Mathematikblatt f¨ur Mitdenker

Jahrgang 24
Heft 79
September 2004
MONOID
Mathematikblatt für Mitdenker
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Eine mathematische Zeitschrift für Schüler/innen und Lehrer/innen
1980 begründet von Martin Mettler;
seit 2001 herausgegeben vom
Fachbereich Mathematik und Informatik
der Johannes Gutenberg-Universität Mainz am Rhein
Liebe Le(ö)serin, lieber Le(ö)ser!
Die NEUEN AUFGABEN warten auf Lösungen. Nur Mut, auch
wenn du in Mathe keine Eins“ hast. Die Aufgaben sind so gestal”
tet, dass du zur Lösung nicht unbedingt den Mathe-Stoff der Schule brauchst. Vielmehr
wird das Lösen mancher Aufgabe viel mathematische Phantasie und selbstständiges
Denken von dir fordern, aber auch Zähigkeit, Wille und Ausdauer.
Wichtig: Auch wer nur eine oder Teile einzelner Aufgaben lösen kann, sollte teilnehmen; der Gewinn eines Preises ist dennoch nicht ausgeschlossen.
Für Schüler/innen der Klassen 5-7 sind in erster Linie die Mathespielereien“ vorge”
sehen; auch Schüler/innen der Klassen 8 und 9 dürfen hier mitmachen, aber nur auf der
Basis der halben Punktzahl. Denkt bei euren Lösungen daran, auch den Lösungsweg
abzugeben!
Alle Schüler/innen, insbesondere aber jene der Klassen 8-13, können Lösungen (mit
Lösungsweg!) zu den NEUEN AUFGABEN und zur Seite für den Computer-Fan“
”
abgeben. (Beiträge zu verschiedenen Rubriken bitte auf verschiedenen Blättern.)
Abgabe-(Einsende-) Termin für Lösungen ist der
30.11.2004.
(Für die Bearbeitung der mathematischen Entdeckungen“ und des Themas Wer forscht
”
”
mit?“ habt ihr bis Ende des Schuljahres Zeit.)
Zuschriften bitte an folgende Anschrift:
Martin Mettler, Unterer Kurweg 29, D-67316 Carlsberg
Tel.: 06356/8650; Fax: 06356/989780; e-Mail:
Im ELG Alzey können Lösungen und Zuschriften im MONOID-Kasten oder direkt an
Herrn Kraft abgegeben werden, im KG Frankenthal direkt an Herrn Köpps.
Ferner gibt es in folgenden Orten/Schulen betreuende Lehrer, denen ihr eure Lösungen
geben könnt: Herrn Ronellenfitsch im Leibniz-Gymnasium Östringen, Herrn Wittekindt in Mannheim, Herrn Jakob in der Lichtbergschule in Eiterfeld, Frau Langkamp im Gymnasium Marienberg in Neuss, Herrn Stapp in der Schule auf der Aue in
Münster, Herrn Kuntz im Wilhelm-Erb-Gymnasium Winnweiler und Herrn Meixner im
Gymnasium Nonnenwerth.
Die Namen Aller, die richtige Lösungen eingereicht haben, werden im MONOID in der
RUBRIK DER LÖSER und in der MONOID-Homepage im Internet erscheinen.
Wir bitten auch um neue Aufgaben, die du selbst erstellt hast, um sie in den Rubriken Mathespielereien“ und Neue Aufgaben“ zu veröffentlichen. Diese Aufgaben sol”
”
len aber nicht aus Lehrbüchern oder Aufgabensammlungen entnommen sein, sondern
deiner eigenen Phantasie entspringen. Würde es dich nicht einmal reizen, eine Aufgabe zu stellen, deren Lösung vorerst nur du kennst?
Am Jahresende werden 20-25 Preise an die fleißigsten Mitarbeiter vergeben. Seit 1993
gibt es bei uns noch einen besonderen Preis: Das Goldene M
Außer der Medaille mit dem goldenen M gibt es einen beachtlichen Geldbetrag für die beste Mitarbeit bei MONOID und bei
anderen mathematischen Aktivitäten, nämlich:
Lösungen zu den NEUEN AUFGABEN und den MATHESPIELEREIEN, Beiträge zur Seite für den Computer-Fan“, Artikel
”
schreiben, Erstellen von neuen Aufgaben“, Tippen von Texten
”
für den MONOID, Teilnahme an Wettbewerben, etc.
Und nun wünschen wir euch Allen: Viel Erfolg bei eurer Mitarbeit! Die Redaktion
MONOID 79
2
Eine Summenformel
Für Mathis (Schüler/innen der Kl. 5-7) von Martin Mettler
Wir stellen uns folgende Aufgaben: Zu bestimmen ist die Summe der ersten 5 (8; 19;
88; 100) natürlichen Zahlen.
So lange die gegebene Zahl klein ist, schreibt man die Zahlen einfach auf und addiert
sie: 1 2 3 4 5 15; 1 2 3 4 5 6 7 8 36.
Doch bereits bei 19 wird das Aufschreiben der Zahlen langweilig. Daher schreibt man
sie gar nicht alle auf. Man schreibt kurz 1 2 3 . . . 18 19 und lässt den Leser
verstehen, dass die drei Pünktchen für die Zahlen von 4 bis 17 stehen; sozusagen als
usw.“ Auch bei der Zahl 88 verwenden wir diese Schreibweise:
”
1 2 3 . . . 86 87 88
Wir geben also lediglich die ersten drei und die letzten drei Zahlen an, und es versteht
sich von selbst, dass die Pünktchen für alle natürlichen Zahlen von 4 bis 85 stehen.
Manchmal sind wir noch bequemer und geben nur die beiden ersten und die beiden
letzten, oder nur die beiden ersten und die letzte an, doch stets ist die gleiche Zahl
gemeint, nämlich die Summe der ersten 88 natürlichen Zahlen.
Diese Zahl will ich im Folgenden mit S 88 bezeichnen (lies S Index 88“ oder kurz S 88“):
”
”
S88 1 2 . . . 87 88 1 2 . . . 88
Nun haben wir die Summe verschiedenartig aufgeschrieben, aber wissen immer noch
nicht, wie viel sie ausmacht.
Das Addieren all dieser 88 Zahlen ist uns zu lästig. Vielleicht finden wir einen kürzeren
Weg, vielleicht kann man die Summe nur anhand der Zahl 88 berechnen.
Euch ist vielleicht die Anekdote von dem kleinen Carl Friedrich Gauß (1777-1855)
schon bekannt. – Ich erzähle sie noch mal: Als Gauß in der dritten Volksschulklasse war, stellte eines Tages sein Lehrer als Stillbeschäftigung die Aufgabe, alle Zahlen
von 1 bis 100 zu addieren, also S 100 1 2 3 . . . 98 99 100 zu finden.
Kaum hatte sich der Schulmeister einer anderen, wichtigeren“ Arbeit gewidmet, kam
”
auch schon der kleine Gauß an sein Pult und sagte: Da ist sie.“ Der Lehrer fragte:
”
Was denn?“ Na die Summe!“ war die Antwort des kleinen Schlitzohrs. Der Lehrer
”
”
machte sich nun lustig über ihn: Ach komm, in der kurzen Zeit konntest du ja nicht
”
einmal die Zahlen alle aufschreiben, geschweige denn sie auch noch addieren.“ Der
Junge blieb hartnäckig: Ich brauch sie ja gar nicht alle aufschreiben. Gucken Sie mal!“
”
Der Lehrer schaute, und siehe da, der Bube hatte recht. Auf seiner Tafel hatte er mit
dem Griffel die folgende Rechnung säuberlich gekritzelt:
1
100
101
2
99
101
...
...
...
50
51
101
50 101
5050
Der kleine Junge wuchs heran und wurde einer der größten Mathematiker aller Zeiten.
An Hand dieses Beispiels können wir folgendermaßen eine allgemeine Formel für die
Summe Sn der ersten n natürlichen Zahlen aufstellen. Wir schreiben S n zweimal untereinander auf, zuerst von vorn nach hinten und dann von hinten nach vorn, und addieren
3
MONOID 79
untereinander stehende Zahlen auf beiden Seiten der Gleichungen:
n 2 n 1 n
n 1 n 2
3
2
1
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
Die Klammer n 1 erscheint n mal als Summand. Also ist 2 S
n n 1 . Nun
Sn
Sn
2 Sn
1
n
2
3
...
...
...
n
dividieren wir durch 2 und erhalten:
n 1
n
Sn
2
Mit Hilfe dieser Formel kann man die Summen direkt berechnen, ohne alle Summanden aufzuschreiben. Wir überprüfen dies an unseren Beispielen:
S5
5 6
2
15; S8
Wir bestimmen auch S19
8 9
2
36 und S100
19 10
100 101
2
190 und S88
44 89
50 101
5050.
3916.
Stehen Buchstaben in den Indizes, so erhält man weitere Formeln:
Sp
Sk
p
2
k 1 k p
1
1
1
1
1
1
1
2
1
p
k
1
p 2 ;
2
2
k
usw.
Die Anwendungen der Grundformel
1
2
...
n
1
n n
2
sind zahlreich. So kann man sie z.B. gleich in diesem Heft in dem Beitrag über das
Dürer-Quadrat anwenden, in dem noch weitere Summenformeln nützlich sind.
Über Summen und das Symbol
von Martin Mettler
(lies Sigma“) ist das große gedruckte S im Griechischen. In der Mathematik wird
”
es als Symbol für Summe“ verwendet. Auf den Seiten 3 und 4 haben wir eine Formel
”
für die Summe S
1 2 ...
n 1
n hergeleitet. Manchmal wollen wir die
Summe nicht effektiv ausrechnen, sondern nur symbolisch angeben. Dafür verwendet
man folgende Schreibweise:
1
2
...
n 1
n
n
k
k 1
(lies: Summe aus k, wenn k die natürlichen Zahlen von 1 bis n durchläuft).
MONOID 79
4
Mit dieser Vereinbarung ist:
(1)
1
n
2k
k 1
1
3
5
...
3
2n
2n
1
die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen;
n 1
n
(2)
k2
12
22
...
k 1
n2
2
die Summe der Quadrate der ersten n natürlichen Zahlen;
n 1
(3)
2k
k 1
2
4
...
die Summe der ersten n
k
n 1
(4)
n
(5)
k 1
n
ak
k
a1
n
1 geraden natürlichen Zahlen;
an
k 1
1
2 n
1 1 n 2
...
a2
2
2 n
2
...
n 2
2
1
n 1 ;
an
1
die Summe der ersten n Glieder der Folge a1 , a2 , . . . , ak , . . . .
Eigenschaften von
a)
c. In der Tat gilt
n
c
n
k 1
n
ak
b)
k 1
bk
n
ak
n
ak
k 1
k 1
a1
a1
c)
n
c ak
k 1
c
c ak
k 1
d)
n
k 1
ak
c
n c für jede konstante Zahl c.
n-mal
n
bk . In der Tat ist
b1
a2
a2
...
b2
an
...
an
b1
b2
bn
...
b n
n
ak
k 1
m
k 1
ak
bk .
n
ak . In der Tat gilt
n
k 1
k 1
n
c . . .
c
k 1
bk
c
k 1
n
c a1
c a2
...
c an
c
a1
a2
...
an
c
n
ak .
k 1
n
ak , wobei m n ist.
k m 1
Unter Anwendung dieser Eigenschaften und einiger Grundformeln für Summen kann
man schon eine beachtliche Familie von Summen berechnen.
5
MONOID 79
(1)
n
k 1
2k
1
2
k n
n
k 1
k 1
1
2
n n 1
2
n 1
n2
n
n
n2
n
n n 1
2
gestützt
und nacheinander Eigenschaft b), c) und a) angewendet. Als Ergebnis haben wir
Hier haben wir uns auf die Grundformel
k 1
k
1
2
...
n
einen kleinen mathematischen Satz erhalten: Die Summe der ersten n ungeraden
Zahlen ist stets eine Quadratzahl.
(2) Zur Berechnung der Summe
n
k 1
k2 verfahren wir wie folgt:
1
Laut binomischer Formel gilt: k
n
n
addiert wird:
3
k3
3k2
3k
1. Also gilt
n
n
k
k 1
1
3
beiden Seiten noch 1
1. Daraus folgt, indemn auf
n 1
k
n 1
k
3
k
3
n 1. Nun subtra2
k , lösen nach k auf und erhalten schließlich:
hieren wir von beiden Seiten
k n n 1 2n 1
6
2k ist einfach:
(3) Die Berechnung der Summe
2k 2 k 2 n 1 n 1 1 n 1 n
2
k 1
k3
3
k2
k 1
3
n
n
k 1
k
3
k 1
2
n
3
k 1
n
n
3
n
k 1
k 1
n
3
k 1
2
2
k 1
k 1
n 1
k 1
n 1
n 1
k 1
k 1
(4) Auf die Summe in (4) stoßen wir, wenn wir alle Zahlen aus der folgenden Tabelle
spaltenweise addieren:
1
1
..
.
2
2
..
.
1
1
n 1
2
n 1
...
...
n
n
n
2
2 2 . . . 2 n 2
n n 1
n k k n
k
k
2
n n 1 n 1
n n 1
1
n
n 1
2
2
6
k 1
1
n 1
n 1 n 2n 1 1
n 1
k 1
2
k 1
2
6
6
n
n n 1
könnt Ihr selbst die folgende Formel beweisen:
k
k , indem
4
k 1 ausgeht. Anwendungen dieser Formel findet Ihr z.B. in dem
Ihr dabei von
Beitrag über das Dürer-Quadrat oder bei der Lösung der Mathespielerei Rechtecke im
Mit einem entsprechenden Trick“ wie bei der Herleitung der Summenformel für
”
n
2
3
n
k 1
2
k 1
4
k 1
”
Rechteck“.
MONOID 79
6
2
n
k 1
k2
Hättest Du es gewusst?
Was ist das Napoléonische Dreieck?
Von Hartwig Fuchs
Napoléon Bonaparte hatte ein Steckenpferd, das man bei ihm wohl nicht erwartet hätte:
Er war ein begeisterter Amateur-Mathematiker mit besonderer Vorliebe für die Geometrie. Er war auch nicht ganz erfolglos mit seinem Hobby – so verdanken wir ihm die
Entdeckung des später nach ihm benannten Napoléonischen Dreiecks.
Q
C
δ
Aufgabe
δ
ABC sein ein beliebiges Dreieck. Konstruiere die
δ
Punkte P, Q und R so, dass die mit δ bezeichneten
B
Winkel 30 betragen.
δ
R
Zeige:
Das Dreieck PQR ist gleichseitig.
δ
δ
Napoléon B.
P
A
Lösung
Wenn man A an PR, B an PQ, C an QR spiegelt, dann erhält man nacheinander die
Punkte A , B und C . Diese scheinen in einem Punkt zusammen zu fallen. In der nachfolgenden, absichtlich nicht korrekten Skizze zeichnen wir A , B , C getrennt und setzen A RC
w R , B PA
w P und C QB
w Q . Nun zeigen wir, dass tatsächlich
gilt:
(1) w P w Q w R 0
und somit A
B
C .
C
δγ
z
δ
Q
y
R
z
x
B
A
δ
β B
δ
y
x
P
δ
In dem drachenförmigen Viereck APA R gilt
x x 2α 4δ 360 ; mit 4δ 120 folgt:
(2) x x
240
2α
Ganz entsprechend gilt in den Vierecken BQB P
und CRC Q:
(3) y y
240
2β
(4) z z
240
2γ
Aus (2), (3) und (4) erhält man mit
α β γ 180
(5) x y z x
y
z
360
C
α δ
A
Im Sechseck APBQCR gilt für die Innenwinkel: x y z x
y
z 6δ α β
γ w P w Q w R 720 . Mit (5) und mit 6δ 180 folgt daraus: w P w Q w R 0 .
Da w P , w Q , w R 0 sind, folgt (1).
Wir zeigen nun:
(6) QPR
RQP
PRQ 60 .
1
Wegen BPA x y
180
2δ 120 folgt QPR
x 12 y
60 . Ebenso ist
2
1
1
CQB
y z
120 , so dass RQP
y
z
60
ist,
und
ARC
z x
2
2
1
1
120 , so dass PRQ
z 2x
60 gilt.
2
Aus (6) folgt: Das Napoléonische Dreieck PQR hat drei gleich große Innenwinkel; es
ist also gleichseitig.
7
MONOID 79
MONOID 79
8
Das Dürer-Quadrat
von Hartwig Fuchs
Albrecht Dürer (1471-1528) gilt als einer der größten deutschen Maler. Viel weniger
bekannt ist, dass er auch zu den bedeutendsten Mathematikern seiner Zeit zu zählen
ist.
Er hat sich systematischer, kompetenter und auch schöpferischer mit Mathematik befasst als seine Zeitgenossen – wofür seine mathematisch relevanten Bücher Geo”
metria. Unterweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt“ (1528), Etliche
”
underricht, zu befestigung der Stett, Schlosz, und flecken“ (1527), Vier buecher von
”
menschlicher proportion“ (1528) zeugen. In diesen Werken finden sich die frühesten
Gedanken über geometrische Transformationen und kombinatorische Geometrie, Dürers näherungsweise Konstruktion regelmäßiger Vielecke, seine sehr genaue approximative Winkeldreiteilung, seine Untersuchung der Muschelkurve (Conchoide), Anwendungen der Proportionenlehre. Dieser ausgewiesene Mathematiker – er lebte am
Beginn der Neuzeit – sah, dass die Mathematik weithin noch gefangen war in den Fesseln mittelalterlicher scholastischer Denkgewohnheiten, die einher gehen mit pedantischer Verschulung aller Wissenschaften und die der philosophischen, realitätsfernen
Spekulation1 und spitzfindigen Diskussion den Vorrang geben vor Beobachtung und
Experiment. Seine Erkenntnis vom Zustand der Mathematik hat Dürer festgehalten in
dem berühmten Kupferstich von 1514, den er Melencolia nannte.
Der Titel bedarf einer Erläuterung: Zu Beginn des 16. Jahrhunderts bedeutete Melen”
colia“ nicht nur wie heute schwermütige Traurigkeit“ (Melancholie), sondern darüber
”
hinaus auch noch eine Form von emotionaler Gleichgültigkeit und dadurch bedingter
Handlungsunfähigkeit, welche man bei demjenigen antrifft, der sich nur in Gedankenwelten bewegt, die keinen Bezug zur Realität haben, die sie also auch nicht beeinflussen oder verändern können.
Die große von einigen mathematischen Objekten umgebene, in dumpfes Brüten versunkene Engelgestalt des Kupferstichs symbolisiert diesen Typ des sterilen mathematischen Denkers: Des Engels Blick ist ins Leere gerichtet: Er sieht weder die Natur im
Hintergrund noch den kleinen geflügelten Knaben (der vielleicht die Künste darstellt)
und schon gar nicht die achtlos am Boden verstreuten nützlichen Werkzeuge – und
inzwischen bekommt der arme, bis auf die Knochen abgemagerte Hund zu seinen
Füßen nichts zu fressen!
Aber auffällig und unübersehbar hat Dürer über den Engel ein Zahlenquadrat platziert;
gewissermaßen hat er es an die große Glocke“ gehängt, als wolle er damit sagen:
”
Dürer-Quadrat
16
5
9
4
3
10
6
15
2
11
7
14
13
8
12
1
1
Beispiel einer ernsthaft diskutierten scholastischen Fragestellung: Wie viele Engel können auf einer
Nadelspitze tanzen?
9
MONOID 79
Seht her, hier habt ihr ein wunderbares Beispiel für ein Produkt unfruchtbaren mathematischen Denkens, das meine Zeitgenossen für ein Glanzstück und einen Höhepunkt
der Mathematik mit magischen Qualitäten halten, während es doch nur eine Zahlenspielerei von keinerlei praktischem Nutzen ist.
Tatsächlich ist das unnütze“ Dürer-Quadrat schon sehr bemerkenswert – besitzt es
”
doch unerwartet viele schöne und überraschende Eigenschaften.
Das Dürer-Quadrat enthält die vollständige Folge der ganzen Zahlen von 1 bis
16.
Bildet man die Summe der vier Zahlen in jeder der vier Zeilen, in jeder der vier
Spalten und in jeder der zwei Diagonalen des Dürer-Quadrats, dann erhält man
in allen zehn Fällen die Zahl 34.
Die Summe der vier Zahlen in jedem der fünf Teilquadrate
16 3
5 10
2 13
11 8
10 11
6 7
9 6
4 15
7 12
14 1
des Dürer-Quadrats ist jeweils 34.
Die vier Zahlen in jedem der folgenden vier horizontalen, der vier vertikalen und
der zwei schrägen Zweierpaare
16 3
16
5
5
5 10
14 1
3
10
12
1
7
14
7 12
6
15
3
2
14
12
9
9 6
2
11
8
15
9
4
11 8
2 13
4 15
13
8
16
13
4
1
sowie die vier Zahlen in den Eckpunkten des Dürer-Quadrats haben jeweils die
Summe 34.
Auch die vier Zahlen der Zweierpaare
16 3
9 6
2 13
7 12
5 10
4 15
11 8
16 2
und
14 1
5 11
3 13
10 8
9 7
4 14
6 12
15 1
ergeben jeweils die Summe 34.
Die zwölf Zahlen am Rand des Dürer-Quadrats haben die Summe 3 34.
Der Clou ist, dass die Zahlen so angeordnet sind, dass in den beiden mittleren
Feldern der letzten Zeile die Jahreszahl der Entstehung des Bildes auftaucht,
nämlich 1514.
MONOID 79
10
Das soll genügen, um die unglaublichen numerischen Eigenschaften des Dürer-Quadrats zu belegen.
Damit aber sind die Überraschungen keineswegs zu Ende. Wir wollen die Zahlen des
Dürer-Quadrats durch ihre Quadratzahlen ersetzen:
162 32 22 132
52 102 112 82
92 62 72 122
42 152 142 12
quadriertes Dürer-Quadrat
Zwar gehen die magischen Eigenschaften des Dürer-Quadrats weitgehend verloren,
aber wenn wir in diesem quadrierten Dürer-Quadrat die Zeilensummen mit Z 1 , Z2 ,
Z3 , Z4 , die Spaltensummen mit S1 , S2 , S3 , S4 und die Diagonalensummen mit D1 , D2
bezeichnen, dann gilt
Z1
Z2
Z4
Z3
438,
310,
S1
S2
S4
S3
378,
370,
woraus die Gleichungen (es gibt deren noch viel mehr)
Z1
Z1
Z2
Z3
Z3
Z2
Z4
Z4
748,
748,
S1
S1
S2
S3
S3
S2
S4
S4
748,
748
748, wobei noch auf 748
folgen; außerdem ist D1 D2
Die Summe der vier Zahlen in den beiden Teilquadraten
162 32
52 102
72 122
22 132
sowie
auch
in
142 12
112 82
22 34 hingewiesen wird.
92 62
42 152
stimmen jeweils überein. Ferner ist die Summe der zwölf Zahlen am Rande des quadrierten Dürer-Quadrats ein Vielfaches von 34, nämlich 35 34.
1
1
Im Dürer-Quadrat gilt für die Diagonalsummen D1 und D2
1
(1)
1
D2
D1
1
1
2
2
3
...
16 ,
d.h. die Summe der acht Zahlen in den Diagonalen ist die Hälfte der Summe aller
Zahlen im Quadrat. Entsprechend gilt für das quadrierte Dürer-Quadrat, deren Diago2
2
nalsummen jetzt mit D1 und D2 bezeichnet seien:
2
(2)
2
D1
D2
2
1 2
1
2
22
2
32
162 ;
...
denn D1
D2
748
22 34 und 12 22 32 . . . 162
44 34. Und nun die
Überraschung: Ersetzt man im Dürer-Quadrat jede Zahl durch ihre 3. Potenz, dann gilt
auch jetzt für die Diagonalsummen
3
(3)
D1
3
D2
1 3
1
2
23
3
denn nun ist D1
544 34.
3
D2
33
9248
163 ;
...
272 34 und 13
23
33
...
163
18496
11
MONOID 79
Diese Ergebnisse führen uns zu folgender Beobachtung: Ersetzt man im Dürer-Quadrat
jede Zahl durch ihre n-te Potenz, n 2, 3, 4, 5, 6, dann gilt für die Summe aller Zahlen
im jeweiligen Quadrat
1
2
3
...
16
12
22
32
...
162
13
23
33
...
163
4 34,
14
24
34
...
164
44 34,
15
25
35
...
165
544 34, 16
26
36
...
166
243848
7172 34,
98464 34,
1390004 34.
Frage: Ist die Summe aller Zahlen eines Quadrats, dessen Zahlen die n-ten Potenzen
der entsprechenden Zahlen im Dürer-Quadrat sind, ein Vielfaches von 34, d.h. ist 34
stets ein Teiler von 1n 2n 3n . . . 16n für n 1, 2, 3, . . .?
Im nächsten MONOID-Heft wird die Antwort gegeben. Bis dahin könnt Ihr selbst mal
nachforschen!
Wir haben eine lange und noch verlängerbare Liste von erstaunlichen Eigenschaften
des Dürer-Quadrats gefunden, so dass Dürer zuzustimmen ist – wenn er dies mit seinem Kupferstich Melencolia zum Ausdruck bringen wollte: Sein Zahlenquadrat ist wunderbar geeignet für vielfältige, spannende Zahlenspielereien – zu mehr aber auch nicht;
eine grandiose Zahlenakrobatik – aber wenig Mathematik.
Nachbemerkung: Dürers Urteil über die Mathematiker seiner Zeit hat die Jahrhunderte überdauert und sich zu einem weit verbreiteten Vorurteil gewandelt. DER SPIEGEL,
ein Sprachrohr der Bescheid-Wissenden“, mag das verdeutlichen. Er veröffentlichte im
”
Heft 35/1998 einen Artikel über einen Weltkongress der Mathematiker, in dem er die
Mathematiker als trottelige Geistesriesen, die ihr Genie an unnütze Hirngespinste ver”
schwenden“, wie z.B. der britische Kongressteilnehmer Richard Borcherds, der sich mit
einem Moonshine problem“ (was man auch als “Quatsch“ übersetzen kann) befasste,
”
indem er mathematische Monster“, nämlich Schneeflocken in 196883 Dimensionen“
”
”
untersuchte. Ein Kommentar zu dem hier zu Tage tretenden Vorurteil erübrigt sich.
❄
❄
❄
❄
❄
Wo steckte der Fehler?
In Heft 78 war die gegenseitige Lage zweier Geraden g und h im Raum (gegeben in
Parameterdarstellung) zu untersuchen. Der Ansatz, ihre Schnittmenge zu bestimmen,
führte auf das (noch richtige) System von drei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten s und t, die aus den beiden ersten Gleichungen eindeutig bestimmt wurden.
Der Fehler in der weiteren Lösung bestand darin, dass die dritte Gleichung gar nicht
berücksichtigt wurde, die beim Einsetzen von s
1 den Widerspruch 1 2 geliefert
hätte. Dieser Widerspruch bedeutet nämlich, dass g und h keinen gemeinsamen Punkt
haben, dass also g h
gilt. Da ihre Richtungsvektoren nicht linear abhängig sind,
sind g und h nicht parallel, also tatsächlich windschief.
(E.K.)
MONOID 79
12
Mathematische Lese-Ecke – Lesetipps
zur Mathematik
Hans Borucki: Online in die vierte Dimension
Wie würden wir Menschen die Erde wahrnehmen, wenn wir statt im dreidimensionalen
Raum nur in der zweidimensionalen Ebene leben würden?
Was würden wir – als dreidimensionale Menschen – über Wesen denken, die nur in
der zweidimensionalen Ebene leben?
Wie würden wir – als dreidimensionale Menschen – von Wesen wahrgenommen, die
in einem vierdimensionalen Raum leben?
Diesen fast schon philosophischen Fragen geht Hans Borucki in seinem Buch Online
”
in die vierte Dimension“ spannend und anregend auf den Grund:
Der Protagonist des Buches gerät beim Chatten im Internet in Kontakt mit dem mysteriösen Vierling“, der behauptet, in einem vierdimensionalen Raum zu leben. Vierling,
”
der seinen Chatpartner fast abschätzig als Dreiling“ bezeichnet, versucht diesem das
”
Problem geschickt durch Rückgriffe auf einen Zweiling“, der nur in einer zweidimen”
sionalen Ebene lebt, zu verdeutlichen. Letztendlich überzeugt wurde Dreiling allerdings
erst, als Vierling es schaffte, den Gallenstein seiner Mutter, aus der vierten Dimension
eingreifend, unblutig zu entfernen. Von da an ist Dreiling Feuer und Flamme, mehr über
den Vierling zu erfahren, der ihm daraufhin an insgesamt neun gemütlichen Chatabenden das Leben in der vierten Dimension näher bringt.
Eine Schülerbeurteilung des Buches kommt zu dem folgenden Ergebnis:
Nicht nur beim Protagonisten wird die Phantasie beim gedanklichen Nachvollziehen
”
der vierdimensionalen Vorstellungen angeregt. Das Buch ist fast ausschließlich in Dialogform geschrieben mit verständlicher Sprache und erläuternden Bildern und Skizzen.
Jedes Kapitel beinhaltet eine Unterrichtsstunde, welche sehr gut nachzuvollziehen und
auch lehrreich ist, wenn man daran interessiert ist, wie die vierte Dimension, auch wenn
sie vielleicht nur erfunden ist, beschaffen sein könnte.“
Fazit: Es macht einfach Spaß, sich zusammen mit dem Protagonisten des Buches
von Vierling die vierte Dimension erklären zu lassen, Hat man sich einmal auf das
dahinterstehende Gedankenexperiment eingelassen, lässt es einen so schnell nicht
mehr los.
Gesamtbeurteilung: sehr gut
Angaben zum Buch:
Hans Borucki: Online in die vierte Dimension
Aulis 2000, ISBN 3-7614-2102-8, 299 Seiten, 19,50 –C
Art des Buches:
Roman über die vierte Dimension
Mathematisches Niveau: verständlich
Altersempfehlung:
ab 14 Jahren
Martin Mattheis
13
MONOID 79
Mathis machen mathematische Entdeckungen
1
13
25
37
49
61
Das nebenstehende 6 6-Zahlenquadrat aus den ungeraden Zahlen von 1 bis 71 weist viele überraschende
Eigenschaften auf. Versuche einige davon herauszufinden. Wenn du erfolgreich bist, könntest du auch das
8 8- oder das 10 10-Quadrat unteruchen usw. (H.F.)
3
15
27
39
51
63
5
17
29
41
53
65
7
19
31
43
55
67
9
21
33
45
57
69
11
23
35
47
59
71
Im MONOID-Heft Nr. 75 (September 2003) hatten wir den Mathis das Pascalsche
Dreieck als Untersuchungsgegenstand vorgeschlagen. Leider gab es bisher keine Einsendungen. War’s zu schwer?
Freundlicherweise hat uns Prof. Dr. Kurt Rosenbaum aus Erfurt im Oktober 2003 auf
einige interessante Zusammenhägne aufmerksam gemacht. Er schreibt:
Hartwig Fuchs fordert in seinem Aufsatz Mathis machen mathematische Entdeckun”
gen“ in Heft 75 die Leser zur Formulierung von Vermutungen auf, die im Zusammenhang mit dem Pascalschen Dreieck stehen. Ich nehme diese Veröffentlichung zum
Anlass, um zwei Bemerkungen zu machen und um einen früheren Vorschlag zu wiederholen.
Die Kreisaufgabe
Gegeben sind ein Kreis und n Punkte auf der Kreislinie. Wenn man je zwei Punkte
miteinander durch eine Sehne verbindet, in wie viele Gebiete Fn zerfällt dabei der Kreis
höchstens?
n
n 1
n
Herr Fuchs gibt die Anzahlformel Fn
an, verzichtet aber auf
4
2
einen Beweis. Wie mir Herr Winter aus Aachen mitteilte, stammt diese Aufgabe aus einer sowjetischen Mathematikolympiade. Ein Beweis steht bei N. Haas: Das Extremalprinzip als Element mathematischer Denk- und Problemlösungsprozesse, Franzensberger 2000.
Interpretation der Lösung
Die Anzahlformel von Herrn
Fuchs ist zwar
richtig,
aber nicht schön. Dagegen lässt
n
n 1
n
n
sich in Fn
n
1
jeder Summand auf der rechten
4
2
2
4
Seite des letzten Gleichheitszeichens trefflich interpretieren:
1
eine Kreisfläche,
n
2
Anzahl der Sehnen im Kreis,
n
4
Anzahl der inneren Schnittpunkte der Sehnen.
MONOID 79
14
Zerlegung der Ebene
In wie viele Gebiete f n kann eine Ebene durch n Geraden höchstens zerlegt werden?
Für kleine n findet man:
Geraden n 0 1 2 3 4 5 . . .
Gebiete f n 1 2 4 7 11 16 . . .
Die Größen f n lassen sich nach der Formel f n
1
n
1
n
2
bestimmen. Hierbei
stehen:
1
für eine Ebene,
n
1
für die Anzahl der Geraden,
n
2
für die Anzahl der Schnittpunkte dieser Geraden.
Im Pascalschen Dreieck
1
1
1
1
5
6
1
4
15
1
3
10
1
2
1
3
6
10
20
1
1
4
15
5
1
6
1
1
ergeben sich die Zahlen f n als Summe aller Zahlen der n-ten Zeile von links bis zur
dritten Diagonale. Die Zeilenzählung beginnt mit 0. Für n 6 erhält man f 6 22.
Beweis mit dem Extremalprinzip
n
Jeder der
Schnittpunkte der n Geraden ist tiefster Punkt für genau ein Gebiet. Es
2
bleiben die Gebiete, die keinen tiefsten Punkt haben. Wir zeichnen unter alle Schnittpunkte eine Gerade g, die zu keiner der n Geraden parallel ist. Diese wird von allen n
Geraden geschnitten. Wir zählen n 1 Gebiete ohne tiefsten Punkt.
g
Somit ist f n
n
2
n
1
1
n
1
n
.
2
Mir ist nach wie vor keine zur Kreisaufgabe bzw. zur Aufgabe der Zerlegung der Ebene
verwandte Aufgabe bekannt, deren Lösung zusammenhängt mit der Summe der Zahlen der n-ten Zeile im Pascalschen Dreieck bis hin zur vierten Diagonale.
(K. Rosenbaum)
15
MONOID 79
Die Seite für den Computer-Fan
Die Smith-Zahlen
Als 1982 der amerikanische Mathematiker Albert Wilansky seinen Schwager anrief,
stellte er fest, dass die Telefonnummer 4937775 zu einer speziellen Sorte natürlicher
Zahlen gehört, die nach dem Schwager Smith-Zahlen genannt werden.
Definition: Es sei n eine natürliche Zahl, die die Primfaktorzerlegung n
p 1 p2
pk
besitze, wobei die Primfaktoren nicht verschieden sein müssen und k
2 ist. Ferner
sei Q n die Quersumme von n. Dann heißt n eine Smith-Zahl, wenn gilt: Q n
Q p1
Q p2
. . . Q pk .
Beispiele: Da für Primzahlen k
1 ist, sind diese nach dieser Definition keine SmithZahlen. Die Zahl 4 ist wegen Q 4
4
2 2
2 2
Q 2
Q 2 die kleinste
Smith-Zahl. Dagegen ist 6 keine Smith-Zahl: Q 6
6 2 3 2 3 Q 2
Q 3 .
Weitere Smith-Zahlen sind z.B. 22 2 11 wegen Q 22
4 2 2 Q 2
Q 11
sowie 690 2 3 5 23 wegen Q 690
15 2 3 5 5 Q 2
Q 3
Q 5
Q 23 . Die Telefonnummer hat die Primfaktorzerlegung 4937775 3 5 5 65837 und
ist wegen Q 4937775
42 3 5 5 29 Q 3
Q 5
Q 5
Q 65837 auch
eine Smith-Zahl.
Aufgabe: Bestimme die Anzahl aller Smith-Zahlen unterhalb 10000.
(H.F.)
Lösungen der Computer-Aufgaben aus Monoid 77
Wahr oder falsch?
Die Berechnung der Zweierpotenzen 27 , 217 , 227 , 237 , 247 liefert Zahlen, die stets mit der
Ziffer 1 beginnen. Diese Beobachtung lässt vermuten:
Jede Potenz 2n 10 7 , n 0, 1, 2, . . . , beginnt mit einer 1 als erster Ziffer.
Stimmt diese Vermutung?
(H.F.)
Lösung:
Die Vermutung erweist sich als falsch; denn bereits 2 197
2, 008672555 10 59 beginnt mit einer 2 als erster Ziffer. Das haben auch Florian Schweiger vom Gymnasium
Marktoberdorf, Stefanie Tiemann vom Gymnasium Marienberg in Neuss und Martin
Alexander Lange vom Gymnasium am Römerkastell in Alzey festgestellt.
Ein Primzahl-Rennen
Jede Primzahl 5 ist von der Form 4n 1 oder 4n 3, n 1 (denn 4n 0, 4n 2, 4n
4 sind sicher keine Primzahlen). Wir schreiben nun für n 1, 2, 3 . . . die Primzahlen in
eine Tabelle, getrennt nach ihrer Form 4n 1 oder 4n 3. Mit Vn ( Vorsprung“) geben
”
wir an, wie viele Primzahlen 4n 3 es bis zur Stelle n mehr sind als Primzahlen 4n 1.
Das Ganze nennen wir ein Primzahl-Rennen.
n
Primzahl 4n
Primzahl 4n
Vn
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 . . .
1 5
13 17
29
37 41
53
61
73
...
3 7 11
19 23
31
43 47
59
67 71
79 83 . . .
0 1 0 0 1
1
0 0 1
0 1 0 1 2 1 2 3 ...
Wenn man dieses Primzahl-Rennen weiter verfolgt, z.B. bis n 1000, dann findet man
für n 1, 2, . . . , 1000 stets: Der Vorsprung Vn der 4n 3 -Primzahlen ist 0.
Stimmt diese Aussage auch für alle natürlichen Zahlen n?
(H.F.)
MONOID 79
16
Lösung:
Stefanie Tiemann hat ein Visual-Basic-Programm geschrieben, mit dem sie die Primzahlen bis 10 000 000 untersucht hat. Dabei hat sie festgestellt, dass n 6708 die erste
Zahl ist, bei der die 4n 1 -Primzahlen gegenüber den 4n 3 -Primzahlen führen.
Soweit Stefanie die Untersuchung geführt hat, bleibt es bis n 158469 bei diesem Vorsprung, der zwischen 1 und 8 schwankt. Tatsächlich wurde bewiesen, dass zwischen
den 4n 1 -Primzahlen und den 4n 3 -Primzahlen unendlich oft ein Vorsprungwechsel stattfindet.
Hinweis: Ihr könnt Eure Lösungen einschicken, denn auch hierbei gibt es Punkte zu ergattern. Allerdings müsst Ihr bei der Verwendung eines ComputeralgebraSystems oder eines eigenen Programms dies entsprechend dokumentieren durch
Einsenden der Programm-Datei (am besten als Anhang einer eMail an die
).
MONOID-Adresse:
Die Lösungen werden jeweils im übernächsten Heft erscheinen, damit wir gegebenenfalls auf interessante Lösungen eingehen können.
Lösungen der Mathespielereien aus dem
MONOID
!#"%$ &('*)#,+-!."/10278
34$ &576589;:< =?>A@CBEDGFIH
Streichhölzer
Kannst Du durch Umlegen eines einzigen Streichholzes aus der falschen Gleichung
(mit römischen Zahlen)
eine richtige Gleichung machen?
(gefunden von H.F.)
Lösung:
Eine weitere Lösung fanden Michael Monschau und Tobias Wallek vom Gymnasium
Nonnenwerth in Remagen:
17
MONOID 79
Rechtecke im Rechteck
Die Folge der Figuren F1 , F2 , F3 , F4 , in (a) bzw. in (b) denke man sich nach dem jeweils
erkennbaren Muster bis F15 einschließlich fortgesetzt. Wie viele Rechtecke – auch Quadrate – sind dann in F15 vorhanden?
(a)
...
F1
F2
F3
F4
(b)
...
F1
F2
F3
F4
(H.F.)
Lösung:
Bezeichnet man die Anzahl der in der Figur Fn vorhandenen Rechtecke mit Rn , dann
findet man für R1 , R2 , R3 , R4 und für die Abstände dieser vier Zahlen die Werte:
(a)
R1
R2
R3
R4
...
1
9
36
100
...
27
8
...
64
Die Folge der Abstände lässt eine Gesetzmäßigkeit erkennen, nach der anzunehmen
ist, dass R15 R1 23 33 43
143 14400.
(Tatsächlich kann man beweisen, dass R n
damit erhält man ebenfalls R15 14400.)
1
4
n n
1
2
für n
1, 2, 3, . . . ist und
(b)
R1
R2
R3
R4
...
6
18
36
60
...
12
18
R15 6 2 6 3 6
(Tatsächlich gilt: Rn 3n n
...
24
15 6 720
1 für n 1, 2, 3, . . . ; danach ist R 15
720.)
Alter Lokomotivführer
Wenn man das Alter (in ganzen Jahren) eines Lokomotivführers mit dem seiner Kinder
– die alle älter als ein Jahr sind – multipliziert, dann erhält man 9503. Wie viele Kinder
hat der Mann? Wie alt sind er und seine Kinder?
(H.F.)
Lösung:
Aus 9503 13 17 43, alle Faktoren sind Primzahlen, folgt: Der Vater hat zwei Kinder
im Alter von 13 und 17 Jahren; er selbst ist 43 Jahre alt.
MONOID 79
18
Auf einer Parkbank
Auf einer Parkbank wollen sich 10 Personen hinsetzen. Es sind drei Türken, vier Franzosen, zwei Dänen und ein Italiener. Allerdings wollen immer Personen gleicher Nationalität zusammen sitzen. Wie können sie sitzen? Wie viele Möglichkeiten gibt es?
(Sigurd Vogler, Rupprecht-Gymnasium München)
Lösung:
Mögliche Anordnungen (jede Person hat eine Nummer):
Türken: 1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, 3 2 1
Das sind 6 Möglichkeiten.
Franzosen: 1 2 3 4, 1 2 4 3, 1 3 2 4, 1 3 4 2, 1 4 2 3, 1 4 3 2
Das sind 6 Möglichkeiten, wenn Person 1 am Anfang der Reihe sitzt. Da vier
verschiedene Personen am Anfang sitzen können: 6 4 24 Möglichkeiten.
Dänen: 1 2 und 2 1
Das sind 2 Möglichkeiten.
Italiener: Nur eine Möglichkeit, da nur ein Italiener.
Dazu gibt es noch folgende Möglichkeiten für die Anordnung der Nationen: 6, wenn die
Türken am Anfang der Reihe sitzen, nämlich TFDI, TFID, TDFI, TDIF, TIDF, TIFD. Da
alle vier Nationen am Anfang sitzen können, ergeben sich 6 4 24 Möglichkeiten für
die Anordnung der Nationen.
Gesamt: 24
6 24 2 1
24 288
6192 Möglichkeiten.
11 12 1
Der Uhrschlag
Eine Uhr braucht 5 Sekunden, um 6 Uhr zu schlagen.
10
2
9
Wie lange braucht sie um 12 Uhr?
(WJB)
3
4
8
7
6
5
Lösung:
Die Uhr schlägt offenbar in Abständen von einer Sekunde. Also braucht sie 11 Sekunden vom ersten bis zum zwölften Schlag um 12 Uhr.
Ein magisches Quadrat
2000
2007
2014
1991
i
h
2001
g
2010
1992
f
e
2002
2009
2011
2012
d
1996
2003
c
2006
2013
b
a
2004
19
Bestimme die Werte der Buchstaben
a, b, c, . . . , i.
Beachte, dass die
fünf Zeilensummen,
die fünf Spaltensummen und die
zwei
Diagonalensummen alle den
gleichen Wert besitzen müssen. (H.F.)
MONOID 79
Lösung:
Aus der vollständig angegebenen Diagonalen ergibt sich die sogenannte magische
Summe 10010.
1998; damit folgt c
2005, d
1994. Mit d ergibt sich
Aus der ersten Zeile folgt i
e 1995, daraus f
1993, h 1999, g 2008, b 1990 und a 1997.
Mathematix plant grenzenlos
Ein kleines gallisches Dorf ist von einem kreisförmigen, etwa 33 Galles“ (gallisches
”
Längenmaß) langen Zaun umgeben. Mathematix, der Dorf-Chef, träumt von einer Grenze, die länger als die des großen Nachbardorfes ist, die 100 Galles misst. Eines Tages
kommt der Architekt Geometrix und legt ihm sechs Pläne vor, von denen die drei ersten
hier abgebildet sind:
Er erklärt zu den Plänen: Im ersten Plan habe ich ein gleichseitiges Dreieck dargestellt.
”
Jede Seite dieses Dreiecks ist 9 Galles lang. In jedem Plan sind alle Strecken gleich
lang, bevor man sie in 3 gleiche Teile teilt. Mit dem sechsten Plan kann ich deinen
Traum verwirklichen.“ Untersuche, ob Geometrix Recht hat!
Lösung:
Im ersten Dreieck ist jede Seite 9 Galles lang, also der Umfang (= Grenzzaun) 27
Galles. Im zweiten Plan versuchen wir nun den Umfang zu berechnen. Dazu betrachten
wir uns die ehemalige“ obere Strecke. Sie war im ersten Plan 9 Galles lang. Nun ist
”
die Ausgangsstrecke gedrittelt, d.h. die linke und rechte Teilstrecke ist 3 Galles lang
und die beiden mittleren auch jeweils 3 Galles. Aus 9 Galles werden somit 12 Galles.
4
Der Umfang an der oberen Seite ist folglich 12 : 9
mal so lang. Analoges ist bei
3
den beiden anderen Seiten des Ausgangsdreiecks passiert. Der Umfang des zweiten
36 Galles (oder 3 12 36 Galles).
Plans ist also 34 mal so groß, daher 27 Galles 43
Entsprechend gehen wir beim dritten Plan vor: Aus jeder 3 Galles langen Teilstrecke
im zweiten Plan wird eine 4 Galles lange Teilstrecke. Also wird auch hier der Umfang 43
mal so groß wie der im zweiten Plan, somit 36 Galles 43
48 Galles.
Wir gehen analog weiter vor: Die Figur in einem vierten Plan hat einen Umfang von 48
Galles 43
64 Galles. In einem fünften Plan beträgt der Umfang 64 Galles 43
85 13
Galles. Ja, und im sechsten Plan ist Mathematix’ Traum tatsächlich wahr geworden:
Diese Figur hat einen Umfang, also Grenzzaun, von 85 31 Galles 43
113 97 Galles.
MONOID 79
20
$ &58
Neue
Mathespielereien
!." $ &('*)#,+-!."/102 34$ & 6 8 ;:< =<>A@CBEDGFIH
Eine magische Pyramide
An jede der acht Kanten einer Pyramide mit
viereckiger Grundfläche ist eine der Zahlen
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 so anzubringen, dass für alle
Eckpunkte gilt: Die Summe der Zahlen an den in
den Ecken zusammenstoßenden Kanten ist jeweils die gleiche (magische Summe).
a) Wie sind die acht Zahlen anzuordnen und wie heißt die magische Summe?
b) Untersuche a) für die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
(H.F.)
Alle Neune
Ersetze die Buchstaben a, b, . . . , i durch die Zahlen von 1 bis 9. Jede Zahl darf man nur
einmal verwenden:
a
b
c
d
e
f
Welche Lösungen gibt es?
g
h
i
(Keven Runge, Gymnasium Nonnenwerth)
Eine wahre Geschichte
Neulich rief mich eine Lektorin eines Hamburger Verlages an. In einem Buch käme der
Begriff Sekundzahlen“ vor für Zahlen, die durch 1 und sich selbst und noch genau eine
”
andere Zahl teilbar sind. Sie wollte wissen, ob es diesen Namen tatsächlich gibt, ich
sei doch da Experte. Im ersten Moment fand ich die Namensgebung als Erweiterung
von Primzahlen ganz gelungen, doch dann fiel mir ein, dass man für diese Zahlen gar
keinen Namen braucht, weil sie sich ganz einfach charakterisieren lassen. Wie? (VB)
Bauplatztausch
Herr Kaufmann tauscht einen quadratischen Bauplatz gegen einen rechteckigen, bei
dem die eine Seite 5m länger und die andere Seite 5m kürzer als beim quadratischen
Bauplatz ist.
Hat er sich beim Tausch verbessert?
(Adriana Spalwisz, Geschwister–Scholl–Gymnasium Ludwigshafen)
Zahlensuche
x und y seien zwei natürliche Zahlen. Jeder der Ausdrücke x
als Wert eine der Zahlen 4, 9, 15, 36.
Wie heißen x und y?
y, x
y, x y, x : y hat
(H.F.)
Weitere Mathespielereien findet ihr auf der nächsten Seite!
21
MONOID 79
$ &58
Neue
Mathespielereien
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Zerlegung eines Dreiecks
C
P
Q
S
B
R
A
Im Dreieck ABC mit der Fläche F seien P, Q, R die Seitenmittelpunkte. Die drei Strecken
AP, BQ, CR, die sich im Schwerpunkt S des Dreiecks schneiden, zerlegen das Dreieck
ABC in sechs Teildreiecke.
(H.F.)
Zeige: Jedes der sechs Teildreiecke hat die Fläche 61 F.
Raute
D
H
A
G
C
P
F
E
P sei ein Punkt im Innern der Raute ABCD. PE , PF , PG ,
PH seien die Abstände des Punktes P von den Seiten der
Raute.
Zeige:
Wie auch immer P im Innern der Raute gewählt wird, stets hat
die Summe PE
PF
PG
PH den gleichen Wert.
(H.F.)
B
Wo war Willi?
Willi erzählt: Auf meiner letzten Forschungsreise ist mir
”
folgendes passiert: Ich ging einmal 5 km weit genau nach
Süden, dann 5 km nach Westen; nach weiteren 5 km nach
Norden war ich wieder zurück an meinem Ausgangspunkt.“
Nach kurzer Überlegung antwortet Nina: Natürlich war
”
Dein Ausgangspunkt der Nordpol.“ Darauf Willi: Nein, weit
”
gefehlt!“ Wo war Willi?
(WJB)
Bereits auf Seite 21 findet ihr Mathespielereien!
MONOID 79
22
Neue Aufgaben
Kl. 8-13
Aufgabe 836. Die drei Schlösser
Fritz soll eine Aufgabensammlung aus dem Aufbewahrungsraum in der Schule holen.
Der Lehrer hat diese vergessen. Der Lehrer gibt ihm seinen Schlüsselbund, vergisst
aber ihm zu sagen, welcher Schlüssel der richtige ist. Auf dem Weg fällt das Fritz auf.
Erst überlegt er, ob er zurückgehen soll. Dann aber rechnet er schnell aus, wie viele Möglichkeiten es maximal gibt, also wie oft er maximal ausprobieren muss. Dann
entscheidet er sich, sein Glück auszutesten. Da dieser Raum aber auch sehr wichtige Gegenstände hat, ist er mit drei Schlössern gesichert. Am Schlüsselbund sind 15
Schlüssel.
Wie oft muss er mindestens und wie oft maximal probieren?
(Sigurd Vogler, Rupprecht-Gymnasium München)
Aufgabe 837. Division durch 7
Jede von sechs natürlichen Zahlen wird als ein Vielfaches von 7 und einem nicht negativen Rest geschrieben; z.B. 39 5 7 4. Die Summe der sechs Reste betrage 5.
Begründe, dass das Produkt der sechs Zahlen ein Vielfaches von 7 ist.
(H.F.)
Aufgabe 838. Lauter Quadratzahlen?
49
72
Man denke sich das nebenstehende Zahlenschema beliebig
672
4489
lange fortgesetzt. Ist dann jede links stehende Zahl eine Qua444889
6672 dratzahl? Begründe deine Antwort!
(H.F.)
44448889
?
..
.
Aufgabe 839. Niemals eine Quadratzahl
Zeige: Die Summe der Quadrate dreier aufeinander folgender natürlicher Zahlen ist
niemals eine Quadratzahl.
(H.F.)
Aufgabe 840. Zerlegungen im Rechteck
D
P
C
Das Rechteck ABCD wird von der Strecke PQ
in zwei kongruente Teile zerlegt.
Vergleiche die Flächen der Dreiecke ARD und
R
AQR.
Welcher Bruchteil der Fläche des Rechtecks
ABCD ist schraffiert?
(H.F.)
B
A
Q
Aufgabe 841. Florians Fläche
Florian spielt gern mit Zirkel und Lineal. Eines Tages sieht seine
Lehrerin bei ihm die nebenstehende Zeichnung und stellt ihm die
Frage: Wie groß ist die Fläche in der Mitte, wenn die Seitenlänge
des Quadrats gleich 1 ist?
(gefunden WJB)
23
MONOID 79
Gelöste Aufgaben aus dem MONOID 78
Kl. 8-13
Aufgabe 830. Exkurs in die Kryptographie
Kannst Du diesen Text entschlüsseln?
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(Sonja Breske, Christina Collet)
Lösung: Es fällt auf, dass in dem verschlüsselten Text der Buchstabe B besonders
häufig vorkommt. Da in deutschen Texten E der häufigste Buchstabe ist, setzen wir
versuchsweise B gleich E. Unter der weiteren Annahme, dass hier eine der einfachsten
Chiffrierungen vorliegt, nämlich die Verschiebung des Alphabets um eine bestimmte
Stellenzahl (sog. Caesar-Chiffrierung), leiten wir aus dem Übergang B 2 E für die
Dechiffrierung die Verschiebung um 3 Stellen ab:
Geheimtext: A B C D E F . . . X Y Z
Klartext:
D E F G H I ... A B C
Dies liefert uns tatsächlich folgende Aufgabe:
Endlich Ferien!
Markus Wasmeier freut sich immer besonders auf die Sommerferien. Als
begeisterter Radfahrer hofft er jedes Mal auf gutes Wetter. Letztes Jahr hat
er Folgendes festgestellt:
Es regnete genau neun Mal, entweder am Vormittag oder am Nachmittag.
Es gab elf sonnige Vormittage und zehn sonnige Nachmittage.
Wie viele Ferientage hatte Markus Wasmeier?
In der Annahme, dass es nur die Alternativen Sonne“ oder Regen“ gab, entsprechen
”
”
den 9 verregneten Vor- bzw. Nachmittagen 9 Halbtage der sonnigen Art, so dass zu
den 9 Urlaubstagen mit gemischtem Wetter noch 21 9 43 2
6 Tage Sonne pur“
”
kamen. Somit hatte Markus Wasmeier 15 Ferientage.
Hinweis: Eine Entschlüsselungs-“ und Verschlüsselungsmaschine“ findet man z.B.
”
”
unter 56565,79868,7;:=<>86?@BA7DCEAEFBGH?@EIJ?:BKL@BANMOAQPEKL:E<>86?@6AEFSRLTIUPWVUMABPQXF>YVUZVS[LABP:6<>8@798=XQY
MONOID 79
24
Aufgabe 831. Primzahl-Zwillinge
Es seien p und p 2 Primzahlen; dann heißen p und p
2 Primzahl-Zwillinge.
5 gilt:
Begründe, dass für Primzahlen
2 ist eine Zahl mit
a) Das arithmetische Mittel von Primzahl-Zwillingen p und p
mindestens fünf verschiedenen Teilern.
2 ist stets ein
b) Das um 1 vermehrte Produkt aus Primzahl-Zwillingen p und p
Vielfaches von 36.
2 Primzahl-Zwillinge sind, dann ist p
c) Wenn p und p
4 keine Primzahl.
(H.F.)
Lösung:
a) Das arithmetische Mittel von p und p 2 ist 21 p p 2
p 1. Von drei
aufeinander folgenden Zahlen p, p 1, p 2 ist (mindestens) eine ein Vielfaches
von 2 und eine ein Vielfaches von 3.
Die Primzahlen p und p 2 können es wegen p 5 nicht sein – also ist es p 1.
Daraus folgt: 1, 2, 3, 6 und p 1 sind fünf verschiedene Teiler von p 1.
b) Es ist p p 2
1 p2 2p 1
p
Aus a) wissen wir, dass 6 ein Teiler von p
1 2.
1 ist; also ist 6 2 ein Teiler von p
1 2.
c) Aus a) ist uns bekannt, dass p 1 ein Vielfaches von 3 ist. Folglich ist p 1
ebenfalls ein Vielfaches von 3. Da p 3 ist, kann p 4 keine Primzahl sein.
3
Aufgabe 832. Treppenzahlen
Eine natürliche Zahl habe die Zifferndarstellung z 1 z2 z3 . . . zn , für die Ziffern gelte
1 z1 z2 z3 . . . zn .
Wie viele n-stellige natürliche Zahlen dieser Form gibt es
2?
a) für n
b) für n
3?
c) Wie kann man die Anzahl allgemein berechnen?
(Stefanie Tiemann, Gymnasium Marienberg, Neuss)
Lösung:
a) Um die Zahl z1 z2 mit 1 z1
z2
9 zu bilden, wählen wir z1
z2
z1 , z1 1, . . . , 9 . Für die Wahl von z 2 haben wir also 9
Möglichkeiten. Daher gibt es
9
z1 1
10 z 1
9
z1
z1 1
9 10
2
1, 2, . . . , 9 , dann
z1 1
10 z1
45
zweistellige Zahlen der verlangten Art.
z1
z2
b) Bei der Aufstellung von z1 z2 z3 mit 1
1, 2, . . . , 9 , dann z2
z1 , z1 1, . . . , 9 und z3
25
z3
z ,z
2
9 wählen wir wieder z1
1, . . . , 9 . Analog zu a)
2
MONOID 79
erhalten wir dann für die Gesamtzahl aller Möglichkeiten:
9
9
z z 10 z 2 11 z 1
1
110 21z
z 990 21
2 2
1
9 10 19 10 9
990 990 21
2
2
6
10 z 1
9
10
z1 1 z2 z1
2
9
2
1
1
z1 1 z2 1
z1 1
9
9
2
1
1
z1
z1 1
z1 1
9
z21
21 45
2
19 15
z1 1
165.
c) Für die Behandlung des allgemeinen Falles z 1 z2 . . . zn mit 1
z1
z2
...
zn
9 ist die in a) und b) benutzte Abzählmethode nicht besonders geeignet. Wir
suchen ja eine monoton wachsende Funktion f , die die Menge 1, 2, . . . , n in die
Menge 1, 2, . . . , 9 abbildet, wobei z i
f i ist. (Monoton wachsend bedeutet f i
f j für i
j.) Die Anzahl solcher Funktionen beträgt
9
n
n
1
8
n
n
Dies liefert im Fall n
n
3:
11
3
1:
11 10 9
1 2 3
8
9
1
n 7
n
n!
9 (trivial), im Fall n
165 und im Fall n
... 9
4:
12
4
2:
10
10 9
2
2
12 11 10 9
1 2 3 4
45, im Fall
495.
Aufgabe 833. Der erfolglose Springer
Für die Züge eines Springers auf dem Schachbrett gilt die Behauptung
B : Es ist nicht möglich, mit dem Springer von einem Eckfeld zum diagonal gegenüber
liegenden Eckfeld zu ziehen und dabei jedes Feld des Schachbretts genau einmal
zu besetzen.
Beweise oder widerlege B !
(gefunden: H.F.)
Lösung:
Da ein direkter Beweis von B wohl auf ein Durchspielen aller möglichen Züge mit einem Computer hinausliefe – was für einen Mathematiker ein recht unbefriedigender
Nachweis von B wäre – versuchen wir, auf indirektem Wege eine Lösung zu finden.
Dazu treffen wir zunächst die Annahme B (lies: nichtB), dass die Aufgabe des Springers lösbar sei, d.h. die Gegenbehauptung B von B sei wahr.
Ausgehend von den Voraussetzungen
V1 : Ein Schachbrett hat 64 Felder.
V2 : Diagonal gegenüber liegende Eckfelder haben die gleiche Farbe.
V3 : Ein Springer gelangt nach 1, 3, 5, . . . Zügen auf ein Feld, das eine andere Farbe als
das Ausgangsfeld hat;
und aus der Annahme B schließen wir:
Ein Springer, der nach B die Aufgabe löst, benötigt 63 Züge (siehe V1 ) zur Erreichung
des Eckfeldes, das dem Ausgangsfeld diagonal gegenüber liegt, wobei nach V3 die
beiden Felder verschiedene Farben haben. Das aber widerspricht V2 .
Dieser Widerspruch zeigt: Die Annahme B ist falsch; es gilt B.
MONOID 79
26
Aufgabe 834. Geometrie am Viereck
Gegeben ist ein beliebiges konvexes Viereck ABCD mit einem beliebigen Punkt P auf
der Seite CD.
Konstruiere eine Gerade durch P, die das Viereck in zwei flächengleiche Teile teilt.
(Steffen Biallas, Albert–Einstein–Gymnasium Magdeburg)
Lösung:
Man verwandelt das gegebene Viereck in ein flächengleiches Dreieck, bei dem P ein
Eckpunkt ist:
C
D
Zunächst verbindet man P mit A und konstruiert die Parallele zu AP durch den Punkt D.
Diese schneidet die Verlängerung der Viereckseite AB im Punkt A . Das Gleiche wiederholt man auf der anderen Seite und erhält
als Schnittpunkt der Parallele zu BP durch
den Punkt C mit der Verlängerung von AB
den Punkt B .
B’
P
A’ A
Q
B
Das Dreieck APD ist nun flächengleich mit dem Dreieck APA (gleiche Grundseite und
gleiche Höhe). Das Gleiche trifft für die Dreiecke PBC und PBB zu. Also ist das Dreieck
A B P flächengleich dem Viereck ABCD.
Nun konstruiert man den Mittelpunkt Q der Strecke A B . Liegt dann Q nicht außerhalb
der Strecke AB, so teilt PQ das Dreieck A B P und auch das Viereck ABCD in zwei
flächengleiche Teile.
Liegt Q außerhalb der Strecke AB, dann muss die Konstruktion verändert werden.
O.B.d.A. liege Q zwischen B und B :
Wie oben verbindet man zunächst P
C
mit A und konstruiert die Parallele
zu AP durch den Punkt D. Diese
schneidet die Verlängerung der Viereckseite AB im Punkt A . Dann ist
P
das Dreieck APD flächengleich dem
D
Dreieck APA . Also ist auch das Viereck ABCD flächengleich dem Viereck
A BCP.
Nun verbindet man P mit B und konstruiert die Parallele zu BP durch
R
den Punkt A . Diese schneidet die
Verlängerung der Viereckseite BC
A’
A
B Q
B’
im Punkt A . Dann ist das Dreieck A BP flächengleich dem Dreieck A BP. Also ist auch das Dreieck A CP flächengleich dem Viereck
A BCP und ebenfalls flächengleich
dem Viereck ABCD.
Nun konstruiert man den Mittelpunkt
R der Strecke A C. Dann teilt PR das
Dreieck A CP und auch das Viereck
A’’
ABCD in zwei flächengleiche Teile.
27
MONOID 79
Aufgabe 835. Eine olympische Knobelei
A
A
E
B
E
G
C
B
C
F
D
D
F
H
Ordne jedem Buchstaben der Figur eine natürliche Zahl so zu, dass gilt: Zu verschiedenen Buchstaben gehören verschiedene Zahlen; die Zahlen, die spiegelbildlich zur
Symmetrieachse GH der Figur liegen sowie die zu G und H gehörigen Zahlen unterscheiden sich um 2, und die Summen der Zahlen längs eines jeden der fünf Kreise
stimmen überein.
a) Bestimme die Zahlen A, A , . . . , F, F , G, H so, dass S möglichst klein ist.
b) Entwickle nun aus einer Lösung der Aufgabe eine neue Zuordnung von Zahlen
zu den Buchstaben der Figur so, dass gilt: Die Summen der Zahlen längs eines
jeden Kreises haben alle den gleichen Wert S und S ist eine Zahl, die in diesem
Jahr häufig zusammen mit der Figur (die dann allerdings unbeschriftet und bunt
ist) vorkommt.
(H.F.)
Lösung:
a) Die Summe S ist dann minimal, wenn die vierzehn Buchstaben der Figur durch die
Zahlen 1, 2, . . . , 14 ersetzt werden können. Dabei werden sich auf dem 8-Zahlen-Kreis
K8 möglichst kleine Zahlen befinden. Versuchen wir es mit diesen wenigen Vorgaben.
36 ist die überhaupt kleinste Summe, wenn die – wegen der Symmetriebe1. S
dingung – paarweise auf K8 zu verteilenden Zahlen sind:
1
1, 3 ; 2, 4 ; 5, 7 ; 6, 8.
Aber S 36 ergibt keine Lösung: K8 und der linke“ 6-Zahlen-Kreis K6 haben die
”
Zahlen B und D aus (1) gemeinsam; die übrigen 4 Zahlen von K6 sind nicht aus
(1) und daher 9. Dann aber ist längs K6 : S
B D
4 9 36. Aus diesem
Widerspruch folgt, dass S 36 keine Lösung ergibt.
2. Die nächst größere Summe ist S
2
1, 3 ; 2, 4 ; 5, 7 ; 8, 10
40, die man erhält, wenn auf K8 die Paare
oder
1, 3 ; 2, 4 ; 6, 8 ; 7, 9
vorkommen. Die Zahlen B, D auf K6 stammen aus einer der Listen (2), die übrigen
vier Zahlen von K6 sind dann mindestens 6, 9, 11, 12 oder 5, 10, 11, 12. Dann aber
ist längs K6 : S B D 6 9 11 12 40 oder S B D 5 10 11
12 40. Widerspruch!
MONOID 79
28
3. Die drittgrößte Summe S
3
42 erhält man auf K8 mit den Zahlenpaaren
1, 3 ; 2, 4 ; 5, 7 ; 9, 11.
Aus (3) folgt
3
6, 8 ; 10, 12 ; 13, 15 ; 14, 16 . . .
sind nicht auf K8 . Wenn nun gilt: 6, 8 3 K6 , dann ist längs K6 : S
B D
10
12 13 14 42 wegen 3 . Widerspruch!
Somit gilt 6, 8 K6 und S
B D
6 8 E F
42 längs K6 , B, D
3
und E, F
3 . Nun untersuche man die Fälle E
10, E
12, usw. der Reihe
nach.
α Es sei E
10. Dann ist F
12 (Symmetriebedingung), also F
13, und
aus S B D
6 8 10 F 42 folgt B D
5. Aus 3 folgt daher
B 1, D
2 oder B 1, D
4 oder B 2, D
3.
Aus B 1, D
2 folgt F 15 und aus 1, 2, 6, 8, 10, 15 K6 folgt 3, 4, 6, 8, 12,
F
K6 (dabei sei K6 der rechte“ 6-Zahlen-Kreis); und S
42
3 4
”
6 8 12 F ergibt F
9. Ein solches F findet sich jedoch nicht in 3 .
Widerspruch!
Die beiden übrigen Fälle B 1, D
4 und B 2, D
3 führen analog auf
Widersprüche.
β Wenn E 12, E 13, usw. ist, dann geht man nach dem Muster von α vor
und findet jeweils einen Widerspruch.
Da es neben 1 , 2 und 3 keine weiteren vier Zahlenpaare auf K8 mit S
folgt aus dem obigen: Für S 42 gibt es keine Lösung.
Aber für S 44 gibt es – erstmals – Lösungen, z.B.:
K8
6
8
42 gibt,
14
1
12
5
3
11
9
15
4
2
13
K6
K6
7
b) Die fünf olympischen Ringe kommen in diesem Jahr 2004 besonders häufig vor. Es
sei also S 2004.
Wir können nun aus einer Lösung für S
44 eine solche für S
2004 auf folgende
.
Weise herstellen. Es ist 2004 x 44 mit x 45 54
99
Wenn wir nun jede Zahl
H, die in der Lösung für S 44 auftritt, mit x multiplizieren
und danach runden, ergibt sich für S 2004 die Lösung:
A
B
C
273,
46,
410,
A
B
C
364,
137,
501,
D
E
F
182,
638,
683,
D
E
F
29
91,
547,
592.
G
H
228,
318,
MONOID 79
Wer forscht mit?
Ziffern-Perioden
Wenn wir eine lange, lückenlose Kette der Potenzen von 2, nämlich 2, 4, 8, 16, 32, . . .
hinschreiben, dann beobachten wir, dass die Einerziffern immer wieder der Reihe nach
die Werte 2, 4, 6, 8 annehmen. Man sagt: Die Einerziffern haben die Periode 2, 4, 6, 8
und die Länge der Periode ist 4.
(a) Wiederholen sich auch die Zehnerziffern, die Hunderterziffern, die Tausenderziffern periodisch? Wenn ja – wie lang ist dann die jeweilige Periode?
(b) Finde eine Formel, mit der man die Periodenlänge für die Ziffern auf der n-ten
Stelle von rechts bei den Zweierpotenzen angeben kann!
Beantworte nun auch die Fragen von a) und bearbeite b) sowohl für die Potenzen von 5,
nämlich 5, 25, 125, 625, . . ., als auch für die Quadratzahlen, nämlich 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .
(Hinweis: Es werden keine Beweise bei a), b) erwartet, sondern nur Ergebnisse der
Art: a) Die Periodenlänge bei Zehnerziffern ist . . . “ sowie b) Die Formel lautet . . . “
”
”
Natürlich sind Beweise hochwillkommen.)
(H.F.)
Eine Forscheraufgabe aus MONOID 75
In Heft 75 hatten wir zwei Probleme gestellt
Problem 1:
Nach dem Satz des Pythagoras gilt für die beiden Katheten a, b und die Hypotenuse c
eines rechtwinkligen Dreiecks die Beziehung a 2 b2
c2 . Sind a, b, c dabei natürliche
Zahlen (wie im Falle a 3, b 4, c 5), spricht man von einem pythagoreischen Zahlentripel. Sind a, b, c teilerfremd (es genügt, diesen Fall zu untersuchen), reden wir von
einem primitiven pythagoreischen Zahlentripel. Dabei muss a oder b gerade sein. Alle
primitiven pythagoreischen Zahlentripel a, b, c mit geradem b sind folgendermaßen
darstellbar:
a
u2
v2 ,
b
2uv,
c
u2
v2
mit u, v
IN, ggT u, v
1, u
v und u v ungerade. [Literatur z.B. H. Scheid,
Zahlentheorie]
Es gibt nur ein einziges Tripel mit drei aufeinander folgenden Zahlen, nämlich 3, 4 und
5; hier ist also u 2 und v 1.
Gibt es mehr pythagoreische Tripel a, b, c , wenn nur a und b aufeinander folgende
Zahlen sind, wenn also b a 1 und somit a 2
a 1 2 c2 gilt? Gibt es womöglich
unendlich viele?
Stefanie Tiemann vom Gymnasium Marienberg in Neuss schickte bereits Ende März
eine Lösung an die MONOID-Redaktion, die zeigt, dass es tatsächlich unendlich viele
pythagoreische Zahlentripel der Form a, a 1, c gibt; sie führt aus:
Ich definiere eine Folge durch a1 1, a2 2, an 2 2 an 1 an . Die Folge sieht dann
so aus: 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, . . . Für alle Folgenglieder a n und an 1 gilt:
a2n
1
2
a2n
2 an an
1
2
MONOID 79
a4n
a4n
a4n
a4n 1
30
1
2 a2n a2n
2
a2n
4 a2n a2n
1
a2n 1
a2n
1
2
2
an 1
Wenn ich jetzt noch zeige, dass a2n 1 a2n und 2 an an 1 den Abstand 1 haben, so
sind unendlich viele Zahlentripel der gesuchten Form gefunden.
1, 1 1
Beweis durch vollständige Induktion:
Induktionsvoraussetzung: a2n 1 a2n
2 an an 1
2
2
Induktionsanfang: n 1: 2
1
2 1 2
3 4
Induktionsschritt: n 2 n 1:
a2n
a 2 a a
2 a a a 2 a 2 a a 4a 4a a
a a 4a 2a a
a a 2a a
a a 2 a a 1, 1 2
2
n 1
n 1
2
n 1
2
n
n 1 n
2
n 1
n 1
2
n
2
n 1
n 2
2
n 1
2
n
n 1
2
n 1
n 1
2
n 1
nach Folgendefinition
n
n 1 n
n 1 n
2
n
n
n 1
nach Induktionsvoraussetzung
Man kann nun leicht weitere Zahlentripel ausrechnen:
a
20
119
696
4059
23660
137903
803760
4684659
27304196
159140519
a 1
21
120
697
4060
23661
137904
803761
4684660
27304197
159140520
c
29
169
985
5741
33461
195025
1136689
6625109
38613965
225058681
Auch Prof. Dr. Brecht aus Itzehoe zeigte in einer Zuschrift an den Aufgabensteller,
Herrn Sievert aus Bornheim, dass es unendlich viele Zahlentripel der gesuchten Form
gibt.
Problem 2:
Gesucht ist ein Rechteck mit der Eigenschaft, dass die Längen a, b, c und d natürliche
Zahlen sind.
D
a
A
C
c
d
b
M
b
B
Hier soll M der Mittelpunkt der Strecke AB sein.
Wir vermuten, dass es sein solches Rechteck nicht gibt. Wer weiß Genaueres?
(Christoph Sievert, Bornheim)
Hierzu sind bislang keine Lösungsvorschläge eingegangen. Die Aufgabe sei daher weiterhin zur Bearbeitung empfohlen.
31
MONOID 79
Erste Schritte in die Fraktale Geometrie
von Hartwig Fuchs
Die Fraktale Geometrie ist ein junger, blühender Zweig am alten Baum der Mathematik. Ihre Gegenstände – sie heißen Fraktale – sind durchweg ungewöhnliche Gebilde
mit merkwürdigen, für die Anschauung oft paradox anmutenden Eigenschaften. Hinzu kommt: Sie sind aus unendlich vielen, einander ähnlichen Einzelteilen aufgebaut,
so dass sie als geometrische Figuren nur bruchstückhaft durch gewisse Vorstufen
graphisch beschreibbar sind – allerdings sind auch diese Vorstufen häufig bereits aus
so vielen Bausteinen zusammengesetzt, dass man bei ihrer Darstellung nur noch mit
Computertechnik zum Ziel kommt. In diese fremdartig-bizarre und zugleich faszinierende Geometrie wollen wir nun eine Exkursion unternehmen, die uns von sogenannten
kaskaden-iterierten Konstruktionen ermöglicht wird.
Kaskaden-Iteration einer Konstruktion
Viele geometrische Konstruktionen können an einer vorgegebenen Figur nur ein einziges Mal ausgeführt werden.
Beispiel: Die Konstruktion des Mittelpunkts einer gegebenen Strecke ist eine einmalige
Angelegenheit.
Manchmal aber ist eine bestimmte Konstruktion an einer Figur mehrfach wiederholbar.
Beispiel: Zur Veranschaulichung des Satzes von Pythagoc2“ wird die Konstruktion eines Quadrats
ras a2 b2
”
über einer Seite des rechtwinkligen Dreiecks dreimal vorgenommen.
Wir sagen in diesem Fall: die Konstruktion des Quadrats
wird dreimal iteriert.
c2
b2
a2
Für die fraktale Geometrie ist es nun entscheidend, dass es auch Konstruktionen gibt,
die an bestimmten Figuren beliebig oft wiederholbar sind. Solche unbeschränkte Iterationen können nach verschiedenen Mustern ablaufen – wir werden hier zwei dieser
Muster beschreiben.
B1
g2
B2
B3
Beispiel (unbeschränkte lineare Iteration): Die paralg1 sind
lelen Geraden g1 und g2 und ein Punkt A
gegeben. Von A1 aus wird das Dreieck A1 B1 A2 konstruiert (Konstruktion E). Man wiederholt E von A 2 aus
und erhält das Dreieck A2 B2 A3 ; von A3 aus wiederholt
man E und so beliebig oft weiter.
g1
α
α
A1
A2
α
A3
A4
Man erhält so ein unbeschränkt langes Band mit nach rechts laufendem Zickzackmuster.
E
A1
E
A2
E
A3
Eine Kette von beliebig oft nacheinander
. . . ausführbaren Konstruktionen E nennen wir eine
unbeschränkte lineare Iteration von E.
Das lateinische Wort fractus (zerbrochen) erlaubt die freie Übersetzung fraktal = bruchstückhaft,
zersplittert.
MONOID 79
32
B2
A2
B3
A1
A3
Beispiel (unbeschränkte verzweigte Iteration):
Ein Kreis mit einbeschriebenem regelmäßigen
Dreieck A1 A2 A3 ist gegeben.
Der Schnittpunkt B1 der Mittelsenkrechten der
Sehne A1 A2 mit dem Kreis wird konstruiert und
dann mit A1 und A2 verbunden (Konstruktion
B1 E). Wiederholt man E für die Sehnen A2 A3 und
A3 A1 , dann ergibt sich ein regelmäßiges Sechseck; nun führt man E sechsmal am Sechseck
aus, danach 12-mal am Zwölfeck usw.
Man erhält so eine beliebig lange Folge aus
konzentrischen regelmäßigen 3 2n -Ecken, n
0, 1, 2, . . . mit dem gleichen Umkreis.
E
E
Dreieck
E
E
E
Sechseck
E
E
E
Zwölf...
eck
E
Eine Kette von beliebig oft nacheinander ausführbaren Bündeln aus Konstruktionen E nennen wir eine unbeschränkte verzweigte Iteration von E.
Wenn dann noch die Anzahl der Konstruktionen E von Bündel zu Bündel um den gleichen Faktor ansteigt – im Beispiel verdoppelt sich jeweils diese Anzahl –, dann sprechen wir von einer Kaskaden-Iteration von E.
Konstruktion eines Fraktals
Unsere Konstruktion eines Fraktals nimmt ihren Ausgang von einer vorgegebenen
Figur E0 (Startfigur). Durch eine Konstruktion E und deren Kaskaden-Iteration wird E 0
schrittweise in Figuren E1 , E2 , E3 , . . . umgebaut – und die Endfigur dieses Prozesses
ist dann ein Fraktal .
Die Konstruktion E, mit der wir aus E 0 eine Folge E1 , E2 , E3 , . . . von Figuren erzeugen
wollen, wird von einem der folgenden Typen sein:
Ergänzungskonstruktion: Der Figur E n , n 0, 1, 2, . . ., werden geometrische Elemente Gn hinzugefügt. Damit sind dann in allen Figuren E n 1 , En 2 , . . . und im Fraktal
jede Figur E0 , E1 , . . . , En als Teilfigur enthalten.
0, 1, 2, . . .,
Ersetzungskonstruktion: Bestimmte Komponenten in der Figur E n , n
werden gegen geometrische Elemente Gn ausgetauscht. Dann ist i.a. weder in
einer der Figuren En 1 , En 2 , . . . noch im Fraktal eine der Figuren E 0 , E1 , . . . , En
als Teilfigur enthalten.
Die Elemente G0 , G1 , G2 , . . . stellen offenbar wesentliche Bausteine für unsere beabsichtigten Konstruktionen von Fraktalen dar. Wie sind sie definiert?
G0 ist unter gewissen Einschränkungen wählbar. Von den anderen Elementen G1 , G2 ,
G3 , . . . verlangen wir, dass sie alle verkleinerte Abbilder von G0 sind, und es soll für sie
gelten – wenn k eine Zahl mit 0 k 1 ist: G1
kG0 , G2
kG1 , G3
kG2 , . . ., also
G1 kG0 , G2 k2 G0 , G3 k3 G0 , . . .
Diese Vorgehensweise stellt natürlich nur eine – und dazu noch eine stark eingeschränkte – Möglichkeit zum Erzeugen von Fraktalen dar. Wir werden ihre abstrakten
und auch vagen Festlegungen nun an Beispielen veranschaulichen und präzisieren.
33
MONOID 79
Ein fraktales Fabeltier
(Ergänzungskonstruktion)
Zwei gleich lange Strecken, die einen Winkel von z.B. 150
bilden, sind als Startfigur F0 gegeben.
Ein mit dem Faktor k, k 1, verkleinertes Abbild von F0
1
2
dient als Generator G0 (z.B. k
oder k
).
2
3
Alle anderen Konstruktionselemente G1 , G2 , G3 , . . . seien G0
1
):
ähnlich, und es gelte (mit k
2
1
1
1
G
,
G
G
,
G
G
,
. . . oder
G1
2
3
2 0
2 1
2 2
1
1
1
G1
G , G2
G , G3
G ,...
2 0
4 0
8 0
Konstruktion F: An einem freien Endpunkt P einer Strecke
in Fn , n
0, wird das Element Gn so angefügt, dass die
dann in P zusammenstoßenden drei Strecken die Winkel
105 , 150 , 105 bilden.
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Startfigur F0
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Generator G0
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Figur F1
Führen wir nun F mit dem Generator G0 zweimal an der Startfigur F0 aus, so erhalten
wir die Figur F1 , an F1 fügen wir G1 viermal an – das Ergebnis ist F2 ; aus F2 ergibt sich
F3 durch 8-maliges Anfügen von G2 , usw.
Man sieht: Wenn man so weiter konstruiert, dann befinden wir uns in einem Prozess
der Kaskaden-Iteration von F, als dessen Endfigur ein Fraktal – unser fraktales Fabeltier – zu denken ist, von dem uns schon seine frühen Vorstufen (z.B. F3 , F4 ) eine gute
Vorstellung vermitteln können.
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Figur F2
Figur F3
Figur F4
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Figur F7
Eine unerwartete Eigenschaft des fraktalen Fabeltiers : Die Gesamtlänge aller in
vorkommenden Strecken ist unendlich groß.
Beweis: Die Länge einer Strecke der Startfigur F0 sei a. Bezeichnen wir die Gesamtlänge
aller Strecken in den Figuren Fn , Gn , n 0, mit Fn , Gn , dann gilt:
Fn
Wegen F0
Fn
Für n
2
2 G0
F0
4 G1
2a und G0
2a
2 a
gilt Fn
MONOID 79
4
2
...
a, G1
1
a
2
8
1
a
4
2 n Gn
1
a,
2
G2
...
1
.
1
a, . . .
4
2n
1
2n 1
, Gn
a
, woraus die Behauptung folgt.
34
n
1
1
2n
1
1
a ist also
2a.
Eine fraktale..... Schneeflocke (Ersetzungskonstruktion)
. ..
... .....
Ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge a ist Startfigur
...
...
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.. ..
...
..
...
...
K0 für die beabsichtigten Konstruktionen K. Als Genera.. ..
...
..
...
...
...
.. ..
...
tor G0 verwenden wir einen Streckenzug, dessen 4 Teil.
...
..
...
...
...
...
...
.. ..
...
strecken die Länge 31 a haben und dessen 3 inneren Punk...
...
...
.. ..
...
..
...
te ein gleichseitiges Dreieck bilden (vgl. die Abb.). Alle bei
...
...
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...
...
.. ..
...
.. .
...
der Kaskaden-Iteration von K auftretenden Konstruktions..
...
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.
elemente
G1 , G2 , G3 , . . . sind G0 ähnlich, und es soll gelten:
.
. ..........................................................................................................................................................................
1
1
1
G1
G , G2
G , G3
G ,...
Startfigur K0
3 0
9 0
27 0
0, ersetzen wir
Konstruktion K: Eine Strecke aus Kn , n
samt
ihren
Endpunkten
durch
G
und
zwar
so, dass die
n
...........................................................
..........................................................
...
...
...
.. ..
Spitze“ von Gn nach außen“ zeigt. Die Kaskaden-Iteration
...
..
...
...
”
”
...
...
...
...
.. ..
von K, bestehend bei K0 aus 3, bei K1 aus 4 3, bei K2 aus
... ..
... ...
..
42 3,. . . Konstruktionen K führt von K0 zu K1 , von K1 zu K2 ,
Generator G0
von K2 zu K3 , . . . (vgl. die folgenden Figuren).
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Figur K1
Figur K2
Figur K3
Schon nach wenigen Iterationsschritten erhält man eine gute Näherungsdarstellung
– die nach ihrem Entdecker, dem dänischen Mathemader fraktalen Schneeflocke
tiker Helge von Koch (1870-1924), auch eine Koch-Kurve genannt wird (deswegen
unsere Bezeichnung ).
Ähnlich wie das fraktale Fabeltier hat die Koch-Kurve
eine überraschende Eigenschaft: Obgleich die Koch-Kurve
ein Gebiet endlicher Größe einschließt, ist ihre
Länge unendlich groß.
Beweis:
Für die Vorstufen Kn , n 1, der Koch-Kurve gilt, wenn a die Seitenlänge von K0 ist:
Jede der 4 3 Strecken von K1 hat die Länge 13 a,. . . , und jede der 4n 3 Strecken von
Kn hat die Länge 31n a.
Somit ist für die Gesamtlänge Kn aller Strecken aus Kn , n 0:
Kn
Für n
2
4
1
3 na
3
n
gilt 43
n
2
3
4
3
n
a.
2
und daher Kn
, woraus die Behauptung folgt.
Im nächsten Heft folgen unter der Frage
Kann ein Cantor-Staub auf einem Sierpinski-Teppich liegen?
weitere Schritte in die Fraktale Geometrie.
35
MONOID 79
Vorsicht vor zu schnellen
Verallgemeinerungen
Irrtümer bei der Suche nach Gesetzmäßigkeiten
von Hartwig Fuchs
Ein Bildungsgesetz für Primzahlen?
Man setze links vor die Zahl 1 die Ziffer 3 – es ergibt sich die Zahl 31; links vor die Zahl
31 schreibe man ebenfalls eine Ziffer 3 – man erhält 331; ebenso verfahre man mit 331,
usw. Die Zahlen der Folge
(1)
31, 331, 3331, 33331, . . .
entstehen also der Reihe nach durch den fortlaufend wiederholten gleichen Prozess
des Voranstellens einer Ziffer 3. Damit stellt sich die Frage, ob sich auf diese Weise
Eigenschaften des erste Folgenelements 31 auf alle weiteren Folgenglieder vererben“.
”
31 ist ungerade. Also sind offensichtlich alle weiteren Glieder der Folge (1) ungerade.
31 ist von der Form 6n 1. Nun ist 331
300 31 und, da 300 ein Vielfaches
von 6 ist, gilt: 331 ist auch von der Form 6n 1; usw. Tatsächlich sind alle Zahlen
der Folge (1) von der Form 6n 1.
31 ist eine Primzahl. Auch 331 ist eine Primzahl, was man z.B. so überprüfen
kann: Für alle Primzahlen p
331, also p
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, zeigt man,
dass sie keine Teiler von 331 sind. Schwieriger wird der Nachweis der PrimzahlEigenschaft von 3331, weil jetzt alle Primzahlen p
3331, also p
57, als
Teiler von 3331 auszuschließen sind.
Mit wachsendem rechnerischen Aufwand lässt sich zeigen, dass auch die nächsten vier Zahlen der Folge (1), nämlich 33331, 333331, 3333331, 33333331 Primzahlen sind. Damit deutet sich das Bestehen einer Gesetzmäßigkeit an:
Alle Elemente der Folge (1) sind Primzahlen.
(2)
Gibt man sich mit dieser beobachteten Gesetzmäßigkeit zufrieden, dann befindet man
sich in einem höchst gefährlichen Terrain – die entdeckte Eigenschaft könnten ja zufällig
nur die ersten“ Elemente einer umfassenderen Menge, keineswegs aber alle Elemen”
te dieser Menge besitzen. Wenn man nun aber allen Elementen die gefundene Eigenschaft zuspricht, dann hat man eine unzulässige Verallgemeinerung getroffen – die
sogar in vielen Fällen einen Fehlschluss darstellt.
So ist etwa die Verallgemeinerung (2) des obigen Beispiels falsch. Für die achte Zahl
der Folge (1) ist nämlich 333333331 17 19607843.
Auch die nächsten acht Zahlen der Form 3 . . . 31 sind keine Primzahlen, so dass sich
der (voreilige) Schluss aufdrängt, dass es mit der Primzahleigenschaft vorbei sei. Gefehlt! Die Nummer 17, also
33 .. . 33
1,
17 Dreien
ist wieder eine Primzahl. Danach erhält man lange Zeit keine Primzahl mehr. Erhält
man überhaupt noch einmal eine?
MONOID 79
36
Wir sind mit voreiligen Schlüssen, die einem mathematisch wenig Erfahrenen schon
mal passieren können, vorsichtig geworden.
Es folgen weitere Beispiele, die vor leichtsinnigen Verallgemeinerungen warnen. In einem Beispiel werden wir sehen, dass auch große Mathematiker wie Euler hereinfallen
können. Kein Beweis ist eben durch noch so großes Zahlenmaterial zu ersetzen!
Perfekte Zahlen im Mittelalter
Eine natürliche Zahl n heißt vollkommen oder perfekt – kurz: eine p-Zahl –, wenn gilt:
Die Summe der echten Teiler von n stimmt überein mit n.
Beispiel: 496 ist eine p-Zahl, denn die Summe ihrer echten Teiler
1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 ist 496.
Im Mittelalter waren nur fünf p-Zahlen bekannt:
(3)
6, 28, 496, 8128 und 33550336.
Den damaligen Mathematiker-Theologen war ein Ausspruch des bedeutenden Kirchenlehrers Augustin (354-430) ein dauernder Ansporn, die kurze Liste (3) zu ver”
vollkommnen“, d.h. sie auf 6 Zahlen zu erweitern, denn Augustin hatte geschrieben:
Gott hat die Welt in 6 Tagen erschaffen, weil 6 eine vollkommene Zahl ist.
Weil sie aber trotz intensiver Bemühung keine weiteren p-Zahlen fanden, wollten sie
künftigen Suchern“ als Hilfe wenigstens eine Richtung vorgeben. Dazu leiteten“ sie
”
”
aus der äußerst schmalen Datenbasis (3) ab, dass gilt:
(4)
Die p-Zahlen enden im Wechsel mit den Ziffern 6 und 8.
Diese Verallgemeinerung einer Eigenschaft der fünf p-Zahlen (3) ist falsch. Die sechste
p-Zahl 8589869056 – gefunden von Cataldi im Jahr 1588 – widerlegt (4).
Tatsächlich gilt: Die p-Zahlen enden mit der Ziffer 6 oder 8.
Ein Zahlenrennen
Jede natürliche Zahl n 1 ist entweder eine Primzahl oder ein Produkt aus eindeutig
bestimmten Primzahlen, also n
p 1 p2
pt mit p1 , p2 , . . . , pt Primzahlen, t
1 (für
t 1 ist n p1 ).
n heißt von geradem Typ, wenn n ein Produkt aus geradzahlig vielen Primzahlen ist;
sonst heißt n von ungeradem Typ.
Beispiel: 2003 ist von ungeradem Typ, weil 2003 eine Primzahl ist;
2004 2 2 7 11 13 ist von ungeradem Typ;
2005 5 401 ist von geradem Typ, weil genau zwei Primteiler auftreten.
Im Jahre 1919 bestimmte der ungarische Mathematiker G. Pólya für jedes n, n
1, 2, 3, . . . , 1500, die Anzahl G n aller Zahlen geraden Typs sowie auch die Anzahl
U n der Zahlen ungeraden Typs, die es von 2 bis einschließlich n gibt; seine ersten
Ergebnisse sahen so aus:
n
Typ von n
G n
U n
2
u
0
1
3
u
0
2
4
g
1
2
5
u
1
3
6
g
2
3
7
u
2
4
8
u
2
5
9 10 11 12 13 14 15 16
g g u u u g g g
3 4 4 4 4 5 6 7
5 5 6 7 8 8 8 8
Er fand für jedes n
1, 2, 3, . . . , 1500, dass U n stets einen Vorsprung vor G n
hat, d.h. dass U n
G n gilt. Diesen Befund verallgemeinerte er zu der Vermutung, von deren Richtigkeit er viele Jahre überzeugt war: Für jedes n
1, 2, 3, . . . gilt
37
MONOID 79
U n
G n .
Das später für immer größere n berechnete Zahlenmaterial stützte zunächst Pólyas
Vermutung. Erst mit dem Aufkommen des Computers fand der Amerikaner Lehmann
1960 eine Zahl n, bei der das Rennen zwischen G n und U n erstmals wieder unentschieden ist: für n
906180357 gilt G n
U n . Damit war Pólyas Vermutung
widerlegt.
Eulers Irrtum
Auch große Mathematiker können schon mal von umfangreichem Datenmaterial zu
unzulässigen Verallgemeinerungen verleitet werden. L. Euler (1707-1783), der bedeutendste Mathematiker seiner Zeit, ein Rechenkünstler höchsten Grades, beobachtete,
2, stets als eine Summe von t natürlichen
dass sich jede natürliche Potenz y n , n
Potenzen xn1 , xn2 , . . . , xnt schreiben lässt, wobei aber stets t n ist.
Beispiel: 102 82 62
103 93 63 33 33 13
104 84 84 64 44 44 .
Wie aus schriftlichen Äußerungen Eulers zu entnehmen ist, war er auf Grund einer
von ihm berechneten sehr umfangreichen Datenmenge sicher, dass seine verallgemeinernde Schlussfolgerung daraus gelte, er sie aber nicht beweisen könne:
(5) Die Gleichung yn xn1 xn2 . . . xnt hat für kein n 2 eine Lösung mit natürlichen
Zahlen x1 , x2 , . . . , xt , falls x1
y und t n ist.
Ein Beispiel, das Euler entgangen war und das (5) widerlegt, wurde mit einem Computer gefunden:
1445
61 917 364 224
133 5
1105
845
275 .
Eine immer unzulässige Verallgemeinerung
Wer ist nicht schon einmal einer Frage begegnet wie dieser: Wie heißt das nächste
Element in der Folge, deren Anfang lautet:
(6)
2, 4, 8, 16, 32 ?
Die Aufgabenstellung erwartet von uns zunächst eine Verallgemeinerung, bei der wir
von der endlichen Datenmenge (6) aus das Bildungsgesetz der Folge bestimmen –
worauf wir dann das gesuchte Element berechnen können. Aber ein derartiges Vorgehen ist unzulässig:
Einer endlichen Teilfolge kann man ohne zusätzliche Informationen nicht auf eindeutige Weise ein Bildungsgesetz zuordnen und sie so zu einer eindeutig bestimmten Folge
ergänzen.
Als Beispiel geben wir einige mögliche Verallgemeinerungen von (6) an.
(7) Es sei an 2n , n 1, 2, 3, . . . Die so definierte Folge besitzt das Anfangsstück (6),
und es gilt a6 64.
(8) Es sei bn
an n n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 3 1 2 3 4 5 6 , n
1, 2, 3, . . . Wieder ist (6) ein Anfangsstück der Folge (8). Aber nun ist b 6
65, also
b6 a6 : Die Folgen (7) und (8) sind verschieden.
1
(9) Es sei cn
an bn , n
1, 2, 3, . . . Offensichtlich ist (6) ein Anfangsstück von
2
1
(9), aber c6 64 2 , und die Folgen (7), (8)und (9) sind verschieden.
Man sieht: Die Aufgabe, aus einigen gegebenen Gliedern einer Folge deren Bildungsgesetz bzw. weitere Glieder zu bestimmen, ist i.a. nicht lösbar.
MONOID 79
38
Die bestmöglichen“ Dreiecke
”
von Carsten und Wolfgang Moldenhauer
Zur Lösung einer Geometrieaufgabe Gegeben sei ein Dreieck ABC. . . “ fertigt man
”
zumeist eine Skizze an. Das Dreieck wird gezeichnet. Doch es wird gleichseitig. Die
nächste Skizze zeigt ein gleichschenkliges. Ein weiterer Versuch ergibt ein rechtwinkliges – wieder ein Spezialfall. Es wirkt Murphys Gesetz: Wenn etwas schief gehen kann,
dann wird es auch schief gehen. (If anything can go wrong, it will.)
Aber: Welches ist denn nun das beste“ Dreieck?
”
Die Suche nach diesem bestmöglichen nicht-speziellen Dreieck basiert auf dem Grundsatz von G. Pólya: Die Figur darf nicht eine unangebrachte Spezialisierung nahe le”
gen.“ ([1])
Es seien α , β, γ die Innenwinkel eines spitzwinkligen Dreiecks mit (ohne Beschränkung
der Allgemeinheit) 90
α β γ . Dann misst 90
α die Differenz zu einem rechtwinkligen und α β bzw. β γ die Differenz zu einem gleichschenkligen bzw. gleichseitigen Dreieck. Es sei δ min 90
α , α β, β γ . Da δ den kleinsten Abstand zu
den Spezialfällen (rechtwinklig, gleichschenklig, gleichseitig) misst, unterscheidet sich
das Dreieck mit dem größten δ dann am meisten von den Spezialfällen.
Nun gilt für das gewichtete arithmetische Mittel der Differenzen 90
die Beziehung
α
3 90
β β γ 2α
6
α
270
β
γ
6
α, α
β, β
γ
15 .
Ist α 75 , β 60 , γ 45 , so gilt δ 15 . Gilt aber nicht α 75 , β 60 , γ 45 ,
so ist eine der drei genannten Differenzen nach dem Schubfachschluss kleiner als 15 .
Mithin:
α
Das bestmögliche nicht-spezielle spitzwinklige Dreieck hat die Innenwinkel α 75 , β 60 , γ 45 , und
es ist δ 15 .
γ
β
Auf dasselbe Ergebnis kommt auch Bernhard Tergan unter der Überschrift Das allge”
meine Dreieck“ ([2]).
Jetzt seien α , β, γ die Innenwinkel eines stumpfwinkligen Dreiecks mit (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) α 90
β γ 0 . Das Minimum der Differenzen α 90 ,
90
β, β γ , γ 0 (sie messen wieder die Abweichungen von den Spezialfällen)
muss wieder möglichst groß sein. Mit α
180
β γ ist α 90
90
β γ 90
β, so dass die Differenz 90
β nicht weiter einzubeziehen ist.
Für das gewichtete arithmetische Mittel der Differenzen α 90 , β γ , γ 0 gilt
α
90
β γ
4
2 γ
0
α
39
β
γ
4
90
22, 5 .
MONOID 79
Für α 112, 5 , β 45 , γ 22, 5 ist δ 22, 5 . Gilt aber nicht α 112, 5 , β 45 ,
γ
22, 5 , so ist eine der drei genannten Differenzen nach dem Schubfachschluss
kleiner als 22, 5 . Also gilt:
Das bestmögliche nicht-spezielle stumpfwinklige Dreieck hat die Innenwinkel α
112, 5 , β
45 , γ
22, 5 , und es ist
δ 22, 5 .
α
β
γ
Literatur:
[1]
Pólya, George: Schule des Denkens. A. Franke Verlag Tübingen und Basel, 4.
Aufl., 1995, S. 108
[2]
Wille, Friedrich: Humor in der Mathematik. Vandenhoeck & Ruprecht, 4. Aufl.,
1992, S. 99
[3] Hendriks, Björn, Schöbel, Konrad: Immer Ärger mit den Dreiecken. . . WURZEL,
Heft 9+10/02, S. 226-229
80 , β
60 , γ
40 mit dem Abstand δ
10 zu den Spe(Hier wird α
zialfällen (gleichseitig, rechtwinklig und gleichschenklig) und für stumpfwinklige
Dreiecke α
108 , β
54 , γ
18 mit δ
18 angegeben. Diese Werte
führen nicht auf das beste δ.)
Mitteilungen von Herausgeber und Redaktion
1. Das vorliegende MONOID-Heft (Nr. 79) ist das erste im Schuljahr 2004/05. Wer sein
Abonnement nach dem Schuljahr gerichtet hat und es im Schuljahr 2004/05 fortsetzen
möchte, sollte – falls dies nicht schon geschehen ist – an die rechtzeitige Überweisung
des Abo-Beitrages denken (8 EUR auf das Konto Nr. 505948018 bei der Mainzer Volksbank, BLZ 55190000). Die Punkte aus den Aufgaben dieses Heftes gehen bereits als
erste in die Bewertungsliste für die Preisvergabe 2005 ein.
2. Die Monoid-Feier 2004 mit der Vergabe von Preisen, insbesondere des Goldenen
M, findet am 27. November im Atrium ( Alte Mensa“) der Universität Mainz statt. Das
”
Programm sowie Hinweise zu Zeit und Ort werden rechtzeitig über die MONOID-Seiten
im Internet bekannt gegeben:
3. Wegen des späten Endes der Sommerferien in manchen Bundesländern (wie
Baden-Württemberg, Bayern) war der Abgabetermin für die Lösungen zu den Aufgaben aus Heft 78 auf den 15. September gelegt worden. Damit die Lösungen nicht zu
früh veröffentlicht werden, kann daher das vorliegende Heft 79 erst in der zweiten Septemberhälfte verschickt werden.
4. Dieses Heft enthält einen Artikel von Carsten Moldenhauer, Dresden, und Wolfgang Moldenhauer, Erfurt. Letzterer hat schon öfter MONOID mit Beiträgen unterstützt.
Ekkehard Kroll
MONOID 79
40
Rubrik der Löser und Löserinnen
(Stand: 30.06.2004)
Elisabeth-Langgässer-Gymnasium Alzey:
Kl. 5: Ramona Friedrich 9, Alexander Gerharz 12, Alexander Heiss 16,
Marina Matchtakova 3, Philipp Mayer 9, Daniel Schwind 16;
Kl. 6: Laura Brückbauer 14, Patrick Marx 13, Jaqueline Mechsner 7, Jonathan Peters
32, Arne Siefkes 6, Lisa Simon 58, Joscha Wagner 16, Benedikt Werner 4, Ozan Yilmaz 5, Julia Zech 34;
Kl. 7: Janina Braun 24, Dorothee Fister 6, Claudia Heiss 26, Johanna Mees 12, Vanessa Nagel 21, Sabine Oßwalt 33, Nastassja von der Weiden 13;
Kl. 8: Patricia Kastner 46, Johannes Merz 60;
Kl. 9: Markus Bassermann 54;
Kl. 12: Manuel Ross 49.
Karolinen-Gymnasium Frankenthal:
Kl. 5: Laura Mettler 49, Désirée Schalk 58, Johanna Stimm 6;
Kl. 7: Victoria Andreä 21, Felix Liebrich 72, Lisa Mettler 68, Richard Nixdorf 12, Nina
Rein 10, Konstantin Wüst 20, Rebecca Zimmer 15;
Kl. 9: Marc Rein 14.
Leibniz-Gymnasium Östringen (Betreuender Lehrer Klaus Ronellenfitsch):
Kl. 7: Thomas Geiß 89;
Kl. 10: Stefan Tran 85.
Jens Senger 18.
Altdorf, Gymnasium: Kl. 7: Marc Legradi 20;
Alzey, Gymnasium am Römerkastell:
Kl. 8: Christian Behrens 78, Martin Alexander Lange 62.
Ansbach, Gymnasium Carolinum:
Kl. 5: Sieglinde Holzknecht 7;
Kl. 9: Arnulf Holzknecht 7.
Bad Homburg: Kl. 9: Laura Biroth 70.
Bingen, Hildegardis-Gymnasium: Kl. 6: Katharina Kirsch 57.
Bingen, Stefan-George-Gymnasium: Kl. 8: Johann Kirsch 51.
Boppard, Kant-Gymnasium: Kl. 9: Thomas Klauer 10.
Calw-Stammheim,Maria von Linden-Gymnasium: Kl. 9: Michael Nothacker 12.
Duderstadt, Eichsfeld-Gymnasium: Kl. 12: Sebastian Gutknecht 17, Manuel M. 24.
Eiterfeld, Lichtbergschule (Betreuender Lehrer Wolfgang Jakob):
Kl. 5: Theresa Heil 6, Theresa Isert 8;
Kl. 7: Julia Gerk 12, Anne Gutberlet 29;
Kl. 8: Christian Münkel 39.
Eutin, Johann-Heinrich-Voß-Gymnasium: Kl. 12 Lars Imsdahl 58.
Ginsheim, IGS Mainspitze: Kl. 7 Jennifer Saul 20.
41
MONOID 79
Hadamar, Fürst-Johann-Ludwig-Gesamtschule
(Betreuende Lehrerin Frau Irmtrud Niederle):
Kl. 5: Anastasia Popova 1, Lea Schmitz 3;
Kl. 6: Corinna Dinges 23, Laura Herborn 4, Carolin Klein 22, Hannah Meilinger 26,
Tatjana Mendt 21, Katharina Schmidt 5, Andreas Weimer 27, Johannes Weimer 23;
Kl. 7: Theresa Becker 2, Marina Bernikowa 2, Sarah Bieser 3, Jonathan Bös 2, Vanessa Faber 2, Jonas Fischer 6, Andreas Foltyn 3, Josephine Jordan 5, Alessandra
Kremer 1, Cathrin Reusch 3, Andre Schardt 4, Adrian Schmidt 1, Lara Schneider 5,
Simon Theis 1, Christian Wappler 2;
Kl. 9: Lena Bertram 3, Carina Czarnrtzki 2, Julia Dick 1, Theresa Krischke 11, Marcus
Weidenfeller 5, Jonas Weyer 5.
Halberstadt: Kl. 7: Robert Hesse 44.
Halle, Georg-Cantor-Gymnasium: Kl. 7: Christoph Tietz 22.
Heidelberg, Englisches Institut: Nadia Rauh 12.
Kairo, Deutsche Schule der Borromäerinnen
(Betreuende Lehrer: Gerd Weber, Christoph Straub):
Kl. 6: Karin Emil 53, Marina Morad 63;
Kl. 8: Alia el Bolock 47, Nadia Abou Shadi 31;
Kl. 9: Lauren Emil 47, Nadine Issa 42, Mariette Michael 10, Mireille Micher 19, Miriam
Morad 50, Iman Tarek 20.
Kelkheim/Taunus, Eichendorffschule
(Betreuende Lehrer Herr Marsen, Herr Ackermann):
Kl. 8: Isabell Peyman 21, Sonja Sauckel-Plock 16, Viola Sommer 4.
Koblenz, Max-von-Laue-Gymnasium: Kl. 6: Marius Rackwitz 3.
Landau, Max-Sievogt-Gymnasium: Kl. 10: Christina Flörsch 8.
Laufen, Rottmayr-Gymnasium: Kl. 9: Maximilian Mühlbacher 17.
Ludwigshafen, Geschwister Scholl-Gymnasium:
Kl. 8: Katharina Kober 37;
Kl. 9: Christoph Karg 15;
Kl. 10: Claudia Mack 42, Judith Reinhardt 53, Jonas Weber 7.
Magdeburg, Werner-von-Siemens-Gymnasium: Kl. 9: Sebastian Schulz 15.
Mainz, Rabanus-Maurus-Gymnasium: Kl. 7: Christopher Ölmüller 5.
Mainz, Schlossgymnasium: Kl. 13: Stephan Holzer 85.
Mannheim, Peter-Petersen-Gymnasium
(Betreuender Lehrer Herr Wittekindt):
Kl. 8: Maike Bäcker 32, Natalie Geiß 22, Michaela Schuster 9, Helena Schweizer 9.
Marktoberdorf, Gymnasium: Kl. 6: Florian Schweiger 27.
München, Maria-Theresia-Gymnasium: Kl. 10: Robert Siemering 26.
Neuss, Gymnasium Marienberg
(Betreuende Lehrerin Frau Cordula Langkamp):
Kl. 5: Claudia Däschner 10, Kirsten Hubert 14, Vivien Kohlhaas 45, Lea Krause 8, Nora
Mollner 32, Daria Schymczyk 4;
Kl. 6: Madeline Kohlhaas 56;
Kl. 7: Hannah Rautenberg 19;
MONOID 79
42
Kl. 8: Annika Kohlhaas 56, Miriam Menzel 68;
Kl. 9: Anika Sonnenberg 22, Stefanie Tiemann 115.
Neustadt a. d. W., Kurfürst-Ruprecht-Gymnasium
(Betreuende Lehrerin Frau Hanna Jöhlinger):
Kl. 8: Martin Jöhlinger 57.
Nürnberg: Marion Heublein 19.
Oberusel
(Betreuende Lehrer/in Frau Beitlich, Frau Elze und Herr Bielefeld):
Kl. 5: Hannah Braun 7, Philipp Kalte 5;
Kl. 6: Larissa Habbel 28, Patricia Kuther 11, Patricia Limpert 19, Sarah Rosengarten
24, Katrin Schlemm 21, Viktoria Schreiber 8, Sophia Waldvogel 21, Valentin Walther 3;
Kl. 7: Annkatrin Weber 87, Mirella Rechinti 1;
Kl. 9: Sebastian Eckart 20;
Kl. 10: Simon Bats 33.
Remagen, Gymnasium Nonnenwerth
(Betreuender Lehrer Herr Meixner):
Kl. 5: Philip Dahnen 8 , Matthias Monschau 21, Jan Radermacher 4;
Kl. 6: Michael Monschau 5, Felix Schmitt 12;
Kl. 7: Keven Runge 12, Tobias Wallek 23;
Kl. 10: Dominik Schellberg 4, Paul W. Schnabel 4.
Siegburg, Anno-Gymnasium
(Betreuende Lehrerin Frau Hachtel):
Kl. 8: Franziska Groß 4;
Kl. 10: Jan B. Boscheinen 54.
Speyer, Friedrich-Magnus-Schwerd Gymnasium
(Betreuender Lehrer Herr Karmann):
Kl. 7: Melanie Zickgraf 12.
Speyer, Kolleg: Kl. 12: Tina Hartmann 6.
Stendal, Winckelmann-Gymnasium: Kl. 5: Alexander Rettkowski 29.
St. Goarshausen, Wilhelm-Hofmann-Gymnasium: Kl. 7: Julia Koch 11.
Tegernsee, Gymnasium: Kl. 9: Juliane Oberwieser 18.
Weisenheim am Berg, Regionale Schule: Kl. 7: Marc Andre Biehl 7.
Weiterstadt: Kl. 3: Alexandra Einicke 9.
Winnweiler, Wilhelm-Erb-Gymnasium
(Betreuender Lehrer Herr Kuntz):
Kl. 6: Geraldine Arning 6, Sarah Breunich 8, Lisa Engel 18, Julia Krebs 9, Louisa Linn
6, Carolin Roßbach 9, Lisa Schwarz 8, Philipp Thau 12;
Kl. 7: Kurosch Habibi 13;
Kl. 8: Julia Jung 25, Sarah Tröbs 46;
Kl.11: Verena Prägert 52.
Wittlich, Peter-Wust-Gymnasium: Kl. 8: Charlotte Capitain 59.
Gymnasium Wolfen-Stadt: Kl. 13: Martin Radloff 13.
Worms, Eleonoren-Gymnasium: Kl. 7: Moritz Maurer 33.
43
MONOID 79
MONOID
Jahrgang 24
Heft 79
September 2004
Inhalt
An die Le(ö)ser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Martin Mettler: Eine Summenformel . . . . . . . . . . . . . . . . .
Martin Mettler: Über Summen und das Symbol
. . . . . . . . . . .
Hartwig Fuchs: Hättest Du es gewusst? Was ist das Napoléonische
Dreieck? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hartwig Fuchs: Das Dürer-Quadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mathematische Lese-Ecke – Lesetipps zur Mathematik . . . . . . . . .
Mathis machen mathematische Entdeckungen . . . . . . . . . . . . .
Die Seite für den Computer-Fan . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösungen der Mathespielereien aus dem MONOID 78 . . . . . . . . .
Neue Mathespielereien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Neue Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gelöste Aufgaben aus dem MONOID 78 . . . . . . . . . . . . . . .
Wer forscht mit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hartwig Fuchs: Erste Schritte in die Fraktale Geometrie . . . . . . . . .
Hartwig Fuchs: Vorsicht vor zu schnellen Verallgemeinerungen. . . . . .
Carsten und Wolfgang Moldenhauer: Die bestmöglichen“ Dreiecke. . . .
”
Mitteilungen von Herausgeber und Redaktion . . . . . . . . . . . . .
Rubrik der Löser(innen)/ Stand 30.06.2004 . . . . . . . . . . . . . .
2
3
4
7
9
13
14
16
17
21
23
24
30
32
36
39
40
41
Die Redaktion
Leitung: Dr. Ekkehard Kroll, Südring 106, 55128 Mainz
Mitglieder: Dr. Valentin Blomer, Prof. Wolfgang J. Bühler Ph. D., Dr. Hartwig
Fuchs, Arthur Köpps, Wolfgang Kraft, Dr.Volker Priebe, Helmut Ramser,
Prof. Dr. Duco van Straten, Dr. Siegfried Weber
Ehrenmitglied: Martin Mettler
Monoidaner: Markus Bassermann, Gregor Dschung, Johannes Fiebig, Patricia
Kastner, Felix Liebrich, Johannes Merz, Manuel Ross und Rebecca Zimmer
Korrekturen und Layout: Jens Mandavid
Internet: Oliver Labs
Betreuung der Abonnements: Fachbereich Mathematik und Informatik der
Universität Mainz. Ein Jahresabonnement kostet 8 Euro (4 Ausgaben/Jahr inkl.
Porto), im Voraus auf das Konto Nr. 505948018 bei der Mainzer Volksbank, BLZ
55190000, Stichwort ’MONOID’, Adresse nicht vergessen.
Herausgeber: Fachbereich Mathematik und Informatik der Johannes GutenbergUniversität mit Unterstützung durch den Verein der Freunde der Mathematik an
der Universität Mainz und durch folgende Schulen:
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Karolinen-Gymnasium Frankenthal,
Leibniz-Gymnasium Östringen.
Anschrift:
e-Mail:
Homepage:
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55099 Mainz; Tel. 06131/39-22339 oder -26107; Fax -24389
A