder wiederum auf die
Literatur [8] verwiesen werden kann.
In einer renormierbaren supersymmetrischen Theorie sind daher alle Teilchenmassen und -wechselwirkungen durch die Eichgruppen und das Superpotential festgelegt.
Noch wichtiger ist jedoch für die in den folgenden Kapiteln durchgeführten Rechnungen zum Higgs-Sektor des MSSM die Tatsache, daß in supersymmetrischen Theorien
das Potential der skalaren Felder in L vollständig durch die anderen Wechselwirkungen der Theorie festgelegt ist (siehe z.B. [11], Abschnitt 3.4). Dies betrifft damit auch das
Higgs-Potential, so daß sich im Gegensatz zum Standardmodell ein Großteil der Parameter des Higgs-Sektors in Abhängigkeit von wenigen freien Größen berechnen lassen. Die Verbindung der Supersymmetrie mit den bekannten Eichsymmetrien und den
Teilchen des Standardmodells liefert somit eine Theorie, die einerseits die bislang experimentell beobachteten Fakten korrekt beschreibt und andererseits zusätzliche, nach-
1.2. Teilcheninhalt des MSSM
13
prüfbare Vorhersagen über neue Phänomene trifft.
Der Vollständigkeit halber sei vermerkt, daß die vorliegende Arbeit die Supersymmetrie ausschließlich als globale Transformation betrachtet. Eine Erweiterung der
Supersymmetrie zu einer lokalen Eichsymmetrie kann zu einer supersymmetrischen
Theorie unter Einschluß der Gravitation führen ([11], Abschnitt 6.2).
1.2 Teilcheninhalt des MSSM
Aus dem vorangegangenen Abschnitt wird deutlich, daß in einer supersymmetrischen
Erweiterung des Standardmodells jedem der bekannten Teilchen ein Superpartner mit
einem um 12 verschiedenen Spin zugeordnet werden muß [12, 2]. Daraus folgt, daß alle
Superpartner neue, bislang unentdeckte Teilchen darstellen müssen.
Der Higgs-Sektor des MSSM muß gegenüber dem Standardmodell um ein weiteres
Higgs-Dublett erweitert werden, da aus der Holomorphie des Superpotentials folgt,
daß die Massen der up-artigen bzw. der down-artigen Quarks im Higgs-Mechanismus
durch die Kopplung an unterschiedliche Higgs-Dubletts entstehen. Weiterhin sind zwei
Higgs-Dubletts notwendig, um die Anomaliefreiheit der Theorie zu gewährleisten [13].
Folgende neue Teilchen werden im MSSM eingeführt:
Jedem der vierkomponentigen Dirac-Fermionen des Standardmodells werden jeweils zwei geladene skalare Teilchen zugeordnet, die entsprechend ihrer Herkunft als Superpartner der chiralen Komponenten des Fermions mit den Indizes L bzw. R (für links- bzw. rechtshändig) bezeichnet werden. Die Bezeichnung
dieser skalaren Superpartner folgt der Konvention, dem Namen des zugehörigen
Standardmodell-Teilchens ein “S” voranzustellen. Die Partner der Quarks heißen
somit Squarks, die der Leptonen Sleptonen.
Den Eichbosonen des Standardmodells wird jeweils ein vierkomponentiges DiracFermion zugeordnet. Gemäß Konvention wird der Namen fermionischer Superpartner durch Anhängen der Silbe “-ino” gebildet, so daß die Partner der Eichbosonen als Gauginos bezeichnet werden.
Den neutralen bzw. geladenen Bosonen im Higgs-Sektor werden gleichfalls geladene bzw. neutrale Fermionen mit Spin 12 zugeordnet, die Higgsinos.
Der gesamte Teilcheninhalt des MSSM ist in Tabelle 1.1 zusammengefaßt.
Die Eichwechselwirkungen und der Teilcheninhalt sind durch das Standardmodell
bereits bekannt, so daß nur noch das Superpotential festgelegt werden muß. Unter Verwendung der in Tabelle 1.1 aufgeführten Superfelder lautet dieses für das MSSM:
WMSSM
i j (yu H2i Q jU yd H1i Q j D yl H1i L j E H1i H2j )
(1.3)
1 i j 1 2 dar. Neben
Hierbei stellt i j den antisymmetrischen Tensor mit 12
den dimensionslosen Yukawa-Kopplungen yu , yd und yl , die 33-dimensionale Matrizen im Raum der Quark- bzw. Leptonfamilien darstellen, tritt der Massenparameter neu auf. Der zugehörige Term ist das supersymmetrische Äquivalent zur Masse des
Kapitel 1. Das Minimale Supersymmetrische Standardmodell
14
Name
Quarks - Squarks
Superfeld
Q
U
D
Leptonen - Sleptonen
E
L
Higgs - Higgsinos
H1
H2
B-Boson - Bino
B
W-Boson - Wino
Wi
Gluon - Gluino
Gi
SM-Teilchen
qL = (u L , d L )
uR
dR
l L = ( L , e L )
lR
H10, H1
H2 , H20
B0
W 0, W gi
Spin
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
0
0
1
1
1
Superteilchen
q̃ L = (ũ L , d˜L )
ũ R
d˜R
l˜L = (˜ L , ẽ L )
l˜
R
H̃10, H̃1
H̃2 , H̃20
B̃0
W̃ 0 , W̃ g̃i
Spin
0
0
0
0
0
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
Tabelle 1.1: Teilcheninhalt des MSSM
Higgs-Bosons im Standardmodell. Im Rahmen des MSSM ist als freier Parameter zu
behandeln. Die Yukawa-Matrizen bestimmen über den Higgs-Mechanismus die Massen
der Quarks und Leptonen. Um die Phänomenologie des Standardmodells zu reproduzieren, nimmt man für diese Matrizen Diagonalform an:
yu
yu 0 0
0 yc 0
0 0 yt
yd
yd 0 0
0 ys 0
0 0 yb
yl
ye 0
0 y
0 0
0
0
y
(1.4)
Neben den in (1.3) auftretenden Termen wären im Superpotential weitere Terme
möglich, welche allerdings die Baryon- oder Leptonzahlerhaltung verletzen würden.
Die Tatsache, daß solche Prozesse experimentell nie beobachtet wurden sowie die experimentell beobachtete lange Lebenszeit des Protons zeigen, daß diese Terme sehr klein
sein müssen. Eine exakte Erhaltung beider Quantenzahlen im Superpotential erreicht
man durch die Einführung einer zusätzlichen Symmetrie, der R-Parität [14]. Die zugehörige erhaltene Quantenzahl berechnet sich für jedes Teilchen aus seiner Baryonzahl
B bzw. Leptonzahl L sowie seines Spins s:
PR
(1)3(B
L) 2s
(1.5)
Für die Phänomenologie ist die R-Parität noch aus einem weiteren Grund sehr nützlich,
da sie eine Einteilung der Teilchen des MSSM in die “normalen” Teilchen des Standardmodells (inklusive des erweiterten Higgs-Sektors) mit PR
1 und die neu ein1 ermöglicht, die in Tabelle 1.1 mit einer Tilde
geführten “Superteilchen” mit PR
gekennzeichnet sind.
Wäre die Supersymmetrie eine exakte Symmetrie der Natur, so müßte jedem Teilchen des Standardmodells ein Superpartner mit exakt gleicher Masse zugeordnet sein.
Solche Teilchen sind jedoch experimentell eindeutig ausgeschlossen, so daß die Supersymmetrie in der Realität definitiv gebrochen sein muß. Damit tritt gegenüber der exakt
supersymmetrischen Theorie eine zusätzliche Komplikation auf, da zur Festlegung des
MSSM das Superpotential und zusätzlich der Brechungsmechanismus festgelegt werden müssen.
1.3. Brechung der Supersymmetrie im MSSM
15
1.3 Brechung der Supersymmetrie im MSSM
Für eine experimentelle Bestätigung des MSSM ist die Kenntnis der Massen und Mischungen der bislang unentdeckten Superpartner von großer Bedeutung. Für die offensichtliche Massendifferenz zwischen den Teilchen und ihren Superpartnern können
nur die in L zusätzlich einzuführenden Supersymmetrie-Brechungsterme verantwortlich sein. Das aus theoretischer Sicht wesentliche offene Problem des MSSM ist daher
die Frage: Wie ist die Supersymmetrie gebrochen?
Die naheliegendste Vermutung lautet, daß es sich bei der Supersymmetrie analog zur elektroschwachen Symmetrie um eine exakte Symmetrie der Natur handelt,
die in dem tatsächlich realisierten Vakuumzustand spontan gebrochen ist. Die beiden
wichtigsten Mechanismen, die dies bewirken können, sind als Fayet-Iliopoulos- bzw.
O’Raifertaigh-Mechanismus bekannt [15, 16]. Allen konkreten Realisierungen dieser
Modelle ist gemeinsam, daß sie bei hohen Energieskalen neue Teilchen und Wechselwirkungen einführen, da bereits ausgeschlossen werden kann, daß eine spontane
Supersymmetrie-Brechung bei der Größenordnung der elektroschwachen Brechungsskala stattfindet [17].
Da es bis zum heutigen Tag keine Erkenntnisse darüber gibt, wie diese Mechanismen tatsächlich funktionieren und wie solche Erweiterungen konkret aussehen könnten, wird zur phänomenologischen Beschreibung des MSSM eine andere Variante bevorzugt: Die Lagrangefunktion des MSSM wird um Terme ergänzt, die die Supersymmetrie explizit brechen, ohne zu der unrenormierten Theorie neue quadratische Divergenzen hinzuzufügen. Die Anzahl der möglichen derartigen Soft-Brechungsterme ist
begrenzt [18]. In Unkenntnis des tatsächlichen Mechanismus der Supersymmetriebrechung sind diese Parameter im MSSM als frei festzulegende Größen zu behandeln.
Eine vollständige Beschreibung des MSSM erhält man also, wenn man zur bisherigen supersymmetrischen Lagrangedichte die folgenden Soft-Brechungsterme hinzufügt:
Lsoft
M2(W̃ W̃ W̃ 0W̃ 0) M3 g̃i g̃i h.c.)
j
j
j
i j (ũ R Au H2i q̃ L d˜R Ad H1i q̃ L ẽ R Al H1i l˜L h.c.)
(q̃ L i M2Q̃ q̃iL ũ R M2Ũ ũ R d˜R M2D̃ d˜R l˜L i M2L̃ l˜Li ẽ R M2Ẽ ẽ R )
j
m2H H12 m2H H22 i j (m212 H1i H2 h.c.)
12 (M1 B̃0 B̃0
1
(1.6)
2
Dieser Ausdruck ist die allgemeinste soft-brechende Lagrangedichte, die mit den Eichsymmetrien und der R-Parität verträglich ist. Durch (1.6) werden mehrere neue Parameter eingeführt: Die Gauginos erhalten Massenterme durch M1 für die Binos, M2
für die Winos und M3 für die Gluinos. Sowohl die trilinearen skalaren Kopplungen
Audl wie auch die Squark- und Slepton-Massenterme M2Q̃L̃ŨD̃Ẽ sind im allgemeinen 33-dimensionale Matrizen im Raum der entsprechenden Quark- bzw. LeptonGenerationen. Bei m2H1 , m2H2 und m212 schließlich handelt es sich um supersymmetriebrechende Terme im Higgs-Potential des MSSM. Die Soft-Brechungsterme führen in
der MSSM-Lagrangedichte eine große Anzahl neuer Parameter ein, die ohne weitergehende Annahmen als freie Variablen behandelt werden müßten. Im allgemeinsten Fall
Kapitel 1. Das Minimale Supersymmetrische Standardmodell
16
wären dies 105 unbekannte Massen, Phasen und Mischungswinkel [19], deren mögliche
Werte durch vorhandene experimentelle Daten jedoch eingeschränkt werden können.
Die Aufstellung noch weitergehender Forderungen reduziert die Gesamtzahl der
unabhängigen Parameter schließlich auf ein überschaubares Maß: Zur Vermeidung von
experimentell ausgeschlossenen Leptonzahl-verletzenden Prozessen [20] und Flavorverletzenden neutralen Strömen (FCNC) im Quark-Sektor geht man davon aus, daß die
in (1.6) auftretenden 33-Massenmatrizen jeweils proportional zur Einheitsmatrix sind,
M2Q̃ L̃Ũ D̃ Ẽ 1
M2Q̃L̃ŨD̃Ẽ
(1.7)
Außerdem nimmt man an, daß die Kopplungen Audl in Analogie zu den YukawaKopplungen (1.4) Diagonalform annehmen:
Au
1
Au yu
Ac yc
At yt
Ad
1
Ad yd
As ys
Ab yb
Al
1
Ae ye
A y
A y
(1.8)
Die in dieser Arbeit durchgeführten Rechnungen machen neben den hier erwähnten
keine weiteren vereinfachenden Annahmen über die Soft-Brechungsterme des MSSM.
Zum Zwecke der numerischen Auswertung muß jedoch die Anzahl der Variablen weiter verringert werden, so daß von einer einheitlichen Größe der soft-brechenden Massen
und Kopplungen ausgegangen wird:
M2Q̃ L̃Ũ D̃ Ẽ
2
MSusy
Ae udcstb
A0 (1.9)
Außerdem reduziert sich die Anzahl der Gaugino-Massen durch folgende, aus Szenarien vereinheitlichter Theorien (GUT) stammende Relation [11]:
M1
5 s2w
M2 3 c2w
(1.10)
Eventuelle Abweichungen von diesen Konventionen werden im folgenden immer explizit vermerkt. Eine Zusammenstellung der freien Parameter des MSSM zusammen
mit ihrem Bezug zu den meßbaren Größen des MSSM findet sich in Abschnitt 1.5.
Aus phänomenologischer Sicht bleibt zu bemerken, daß die Massen der Superteilchen im wesentlichen von den Soft-Brechungsparametern bestimmt werden. Daraus folgt die wichtige Erkenntnis, daß deren charakteristische Massenskala den Wert
1 TeV nicht wesentlich übersteigen sollte. Ansonsten würden die durch diese (virtuellen) Teilchen hervorgerufenen Korrekturen zur Higgsmasse das Hierarchieproblem (s.
Abschnitt 1.6) erneut schaffen, dessen Lösung gerade eine der wichtigsten Motivationen
des MSSM darstellt.
1.4 Die Sektoren des MSSM
Die bisher eingeführten formalen Parameter stehen in Verbindung zu den experimentell zugänglichen Größen des MSSM. Dabei ist zu beachten, daß einige der in Tabelle 1.1
1.4. Die Sektoren des MSSM
17
aufgeführten Superteilchen untereinander mischen. Ausgehend von der ursprünglichen Lagrangedichte des MSSM muß daher durch Diagonalisierung der jeweiligen
Massenmatrizen die Transformation von den Wechselwirkungseigenzuständen zu den
physikalischen Feldern durchgeführt werden. Dies führt zu einer natürlichen Unterteilung des Teilcheninhalts des MSSM in unabhängige Sektoren.
Die Relevanz dieser Untergliederung für die vorliegende Arbeit liegt darin, daß die
Korrekturen höherer Ordnung im Higgs-Sektor, in die alle im MSSM vorhandenen Teilchen eingehen, für jeden Sektor getrennt diskutiert werden können. Hierfür werden
die Massen aller physikalischen Teilchen sowie die aus der Diagonalisierung resultierenden unitären Transformationsmatrizen benötigt, die sich durch die freien Parameter
der Theorie ausdrücken lassen. Die kinetischen Teile der Lagrangedichte werden daher
hier nicht behandelt; außerdem ist eine Bestimmung der Massen und Transformationsmatrizen in niedrigster Ordnung ausreichend.
1.4.1 Das Higgs-Potential
Vor der Diskussion der einzelnen Sektoren muß zuerst das skalare Higgs-Potential des
MSSM eingeführt werden, welches sich aus dem Superpotential 1.3, den Eichkopplungen g1 und g2 sowie der soft-brechenden Lagrangedichte 1.6 wie folgt berechnet:
VH
m2H )H1 H1 (2 m2H )H2 H2 i j(m212 H1i H2 j m212 H1i H2j)
18 (g21 g22)(H1 H1 H2 H2)2 12 g22 H1 H22
(1.11)
(2
1
2
Wie aus (1.11) zu erkennen ist, wäre das skalare Higgs-Potential ohne supersymmetriebrechende Terme positiv definit, was der elektroschwachen Symmetriebrechung und
damit dem Higgs-Mechanismus selbst widersprechen würde. Da jedoch nur in Kombination mit den Soft-Brechungsparametern m2H1 und m2H2 auftritt, kann deren Unbestimmtheit verwendet werden, um die -Abhängigkeit des Higgs-Potentials in neu definierten Soft-Brechungstermen m21 2 m2H1 und m22 2 m2H2 zu absorbieren.
Detailliertere Erklärungen zur Phänomenologie des Higgs-Potentials folgen in Kapitel 3. Allerdings läßt sich aus der Tatsache, daß das MSSM zwei Higgs-Dubletts enthält,
bereits die Existenz von fünf physikalischen Higgs-Bosonen ableiten. Von diesen sind
drei elektrisch neutral und werden mit h, H und A bezeichnet, während die zwei anderen das geladene Paar H bilden. Vorausgreifend sei erwähnt, daß sich die Anzahl der
freien Parameter in VH auf zwei reduzieren läßt. Nach Konvention werden hierfür das
Verhältnis der Vakuumerwartungswerte der beiden Higgs-Dubletts tan = v2 v1 sowie
die Masse eines der Higgs-Bosonen (üblicherweise entweder m A oder m H ) verwendet.
1.4.2 Der Fermion-Sfermion-Sektor
Der Fermion-Sfermion-Sektor ( f - f˜-Sektor) des MSSM besteht aus den Leptonen und
Quarks des Standardmodells sowie ihren Superpartnern, den Sfermionen. Er läßt sich
nach den einzelnen Lepton- bzw. Quarkfamilien in weitere Untersektoren aufteilen,
Kapitel 1. Das Minimale Supersymmetrische Standardmodell
18
z.B. in den aus Top-Quark und -Squarks bestehenden t-t̃-Sektor. Die Massen der Sfermionen ergeben sich aus dem in den Sfermion-Feldern quadratischen Teil der MSSMLagrangedichte, der für ein einzelnes Dublett ( f˜L f˜R ) folgende Form besitzt:
12
L f˜
f˜ ˜f Z
f˜
L
R
f˜
L
Z f˜
f˜R
Z f˜11 Z f˜12
Zf˜12 Z f˜22
(1.12)
Da f˜L und f˜R komplexe Skalarfelder darstellen, muß die Sfermion-Massenmatrix Z f˜
im allgemeinsten Fall hermitesch sein, um die Realität von L f˜ zu gewährleisten. Die
Komponenten von Z f˜ enthalten Yukawa-Kopplungen, Terme aus der elektroschwachen
Symmetriebrechung und Soft-Brechungsterme, deren Herleitung aus der vollständigen
MSSM-Lagrangedichte z.B. in [11] nachvollzogen werden kann. Zur leichteren Vergleichbarkeit mit anderen Quellen sind in der folgenden Auflistung die Quantenzahlen für die einzelnen Sfermion-Dubletts bereits explizit eingesetzt worden. Wie bereits
aus (1.6) ersichtlich, erfordert die elektroschwache SU(2)-Symmetrie die Gleichheit der
Soft-Brechungsterme in den Massentermen (1.13) der linkshändigen Squarks bzw. Sleptonen. Die Diagonaleinträge lauten demnach
Z f˜11
M m
M m
M m
sowie
Z f˜22
2
L̃
2
L̃
2
Q̃
2
MQ̃
1
2
Z cos 2 2
1
2
Z cos 2 ( 2
1
2
Z cos 2 ( 2
m2Z cos 2 ( 12
1s2w) m2f
23 s2w) m2f
13 s2w) m2f
0
M 1m
M m
2
Ẽ
2
Ũ
M2D̃
2
Z cos 2
2 2
cos 2
3 Z
2 2
m cos 2
3 Z
s2w
s2w
s2w
f
f
f
f
m2f
m2f
m2f
f
f
f
f
e e u c t
(1.13)
d s b
e e u c t
d s b
(1.14)
Der verschwindende Eintrag für e , und trägt der Tatsache Rechnung, daß keine
rechtshändigen Sneutrinos existieren.
Der Nichtdiagonaleintrag Z f˜12 enthält die trilinearen Squark-Kopplungen A f sowie
den Higgs-Massenparameter , die beide komplexe Werte annehmen können:
Z f˜12
0 m (A tan
m (A )
f
f
f
f
tan ) : m f X f
: m f X
f
f
f
f
e e d s b u c t
(1.15)
Alternativ zu A f wird bei der Berechnung von Korrekturen im Higgs-Sektor oft der hier
definierte Parameter X f verwendet.
Der Übergang zur Basis der physikalischen Squark-Felder f˜1 und f˜2 erfolgt durch
die unitäre Transformationsmatrix U f˜, die sich aufgrund der Hermitezität von Z f˜ durch
1.4. Die Sektoren des MSSM
19
die reelle, positive Größe c f˜ und die komplexe Variable s f˜ parametrisieren läßt (s. Abschnitt 2.3.2).
f˜ 1
U f˜
f˜2
f˜ f˜R
L
U f˜
c f˜ s f˜
sf˜ c f˜
(1.16)
In dieser Basis nimmt die Massenmatrix per Definition Diagonalform an,
m
2
f˜1
0
0
m2f˜
U f˜ Z f˜ U f˜ (1.17)
2
so daß die quadrierten Massen m2f˜ und m2f˜ der Squarks die Eigenwerte der ursprüngli1
2
chen Massenmatrix Z f˜ darstellen:
m2f˜
1 2
1
(Z f˜11
2
Z f˜22 (Z f˜11 Z f˜22 )2
4Z f˜122 )
(1.18)
Dabei gilt die Konvention m f˜1 m f˜2 , nach deren Festlegung sich gemäß Abschnitt 2.3.2
die Komponenten der Transformationsmatrix berechnen lassen. Wie dort begründet ist
ein Zusammenziehen der Wurzelausdrücke nicht erlaubt, da die auftretenden Radikanden kleiner als Null sein können:
c f˜
Z
f˜ 11
m2f˜
2
m2f˜ m2f˜
1
s f˜
2
Z f˜12
Z f˜11 m2f˜
2
m2f˜ m2f˜
1
(1.19)
2
Die Stärke der Mischung wird im wesentlichen von dem zu der zugehörigen FermionMasse proportionalen Term Z f˜12 bestimmt, so daß U f˜ nur in den dritten SfermionFamilien ( f
b t) signifikant von der Einheitsmatrix abweicht.
Unter der Voraussetzung von reellen Parametern im MSSM (rMSSM-Szenario) wird
Z f˜ reell und symmetrisch und U f˜ damit zu einer orthogonalen Matrix, die durch einen
reellen Mischungswinkel f˜ parametrisiert wird:
Z f˜12 c f˜
cos f˜
s f˜
sin f˜
2
f˜ 2
(1.20)
1.4.3 Der Chargino-Sektor
Der Chargino-Sektor des MSSM wird von den Superpartnern der geladenen Eich- und
Higgs-Bosonen, den ebenfalls geladenen Winos und Higgsinos, gebildet. Der zur Massenbestimmung relevante Teil der MSSM-Lagrangedichte lautet
L˜
12 W̃
0 X h.c.
X 0 T
H̃1
W̃
H̃2
W̃
H̃1
W̃
H̃2
(1.21)
Kapitel 1. Das Minimale Supersymmetrische Standardmodell
20
wobei die Massenmatrix in 22-dimensionale Blöcke zerfällt. Da es sich bei den Gauginos und Higgsinos um Spin-1/2-Teilchen handelt, besitzen die Komponenten der Massenmatrix als Koeffizienten der in den Feldern quadratischen Terme die Dimension einer Masse (im Gegensatz z.B. zu den skalaren Sfermionen, deren entsprechende Terme
quadrierte Massen darstellen):
M
2 sin mW
2
X
(1.22)
2 cos mW
Die Massen-Untermatrix X enthält den Soft-Brechungsterm M2 und den HiggsMassenterm . Weiterhin tritt ein aus der elektroschwachen Symmetriebrechung stammender Nichtdiagonalterm auf, der die Einführung einer neuen Basis physikalischer
Felder, der Charginos ˜ ˜ 2 , bedingt.
1 und Die Blockform der Massenmatrix in (1.21) ermöglicht es, die CharginoMischungsmatrix ebenfalls in zwei 22-dimensionale Matrizen zu unterteilen. Beim
Übergang zu den physikalischen Feldern transformieren sich die zueinander komplex
konjugierten positiv bzw. negativ geladenen Winos und Higgsinos getrennt voneinander in die Masseneigenzustände:
˜ 1
V
˜ 2
W̃ ˜ H̃1
1
˜ 2
U
W̃ H̃2
(1.23)
Aus (1.21) und (1.23) läßt sich die Berechnung der diagonalisierten Massenmatrix ableiten:
m
˜ 1
0
0
m˜ 2
U X V (1.24)
Diese Transformation ist in der Mathematik als Singulärwertzerlegung von X bekannt [21], m˜ 1 und m˜ 2 heißen Singulärwerte von X. Die Definition der Singulärwertzerlegung garantiert, daß die Charginomassen reell und positiv sind. Analytische Ausdrücke für die zu bestimmenden Größen werden in der vorliegenden Arbeit nicht
benötigt, so daß ihre Bestimmung grundsätzlich durch numerische Verfahren erfolgt.
1.4.4 Der Neutralino-Sektor
Analog zum Chargino-Sektor bilden die Superpartner der neutralen Eich- und HiggsBosonen den Neutralino-Sektor des MSSM. In der Basis der ursprünglichen Zustände
sind dies das Bino und das neutrale Wino sowie die beiden neutralen Higgsinos, deren
Massen in Form einer 44-dimensionalen Matrix in die MSSM-Lagrangedichte eingehen:
L˜ 0
12 B̃0 W̃ 0 H̃20
h.c.
H̃ Y 0
1
B̃0
W̃ 0
H̃20
H̃10
(1.25)
1.4. Die Sektoren des MSSM
21
Die Neutralino-Massenmatrix enthält neben M2 , und elektroschwachen Symmetriebrechungstermen den weiteren Soft-Brechungsterm M1 für die Bino-Masse:
Y
M1
0
m Z sw cos
m Z sw sin
0
M2
m Z cw cos
m Z cw sin
m Z sw cos
m Z cw cos
0
m Z sw sin
m Z cw sin
0
(1.26)
Im allgemeinen Fall komplexer Parameter stellt Y eine komplexe, symmetrische Matrix
dar, die zur Bestimmung der physikalischen Massen diagonalisiert werden muß. Der
Übergang in die Basis der physikalischen Neutralino-Felder erfolgt durch eine 44dimensionale unitäre Matrix N:
˜ 01
˜ 02
˜ 03
˜ 04
N
B̃0
W̃ 0
H̃20
H̃10
(1.27)
Die Komponenten von N lassen sich aus der Transformationsgleichung für Y,
m˜ 01 0
0
0
0
0 m˜ 02 0
0
0 m˜ 03 0
0
0
0 m ˜ 04
N Y N (1.28)
wiederum durch eine Singulärwertzerlegung von Y gewinnen. Die spezielle Form
von Y sorgt für die Erfüllung der nichttrivialen Bedingung, daß die beiden aus der
Singulärwertzerlegung resultierenden Transformationsmatrizen wie in (1.28) gefordert
identisch sind. Aufgrund der Länge der analytischen Ausdrücke für die NeutralinoMassen und -Mischungsmatrix ist eine Bestimmung dieser Größen im folgenden ausschließlich auf numerischem Wege sinnvoll.
Bei der praktischen Durchführung dieser Zerlegung ist jedoch zu beachten, daß das
Ergebnis im Fall komplexer Nichtdiagonaleinträge in Y (d.h. komplexem ) nicht eindeutig ist. Man erhält daher abhängig von der konkreten Implementierung des verwendeten numerischen Zerlegungsverfahrens möglicherweise doch zwei verschiedene
Transformationsmatrizen N1 und N2 , aus denen sich die korrekte Matrix N auf jeden
Fall wie folgt berechnen läßt [22]:
Ydiagonal
N1 Y N2
N
N2 N1 N2 (1.29)
wobei die Wurzel aus einer Matrix komponentenweise zu verstehen ist. Bei den Charginos tritt diese Komplikation nicht auf, da alle Nichtdiagonaleinträge der CharginoMassenmatrix reell sind.
Kapitel 1. Das Minimale Supersymmetrische Standardmodell
22
Parameter
MSusy
m A oder m H
Dimension
GeV
GeV
GeV
Wertebereich
reell, positiv
reell, positiv
komplex
M1
M2
M3 = m g̃
tan
GeV
GeV
GeV
/
komplex
komplex
komplex
reell, positiv
Xt oder A0
GeV
komplex
Relevant für ...
Squark-Massen
Higgs-Massen
Squark-, Chargino-, NeutralinoMassen und -Kopplungen
Neutralino-Massen
Chargino- und Neutralino-Massen
Gluino-Masse
Squark-, Chargino-, Neutralino-,
Higgs-Massen und -Kopplungen
Squark-Massen und -Kopplungen
Tabelle 1.2: Freie Parameter im MSSM.
1.5 Zusammenfassung des Modells
Im folgenden sind die Ergebnisse der vorangehenden Abschnitte nochmals in einer Tabelle zusammengefaßt, um die Ausgangsbasis für die Rechnungen der späteren Kapitel
zu verdeutlichen. Dabei ist vermerkt, in welchen Sektoren des MSSM die einzelnen Parameter (in 0. Ordnung) von Bedeutung sind und welchen Wertebereich sie annehmen
können.
Aus der Form der MSSM-Lagrangedichte ist ersichtlich, daß einige der auftretenden
Parameter nicht notwendigerweise reell sein müssen. Komplexe Werte für diese Größen
führen jedoch automatisch zu CP-verletzenden Termen in der MSSM-Lagrangedichte.
Experimentelle Einschränkungen (Details siehe Abschnitt 5.1.2) bewirken, daß die komplexen Phasen dieser Größen im allgemeinen als klein angenommen werden. Im HiggsSektor können sie jedoch interessante Veränderungen der Phänomenologie bewirken,
die in Kapitel 5 untersucht werden. Aus diesem Grund wird in der vorliegenden Arbeit in Anlehnung an die bereits existierende Literatur zwischen den folgenden zwei
Varianten des MSSM unterschieden:
dem MSSM mit ausschließlich reellen Parametern (rMSSM), in dem die im allgemeinen komplexen Größen nur noch positive und negative Werte annehmen
können, und
dem MSSM mit komplexen Parametern (cMSSM), in dem keine derartigen Einschränkungen gemacht werden.
Alle in Tabelle 1.2 aufgeführten Parameter beeinflussen den Higgs-Sektor: die
Gluino-Masse mg̃
M3 geht in Korrekturen ab der zweiten Ordnung ein, alle anderen Größen sind bereits in erster Ordnung relevant. Im folgenden wird häufig anstelle von A0 der im Nichdiagonalterm der Stop-Massenmatrix auftretende Parameter
A0 tan verwendet, aus dem sich A0 eindeutig bestimmen läßt. Neben
Xt
den experimentell festgelegten Parametern des Standardmodells treten somit im MSSM
1.6. Phänomenologische Motivation des MSSM
23
unter Berücksichtigung der in den vorangegangenen Abschnitten beschriebenen Einschränkungen acht weitere freie Variablen auf, deren Einfluß in den folgenden Kapiteln
untersucht wird.
1.6 Phänomenologische Motivation des MSSM
Neben dem rein theoretischen Interesse an der Supersymmetrie als mögliche Symmetrie der Natur liefert die bisherige Forschung mehrere Indizien, die das MSSM als vielversprechenden Kandidat für eine Erweiterung des Standardmodells hin zu höheren
Energien erscheinen lassen:
Ein zentrales Argument betrifft die mit dem Hierarchie-Problem [23, 24, 25] zusammenhängende Instabilität der Higgs-Masse(n) gegenüber Strahlungskorrekturen: Higgs-Selbstenergiediagramme liefern Beiträge der Ordnung O (Λ2 ) zur
Higgs-Masse, wobei Λ als Energieskala zu interpretieren ist, ab der bislang unbekannte Effekte in die Theorie eintreten. Setzt man für Λ einen Wert von der
Größenordnung der erwarteten Vereinigungsenergie der starken, schwachen und
elektromagnetischen Wechselwirkung ein (ca. 1016 GeV), so erscheint es aufgrund
der Größe der resultierenden Korrekturen unerklärbar, daß die Higgs-Masse wie
durch die elektroschwache Symmetriebrechung erwartet von der Größenordnung
102 GeV sein soll. In der Supersymmetrie wird dieses Problem vermieden, da sich
die Korrekturen von fermionischen und bosonischen Superpartnern gegenseitig
exakt kompensieren. Dies führt zu einer Stabilisierung der Massen bei der elektroschwachen Skala.
Die Erhaltung der R-Parität führt dazu, daß das leichteste Superteilchen (PR 1)
stabil sein muß. Sofern dieses Teilchen elektrisch neutral ist, könnte dies eine
Erklärung für die im Universum experimentell beobachtete nicht-baryonische
Dunkle Materie liefern [26].
Die Analyse der Renormierungsgruppengleichungen für die Kopplungskonstanten der starken, schwachen und elektromagnetischen Wechselwirkung zeigt, daß
alle drei im MSSM bei einer Energie von ca. 1016 GeV denselben Wert annehmen [27], was eine Voraussetzung für eine vereinigte Theorie dieser Wechselwirkungen darstellt. Berücksichtigt man nur das Standardmodell, so findet diese
Vereinigung der Kopplungskonstanten in einem Punkt nicht statt. Der Wert des
3
schwachen Mischungswinkels w kann bei der Vereinigungsskala zu sin w
8
vorhergesagt werden [28]. Skaliert man diesen mit Hilfe von Renormierungsgruppengleichungen herunter zu experimentell zugänglichen Energien, so erhält man
bei Einschluß des MSSM einen Wert, der mit den bekannten Daten für sin w verträglich ist.
Wie bereits in der Einleitung erwähnt, gilt im MSSM eine obere Grenze für die
Masse des leichtesten Higgs-Bosons von ca. 135 GeV [29]. Die Resultate aktueller
elektroschwacher Präzisionsexperimente favorisieren ebenfalls eine leichte HiggsMasse von wahrscheinlich weniger als 200 GeV [30].
24
Kapitel 1. Das Minimale Supersymmetrische Standardmodell
Im Zusammenhang mit der Vereinigung der Kopplungskonstanten stellt sich die
Frage nach einer möglichen Theorie dieser vereinheitlichten Wechselwirkung. Erweiterungen des Standardmodells durch höhere Eichgruppen sagen für die Lebensdauer des Protons teilweise einen experimentell ausgeschlossenen, zu geringen Wert vorher. Die Erweiterung dieser Theorien durch Einschluß des MSSM
erhöht dagegen den vorhergesagten Wert über die momentane experimentelle
Schranke von ca. 1032 Jahren.
Die Summe dieser Indizien ist der Grund dafür, daß das MSSM als mögliche Realisierung der Supersymmetrie bei in naher Zukunft experimentell zugänglichen Energien
heute als vielversprechender Kandidat für “neue” Physik jenseits des Standardmodells
gewertet wird.