Übungen zur Vorlesung Analysis III Blatt 4

Prof. Dr. Anna Dall'Acqua
Dr. Kim-Hang Le
WS 2016
Total point: 16+2*
Übungen zur Vorlesung Analysis III
(Abgabe und Besprechung: 16.01, H12)
Blatt 4
0. (i) In diesem Blatt bezeichnen wir mit G ein nichtleer beschränktes Gebiet
mit C 1 -Rand,
G ⊂ Rn , und mit ν = ν 1 , ..., ν n äuÿerer Einheitsnormalen ν = ν 1 , ..., ν n : ∂G → Sn−1 .
(ii) Der Laplace Operator 4 ist deniert als die Abbildung
4 : C 2 (G) → C (G) , f 7→ 4f :=
Xn
i=1
∂2
f.
∂x2i
1. Zeige, dass
(a) für f, g ∈ C 1 G gilt:
Z
f (x)
G
∂g
(x) dx =
∂xi
Z
f (x) g (x) ν i (x) dx −
Z
∂G
g (x)
G
∂f
(x) dx, i = 1, ..., n, (1)
∂xi
dies kann wie folgt beschrieben werden:
Z
Z
Z
f gν dS −
f ∇g dx =
g∇f dx,
G
∂G
G
(b) für f ∈ C 1 G und g ∈ C 2 G gilt:
Z
Z
(f (x) 4g (x) + h∇f (x) , ∇g (x)i) dx =
f (x)
∂G
G
∂g
(x) dS (x) ,
∂ν
(2)
∂g
∂g
die Richtungsableitung von g in Richtung des Vektors ν ist, d.h.
=
∂ν
∂ν
n
P i ∂g
ν
. Die Gleichung (2) heiÿt die erste Greensche Identität,
∂xi
i=1
(c) für f, g ∈ C 2 G gilt:
Z
Z ∂f
∂g
(g (x) 4f (x) − f (x) 4g (x)) dx =
g (x)
(x) − f (x)
(x) dS (x) .
∂ν
∂ν
G
∂G
wobei
Diese Gleichung heiÿt die zweite Greensche Identität.
2. Zeige die Poincaré-Ungleichung:
Es bezeichne diam (G) := sup {|x − y| : x, y ∈ G}. Dann existiert eine positive Konstante C
nur in Abhängigkeit von n und diam (G), so dass für alle Funktionen u ∈ C 1 G , welche auf
∂G verschwinden, gilt:
Z
kukL2 (G) :=
2
1/2
|u| dx
Z
≤C
G
2
1/2
|∇u| dx
G
=: C k∇ukL2 (G) .
Hinweis
: Verwende
R
R 2 (1) und die Cauchy-Schwarzschen Ungleichung mit der Bemerkung, dass
2
1
|u|
dx
=
n G u divϕ dx, wobei ϕ die Identität auf G ist.
G
3. Es sei λ ∈ R.
(a) Zeige, dass falls die folgende partielle Dierentialgleichung
−4u = λu in G,
u = 0 auf ∂G,
eine nichttriviale Lösung
u ∈ C 2 G hat, dann λ > 0 gilt.
R 2
Hinweis: Betrachte λ G u dx und verwende (2).
1
http://www.uni-ulm.de/mawi/analysis/lehre/veranstaltungen/ws20160/analysis-3/
(3)
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Dr. Kim-Hang Le
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(b) Ist die obige Aussage in (a) richtig für das folgende Problem ?
−4u = λu in G,
∂u
auf ∂G.
∂v = 0
(c) Seien f : G → R und g : ∂G → R. Zeige, dass falls das Problem
−4u = f in G,
u = g auf ∂G,
eine Lösung u ∈ C 2 G hat, dann ist u eindeutig.
(d*) Es sei σ (−4) := λ ∈ R : das Problem (3) hat eine nichttriviale Lösung u ∈ C 2 G .
Zeige, dass inf σ (−4) > 0.
4. Es seien a, b ∈ R und 0 < a < b . Bezeichne C ([a, b] , C) den Raum der stetigen, komplexwertigen Funktionen auf [a, b], Deniere die Abbildung h·, ·i auf dem Raum C ([a, b] , C)
durch
Z b
hf, gi :=
f (x) g (x) dx for f, g ∈ C ([a, b] , C) .
a
Zeige, dass
(a) h·, ·i ein Skalarprodukt auf C ([a, b] , C) ist,
(b) x →
7 ϕk (x) = ck eikx k∈Z für geeignete Konstanten ck ∈ C ein Orthonormalsystem auf
dem Raum C([0, 2π], C), h·, ·i bildet. Bestimme diese ck ,
(c) falls f =
n
P
αk ϕk für αk ∈ C ∀k , dann existieren die komplexen Zahlen a0 , a1 , a2 , ..., an
k=−n
und b1 , b2 , ..., bn , so dass für alle x ∈ [0, 2π] gilt:
n
a0 X
+
ak cos (kx) + bk sin (kx) .
f (x) =
2
k=1
Frohe Festtage!
und
Alles Gute zum neuen Jahr!
2
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