¨Ubungen zur Finanzmathematik I

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Prof. Dr. Peter Friz
Dr. Christian Bayer
Übungen zur Finanzmathematik I
1. Aufgabenblatt vom 16. Oktober 2009
Aufgabe 1. (10 Punkte)
Es sei ein Marktmodell mit einer risikolosen Anlage und zwei Aktien gegeben. Der Preisvektor hat die Gestalt
π = (5, 24). Zum Zeitpunkt 1 gibt es zwei Szenarien ω1 , ω2 , die jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/2 auftreten.
Es gilt S(ω1 ) = (4, 16), S(ω2 ) = (10, 32) und r = 0, 1. Man überprüfe, ob dieses Modell arbitragefrei ist. Falls
nicht, gebe man eine Arbitragestrategie an und berechne einen alternativen Preisvektor e
π, so dass der Markt
arbitragefrei ist.
Aufgabe 2. (10 Punkte)
Bei einem Pferderennen treten zwei Pferde gegeneinander an. Aus Erfahrung schätzt ein Buchmacher, dass
Pferd 1 mit Wahrscheinlichkeit p = 0, 75 gewinnen wird (und Pferd 2 mit Wahrscheinlichkeit 0, 25). Der
Buchmacher bietet Wetten (zu fixen Quoten) auf den Ausgang des Rennens an, wobei er folgende Bezeichnungsweise verwendet: eine Quote m–n gegen Pferd 1 bedeutet, dass ein Spieler für einen Einsatz von nA
C
einen Gewinn von mA
C ausbezahlt bekommt (zusätzlich zum Einsatz), m, n ∈ N, wenn er auf den Sieg von
Pferd 1 setzt und dieses gewinnt. (Falls m < n, schreibt man n–m auf Pferd 1.) Eine faire Quote in diesem
Beispiel wäre also 3–1 auf Pferd 1 bzw. 3–1 gegen Pferd 2.
(a) Warum sind diese Quoten fair?
(b) Gegeben eine Wettquote m–n gegen Pferd 1. Finden Sie eine Siegwahrscheinlichkeit q von Pferd 1, sodass
die gegebene Quote fair ist! (Im folgenden werden wir diese Zahl als implizite Siegwahrscheinlichkeit bezeichnen.)
(c) Nehmen Sie an, dass insgesamt 10 000A
C auf den Sieg von Pferd 1 und 5000A
C auf den Sieg von Pferd 2
gesetzt werden. Der Buchmacher bietet die folgenden Quoten an:
1. 3–1 auf Pferd 1 und 3–1 gegen Pferd 2 (die faire Quote),
2. 15–4 auf Pferd 1 und 13–5 gegen Pferd 2,
3. 5–2 auf Pferd 1 und 9–5 gegen Pferd 2.
Berechnen Sie für jeden der drei Fälle die impliziten Wahrscheinlichkeiten für den Sieg von Pferd 1 sowie den
Sieg von Pferd 21 , den Profit (oder Verlust) des Buchmachers in beiden möglichen Ausgängen des Rennens
sowie seinen erwarteten Profit. Was fällt Ihnen auf?
(d) Nehmen Sie an, dass insgesamt aA
C auf Sieg von Pferd 1 sowie bA
C auf Sieg von Pferd 2 gesetzt werden,
sowie eine objektive Siegwahrscheinlichkeit p von Pferd 1. Finden Sie Quoten m1 –n1 gegen Pferd 1 und m2 –n2
gegen Pferd 2, sodass der Buchmacher immer 0A
C Profit macht.
Aufgabe 3. (5 Punkte)
Sei F Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen. Eine Funktion q : (0, 1) → R heißt verallgemeinerte Inverse zu
F falls
F(q(t)−) ≤ t ≤ F(q(t)+) (= F(q(t)))
für alle 0 < t < 1, wobei F(x+) und F(x−) den rechts- bzw. linksseitigen Grenzwert bezeichnen. Weiters
definieren wir die obere und untere Quantilfunktion zu F durch
q+ (t) = sup{x | F(x) ≤ t},
q− (t) = inf{x | F(x) ≥ t}.
(a) Zeigen Sie: Eine Funktion q : (0, 1) → R is genau dann verallgemeinerte Inverse zu F, falls
q− (t) ≤ q(t) ≤ q+ (t),
t ∈ (0, 1).
(b) Angenommen, eine Zufallsvariable X hat eine stetige Verteilungsfunktion F. Zeigen Sie, dass die Zufallsvariable U B F(X) gleichverteilt auf (0, 1) ist.
Aufgabe 4. (5 Punkte)
Man konstruiere ein Gegenbeispiel zu jeder der folgenden (i.A. falschen) Aussagen.
1 Beachten
Sie, dass sich die impliziten Wahrscheinlichkeiten nicht zu 1 aufsummieren müssen!
1. Sei X eine P-f.s. endliche, nicht-negative Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F , P).
Dann gilt E[X] < ∞.
2. Seien X, Y ∈ L2 (Ω, F , P) mit E[XY] = E[X]E[Y]. Dann sind X und Y unabhängig.
3. Gegeben drei Zufallsvariablen X, Y, Z ∈ L2 (Ω, F , P) mit E[XY] = E[XZ]. Dann gilt Y = Z.
Abgabe am 23. Oktober 2009 vor der Übung.