Roulette und Zahlenlotto

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Roulette und Zahlenlotto
D218-01
Lösungen
1
A, B
Individuelle Lösungen
Es wird ein Roulette aus Ziffernkarten vorgeschlagen. Man könnte hier diskutieren,
wie sich Zufallszahlen aus 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 erzeugen lassen. Beispiele:
■■ Mit einem 10er-Würfel, wobei die 10 als 0 gilt und bei 9 der Wurf wiederholt wird
■■ Mit einer Urne
■■ Mit einem 6er-Würfel, der 2-mal geworfen wird:
1 – 1, 2 – 2, 1 – 2
0
1 – 3 und 1 – 4
1
1 – 5 und 1 – 6
2
2 – 3 und 2 – 4
3
2 – 5 und 2 – 6
4
3 – 3, 3 – 4, 4 – 4
5
3 – 5 und 3 – 6
6
4 – 5 und 4 – 6
7
5 – 5, 5 – 6, 6 – 6
8
■■ Durch Zufallszahlen in Excel mit der Formel «= GANZZAHL(9*ZUFALLSZAHL()) »
■■ Man könnte auch einen Kreis mit neun Kreissektoren zu 40 ° zeichnen.
Der Kreis wird im Kreiszentrum auf ein Brett genagelt und die Zufallszahl mit
einer Kugel und Drehen des Brettes bestimmt.
2
■
Auf eine der Zahlen 0, 1, 2, … 8
je __
​ 19 ​ 
■■
Auf «gerade» (2, 4, 6, 8); «ungerade» (1, 3, 5, 7)
je __
​ 49 ​ 
■■
Auf «rot» (2, 3, 7, 8); «schwarz» (1, 4, 5, 6)
je __
​ 94 ​ 
■■
Auf zwei Zahlen (1, 2); (3, 4); (5, 6); (7, 8)
je __
​ 29 ​ 
3
A
Es ist mit einem Verlust von ca. 1 000 Einsätzen zu rechnen.
B
Es ist mit einem Verlust von ca. 1 000 Einsätzen zu rechnen.
Mögliche Begründung für A und B:
Wenn jemand 9-mal hintereinander auf die gleiche Wette einen Chip setzt und dabei
alle Zahlen einmal gezogen werden, verliert diese Person unabhängig von der Wette in
9 Spielen 1 Chip. In 9 000 Spielen gehen daher durchschnittlich 1 000 Chips verloren.
4
A
Bei den Wetten wird auf 18, 12, 9, 6, 4, 3, 2 oder 1 Zahl(en) gesetzt. Der Zähler gibt
also die Anzahl Zahlen an, auf die bei einer Wette gesetzt wird, der Nenner gibt an,
aus wie vielen Zahlen gezogen wird.
Beispiele:
1
2
3
4
5
6
7
8
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1 Zahl, z. B. 17
2 Zahlen (cheval), z. B. (25, 28)
3 Zahlen (transversal), z. B. (13, 14, 15)
4 Zahlen (carré), z. B. (1, 2, 4, 5)
6 Zahlen, z. B. (25, 26, 27, 28, 29, 30)
9 Zahlen, z. B. (1, 2, 3, … 9)
12 Zahlen, z. B. (2, 5, 8, 11, … 35) oder die Zahlen zwischen 13 und 24
18 Zahlen, z. B. «rot», «gerade» oder die Zahlen zwischen 1 und 18
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B
Man muss sich das Gleiche überlegen wie im Miniroulette. Man kann gleichzeitig
nur auf eine Anzahl Felder setzen, die einem Teiler von 8 beim Miniroulette oder einem
Teiler von 36 beim Roulette entspricht.
Wette 3 11-malder Einsatz
Wette 4 8-malder Einsatz
Wette 5 5-malder Einsatz
Wette 6 3-malder Einsatz
Wette 7 2-malder Einsatz
Wette 8 1-malder Einsatz
5
A
«Gerade» (1) und die Zahlen 23, 24 (17) gewinnen. Gewinn: 18 – 2 = 16
B
Mittlere Spalte (2) und «gerade» (1) gewinnen. Gewinn: 3 – 2 = 1
C
Bei ungeraden Zahlen der ersten und dritten Spalte:
(1, 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25, 27, 31, 33)
6
Individuelle Lösungen
7
Den 37. Teil des Wetteinsatzes: ca. CHF 27 000
8
A
Es sind die sechs verschiedenen Möglichkeiten, die Zahlen 1, 2, 3 zu ziehen.
B
245, 254, (425), 452, 524 und 542
C
135, 153, 315, 351, 513 und 531
D
Zähler: 5 · 4 · 3
Anzahl verschiedener Ziehungen. Für die erste gezogene Zahl sind jeweils 5
gleich wahrscheinliche Ereignisse möglich, für die zweite gezogene Zahl noch 4
und für die dritte gezogene Zahl noch 3.
Nenner: 3 · 2 · 1
Für drei Zahlen ergeben sich 3 · 2 · 1 verschiedene mögliche Reihenfolgen.
Dies entspricht den sechs Permutationen von Aufgabe A.
Das Diagramm zeigt insgesamt 60 (= 5 · 4 · 3) verschiedene mögliche «Wege».
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E
1
​ __
  ​ 
F
1
​ __
  ​ 
60
10
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Beispiel: Das Zahlenpaar (2, 1) bedeutet zuerst die 2 und dann die 1 ziehen.
Das Zahlenpaar (1, 2) bedeutet zuerst die 1 und dann die 2 ziehen. Beide zusammen
bedeuten 1 oder 2 in beliebiger Reihenfolge ziehen.
A
Die zehn gelben Felder könnten demnach bedeuten: eine Zahl ziehen
und anschliessend eine grössere Zahl ziehen.
B
Die zehn grünen Felder könnten demnach bedeuten: eine Zahl ziehen
und anschliessend eine kleinere Zahl ziehen.
C
In den roten Feldern würde stehen: eine Zahl und anschliessend nochmals
die gleiche Zahl ziehen, was hier nicht möglich (sinnvoll) ist.
10
A
Situation 1Jede Person wird mit jeder verbunden (entspricht den gelben und
grünen Feldern in Aufgabe 9). Baumdiagramm auch möglich.
Es wäre dann obiges Baumdiagramm ohne die untersten Pfeile
(total nur 5 · 4 Pfeile).
Situation 2 Wie Situation 1
Situation 3 Am ehesten in einer Tabelle darzustellen
Situation 4 Wie Situationen 1 und 2
Situation 5Gewinnen können 1 und nochmals 1, 1 und 2, 1 und 3 usw.
Darstellbar z. B. als Tabelle wie in Aufgabe 9 ohne Farben
Situation 6 Am ehesten als Baumdiagramm darzustellen
B
Situation 1 20 Möglichkeiten bzw. 20 Postkarten
Situation 2 10 Möglichkeiten bzw. 10 Anordnungen
Situation 3 10 Möglichkeiten bzw. 10 Spiele
Situation 4 10 Möglichkeiten
Situation 5Je nachdem wie gezählt wird:
25 Möglichkeiten, wenn es eine Rolle spielt, wer zuerst gewinnt.
15 Möglichkeiten, wenn gezählt wird, wer wie oft gewinnt
(X gefolgt von Y ist das Gleiche wie Y und dann X).
Situation 660 Möglichkeiten. Wenn es keine Rolle spielt, wer welchen Platz auf
dem Podest einnimmt, sind es nur 10 Möglichkeiten.
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A
ZählerAnzahl verschiedene Ziehungen, die möglich sind. Dabei gelten Ziehungen
mit gleichen Zahlen, aber verschiedenen Reihenfolgen als verschieden
(2 – 5 ≠ 5 – 2 …).
NennerAnzahl mögliche Reihenfolgen, falls die gezogenen Zahlen gegeben sind.
Bei sechs Zahlen sind das 6! (sprich Fakultät) = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 Möglichkeiten.
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B
5 245 786. Es sind viel mehr als bei «3 aus 5».
C
1
1
​ _______
   ​ 
∙ ​ __1 ​  = ​ ________
   ​ 
5 245 786 6
31 474 716
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A
374 699 Scheine
B
Wenn ein Schein mit 14 Tipps in 5 Minuten ausgefüllt werden kann,
würde das mehr als 3 Jahre dauern.
Alle Tipps würden CHF 13 114 465 kosten.
C
Sechser: 1
D
Fünfer: 6 ∙ 35 = 210
Es gibt einen Sechser. Ersetzt man jeweils eine der sechs Gewinnzahlen durch eine
der verbleibenden 35 Nicht-Gewinnzahlen, erhält man 6 · 35 Möglichkeiten.
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A
Individuelle Lösungen
B
Einzelne Zahlen können in einer Serie von 20 Ziehungen bis zu neunmal vorkommen.
Meist gibt es in einer Serie auch «Löcher», d. h., einzelne Zahlen werden gar
nie gezogen. Die Spitzenwerte wandern bei wiederholter Simulation völlig ohne Regel
über die 42 Zahlen und in einzelnen Simulationen können bis zu 5 «Löcher»
beobachtet werden. Es ist zu vermuten, dass auf die Länge alle Zahlen etwa gleich
oft vorkommen.
C
Individuelle Lösungen
D
Nachbarzahlen sind überraschend häufig: Auf die Länge kommen sie in mehr als 50 %
aller Ziehungen vor.
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A
Individuelle Lösungen
B
Individuelle Lösungen
C
Drei richtige Zahlen werden im Mittel in weniger als 3 % aller Fälle getippt.
Von den «Dreiern» her sind somit weniger als 45 Franken zu erwarten.
Vier richtige Tipps gibt es im Mittel bloss in zwei von 1 000 Fällen. Bei realistischer
Betrachtung kann man nicht darauf zählen, einen Vierer zu erzielen.
Noch weniger wahrscheinlich ist es, einen Fünfer oder einen Sechser zu landen.
D
Auf die Verteilung der Anzahl Treffer hat es keinen Einfluss, ob man den Tipp
bei allen Ziehungen unverändert lässt oder ob man ihn zwischendurch wechselt.
Auch welche Zahlen man tippt, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis:
Auch wenn man stur die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 tippt, bleibt die Verteilung der Anzahl
Treffer gleich. Aber wenn ein solches Ereignis eintreffen sollte (d. h., wenn mit
diesem Tipp ein Sechser erzielt wird), dann ist man mit ziemlich grosser Sicherheit
der Alleingewinner!
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