Grundlagen der Elementarteilchenphysik

Grundlagen der Elementarteilchenphysik
Nicolas BORGHINI
Fakultät für Physik
Universität Bielefeld
4. Februar 2014
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Inhaltsverzeichnis
Vorbemerkungen
1
A
3
I
II
III
IV
Relativistische Quantenmechanik
Spezielle Relativitätstheorie
I.1 Vorbereitung: Isometrien im 3-dimensionalen euklidischen Raum
I.1.1 Isometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.2 Skalare, Vektoren und Tensoren . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.3 Irreduzible Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.4 Spinoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2 Lorentz-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.1 Linienelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.2 Lorentz-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3 Kontra- und kovariante Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3.1 Skalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3.2 Kontravariante Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3.3 Kovariante Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3.4 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3.5 Kontraktion zweier Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3.6 Kovariante Formulierung eines physikalischen Gesetzes . .
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19
Klein–Gordon-Gleichung
II.1 Heuristische Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2 Lösung der freien Klein–Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . .
II.2.1 Allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2.2 Teilchen-Interpretation der Klein–Gordon-Wellenfunktion
II.3 Zweite Quantisierung der freien Klein–Gordon-Gleichung . . . . .
II.3.1 Zweite Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3.2 Physikalische Deutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Dirac-Gleichung
III.1 Heuristische Herleitung . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 „Diracologie“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2.1 Eigenschaften der Dirac-Matrizen . . . . .
III.2.2 Chiralitätsoperator . . . . . . . . . . . . .
III.2.3 Dirac-adjungierter Spinor . . . . . . . . .
III.3 Lösung der freien Dirac-Gleichung . . . . . . . .
III.3.1 Wellenlösungen . . . . . . . . . . . . . . .
III.3.2 Zweite Quantisierung der Wellenlösungen
III.3.3 Helizität und Chiralität . . . . . . . . . .
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Maxwell-Gleichungen
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IV.1 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
IV.2 Lösung der freien Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
ii
N.BORGHINI
B
V
VI
Elementarteilchenphysik
Wechselwirkende Teilchen
45
Relativistische Kinematik
V.1 Schwerpunktsenergie, Reaktionsschwelle
V.2 Zwei Teilchen im Endzustand . . . . . .
V.3 Drei Teilchen im Endzustand . . . . . .
V.4 Kinematik einfacher Stöße . . . . . . . .
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Zerfälle
VI.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . .
VI.2 Berechnung der Zerfallsrate . . . . . .
VI.2.1 Streumatrix . . . . . . . . . . .
VI.2.2 Zeitabhängige Störungstheorie .
VI.2.3 Vereinfachtes Modell . . . . . .
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VII Streuprozesse
VII.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.1.1 Erste Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.1.2 Wirkungsquerschnitt. Luminosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.2 Berechnung des Wirkungsquerschnitts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.2.1 Fermis Goldene Regel für Streuprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.2.2 Flussfaktor. Lorentz-invariante Form des totalen Wirkungsquerschnitts
VII.2.3 Differentieller Wirkungsquerschnitt in einem Zwei-nach-zwei-Prozess . .
VIII
C
IX
X
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Feynman-Regeln
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Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
Quantenelektrodynamik
IX.1 Feynman-Regeln der Quantenelektrodynamik . . . . . . . .
IX.2 Grundlegende Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX.2.1 Prozess erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . .
IX.2.2 Elastische Prozesse zweiter Ordnung . . . . . . . . .
IX.2.3 Inelastische Prozesse zweiter Ordnung . . . . . . . .
IX.2.4 Wichtige Prozesse dritter Ordnung . . . . . . . . . .
IX.3 Wirkungsquerschnitt für elastische Elektron–Myon-Streuung
Starke Wechselwirkung
X.1 Quarkmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X.1.1 Eightfold Way . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X.1.2 Hadronenerzeugung in Elektron–Positron-Kollisionen
X.2 Partonmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X.2.1 Tiefinelastische Streuung . . . . . . . . . . . . . . . .
X.2.2 Partonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X.3 Quantenchromodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X.3.1 Vertices der QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X.3.2 Wichtige Vorhersagen der Quantenchromodynamik .
X.3.3 Symmetrien der QED und der QCD . . . . . . . . .
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XI
Elementarteilchenphysik
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XII Elektroschwaches Standardmodell
XII.1 Eichtheorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XII.1.1 Notwendigkeit nach Renormierbarkeit . . . . . . .
XII.1.2 Eichinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XII.2 Lagrange-Dichte des Standardmodells . . . . . . . . . . .
XII.2.1 Bausteine des Standardmodells . . . . . . . . . . .
XII.2.2 Lagrange-Dichte des elektroschwachen Sektors . .
XII.3 Spontane Symmetriebrechung. Higgs-Boson . . . . . . . .
XII.3.1 Spontane Symmetriebrechung . . . . . . . . . . .
XII.3.2 Higgs-Boson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XII.4 Vektorbosonen im Standardmodell . . . . . . . . . . . . .
XII.5 Fermionen im Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . .
XII.5.1 Wechselwirkung der Leptonen mit dem Higgs-Feld
XII.5.2 Quark-Massen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XII.5.3 CKM-Matrix und CP -Verletzung . . . . . . . . .
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D
Schwache Wechselwirkung
XI.1 Symmetrieverletzungen . . . . . . . . . . . . .
XI.1.1 Verletzung der Flavour-Quantenzahlen
XI.1.2 Paritätsverletzung . . . . . . . . . . .
XI.1.3 Verletzung der Ladungskonjugation . .
XI.1.4 CP -Verletzung . . . . . . . . . . . . .
XI.1.5 Zeitumkehrverletzung . . . . . . . . .
XI.2 Phänomenologische Modelle . . . . . . . . . .
XI.2.1 Fermi-Modell . . . . . . . . . . . . . .
XI.2.2 V −A-Modell . . . . . . . . . . . . . .
XI.2.3 Flavour-Mischung im V −A-Modell . .
XI.2.4 Neutrale Ströme . . . . . . . . . . . .
XI.3 Vektorbosonen der schwachen Wechselwirkung
XI.3.1 Unitaritätsgrenze . . . . . . . . . . . .
XI.3.2 Schwache Bosonen . . . . . . . . . . .
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Jenseits des Standardmodells
XIII Neutrinos
XIII.1 Neutrino-Massen . . . . . . . . .
XIII.1.1 Neutrinomischung . . . . .
XIII.1.2 Neutrino-Oszillationen . .
XIII.2 Neutrinos als Majorana-Teilchen .
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iv
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Vorbemerkungen
Einheiten
In der Teilchenphysik wird ein System sogenannter natürlicher Einheiten verwendet, und zwar
ein Einheitensystem, in dem die Vakuumlichtgeschwindigkeit c und das Planck’sche Wirkungsquantum ~ = h/2π den Wert 1 annehmen. Infolgedessen können diese Konstanten dann von den Gleichungen weggelassen werden.
Zur Rechtfertigung dieser Wahl sei erinnert, dass mechanische Größen wie Länge ([L]), Zeit
([T ]), Masse ([M ]), Energie ([E]), Geschwindigkeit ([v]), Kraft ([F ]), Drehimpuls ([J]), usw. sich
als Kombinationen von Potenzen von nur 3 Basisgrößen zerlegen lassen. Im MKS-System (Meter,
Kilogramm, Sekunde) handelt es sich bei diesen Grundgrößen um die Länge, die Masse und die Zeit,
mit zugehörigen metrischen Einheiten. Dann können andere Größen, und somit deren Einheiten,
durch diese Basisgrößen ausgedrückt werden:
[L],
[M ],
[T ],
[E] = [M L2 T −2 ],
[v] = [LT −1 ],
[F ] = [M LT −2 ],
[J] = [M L2 T −1 ] . . .
Man darf aber andere Basisgrößen wählen, solange die Basis alle anderen Größen erzeugen kann.
Eine mögliche solche Wahl besteht darin, als Grundgrößen Energie, Geschwindigkeit und Drehimpuls
zu nehmen. Dann erhält man1
[L] = [JvE −1 ],
[M ] = [Ev −2 ],
[T ] = [JE −1 ],
[F ] = [E 2 J −1 v −1 ] . . .
Jetzt soll man noch die Basiseinheiten für die neuen Grundgrößen wählen. Die Energie wollen wir
im Folgenden in GeV messen, wobei 1 eV (Elektronenvolt) der Zunahme der kinetischen Energie
eines durch eine Spannung von 1 Volt beschleunigten Elektrons entspricht, 1 eV ' 1, 6 · 10−19 J.
Dann wollen wir Geschwindigkeit in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit c messen. Schließlich werden
Drehimpulse in Einheiten des Wirkungsquantums ~ ausgedrückt — entsprechend der Redensart
„Spin 12 “ für einen Spin, dessen Projektion auf eine Achse 12 ~ beträgt.
Somit werden jetzt Längen in Einheiten von ~c/GeV gemessen, Massen in Einheiten von GeV/c2 ,
Zeiten in Einheiten von ~/GeV, Impulse in Einheiten von GeV/c, usw.:
1 fm = 10−15 m '
1
~c
,
0, 197 GeV
10−23 s '
1
~
,
0, 0658 GeV
10−27 kg '
1
GeV/c2 . . .
1, 783
Schließlich kann man jetzt ~ = c = 1 annehmen, so dass Längen und Zeiten in GeV−1 und Massen
in GeV angegeben sind.
Auf der Seite des Elektromagnetismus werden hiernach elektrische Ladungen in Einheiten der
Elementarladung e ' 1, 602 · 10−19 C — entsprechend dem Betrag der Ladung des Elektrons —
gemessen. Darüber hinaus wird 0 = 1 angenommen, woraus µ0 = 1 dank der Beziehung 0 µ0 c2 = 1
folgt (Heaviside–Lorentz-Einheitensystem).
Schließlich werden Temperaturen, falls sie auftreten, ebenfalls in GeV angegeben, entsprechend
erstens der Wahl von Energie / Temperatur als Grundgröße — anstatt der Temperatur wie im SISystem—, und zweitens der Messung dieser neuen Basisgröße in Einheiten von der BoltzmannKonstante kB :
1
GeV/kB .
1013 K =
1, 16
Dann kann man kB = 1 annehmen.
1
Vgl. die bekannten Beziehungen: de Broglie-Wellenlänge λ = ~ / Impuls = ~c / Energie, Energie = Masse × c2 ,
Energie = ~ × Frequenz = ~ / Zeit, Kraft = Gradient der potentiellen Energie = Energie / Länge...
1
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Notationen
Die Vektoren des dreidimensionalen euklidischen Raums werden mit einem Pfeil geschrieben,
wie z.B. ~v oder ~x.
Die Vierervektoren werden in einer Sans Serif-Schriftart geschrieben, wie z.B. p (Viererimpuls),
A (Viererpotential), usw.
Die gleiche Schriftart wird auch für Lorentz-Tensoren höherer Stufe verwendet, z.B. für die Feldstärketensoren F, G, oder für den metrischen Tensor η. Dagegen werden die Komponenten dieser
Vierervektoren und Lorentz-Tensoren in Kursivschrift geschrieben: pµ , Aµ , F µν , ηµν , usw.
Quantenmechanische Operatoren werden mit einem Zirkumflex bezeichnet, z.B. â, â†
Indizes
Lateinische Indizes i, j, k, l, usw. laufen über die drei möglichen räumlichen Koordinaten, d.h.
über 1, 2, 3 oder x, y, z.
Ziemlich inkonsequent wird auf ihre Stelle (tief- oder hochgestellt) nicht aufgepasst, wenn sie sich
auf rein dreidimensionale Größen beziehen, d.h. nicht auf die räumlichen Komponenten von Vierervektoren oder Lorentz-Tensoren. Somit gilt vi = v i für die i-Komponente der Geschwindigkeit ~v .
Dagegen ist im Fall des Raumanteils eines Vierervektors oder eines Lorentz-Tensors die Stelle des
Index wichtig.
Griechische Indizes µ, ν, ρ, σ, usw. laufen über die vier Raumzeit-Koordinaten 0, 1, 2, 3. Auf die
Stelle dieser Lorentz-Indizes soll aufgepasst werden, vgl. Abschn. I.3.
Im ganzen Skript wird die Einstein’sche Summenkonvention verwendet, d.h. auf doppelt auftretende Indizes wird summiert. Somit gelten im Fall dreidimensionaler Indizes
ai bi = ai bi ≡
3
X
ai bi ,
Mii ≡
i=1
3
X
Mii ,
i=1
entsprechend dem Skalarprodukt ~a · ~b bzw. der Spur Tr M. Im Fall von Lorentz-Indizes sollte der
eine kontravariant, der andere kovariant sein [s. Abschn. I.3.5]:
µ
µ
a bµ = aµ b ≡
3
X
µ=0
µ
a bµ =
3
X
µ
aµ b ,
µ=0
T
µ
µ
=
3
X
T µµ,
µ=0
entsprechend dem Viererprodukt a · b bzw. der Spur Tr T.
2
Teil A
Relativistische Quantenmechanik
Version vom 4. Februar 2014, 10:59
3
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Elementarteilchen blabla...
eine Einleitung fehlt...
Relativistische Quantenmechanik
5
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
I. Spezielle Relativitätstheorie
In diesem Kapitel werden einige Elemente der Speziellen Relativitätstheorie dargestellt. Das Ziel
dabei ist meistens ein paar Definitionen und Ergebnisse zu sammeln, die für die Elementarteilchenphysik relevant sind, sowie Notationen einzuführen.
In einem ersten Schritt (Abschn. I.1) wird der Fall des mehr intuitiven dreidimensionalen euklidischen Raums der nicht-relativistischen Physik diskutiert, beginnend mit dessen Isometrien, dann
über die mathematischen Größen, die sich unter solchen Isometrien einfach transformieren, bis hin
zur unterliegenden Algebra der Gruppe der Drehungen. Abschnitt I.2 befasst sich dann mit dem
Minkowski-Raum der relativistischen Physik und mit dessen Lorentz-Transformationen. Schließlich
wird in Abschn. I.3 das Verhalten physikalischer Größen unter solchen Lorentz-Transformationen
diskutiert.
I.1 Vorbereitung: Isometrien im 3-dimensionalen euklidischen Raum
Hiernach werden einige Ergebnissen über Isometrien, insbesondere Drehungen, in drei Dimensionen, sowie über die Algebra des Drehimpulses zusammengefasst.
I.1.1 Isometrien
Sei eine lineare Abbildung vom dreidimensionalen euklidischen RaumE 3 in sich selbst der Form
~x → ~x 0 = R(~x).
(I.1)
Die Isometrien sind solche Abbildungen, die das (euklidische) Skalarprodukt ~x · ~x invariant lassen.
Darunter sind z.B. die Translationen sowie Transformationen mit mindestens einem Fixpunkt, wie
die Drehungen oder die Punktspiegelungen. Im Folgenden wird die Diskussion auf solche Isometrien
beschränkt, die einen gewissen Punkt invariant lassen, der als Ursprungspunkt eines kartesischen
Koordinatensystems gewählt wird. Dementsprechend werden nur Vektoren ~x ausgehend von dieser
Ursprung betrachtet.
Stellt man die Vektoren ~x, ~x 0 vonE 3 als reelle einspaltige 3×1-Matrizen X, X 0 und R als eine
reelle 3×3-Matrix R dar, so lässt sich Gl. (I.1) umschreiben als
X → X 0 = RX.
(I.2a)
Mithilfe der jeweiligen Koordinaten xi , x0i mit i = 1, 2, 3 der Vektoren und der Matrixelemente Rij
mit i, j = 1, 2, 3 der Abbildungsmatrix R lautet dies auch
xi → x0i = Rij xj ,
(I.2b)
wobei die Einstein’sche Summenkonvention — über doppelt auftretende Indizes wird summiert2 —
verwendet wurde.
In Matrixdarstellung lautet das Skalarprodukt X T X, mit X T dem einzeiligen transponierten
Vektor von X. Damit R eine Isometrie darstellt, muss für jeden X ∈ R3
X T X = X 0 T X 0 = (RX)T RX = X T RT RX
gelten, d.h. die Matrix R muss der Eigenschaft
RT R = 13
(I.3)
genügen, mit 13 der 3 × 3-Identitätsmatrix. Umgekehrt stellt jede Matrix R, die diese Gleichung
erfüllt, eine Isometrie des dreidimensionalen Raums dar.
2
S. die Bemerkung über die Stelle der Indizes in den einführenden Vorbemerkungen.
I. Spezielle Relativitätstheorie
6
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
Man prüft einfach nach, dass die Isometrien vonE 3 eine Gruppe bilden.3 Ebenfalls formen die
assoziierten reellen 3×3-Matrizen mit der Eigenschaft (I.3) die orthogonale Gruppe O(3).
Bemerkung: Dank der Beschränkung auf Isometrien mit einem festen Fixpunkt ist die Korrespondenz zwischen solchen Isometrien vonE 3 und den Matrizen von O(3) bijektiv.
Mathematisch gesagt ist diese Korrespondenz eine sog. lineare Darstellung. Da die Matrizen der
O(3) linearen Abbildungen vom dreidimensionalen Vektorraum R3 , dem Darstellungsraum, in
sich selbst entsprechen, spricht man von einer Darstellung vom Grad 3. Die O(3)-Matrizen sind
unitär—sie sind reell und erfüllen Gl. (I.3)—, so dass die Darstellung auch als unitär bezeichnet
wird. Schließlich ist die Darstellung irreduzibel , weil es keinen nicht-trivialen Unterraum des
Darstellungsraums gibt, der invariant unter der Wirkung der O(3) ist.
Bildet man die Determinante der Gleichung (I.3), so erhält man (det R)2 = 1, d.h. det R = ±1.
Solche Matrizen mit Determinante +1 formen die spezielle orthogonale Gruppe SO(3), deren Elemente die dreidimensionalen Drehungen (um den Ursprungspunkt) darstellen. Die Isometrien4 mit
Determinante −1 ergeben sich durch Komposition der Drehungen mit der Punktspiegelung um den
Ursprungspunkt, auch Raumspiegelung genannt, die der Abbildungsmatrix −13 entspricht.
Bemerkung: Die Bijektivität der Korrespondenz zwischen Isometrien von E 3 mit einem festen
Fixpunkt und O(3)-Matrizen wird benutzt, um die letzteren ebenfalls als „Isometrien“ zu nennen,
vgl. Fußnote 4. Dementsprechend werden die Matrizen von SO(3) als „Drehungen“ bezeichnet.
I.1.2 Skalare, Vektoren und Tensoren
In diesem Abschnitt werden Klassen von Größen definiert, die sich unter den Isometrien vonE 3
gemäß allgemeinen Gesetzen transformieren.
I.1.2
a Skalare
::::::::::::::
Als Skalar wird eine physikalische Größe bezeichnet, die unter Isometrien invariant bleibt. Zum
Beispiel ist das infinitesimale Volumenelement d3 ~x ≡ dx1 dx2 dx3 ein Skalar, da aus Gl. (I.2b) folgt
d3 ~x 0 = |det R| d3 ~x = d3 ~x für alle R ∈ O(3).
Sei f (~x) eine Funktion aufE 3 , entsprechend einer ortsabhängigen physikalischen Größe. In einer
isometrischen Transformation ~x → ~x 0 wird diese Funktion zu einer neuen Funktion f 0 (~x 0 ). Die
Funktion f wird skalar genannt—und wird als Skalarfeld bezeichnet—, wenn für jede Isometrie
~x → ~x 0 , die transformierte Funktion f 0 genügt der Gleichung f 0 (~x 0 ) = f (~x). Ein Beispiel von
Skalarfeld ist das elektrostatische Skalarpotential Φ(~x).
Bemerkungen:
∗ Für das Verständnis der Bedeutung der transformierten Funktion f 0 lohnt es sich, die Transformation ~x → ~x 0 nicht als eine „aktive Transformation“—entsprechend einer Änderung des Zustands eines
physikalischen Systems (z.B. dessen Orientierung, wenn das System nicht punktförmig ist) bei unverändertem Koordinatensystem—, sondern als eine „passive Transformation“—wobei der Zustand
des Systems unverändert bleibt, während das Koordinatensystem transformiert ist. Beispielsweise
ist die aktive Drehung eines Vektors um einen Winkel θ um eine gegebene Achse äquivalent zur
passiven Drehung um den Winkel −θ um die gleiche Achse.5
∗ Auch wenn eine Funktion f skalar ist, kann deren Variation f 0 (~x) − f (~x) in einem Punkt nicht
null sein. Diese Variation wird in Abschn. I.1.3 c unten für den Fall einer infinitesimalen Drehung
berechnet.
3
1. Die Komposition zweier Isometrien ergibt eine Isometrie. 2. Die Komposition ist assoziativ. 3. Die Identität
wirkt als neutrales Element bzgl. der Komposition. 4. Jede Isometrie besitzt ein inverses Element.
4
Genauer, die durch eine Matrix mit Determinante −1 dargestellten Isometrien.
5
Zu aktiven und passiven Transformationen, s. z.B. Ref. [1], Kap. 7.1.
I. Spezielle Relativitätstheorie
7
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Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
Einige physikalischen Größen bleiben invariant unter der Wirkung der Drehungen, ändern aber
ihr Vorzeichen unter der Raumspiegelung — und somit, unter der Isometrien mit Determinante −1.
Eine solche Größe wird Pseudoskalar genannt.
I.1.2
b Vektoren
::::::::::::::::
In der Physik wird nicht jedes Element eines Vektorraums als Vektor bezeichnet. Die Bezeichnung
wird nur für solche verwendet, deren Koordinaten sich unter einer Isometrie ähnlich verhalten, wie
die Raumkoordinaten. Somit transformieren sich die Koordinaten Vi , i = 1, 2, 3 eines Vektors gemäß
[vgl. Gl. (I.2b)]
Vi → Vi0 = Rij Vj .
(I.4a)
In Matrixdarstellung lautet diese Transformation
V → V 0 = RV.
(I.4b)
Ein triviales Beispiel von Vektor ist die Geschwindigkeit eines Teilchen.
Analog mit den Skalarfeldern bzw. Pseudoskalaren werden Vektorfelder bzw. Pseudovektoren
definiert. Die Letzteren werden auch Axialvektoren genannt.
~ ~x , wobei der Index ~x weggelassen
Ein wichtiges Beispiel von Vektorfeld ist der Gradient-Operator ∇
wird, wenn es keine Mehrdeutigkeit geben kann. Unter einer Isometrie (I.1)–(I.2) transformiert sich
dessen Matrixdarstellung gemäß
∇~x → ∇~x 0 = R∇~x .
(I.5)
Beweis: Betrachtet man die Komponenten des Gradienten, so liefert die Kettenregel
∂x0j ∂
∂
∂
∂
= Rji 0 = (RT )ij 0 .
=
∂xi
∂xi ∂x0j
∂xj
∂xj
In Matrixdarstellung lautet dies ∇~x = RT ∇~x 0 , woraus Gl. (I.5) nach Inversion unter Verwendung
von (RT )−1 = R [vgl. Gl. (I.3)] folgt.
~ x) ein Vektorfeld.
Infolgedessen ist das elektrostatische Feld E~ (~x) = −∇Φ(~
I.1.2
c Tensoren beliebiger Stufe
:::::::::::::::::::::::::::::::
Ein Tensor ist eine physikalische Größe, deren Koordinatendarstellung eine beliebige feste Zahl
von Indizes — die Stufe des Tensors — erfordert, z.B. Tij , wobei jeder Index sich unter Isometrien
wie die Komponenten eines Vektors transformiert, also gemäß Gl. (I.4a). Beispielsweise lautet die
Transformation eines Tensors 2. Stufe
0
Tij → Tij
= Rik Rjl Tkl .
(I.6)
Der auf die Tensorkoordinaten wirkenden Operator für die Isometrie ist somit das Produkt der
Isometrien auf jeden Index.
Dazu definiert man noch Pseudotensoren, deren Komponenten unter Isometrien sich wie die
Komponenten von Pseudovektoren verhalten, sowie ortsabhängige Tensorfelder .
Bemerkungen:
∗ Da jeder Index die Werte 1,2,3 annehmen kann, hat ein Tensor k-ter Stufe insgesamt 3k Komponenten.
∗ Skalare bzw. Vektoren sind Tensoren 0. bzw. 1. Stufe.
∗ Die Komponenten eines Tensors 2. Stufe Tij können als die Elemente einer 3×3-Matrix T betrachtet werden. Dann wird das Transformationsgesetz (I.6) zu
T → T 0 = RTRT = RTR−1 ,
(I.7)
entsprechend der Transformation einer Matrix unter eine Änderung des Koordinatensystems.
I. Spezielle Relativitätstheorie
8
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Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
Invariante Tensoren
Nimmt man Tij = δij in Gl. (I.6), mit δij dem üblichen Kronecker-Symbol δij = 1 wenn i = j, 0
0 = T . Ein solcher Tensor, dessen Komponenten die gleichen unter Isometrien
sonst, so erhält man Tij
ij
bleiben, heißt invarianter Tensor .
Ein weiteres Beispiel ist der vollständig antisymmetrische Levi–Civita-Tensor


+1 falls (i, j, k) eine gerade Permutation von (1,2,3) ist,
ijk = −1 falls (i, j, k) eine ungerade Permutation von (1,2,3) ist,
(I.8)


0 sonst.
Da jeder Index sich gemäß Gl. (I.6) transformiert, erhält man
ijk → 0ijk = Rii0 Rjj 0 Rkk0 i0 j 0 k0 = (det R)ijk .
(I.9)
Somit ist der Levi–Civita-Tensor ein invarianter Pseudotensor, der unverändert unter Drehungen
bleibt, während er unter Raumspiegelung sein Vorzeichen ändert.
Kontraktion zweier Tensoren
Es seien Vi , Wj die Komponenten zweier Vektoren. Dann sind die 9 Produkte Vi Wj die Komponenten eines Tensors 2. Stufe. Setzt man die zwei Indizes i und j gleich und summiert man dann
über alle Werte von i, so erhält man Vi Wi . Das ist gerade das Skalarprodukt der zwei Vektoren,
d.h. ein Tensor 0. Stufe.
Allgemeiner erhält man ausgehend von einem Tensor k-ter Stufe einen Tensor der Stufe k − 2,
indem zwei Indizes des Ausgangstensors gleichgesetzt und dann die Summe über alle Werte des
Index gebildet wird. Diese Operation wird Kontraktion gennant.
Beispielswiese liefert die Kontraktion der zwei Indizes eines Tensors 2. Stufe Tij gerade die Spur
Tr T der assoziierten Matrix T. Betrachtet man den Pseudotensor 5. Stufe ijk Vl Wm , mit Vl , Wm
~ und W
~ , und bildet man die doppelte Kontraktion zum einen
den Komponenten zweier Vektoren V
der Indizes j und l, zum anderen von k und m, so ergibt sich der Pseudovektor mit Komponenten
~ ×W
~.
ijk Vj Wk , d.h. der Kreuzprodukt V
I.1.3 Irreduzible Darstellungen
Jetzt wird das Verhalten physikalischer Größen unter Isometrien vonE 3 , und insbesondere unter Drehungen, etwa systematischer untersucht. Dafür werden einige Begriffe und Ergebnisse der
Gruppentheorie eingeführt und verwendet, ohne Beweis.
I.1.3
a Infinitesimale Drehungen
:::::::::::::::::::::::::::::::
Eine Drehung um den infinitesimal kleinen Winkel dθ um die Koordinatenachse j transformiert
einen Vektor ~x vonE 3 in
~x 0 = R(~x) = ~x + dθ~ej × ~x,
(I.10a)
mit ~ej dem Einheitsvektor in Richtung j. In Koordinaten lautet dies
x0k = Rkl xl = xk + dθjkl xl .
(I.10b)
Somit sind die Elemente der Darstellungsmatrix R gegeben durch
Rkl = δkl + dθjkl .
(I.10c)
Diese Drehungsmatrix kann umgeschrieben werden als
R = 13 − i dθ Jj ,
(I.10d)
wobei Jj eine 3 × 3-Matrix ist, die als Generator oder Erzeuger der Gruppe SO(3) bezeichnet ist
I. Spezielle Relativitätstheorie
9
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Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
Aus den zwei letzteren Gleichungen leitet man die Matrixelemente von J ab:
(Jj )kl = −ijkl .
In Matrixdarstellung lauten die drei Generatoren von



0 0 0
0 0



J1 = 0 0 −i , J2 = 0 0
0 i 0
−i 0
SO(3)



i
0 −i 0
0 , J3 =  i 0 0 .
0
0 0 0
(I.11a)
(I.11b)
Diese Matrizen sind hermitesch. Man prüft einfach nach, dass die Generatoren Jj den Vertauschungsrelationen
[ Ji , Jj ] = iijk Jk
(I.11c)
genügen.
Allgemein lautet die infinitesimale Drehung um den Winkel dθ um die Richtung mit Einheitsvektor ~e
R = 13 − i dθ~e · ~J,
(I.12)
wobei zu beachten ist, dass das Punktprodukt ~e · ~J eine Matrix bezeichnet. Eine Drehung um einen
beliebigen Winkel θ kann dann als Produkt von N Drehungen um den Winkel θ/N um die gleiche
Achse ausgedrückt werden. Somit erhält man
N
θ
R = lim 13 − i ~e · ~J = exp −iθ~e · ~J .
(I.13)
N →∞
N
Bemerkung: Die Einführung eines Faktors i in Gl. (I.10d), und entsprechend in die Matrizen Jj
Gl. (I.11), ist zwar überraschend, da die SO(3)-Matrizen reell sind. Dieser Faktor erlaubt aber eine
einfache Verallgemeinerung auf Gruppen komplexer Matrizen, wie z.B. in Abschn. I.1.4 unten.
I.1.3
b Lineare Darstellungen der Gruppe der Drehungen
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Wie schon in Abschn. (I.1.1) erwähnt wurde, handelt es sich bei den 3×3-Matrizen R im vorigen
Abschnitt um die Operatoren (auf R3 ) einer linearen Darstellung von Grad 3 der Drehungen R des
euklidischen RaumsE 3 .
Allgemeiner kann man die Drehungen als Operatoren (bzw. Matrizen, wenn E endlicher Dimension ist) S(R) auf einem Vektorraum E darstellen, mit S einem Gruppenhomomorphismus.
Betrachtet man dann eine infinitesimale Drehung, so lässt sich der assoziierte Operator in der
Form (I.12) schreiben, mit R bzw. den Matrizen Jj ersetzt durch S(R) bzw. durch drei Operatoren
Jj(E) . Meistens benutzt man unitäre Darstellungen, so dass die Generatoren Jj(E) hermitesch sind.6
Dank Gl. (I.13) bestimmen die Letzteren völlig die Transformationen durch Drehungen.
Ein wichtiger Punkt ist, dass die Vertauschungsrelationen (I.11c) auch für die Generatoren Jj(E)
gelten. Diese Relationen werden (in der Physik) Lie-Algebra der Gruppe genannt. Daraus folgen
einige Ergebnisse:7
2
2
2
2
• Der Operator J~ (E) ≡ J1(E) + J2(E) + J3(E) kommutiert mit jedem Generator Jj(E) und
2
damit mit jedem Operator S(R). Somit ist jeder Eigenunterraum von J~ (E) invariant unter
der Gruppe der S(R).
2
• Die möglichen Eigenwerte von J~ (E) sind der Form j(j + 1) mit j ganz- oder halbzahlig.
2
• Die möglichen Eigenwerte von J3(E) im Eigenunterraum J~ (E) assoziiert mit dem Eigenwert
j sind die 2j + 1 reellen Zahlen m = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j. Ein zugehöriger Eigenvektor wird
hiernach als |j, mi bezeichnet.
(E) (E)
†
†
Aus Jj(E) = Jj(E) folgt für die Drehung um θ um die j-Achse S(R)† = eiθJj
= e−iθJj = S(R)−1 .
7
Diese Eigenschaften sollten aus der Quantenmechanik-Vorlesung schon bekannt sein.
6
I. Spezielle Relativitätstheorie
10
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
• Ausgehend von einem Eigenvektor |j, m0 i erhält man durch sukzessive Anwendungen der Lei(E)
teroperatoren J±
≡ J1(E) ± iJ2(E) — die m um ±1 vergrößern — alle |j, mi für einen gegebenen
Wert j. Diese Vektoren erzeugen einen einen Untervektorraum Ej der Dimension 2j + 1, invariant unter den Drehoperatoren S(R). Die Einschränkungen der S(R) auf Ej bilden also eine
Darstellung der Drehungen. Da kein nicht-trivialer Unterraum von Ej invariant unter Drehungen ist, ist diese Darstellung irreduzibel. Dazu kann man zeigen, dass alle Darstellungen mit
dem gleichen Eigenwert j äquivalent zueinander sind, so dass j die Darstellung vollständig
charakterisiert.
Beispiele
Bei der Darstellung mithilfe von 3 × 3-Matrizen des Abschn. I.1.3 a handelte es sich um eine
Darstellung von Grad 3. Für die Generatoren (I.11) gilt ~J 2 = 2 · 13 , entsprechend j = 1. Da
2j + 1 = 3 ist die Darstellung irreduzibel. Somit charakterisiert j = 1 die Transformation eines
Vektors ~x vonE 3 .
Betrachten wir jetzt die Transformationen der Tensoren 2. Stufe. Der assoziierten Darstellungsraum ist der Dimension 32 = 9. Gemäß Gl. (I.6) ist jetzt der Operator S(R) gleich dem Produkt
zweier auf einem einzigen Index wirkenden Operatoren. Für eine infinitesimale Drehung gilt
S(R) = 13 − i dθ~e · ~J(1) ⊗ 13 − i dθ~e · ~J(2) = 19 − i dθ~e · ~J(1) + ~J(2) + O (dθ)2 ,
wobei ~J(1) und ~J(2) die Generatoren der Drehungen auf jeden Index sind.8
Der Generator der Transformation für Tensoren ist somit ~J ≡ ~J(1) + ~J(2) ,8 d.h. die Summe
zweier miteinander kommutierenden Operatoren gehorchend der Lie-Algebra (I.11c). Die möglichen
Eigenwerte von ~J sind dann7 j(j + 1) mit j = |j1 − j2 |, |j1 − j2 | + 1, . . . , j1 + j2 , wobei j1 , j2 die
Eigenwerte von ~J(1) , ~J(2) sind. Hier gilt j1 = j2 = 1, so dass j die Werte 0, 1 und 2 annehmen kann:
der Darstellungsraum der Tensoren ist die direkte Summe der zugehörigen Eigenräumen mit der
jeweiligen Dimension 1, 3 und 5.
Was entsprechen diese Eigenräume? Das Transformationsgesetz (I.6) zeigt, das ein symmetrischer bzw. antisymmetrischer Tensor 2. Stufe sich unter Drehungen in einen symmetrischen bzw.
antisymmetrischen Tensor transformiert, d.h. die Symmetrie unter dem Austausch der Indizes ist
erhalten unter Drehungen. Somit bilden die antisymmetrischen Tensoren einen unter Drehungen
invarianten Unterraum der Dimension 3, entsprechend der Angabe von T12 , T13 und T23 . Dieser
Unterraum entspricht einer vektoriellen (j = 1) Darstellung — tatsächlich kann mit jedem antisymmetrischen Tensor Tjk ein Vektor Vi = 12 ijk Tjk assoziiert werden.9
Zum anderen bilden die symmetrischen Tensoren 2. Stufe einen Unterraum der Dimension 6.
In Abschn. I.1.2 c wurde schon erwähnt, dass solche, die proportional zur Identität sind Tij ∝ δij ,
invariant unter Drehungen sind: diese Tensoren bilden eine skalare Darstellung (j = 0). Indem man
schreibt
1
1
Tij = Tkk δij + Tij − Tkk δij ,
3
3
lässt sich jeder symmetrische Tensor in einen Anteil proportional zur Identität und einen spurlosen
Anteil zerlegen. Da die Spur invariant unter Rotationen ist [vgl. Gl. (I.7)], bilden die spurlosen
symmetrischen Tensoren die Darstellung vom Grad 5, entsprechend j = 2.
Bemerkung: Im Fall einer anderen Gruppe — z.B. für die Gruppe der D-dimensionalen Drehungen,
entsprechend „natürlich“ der speziellen orthogonalen Gruppe SO(D) —, verallgemeinern sich die
Vertauschungsrelationen (I.11c) der zugehörigen Generatoren — deren Anzahl nicht mehr unbedingt
gleich 3 ist — auf die Lie-Algebra [Ji , Jj ] = ifijk Jk , mit sog. Strukturkonstanten fijk .
8
9
Im rechten Glied der Gleichung ist ~J(1) + ~J(2) eine Kurzform für ~J(1) ⊗ 13 + 13 ⊗ ~J(2) .
Die Abbildung zwischen Tjk und Vi ist bijektiv: Tjk = ijk Vi .
I. Spezielle Relativitätstheorie
11
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Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
I.1.3
c Transformation eines skalaren Feldes
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Bei den zwei Beispielen im letzteren Abschnitt handelt es sich um Darstellungen der Drehgruppe
auf einem Darstellungsraum endlicher Dimension. Jetzt wird die Wirkung von Drehungen auf skalare
Felder untersucht, d.h. auf die Elemente eines Vektorraums unendlicher Dimension.
Sei wieder die Drehung um einen infinitesimal kleinen Winkel dθ um die j-Achse. Die Variation
einer skalaren Funktion [f 0 (~x 0 ) = f (~x)] im Punkt ~x unter dieser Drehung lautet
f 0 (~x) − f (~x) = f 0 (~x) − f 0 (~x 0 ) ' −
∂f 0 (~x)
δxk
∂xk
mit δxk ≡ x0k − xk , wobei die zweite Gleichung aus einer Taylor-Entwicklung folgt. Zur erster
Ordnung kann f 0 durch f ersetzt werden. Mit δxk gegeben durch Gl. (I.10b) ergibt sich dann
f 0 (~x) − f (~x) = dθjkl xl
∂f
∂
= −idθJj f (~x) mit Jj ≡ −ijlk
∂xk
∂xk
(I.14)
einem differentiellen Operator. Vektoriell lässt sich der letztere als das Kreuzprodukt
~
J~ = ~x × (−i ∇)
(I.15)
umschreiben: bis auf einen fehlenden Faktor ~ erkennt man den Ausdruck des Bahndrehimpulses in
der Quantenmechanik.
Der Darstellungsraum ist der Raum der Funktionen auf R3 . Da die Drehungen nur auf die
Winkelkoordinaten θ und ϕ wirken, kann man Funktionen von nur diesen Winkeln betrachten.
Der entsprechende Raum E ist wieder unendlicher Dimension. Die Darstellung lässt sich als eine
unendliche direkte Summe irreduzibler Darstellungen, entsprechend jedem möglichen Wert von j,
zerlegen:7
E = E0 ⊕ E 1 ⊕ E2 ⊕ · · ·
Eine Basis des Unterraums E` — dessen Dimension 2` + 1 ist — besteht aus den Kugelflächenfunktionen Y`m (θ, ϕ), die die Eigenvektoren von Jz [Gl. (I.14)] mit den Eigenwerten m = −`, −`+1, . . . , `
sind.
I.1.3
d Tensoroperatoren
::::::::::::::::::::::::
Bisher wurde die Transformation unter Drehungen für die Elemente des Darstellungsraums E
betrachtet. In diesem Abschnitt wollen wir die Transformation der Matrixelemente von Operatoren
auf E untersuchen.
Hiernach werden einige Notationen der Quantenmechanik verwendet: ein Element von E wird
als |ψi bezeichnet, und das unter einer Drehung R transformierte Element als |ψ 0 i = S(R)|ψi. Die
konjugierten Bras lauten hψ| und hψ 0 | = hψ|S(R)−1 .10
Ein Operator Σ auf E wird skalar genannt, wenn seine Matrixelemente unverändert unter Drehungen bleiben, d.h. wenn für alle |ψ1 i, |ψ2 i in E und für jede Drehung R
0 0 ψ1 Σ ψ2 = ψ1 Σ ψ2 .
(I.16a)
Dies gibt sofort
S(R)−1 Σ S(R) = Σ,
(I.16b)
d.h. Σ soll mit jedem Operator S(R) kommutieren, insbesondere mit den Generatoren Jj(E) der auf
E wirkenden Drehoperatoren:
Σ, Jj(E) = 0.
(I.16c)
2
Ein Beispiel von skalarem Operator ist einfach J~ (E) .
Im Fall einer unitären Darstellung gilt auch hψ 0 | = hψ|S(R)† ; für nicht-unitäre Darstellungen soll man aber
S(R)−1 benutzen.
10
I. Spezielle Relativitätstheorie
12
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
Ähnlich bilden drei Operatoren V1 , V2 , V3 einen sog. Vektoroperator , wenn die Matrixelemente
sich gemäß
0 0
(I.17a)
ψ1 Vi ψ2 = Rik ψ1 Vk ψ2
für alle |ψ1 i, |ψ2 i in E und für jede Drehung R transformieren, entsprechend
S(R)−1 Vi S(R) = Rik Vk .
(I.17b)
Schreibt man diese Beziehung für die infinitesimale Drehung (I.10d) um die j-Achse mit Jj ersetzt
durch Jj(E) , so findet man zur ersten Ordnung in dθ
Vi , Jj(E) = i ijk Vk .
(I.17c)
Gleichung (I.11c) nach ist J~(E) selber ein Vektoroperator.
Man definiert noch Tensoroperatoren höherer Stufe, durch die Verallgemeinerung der Beziehung (I.17a) auf mehrere Indizes.
I.1.4 Spinoren
Bisher wurden nur Darstellungen entsprechend ganzzahligen Werten von j diskutiert. Wenn
j = 21 , dann ist der Darstellungsraum von Dimension 2j + 1 = 2. In einer geeigneten Basis lauten
die Generatoren der Drehungen J~ = ~σ /2, mit σi den Pauli-Matrizen
1 0
0 −i
0 1
.
(I.18)
, σ3 =
, σ2 =
σ1 =
0 −1
i 0
1 0
Diese Matrizen genügen der Eigenschaft
σi σj = δij + i ijk σk ,
(I.19)
woraus die Vertauschungsrelationen (I.11c) für ~σ /2 sofort folgen.
Eine wichtige Besonderheit der Spin- 12 -Darstellung ist, dass J1 und J3 reelle Matrizen sind. Infolgedessen können die Drehmatrizen (I.13) in dieser Darstellung auch komplexe Koeffizienten haben:
man findet einfach, dass der Operator für eine Rotation um θ um die Richtung mit Einheitsvektor
~e durch11
θ
θ
θ
S(R) = exp −i ~σ · ~e = cos 12 −i sin ~e · ~σ
(I.20)
2
2
2
gegeben ist. Somit ist der Darstellungsraum ein komplexer Vektorraum, statt eines reellen Vektorrraums. Die zweikomponentigen Elemente dieses Darstellungsraums werden als Spinoren bezeichnet.
Die Matrizen S(R) sind komplexe 2 × 2-Matrizen. Dank der Hermitizität der Pauli-Matrizen
sind diese Matrizen unitär, vgl. Fußnote 6. Man prüft einfach nach, dass deren Determinante 1 ist.
Somit handelt es sich um die Matrizen der speziellen unitären Gruppe SU(2).
Gleichung (I.20) zeigt, dass die mit einer Drehung vonE 3 um 2π assoziierten Matrix tatsächlich
S(R) = −12 ist. In der Tat ist SU(2) keine lineare Darstellung von SO(3), sondern nur eine sogenannte projektive Darstellung, für die S(R1 R2 ) = eiφ(R1 ,R2 ) S(R1 )S(R2 ) mit φ(R1 , R2 ) einer
nicht-verschwindenden Phase gilt. Man kann zeigen, dass es einen Gruppenhomomorphismus
von SU(2) nach SO(3) gibt, nicht aber von SO(3) nach SU(2). Somit ist jede lineare Darstellung
von SO(3) auch eine Darstellung von SU(2), während es lineare Darstellungen von SU(2) gibt —
insbesondere die Darstellung von SU(2) durch SU(2) selber —, die SO(3) nicht treu darstellen.
Dies gilt, auch wenn SU(2) und SO(3) die gleiche Lie-Algebra (I.11c) haben.
11
Der Beweis der zweiten Gleichung beruht auf der Identität ~σ ·~e
sich aus dem Produkt (I.19) einfach herleiten lässt.
I. Spezielle Relativitätstheorie
2
= 12 für einen auf 1 normierten Vektor ~e, die
13
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
I.2 Lorentz-Transformationen
Bekannterweise ist die Gruppe der Isometrien des dreidimensionalen euklidischen Raums nicht
die „gute“ Symmetriegruppe für die Gesetze der Physik, insbesondere für die Maxwell-Gleichungen
des Elektromagnetismus. Stattdessen soll man Transformationen in einer vierdimensionalen Raumzeit betrachten. In diesem Abschnitt werden diese Transformation eingeführt und (schnell) studiert.
I.2.1 Linienelement
Die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) beruht auf zwei experimentell motivierten Postulaten
und zwar
SRT I. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c ist in allen Inertialsystemen gleich.
SRT II. Die Gesetze der Physik sollen in allen solchen Bezugssystemen die gleiche Form annehmen
(Relativitätsprinzip).
Um dem ersten Postulat zu genügen, soll Zeit nicht mehr als eine absolute Größe betrachtet
werden, sondern muss mit den Ortskoordinaten — die in diesem Abschnitt entweder als x, y, z
oder als x1 , x2 , x3 bezeichnet werden — in einen Punkt x mit Koordinaten (x0 = ct, x1 , x2 , x3 ) der
Raumzeit vereinigt werden. Lässt man Gravitation weg, so handelt es sich bei der letzteren um einen
vierdimensionalen reellen Vektorraum, der als Minkowski-Raum M 4 bezeichnet wird. Die Punkte
von M 4 werden auch Ereignisse genannt.
Der Abstand, oder Linienelement, zwischen
zwei solchen unendlich benachbarten Ereignissen
(ct, x, y, z) und c(t+dt), x+dx, y+dy, z +dz ist gegeben durch
ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 = c2 dt2 − d~x 2 .
(I.21)
Man kann dx0 = c dt, dx1 = dx, dx2 = dy, dx3 = dz als die Komponenten einer einspaltigen Matrix dX betrachten. Führt man dann den metrischen Tensor 2. Stufe η, mit der Matrizendarstellung


1 0
0
0
0 −1 0
0

(I.22a)
η=
0 0 −1 0  ,
0 0
0 −1
so lässt sich das Linienelement (I.21) als
ds2 = dX T η dX
(I.22b)
umschreiben. Sei ηµν das Matrixelement (µ, ν) der Matrix (I.22a), mit µ, ν = 0, 1, 2, 3. Das Matrizenprodukt (I.22b) lautet noch
ds2 = ηµν dxµ dxν ,
(I.22c)
wobei die Einstein’sche Summenkonvention benutzt wurde.
Bemerkungen:
∗ Die Stelle der Lorentz-Indizes µ, ν ist wichtig!Somit sollen beide Indizes des metrischen Tensors
unten sein — manchmal wird η als 0-Tensor bezeichnet. Dies wird weiter in Abschn. I.3 diskutiert.
2
∗ Je nach dem Vorzeichen des Linienelements spricht man von einem zeitartigen (ds2 > 0), lichtartigen (ds2 = 0), oder raumartigen (ds2 < 0) Intervall zwischen den zwei Ereignissen.
∗ Wenn das Intervall zwischen zwei Ereignissen zeitartig ist, dann existiert ein Inertialsystem, in
dem die Ereignisse im gleichen Ort stattfinden. ds2 entspricht dem infinitesimalen Zeitintervall in
diesem Bezugssystem:
ds2 = c2 dτ 2 ,
(I.23)
mit τ der Eigenzeit.
I. Spezielle Relativitätstheorie
14
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
∗ Einige Autoren benutzen, statt der hier verwendeten (+, −, −, −) Signatur für den metrischen
Tensor (I.22a), die entgegengesetzte Konvention (−, +, +, +).
I.2.2 Lorentz-Transformationen
Sei eine lineare Transformation der Koordinaten xµ der Form
xµ → x0µ = Λµ ν xν ,
(I.24a)
X → X 0 = ΛX,
(I.24b)
oder äquivalent in Matrixform
mit Λ der Matrix, deren Matrixelement (µ, ν) Λµ ν ist.
Die Transformation Λ wird Lorentz-Transformation genannt, wenn sie das Linienelement (I.22b)
invariant lässt. Somit muss für jede infinitesimale Verschiebung dX, entsprechend einer transformierten Verschiebung dX 0 , die Identität
dX T η dX = dX 0 T η dX 0
gelten. Aus der Linearität der Transformation Λ folgt dX 0 = Λ dX, so dass diese Gleichung äquivalent zur Bedingung
η = ΛT ηΛ
(I.25a)
ist. Mithilfe der Matrixelemente lautet dies12
ηµν = Λρ µ ηρσ Λσ ν .
(I.25b)
Bildet man die Determinante der Gl. (I.25a), so erhält man sofort det Λ = ±1. Infolgedessen
bleibt das 4-Volumenelement d4 x ≡ dx0 dx1 dx2 dx3 invariant unter Lorentz-Transformationen, da
es sich transformiert gemäß
(I.26)
d4 x → d4 x0 = det Λ d4 x.
Die Lorentz-Transformationen formen eine Gruppe, die sog. Lorentz-Gruppe (oder manchmal
homogene Lorentz-Gruppe), die hiernach als L bezeichnet wird.13
Die Transformationen mit Determinante +1, die eigentlichen Lorentz-Transformationen, bilden
eine Teilgruppe L+ , die eigentliche Lorentz-Gruppe.13 Darüber hinaus werden die Transformationen
mit Λ0 0 > 0 orthochron gennant; diese bilden auch eine Gruppe, L↑+ . Je nach den Vorzeichen der
Determinante det Λ und der Komponente Λ0 0 erhält man die vier Zusammenhangskomponenten
L↑+ , L↓+ , L↑− und L↓− der Lorentz-Gruppe.
Bemerkungen:
∗ In der Tat bleibt das Linienelement (I.21) invariant nicht nur unter der Lorentz-Transformationen,
sondern allgemeiner unter den linearen Transformationen der Poincaré-Gruppe (oder inhomogene
Lorentz-Gruppe), d.h. der Form
xµ → x0µ = Λµ ν xν + aµ .
(I.27)
Die Transformationen mit Λ = 14 und aµ beliebig sind offensichtlich die Raumzeit-Translationen.
∗ Aus Gl. (I.24a) folgt Λµ ν =
∂x0µ
.
∂xν
12 ρ
Λ µ ist das Element (ρ, µ) der Matrixdarstellung von Λ, und also das Element (µ, ρ) von ΛT . Manchmal findet
man die Notation Λµρ anstatt Λρ µ . Jedenfalls bleibt der Zeilenindex solcher Lorentz-Transformationen oben, der
Spaltenindex unten.
13
Eine alternative Bezeichnung ist O(1,3); dementsprechend wird der Minkowski-Raum auch als R1+3 bezeichnet,
die eigentliche Lorentz-Gruppe als SO(1,3), und die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe als SO+ (1,3).
I. Spezielle Relativitätstheorie
15
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Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
I.2.3 Beispiele
Die Isometrien des dreidimensionalen Raums E 3 mit mindestens einem Fixpunkt sind natürlich auch Lorentz-Transformationen, die eine Untergruppe der (eigentlichen orthochronen) LorentzGruppe bilden.
Die Raumspiegelung ist ebenfalls eine Lorentz-Transformation, diesmal aber eine uneigentliche
Transformation (det Λ = −1), mit der Matrixdarstellung


1 0
0
0
0 −1 0
0

ΛP = 
(I.28)
0 0 −1 0  .
0 0
0 −1
Somit gehört die Raumspiegelung zu L↑− . Allgemeiner ergeben sich die uneigentlichen orthochronen
Transformationen durch Multiplikation einer eigentlichen orthochronen Transformation mit dieser
Raumspiegelung.
Auf ähnlicher Weise sind die Transformationen von L↓− die Produkte einer eigentlichen orthochronen Transformation mit dem Operator des Zeitumkehrs, dessen Matrixdarstellung


−1 0 0 0
 0 1 0 0

ΛT = 
(I.29)
 0 0 1 0
0 0 0 1
ist.
Die speziellen Lorentz-Transformationen (oder Boosts) entlang einer Richtung sind die eigentlichen orthochronen Transformationen, die die Ortskomponenten senkrecht zur Richtung unverändert
bleiben. Im Beispiel eines Boosts entlang der x1 -Achse bleiben x2 und x3 invariant. Solche Transformationen sind der Form


cosh φ sinh φ 0 0
 sinh φ cosh φ 0 0
,
Λ=
(I.30)
 0
0
1 0
0
0
0 1
mit φ einer reellen Zahl, der Rapidität des Boosts. Ist die durch Λ beschriebene Transformation
passiv, so bewegt sich der Ursprungspunkt ~x = ~0 des alten Bezugssystems mit der Geschwindigkeit
~v = c tanh φ ~e1 im neuen Bezugssystem. Außerdem definiert man den entsprechenden Lorentz-Faktor
γ als γ = (1 − |~v |2 /c2 )−1/2 = cosh φ.
Die Komposition zweier speziellen Lorentz-Transformationen entlang derselben Richtung mit
Rapiditäten φ1 , φ2 ergibt wieder eine spezielle Lorentz-Transformation — die Boosts entlang einer
Richtung bilden eine Gruppe — mit Rapidität φ3 = φ1 + φ2 . Daraus folgt sofort das relativistische
Additionstheorem für Geschwindigkeiten
v3 =
v1 + v2
.
1 + v1 v2 /c2
I.3 Kontra- und kovariante Indizes
In diesem Abschnitt wird das Verhalten physikalischer Größen unter Lorentz-Transformationen
diskutiert, ähnlich wie im Abschn. I.1.2 im Fall der Isometrien von E 3 . Dabei sollen aber zwei
Arten von Indizes eingeführt werden, sog. kontravariante und kovariante Indizes, entsprechend der
Tatsache, dass der metrische Tensor η keine positiv definite Bilinearform ist.
I. Spezielle Relativitätstheorie
16
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Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
I.3.1 Skalare
Ein Lorentz-Skalar ist eine Größe, die invariant unter Lorentz-Transformationen ist. Beispiele
davon sind definitionsgemäß das Linienelement (I.21) oder das 4-Volumenelement d4 x, Gl. (I.26).
Man definiert auch Pseudoskalare, die invariant unter der eigentlichen Lorentz-Gruppe sind, und
ihr Vorzeichen unter uneigentlichen Transformationen — wie Raumspiegelung oder Zeitumkehr —
ändern.
I.3.2 Kontravariante Vektoren
Ein sog. kontravarianter (Vierer)Vektor V ist eine Menge aus vier Größen V µ , die sich unter
Lorentz-Transformationen wie die Koordinaten xµ transformieren, d.h.
V µ → V 0µ = Λµ ν V ν ,
(I.31a)
V → V0 = ΛV.
(I.31b)
oder in Matrixform
Ein Beispiel ist die Vierergeschwindigkeit
(Trajektorie in der Zeitraum) X µ (s), die als
uµ
uµ ≡
eines massiven Teilchens entlang seiner Weltlinie
dX µ (s)
dτ
(I.32a)
definiert ist, mit s einer Parametrisierung der Weltlinie und τ der Eigenzeit des Teilchens. Dies folgt
aus der Tatsache, dass das Eigenzeitelement dτ im Zähler ein Lorentz-Skalar ist [vgl. Gl. (I.23)].
Komponentenweise gelten u0 = γc, ui = γv i für i = 1, 2, 3, mit γ dem Lorentz-Faktor und v i den
Komponenten der dreidimensionalen Geschwindigkeit ~v des Teilchens. Der Kürze halber wird im
Folgenden für diese Zerlegung in Zeit- und Ortskoordinaten die Notation
γc
µ
(I.32b)
u =
γ~v
benutzt.
Der kontravariante Viererimpuls eines Teilchens der Masse m entlang dieser Weltlinie ist
E/c
µ
µ
,
(I.33)
p = mu =
p~
mit E bzw. p~ der Energie bzw. dem Impuls des Teilchens.
p~ c
.
E
Bemerkung: Die Vierergeschwindigkeit wird für ein masseloses Teilchen, z.B. ein Photon, nicht
definiert, da solche Teilchen kein Ruhesystem haben, in welchem die Eigenzeit definiert werden
kann: sie bewegen sich entlang lichtartige Weltlinien.
De Vergleich zwischen Gl. (I.32b) und (I.33) gibt die nützliche Beziehung ~v =
I.3.3 Kovariante Vektoren
Ein kovarianter (Vierer)Vektor ist defintionsgemäß eine Menge aus vier Größen, die sich unter
Lorentz-Transformationen wie der Gradient-Operator ∂/∂xµ verhalten, wobei der letztere auch als
∂µ bezeichnet wird. Mithilfe der Kettenregel gilt
∂µ ≡
∂
∂x0ν ∂
∂
=
= Λν µ 0ν = Λν µ ∂ν0 ,
∂xµ
∂xµ ∂x0ν
∂x
(I.34)
d.h., wenn man die einspaltige Matrix der ∂µ als ∇ schreibt, ∇ = ΛT ∇0 . Multipliziert man diese
−1
Gleichung links mit ΛT
, so kommt
−1
∇0 = ΛT
∇.
(I.35)
I. Spezielle Relativitätstheorie
17
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Nun, die Eigenschaft (I.25a), multipliziert links mit ΛT
ΛT
−1
−1
Elementarteilchenphysik
und rechts mit η−1 , gibt14
= ηΛη−1 .
(I.36)
Aus den zwei letzteren Gleichungen folgt
η−1 ∇0 = Λ η−1 ∇ ,
(I.37)
d.h. η−1 ∇ transformiert sich wie ein kontravarianter Vektor. Mit jedem kontravarianten Vektor V µ
kann man also einen kovarianten Vektor Vµ assoziieren gemäß
Vµ = ηµν V ν .
Komponentenweise gilt unter Verwendung des metrischen Tensors (I.22a)
   0 
V0
V
V1  −V 1 
 =

V2  −V 2  .
V3
−V 3
(I.38)
(I.39)
Umgekehrt kann mit jedem kovarianten Vektor Vµ der kontravariante Vektor
V µ = η µν Vν
(I.40)
assoziiert werden, mit η µν den Matrixelementen von η−1 .
Bemerkungen:
∗ Der Unterschied zwischen der positiv definiten Metrik des euklidischen RaumsE 3 und der Metrik
mit Signatur (+, −, −, −) des Minkowski-Raums M 4 spielt eine Rolle in Gl. (I.36), die mit Gl. (I.3)
verglichen sein soll.
∗ Der Grund für die Existenz in der Relativitätstheorie von kontra- und kovarianten Vierervektoren
ist einfach, dass es sich dabei um Elemente unterschiedlicher Vektorräume handelt. Somit sind die
kovarianten Vektoren die Linearformen auf dem Vektorraum der kontravarianten Vektoren, d.h. die
Elemente dessen Dualraums. Diese Betrachtungsweise wird z.B. in Ref. [2] (s. Kap. 3) verwendet,
und lässt sich auf die Tensoren des nächsten Abschnitts einfach verallgemeinern.
I.3.4 Tensoren
Ein Tensor ist eine Größe mit möglicherweise kontravarianten und kovarianten Indizen, wobei
jeder Index sich wie ein entsprechender Vektor transformiert. Beispielsweise transformiert sich der
Tensor 3. Stufe mit Komponenten T µνρ wie V µ V ν Vρ . Ein solcher Tensor kann als zweimal kontraund einmal kovarianter Tensor, oder kürzer 2-Tensor oder gar Tensor vom Typ (2,1), bezeichnet
1
werden.
Für einen zweimal kovarianten Tensor lautet das Transformationsgesetz, unter Verwendung der
Gl. (I.34),
0
Tµν = Λρ µ Λσ ν Tρσ
,
(I.41)
d.h. in Matrixform, indem Tµν durch eine 4×4-Matrix dargestellt wird,
T = ΛT T0 Λ.
(I.42)
Der Vergleich mit Gl. (I.25a) zeigt, dass der metrische Tensor η invariant unter einer beliebigen
Lorentz-Transformation bleibt. Dies erklärt im Nachhinein die Stelle der Indizes dessen Matrixelemente ηµν .
14
Gleichung (I.22a) gibt sofort η−1 = η, doch wir wollen diese Identität der Allgemeinheit halber nicht benutzen.
I. Spezielle Relativitätstheorie
18
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Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
Mithilfe der Tensoren ηµν bzw. η µν kann man kontra- bzw. kovariante Lorentz-Indizes heraufbzw. herabziehen, ähnlich den Gleichungen (I.38) und (I.40). Wendet man diese Möglichkeit an η µν
selber, so erhält man
η µ ν = η µρ ηρν = δ µ ν ,
(I.43)
mit δ µ ν = 1 wenn µ = ν und 0 sonst dem üblichen Kronecker-Symbol. Dies entspricht einfach der
Identität η−1 η = 14 .
Ein anderer invarianter Tensor (genauer: Pseudotensor , da sein Vorzeichen sich unter uneigentlicher Transformationen ändert) ist der vollständig antisymmetrische Levi–Civita-Tensor15
µνρσ


+1 falls (µ, ν, ρ, σ) eine gerade Permutation von (0,1,2,3) ist,
= −1 falls (µ, ν, ρ, σ) eine ungerade Permutation von (0,1,2,3) ist,


0
sonst.
(I.44)
Dieser Tensor transformiert sich nämlich gemäß
µνρσ → 0 µνρσ = µνρσ det Λ.
(I.45)
Hier sollte beachtet werden, dass 0123 = −0123 , während für den dreidimensionalen Levi–Civita
Tensor 123 = 123 gilt.
I.3.5 Kontraktion zweier Tensoren
Seien V µ ein kontravarianter und Wµ ein kovarianter Vektor. Die Transformationsgesetze (I.31b)
und (I.35) zeigen, dass Wµ V µ = WT V ein Lorentz-Skalar ist — das uneigentlich genannte „Skalarprodukt“ der zwei Vektoren.
Dagegen sind W µ V µ und Wµ Vµ keine Skalare unter der Lorentz-Gruppe, und stellen somit keine
„gültige“ Tensorkontraktionen dar. Dem in Abschn. I.1.2 c gegebenen Rezept, um zwei Tensoren zu
kontrahieren, muss man also die zusätzliche Regel hinzufügen, dass einer der kontrahierten Indizes
kontra- und der andere kovariant sein soll.
Da Wµ V µ = ηµν W µ V ν = W ν Vν = W µ Vµ ist, spielt es in einer Kontraktion keine Rolle, welcher
Index oben und welcher unten ist.
Beispielsweise beträgt der skalare Lorentz-Quadrat des Viererimpulses (I.33) pµ pµ = m2 c2 , während für die Vierergeschwindigkeit (I.32a) gilt immer uµ uµ = 1.
Wenn V und W zwei Vierervektoren mit kontravarianten Koordinaten V µ und W µ bezeichnen,
wird im Folgenden die Notation V · W ≡ Vµ W µ = Wµ V µ oft verwendet. Dementsprechend wird der
Lorentz-Quadrat des Viererimpulses (multipliziert mit c2 ) als p2 c2 = E 2 − p~ 2 c2 = m2 c4 geschrieben.
I.3.6 Kovariante Formulierung eines physikalischen Gesetzes
Laut dem Einstein’schen Relativitätsprinzip (Postulat SRT II) sollen die Naturgesetze mathematisch so formuliert werden, dass die Form der entsprechenden Gleichungen in allen Inertialsystemen
unverändert bleibt. Theorien, die diesem Prinzip genügen, werden als Lorentz- oder relativistisch
kovariant bezeichnet.
Infolgedessen können solche Gleichungen nur Identitäten zwischen Lorentz-Tensoren der gleichen
Stufe sein, nachdem alle möglichen Kontraktionen von Indizes berücksichtigt wurden.
Somit sind V µ = W µ oder V µ Tµν = Wν kovariante Gleichungen: eine Lorentz-Transformation
0 = W 0 , d.h. sie nehmen die gleiche Form an. Dagegen
transformiert sie in V 0 µ = W 0 µ oder V 0 µ Tµν
ν
µ
µ
µ
stellen Identitäten wie V = T ν oder V = Wµ keine relativistisch kovariante Gleichungen dar,
sondern können einen (Tipp-?)Fehler signalisieren. . .
15
Einige Autoren benutzen die Konvention 0123 = +1, entsprechend 0123 = −1. . .
I. Spezielle Relativitätstheorie
19
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Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
Bemerkung: Manchmal wird statt Lorentz-kovariant die Redensart „Lorentz-invariant“ verwendet. Streng genommen bedeutet aber die Letztere, dass die Gleichungen unverändert unter den
Lorentz-Transformationen bleiben, was eine stärkere Bedingung ist, als die Invarianz der Form der
Gleichungen.
Literatur
Zur Speziellen Relativitätstheorie:
• Feynman, Band 1 [3], Kap. 15–17.
• Fließbach, Band I [4], Kap. IX.
• Landau & Lifschitz, Band II [5], Kap. I.
• Nolting, Band 4 [6], 1. Teil.
Zur Gruppentheorie in der (Teilchen)Physik:
• Georgi [7].
• Ramond [8].
I. Spezielle Relativitätstheorie
20
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
II. Klein–Gordon-Gleichung
Dieses Kapitel und die zwei darauf folgenden befassen sich mit relativistischen Wellengleichungen,
für Teilchen mit dem Spin 0 (hiernach), 12 (Kap. III) oder 1 (Kap. IV). In jedem dieser Fälle
lässt sich ein solcher Wellenfunktion-basierter Formalismus sinnvoll nur auf wechselwirkungsfreie
(oder kurz: freie) Teilchen anwenden — in Anwesenheit von Wechselwirkungen können Teilchen im
relativistischen Regime leicht erzeugt werden, oder sie können zerfallen, was mit Wellenfunktionen
nicht beschrieben werden kann.
Hier wird zunächst in Abschn. II.1 die freie Klein–Gordon-Gleichung eingeführt, deren Lösungen in Abschn. II.2 diskutiert werden. Die physikalische Deutung einiger dieser Lösungen führt
zu Schwierigkeiten, die sich am besten im Rahmen einer quantenfeldtheoretischen Beschreibung
vermeiden lassen. Somit werden in Abschn. II.3 einige Elemente der zweiten Quantisierung der
Klein–Gordon-Wellenfunktion kurz dargestellt.
II.1 Heuristische Herleitung
Bekannterweise lautet die Schrödinger-Wellengleichung in Ortsdarstellung für ein nicht-relativistisches freies Teilchen mit der Masse m
~2
∂ψ(t, ~x)
=−
4ψ(t, ~x),
(II.1)
i~
∂t
2m
~ 2 dem Laplace-Operator. Diese Gleichung folgt aus der nicht-relativistischen Energie–
mit 4 = ∇
Impuls-Beziehung E = p~ 2 /2m, indem die Energie E bzw. der Impuls p~ durch den auf Wellenfunk~ ersetzt wird.
tionen wirkenden Differentialoperator i~∂/∂t bzw. −i~ ∇
Wendet man jetzt — nach Schrödinger, vgl. [9], Gl. (34)–(36) — diese Korrespondenz auf die
relativistische Energie–Impuls-Relation E 2 − p~ 2 c2 = m2 c4 an, so ergibt sich die Wellengleichung
2
2∂
2 2
−~ 2 + ~ c 4 φ(t, ~x) = m2 c4 φ(t, ~x).
(II.2)
∂t
Diese Gleichung wird (wechselwirkungsfreie) Klein–Gordon-Gleichung genannt [10, 11].
In relativistischer Notation gilt
1 ∂2
− 4 = ∂0 ∂ 0 + ∂i ∂ i = ∂µ ∂ µ ≡ ,
(II.3)
c2 ∂t2
mit dem d’Alembert-Operator , der offenbar relativistisch kovariant ist, denn es handelt sich um
einen Lorentz-Quadrat. Dann lautet die Klein–Gordon-Gleichung (II.2) in kovarianter Schreibweise
m2 c2
+ 2 φ(x) = 0.
(II.4)
~
Dank der relativistischen Kovarianz des d’Alembert-Operators ist das Verhalten dieser Gleichung
unter einer Lorentz-Transformation x → x0 völlig durch das Verhalten der Wellenfunktion φ(x) unter
der Transformation bestimmt. Falls die Letztere sich gemäß φ(x) → φ0 (x0 ) = φ(x) transformiert,
stellt die Klein–Gordon-Gleichung auch eine skalare Gleichung dar. In diesem Fall ist φ(x) ein
Lorentz-Skalar, entsprechend einem Teilchen mit Spin 0.
Bemerkungen:
~ lässt sich kurz als
∗ Die Korrespondenz E → i~∂/∂t, p~ → −i~ ∇
pµ → i~∂ µ
(II.5)
umschreiben. Wird dies in pµ pµ = m2 c2 eingesetzt, so folgt Gl. (II.4) sofort.
II. Klein–Gordon-Gleichung
21
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
2
2 2
2 4
∗ Statt von der Beziehung
p E = p~ c + m c auszugehen, könnte man die Korrespondenz in die
genauere Gleichung E = p~ 2 c2 + m2 c4 einsetzen, da die Energie eines Teilchens
p positiv sein soll.
Wendet man aber den auf der rechten Seite resultierenden Differentialoperator m2 c4 − ~2 c2 4 auf
Wellenfunktionen an, so ergeben sich Ortsableitungen der Letzteren beliebiger Ordnung, entsprechend einer nicht-lokalen Gleichung, was unbefriedigend ist.
∗ Eine Lösung φ(x) der Klein–Gordon-Gleichung kann entweder reell- oder komplexwertig sein. Die
Möglichkeiten werden im nächsten Abschnitt anhand der allgemeinen Lösung der Gleichung (II.4)
noch diskutiert.
II.2 Lösung der freien Klein–Gordon-Gleichung
II.2.1 Allgemeine Lösung
Da die Klein–Gordon-Gleichung eine lineare partielle Differentialgleichung ist, kann man als
Lösungsansatz eine ebene Welle
φ(x) = N e−ik·x
annehmen, mit N einer Normierungskonstante. Mit k · x = kµ xµ = k µ xµ gibt das Einsetzen dieses
Ansatzes in Gl. (II.4)
m2 c2
µ
−kµ k + 2 N e−ik·x = 0.
~
Dies führt zur Dispersionsrelation
q
k 0 = ± ~k 2 + m2 c2/~2 ,
d.h. für jeden Wert des Wellenvektors ~k kann die Zeitkomponente k 0 zwei mögliche Werte annehmen.
Eine allgemeine Lösung der Klein–Gordon-Gleichung ist eine Linearkombination solcher ebenen
Wellen, mit beliebigen Koeffizienten. Um die beiden möglichen Vorzeichen von k 0 einfacher zu
berücksichtigen, bezeichnet man
q
ω~ ≡ +c ~k 2 + m2 c2/~2 .
(II.6)
k
Dann lautet die allgemeine Lösung
Z h
i d3~k
~
~
.
φ(t, ~x) =
N+ (~k) e−iω~k t+i k·~x + N− (~k) eiω~k t+i k·~x
(2π)3
Die Substitution ~k → −~k im zweiten Summanden gibt
Z h
i d3~k
~
~
φ(t, ~x) =
.
N+ (~k) e−iω~k t+i k·~x + N− (−~k) eiω~k t−i k·~x
(2π)3
Ep~
p~
p0 c
und ω~k →
≡
durch, so gilt einerseits
~
~
~
p·x
ω~k t − ~k · ~x →
,
~
wobei die eingeführten Größen p0 und p~ zu einem Vierervektor p kombiniert wurden. Dank Gl. (II.6)
genügt der Letztere der Beziehung p2 = m2 c2 .
Dazu kann man noch die Koeffizienten N+ (~k), N− (−~k) durch neue Koeffizienten ap~ , bp~ wie folgt
ersetzen16
(2π~)3/2 ~c
(2π~)3/2 ~c ∗
N+ (~k) → p
ap~ ,
N− (−~k) → p
bp~ .
2Ep~
2Ep~
Führt man dann die Substitutionen ~k →
16
Die auf den ersten Blick willkürlich aussehenden Faktoren von ~, c oder Ep~ werden später in Abschn. II.3 zu
einfacheren Gleichungen führen.
II. Klein–Gordon-Gleichung
22
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
Die allgemeine Lösung der Klein–Gordon-Gleichung (II.4) wird dann zu
Z h
i
~c d3 p~
φ(x) =
.
ap~ e−ip·x/~ + bp∗~ eip·x/~ p
(2π~)3 2Ep~
(II.7)
Wenn ap~ und bp~ für jeden Wert von p~ unabhängig voneinander sind, dann ist das Skalarfeld φ(x)
komplexwertig, entsprechend zwei reellen Freiheitsgraden. Ein solches Feld beschreibt z.B. geladene
Pionen π ± . Dagegen ist φ(x) reellwertig wenn ap~ = bp~ für jeden p~, entsprechend einem einzigen
Freiheitsgrad: dies beschreibt z.B. neutrale Pionen π 0 .
II.2.2 Teilchen-Interpretation der Klein–Gordon-Wellenfunktion
Sucht man jetzt nach einer speziellen Lösung, die ein einziges Teilchen mit Masse m und Impuls
~q beschreibt, so trifft man auf eine Schwierigkeit.
In der Tat führen die natürlichen Versuche ap~ ∝ δ (3) (~
p − ~q) oder bp~ ∝ δ (3) (~
p − ~q) jeweils zu
−iE
t/~+i~
q
·~
x
/~
iE
t/~−i~
q ·~
x/~ . Die Letztere könnte aber auch
q
~
q
~
Lösungen φ(t, ~x) ∝ e
oder φ(t, ~x) ∝ e
ein Teilchen mit negativer Energie −Eq~ und Impuls −~q beschreiben, was unannehmbar ist: wenn
Teilchen mit negativer Energie existieren, dann kann man immer die Energie des Universums durch
die Erzeugung neuer Teilchen reduzieren, und das Universum wird unstabil.
Dieses Problem lässt sich anders betrachten. Sei φ(x) eine Lösung der Klein–Gordon-Gleichung.
Definiert man dann einen Viererstrom durch17
!
cρKG (t, ~x)
i~ µ
∗ µ
µ
∗
jKG (x) ≡
,
(II.8)
φ(x) ∂ φ(x) − φ(x)∂ φ(x) ≡
2m
~KG (t, ~x)
so findet man
µ
(x) =
∂µ jKG
∂ρKG (t, ~x) ~
+ ∇ · ~KG (t, ~x) = 0,
∂t
(II.9)
Z
entsprechend einer Kontinuitätsgleichung: damit prüft man einfach nach, dass
Erhaltungsgröße ist.
ρKG (t, ~x) d3 ~x eine
Multipliziert man die Klein–Gordon-Gleichung (II.4) links mit iφ(x)∗ und subtrahiert man davon
das Produkt von iφ(x) mit der komplex konjugierten Gleichung zu Gl. (II.4), so ergibt sich (die
x-Abhängigkeit wird der Kürze halber nicht geschrieben)
1 ∂2
m2 c2
1 ∂2
m2 c2
∗
0 = iφ
−4+ 2
φ − iφ 2 2 − 4 + 2
φ∗
c2 ∂t2
~
c ∂t
~
h
i
1∂
1 ∂φ∗
∗ 1 ∂φ
~ · −i φ∗ ∇φ
~ − φ ∇φ
~ ∗ ,
=
i φ
−φ
+∇
c ∂t
c ∂t
c ∂t
entsprechend bis auf den Faktor ~/2m der Gleichung (II.9).
In Anlehnung am nicht-relativistischen Fall möchte man ρKG (t, ~x) bzw. ~KG (t, ~x) als eine Wahrscheinlichkeitsdichte bzw. eine Wahrscheinlichkeitsstromdichte interpretieren.18 Im Fall einer ebenen
µ
Welle φ(x) = N e∓ip·x/~ findet man aber jKG
(x) = ±|N |2 pµ /m. Eine Lösung in eip·x/~ — d.h. mit
negativer Energie — hat somit ρKG < 0, was für eine Wahrscheinlichkeitsdichte nicht gelten kann.
Diese Lösungen mit negativer Energie — die man nicht einfach wegwerfen darf, da eip·x/~ eine
ebenso gültige Lösung wie e−ip·x/~ ist — haben historisch viel Verwirrung verursacht.
17
Der Faktor ~/2m wurde eingeführt in Ähnlichkeit mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsstromdichte
i~
~ ∗ − ψ ∗ ∇ψ
~
~Schr. =
ψ ∇ψ
2m
der Schrödinger-Gleichung.
µ
18
Tatsächlich sollte jKG
durch ~c geteilt werden, um die passenden Einheiten für eine solche Interpretation zu erhalten. Die Einheiten der Schrödinger- und der Klein–Gordon-Wellenfunktion sind nicht die gleichen, vgl. Bemerkung
am Ende des Abschn. II.3.2.
II. Klein–Gordon-Gleichung
23
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
Die triviale Gleichung e+iEp~ t/~ = e−iEp~ (−t)/~ deutet eine mögliche problemlose Deutung der
Lösungen mit negativer Energie an, die auf Stückelberg and Feynman zurückgeht. Somit wird in
dieser Feynman–Stückelberg-Interpretation ein Teilchen mit negativer Energie (e+iEp~ t/~ ) als ein
Teilchen mit positiver Energie, das rückwärts in der Zeit propagiert, interpretiert. In einem zweiten
Schritt wird das Letztere als ein Antiteilchen mit positiver Energie, das sich vorwärts in der Zeit
bewegt, angesehen.
Bildlich lässt sich die Äquivalenz zwischen Teilchen, die vorwärts in Zeit propagieren, und deren
Antiteilchen, die rückwärts propagieren, so darstellen:
F
Teilchen
t
-
∼
=
Antiteilchen
Um die anscheinende Willkür dieser Interpretation etwa zu begründen, wird jetzt die korrekte
Beschreibung von Teilchen und Antiteilchen, basierend auf Quantenfeldern, jetzt eingeführt.
II.3 Zweite Quantisierung der freien Klein–Gordon-Gleichung
In diesem Abschnitt wird der Übergang von einer Wellenfunktion- zu einer quantenfeldtheoretischen Beschreibung skizziert.
II.3.1 Zweite Quantisierung
Ersetzt man in die Lösung (II.7) der Klein–Gordon-Gleichung die klassischen Zahlen ap~ , bp~ ∈ C
durch Operatoren âp~ , b̂p~ eines noch unspezifizierten Hilbert-Raums mit den einfachen Vertauschungsrelationen
âp~ , â†q~ = δ (3) (~
p − ~q),
b̂p~ , b̂†q~ = δ (3) (~
p − ~q)
(II.10a)
sowie
âp~ , âq~ = b̂p~ , b̂q~ = âp~ , b̂q~ = âp~ , b̂†q~ = · · · = 0,
so wird die Wellenfunktion φ(x) zu einem Feldoperator
Z ~c d3 p~
âp~ e−ip·x/~ + b̂p†~ eip·x/~ p
φ̂(x) =
.
(2π~)3 2Ep~
(II.10b)
(II.11a)
Dieses Ersetzen von kommutierenden Zahlen mit nicht-kommutierenden Operatoren wird als zweite
Quantisierung bezeichnet.
Die Kommutatoren (II.10) ähneln stark den Vertauschungsrelationen der bei der Quantisierung
des harmonischen Oszillators eingeführten Leiteroperatoren â und ↠. Somit werden jetzt die âp~ und
b̂p~ bzw. die âp†~ und b̂p†~ als Vernichtungs- bzw. Erzeugungsoperatoren bezeichnet.
Der zu φ̂(x) hermitesch konjungierte Operator lautet
Z ~c d3 p~
φ̂(x)† =
âp†~ eip·x/~ + b̂p~ e−ip·x/~ p
.
(2π~)3 2Ep~
Definiert man einen zum Feldoperator φ̂(x) kanonisch konjugierten Operator durch
Z
E d3 p~
1
i † ip·x/~
p
~
†
π̂(x) ≡ ∂0 φ̂(x) =
âp~ e
− b̂p~ e−ip·x/~ p
,
c
c
(2π~)3 2Ep~
so führen die verschiedenen Vertauschungsrelationen (II.10) zum Kommutator
φ̂(t, ~x), π̂(t, ~y ) = i~ δ (3) (~x − ~y ).
(II.11b)
(II.12)
(II.13)
Hier sollen die Felder zur gleichen Zeit betrachtet werden. Diese Relation ist ähnlich dem kanonischen
Kommutator [x̂, p̂x ] = i~ der Quantenmechanik.
II. Klein–Gordon-Gleichung
24
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
Beweis der Relation (II.13): Das Einsetzen der Ausdrücke (II.11a) und (II.12), geschrieben mit
der Integrationsvariable ~q in den Kommutator gibt
Z
d3 p~ E d3 ~q
pq~
φ̂(x), π̂(y) = i~
,
âp~ , âq†~ e−i(p·x−q·y)/~ − b̂p†~ , b̂q~ ei(p·x−q·y)/~
(2π~)3 2Ep~ 2Eq~
wobei die verschwindenden Kommutatoren âp~ , b̂q~ und b̂p†~ , âq†~ schon nicht geschrieben wurden.
Mithilfe der Relationen (II.10a) wird die Integration nach ~q trivial
Zh
i d3 p~ E d3 ~q
pq~
,
φ̂(x), π̂(y) = i~ δ (3) p~ − ~q e−i(p·x−q·y)/~ + δ (3) p~ − ~q ei(p·x−q·y)/~
(2π~)3 2Ep~ 2Eq~
Zh
i d3 p~
0
0
0
0
.
= i~ ei[Ep~ (y −x )−~p·(~y−~x)]/~ + ei[Ep~ (x −y )−~p·(~x−~y)]/~
2(2π~)3
Macht man dann x0 = y 0 = ct, so ergibt sich das gesuchte Ergebnis.
II.3.2 Physikalische Deutung
Um die physikalische Deutung der oben eingeführten Operatoren âp~ , âp†~ , b̂p~ und b̂p†~ besser zu
erkennen, werden jetzt zwei „üblichen“ Operatoren durch diese Leiteroperatoren ausgedrückt.
Man kann zeigen, dass der Hamilton-Operator für das Skalarfeld genügend der Klein–GordonGleichung durch
Z m2 c2
†
†
† ~
~
(II.14)
Ĥ =
π̂(x) π̂(x) + ∇φ̂(x) · ∇φ̂(x) + 2 φ̂(x) φ̂(x) d3 ~x
~
gegeben ist.
Skizzenhaft ist die Klein–Gordon-Gleichung (II.4) die Bewegungsgleichung, die sich aus der
Lagrange-Dichte
m2 c2
L̂KG φ̂(x), ∂ µ φ̂(x) = ∂µ φ̂(x)† ∂ µ φ̂(x) − 2 φ̂(x)† φ̂(x)
~
unter Nutzung der Euler–Lagrange-Gleichung, entsprechend der Extremierung der Wirkung,
herleiten lässt. Führt man eine Legendre-Transformation dieser Dichte bezüglich ∂0 φ̂(x) durch,
so erhält man die Hamilton-Dichte, die den Integranden in Gl. (II.14) darstellt.
Setzt man den Ausdruck (II.11a) des Klein–Gordon-Feldes in diesen Hamilton-Operator ein, so
findet man
Z Z h
i
1
1 †
Ĥ =
âp~ âp~ + âp~ âp†~ + b̂p†~ b̂p~ + b̂p~ b̂p†~ Ep~ d3 p~ =
âp†~ âp~ + b̂p†~ b̂p~ + δ (3) (~0) Ep~ d3 p~, (II.15)
2
2
wobei die zweite Gleichung aus den Vertauschungsrelationen (II.10a) folgt. Bei den hermiteschen
(a)
(b)
Operatoren N̂p~ ≡ âp†~ âp~ und N̂p~ ≡ b̂p†~ b̂p~ im rechten Glied erkennt man in Ähnlichkeit mit dem
harmonischen Oszillator die Besetzungszahloperatoren für jeden Typ von Teilchen (a und b) mit
einem gegebenen Impuls. Dazu stellt der Term δ (3) (~0) die unphysikalische Vakuumenergie dar, die
schon bei der Quantisierung des einfachen harmonischen Oszillator auftritt. Wichtig ist, dass beide
Teilchenarten positiv zur Gesamtenergie beitragen, auch wenn in der Wellenfunktion-Beschreibung
die Wellen des Typs b eine „negative Energie“ hatten.
Die Herleitung des Ausdrucks (II.15) ist ähnlich den Beweisen des Kommutators (II.13) oben
oder der Beziehung (II.17) unten und wird der Leserin überlassen.
Bemerkung: Der Ausdruck (II.14) des
liefert die hier adoptierte Dimension
Hamilton-Operators
des Klein–Gordon-Feldes, und zwar φ̂ = M 1/2 L1/2 T −1 . In einem System natürlicher Einheiten
hat φ̂ die Dimension
Dazu geben
die Kommutatoren (II.10a) die Dimension der
einer
Energie.
−1
−3/2
Leiteroperatoren, â = b̂ = (M LT )
.
II. Klein–Gordon-Gleichung
25
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
Um zwischen den beiden Teilchenarten unterscheiden zu können, kann man den Operator
Z
i
i h
φ̂(x)† ∂0 φ̂(x) − φ̂(x)∂0 φ̂(x)† d3 ~x
(II.16)
N̂ ≡
~c
betrachten. Der Vergleich dieser Definition mit der Zeitkomponente des Viererstroms (II.8) weist
auf die Erhaltung der entsprechenden physikalischen Größe hin.
Mit den Ausdrücken von φ̂(x) und φ̂(x)† in Abhängigkeit der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren und unter Verwendung der Vertauschungsrelationen der Letzteren ergibt sich
Z Z h
i
1 †
1 †
†
† 3
N̂ =
âp~ âp~ + âp~ âp~ − b̂p~ b̂p~ + b̂p~ b̂p~ d p~ =
âp†~ âp~ − b̂p†~ b̂p~ d3 p~.
(II.17)
2
2
Gleichungen (II.11) und (II.12), mit φ̂(x)† und ∂0 φ̂(x)† bzw. φ̂(x) und ∂0 φ̂(x) geschrieben als
Integrale über p~ bzw. ~q, führen zu
Z Eq~ 1/2
N̂ =
â†p~ eip·x/~ + b̂p~ e−ip·x/~ âq~ e−iq·x/~ − b̂q†~ eiq·x/~
Ep~
Ep~ 1/2 d3 p~ d3 ~q 3
† ip·x/~
† iq·x/~
−iq·x/~
−ip·x/~
d ~x.
+ âq~ e
âp~ e
+ b̂q~ e
− b̂p~ e
Eq~
2(2π~)3
Multipliziert man die Produkte aus, so ergeben sich Terme der Art â†p~ âq~ ei(p−q)·x/~ , mit entweder
±i(p−q)·x/~ oder ±i(p+q)·x/~ im Exponent. Durch die Integration über d3 ~x werden diese Ex3 (3)
ponentialfunktionen durch entsprechende Terme (2π~)3 δ (3) (~
p − ~q) oder
(~
p + ~q) ersetzt.
p (2π~) δ p
3
Integriert man als nächstes über d ~q, so werden die zwei Faktoren Eq~ /Ep~ und Ep~ /Eq~ gleich
1. Dann tauchen alle Produkte von â und b̂ Operatoren bzw. von ihren adjungierten Operator
als Kommutatoren auf, die dank Gl. (II.10b) verschwinden. Die restlichen Terme entsprechen
gerade dem zweiten Glied in Gl. (II.17).
Auf Gl. (II.17) erkennt man wieder die Besetzungszahloperatoren für jede Teilchenart, doch jetzt
tragen sie mit entgegengesetzten Vorzeichen zu N̂ bei. Dies lässt sich einfach interpretieren, indem
man sich vorstellt, dass die zugehörige Erhaltungsgröße irgendeiner erhaltene „Ladung“ entspricht,
wobei die Teilchen des Typs a eine positive Ladung und die Teilchen des Typs b eine negative,
entgegengesetzte Ladung tragen.
Beide Teilchenarten besitzen also die gleiche Masse m — sie genügen derselben Klein–GordonGleichung —, doch ihre Ladungen sind entgegengesetzt: bei dem Typ b handelt es sich definitionsgemäß um die Antiteilchen zum Typ a.
Somit lässt die Feynman–Stückelberg-Interpretation der Quanten des Typs b als Antiteilchen
mit positiver Energie einfach als natürliche Folgerung des Formalismus wiederentdecken.
Die Wirkungen der unterschiedlichen Leiteroperatoren lassen sich wie folgt zusammenfassen:
• âp~ vernichtet ein Teilchen mit Impuls p~, das also im Anfangszustand eines Streuprozesses
vorhanden sein muss. Somit steht dieser Vernichter für ein einlaufendes Teilchen.
• âp†~ erzeugt ein Teilchen mit Impuls p~, das sich also im Endzustand eines Stoßes befinden wird:
dieser Erzeugungsoperator repräsentiert ein auslaufendes Teilchen.
• b̂p~ vernichtet ein einlaufendes Antiteilchen mit Impuls p~.
• b̂p†~ erzeugt ein auslaufendes Antiteilchen mit Impuls p~.
Wenn das Feldoperator φ̂(x) hermitesch ist, so dass die entsprechende Wellenfunktion φ(x) = hφ̂(x)i
reelle Werte annimmt, dann gilt âp~ = b̂p~ für jeden p~: das Teilchen ist sein eigenes Antiteilchen.
Dieser Fall wird länger in Abschn. IV.2 diskutiert.
Bemerkung: Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren âp†~ , âp~ , b̂p†~ und b̂p~ — und somit das
Feldoperator φ̂(x), dessen hermitesch Konjugierte und deren Ableitungen — sind Operatoren auf
II. Klein–Gordon-Gleichung
26
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
einem (bosonischen) Fock-Raum, der den geeigneten Hilbert-Raum für Viel-Teilchen-Systeme darstellt. Ein besonderer Zustand dieses Raums ist der Vakuumzustand |0i, der so definiert ist, dass
âp~ |0i = b̂p~ |0i = 0 für jeden p~ gilt.
Literatur
• Landau & Lifschitz, Band IV [12], Kap. II § 10–12.
• Nachtmann [13], Kap. 3.2.
• Schwabl [1], Kap. 5.1–5.2.
II. Klein–Gordon-Gleichung
27
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Relativistische Quantenmechanik
III. Dirac-Gleichung
Historisch wurde die Existenz der Lösungen der Klein–Gordon-Gleichung mit negativer Energie als
einen Beweis der Irrelevanz der Gleichung für Physik angesehen, bevor die Stückelberg–FeynmanInterpretation und die zweite Quantisierung eingeführt wurden. Da diese damals unerwünschten
Lösungen daraus folgen, dass die Klein–Gordon-Gleichung (II.4) zweiter Ordnung in der Zeit t
ist, wurde nach einer relativistischen Wellengleichung gesucht. Eine solche Gleichung wurde durch
P. A. M. Dirac gefunden [14] und wird in Abschn. III.1 für den Fall eines freies Teilchen hergeleitet.
Diese Gleichung nutzt Matrizen, deren Eigenschaften in Abschn. III.2 dargestellt sind. Schließlich
befasst sich Abschn. III.3 mit den Lösungen der Gleichung sowie mit deren physikalischen Deutung.
III.1 Heuristische Herleitung
Die ursprüngliche Idee von Dirac bestand darin, die linke Seite der quadratischen relativistischen
Energie–Impuls-Beziehung p2 − m2 c2 = 0 als Produkt von zwei linearen Beiträgen zu faktorisieren
pµ pµ − m2 c2 ≡ (γ ν pν + mc)(β λ pλ − mc)
wobei β λ , γ ν acht zu bestimmenden Koeffizienten sind. Dann gewährleistet das Verschwinden eines
der Multiplikanden des rechten Glieds, dass die Beziehung erfüllt wird. Berechnet man das Produkt
auf der rechten Seite, so ergibt sich durch Gleichsetzung der quadratischen und linearen Terme in p
η µν pµ pν = β λ γ ν pλ pν
und mc(β λ − γ λ )pλ = 0.
Die zweite Gleichung liefert β λ = γ λ für λ = 0, . . . , 3. Ersetzt man dann β λ in der ersten Gleichung, so lautet die Letztere (hier wird die Einstein’sche Summenkonvention ausnahmsweise nicht
verwendet!)
3
3
3
X
X
X
(γ µ )2 (pµ )2 +
(γ µ γ ν + γ ν γ µ )pµ pν =
η µµ (pµ )2 .
µ=0
µ,ν=0
µ6=ν
µ=0
Der Vergleich der Koeffizienten der Bilinearformen in p0 , p1 , p2 , p3 auf den beiden Seiten dieser
Gleichung führt zu
(γ 0 )2 = +1,
(γ 1 )2 = −1,
(γ 2 )2 = −1,
(γ 3 )2 = −1,
γ µ γ ν + γ ν γ µ = 0 für µ 6= ν.
(III.1)
Mit Zahlen können diese Beziehungen nicht erfüllt werden — die Wahlen γ 0 = ±1, γ k = ±i genügen
ja den vier ersten Relationen, nicht aber der letzten.
Um mögliche Lösungen des Systems (III.1) zu finden, soll man somit nicht nach Zahlen, sondern
nach N ×N -Matrizen suchen. Mittels des Antikommutators zweier Matrizen {A, B} ≡ AB − BA
lassen sich die Beziehungen als
µ ν
γ , γ = 2η µν 1N
(III.2)
umschreiben, mit 1N der N×N -Identitätsmatrix und η µν den Komponenten des inversen metrischen
Tensors.
Die Matrizen kleinster Dimension, die den Beziehungen (III.2) genügen, sind 4×4-Matrizen.
Der Fall N = 1 entspricht Zahlen und wurde schon diskutiert.
Für N = 2 existieren ja drei linear unabhängige 2 × 2-Matrizen, die Pauli-Matrizen σk , die
tatsächlich miteinander antikommutieren: {σj , σk } = 2δjk . Die einzigen noch bleibenden linear
unabhängigen Matrizen sind proportional zur Identität 12 , die aber nicht mit den Pauli-Matrizen
anitkommutiert: {12 , σk } = 2σk , so dass Beziehung (III.2) nicht erfüllt werden kann.
III. Dirac-Gleichung
28
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
Für N = 3 führt die Gleichung γ µ γ ν = −γ ν γ µ für µ 6= ν zu (det γ µ )(det γ ν ) = −(det γ µ )(det γ ν ),
d.h. eine der Determinanten muss gleich 0 sein, was vermeidet sein soll, damit das Produkt einer
γ µ -Matrix mit einem nicht-verschwindenden D-komponentigen Vektor nicht Null ist.
Eine mögliche Wahl, gennant Standard- oder Dirac-Darstellung, besteht aus den Matrizen
12
0
0
σk
0
k
γ =
,
γ =
,
(III.3)
0 −12
−σk 0
mit σk für k = 1, 2, 3 den üblichen Pauli-Matrizen
0 1
0 −i
σ1 =
, σ2 =
,
1 0
i 0
1 0
σ3 =
.
0 −1
(III.4)
Die Matrizen γ µ werden als Dirac-Gamma-Matrizen oder kurz Dirac-Matrizen bezeichnet.
Zusammen bilden die vier Dirac-Matrizen γ µ eine Größe, die sich unter der Lorentz-Gruppe wie
ein kontravarianter Vektor — dessen Komponenten 4×4-Matrizen sind — transformieren. Dementsprechend stellen die Beziehungen (III.2) die Komponenten einer Gleichung zwischen zwei LorentzTensoren zweiter Stufe dar, wobei eine Komponente schon eine 4×4-Matrix ist.
Sei aµ ein aus vier Zahlen bestehender kovarianter Vektor. Dann bezeichnet das „Skalarprodukt“
aµ γ µ eine Lorentz-invariante 4 × 4-Matrix. Diese lässt sich auch kompakt in der durch Feynman
eingeführten Slash-Notation als
6 a ≡ aµ γ µ .
(III.5)
Die relativistische Energie–Impuls-Beziehung pµ pµ − m2 c2 = 0 für ein Teilchen der Masse m
kann jetzt erfüllt werden, indem wir das Teilchen durch eine Größe ψ(x) beschreiben, auf das die
Wirkung der Matrix γ µ pµ − mc14 Null gibt: (γ µ pµ − mc14 )ψ(x) = 0, wobei wir im Folgenden
die 4-dimensionale Identität 14 weglassen können. Unter Verwendung der Korrespondenz (II.5) zur
Ortsdarstellung ergibt sich dann die Dirac-Gleichung (in Ortsdarstellung)
mc
µ
iγ ∂µ −
ψ(x) = 0.
(III.6a)
~
Unter Verwendung der Slash-Notation lautet dies auch
mc
i6 ∂ −
ψ(x) = 0.
~
(III.6b)
Da die Dirac-Matrizen der Dimension 4 sind, ist ψ(x) ein vierkomponentiger Spaltenvektor, der
auch Dirac-Spinor oder 4-Spinor genannt wird. Unter Lorentz-Transformationen transformiert sich
der Letztere aber nicht wie ein Vierervektor — seine Komponenten sollten deshalb nicht mit einem
Lorentz-Index µ = 0, 1, 2, 3 bezeichnet werden.
Die Anwesenheit der Pauli-Matrizen in den Dirac-Matrizen deutet darauf hin, dass die DiracSpinoren freie Teilchen mit dem Spin 12 beschreiben. Solche Teilchen besitzen aber nur zwei Freiheitsgrade, während ein Dirac-Spinor vier Freiheitsgrade hat. Tatsächlich werden wir im Folgenden
sehen, dass ein Dirac-Spinor ein Spin- 21 -Teilchen und sein Antiteilchen auf einmal beschreiben.
Bemerkungen:
∗ Mittels des metrischen Tensors definiert man auch Matrizen γµ .
∗ Andere Darstellungen der Dirac-Matrizen sind auch möglich, und lassen sich durch Basistransformationen im vierdimensionalen Vektorraum, auf welchen die γ µ -Matrizen wirken, erhalten. Zum
Beispiel ist es manchmal bequemer, mit der folgenden sog. chiralen Darstellung zu arbeiten
0 12
0
σk
0
k
γ =
,
γ =
.
(III.7)
12 0
−σk 0
III. Dirac-Gleichung
29
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
III.2 „Diracologie“
In diesem Abschnitt werden einige Eigenschaften der Gamma-Matrizen dargestellt, sowie einige
Definitionen eingeführt.
III.2.1 Eigenschaften der Dirac-Matrizen
Hiernach werden einige Eigenschaften der Dirac-Matrizen gelistet, die sich in einer gegebenen
Darstellung einfach nachprüfen lassen.
III.2.1
a Spuren von Dirac-Matrizen und deren Produkte
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Die Dirac-Matrizen sind spurlos
Tr γ µ = 0 für µ = 0, 1, 2, 3.
(III.8)
Die Grundrelation (III.2) gibt (γ µ )2 = η µµ 14 für jeden möglichen µ. Sei jetzt ν ∈ {0, 1, 2, 3}
und µ 6= ν. Dann führt γ ν = γ ν (γ µ )2 /η µµ zu
1
1
1
Tr γ ν = µµ Tr γ ν (γ µ )2 = − µµ Tr γ µ γ ν γ µ = − µµ Tr (γ µ )2 γ ν = −Tr γ ν ,
η
η
η
wobei die zweite Gleichung aus der Antikommutationsrelation (III.2) folgt, und die dritte aus
der Zyklizität der Spur.
Die Spur des Produkts zweier Dirac-Matrizen folgt sofort aus dem Antikommutator (III.2)
Tr γ µ γ ν ) = 4η µν .
(III.9)
Das Produkt von drei Dirac-Matrizen, oder allgemeiner von einer ungeraden Zahl von DiracMatrizen ist spurlos
Tr γ µ γ ν γ ρ ) = 0.
(III.10)
Der Beweis nutzt die unter eingeführte γ5 -Matrix und deren Eigenschaften (γ5 )2 = 14 und
{γ µ , γ5 } = 0 für jeden µ. Dann wird wie im Beweis der Eigenschaft (III.8) (γ5 )2 in die Spur
eingeführt: eine der γ5 wird mit den anderen Matrizen des Produkts dreimal (oder mehr, im
Fall des Produkts 5 oder mehr Matrizen) antikommutiert, und die Zyklizität der Spur gibt
letztendlich Tr γ µ γ ν γ ρ ) = −Tr γ µ γ ν γ ρ ).
III.2.1
b Verhalten unter hermitescher Konjugation
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Auf Gl. (III.3) sieht man sofort, dass γ 0 in der Standard-Darstellung reell symmetrisch und somit
hermitesch ist, (γ 0 )† = γ 0 . Dagegen sind γ 1 und γ 3 in dieser Darstellung reell antisymmetrisch und
deshalb antihermitesch, (γ 1 )† = −γ 1 und (γ 3 )† = −γ 3 . Schließlich ist die Dirac-Darstellung von γ 2
komplex symmetrisch, also ebenfalls antihermitesch, (γ 2 )† = −γ 2 .
Dank der allgemein geltenden Relation (III.2) lassen sich diese Eigenschaften der GammaMatrizen in der Dirac-Darstellung als
(γ µ )† = γ 0 γ µ γ 0
(III.11)
zusammenfassen.
Die Beziehungen (III.11) lassen sich auch in der chiralen Darstellung (III.7) der Dirac-Matrizen
einfach prüfen.
Diese Relationen (III.11) folgen allgemeiner aus der nötigen Hermitizität des auf Dirac-Spinoren
wirkenden Hamilton-Operators H = α
~ ·~
p c+βmc2 14 , wobei αk = (γ 0 )−1 γ k = γ 0 γ k für k = 1, 2, 3
und β = (γ 0 )−1 = γ 0 .
Aus Gl. (III.11) folgt die Unitarität der Dirac-Matrizen
(γ µ )† γ µ = 14
III. Dirac-Gleichung
für µ = 0, 1, 2, 3.
(III.12)
30
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
III.2.2 Chiralitätsoperator
Mit den Dirac-Matrizen definiert man den (auf Dirac-Spinoren wirkenden) Chiralitätsoperator
γ5 ≡ γ 5 ≡ iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 .
(III.13)
In der Dirac-Darstellung findet man sofort
γ5 =
0 12
,
12 0
(III.14)
während in der chiralen Darstellung γ5 diagonal ist:
−12 0
γ5 =
.
0
12
(III.15)
Aus der Definition (III.13) und der Relation (III.2) folgen sofort die Eigenschaften
(γ5 )2 = 14 ,
(III.16a)
so dass die einzigen möglichen Eigenwerte von γ5 nur +1 und −1 sein können, und
µ γ , γ5 = 0 für µ = 0, 1, 2, 3.
(III.16b)
Dazu ist γ5 spurlos
Tr γ5 = 0.
(III.16c)
Mithilfe von (γ 0 )2 = 14 , der Vertauschungsrelation
γ 0, γ5 = 0 und der Zyklizität der Spur
0
0 2
0
erhält man Tr γ5 = Tr (γ ) γ5 = −Tr γ γ5 γ = −Tr γ 5 (γ 0 )2 = −Tr γ5 .
Schließlich führt Gl. (III.11) zur Hermitizität von γ5
γ5† = γ5 .
(III.16d)
Bemerkung: Eine nützliche alternative Formel für γ5 ist
i
(III.17)
γ5 = − µνρσ γ µ γ ν γ ρ γ σ ,
4!
mit µνρσ dem Levi–Civita-Tensor (I.45) mit der Konvention 0123 = −1. Dieser Ausdruck zeigt, dass
γ5 sich unter Lorentz-Transformation wie ein Pseudoskalar transformiert, da µνρσ ein Pseudotensor
ist.
III.2.3 Dirac-adjungierter Spinor
Sei ψ ein Dirac-Spinor, mit
 
a
b

ψ=
c .
d
Der dazu hermitesch-konjugierte Spinor ψ † wird definiert als
ψ † = a∗ b∗ c∗ d∗ .
Nützlicher als ψ † ist aber der Dirac-adjungierte Spinor ψ̄, definiert als
ψ̄ ≡ ψ † γ 0 .
(III.18)
Man kann zeigen, dass ψ̄ sich unter Lorentz-Transformationen einfacher als ψ † transformiert.
Mithilfe der Beziehung (III.11) findet man, dass wenn ψ(x) der Dirac-Gleichung (III.6a) erfüllt,
dann genügt ψ̄(x) die Gleichung
←
mc
µ
ψ̄(x) iγ ∂ µ +
= 0,
(III.19)
~
wobei der Pfeil nach links bedeutet, dass die Ableitungen hier nach links wirken.
III. Dirac-Gleichung
31
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
III.3 Lösung der freien Dirac-Gleichung
Dieser Abschnitt geht auf die Lösungen der Gleichung (III.6) und einige deren Eigenschaften ein,
beginnend mit ebenen Wellen (Abschn. III.3.1). Dann wird die zweite Quantisierung dieser Lösungen
in Abschn. III.3.2 kurz dargestellt. Schließlich befasst sich Abschn. III.3.3 mit zwei Größen, die eine
Lösung charakterisieren.
III.3.1 Wellenlösungen
Da die Dirac-Gleichung eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung ist, sucht man nach
Lösungen in Form von ebenen Wellen.
Sei also
ψ(x) ∝ u(~
p) e−ip·x/~ ,
(III.20)
wobei der Dirac-Spinor u(~
p) ortsunabhängig ist. Dieser spielt die gleiche Rolle, wie der Polarisationsvektor bei den Lösungen der Maxwell-Gleichungen [vgl. Abschn. IV.2].
Setzt man diesen Ansatz in die Dirac-Gleichung (III.6a) ein, so kommt dank der Beziehung
i∂µ e−ip·x/~ = pµ e−ip·x/~ /~ die Gleichung
γ µ pµ − mc u(~
p) = 6 p − mc u(~
p) = 0.
(III.21a)
Diese Gleichung bedeutet, dass u(~
p) Eigenvektor der Matrix 6 p mit dem Eigenwert mc ist. In der
Standard-Darstellung lautet die Gleichung
!
!
!
(p0 − mc)12
−~
p · ~σ
uA (~
p)
0
=
,
(III.21b)
p~ · ~σ
(−p0 − mc)12
uB (~
p)
0
mit uA (~
p) und uB (~
p) einspaltigen zweikomponentigen Vektoren, während p~ · ~σ ≡ pj σj mit σj den
Pauli-Matrizen. Diese Matrixgleichung gibt sofort
!
!
(p0 − mc)uA (~
p) − p~ · ~σ uB (~
p)
0
=
,
p~ · ~σ uA (~
p) − (p0 + mc)uB (~
p)
0
d.h.
uA (~
p) =
p0
1
p~ · ~σ uB (~
p),
− mc
uB (~
p) =
p0
1
p~ · ~σ uA (~
p).
+ mc
Setzt man die zweite Gleichung in die erste ein, so ergibt sich
uA (~
p) =
(p0 )2
2
1
1
p~ · ~σ uA (~
p) = 0 2
pi σi pj σj uA (~
p).
2
2
−m c
(p ) − m2 c2
Unter Verwendung der Beziehung σi σj = δij 12 + i ijk σk findet man pi σi pj σj = p~ 2 12 , so dass die
letztere Gleichung auch als
p~ 2
uA (~
p) = 0 2
uA (~
p)
(p ) − m2 c2
geschrieben werden kann. Daraus folgt, dass die Komponenten des Vierervektors p im Lösungsansatz (III.20) die Relation p~ 2 = (p0 )2 − m2 c2 erfüllen sollen, d.h.
p
p0 c = ± p~ 2 c2 + m2 c4 = ±Ep~ .
(III.22)
Somit hat die Dirac-Gleichung (III.6a), ähnlich wie die Klein–Gordon-Gleichung (II.4), zwei
Arten von Lösungen, mit „positiver Energie“ (p0 > 0) sowie mit „negativer Energie“ (p0 < 0). Beide
Wellenarten sind durch Viererimpulse p charakterisiert, die der relativistischen Energie–ImpulsBeziehung (p0 )2 = p~ 2 + m2 c2 genügen.
III. Dirac-Gleichung
32
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Relativistische Quantenmechanik
Bemerkungen:
∗ Alternativ kann man ausgehend von der Matrixgleichung (III.21) sagen, dass diese nur dann
nicht-triviale Lösungen hat, wenn die Determinante der Matrix 6 p − mc14 verschwindet, was sofort
zur Bedingung (III.22) führt.
∗ Natürlich ist es ziemlich bedeutsam, dass die Lösungen mit negativer Energie wieder vorkommen,
obwohl eines der Ziele Diracs bei der Suche nach einer relativistischen Wellengleichung von erster
Ordnung in der Zeit war, solche Lösungen zu vermeiden.
III.3.1
a Lösungen positiver oder negativer Energie
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Multipliziert man die Gl. (III.21a) links mit γ 0 , so ergibt sich unter Berücksichtigung der Relationen (III.2) (p0 − pk γ 0 γ k − mcγ 0 )u(~
p) = 0, d.h.
mcγ 0 − pk γ 0 γ k u(~
p) = p0 u(~
p).
Diese Gleichung stellt für jeden p~ eine Eigenwert-Gleichung für die Matrix mcγ 0 − pk γ 0 γ k dar. Nach
Gl. (III.22) sind die möglichen Eigenwerte entweder p0 = +Ep~ /c oder p0 = −Ep~ /c. Da die Matrix
mcγ 0 − pk γ 0 γ k spurlos ist, soll jeder Eigenwert zweimal vorkommen.
Zunächst werden die Lösungen mit „positiver Energie“ p0 > 0 betrachtet und als u(~
p) e−ip·x/~
geschrieben, mit u(~
p) einer Lösung von Gl. (III.21a). Dank der Beziehung
6 p − mc 14 6 p + mc 14 = p2 − m2 c2 14
kann man für den Dirac-Spinor u(~
p) die Form
u(~
p) = N+ (~
p) 6 p + mc u0
annehmen, mit N+ (~
p) ∈ R einer (~
p-abhängigen, vgl. unten) Normierungskonstante und u0 einem
p~-unabhängigen Dirac-Spinor.
Die zwei unabhängigen „Spinzustände“, entsprechend der oben diskutierten zweifachen Entartung des Eigenwerts p0 = +Ep~ /c, werden als
!
ξ±
u0 =
0
gewählt, mit ξ± definiert durch
ξ+ ≡
1
0
!
,
ξ− ≡
0
!
1
.
(III.23)
Mithilfe der Bezeichnung σ ≡ ± lautet die Lösung mit Impuls p~ und „positiver Energie“ p0 > 0
!
ξσ
u(~
p, σ) = N+ (~
p) 6 p + mc
.
(III.24)
0
In der Standard-Darstellung der Dirac-Matrizen lautet diese Lösung
!
Ep~ /c + mc ξσ
u(~
p, σ) = N+ (~
p)
.
p~ · ~σ ξσ
(III.25)
Sei v(~
p) e+ip·x/~ eine Lösung „negativer Energie“, wobei jetzt p0 = +Ep~ /c (dank einer Umbenenµ
nung p → −pµ , vgl. Absch. II.2.1). Man zeigt einfach, dass v(~
p) eine Lösung der Gleichung
γ µ pµ + mc v(~
p) = 6 p + mc v(~
p) = 0.
(III.26)
sein soll. Als Lösungsansatz kann man die Form
v(~
p) = N− (~
p) 6 p − mc v0
annehmen, mit N− (~
p) bzw. v0 einer Normierungskonstante bzw. einem Dirac-Spinor. Für den LetzIII. Dirac-Gleichung
33
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Relativistische Quantenmechanik
teren sind zwei mögliche unabhängige Wahlen
0
v0 =
ξ∓
!
,
wobei ξ+ und ξ− durch Gl. (III.23) gegeben sind. Somit gilt schließlich für die Lösungen mit Impuls
p~ und „negativer Energie“
!
0
v(~
p, σ) = N− (~
p) 6 p − mc
.
(III.27)
ξ−σ
In der Standard-Darstellung der Dirac-Matrizen lautet dies
!
p~ · ~σ ξ−σ
.
v(~
p, σ) = −N− (~
p)
Ep~ /c + mc ξ−σ
(III.28)
III.3.1
b Lösungen mit p~ = ~0
::::::::::::::::::::::::::::
Für die Lösungen mit p~ = ~0 geben Gl. (III.24) und (III.27) unter Verwendung von 6 p = γ 0 p0 und
p0 = p0 = mc jeweils
!
!
!
(p0 +mc)12
0
ξσ
ξσ
u(~0, σ) = N+ (~0)
= 2mcN+ (~0)
,
0
0
0
(−p0 +mc)12
und
v(~0, σ) = N− (~0)
(p0 −mc)12
0
0
(−p0 −mc)12
!
0
!
ξ−σ
= −2mcN− (~0)
0
ξ−σ
!
.
Diese Ergebnisse erklären im Nachhinein die Stelle von ξσ in den Dirac-Spinoren u(~
p, σ) (oben) und
v(~
p, σ) (unten).
III.3.1
c Normierung der Lösungen
::::::::::::::::::::::::::::::::::
Bisher wurden die Normierungskonstanten N+ (~
p) und N− (~
p) in den Lösungen (III.24), (III.27)
nicht spezifiziert. Eine im Folgende nützliche Wahl für diese Konstanten ist
1
,
N+ (~
p) = p
Ep~ /c + mc
−1
N− (~
p) = p
.
Ep~ /c + mc
(III.29)
Dies führt zu den Lorentz-invarianten Normierungen
ū(~
p, σ)u(~
p, σ0 ) = 2mc δσσ0 ,
(III.30a)
v̄(~
p, σ)v(~
p, σ0 ) = −2mc δσσ0
(III.30b)
ū(~
p, σ)v(~
p, σ0 ) = v̄(~
p, σ)u(~
p, σ0 ) = 0
(III.30c)
und
mit ū, v̄ den Dirac-adjungierten Spinoren. Betrachtet man statt der Letzteren die hermiteschkonjugierten Spinoren, so lauten die Normierungen
u(~
p, σ)† u(~
p, σ0 ) = v(~
p, σ)† v(~
p, σ0 ) =
2Ep~
δσσ0 .
c
Beweis der Beziehungen (III.30):
Die Relation (III.11) gibt
ū(~
p, σ) = N+(~
p)∗ ξσT 0 (γ µ )† pµ + mc14 γ 0 = N+(~
p)∗ ξσT 0 γ 0 γ µ pµ + mc14
= N+(~
p)∗ ξσT 0 6 p + mc14 ,
(III.30d)
(III.31)
während in der analogen Berechnung mit v̄(~
p, σ) ein Minus-Vorzeichen in der letzten Gleichung
III. Dirac-Gleichung
34
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
kommt. Somit gilt
der Dirac-Matrizen
in der Standard-Darstellung
T
T
T
T ∗
ū(~
p, σ) = N+ (~
p) Ep~ /c+mc ξσ − p~·~σ ξσ , v̄(~
p, σ) = −N− (~
p)∗ − p~·~σ ξ−σ
,
Ep~ /c+mc ξ−σ
(III.32)
was sich auch direkt aus Gl. (III.25) und (III.28) herleiten lässt. Man findet dann z.B.
2
2 Ep~
2 Ep~
p)
+ mc − p~ 2 ξσT ξσ0 = 2mc N+ (~
+ mc δσσ0 ,
ū(~
p, σ)u(~
p, σ0 ) = N+ (~
p)
c
c
wobei die zweite Gleichung aus der relativistischen Energie–Impuls-Beziehung folgt. Der Ausdruck (III.29) der Normierungskonstante N+ (~
p) ergibt das gesuchte Ergebnis.
III.3.1
d Vollständigkeitsrelation
::::::::::::::::::::::::::::::::
Für die Beschreibung von Teilchenstoß-Experimenten, in denen der Spin der beteiligten Teilchen
nicht gemessen wird — entsprechend der Mehrheit der Experimente —, ist es nützlich, die Summe
über Spinzustände19 σ = ± zu kennen. Es gelten die Vollständigkeitsrelationen
X
u(~
p, σ) ū(~
p, σ) = 6 p + mc14
(III.33a)
σ=±
und
X
v(~
p, σ)v̄(~
p, σ) = 6 p − mc14 .
(III.33b)
σ=±
Diese Beziehungen lassen sich einfach nachprüfen. Beispielsweise lautet einer der Beiträge zur
4×4-Matrix auf der linken Seite der Gl. (III.33a) unter Nutzung der Gl. (III.24) und (III.31)
!
ξσ
2
u(~
p, σ) ū(~
p, σ) = N+ (~
p) 6 p + mc14
ξσT 0 6 p + mc14 .
0
!
ξσ
Dabei ist
ξσT 0 gleich einer diagonalen 4×4-Matrix, und zwar
0
!
(
diag(1, 0, 0, 0) für σ = +
ξσ
T
ξσ 0 =
0
diag(0, 1, 0, 0) für σ = −,
!
!
X ξσ
12 0
so dass
ξσT 0 =
. Dann ergibt sich in der Standard-Darstellung
0
0 0
σ=±
!
!
!
0
X
−~
p · ~σ
12 0 (p0 +mc)12
−~
p · ~σ
2 (p +mc)12
.
u(~
p, σ) ū(~
p, σ) = N+ (~
p)
p~ · ~σ
(−p0 +mc)12
0 0
p~ · ~σ
(−p0 +mc)12
σ=±
Dies gibt gerade das Resultat (III.33a).
III.3.2 Zweite Quantisierung der Wellenlösungen
Wie bei den Lösungen der Klein–Gordon-Gleichung erfolgt die korrekte Deutung der Lösungen
der Dirac-Gleichung über die zweite Quantisierung. Dabei wird die allgemeine Lösung der Gleichung
geschrieben als eine Linearkombination aller möglichen ebenen Wellen der Type u(~
p, σ) e−ip·x/~ und
+ip·x/~
v(~
p, σ) e
mit jeweiligen Amplituden:
Z Xh
i
d3 p~
ψ(x) =
.
cp~,σ u(~
p, σ) e−ip·x/~ + dp∗~,σ v(~
p, σ) eip·x/~ p
(2π~)3 2Ep~ /c
σ=±
In einem zweiten Schritt werden diese komplexen Zahlen cp~,σ , dp∗~,σ durch Operatoren ĉp~,σ , dˆp†~,σ mit
geeigneten
Vertauschungsrelationen ersetzt. Man zeigt, da diese Relationen auf Antikommutatoren
· , · beruhen sollen:
ĉp~,σ , ĉ†q~,σ0 = δ (3) (~
p − ~q) δσσ0 ,
dˆp~,σ , dˆ†q~,σ0 = δ (3) (~
p − ~q) δσσ0 ,
(III.34a)
während alle anderen Antikommutatoren verschwinden
ĉp~,σ , ĉq~,σ0 = dˆp~,σ , dˆq~,σ = · · · = 0.
19
(III.34b)
Diese Bezeichnung wird im Abschn. III.3.3 a unten gerechtfertigt.
III. Dirac-Gleichung
35
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
Die Wahl zwischen Kommutatoren — für Teilchen mit ganzzahligem Spin — und Antikommutatoren — für Teilchen mit halbzahligem Spin — ist natürlich nicht beliebig, sondern folgt aus zwei
Forderungen. Erstens soll die Energie positiv sein, so dass den Moden mit „negativer Energie“
Erzeugungsoperatoren assoziiert werden sollen. Dazu soll die Theorie lokal sein, d.h. Operatoren
bezüglich Raumzeit-Punkte x, x0 , getrennt durch ein raumartiges Intervall (x − x0 )2 < 0, sollen
miteinander (anti)kommutieren.
Somit lautet der Dirac-Feldoperator
Z Xh
i
d3 p~
ψ̂(x) =
ĉp~,σ u(~
p, σ) e−ip·x/~ + dˆp†~,σ v(~
p, σ) eip·x/~ p
(2π~)3 2Ep~ /c
σ=±
und dessen Dirac-adjungiertes Feld
Z Xh
i
d3 p~
ˆ
ψ̄ (x) =
ĉp†~,σ ū(~
p, σ) eip·x/~ + dˆp~,σ v̄(~
p, σ) e−ip·x/~ p
.
(2π~)3 2Ep~ /c
σ=±
(III.35a)
(III.35b)
Bemerkung:
des Dirac-Feldes lässt sich aus Gl. (III.30a), (III.34a) und (III.35a)
Die Dimension
erkennen: ψ̂ = L−3/2 , wie bei einer Schrödinger-Wellenfunktion. In einem System natürlicher
Einheiten hat ψ̂ die Dimension von E 3/2 .
Ähnlich wie beim Klein–Gordon-Feld in Abschn. II.3.2 kann man zwei physikalische Operatoren
benutzen, um die Deutung der Leiteroperatoren ĉp~,σ , dˆp~,σ zu erkennen.
Beispielsweise kann man den Hamilton-Operator entsprechend der Dirac-Gleichung schreiben
20
als
Z X
Z Xh
i
†
†
3
ˆ
ˆ
Ĥ =
ĉp~,σ ĉp~,σ − dp~,σ dp~,σ Ep~ d p~ =
ĉp†~,σ ĉp~,σ + dˆp†~,σ dˆp~,σ − δ (3) (~0) Ep~ d3 p~.
(III.36)
σ=±
σ=±
Interpretiert man ĉp~,σ , dˆp~,σ als Vernichtungsoperatoren, und ĉp†~,σ , dˆp†~,σ als Erzeugungsoperatoren,
so sind ĉp†~,σ ĉp~,σ und dˆp†~,σ dˆp~,σ Besetzungszahloperatoren: jede Teilchenart trägt positiv zur Gesamtenergie bei. Interessanterweise kommt der Beitrag des Vakuums hier mit einem Minus-Vorzeichen,
im Vergleich zum Plus-Vorzeichen in Gl. (II.15).
Bemerkungen:
∗ Die einzigen Eigenwerte der Besetzungszahloperatoren ĉp†~,σ ĉp~,σ und dˆp†~,σ dˆp~,σ sind entweder 0 —
entsprechend der Abwesenheit von Teilchen mit Impuls p~ und Spinzustand σ — oder 1. Im Gegensatz
zu den Teilchenoperatoren für Spin-0-Teilchen sind höhere Besetzungszahlen in einer Mode hier nicht
möglich, entsprechend dem Pauli-Prinzip.
Sei n ein Eigenwert eines Operators ĉ† ĉ, wobei ĉ und ĉ† antikommutieren, und |ni ein zugehöriger
Eigenvektor: ĉ† ĉ|ni = n|ni. Aus {ĉ, ĉ† } = 1̂ folgt n|ni = (1̂ − ĉĉ† )|ni = |ni − ĉĉ† |ni. Wenn n 6= 0,
dann gilt |ni = n−1 ĉ† ĉ|ni, so dass ĉĉ† |ni = n−1 ĉĉ† ĉ† ĉ|ni = 0, wobei die zweite Gleichung aus
ĉ† ĉ† = 21 {ĉ† , ĉ† } = 0 folgt. Somit bleibt n|ni = |ni, d.h. n = 1.
Allgemeiner lassen sich Teilchen mit ganzzahligem Spin durch kommutierende Operatoren beschreiben, was zu einer Bose–Einstein-Statistik führt: sie sind also Bosonen. Dagegen sollen Teilchen mit
halbzahligem Spin durch antikommutierende Operatoren beschrieben werden, und genügen deshalb
der Fermi–Dirac-Statistik: solche Teilchen sind Fermionen.
∗ In supersymmetrischen Theorien entspricht jedem bosonischen Freiheitsgrad ein fermionischer
Freiheitsgrad. Dank den entgegengesetzten Vorzeichen der bosonischen und fermionischen Beiträge
zur Vakuumsenergie verschwindet dann die Letztere.
20
Durch die Feldoperatoren ausgedrückt lautet der Hamilton-Operator
Z
Z
~ + mc ψ̂(t, ~
~ + mc γ 0 ψ̂(t, ~
Ĥ = ~c ψ̄ˆ(t, ~
x) −i~γ · ∇
x ) d3 ~
x = ~c ψ̂(t, ~
x)† −iγ 0~γ · ∇
x ) d3 ~
x.
~
~
III. Dirac-Gleichung
36
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
Multipliziert man die Dirac-Gleichung (III.6a) von links mit ψ̄(x), und die Dirac-adjungierte
Gleichung (III.19) von rechts mit ψ(x), und addiert man beide Gleichungen, so findet man
i∂µ ψ̄(x)γ µ ψ(x) = 0,
entsprechend einer Kontinuitätsgleichung für die Viererstromdichte
i~
µ
jDirac
(x) ≡
ψ̄(x)γ µ ψ(x).
2m
Z
i~
Somit ist
ψ̄(t, ~x)γ 0 ψ(t, ~x) d3 ~x eine Erhaltungsgröße. Aus Gl. (III.35) folgt
2m
Z Xh
Z
i
i~
0
3
ˆ
ψ̄ (t, ~x)γ ψ̂(t, ~x) d ~x =
ĉp†~,σ ĉp~,σ − dˆp†~,σ dˆp~,σ d3 p~,
N̂ =
2m
σ=±
(III.37)
(III.38)
d.h. die beiden Teilchenarten tragen mit entgegengesetzten Vorzeichen zur Erhaltungsgröße bei:
ˆ dˆ† -Operatoren beschriebenen Teilchen sind die Antiteilchen zu denen, die durch ĉ, ĉ†
die mit d,
beschrieben sind.
Bemerkung: Im Gegensatz zur 0-Komponente der Klein–Gordon-Viererstromdichte (II.8) ist
0
0
jDirac
(x) immer eine positiv definite reelle Zahl. Somit kann ρ0Dirac (x) ≡ jDirac
(x)/c als eine Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden, ähnlich der mit einer Schrödinger-Wellenfunktion assoziierten Wahrscheinlichkeitsdichte.
Zusammenfassend wirken die verschiedenen Leiteroperatoren wie folgt:
• ĉp~,σ vernichtet ein Teilchen mit Impuls p~ und Spinzustand σ, das also im Anfangszustand
eines Stoßprozesses vorhanden sein muss. Somit steht dieser Vernichter für ein einlaufendes
Teilchen.
• ĉp†~,σ erzeugt ein Teilchen mit Impuls p~ und Spinzustand σ, das sich also im Endzustand einer
Kollision befinden wird: dieser Erzeugungsoperator repräsentiert ein auslaufendes Teilchen.
• dˆp~,σ vernichtet ein (in einem Streuprozess) einlaufendes Antiteilchen mit Impuls p~ und Spinzustand σ.
• dˆp†~,σ erzeugt ein (in einem Streuprozess) auslaufendes Antiteilchen mit Impuls p~ und Spinzustand σ.
Um die Bezeichnung „Spinzustand“ für den Freiheitsgrad σ besser zu motivieren, sollen nun zwei
weitere Operatoren eingeführt und diskutiert werden.
III.3.3 Helizität und Chiralität
In diesem Abschnitt werden zwei auf Dirac-Spinoren wirkenden Operatoren diskutiert, und zwar
die Helizitäts- und Chiralitätsoperatoren. Um diese Operatoren von denen des Abschn. (III.3.2) —
die auf die Zustände eines fermionischen Fock-Raums wirken — zu unterscheiden, werden sie ohne
Zirkumflex geschrieben, also als einfache 4×4-Matrizen.
III.3.3
a Helizität
:::::::::::::::::
Man kann zeigen, dass der Spin einer Lösung der freien Dirac-Gleichung keine Erhaltungsgröße
~ nicht mit dem
ist, entsprechend der Tatsache, dass der auf Dirac-Spinoren wirkende Spinoperator S
21
Hamilton-Operator kommutiert. Dagegen ist die Komponente des Spins entlang der Bewegungsrichtung, d.h. die Richtung des Impulses p~, erhalten.
21
Dieser Spinoperator ist gleich ~ mal dem Generator der Drehungen auf dem durch die Dirac-Spinoren gespannten
Vektorraum, vgl. Abschn. I.1.3.
III. Dirac-Gleichung
37
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
Sei ~ep~ ≡ p~/|~
p | der Einheitsvektor in Bewegungsrichtung eines Dirac-Spinors. Im Folgenden wird
der Helizitätsoperator definiert als
!
~
σ
0
~ mit Σ
~ =
h(~
p) ≡ ~ep~ · Σ
,
(III.39)
0 ~σ
~ ist tatsächlich einfach verknüpft mit dem Spinoperator auf Diracmit σ k den Pauli-Matrizen. Σ
~~
~
Spinoren, S = 2 Σ. Somit ist die Komponente des Spinoperators entlang der Bewegungsrichtung
Sp~ = ~2 h(~
p).
Dank der Beziehung (~
p · ~σ )2 = p~ 2 12 findet man sofort, dass [h(~
p)]2 = 14 ist. Infolgedessen
sind die Eigenwerte von h(~
p) gleich ±1. Ist ein Dirac-Spinor ψ Eigenvektor von h(~
p), so wird der
entsprechende Eigenwert als die Helizität des Spinors bezeichnet: ein Spinor mit Helizität +1 bzw.
−1 hat also eine Spinkomponente ~2 (kurz: ↑) bzw. − ~2 (kurz: ↓) entlang seines Impulses.
Bemerkung: Manchmal (z.B. in Landau & Lifschitz [12] oder Nachtmann [13]) wird die Helizität
als Eigenwert des Spinoperators in Bewegungsrichtung definiert, entsprechend dem Erwartungswert
des oben eingeführten OperatorsSp~ . Die möglichen Helizitäten sind dann ± ~2 statt ±1. Jedenfalls
bleibt das Vorzeichen der Helizität eines gegebenen Spinors ungeändert.
Seien nun die zwei Operatoren
(h)
P± ≡
14 ± h(~
p)
.
2
Es gelten die Beziehungen
(h) 2
(h)
• P±
= P± ;
•
•
(h) (h)
(h) (h)
P+ P− = P− P+
(h)
(h)
P+ + P− = 14 .
(III.40)
(III.41a)
= 0;
(III.41b)
(III.41c)
(h)
P+
(h)
P−
Die Erstere bedeutet, dass
und
Projektoren sind. Dann lässt sich gemäß Gl. (III.41c) jeder
(h)
Dirac-Spinor als Summe von einem Spinor des Bildes von P+ und einem Spinor des Bildes von
(h)
P− schreiben:
(h)
(h)
(h)
(h)
ψ = P+ ψ + P− ψ ≡ ψ+ + ψ− .
Dank Gl. (III.41b) ist diese Zerlegung eindeutig.
Beispiel: Sei z.B. angenommen, dass p~ entlang der z-Achse ausgerichtet ist: p1 = p2 = 0, p3 = |~
p|.
~ = diag(1, −1, 1, −1). Für einen Dirac-Spinor mit „positiver Energie“ führt
Dann gilt h(~
p) = ~e3 · Σ
Gl. (III.25) unter Berücksichtigung der Normierungskonstante (III.29) zu
p

Ep~ /c + mc ξσ


u(~
p, σ) = 
σ|~
p|
.
p
ξσ
Ep~ /c + mc
Damit findet man h(~
p)u(~
p, σ) = σu(~
p, σ): das Vorzeichen der Helizität ist gerade durch σ gegeben,
das also direkt mit dem Spin (entlang der Bewegungsrichtung) verknüpft ist. Ähnlicherweise zeigt
man für einen Spinor „negativer Energie“, dass h(~
p)v(~
p, σ) = −σv(~
p, σ) ist.
Bemerkung: Betrachtet man jetzt die vier unabhängigen Dirac-Spinoren [Gl. (III.24) und (III.27)]
!
!
!
!
ξ+
ξ−
0
0
N+ (~
p) 6 p + mc
, N+ (~
p) 6 p + mc
, N− (~
p) 6 p − mc
, N− (~
p) 6 p − mc
,
0
0
ξ+
ξ−
so stellen sie ein Teilchen mit Spin (entlang des Impulses) ↑, ein Teilchen mit Spin ↓, ein Antiteilchen
mit Spin ↓, und schließlich ein Antiteilchen mit Spin ↑ dar. Historisch wurde ein Antiteilchen mit
Spin ↓ (bzw. ↑) als ein fehlendes Teilchen — ein „Loch“ — mit Spin ↑ (bzw. ↓) interpretiert, was
die gewählte Ordnung der Zustände erklärt.
III. Dirac-Gleichung
38
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
III.3.3
b Chiralität
:::::::::::::::::::
In Abschn. III.2.2 wurde der Chiralitätsoperator γ5 definiert und einige dessen Eigenschaften
dargestellt, insbesondere dass dessen Eigenwerte die Werte +1 oder −1 annehmen kann. Diese stellen
die Chiralität der zugehörigen Eigenvektoren dar.
Definiert man jetzt zwei Operatoren
14 − γ5
14 + γ5
PL ≡
und PR ≡
,
(III.42)
2
2
so genügen sie den Beziehungen
2
2
• PL = PL ,
PR = PR ;
(III.43a)
• PL PR = PR PL = 0;
(III.43b)
• PL + PR = 14 .
(III.43c)
D.h., PL und PR sind Projektoren, und jeder Dirac-Spinor lässt sich eindeutig als Summe eines
„linkshändigen“ und eines „rechtshändigen“ Spinors schreiben. Konventionell gilt für Dirac-Spinoren
mit positiver Energie, entsprechend Teilchen,
uL (~
p, σ) = PL u(~
p, σ),
uR (~
p, σ) = PR u(~
p, σ),
(III.44)
was ziemlich natürlich aussieht: linkshändige Teilchen haben die Chiralität −1 und rechtshändige
Teilchen die Chiralität +1. Für Dirac-Spinoren mit negativer Energie, entsprechend Antiteilchen,
definiert man dagegen
vL (~
p, σ) = PR v(~
p, σ), vR (~
p, σ) = PL v(~
p, σ).
(III.45)
Dank der Hermizität von γ5 , Gl. (III.16d), sind PL und PR hermitesch. Somit gilt für die Diracadjungierten Spinoren unter Verwendung der Relation (III.16b)
ūL (~
p, σ) = uL (~
p, σ)† γ 0 = u(~
p, σ)† PL γ 0 = u(~
p, σ)† γ 0 PR = ū(~
p, σ)PR ,
(III.46)
v̄R (~
p, σ) = v̄(~
p, σ)PR .
(III.47)
und ähnlich
Bemerkungen:
∗ Der Chiralitätsoperator γ5 kommutiert im Allgemeinen nicht mit dem Hamilton-Operator eines
freien Spin- 12 -Teilchens, so dass die Chiralität keine Erhaltungsgröße in der Bewegung des Teilchens
ist.
∗ Im Gegensatz dazu ist die Chiralität nützlich in der Beschreibung der schwachen Wechselwirkungen, weil die Letzteren nur auf linkshändige Teilchen bzw. rechtshändige Antiteilchen wirken, d.h.
auf Spinoren, die mit PL projiziert werden.
III.3.3
c Helizität und Chiralität masseloser Teilchen
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Für masselose Teilchen sind die Helizität und die Chiralität einfach miteinander verbunden.
Betrachtet man z.B. wie oben ein Teilchen mit Impuls entlang der z-Achse, dann lautet der entsprechende Spinor
!
p
ξσ
p|
,
u(~
p, σ) = |~
σ ξσ
wobei Ep~ = |~
p|c benutzt wurde. Dann gilt unter Verwendung der Standard-Darstellung (III.14) des
Chiralitätsoperators
!
!
!
p
p
0 12
ξσ
σ ξσ
γ5 u(~
p, σ) = |~
p|
= |~
p|
= σu(~
p, σ).
σ ξσ
12 0
ξσ
Somit ist der Chiralitätseigenwert gleich dem Helizitätseigenwert: ein linkshändiges masseloses Teilchen hat die Helizität −1.
III. Dirac-Gleichung
39
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
Literatur
• Griffiths [15], Kap. 7.1–7.3 & 9.7.1.
• Nachtmann [13], Kap. 4.1–4.2 & 4.4.
• Schwabl [1], Kap. 5.3, 6 & 11.5–11.6.
III. Dirac-Gleichung
40
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
IV. Maxwell-Gleichungen
Dieses Kapitel geht auf die relativistische Wellengleichung für ein wechselwirkungsfreies masseloses
Teilchen mit Spin 1 ein. Dabei handelt es sich tatsächlich um die Maxwell-Gleichungen des freien
elektromagnetischen Feldes, die in einem ersten Schritt in kovarianter Schreibweise geschrieben
werden (Abschn. IV.1). Dann werden die Lösungen zu diesen Gleichungen in Abschn. IV.2 diskutiert,
wobei die wichtige Rolle der Eichinvarianz offenbar wird.
IV.1 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
Die Maxwell-Gleichungen der klassischen Elektrodynamik sind (fast definitionsgemäß) Lorentz~ ~x) einen Viererkovariant. Somit bilden das Skalarpotential Φ(t, ~x) und das Vektorpotential A(t,
vektor, das Viererpotential A(x), mit den kontravarianten Komponenten
!
Φ(x)/c
Aµ (x) =
.
(IV.1)
~
A(x)
Ausgehend vom Viererpotential definiert man einen zweimal kontravarianten Lorentz-Tensor
F µν (x), den elektromagnetischen Feldstärketensor , als
F µν (x) = ∂ µ Aν (x) − ∂ ν Aµ (x).
(IV.2)
Unter Nutzung der Beziehungen
~ ~x)
∂ A(t,
~ ~x) = ∇
~ × A(t,
~ ~x)
~
,
B(t,
(IV.3)
E~ (t, ~x) = −∇φ(t,
~r) −
∂t
prüft man nach, dass die Komponenten des Feldstärketensors einfach mit den Komponenten der
~ verknüpft sind:
elektrischen und magnetischen Felder E~ , B
Ei
F i0 = ∂ i A0 − ∂ 0 Ai = −∂i A0 − ∂0 Ai =
,
c
F ij = ∂ i Aj − ∂ j Ai = −∂i Aj + ∂j Ai = −ijk B k
Diese Relationen lassen sich mithilfe der Matrixform des Feldstärketensors zusammenfassen


Ey
Ex
Ez
0 −
−
−

c
c
c 
 Ex


0
−Bz By 


c
,
F µν = 
(IV.4)
 Ey



B
0
−B
z
x
 c


Ez
−By Bx
0
c
wobei die x-Abhängigkeit der Felder der Kürze halber nicht geschrieben wurde.
Durch den elektromagnetischen Feldstärketensor können die Maxwell-Gleichungen in Abwesenheit äußerer Quellen durch22
∂µ F µν (x) = 0 ∀ν
(IV.5a)
und
∂ µ F νρ (x) + ∂ ν F ρµ (x) + ∂ ρ F µν (x) = 0 ∀µ, ν, ρ.
(IV.5b)
~ = 0 und
~ ·B
ausgedrückt werden. Die Letztere — entsprechend der Maxwell–Thomson-Gleichung ∇
22
In Anwesenheit einer äußeren Ladungsdichte ρ(t, ~
x) bzw. einer Ladungsstromdichte ~(t, ~
x) bilden die beiden einen
Viererstrom mit kontravarianten Komponenten j µ = (ρc, ~)T und die Maxwell-Gleichung wird ∂µ F µν = µ0 j ν .
IV. Maxwell-Gleichungen
41
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
~
~ × E~ + ∂ B/∂t
der Maxwell–Faraday-Gleichung ∇
= ~0 — enthält keine Dynamik und folgt sofort aus
der Antisymmetrie des Feldstärketensors (IV.2).
Dagegen bestimmt Gl. (IV.5a) die Dynamik der elektrischen und magnetischen Felder — die
~ · E~ = 0, während die räumlichen
ν = 0-Komponente entspricht der Maxwell–Gauß-Gleichung ∇
−2
~
~
Komponenten die Maxwell–Ampère-Gleichung ∇ × B + c ∂ E~ /∂t = ~0 darstellen. Mit Gl. (IV.2)
ergibt sich
∂µ F µν (x) = ∂µ ∂ µ Aν (x) − ∂µ ∂ ν Aµ (x) = Aν (x) − ∂ ν ∂µ Aµ (x) .
~ und somit A, nicht eindeutig definiert, sondern
Bekannterweise sind die Potentiale Φ und A,
können gemäß sogenannter Eichtransformationen
µ
Aµ (x) → A0 (x) = Aµ (x) + ∂ µ χ(x)
(IV.6)
~ bzw.
mit χ(x) einer skalaren Funktion transformiert werden, ohne die physikalischen Felder E~ und B
µν
den elektromagnetischen Feldstärketensor F zu ändern. Diese Eichfreiheit kann benutzt werden,
um Gleichungen zu vereinfachen.
Zum Beispiel kann man erfordern, dass das Viererpotential der Lorenz-Eichung-Bedingung
∂µ Aµ (x) = 0
(IV.7)
genügt. Unter dieser Forderung lauten die freien Maxwell-Gleichungen (IV.5a) einfach
Aν (x) = 0.
(IV.8)
Somit sind die Maxwell-Gleichungen ziemlich ähnlich der Klein–Gordon-Gleichung (II.4), für
den Fall masseloser Teilchen. Da Aµ (x) sich wie ein (kontravarianter) Vierervektor transformiert,
handelt es sich um Teilchen mit dem Spin 1.
Bemerkungen:
∗ Für massive Teilchen mit dem Spin 1, beschrieben durch ein Vektorfeld V µ (x), heißt die relativistische Wellengleichung
m2 c2
+ 2 V µ (x) = 0
(IV.9)
~
Proca-Gleichung, wobei m die Teilchenmasse bezeichnet. Wegen des Massenterms besitzt aber das
Vektorfeld V µ (x) keine Eichfreiheit mehr.
∗ Die Lorenz-Eichung-Bedingung (IV.7) bestimmt noch nicht das Viererpotential eindeutig. Es
gibt noch eine Eichfreiheit um einen Vierergradienten ∂ µ χ(x) mit χ(x) Lösung von χ(x) = 0. In
Abwesenheit äußerer Quellen kann diese Freiheit benutzt werden, um die temporale Weyl-EichungBedingung
A0 (x) = 0
(IV.10)
zu erfordern. Dann wird die Lorenz-Eichung äquivalent zur Coulomb-Eichung
~ · A(t,
~ ~x) = 0.
∇
(IV.11)
IV.2 Lösung der freien Maxwell-Gleichungen
In diesem Abschnitt werden die Lösungen der Maxwell-Gleichungen im freien Raum (IV.8)
unter Berücksichtigung der (Eichung-)Bedingungen (IV.10) und (IV.11) untersucht. Dabei sollen die
Lösungen reellwertig sein, damit die physikalischen elektrischen und magnetischen Felder ebenfalls
reelle Werte annehmen.
Anknüpfend an die Ergebnisse des Abschn. II.2 über die Lösungen der freien Klein–GordonGleichung kann man die allgemeine Lösung der Gl. (IV.8) schreiben als eine Überlagerung ebener
IV. Maxwell-Gleichungen
42
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
Wellen mit unterschiedlichen Wellenvektoren [vgl. Gl. (II.7)]
Z X
h
i
~c d3 p~
(λ)
(λ) ∗
µ
µ
,
A (x) =
ε(λ)
(~
p) ap~ e−ip·x/~ + ap~ eip·x/~ p
(2π~)3 2Ep~
λ
(IV.12)
µ
mit ε(λ)
(~
p) dem (reellen) Polarisationsvektor für jeden Polarisationszustand λ.
0 (~
Die Bedingung A0 (x) = 0 gibt sofort ε(λ)
p) für jeden Impuls p~ und Polarisationszustand λ. Dann
führt die Coulomb-Eichung-Bedingung ∂j Aj (x) = 0 dank ∂j e−ip·x/~ = −ipj e−ip·x/~ /~ zu
j
pj ε(λ)
(~
p) = 0,
d.h. der dreidimensionale Polarisationsvektor ~ε(λ)(~
p) ist senkrecht zur Propagationsrichtung der Welle: die freie Welle wird als transversal polarisiert bezeichnet.
Für jeden Impuls p~ gibt es zwei linear unabhängige Lösungen von p~ · ~ε(λ)(~
p) = 0. Ist p~ z.B. in
z-Richtung gerichtet, so findet man die möglichen Polarisationsvektoren
 
 
1
0



~ε(1)(~
p) = 0 ,
~ε(2)(~
p) = 1 .
0
0
Natürlich sind andere Wahlen der Basisvektoren möglich. Wichtig ist, das es für jeden Impuls p~ nur
zwei unabhängige Freiheitsgrade gibt, entsprechend den zwei möglichen Polarisationsrichtungen.
Naiv könnte man vier Freiheitsgrade erwarten, entsprechend der Zahl der Komponenten eines Vierervektors. Da Gl. (IV.12) es erlaubt, die Normierung des Polarisationsvektors frei zu
µ
wählen — hier ist ε(λ)
(~
p) auf −1 normiert —, bleiben nur drei Freiheitsgrade. Dies wäre ja zufriedenstellend, da ein Teilchen mit Spin 1 normalerweise drei Freiheitsgrade besitzt: für j = 1 sind
mj = −1, 0 und +1 möglich. Für masselose Teilchen mit Spin 1 existiert aber die Eichfreiheit,
so dass eines dieser Freiheitsgrade tatsächlich keine Dynamik enthält, und nur zwei dynamische
Spinzustände bleiben.
Ist das Teilchen mit Spin 1 massiv, und somit beschrieben durch die Proca-Gleichung (IV.9), so
gibt es keine Eichfreiheit mehr, und es bleiben drei Spinzustände.
In einem echten Teilchenstoß-Experiment ist die Polarisation bzw. der Spin der einlaufenden
und auslaufenden Teilchen nicht immer gemessen. Somit wird es sich lohnen, über Polarisationen
summieren zu können, d.h. den Tensor
X µ
ν
ε(λ)(~
p)ε(λ)
(~
p)
λ=1,2
zu berechnen. Diese Summe wird als Vollständigkeitsrelation bezeichnet. In der Coulomb-Eichung
gilt
X
pi pj
j
i
ε(λ)
(~
p)ε(λ)
(~
p) = δ ij − 2 .
(IV.13)
p~
λ=1,2
Führt man jetzt die zweite Quantisierung der allgemeinen Lösung (IV.12) durch, indem die
(λ)
(λ)
Amplituden ap~ durch Vernichtungsoperatoren âp~ mit den Vertauschungsrelationen
h
i
h
i h
i
(λ) (λ0 ) †
(λ) (λ0 )
(λ) † (λ0 )†
âp~ , âq~
= δλλ0 δ (3) (~
p − ~q),
âp~ , âq~
= âp~ , âq~
=0
(IV.14)
ersetzt werden, so erhält man den Feldoperator
Z X
h
i
~c d3 p~
(λ)
(λ) †
µ
µ
 (x) =
ε(λ)
(~
p) âp~ e−ip·x/~ + âp~ eip·x/~ p
.
3 2E
(2π~)
p
~
λ=1,2
(IV.15)
Verglichen mit dem Feldoperator (II.11a) gibt es hier keinen Operator des b̂-Typs, entsprechend
der Hermitizität von µ (x) bzw. der Reellwertigkeit dessen Vakuumserwartungswerts Aµ (x). Es gibt
IV. Maxwell-Gleichungen
43
N.BORGHINI
Relativistische Quantenmechanik
Elementarteilchenphysik
(λ) †
(λ)
also kein unabhängiges Antiteilchen zu dem durch âp~ beschriebenen Teilchen — z.B., wenn âp~
ein Quantum des elektromagnetischen Feldes, ein Photon, mit der Polarisation λ erzeugt, bedeutet
dies, dass es kein Antiphoton gibt: das Photon ist sein eigenes Antiteilchen.
(λ)
(λ) †
Die Operatoren âp~ , âp~
lassen sich wie in Abschn. II.3 interpretieren:
(λ)
i (~
• âp~ vernichtet ein Teilchen mit Impuls p~ und Polarisationsvektor ε(λ)
p), das also im Anfangszustand eines Stoßprozesses vorhanden sein muss. Somit repräsentiert dieser Vernichtungsoperator ein einlaufendes Teilchen.
(λ) †
• âp~ erzeugt ein Teilchen mit Impuls p~ und Polarisation λ, das sich also im Endzustand einer
Streuung befinden wird: dieser Erzeuger repräsentiert ein auslaufendes Teilchen.
(λ)
(λ) †
Bemerkung: Der erste Kommutator (IV.14) liefert die Dimension der Leiteroperatoren âp~ , âp~ ,
µ
und somit
des
die
Dimension
Vektorfelds  (x), Gl. (IV.15). Wie im Fall des Klein–Gordon-Feldes
µ
1/2
1/2
−1
gilt  = M L T
: dies entspricht nicht der üblichen Dimension des elektromagnetischen
Potentials, lässt sich aber einfacher auf andere Vektorfelder verallgemeinern.
Literatur
• Griffiths [15], Kap. 7.4.
• Landau & Lifschitz, Band IV [12], Kap. I § 2–4.
• Nachtmann [13], Kap. 7.1.
IV. Maxwell-Gleichungen
44
Teil B
Wechselwirkende Teilchen
Version vom 4. Februar 2014, 10:59
45
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Im vorigen Teil A wurden die Gleichungen zur Beschreibung der Bewegung wechselwirkungsfreier
relativistischer Teilchen mit Impuls p~ und gegebenenfalls Helizität σ bzw. Polarisation λ dargestellt.
Wenn Wechselwirkungen vorhanden sind, können Teilchen an zwei grundlegenden Arten von Prozessen teilnehmen, und zwar an Zerfällen und Streuungen:
– Zerfall:
Anfangszustand
111
000
000
111
000
111
Wechselwirkung












Zerfallsprodukte











– Streuung:
Anfangszustand
111
000
000
111
000
111
6
Wechselwirkung












Streuprodukte











In beiden Fällen stellt sich die Frage, was ist die Wahrscheinlichkeit dafür, pro Zeiteinheit vom
Anfangszustand in einen gegebenen Endzustand zu übergehen. Dieser Teil befasst sich mit dem
geeigneten Formalismus um diese Frage zu beantworten, unabhängig von den eigentlichen Wechselwirkungen, erstens für Zerfälle (Kapitel VI), dann für Streuungen (Kapitel VII).
Insbesondere werden hiernach Ähnlichkeiten zwischen den Ausdrücken der Größen, die für jeden
Prozess die Übergangswahrscheinlichkeiten pro Zeiteinheit charakterisieren, gefunden. Tatsächlich
weisen diese Größen — Zerfallsrate bzw. Wirkungsquerschnitt — die gleiche mathematische Struktur
auf, in der Form von Integralen über den verfügbaren Phasenraum für alle Endzustandsteilchen
von dem Betragsquadrat einer Amplitude. Die Letztere wird letztendlich bestimmt von den für
den Prozess relevanten Wechselwirkungen. Diese werden nur im nächsten Teil detailliert behandelt
werden, doch die durch Feynman eingeführten Regeln, basierend auf Diagramme, zur Berechnung
einer Amplitude werden schon in Kap. VIII dargestellt.
Wechselwirkende Teilchen
47
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
V. Relativistische Kinematik
In der Elementarteilchenphysik lassen sich die meisten Prozesse in zwei Kategorien einordnen: zum
einen in Zerfälle eines instabilen Teilchens der Masse m in zwei oder mehr leichtere Teilchen, und
zum anderen in Stöße zweier Teilchen mit Viererimpulsen pa und pb , mit zwei oder mehr Teilchen im
Endzustand. Unabhängig von den für diese Prozesse verantwortlichen Wechselwirkungen liefert die
Erhaltung des gesamten Viererimpulses — entsprechend den nicht-relativistischen Erhaltungssätzen
der Energie und des Impulses — vier Gleichungen, die die Viererimpulse der emittierten Teilchen
einschränken.
In diesem Kapitel wird kurz auf diese rein kinematischen Einschränkungen eingegangen, für kinematisch erlaubte (Abschn. V.1) Prozesse mit zwei (Abschn. V.2) oder drei (Abschn. V.3) Teilchen
im Endzustand. Schließlich werden in Abschn. V.4 einige Definitionen und ein paar oft auftretende
kinematische Variablen eingeführt.
Hiernach werden nur sogenannte „on-Shell-Teilchen“ betrachtet, d.h. Teilchen, die den klassischen
Bewegungsgleichungen genügen, und insbesondere der Beziehung23 E 2 − |~
p|2 c2 = m2 c4 mit m der
Teilchenmasse.
V.1 Schwerpunktsenergie, Reaktionsschwelle
Eine wichtige Größe zur Charakterisierung eines Prozesses ist die verfügbare Energie im Schwerpunktsystem oder Schwerpunktsenergie Ecms .24 Dabei ist das Letztere so definiert als das Bezugssystem, wo der dreidimensionale Gesamtimpuls einer Menge von Teilchen — entsprechend hier dem
bzw. den Teilchen vor (oder, dank dem Impulssatz, nach) der Reaktion — gleich Null ist. In einem
Zerfall ist Ecms gerade gleich der Massenenergie mc2 des zerfallenden Teilchens.
Im Fall des Stoßes zweier Teilchen lässt sich Ecms durch die Viererimpulse pa und pb einfach
ausdrücken. Im Schwerpunktsystem gilt tatsächlich definitionsgemäß p~a,cms + p~b,cms = ~0, woraus
2
2
2
2
2
Ecms
= p0a,cms + p0b,cms = p0a,cms + p0b,cms − p~a,cms + p~b,cms = pa,cms + pb,cms
2
c
folgt. Da das Lorentz-Quadrat eines Vierervektors ein Lorentz-Skalar ist, bleibt der Term ganz rechts
gleich (pa + pb )2 in jedem Inertialsystem. Somit gilt in allen Inertialsystemen
2
Ecms
= (pa + pb )2 c2 .
(V.1)
Ein Prozess ist nur dann kinematisch erlaubt, wenn die verfügbare Energie im Schwerpunktsystem größer als die Summe
der Massenenergien der Endzustandsteilchen ist. Für Zerfälle bedeutet
P
diese Bedingung m > j mj , mit mj den Massen der „Tochterteilchen“. Im Fall eines Stoßes soll
P
(pa + pb )2 > ( j mj )2 c2 gelten.
Die letztere Ungleichung kann auch anders gedeutet werden. Damit der Endzustand eines ZweiTeilchen-Stoßes aus gegebenen Teilchen mit Massen mj besteht,
die Schwerpunktsenergie der
P muss
2
4
Kollision einen Wert überschreiten, die Reaktionsschwelle ( j mj ) c .
Bemerkung: Auch wenn ein gegebener Prozess kinematisch erlaubt ist, ist es noch möglich, dass
er aus anderen Gründen nicht stattfinden kann — insbesondere wenn der Prozess weiteren Erhaltungssätzen nicht genügt, z.B. der Erhaltung des Drehimpulses oder der elektrischen Ladung.
V.2 Zwei Teilchen im Endzustand
Besteht der Endzustand eines Prozesses aus nur zwei Teilchen mit Massen m1 und m2 , so lässt
sich dieser mit sechs Parametern, entsprechend den Komponenten der Impulse der Teilchen — die
23
... entsprechend der Gleichung eines Hyperboloids, der Massenschale (mass-shell), im vierdimensionalen Raum
aller möglichen Werte der Energie und der Impulskomponenten.
24
Hier steht die Abkürzung cms für center-of-mass system.
Wechselwirkende Teilchen
48
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Energien der Teilchen sind dann durch die on-shell-Bedingungen Ej2 = |~
pj |2 c2 + m2j c4 bestimmt.
Sei jetzt angenommen, dass der gesamte Viererimpuls p des Anfangszustands bekannt ist. Da die
Erhaltung des Viererimpulses vier Bedingungen darstellt, bleiben tatsächlich nur zwei Freiheitsgrade
für den Endzustand, entsprechend z.B. den zwei Winkeln, die die Richtung eines der emittierten
Teilchen charakterisieren. Dies wird hiernach am Beispiel des Endzustands eines Zwei-TeilchenZerfalls illustriert.25
In diesem und im nächsten Abschnitt wird der Zerfall eines unpolarisierten Teilchens betrachtet,
so dass der Zerfall isotrop ist. Im Ruhesystem des „Mutterteilchens“, entsprechend dem Schwerpunktsystem der Zerfallsprodukte, werden die Letzteren in entgegengesetzte Richtungen emittiert.
Es seien
mc
E1 /c
E2 /c
p = ~ , p1 =
, p2 =
p~1
p~2
0
die Viererimpulse der Mutter- und Tochterteilchen im Schwerpunktsystem. Die Erhaltung des gesamten Viererimpulses
p = p1 + p2
im Zerfall führt sofort zu (p − p1 )2 = (p2 )2 = m22 c2 . Berechnet man das Lorentz-Quadrat auf der
linken Seite unter Berücksichtigung der Gleichungen p2 = m2 c2 , (p1 )2 = m21 c2 und p · p1 = mE1 —
wobei die Letztere nur im Schwerpunktsystem gilt —, so ergibt sich
m2 c2 + m21 c2 − 2mE1 = m22 c2 ,
d.h.
E1 =
m2 + m21 − m22 2
c .
2m
In ähnlicher Weise erhält man E2 = (m2 + m22 − m21 ) c2 /2m. Die Energien E1 und E2 im Schwerpunktsystem sind somit unabhängig von den Richtungen der emittierten Teilchen. Diese Eigenschaft
gilt in einem anderen Bezugssystem nicht mehr!
Aus dem Ausdruck der Energie und der on-shell-Bedingung folgt für den Betrag des Impulses
jedes Tochterteilchens
|~
pj |2 =
Ej2
m4 + m41 + m42 − 2m2 m21 − 2m2 m22 − 2m21 m22 2
2 2
−
m
c
=
c .
j
c2
4m2
Bemerkung: Der Zähler dieses Ausdrucks lässt sich als [m2 − (m1 + m2 )2 ][m2 − (m1 − m2 )2 ]
umschreiben. Dies ist immer positiv für m größer als m1 + m2 , kann aber wenn m < m1 + m2
negativ werden, was für ein Betragsquadrat problematisch ist! Hier erkennt man die in Abschn. V.1
diskutierte Bedingung über die Massen der beteiligten Teilchen.
V.3 Drei Teilchen im Endzustand
In einem Prozess mit drei Teilchen im Endzustand existieren auch kinematisch bedingte Einschränkungen, die hier am Beispiel des Zerfalls eines Teilchens der Masse m in drei Teilchen mit
Massen m1 , m2 und m3 illustriert werden. Seien p, p1 , p2 und p3 die jeweiligen Viererimpulse der
Teilchen.
Die Erhaltung des gesamten Viererimpuls p = p1 + p2 + p3 liefert vier Bedingungen für die 9
Komponenten der Impulse der Zerfallsprodukte, so dass es 5 Freiheitsgrade übrig bleiben. Drei davon
entsprechen Winkeln — zwei für die Ebene, in der p~1 und p~2 liegen, und einem für die Richtung
von p~1 in dieser Ebene —, wovon die Energien der emittierten Teilchen im Schwerpunktsystem aus
Symmetrie-Gründen nicht abhängen können. Diese Energien hängen nur von den zwei restlichen
25
Handelt es sich bei dem Prozess um einen Streuprozess, so soll m in allen Gleichungen dieses und des nächsten
Abschnitts durch Ecms /c2 ersetzt werden.
Wechselwirkende Teilchen
49
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Freiheitsgraden ab. Für die Letzteren werden üblicherweise zwei der Lorentz-invarianten DalitzVariablen m2ij angenommen, wobei
m212 c2 ≡ (p1 + p2 )2 = (p − p3 )2 ,
m213 c2 ≡ (p1 + p3 )2 = (p − p2 )2 ,
m223 c2 ≡ (p2 + p3 )2 = (p − p1 )2 ,
(V.2)
z.B. m212 und m213 . Die Menge der kinematisch erlaubten Werte dieser Variablen ist ein konvexes
Gebiet der (m212 , m213 )-Ebene, dessen Grenzen von m, m1 , m2 und m3 abhängen.
Aus der Gleichung m212 = (p − p3 )2 /c2 = m2 + m23 − 2mE3 /c2 im Schwerpunktsystem und der
Bedingung E3 /c2 ≥ m3 folgt die obere Schranke m212 ≤ (m − m3 )2 . Um eine untere Schranke
von m212 zu erhalten, kann man ins Schwerpunktsystem des aus Teilchen 1 und 2 bestehenden
Teilsystems übergehen. Bezeichnet man die Energien in diesem Bezugssystem mit einem Strich,
so gilt
m212 = (p1 + p2 )2 /c2 = (E10 + E20 )2 /c4 ≥ (m1 + m2 )2 ,
wobei die Ungleichung
trivial ist. Somit hat
man schließlich
m212 ∈ (m1 + m2 )2, (m − m3 )2 ,
und ähnlich m213 ∈ (m1 + m3 )2 , (m − m2 )2 und m223 ∈ (m2 + m3 )2 , (M − m1 )2 . Wegen der
Beziehung (V.3) zwischen den Dalitz-Variablen kann bei gegebener m212 die Variable m213 nicht
ihre Werte im ganzen Intervall annehmen, sondern nur in einem kleineren, m212 -abhängig Bereich.
Weitere Details dazu können in der Review of Particle Properties [16], Abschn. 43.4.3 & 43.4.4
gefunden werden.
Bemerkungen:
∗ Wegen der Erhaltung des gesamten Viererimpulses sind die Dalitz-Variablen nicht unabhängig
voneinander, sondern genügen der Beziehung
m212 + m213 + m223 = m2 + m21 + m22 + m23 .
(V.3)
∗ In einem Drei-Teilchen-Zerfall sind die Energien und Impulse der Zufallsprodukte nicht durch die
Kinematik völlig festgelegt, sondern können ein kontinuierliches Spektrum an Werten annehmen,26
wobei der maximale mögliche Wert der Energie E1 und somit des Impulses |~
p1 | für Teilchen 1 durch
2
2
den minimalen möglichen Wert von m23 gegeben ist [vgl. E1 = (m + m1 − m223 )c2 /2m].
V.4 Kinematik einfacher Stöße
In diesem Abschnitt werden ein paar Definitionen betreffend Teilchenstöße eingeführt. Wir diskutieren nur Kollisionen zwischen zwei durch a bzw. b gekennzeichneten Teilchen, weil Stöße in einer
relativistischen Theorie nur lokal sein können, d.h. die beteiligten Teilchen sollen sich im gleichen
Punkt der Raumzeit befinden, was mit mehr als zwei Teilchen unmöglich wird.
Bekannterweise unterscheidet man zwischen elastischen Stößen, in denen die Teilchen im Endzustand die gleichen wie im Anfangszustand bleiben, und inelastischen Stößen. Unter den letzteren
werden die Stöße mit nur zwei Teilchen (1 und 2) im Endzustand als quasielastisch bezeichnet.
Zusammen werden elastische und quasielastische Stöße auch Zwei-nach-zwei-Prozesse genannt.
Sei a + b → 1 + 2 ein solcher Prozess, mit ma , mb , m1 und m2 bzw. pa , pb , p1 und p2 den Massen
bzw. den Viererimpulsen der Teilchen. Falls der Stoß elastisch ist, wird (p1 )2 = (pa )2 = m2a c2
und damit (p2 )2 = (pb )2 = m2b c2 angenommen. Die Mandelstam-Variablen für den Prozess werden
definiert durch
s ≡ (pa + pb )2 /c2 = (p1 + p2 )2 /c2 ,
t ≡ (pa − p1 )2 /c2 = (pb − p2 )2 /c2 ,
(V.4)
2
2
2
2
u ≡ (pa − p2 ) /c = (pb − p1 ) /c .
26
Gerade diese Beobachtung hat Wolfgang Pauli 1930 veranlasst, die Existenz des (Anti-)Neutrinos zu postulieren,
um das kontinuierliche Energiespektrum der in β-Zerfällen emittierten Elektronen zu erklären.
Wechselwirkende Teilchen
50
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Die Variable s ist gleich 1/c4 mal dem Quadrat der Schwerpunktsenergie Ecms der kollidierenden
Teilchen, während t den Quadrat des Viererimpuls-Übertrags geteilt durch c2 darstellt. Insbesondere
gilt im Schwerpunktsystem eines elastischen Stoßes Ea = E1 , d.h. t = −|~
pa − p~1 |2 .
Definitionsgemäß sind die drei Mandelstam-Variablen Lorentz-invariant. Sie sind nicht unabhängig voneinander, da im allgemeinen Fall eines Zwei-nach-zwei-Prozesses gilt
s + t + u = m2a + m2b + m21 + m22 .
(V.5)
Im besonderen Fall einer elastischen Kollision lautet diese Gleichung
s + t + u = 2m2a + 2m2b .
Beweis der Beziehung (V.5): Die Definitionen (V.4) liefern
s + t + u = 3m2a + m2b + m21 + m22 + 2pa · (pb − p1 − p2 )/c2 .
Unter Verwendung des Viererimpulserhaltung gilt pb − p1 − p2 = −pa , woraus das Ergebnis
folgt.
Wechselwirkende Teilchen
51
N.BORGHINI
Wechselwirkende Teilchen
Elementarteilchenphysik
VI. Zerfälle
Dieses Kapitel behandelt die erste Art von elementaren Prozessen bei wechselwirkenden Teilchen,
und zwar den Zerfall instabiler Teilchen. In Abschn. VI.1 werden einige wichtigen auf Zerfälle bezogenen Begriffe eingeführt. Dann geht Abschn. VI.2 auf die Berechnung der Zerfallsrate ein, verdeutlicht
am Beispiel eines vereinfachten Modells für die Wechselwirkung.
VI.1 Definitionen
Eine erste wichtige Eigenschaft von instabilen Teilchen ist die Lebensdauer τ . Genauer sollte
man von der mittleren Lebensdauer sprechen, da die Lebensdauer eines einzigen Teilchens nicht
vorhersagbar ist, weil es sich bei dem Zerfall um einen quantenmechanischen Prozess handelt. Meist
wird diese mittlere Lebensdauer τ für ein ruhendes Teilchen angegeben.27
Eine verwandte Größe ist die Zerfallsrate, entsprechend der Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit,
dass ein Zerfall stattfindet. Diese Zerfallsrate wird üblicherweise als Γ bezeichnet.
Damit lautet das Zerfallsgesetz für die Abnahme der Teilchenzahl N (t) zwischen den Zeiten t und
t + dt:
dN = −ΓN (t) dt,
1
was sich sofort integrieren lässt als N (t) = N (0) e−Γt . Somit findet man einfach, dass Γ = gilt.
τ
Oft kann ein gegebenes Teilchen in mehrere verschiedene Mengen an Zerfallsprodukten zerfallen.
Jede solche mögliche Art von Zerfallsprodukten wird Zerfallskanal genannt. Wird ein Zerfallskanal
als j beschrieben, so definiert man
Xdie (partielle) Zerfallsrate in diesen Kanal, Γj . Für die Gesamtzerfallsrate gilt natürlich Γtot =
Γj .
j
Dazu definiert man das Verzweigungsverhältnis in einen Kanal als Γj /Γtot . Je größer dieses
Verzweigungsverhältnis ist, desto mehr Zerfälle in den zugehörigen Kanal führen.
VI.2 Berechnung der Zerfallsrate
Jetzt wird das Prinzip der Berechnung der Zerfallsrate dargestellt und an einem vereinfachten
Beispiel verdeutlicht.
VI.2.1 Streumatrix
Im Anfangszustand eines Zerfalls befindet sich ein Teilchen mit Masse m und Viererimpuls p,
beschrieben durch den Zustandsvektor |ii eines geeigneten Hilbert-Raums. Der Endzustand besteht
aus Zerfallsprodukten mit jeweiligen Massen m1 , m2 . . . und Viererimpulsen p1 , p2 . . . : diese werden
kollektiv durch einen Zustandsvektor |fi dargestellt. Sowohl |ii als |fi sind Eigenvektoren eines
Hamilton-Operators Ĥ0 , entsprechend freien Teilchen.28
Der gesamte Hamilton-Operator für diese Teilchen enthält aber auch Wechselwirkungen und ist
also der Form Ĥ = Ĥ0 + g V̂ , mit g V̂ einem Wechselwirkungsterm, der Übergänge zwischen den
Eigenzuständen von Ĥ0 induzieren kann. Die Zeitentwicklung eines Zustandsvektors lässt sich dann
mithilfe des mit Ĥ assoziierten Zeitentwicklungsoperators Û (t, t0 ) beschreiben. Insbesondere ist die
Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, dass das System von Teilchen sich zur Zeit t0 im Zustand |ii
27
Natürlich stellt sich dann die Frage, ob masselose Teilchen, die kein Ruhesystem haben, instabil sein können —
was im Standard-Modell nicht passiert. Kinematisch darf ein solches Teilchen in zwei oder mehr masselose Teilchen
zerfallen, vorausgesetzt diese sich kollinear zum Mutterteilchen bewegen. Dann kann man zeigen, dass die mittlere
Lebensdauer τ in einem Bezugssystem, wo das Teilchen die Energie E hat, proportional zu dieser Energie ist [17], in
Übereinstimmung mit dem Ergebnis für massive Teilchen, vgl. die Zerfallsrate (VI.18).
28
Dabei stehen die Bezeichnungen i und f für „initial“ und „final“.
VI. Zerfälle
52
N.BORGHINI
Wechselwirkende Teilchen
Elementarteilchenphysik
und zur späteren Zeit t im Zustand |fi befindet, einfach durch das Matrixelement hf| Û (t, t0 )|ii
gegeben.
Man definiert die Streumatrix Ŝ, auch S-Matrix genannt, durch die Angabe deren Matrixelemente
Sfi ≡ f Û (+∞, −∞) i .
(VI.1)
Dieser Definition nach sind die wechselwirkungsfreien Anfangs- und Endzustände sog. asymptotische
Zustände, die nur in der unendlichen Vergangenheit bzw. in der unendlichen Zukunft zu finden sind.
Bemerkung: Man kann zeigen, dass die Streumatrix unitär ist.
Die Berechnung der Streumatrix bzw. deren Elemente erfolgt normalerweise in der Quantenfeldtheorie. Hiernach wird das Prinzip der Berechnung ausgehend von nicht-relativistischer Quantenmechanik illustriert.
VI.2.2 Zeitabhängige Störungstheorie
In diesem Abschnitt wird die Übergangswahrscheinlichkeitsamplitude zwischen einem Anfangsund einem Endzustand eines nicht-relativistischen quantenmechanischen Systems mithilfe der sog.
zeitabhängigen Störungstheorie, formuliert im Wechselwirkungsbild, dargestellt.
VI.2.2
a Wechselwirkungsdarstellung
::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Ein System sei durch den Hamilton-Operator Ĥ(t) = Ĥ0 + g V̂ (t) beschrieben, wobei Ĥ0 zeitunabhängig ist, während der Term g V̂ (t) eine „Wechselwirkung“ beschreibt. Insbesondere kann das
System unter dem Einfluss von g V̂ (t) von einem Eigenzustand zu Ĥ0 in einen anderen übergehen.
Dabei wird üblicherweise angenommen, dass der Wechselwirkungsterm langsam („adiabatisch“)
ein- und ausgeschaltet werden kann, entsprechend dessen Zeitabhängigkeit, damit ein Eigenzustand zu Ĥ0 auch Eigenzustand zu Ĥ(t) zu gegebenen Zeiten t ist. Solche Feinheiten werden in
der kurzen Diskussion dieses Abschnitts ignoriert.29
Um solche Übergangswahrscheinlichkeiten zu berechnen, lohnt es sich, das Problem in der Wechselwirkungsdarstellung zu betrachten, entsprechend Zustandsvektoren
|ψ(t)iI ≡ eiĤ0 t/~ |ψ(t)iS ,
(VI.2a)
ÂI (t) ≡ eiĤ0 t/~ ÂS e−iĤ0 t/~ ,
(VI.2b)
und Observablen
mit |ψ(t)iS bzw. ÂS dem Zustandsvektor bzw. der Observable in der Schrödinger-Darstellung.
Ausgehend von der Schrödinger-Gleichung in der Schrödinger-Darstellung zeigt man einfach,
dass die Bewegungsgleichung für |ψ(t)iI lautet
i~
∂
|ψ(t)iI = g V̂I (t)|ψ(t)iI
∂t
mit V̂I (t) ≡ eiĤ0 t/~ V̂ (t) e−iĤ0 t/~ ,
(VI.3)
d.h. die zeitliche Entwicklung von |ψ(t)iI wird bestimmt durch den Wechselwirkungsterm g V̂I (t)
allein. Die formale Lösung zu dieser Gleichung für eine gegebene Anfangsbedingung |ψ(t0 )iI lässt
sich durch den Zeitentwicklungsoperator ÛI (t, t0 ) ausdrücken:
|ψ(t)iI = ÛI (t, t0 )|ψ(t0 )iI .
(VI.4)
Setzt man diese Form in Gl. (VI.3) ein, so findet man, dass ÛI (t, t0 ) der Gleichung
i~
∂ ÛI (t, t0 )
= g V̂I (t) ÛI (t, t0 )
∂t
(VI.5a)
genügt, mit der Randbedingung
ÛI (t0 , t0 ) = 1̂.
29
(VI.5b)
Für eine Diskussion dieser „adiabatischen Näherung“ s. z.B. Griffiths [18] Kap. 10.1.
VI. Zerfälle
53
N.BORGHINI
Wechselwirkende Teilchen
Elementarteilchenphysik
VI.2.2
b Störungsrechnung des Zeitentwicklungsoperators
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Die Integration von Gl. (VI.5) nach t liefert die Integralgleichung
Z
ig t
V̂I (t0 ) ÛI (t0 , t0 ) dt0 .
ÛI (t, t0 ) = 1̂ −
~ t0
Z 0
ig t
0
Ersetzt man ÛI (t , t0 ) im Integranden durch 1̂ −
V̂I (t00 ) ÛI (t00 , t0 ) dt00 , so ergibt sich
~ t0
Z
ig t
ÛI (t, t0 ) = 1̂ −
V̂I (t0 ) dt0 + O g 2 .
~ t0
(VI.6)
(VI.7)
Allgemeiner kann Gl. (VI.6) iterativ gelöst werden. Dies liefert die Dyson-Reihe
Z
Z t
Z t0
∞
X
g2
g t
(k)
0
0
0
00
00
0
V̂I (t ) dt +
V̂
(t
)
ÛI (tf , ti ) = 1̂ +
V̂
(t
)
dt
dt
+
.
.
.
≡
ÛI (t, t0 ),
I
I
i~ t0
(i~)2 t0
t0
k=0
Z t
g
(k−1) 0
(0)
(k)
0
0
V̂I (t ) ÛI
(t , t0 ) dt . Explizit gilt
mit ÛI (t, t0 ) = 1̂ und ÛI (t, t0 ) =
i~ t0
Z tk Z t2
Z t
gk
(k)
V̂I (t1 ) dt1 dt2 · · · dtk
ÛI (t, t0 ) =
V̂I (tk )
···
(i~)k t0
t0
t0
Z
Z
gk
=
·
·
·
V̂I (tk ) · · · V̂I (t1 ) dt1 · · · dtk ,
(i~)k
t≥tk ≥···≥t1 ≥t0
(k)
ÛI
d.h.,
ist der Ordnung k in der Störung g V̂I (t). Dabei sind die Operatoren so angeordnet,
dass der mit dem größten Zeitargument ganz links steht, der mit dem zweitgrößten an zweiter
Stelle von links steht, usw. — die Ordnung ist wichtig, da i.A. [V̂I (t), V̂I (t0 )] 6= 0 für t 6= t0 .
Das Volumen des k-dimensionalen Bereichs t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tk ≤ t ist eigentlich 1/k! mal dem
Volumen des Bereichs t0 ≤ tj ≤ t für j = 1, . . . , k. Es gilt also
Z t Z t
1 gk
(k)
ÛI (t, t0 ) =
· · · T V̂I (tk ) · · · V̂I (t1 ) dt1 · · · dtk ,
k
k! (i~) t0
t0
wobei das zeitgeordnete Produkt T (· · · ) die zeitliche Anordnung der Operatoren gewährleistet
in Bereichen, wo tj+1 < tj für mindestens einen Wert von j. Es folgt dann nach Summation der
Dyson-Reihe
Z
ig t
VI (t0 ) dt0 .
ÛI (t, t0 ) = T exp −
~ t0
Für weitere Details, vgl. ein Lehrbuch über Quantenmechanik, wie z.B. Griffiths [18] Kap. 9.1
oder Messiah, Band 2 [19], Anfang des Kapitels 17 (bis einschließlich §17.1.1).
VI.2.3 Vereinfachtes Modell
Der Einfachheit halber wird jetzt der Zerfall eines als ρ bezeichneten skalaren Teilchens mit
Masse m und Viererimpuls p in zwei ebenfalls skalare Teilchen betrachtet, wobei die Zerfallsprodukte ein Teilchen π + (Masse m1 , Viererimpuls p1 ) und dessen Antiteilchen π − (Masse m2 = m1 ,
Viererimpuls p2 ) sind.
Der Feldoperator für einlaufende ρ-Teilchen wird durch Gl. (II.11a) gegeben:
Z h
i
~c d3 ~q
(ρ)
(ρ)†
φ̂ρ (x) =
âq~ e−iq·x/~ + âq~ eiq·x/~ p
,
(VI.8)
(2π~)3 2Eq~
wobei benutzt wurde, dass das ρ-Teilchen sein eigenes Antiteilchen ist.30 Zur Beschreibung der
auslaufenden π + -Teilchen, die erzeugt werden sollen, gibt Gl. (II.11b)
Z h
i
~c d3 ~q1
(π)†
(π)
†
φ̂π (x) =
âq~1 eiq1 ·x/~ + b̂q~1 e−iq1 ·x/~ p
.
(VI.9)
(2π~)3 2Eq~1
30
Jede erhaltene innere Quantenzahl des ρ ist gleich der Summe der entsprechenden Quantenzahlen für die π + und
π , bei denen die Zahl mit entgegengesetzten Vorzeichen vorkommt, so dass die Summe verschwindet. Das ρ kann
also keine innere Quantenzahl haben, und somit kein verschiedenes Antiteilchen.
−
VI. Zerfälle
54
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Wechselwirkende Teilchen
Schließlich lautet der Feldoperator für die auslaufenden π − -Antiteilchen
Z h
i
~c d3 ~q2
(π)
(π)†
.
φ̂π (x) =
âq~2 e−iq2 ·x/~ + b̂q~2 eiq2 ·x/~ p
(2π~)3 2Eq~2
(VI.10)
Bemerkung: Das eigentliche ρ-Meson hat den Spin 1, nicht den Spin 0, wie hier der Einfachheit
halber angenommen wird.
Für den Wechselwirkungsterm im Hamilton-Operator wird die folgende vereinfachte Form in
Abhängigkeit der obigen Feldoperatoren angenommen:
Z
M
√ φ̂π (t, ~x)† φ̂π (t, ~x) φ̂ρ (t, ~x) d3 ~x,
g V̂I (t) ≡
(VI.11)
~ ~c
wobei die Amplitude M ∈ C zeit- und ortsunabhängig ist.
Der Anfangszustand |ii des untersuchten Zerfalls besteht aus ρ-Teilchen mit Viererimpuls p. Ein
(ρ)†
solcher Zustand lässt sich durch die Wirkung des Erzeugungsoperators âp~ auf den Vakuumzustand
erhalten:
(ρ)†
|ρ(~
p)i = âp~ |0i.
(VI.12)
Dieser Zustandsvektor ist aber nicht auf 1 normiert, sondern auf
hρ(~
p)|ρ(~
p)i = δ 3 (~0) =
V
(2π~)3
,
(VI.13)
mit V dem (möglicherweise unendlichen) dreidimensionalen Volumen, in dem die ρ-Teilchen bzw.
die zugehörige ebene Welle sich befinden. Dies wiederum bedeutet, dass der Zustandsvektor |ρ(~
p)i
nicht ein einziges Teilchen, sondern V /(2π~)3 davon beschreibt.
Beweis der Gl. (VI.13): Die erste Gleichung folgt aus
(ρ) (ρ)† (ρ) (ρ)† (ρ)† (ρ) p − p~ 0 )0 ,
hρ(~
p)|ρ(~
p 0 )i = 0 âp~ âp~ 0 0 = 0 âp~ , âp~ 0 + âp~ 0 âp~ 0 = 0δ (3) (~
wobei der Kommutator (II.10a) verwendet wurde, sowie die Normierung auf 1 des Vakuumzustands.
Die zweite Gleichung entspricht einfach der Tatsache, dass die Dirac-Distribution die FourierZ
transformierte von 1 ist:
2πδ(k) = eikx dx,
d.h. 2πδ(0) = L, Volumen des (hier eindimensionalen) Raums.
Um festzustellen, wie viele Teilchen durch den Zustandsvektor beschrieben werden, soll man den
Erwartungswert des Teilchenzahloperators N̂ (ρ) in diesem Zustand berechnen. Dabei ist N̂ (ρ)
(ρ)
(ρ)† (ρ)
das Integral über alle mögliche Impulse p~ 0 von dem Besetzungszahloperator N̂p~ 0 = âp~ 0 âp~ 0 .
Z
Dann hat man
(ρ) (ρ)† (ρ) (ρ)† 3 0
hρ(~
p)| N̂ (ρ) |ρ(~
p)i =
0 âp~ âp~ 0 âp~ 0 âp~ 0 d p~ .
Schreibt man für die zwei letzten Leiteroperatoren rechts
(ρ) (ρ)† (ρ)† (ρ)
(ρ)† (ρ)
(ρ) (ρ)†
p 0 − p~) 1̂ + âp~ âp~ 0
âp~ 0 âp~ = âp~ 0 , âp~
+ âp~ âp~ 0 = δ (3) (~
Z
(ρ) (ρ)† (ρ) (ρ)† (3) 0
so kommt hρ(~
p)| N̂ (ρ) |ρ(~
p)i =
0 âp~ âp~ 0 0 δ (~
p − p~) d3 p~ 0 = h0 âp~ âp~ 0 = hρ(~
p)|ρ(~
p)i.
Ähnlich dem Anfangszustand lautet der Zustandsvektor für den Endzustand
(π)† (π)†
|π + (~
p1 ) π − (~
p2 )i = âp~1 b̂p~2 |0i,
d.h.
(π) (π)
hπ + (~
p1 ) π − (~
p2 )| = h0| b̂p~2 âp~1 .
(VI.14)
Mit dem annähernden Ausdruck (VI.7) des Zeitentwicklungsoperators lautet das Streumatrixelement (VI.1)
Z
ig ∞
V̂I (t0 ) dt0 i I + O g 2 .
(VI.15)
Sfi = I f ÛI (∞, −∞) i I = δfi − I f ~ −∞
VI. Zerfälle
55
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Wechselwirkende Teilchen
Elementarteilchenphysik
Im jetzigen Fall von Interesse sind Anfangs- und Endzustand unterschiedlich, so dass der erste
nicht-verschwindende Beitrag durch den Term der Ordnung g gegeben ist. Unter Verwendung des
Wechselwirkungsterms (VI.11) kommt
Z
i
+
M
−
√ φ̂π (t, ~x)† φ̂π (t, ~x) φ̂ρ (t, ~x) d3 ~x dt ρ(~
Sfi = − π (~
p1 ) π (~
p2 )
p) .
~
~ ~c
Das Einsetzen der Feldoperatoren (VI.8)–(VI.10) und der Zustandsvektoren (VI.12), (VI.14) in
dieses Matrixelement gibt
Z
(~c)5/2 M
i
p
p
Sfi = − 2 p
ei(p1 +p2 −p)·x/~ d3 ~x dt.
~
(2π~)3 2Ep~ (2π~)3 2Ep~1 (2π~)3 2Ep~2
Durch dieses Einsetzen erhält man das Integral nach Zeit und Raum von Integralen nach den
Impulsen ~q, ~q1 , ~q2 von Termen der Art
( (ρ)
)( (π)
)( (π)
)
−iq·x/~
b̂q~1 e−iq1 ·x/~ âq~2 e−iq2 ·x/~ (ρ)†
(π) (π) âq
~ e
h0| b̂p~2 âp~1
âp~ |0i,
(ρ)†
(π)†
(π)†
âq~ eiq·x/~
âq~1 eiq1 ·x/~
b̂q~2 eiq2 ·x/~
wobei die geschweiften Klammern bedeuten, dass einer der beiden Operatoren genommen werden
(ρ) (π)† (π)†
soll. Der einzige nicht-verschwindende Beitrag kommt vom Term mit âq~ âq~1 b̂q~2 — für jede
Teilchen- und Antiteilchenart muss es die gleiche Zahl von Vernichtern und Erzeugern geben —
entsprechend dem Phasenfaktor ei(q1 +q2 −q)·x/~ . Benutzt man dann Gleichungen der Form
(ρ) (ρ)† (ρ) (ρ)†
(ρ)† (ρ)
(ρ)† (ρ)
âq~ âp~ = âq~ , âp~
+ âp~ âq~ = δ (3) (~
p − ~q)1 + âp~ âq~ ,
wobei der letztere Term angewandt auf den Vakuumzustand Null geben wird, so findet man
(π) (π)
(ρ) (π)† (π)† (ρ)†
h0| b̂p~2 âp~1 âq~ âq~1 b̂q~2 âp~
|0i = δ (3) (~
p − ~q) δ (3) (~
p1 − ~q1 ) δ (3) (~
p2 − ~q2 ).
Dann sind die Integrale über ~q, ~q1 , ~q2 trivial und liefern das Resultat.
Die Integration nach t und ~x lässt sich einfach durchführen und liefert eine Dirac-Distribution
M
p
p
Sfi = −i (2π)4 δ (4) (p1 + p2 − p) p
3
(2π) 2Ep~ /c (2π)3 2Ep~1 /c (2π)3 2Ep~2 /c
(VI.16)
≡ −i (2π)4 δ (4) (p1 + p2 − p) Tfi ,
mit Tfi dem Transfermatrixelement. Dabei kommt die Erhaltung des Viererimpulses, ausgedrückt
durch den δ (4) (p1 + p2 − p)-Term, automatisch heraus!
Die Wahrscheinlichkeit für den Zerfall des Anfangszustands wird durch den Betragsquadrat der
Amplitude (VI.16) gegeben:
|Sfi |2 = (2π)4 δ (4) (p1 + p2 − p) (2π)4 δ (4) (0)
|M|2
.
(2π)3 2Ep~ /c (2π)3 2Ep~1 /c (2π)3 2Ep~2 /c
Hier stellt δ (4) (0) das vierdimensionale Raumzeitvolumen dar, in dem die Teilchen sich bewegen
können. Ähnlich wie im zweiten Teil der Gl. (VI.13) gilt δ (4) (0) = V cT /(2π~)4 , mit V bzw. T
dem dreidimensionalen Volumen, in dem die Teilchen sich befinden, bzw. der Zeitspanne, in der der
Zerfall stattfinden kann.
Die Zerfallsrate für den betrachteten Anfangszustand ist die Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit,
also |Sfi |2 /T , integriert über alle möglichen Impulse der auslaufenden Teilchen:
Z
V c2
|M|2 c d3 p~1
c d3 p~2
4 (4)
Γ |ii→··· =
(2π)
δ
(p
+
p
−
p)
.
1
2
(2π)3 ~4
2Ep~ (2π)3 2Ep~1 (2π)3 2Ep~2
Dabei ist aufzupassen, dass diese Rate für einen Anfangszustand gilt, der V /(2π~)3 Teilchen enthält, wie oben bemerkt wurde. Um die Übergangsrate für einen auf 1 normierten Anfangszustand,
VI. Zerfälle
56
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Wechselwirkende Teilchen
entsprechend einem einzigen zerfallenden Teilchen, zu kriegen, soll man deshalb durch V /(2π~)3
teilen. Somit lautet die gesuchte Zerfallsrate
Z
c2
c d3 p~1
c d3 p~2
Γ=
(2π)4 δ (4) (p1 + p2 − p)|M|2
.
(VI.17)
2~Ep~
(2π)3 2Ep~1 (2π)3 2Ep~2
Dieses Resultat stellt ein Beispiel von Fermis Goldene Regel für Zerfälle dar.
Im allgemeinen Fall mit n Teilchen im Endzustand ist die Zerfallsrate gegeben durch
X
Z
n
n
Y
c2
c d3 p~i
4 (4)
Γ=
C (2π) δ
pi − p |M|2
.
2~Ep~
(2π)3 2Ep~i
i=1
(VI.18)
i=1
Abgesehen von numerischen Faktoren besteht diese Zerfallsrate aus drei Elementen, die jetzt diskutiert werden.
• Erstens ist C ein statistischer Faktor, der die mögliche Ununterscheidbarkeit einiger der auslaufenden Teilchen berücksichtigt: für je j identische Teilchen im Endzustand bekommt C
einen Faktor 1/j!.
• Dann wird die Amplitude M durch den eigentlichen Wechselwirkungen festgestellt: hier spielt
die Dynamik der Teilchen eine Rolle — welchen Wechselwirkungen unterliegen sie, welche
Werte nehmen deren innere Quantenzahlen an —, sowie ihre Natur — handelt es sich um
Teilchen mit Spin 0, 21 oder 1. . .
• Schließlich kommt eine Phasenraumintegration
X
Y
Z
n
n
4 (4)
(2π) δ
pi − p
i=1
i=1
c d3 p~i
,
(2π)3 2Ep~i
(VI.19)
wobei die Erhaltung des Viererimpulses schon berücksichtigt wird. Dabei lässt sich das Maß
für die Integration im Impulsraum eines einzigen Teilchens in der Lorentz-invarianten Form
Z
Z
4
c d3 p~i
2
2 2
0 d pi
=
2πδ(p
−
m
c
)
Θ(p
)
(VI.20)
i
i
i
(2π)3 2Ep~i
(2π)4
schreiben, wobei Θ die Heaviside-Funktion bezeichnet. Somit enthält die Phasenraumintegration auch die Bedingung, dass alle auslaufenden (Anti-)Teilchen „on-Shell-Teilchen“ sind, mit
einer positiven Energie.
Bemerkungen:
∗ Ist die Amplitude M ein Lorentz-Skalar, so ist das ganze Integral in Gl. (VI.18) Lorentz-invariant,
und die Zerfallsrate Γ skaliert unter Lorentz-Transformationen wie der Kehrwert der Energie Ep~ ,
d.h. wie der Kehrwert des Lorentz-Faktors γ. Dann skaliert die mittlere Lebensdauer τ einfach
proportional zu γ. . . was zu erwarten war.
∗ Im Ruhesystem des zerfallenden Teilchens vereinfacht sich der Faktor c2 /Ep~ in Gl. (VI.18) zu
1/m.
∗ Die Phasenraumintegration lässt sich für einen Zwei-Teilchen-Zerfall komplett ausführen dank
der Tatsache, dass die Kinematik in diesem Fall völlig festgestellt ist, wie in Abschn. V.2 schon
gesehen wurde.
Literatur
• Griffiths [15], Kap. 6.1.1 & 6.2.1.
VI. Zerfälle
57
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Wechselwirkende Teilchen
VII. Streuprozesse
In diesem Kapitel werden Streuprozesse, d.h. Teilchenstöße, diskutiert. Nach der Einführung von
ein paar Begriffen (Abschn. VII.1) wird das Prinzip der Berechnung des Wirkungsquerschnitts
in Abschn. VII.2 dargestellt, mithilfe eines Beispiels ähnlich dem vereinfachten Zerfallsprozess im
vorigen Kapitel.
Hiernach werden nur Kollisionen zwischen zwei Teilchen a und b betrachtet, mit zwei oder
mehr Teilchen 1, 2, . . . im Endzustand. Prozesse mit drei oder mehr Teilchen im Anfangszustand,
sowie solche mit nur einem Teilchen im Endzustand, sind tatsächlich in der Elementarteilchenphysik
höchst unwahrscheinlich.31
VII.1 Grundbegriffe
Dieser erste Abschnitt fasst die Definitionen von ein paar Grundbegriffen betreffend Streuprozesse zusammen.
VII.1.1 Erste Definitionen
Der Unterschied zwischen elastischen Streuungen — d.h. Prozesse der Art a + b → a0 + b0 —
und inelastischen Streuungen — entweder der Art a + b → 1 + 2, entsprechend quasielastischen
Streuungen, oder a + b → 1 + 2 + 3 + · · · — wurde schon in Abschn. V.4 eingeführt.
Experimentell werden manchmal alle Streuprodukte gemessen und identifiziert, öfter sind aber
nur Teil der Endteilchen bekannt, während die anderen uncharakterisiert bleiben. Dementsprechend
soll man theoretisch einerseits exklusive Prozesse betrachten, in denen alle Teilchen im Endzustand
vollständig charakterisiert sind, und andererseits inklusive Prozesse, in denen Teil der Streuprodukte
nicht untersucht werden, wie z.B. a + b → 1 + „Rest“.
Der Streuwinkel θ ist klassisch der Winkel, um den ein einlaufendes Teilchen abgelenkt wird, wie
in Abb. VII.1 dargestellt wird. Allgemeiner wird er durch das Skalarprodukt zwischen den Impulsen
eines einlaufenden und eines auslaufenden Teilchens definiert, hier ist z.B. θ der Winkel zwischen
p~a und p~1 . Man sollte darauf aufpassen, dass der Streuwinkel vom Bezugssystem abhängt, in dem
die Streuung untersucht wird.
d2 Ω
p~1
einlaufendes Teilchen
p~a
b
auslaufendes Teilchen
θ ϕ
Streuzentrum
Abbildung VII.1: Darstellung einiger Größen zur Charakterisierung eines Streuprozesses.
Bemerkung: Mithilfe der in Gl. (V.4) definierten Mandelstam-Variable t findet man die Beziehung
t − m2a − m21 + 2Ea E1 /c4
.
(VII.1)
cos θ =
2|~
pa ||~
p1 |/c2
31
Für Prozesse des Typs a + b → 1 ist die Kinematik gerade die gleiche wie beim Zwei-Teilchen-Zerfall, so dass der
Prozess nur dann zu einem on-Shell-Teilchen führen kann, wenn die einlaufenden Teilchen genau bestimmte Energien
und Impulse haben.
VII. Streuprozesse
58
N.BORGHINI
Wechselwirkende Teilchen
Elementarteilchenphysik
Im besonderen Fall einer elastischen Streuung gilt im Schwerpunktsystem der einlaufenden Teilchen,
wo Ea = E1 ist, die einfache Relation t = −2|~
pa |2 (1 − cos θ)/c2 .
Im Stoß klassischer Teilchen definiert man noch den Stoßparameter b, entsprechend dem minimalen Abstand der einlaufenden Teilchen für den fiktiven Fall, wo sie sich geradlinig bewegen
würden, statt abgelenkt zu werden. In der Quantenmechanik, wo Teilchen keiner Bahnkurve folgen,
verliert dieser Begriff an Bedeutung.
VII.1.2 Wirkungsquerschnitt. Luminosität
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Streuprozess stattfindet, wird in der Teilchenphysik mithilfe
des Wirkungsquerschnitts charakterisiert.
Klassisch handelt es sich dabei um die (effektive) Schnittfläche des Ziels — entsprechend hier
dem zweiten einlaufenden Teilchen bzw. dem Streuzentrum — aus der Sicht eines einlaufenden
Teilchens. Dies wird unten am Beispiel der Streuung eines klassischen Teilchens an einer harten
Kugel illustriert.
In der Quantenmechanik entspricht der Begriff einer ähnlichen Größe, die aber von der Energie
bzw. der Geschwindigkeit des einlaufenden Teilchens abhängt. Insbesondere können bei bestimmten
Energien sog. Resonanzen auftreten, bei denen die Streuwahrscheinlichkeit stark wächst — das Ziel
wird bei diesen Resonanzenergien als größer gesehen.
Für eine genaue Definition des Wirkungsquerschnitts soll man zuerst die Anzahl der Teilchen
betrachten, die in einem (Gedenk-)Streuexperiment pro Zeit- und pro Raumwinkeleinheit in eine
Richtung (θ, ϕ) ≡ Ω gestreut werden, wobei die Winkeln in Abb. VII.1 definiert sind. Diese Anzahl
sei als d3Naus (θ, ϕ)/dt d2 Ω bezeichnet.
Dazu wird die Luminosität Lein als die Anzahl der einlaufenden Teilchen, die pro Zeiteinheit
durch die Einheitsfläche fließen, definiert.
Dann ist der differentielle Wirkungsquerschnitt durch die Beziehung
d2 σ(θ, ϕ)
1 d3Naus (θ, ϕ)
≡
d2 Ω
Lein dt d2 Ω
(VII.2)
definiert. Anders gesagt ist die Ereignisrate in eine gegebene Richtung gleich dem Produkt der
Luminosität mit dem differentiellen Wirkungsquerschnitt, wobei ein Ereignis hier die Streuung eines
Teilchens in die Richtung bezeichnet.
Der totale Wirkungsquerschnitt ist dann das Integral des differentiellen Wirkungsquerschnitts
über alle Raumwinkel
Z 2
Z 2πZ π 2
d σ(θ, ϕ)
d σ(θ, ϕ) 2
σtot ≡
d
Ω
=
sin θ dθ dϕ.
(VII.3)
2
d Ω
d2 Ω
0
0
Dementsprechend ist die gesamte Ereignisrate gleich dem Produkt der Luminosität mit dem totalen
Wirkungsquerschnitt
dNaus
= Lein σtot .
(VII.4)
dt
Da die Ereignisrate die Dimension einer Rate (!) [T −1 ] und die Luminosität die Dimension einer
Teilchenstromdichte [L−2 T −1 ] hat, haben Wirkungsquerschnitte die Dimension L2 einer Fläche. In
der Teilchenphysik wird statt des m2 der barn benutzt, wobei 1 b = 10−28 m2 = (10 fm)2 .
Bemerkungen:
∗ Der Winkel zwischen zwei Impulsen hängt allgemein vom Bezugssystem ab, insbesondere der
Streuwinkel. Dementsprechend hängt der differentielle Wirkungsquerschnitt vom Bezugssystem ab.
Dagegen ist der totale Wirkungsquerschnitt σtot eine Lorentz-invariante Größe, da es nur eine richtungsunabhängige Zahl charakterisiert.
VII. Streuprozesse
59
N.BORGHINI
Wechselwirkende Teilchen
Elementarteilchenphysik
∗ Bei der oben eingeführten Luminosität Lein handelt es sich tatsächlich um die instantane Luminosität. Diese kann auch integriert über die Dauer eines Experiments werden, was die integrierte
Luminosität liefert.
Beispielsweise wurde das Large Hadron Collider am CERN entwickelt, um eine instantane Luminosität in Proton–Proton-Stößen von 1034 cm−2 s−1 = 104 µb−1 s−1 zu erreichen. In der zweiten Hälfte
von 2012 wurde routinemäßig eine instantane Luminosität von ca. 7000 µb−1 s−1 erreicht.32 Dazu
betrug die in über die Periode 2010–2012 integrierte Luminosität in Proton–Proton-Kollisionen im
ATLAS-Experiment ca. 25 fb−1 .
Luminosität in Teilchenstößen
Betrachte den Stoß zweier Teilchen a und b, wobei der Endzustand für die Diskussion beliebig
sein kann. Es wird angenommen, dass eines der Teilchen, z.B. Teilchen b, eine nichtverschwindende
Masse hat. Dann kann man in dessen Ruhesystem gehen:
a
b
va
-~
•
•
Sei jetzt angenommen, dass es im Volumen V , wo die Teilchen sich befinden, nur ein einziges
Teilchen a und ein einziges Teilchen b gibt. Dann ist die Luminosität der einlaufenden Welle, die
das Teilchen a beschreibt, gegeben durch
1 Lein = ~va ,
(VII.5)
V
wobei 1/V die durchschnittliche Teilchendichte der einlaufenden Teilchen darstellt.
Beispiel: Streuung an einer harten Kugel
Im Fall der Streuung eines klassischen Teilchens an einer festen harten Kugel mit dem Radius R
sind der Stoßparameter b und der Streuwinkel θ einfach miteinander verknüpft. Somit findet man
für b ≤ R (vgl. Abb. VII.2) b = R sin α mit 2α = π − θ, d.h. b = R cos 2θ . Hier ist das Problem
azimutal symmetrisch.
α
b
α
θ
α
Abbildung VII.2: Streuung an einer harten Kugel.
Sei θ ∈ [0, π]; die Teilchen, die um einen Winkel zwischen θ und θ + dθ gestreut werden, sind
solche, die mit einem Stoßparameter zwischen b und b + db auf die Kugel stoßen, wobei
R
θ
θ
= − sin dθ.
db = d R cos
2
2
2
Sei Nein die Anzahl der einlaufenden Teilchen, entsprechend einer Teilchendichte Nein /V . Wenn diese
Teilchen alle dieselbe Geschwindigkeit vein haben, dann lautet die Luminosität Lein = Nein vein /V .
Dazu bleibt die Geschwindigkeit der Teilchen unverändert in der Streuung, so dass die Anzahl der
in die Richtung (θ, ϕ) gestreuten Teilchen pro Zeit- und Raumwinkeleinheit durch
d3Naus (θ, ϕ)
1 Nein
=
vein |b db dϕ|
2
dt d Ω
dΩ V
gegeben ist, mit dΩ = sin θ dθ dϕ. Unter Berücksichtigung der Ausdrücke für b, db und die Lumi32
Diese Information kann online auf der LHC luminosity Webseite gefunden werden.
VII. Streuprozesse
60
N.BORGHINI
Wechselwirkende Teilchen
Elementarteilchenphysik
nosität findet man
R cos 2θ · R2 sin 2θ dθ
d3Naus (θ, ϕ)
R2
=
L
=
L
,
ein
ein
dt d2 Ω
sin θ dθ
4
R2
d2 σ(θ, ϕ)
=
für alle θ ∈ [0, π] und
entsprechend einem differentiellen Wirkungsquerschnitt
d2 Ω
4
ϕ ∈ [0, 2π].
Dies gibt einen totalen Wirkungsquerschnitt σtot = πR2 , d.h. gleich der Schnittfläche der Kugel.
VII.2 Berechnung des Wirkungsquerschnitts
Ähnlich der Zerfallsrate in Abschn. VI.2 lässt sich der Wirkungsquerschnitt mithilfe von Fermis
Goldener Regel schreiben. Somit beruht der totale Wirkungsquerschnitt auf dem Phasenraumintegral einer Amplitude zum Quadrat über die Impulse der auslaufenden Teilchen (Abschn. VII.2.1).
Dieses Integral wird mit einem Vorfaktor multipliziert, dem sog. Møller-Flussfaktor, der in Abschn. VII.2.2 diskutiert wird. Wenn es nur zwei Teilchen im Endzustand kann das Phasenraumintegral weitgehend ohne Kenntnisse über die zugrundeliegende Wechselwirkung durchgeführt werden
(Abschn. VII.2.3), woraus der differentielle Wirkungsquerschnitt folgt.
VII.2.1 Fermis Goldene Regel für Streuprozesse
Betrachte z.B. den Zwei-nach-zwei-Prozess a + b → 1 + 2, mit pa , pb , p1 , p2 den Viererimpulsen
der Teilchen. Der Einfachheit halber wird angenommen, dass die einlaufenden bzw. auslaufenden
Teilchen nicht identisch sind, und dass sie den Spin 0 haben.
Die einlaufenden Teilchen werden durch einen Zustandsvektor |a(~
pa ), b(~
pb )i beschrieben, der sich
durch Anwendung von geeigneten Erzeugungsoperatoren auf den Vakuumzustand erhalten lässt.
Deshalb ist dieser Zustandsvektor auf [δ (3) (~0)]2 = [V /(2π~)3 ]2 normiert. Wiederum entsprechen
die auslaufenden Teilchen einem Endzustand h1(~
p1 ), 2(~
p2 )|. Beide Anfangs- und Endzustand sind
Eigenzustände zu einem wechselwirkungsfreien Hamilton-Operator Ĥ0 .
Der Prozess unter Berücksichtigung erfolgt aus dem Einschalten eines zusätzlichen Wechselwirkungsterms g V̂ (t) im Hamilton-Operator, mit
Z
M
g V̂I (t) ≡
φ̂a (t, ~x) φ̂b (t, ~x) φ̂1 (t, ~x) φ̂2 (t, ~x) d3 ~x,
(VII.6)
~c
wobei die komplexwertige Amplitude M zeit- und ortsunabhängig ist, während φ̂i (x) für i = a, b, 1, 2
den mit Teilchen i assoziierten Klein–Gordon-Feldoperator bezeichnet.
Zur ersten nicht-trivialen Ordnung in Störungsrechnung lautet das Streumatrixelement (VI.1)
zwischen Anfangs- und Endzustand [vgl. (VI.15)]
Z
M
i
p1 ), 2(~
p2 )
φ̂a (t, ~x) φ̂b (t, ~x) φ̂1 (t, ~x) φ̂2 (t, ~x) d3 ~x dt a(~
Sfi = − 1(~
pa ), b(~
pb ) .
~
~c
Drückt man die Feldoperatoren durch die zugehörigen Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren aus,
so findet man, dass die Wirkung von φ̂i (x) für
auf den Anfangszustand
p i = a oder b bzw. i = 1 oder 2 p
bzw. Endzustand einen Term ~c e−ipi ·x/~ / (2π~)3 2Ep~i bzw. ~c e+ipi ·x/~ / (2π~)3 2Ep~i liefert, so
dass
Z
i
(~c)3 M
p
p
p
p
Sfi = −
ei(p1 +p2 −pa −pb )·x/~ d3 ~x dt.
3
3
3
3
~
(2π~) 2Ep~a (2π~) 2Ep~b (2π~) 2Ep~1 (2π~) 2Ep~2
Die Integration nach Raum und Zeit gibt dann
c2 M
p
p
p
Sfi = −i (2π)4 δ (4) (p1 + p2 − pa − pb ) p
. (VII.7)
(2π)3 2Ep~a (2π)3 2Ep~b (2π)3 2Ep~1 (2π)3 2Ep~2
Dieser Ausdruck des Streumatrixelements hat die gleiche Struktur wie in Gl. (VI.16), und insbesondere berücksichtigt automatisch die Energie–Impuls-Erhaltung.
VII. Streuprozesse
61
N.BORGHINI
Wechselwirkende Teilchen
Elementarteilchenphysik
Bildet man den Betragsquadrat dieses Streumatrixelements, so ergibt sich
2
c4 M
2
4 (4)
4 (4)
,
|Sfi | = (2π) δ (p1 + p2 − pa − pb ) (2π) δ (0)
(2π)3 2Ep~a (2π)3 2Ep~b (2π)3 2Ep~1 (2π)3 2Ep~2
wobei (2π)4 δ (4) (0) gleich 1/~4 mal dem Raumzeitvolumen V cT ist, in dem die ein- und auslaufenden
Teilchen propagieren.
|Sfi |2 stellt die Wahrscheinlichkeit dafür dar, dass der Anfangszustand |a(~
pa ), b(~
pb )i nach einer
Zeit T in den Endzustand h1(~
p1 ), 2(~
p2 )| gestreut wird. Um die entsprechende Wahrscheinlichkeit
pro Zeiteinheit und für ein einziges Paar von einlaufenden Teilchen zu erhalten, soll man einfach
|Sfi |2 durch T und durch die Normierung des Anfangszustands teilen. Somit lautet die Anzahl der
pro Zeiteinheit mit Impulsen p~1 , p~2 auslaufenden Teilchen
2
M
d7Naus (~
p1 , p~2 )
~2 c3
1
4 (4)
=
(2π)
δ
(p
+
p
−
p
−
p
)
. (VII.8)
1
2
a
b
dt d3 p~1 d3 p~2
V 4Ep~a Ep~b
(2π)3 2Ep~1 /c (2π)3 2Ep~2 /c
Aus dieser Formel, integriert über die passenden Variablen, lassen sich Ausdrücke für den differentiellen und den totalen Wirkungsquerschnitt herleiten.
Dabei ist der Letztere zunächst einfacher zu erhalten, zumindest formell. Integriert man die
Anzahl (VII.8) über alle möglichen Werte der auslaufenden Impulse, so ergibt sich die Anzahl der
pro Zeiteinheit auslaufenden Teilchen 1 und 2
Z
2 c d3 p~1
~2 c3
1
c d3 p~2
dNaus
(2π)4 δ (4) (p1 + p2 − pa − pb )M
=
.
dt
V 4Ep~a Ep~b
(2π)3 2Ep~1 (2π)3 2Ep~2
Diese Anzahl ist über Beziehung (VII.4) mit dem totalen Wirkungsquerschnitt und der Luminosität
verknüpft. Um die Letztere zu ermitteln, kann man ins Ruhesystem von Teilchen b gehen — wobei
angenommen wird, dass Teilchen b nicht masselos ist. In diesem
Bezugssystem gilt Ep~b = mb c2 ,
während die Luminosität gemäß Gl. (VII.5) gleich Lein = ~va /V ist, mit ~va der Geschwindigkeit
des Teilchens a. Dies gibt für den totalen Wirkungsquerschnitt
Z
2 c d3 p~1
~2 c
c d3 p~2
σtot = (2π)4 δ (4) (p1 + p2 − pa − pb )M
.
(VII.9)
(2π)3 2Ep~1 (2π)3 2Ep~2
4 ~va Ep~ mb
a
Diese Formel stellt noch ein mal ein Beispiel von Fermis Goldener Regel dar.
Wie schon oben erwähnt wurde, soll der totale Wirkungsquerschnitt Lorentz-invariant
2 sein.
Während das Integral deutlich Lorentz-invariant ist — vorausgesetzt das gilt auch für M , was
hier ohne Beweis angenommen wird —, ist es für der Vorfaktor nicht sofort klar. Somit wird der
Letztere im nächsten Abschnitt genauer untersucht.
VII.2.2 Flussfaktor. Lorentz-invariante Form des totalen Wirkungsquerschnitts
Das im Vorfaktor des totalen Wirkungsquerschnitts (VII.9) auftretende Produkt 4~va Ep~a mb /c,
wobei ~va und Ep~a im Ruhesystem des Teilchens b gemessen werden, wird (Møller -) Flussfaktor
genannt und hiernach als F bezeichnet.
In einem beliebigen Ruhesystem, wo die Viererimpulse der kollidieren Teilchen pa und pb sind,
gilt
q
F = 4 (pa · pb )2 − m2a m2b c4 .
(VII.10)
Ep~a /c
Ep~b /c
, pb =
. Im Bezugssystem wo p~b = ~0, Ep~b = mb c2 gilt pa ·pb = Ep~a mb
p~a
p~b
und somit
pa |2 c2 m2b .
(pa · pb )2 − m2a m2b c4 = Ep~2a − m2a c4 m2b = |~
Seien pa =
Dies gibt F = 4|~
pa |c mb = 4
VII. Streuprozesse
|~va |
|~
pa |c
Ep~a mb = 4
Ep~a mb .
Ep~a
c
62
N.BORGHINI
Wechselwirkende Teilchen
Elementarteilchenphysik
Ein alternativer nützlicher Ausdruck des Flussfaktors beruht auf der Mandelstam-Variable s,
Gl. (V.4). Somit kann man schreiben
q
2
(VII.11)
F = 2 s − m2a − m2b − 4m2a m2b c2 .
Diese Formel folgt sofort aus der Gleichung
2
2
4(pa · pb )2 = (2pa · pb )2 = (pa + pb )2 − p2a − p2b = s − m2a − m2b c4 .
Für die Berechnung des differentiellen Wirkungsquerschnitts im nächsten Abschnitt wird es sich
auch lohnen, den Møller-Flussfaktor im Schwerpunktsystem der einlaufenden Teilchen zu kennen.
In diesem Bezugssystem findet man
F = 4(Ep~a + Ep~b )|~
pa |/c im Schwerpunktsystem der Teilchen a und b.
(VII.12)
Im Schwerpunktsystem gilt p~b = −~
pa , was sofort zu pa · pb = Ep~a Ep~b /c2 + |~
pa |2 führt. Somit
2
2
2
4
4
2 2
ergibt sich (pa · pb ) = Ep~a Ep~b /c + |~
pa | + 2Ep~a Ep~b |~
pa | /c , und unter Verwendung der Energie–
Impuls-Relation Ep~2i /c2 = |~
pi |2 + m2i c2 für beide Teilchen
(pa · pb )2 − m2a m2b c4 = 2|~
pa |4 + |~
pa |2 m2a c2 + m2b c2 + 2Ep~2a Ep~2b /c2
2
= |~
pa |2 |~
pa |2 + |~
pa |2 Ep~a + Ep~b /c2 .
pb |2 + m2a c2 + m2b c2 + 2Ep~2a Ep~2b /c2 = |~
Zusammen liefern Gl. (VII.9) und (VII.10) den totalen Wirkungsquerschnitt für einen Zweinach-zwei-Streuprozess
Z
2 c d3 p~1
c d3 p~2
~2
(2π)4 δ (4) (p1 + p2 − pa − pb )M
. (VII.13)
σtot = q
(2π)3 2Ep~1 (2π)3 2Ep~2
4 (pa · pb )2 − m2a m2b c4
Dieser Ausdruck lässt sich auf den Fall des totalen Wirkungsquerschnitts für eine Streuung mit
n Teilchen (gekennzeichnet 1, 2, . . . , n) im Endzustand verallgemeinern. Dann gilt
X
Z
n
n
Y
~2
c d3 p~i
4 (4)
2
,
(VII.14)
σtot = q
C (2π) δ
pi − pa − pb |M|
(2π)3 2Ep~i
4 (pa · pb )2 − m2a m2b c4
i=1
i=1
wobei C ein ähnlicher statistischer Faktor wie bei der Zerfallsrate (VI.18) ist.
VII.2.3 Differentieller Wirkungsquerschnitt in einem Zwei-nach-zwei-Prozess
Im besonderen Fall einer Zwei-nach-zwei-Streuung sind die Energien und Impulse der Streuprodukte durch die Kinematik so eingeschränkt, dass der zugehörige differentielle Wirkungsquerschnitt
explizit berechnet werden kann, auch wenn die Amplitude M, die durch die Dynamik bestimmt
wird, unbekannt ist.
Dies lässt sich am einfachsten finden im Schwerpunktsystem der einlaufenden Teilchen, wo definitionsgemäß p~a + p~b = ~0. Unter Verwendung des Ausdrucks (VII.12) des Flussfaktors in diesem
Bezugssystem wird der „unintegrierte“ Wirkungsquerschnitt — entsprechend einem Maß für die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass die gestreuten Teilchen Impulse zwischen p~1 und p~1 + d3 p~1 bzw. p~2
und p~2 + d3 p~2 haben — gegeben durch [vgl. Gl. (VII.13)]
2 c d3 p~1
~2 c
c d3 p~2
d6 σ(~
p1 , p~2 ) =
(2π)4 δ (4) (p1 + p2 − pa − pb )M
4(Ep~a + Ep~b )|~
pa |
(2π)3 2Ep~1 (2π)3 2Ep~2
=
~2
|M|2 c3
δ (4) (p1 + p2 − pa − pb ) d3 p~1 d3 p~2 .
2
64π (Ep~a + Ep~b )|~
pa |Ep~1 Ep~2
Dabei kann der δ (4) -Term als c δ(Ep~1 + Ep~2 − Ep~a − Ep~b )δ (3) (~
p1 + p~2 ) geschrieben werden, wobei die
~
Gleichung p~a + p~b = 0 benutzt wurde. Dann wird das Integral über p~2 trivial und ergibt
VII. Streuprozesse
63
N.BORGHINI
Wechselwirkende Teilchen
Elementarteilchenphysik
p
p
m21 c4 + p~12 c2 + m22 c4 + p~12 c2 − Ep~a − Ep~b 3
p
p
d p~1 .
m21 c2 + p~12 m22 c2 + p~12
δ
~2
|M|2 c2
d σ(~
p1 ) =
2
64π (Ep~a + Ep~b )|~
pa |
3
Um dies weiter zu integrieren, soll die Abhängigkeit der Amplitude M bzw. von deren Betragsquadrat nach den kinematischen Variablen diskutiert werden. Allgemein sollte M eine Funktion
der Impulse der ein- und auslaufenden Teilchen sein: M(~
pa , p~b , p~1 , p~2 ). Im Schwerpunktsystem, wo
p~b = −~
pa und dank der Impulserhaltung p~2 = −~
p1 gelten, ist M nur Funktion von p~a und p~1 . Dazu
ist M ein Lorentz-Skalar, d.h. insbesondere invariant unter Drehungen, und kann deshalb nur von
den skalaren Größen p~a2 , p~12 und p~a · p~1 = |~
pa ||~
p1 | cos θ abhängen. Zusammenfassend ist die Amplitude M für eine Zwei-nach-zwei-Streuung nur Funktion von |~
pa |, |~
p1 | und θ, wobei diese Größen im
Schwerpunktsystem gemessen werden.
Wegen der möglichen Abhängigkeit von dem Streuwinkel θ kann die Winkelintegration nicht
durchgeführt werden, im Gegensatz zum Fall des Phasenraumintegrals beim Zwei-Teilchen-Zerfall.
Für die restlichen Integrationen kann man zunächst die Substitution d3 p~1 → p2 dp d2 Ω, mit
Ω ≡ (θ, ϕ) und dementsprechend d2 Ω = sin θ dθ dϕ, in die obige Formel für d3 σ(~
p1 ) einsetzen. Dann
ergibt sich für den differentiellen Wirkungsquerschnitt
p
p
Z ∞
m21 c4 + p2 c2 + m22 c4 + p2 c2 − Ep~a − Ep~b 2
d2 σ(θ, ϕ)
~2
c2
2δ
p
p
|M|
p dp.
=
d2 Ω
64π 2 (Ep~a + Ep~b )|~
pa | 0
m21 c2 + p2 m22 c2 + p2
Weiterer Fortschritt erfolgt unter Nutzung der neuen Integrationsvariable
q
q
2
4
2
2
E ≡ m1 c + p c + m22 c4 + p 2 c2 ,
entsprechend
dE =
c2
c2
E
p
p
p
p
+
p dp,
p
dp
=
m21 c4 + p2 c2
m22 c4 + p2 c2
m21 c2 + p2 m22 c2 + p2
sowie
p(E) =
1
2Ec
q
2
E 4 − 2E 2 m21 + m22 c4 + m21 − m22 c8
Die letztere Formel folgt aus einfachen Berechnungen. Zunächst gilt
q
q
E 2 = m21 c4 + m22 c4 + 2p2 c2 + 2 m21 c4 + p2 c2 m22 c4 + p2 c2 ,
d.h.
2
E 2 − m21 c4 − m22 c4 − 2p2 c2 = 4 m21 c4 + p2 c2 m22 c4 + p2 c2 .
Nach dem Ausmultiplizieren der Produkte auf beiden Seiten und dem Herauskürzen von ein
paar Termen kommt
E 4 + m41 c8 + m42 c8 − 2E 2 m21 c4 − 2E 2 m22 c2 − 2m21 m22 c8 = 4E 2 p2 c2 ,
woraus das Ergebnis folgt.
Mithilfe der Integrationsvariable E lässt dich der differentielle Wirkungsquerschnitt schreiben
als
d2 σ(θ, ϕ)
~2
c2
=
2
2
d Ω
64π (Ep~a + Ep~b )|~
pa |
Z
∞
2
p(E)
M(|~
pa |, p(E), cos θ) δ(E − Ep~a − Ep~b )
dE,
E
Emin
wobei die untere Grenze Emin ≡ (m1 +m2 )c2 ist. Damit das Argument der Delta-Funktion für einen
Wert von E im Integrationsbereich verschwindet, soll Emin − Ep~a − Ep~b < 0 sein. Anders gesagt
soll die Schwerpunktsenergie Ep~a + Ep~b ≡ Ecms größer sein als die Summe der Massenenergien
(m1 + m2 )c2 der auslaufenden Teilchen, entsprechend einer trivialen kinematischen Bedingung zur
Realisierbarkeit des Prozesses. In diesem Fall kann die Integration leicht durchgeführt werden, und
es ergibt sich
2
d2 σ(θ, ϕ)
~2
c2
p(Ecms ) .
=
M(|~
p
|,
p(E
),
cos
θ)
a
cms
d2 Ω
64π 2 Ecms |~
pa | Ecms
VII. Streuprozesse
64
N.BORGHINI
Wechselwirkende Teilchen
Elementarteilchenphysik
Dabei stellt p(Ecms ) den Wert des Impulsbetrags |~
p1 | = |~
p2 | dar, bei dem die Dirac-Distribution für
Energie–Impuls-Erhaltung realisiert wird. Somit lautet der differentielle Wirkungsquerschnitt für
den Prozess a + b → 1 + 2 im Schwerpunktsystem der einlaufenden Teilchen
2
pa |, |~
p1 |, cos θ)
d2 σ(θ, ϕ)
~2 c2 |~
p1 | M(|~
,
(VII.15)
=
d2 Ω
64π 2 |~
pa |
(Ep~a + Ep~b )2
mit |~
p1 | dem durch Viererimpulserhaltung bestimmten Betrag des Impulses eines der auslaufenden
Teilchen.
Bemerkung: Da die kinematischen Größen hier im Schwerpunktsystem der einlaufenden Teilchen
angegeben sind, ist (Ep~a + Ep~b )2 im Nenner dieser Formel gleich s c4 , mit s der (Lorentz-invarianten)
ersten Mandelstam-Variable.
Literatur
• Griffiths [15], Kap. 6.1.2 & 6.2.2.
VII. Streuprozesse
65
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Wechselwirkende Teilchen
VIII. Feynman-Regeln
Zur Berechnung der Amplitude M für einen gegebenen quantenfeldtheoretischen Prozess wurde ein
günstiger Formalismus entwickelt, basierend auf einer graphischen Darstellung. In diesem kurzen
Kapitel werden diese sog. Feynman-Regeln ohne Beweis eingeführt.33
Betrachte den Übergang, induziert durch einen Wechselwirkungsterm, zwischen einem Anfangsund einem Endzustand bestehend aus beliebig vielen ein- und auslaufenden Teilchen mit bestimmten
Viererimpulsen und Spins, wie z.B. in Abb. VIII.1 schematisch dargestellt wird.
4
3
CC
6 COC
t
6
5
Prozess
CC
COC
1
2
Abbildung VIII.1: Schematische Darstellung eines Prozesses mit zwei Teilchen im Anfangszustand
und drei Teilchen im Endzustand.
Zu einer gegebenen Ordnung in Störungsrechnung — entsprechend der Potenz des Wechselwirkungsterms in der Entwicklung des Zeitentwicklungsoperators, vgl. Abschn. VI.2.2 b — lässt sich
die Amplitude als Summe von Teilamplituden schreiben. Jeder Teilamplitude kann ein FeynmanDiagramm zugeordnet werden, bestehend aus drei Arten von elementaren Bausteinen: externen
Linien, mit einem freien Endpunkt; Vertices, wo drei oder mehr Linien sich treffen; und möglicherweise internen Linien, auch Propagatoren genannt, mit einem Vertex an beiden Endpunkten.
Als Beispiel ist der Annihilationsprozess e− (p1 , σ1 ) + e+ (p2 , σ2 ) → γ(p3 , λ3 ) + γ(p4 , λ4 ) in
Abb. VIII.2 abgebildet, mit pi , σi bzw. λi den Viererimpulsen, Helizitäten bzw. Polarisationen
der ein- und auslaufenden Teilchen.
p3 ,λ3 ,µ3
p4 ,λ4 ,µ4
vvkFkuu
e d
E
e
d
I
@
@
6
t
p1 ,σ1
@
I
@
p2 ,σ2
Abbildung VIII.2: Feynman-Diagramm für Elektron–Positron-Annihilation zur führenden Ordnung.
Ein solches Diagramm darf nicht als Darstellung einer Folge von Ereignissen in der Raumzeit
interpretiert werden. Insbesondere bedeutet der mit t versehene Pfeil links nur, dass die externen
Linien 1 und 2 unten bzw. 3 und 4 oben für die ein- bzw. auslaufenden Teilchen stehen.
Jeder Baustein eines Feynman-Diagramms entspricht einem multiplikativen Beitrag zur Teilamplitude, gegeben durch die Feynman-Regeln, die jetzt formuliert werden.
Linien
À Externe
::::::::::::::
Diese stellen die ein- und auslaufenden Teilchen dar, wobei der freie Endpunkt dem asymptotisch
freien Anfangs- bzw. Endzustand bei t → −∞ bzw. t → +∞ entspricht. Jede solche Linie wird durch
den Viererimpuls des Teilchens gekennzeichnet, sowie, im Fall von Spin- 21 - bzw. Spin-1-Teilchen,
durch die zugehörige Helizität σ bzw. Polarisation λ.
33
Entäuschte Leserinnen können sich mit dem Gedanken trösten, dass Feynman selbst „seine“ Regeln für quantenelektrodynamische Prozesse nicht hergeleitet, sondern genial intuitiert hat.
VIII. Feynman-Regeln
66
N.BORGHINI
Wechselwirkende Teilchen
Elementarteilchenphysik
Je nach der Art des Teilchens werden verschiedene Typen von Linien benutzt, entsprechend
verschiedenen Beiträgen zur Amplitude:
hh
kFk
p
−→
p,σ
−→
kk
p,σ
−→
gg
für ein Spin-0-Teilchen mit Viererimpuls p.
Dies gibt einen Faktor 1 in der Amplitude.
für ein Spin- 21 -Teilchen (z.B. ein Elektron) mit Viererimpuls p und Helizität σ.
Für ein einlaufendes Teilchen ist der Beitrag zur Amplitude gleich u(~
p, σ);
für ein auslaufendes Teilchen ist der Beitrag zur Amplitude gleich ū(~
p, σ).
für ein Spin- 21 -Antiteilchen (z.B. ein Positron) mit Viererimpuls p und Helizität σ.
Für ein einlaufendes Antiteilchen ist der Beitrag zur Amplitude gleich v̄(~
p, σ);
für ein auslaufendes Antiteilchen ist der Beitrag zur Amplitude gleich v(~
p, σ).
p,λ,µ
−→
für ein Spin-1-Teilchen (z.B. ein Photon) mit Viererimpuls p und Polarisation λ.
µ
Dies gibt einen Faktor ε(λ)
(~
p) in der Amplitude.
Bemerkungen:
∗ Äußere Linien stehen für on-Shell-Teilchen bzw. -Antiteilchen, so dass die Angabe des Impulses
p~ und der Masse m — je nach der Teilchenart: Elektron, Myon, Neutrino, Photon. . . — die Energie
und somit den Viererimpuls vollständig bestimmt.
∗ Der Pfeil auf den für Spin- 12 -(Anti)Teilchen stehenden Linien gibt an, welche Teilchen und welche Antiteilchen sind: bei den Ersteren propagieren die Ladungen in die gleiche Richtung wie der
Viererimpuls, bei den Letzteren propagieren sie rückwärts.
Die Linien für Spin-0- oder Spin-1-Teilchen können natürlich auch mit solchen Pfeilen versehen
werden, falls die Teilchen eine erhaltene Ladung tragen. Im Fall der Bosonen des Standardmodells
werden jene Pfeile traditionell nicht geschrieben.
∗ In dieser Vorlesung wurde angenommen, dass Polarisationsvektoren reell sind [vgl. Gl. (IV.12)].
Man darf auch komplexwertige Polarisationsvektoren betrachten. In jenem Fall ist der Faktor in der
µ
µ∗
Amplitude ε(λ)
(~
p) für ein einlaufendes Spin-1-Teilchen und ε(λ)
(~
p) für ein auslaufendes Teilchen.
Á Vertices
:::::::
Vertices stellen die Punkte dar, wo Teilchen miteinander wechselwirken. Dabei hat man, je nach
dem Wechselwirkungsterm im Hamilton-Operator, 3-Teilchen-Vertices, 4-Teilchen-Vertices, usw.
In Abschn. VI.2.2 b wurde gezeigt, dass die Reihenentwicklung des Zeitentwicklungsoperators
ÛI (t, t0 ) der nichtrelativistischen Quantenmechanik nach Potenzen der Wechselwirkung Terme der
Z
Form
i
−
g V̂I (t0 ) dt0
~
liefert. In einer quantentheoretischen Beschreibung, basierend auf einer Lagrange’schen Formulierung, lauten diese Terme
Z
i
L̂I dt0 d3 ~x 0 ,
~
mit L̂I dem Wechselwirkungsterm (im Wechselwirkungsbild) in der Lagrange-Dichte. Der Letztere
ist allgemein ein Polynom in den Feldoperatoren der an der Wechselwirkung teilnehmenden Teilchen,
wie z.B. für Teilchen mit Spin 0
L̂I = gjkl φ̂j φ̂k φ̂l + ghjkl φ̂h φ̂j φ̂k φ̂l + · · ·
(VIII.1)
Dann schreibt man für jeden Vertex des Feynman-Diagramms einfach einen Faktor ig, wo die
Kopplungskonstante g der passende Koeffizient des Polynoms ist. Im Beispiel der obigen LagrangeVIII. Feynman-Regeln
67
N.BORGHINI
Wechselwirkende Teilchen
Elementarteilchenphysik
Dichte (VIII.1) lautet der Beitrag zur Teilamplitude
jh
i
ji
ij
j
• für jeden 3-Teilchen-Vertex
k
kommt ein Faktor igjkl ;
l
• für jeden 4-Teilchen-Vertex
Linien
 Interne
:::::::::::::
h
k
j
l
kommt ein Faktor ighjkl , usw.
Eine günstige doch schnell irreführende Interpretation einer solchen Linie ist, dass sie das Propagieren von irgendeinem (Anti)Teilchen zwischen zwei Wechselwirkungspunkten beschreiben. Jenes
(Anti)Teilchen hätte dann die gleiche Masse m und die gleichen Quantenzahlen (Spin, Ladungen. . . )
wie das entsprechende „reale“ Teilchen, das im Anfangs- oder Endzustand auftreten kann.
Dagegen hat es keinen Helizitäts- oder Polarisationszustand — in den hiernach angegebenen
Propagatoren wird schon über alle Möglichkeiten summiert. Dazu trägt es einen Viererimpuls q, der
die Energie–Impuls-Beziehung q2 = m2 c2 nicht erfüllen soll: es ist „off-Shell“. Somit wird das Ding,
das man mit einer inneren Linie assoziiert, als virtuelles (Anti)Teilchen bezeichnet.
Hiernach werden die verschiedenen internen Linien je mit der zugehörigen Form des Propagators
dargestellt. In jedem Fall bezeichnet m die Masse des virtuellen (Anti)Teilchens.
q
i
−→
(VIII.2a)
(Spin-0-Teilchen) entspricht dem Propagator 2
.
q − m2 c2
q
)
−→
i (6 q + mc)
(Spin- 21 -Teilchen) und
q
(VIII.2b)
entsprechen dem Propagator 2
.
←−
1
q − m2 c2
(Spin- 2 -Antiteilchen)
q
−→
µ
−iη µν
ν
(VIII.2c)
(Spin-1-Teilchen) entspricht dem Propagator 2
.
q − m2 c2
Alle diese Propagatoren tragen multiplikativ zur Amplitude M bei.
hh
kFk
kk
gg
à Energie–Impuls-Erhaltung
:::::::::::::::::::::::::
An jedem Vertex muss der Viererimpuls erhalten sein. Diese Bedingung schränkt die möglichen Werte der Viererimpulse vieler interner Linien ein. Hier soll die globale Viererimpulserhaltung
zwischen Anfangs- und Endzustand benutzt werden.
über die Viererimpulse der internen Linien
Ä Integration
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Jetzt integriert man üben jedem internen Viererimpuls q, der im vorigen Schritt à nicht bestimmt wurde, mit dem Integrationsmaß d4 q/(2π)4 .
(1)
Å Antisymmetrisierung
:::::::::::::::::::::::
Für jede geschlossene Fermion-Schleife eines gegebenen Feynman-Diagramms wird die Teilamplitude mit (−1) multipliziert. Dazu soll man die Spur des entsprechenden Produkts von GammaMatrizen bilden.
Æ Gesamtphase
::::::::::::
Das Ergebnis der Schritte À bis Å wird jetzt noch mit einem Faktor i multipliziert, was die
endgültige Teilamplitude M liefert. Dies hat natürlich keinen Einfluss auf |M|2 , ist aber üblich.
Jetzt sollen alle Teilamplituden, die bis zu einer gegebenen Ordnung vorkommen, summiert
werden, um die gesamte Amplitude zu geben. Dabei kommt ein letzter Schritt, falls es zwei identische
ein- oder auslaufende Fermionen gibt:
(2)
Ç Antisymmetrisierung
:::::::::::::::::::::::
Zwei Diagramme, die sich nur durch Austausch von zwei externen Fermionen unterscheiden,
sollen nicht addiert, sondern subtrahiert werden, d.h. eines davon soll mit einem Minuszeichen
versehen werden.
VIII. Feynman-Regeln
68
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Wechselwirkende Teilchen
Beispiele
Jetzt werden drei Beispiele von Feynman-Diagrammen sowie die zugehörigen Amplituden M
angegeben, für den Fall einer Theorie skalarer Teilchen, die über den Term L̂I = −g φ̂1 φ̂2 φ̂3 in der
Lagrange-Dichte wechselwirken. Somit können in dieser Theorie nur Drei-Teilchen-Vertices, mit je
einem Teilchen von jeder Art (1, 2 und 3) betrachtet werden.
- Beispiel 1: 1 → 2 + 3 Zerfallsprozess
2
j i
ji
3
p3
M = (−ig)(i) = g
{
n
hh
I
p@
@
2
Á Æ
p1 6
1
Hier und in den zwei folgenden Beispielen werden die aus den äußeren Linien kommenden trivialen
Faktoren 1 vom Schritt À nicht geschrieben.
- Beispiel 2: elastischer 1 + 2 → 10 + 20 Streuprozess
20
10
Ã
1
{
Á
p
2
@
I
@
g2
(i)
=
(p1−p02 )2 − m23 c2
(p1−p02 )2 − m23 c2
Æ
Â&Ã
i
2
(
- Beispiel 3: elastischer 1 + 2 → 10 + 20 Streuprozess
20
q
0
I
@
p2@
1
3
3
0
p1−p2
p1−p02
2
p1
Ã
p1−p02 +q (Ã)
1
= ig 2
(p1−p02 )2 − m23 c2
2
{












Â&Ã
1
p
2
@
I
@
i
i
d4 q
(i)
q2 − m21 c2 (p1−p02 +q)2 − m22 c2 (2π)4
Æ
Ä
Ä
Â
Â&Ã
{



4
(p1−p02 )2 − m23 c2









Á
p01
2 Z
i










M = (−ig)4
10
q2 − m21 c2
Z









M = (−ig)2








3
q = p1−p02


p1
p01








jjhhii
i
j
i
j
I
p02@
@
1
d4 q
.
(p1−p02 +q)2 − m22 c2 (2π)4
Somit stellt dieses Feynman-Diagramm einen Beitrag der Ordnung O(g 4 ) zur Amplitude für den
Streuprozess.
Bemerkungen:
∗ Die Anzahl der Vertices entspricht der Ordnung in Störungsrechnung der Teilamplitude unter
Betrachtung. Wenn man nach der Amplitude bis zur einer gegebenen Ordnung k sucht, dann soll
man nur die Diagramme mit k 0 ≤ k Vertices zeichnen.
∗ Falls es Fermionen gibt, ist die Anordnung der Beiträge der dazugehörigen Vertices und Propagatoren zu einer Teilamplitude nicht beliebig — sie involvieren nämlich Dirac-Matrizen, deren
Produkt nicht kommutativ ist. Dies wird in Abschn. IX.1 am Beispiel der Feynman-Regeln der
Quantenelektrodynamik weiter detailliert.
VIII. Feynman-Regeln
69
N.BORGHINI
Wechselwirkende Teilchen
Elementarteilchenphysik
∗ Regel à für die Viererimpulserhaltung an den Vertices wird manchmal anders angegeben, z.B.
in Griffiths [15], Kap. 6.3: mit jedem Vertex sollte ein Faktor (2π)4 δ (4) ( · · · ) assoziiert werden,
wobei die Auslassungspunkte für die algebraische Summe der Viererimpulse an dem Vertex steht,
z.B. · · · = p1 − p02 − q für den Vertex links im Beispiel 2 oben. Dann bleiben viel mehr interne
Viererimpulse,
P die im
PSchritt Ä integriert werden. Nach jenem Schritt gibt es aber noch einen Faktor
(2π)4 δ (4) ( paus −
pein ) für die globale Viererimpulserhaltung zu viel, der von Hand gelöscht
werden muss. Die globale Viererimpulserhaltung ist nämlich schon in der Phasenraumintegration
nach den auslaufenden Impulsen berücksichtigt.
Literatur
• Griffiths [15], Kap. 6.3.
VIII. Feynman-Regeln
70
Teil C
Wechselwirkungen der
Elementarteilchenphysik
Version vom 4. Februar 2014, 10:59
71
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Wechselwirkungen blabla...
eine Einleitung fehlt...
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
73
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
IX. Quantenelektrodynamik
Dieses Kapitel befasst sich mit einer ersten Wechselwirkung, der die Elementarteilchen unterliegen,
und zwar mit der Quantenelektrodynamik (QED), d.h. das quantenfeldtheoretische Pendant zum
Elektromagnetismus.34
Dabei handelt es sich um die am an genauesten verifizierte Theorie der Physik, dank experimentellen Messungen mit sehr geringen Messfehlern einerseits und hochpräzisen Berechnungen andererseits. Das Musterbeispiel dafür ist das magnetische Dipolmoment des Elektrons µe , gemessen
in Einheiten des Bohr’schen Magnetons µB = e~/2me (in SI-Einheiten). Definiert man ae ≡ µe /µB ,
so findet man experimentell [21]35
aexp
= 1, 00115965218076(27)
e
und in störungsrechnerischen Berechnungen bis zur 10. Potenz der Kopplungskonstante [23]36
ath
e = 1, 00115965218178(77).
Somit stimmen Experiment und Theorie bis zur 12. Stelle nach dem Komma überein.37
In Abschn. IX.1 wird der Term für die Wechselwirkung von elektrisch geladenen Spin- 21 -Teilchen
mit Photonen eingeführt. Die wichtigsten daraus folgenden quantenelektrodynamischen Prozesse
niedriger Ordnung werden in Abschn. IX.2 anhand deren Feynman-Diagramme vorgestellt. Dann
wird in Abschn. IX.3 der totale Wirkungsquerschnitt für den einfachsten jener Prozesse berechnet.
IX.1 Feynman-Regeln der Quantenelektrodynamik
Die Quantenelektrodynamik beschreibt die Wechselwirkung elektrisch geladener Teilchen mit
einem Vektorfeldoperator µ (x), wobei der Letztere dem Viererpotential des klassischen elektromagnetischen Felds entspricht, und als Feldoperator für Photonen interpretiert wird. Im Rahmen
der Elementarteilchenphysik haben alle elektrisch geladenen Teilchen — bis auf die elektroschwachen
Bosonen W ± — den Spin 21 und werden also durch Dirac-Spinoren ψ̂(x) beschrieben. Deshalb wird
hiernach nur auf die Wechselwirkung zwischen Spinoren und Photonen eingegangen.
Betrachte zunächst nur ein Elektron, oder allgemeiner ein einziges geladenes Lepton. Dessen
Wechselwirkung mit dem Vektorpotential lässt sich völlig durch den folgenden Term in der LagrangeDichte beschreiben:
L̂I = e ψ̄ˆ(x)γ µ µ (x) ψ̂(x).
(IX.1)
Dabei ist die Kopplungskonstante gleich der Elementarladung e, entsprechend dem Betrag der Elektronenladung. Statt der Letzteren benutzt man oft die Feinstrukturkonstante αem , definiert durch
e2
αem ≡
.
(IX.2)
4π
Im SI-Einheitensystem gilt αem = e2 /(4π0 ~c). Der 2010 von CODATA empfohlene Wert, der in
−1 ≈ 137, 035999 [21].
Prozessen mit kleinen Energieüberträgen gilt, beträgt αem
34
Historisch wurde die QED auch als erste entwickelt, und zwar in den Jahren 1946–1951 durch Feynman, Schwinger
und Tomonaga, die dafür den Nobelpreis gekriegt haben, sowie Dyson, der die Äquivalenz der Theorien der drei
ersteren gezeigt hat. Manche der wichtigen Artikel werden in [20] gesammelt.
35
Dieser Mittelwert über verschiedene Experimente spiegelt meistens die Ergebisse von [22] wider.
36
Zur Ordnung O(e10 ) tragen 12672 unterschiedliche quantenelektrodynamische Feynman-Diagramme bei. Zum
8
Vergleich gilt zur 8. Ordnung ath
e = 1, 00115965218279(771) [24], mit „nur“ 891 Diagrammen der Ordnung O(e ).
37
Die Übereinstimmung zwischen Experiment und Theorie ist im Fall des magnetischen Dipolmoments des Myons
nicht so beeindrückend: aexp
= 1, 0011659091(63) einerseits [21], ath
µ
µ = 1, 00116591840(59) andererseits [25]. Der
letztere Wert enthält aber, neben dem bis zur Ordnung O(e10 ) berechneten QED-Beitrag, auch einen weniger kontrollierten Beitrag aus der hadronischen Physik, der die Diskrepanz teilweise erklären könnte — und ist viel kleiner
bei ath
e .
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
74
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
In Übereinstimmung mit der in Kap. VIII eingeführten Feynman-Regel Á entspricht der Wechselwirkungsterm (IX.1) einem einzigen Drei-Teilchen-Vertex, wo eine Spin-1- und zwei Spin- 12 -Linien
sich treffen:
d
dgg
eEe
entsprechend einem Faktor ieγ µ in einer Amplitude.
(IX.3)
Hier sollten die Feynman-Regeln in Anwesenheit von Spin- 21 -Teilchen präzisiert werden. Hat
man in einem Feynman-Diagramm solche (Anti)Teilchen, so gibt es zwei Möglichkeiten: bei der
Linie handelt es sich entweder um eine Linie, die zwei externe Linien miteinander verbindet, oder
um eine innere Schleife.
Im ersten Falle muss man für die Berechnung der Beitrag zur Teilamplitude von dem Endpunkt
der Linie, der ein einlaufendes Teilchen bzw. ein auslaufendes Antiteilchen darstellt, anfangen, und
den entsprechenden Beitrag u(~
p, σ) bzw. v(~
p, σ) ganz rechts schreiben. Folgt man dann der Linie in
die mit einem Pfeil gekennzeichnete Richtung des Ladungsstroms weiter, so trifft man aufeinander
folgende Vertices und innere Linien: die zugehörigen Vertexfaktoren (IX.3) (im Falle von QEDVertices) und Propagatoren (VIII.2b) müssen rechts nach links geschrieben werden. Schlussendlich
kommt ganz links der Beitrag für den zweiten Endpunkt der Linie, d.h. für ein auslaufendes Teilchen
bzw. ein einlaufendes Antiteilchen, entsprechend einem Faktor ū(~
p 0 , σ0 ) bzw. v̄(~
p 0 , σ0 ).
Im Falle einer inneren Fermion-Schleife kann man von einem beliebigen Vertex anfangen, dann
entgegen der Pfeilrichtung für den Ladungsstrom die sukzessiven Vertexfaktoren und Propagatoren
von links nach rechts schreiben. Am Ende bildet man die Spur (vgl. Regel Å), deren Zyklizität die
freie Wahl des Anfangsvertex ermöglicht.
Bisher konnte nur eine Art von Spin- 12 -Teilchen mit dem Photon wechselwirken. Sei jetzt eine
Theorie mit mehreren elektrisch geladenen Fermionen, gekennzeichnet mit einem index j, mit jeweiligen elektrischen Ladungen Qj (in Einheiten von e) und Feldoperatoren ψ̂j (x). Dann lautet der
QED-Wechselwirkungsterm in der Lagrange-Dichte
X
L̂I = −
Qj e ψ̄ˆj (x)γ µ µ (x) ψ̂j (x).
(IX.4)
j
Im Fall Qj = −1, wie z.B. für das Elektron oder das Myon, findet man den Term (IX.1) wieder.
Entsprechend jedem Term in Gl. (IX.4) hat man für jede Teilchenart j einen Drei-Teilchen-Vertex
des Typs (IX.3), mit dem Vertexfaktor −iQj eγ µ .
Bemerkungen:
∗ Der Wechselwirkungsterm L̂I in Gl. (IX.1) oder (IX.4) ist eine Lorentz-invariante komplexwertige
Funktional der Feldoperatoren, auch wenn die Letzteren nicht Lorentz-invariant sind.
∗ An einem quantenelektrodynamischen Vertex bleibt die Art des beteiligten Spin- 21 -Teilchens
unverändert. Dies wird bei der schwachen Wechselwirkung nicht mehr der Fall sein.
∗ In der skalaren Elektrodynamik, die die Wechselwirkung zwischen Photonen und elektrisch geladenen Spin-0-Teilchen (wie z.B. Pionen π ± ) beschreibt, gibt es zwei Vertices, statt nur einen.
IX.2 Grundlegende Prozesse
Die ganzen Prozesse der Quantenelektrodynamik beruhen auf dem einfachen Term (IX.4) bzw.
auf dem elementaren Vertex (IX.3), wobei das propagierende Spin- 21 -Teilchen eines der Elementarteilchen des Standard-Modells ist. In diesem Abschnitt werden die Feynman-Diagramme für die
einfachsten dieser Prozesse dargestellt.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
75
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
IX.2.1 Prozess erster Ordnung
Die Wechselwirkung zwischen einem Photon entsprechend einem magnetischen Feld und einem
Elektron, beschrieben zur niedrigsten Ordnung durch das Feynman-Diagramm der Abb. IX.1, hängt
vom magnetischen Dipolmoment des Elektrons ab. Zu dieser Ordnung gilt µe = µB ∝ e.
e−
e−
Abbildung IX.1: Feynman-Diagramm für das magnetische Dipolmoment zur Ordnung O(e).
IX.2.2 Elastische Prozesse zweiter Ordnung
Mit zwei Vertices findet man mehr Prozesse, insbesondere verschiedene elastische Streuprozesse.
IX.2.2
a Elektron–Myon-Streuung
:::::::::::::::::::::::::::::::::
Das einfachste Beispiel davon ist der Streuprozess e− + µ− → e− + µ− , mit zwei verschiedenen
Teilchenarten im Anfangszustand — und folglich, im Endzustand. Der Klarheit halber wird hier das
Myon mit einer doppelten Linien bezeichnet, um den Unterschied mit dem Elektron zu betonen.
Das einzige mögliche Feynman-Diagramm mit einem Elektron und einem Myon im Anfangs- und
im Endzustand und nur zwei Vertizes wird in Abb. IX.2 dargestellt. Es besteht aus zwei elementaren
µ−
e−
I
p3 , σ@
3@
q-
p1 , σ1
p4 , σ4
p ,σ
@
I
@ 2 2
µ−
Abbildung IX.2: Feynman-Diagramm für Elektron–Myon-Streuung zur führenden Ordnung.
e−
Vertizes, und zwar einem für die Elektron-Photon-Wechselwirkung und einem für die Myon-PhotonWechselwirkung.
In diesem Prozess kann das Myon durch irgendein anderes elektrisch geladenes Teilchen j bis
auf ein Elektron ersetzt werden. In allen Fällen gilt dann mj > me . Im Grenzfall mj → ∞, was
physikalisch für mj ≫ me relevant ist, wird der Prozess als Mott-Streuung bezeichnet — und der
differentielle Wirkungsquerschnitt wird unabhängig von der Masse des schweren Teilchens.
Hat das einfallende Elektron dazu eine geringe relative Geschwindigkeit ve → 0, so spricht
man von Rutherford-Streuung, in Anlehnung am ursprünglichen Rutherford-Streuexperiment38 an
schwere Atomkerne.
IX.2.2
b Elektron–Elektron-Streuung
::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Wenn die zwei Teilchen im Anfangszustand identisch sind, als z.B. im Falle des Streuprozesses
e− + e− → e− + e− , spricht man von Møller-Streuung. Aufgrund der Ununterscheidbarkeit der
auslaufenden Teilchen sollen dann zwei Diagramme betrachtet werden.
e−
e−
e−
e−
k
Q
3
p , σ
I
p4 , σ4
p3 , σ@
p3 , σ3Q
4 4
3@
und
p1 , σ1
p ,σ
@
I
@ 2 2
p1 , σ1
p ,σ
@
I
@ 2 2
e−
e−
e−
e−
Abbildung IX.3: Feynman-Diagramme für Møller-Streuung zur führenden Ordnung.
38
. . . durchgeführt durch Geiger & Müller, und mit Spin-0-Projektilteilchen (α-Teilchen), statt Spin- 12 wie hier. . .
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
76
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Dabei unterscheiden sich die Diagramme daran, dass in dem einen das einlaufende Elektron mit
Viererimpuls p2 nach der Streuung den Viererimpuls p3 hat, während es im anderen Fall mit dem
Viererimpuls p4 ausläuft. Somit folgt die Teilamplitude für das Diagramm rechts aus der Amplitude
für das Diagramm links nach Austauschen von p3 und σ3 gegen p4 und σ4 . Aufgrund der Regel Ç
muss eine der Teilamplituden mit (−1) multipliziert werden, bevor die beiden addiert werden.
IX.2.2 c Elektron–Positron-Streuung
Der letzte elastische Streuprozess zwischen zwei Fermionen ist die Streuung eines Teilchens mit
dem zugehörigen Antiteilchen, z.B. die Bhabha-Streuung e− +e+ → e− +e+ . Zur Ordnung e2 tragen
die zwei in Abb. IX.4 dargestellten Feynman-Diagramme bei.
::::::::::::::::::::::::::::::::::::
e−
I
p3 , σ@
3@
e−
k
Q
p3 , σQ
3
e+
p4 , σ4
e+
3
p4 , σ4
und
p1 , σ1
p ,σ
@
I
@ 2 2
e−
e+
p1 , σ1
e−
p ,σ
@
I
@ 2 2
e+
Abbildung IX.4: Feynman-Diagramme für Bhabha-Streuung zur führenden Ordnung.
Betrachtet man diese zwei Diagramme, so sieht man, dass das zweite sich aus dem ersten erhalten lässt durch den Austausch des mit 3 gekennzeichneten auslaufenden Elektrons mit dem mit
2 gekennzeichneten einlaufenden Positron. Somit soll hier auch eines der Diagramme vom anderen
subtrahiert werden.
IX.2.2
d Elektron–Photon-Streuung
:::::::::::::::::::::::::::::::::::
Schließlich bleibt es noch ein elastischer Prozess der Ordnung e2 , und zwar die Compton-Streuung
e− + γ → e− + γ. es gibt auch zwei mögliche Feynman-Diagramme, die in Abb. IX.5 dargestellt
werden.
γ
e−
3
k
γ
p3 , λQ
p4 , σ4
3Q
e−
I
p3 , λ@
3@
p1 , σ1
e−
q-
p4 , σ4
und
p ,λ
@
I
@ 2 2
γ
p1 , σ1
e−
p ,λ
@
I
@ 2 2
γ
Abbildung IX.5: Feynman-Diagramme für Compton-Streuung zur führenden Ordnung.
Für die zugehörigen Amplituden spielt die oben angegebene Regel für die Anordnung der Vertices
und Propagatoren entlang einer Fermion-Linie eine Rolle. Beispielsweise lautet die Amplitude des
linken Diagramms
i(6 p1 − 6 p3 + me )
µ
ν
M = i ε(λ
(~
p2 ) ū(~
p4 , σ4 )(ieγµ )
(ieγν )u(~
p1 , σ1 )ε(λ
(~
p )
3) 3
2)
(p1 − p3 )2 − m2e
wobei der Viererimpuls q = p1 − p3 getragen durch die innere Elektron-Linie — mit der Masse me
im Propagator — aus der Viererimpulserhaltung folgt. Unter Verwendung der kürzeren Notationen
µ
u(i) ≡ u(~
pi , σi ), εµ (j) ≡ ε(λ
(~
pj ) lässt sich diese Teilamplitude schreiben als
j)
6 p1 − 6 p3 + me
6 ε(3)u(1).
M = e2 ū(4)6 ε(2)
(p1 − p3 )2 − m2e
Die Teilamplitude für das Diagramm rechts erfolgt durch Ersetzen von p1 − p3 durch p1 + p2 und
Austauschen von 6 ε(2) mit 6 ε(3).
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
77
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
IX.2.3 Inelastische Prozesse zweiter Ordnung
Jetzt werden ein paar wichtige inelastische Prozesse der Ordnung O(e2 ) dargestellt.
IX.2.3
a Paarvernichtung
:::::::::::::::::::::::::
Ein erster wichtiger Prozess zweiter Ordnung ist die Vernichtung eines Elektron–Positron-Paars
in zwei on-Shell-Photonen e− + e+ → γ + γ. Aufgrund der Anwesenheit zweier identischer Teilchen im Endzustand gibt es zwei Feynman-Diagramme, entsprechend dem Austausch der Labels
der Photonen, die in Abb. IX.6 gezeigt sind. Da die zwischen diesen Diagrammen ausgetauschten
Photonen Bosonen sind, sollen die zugehörigen Teilamplituden einfach addiert werden.
γ
γ
γ
γ
I
p3 , σ@
3@
k
Q
p3 , σQ
3
p4 , σ4
3
p4 , σ4
und
p1 , σ1
p ,σ
@
I
@ 2 2
p1 , σ1
p ,σ
@
I
@ 2 2
e−
e+
e−
e+
Abbildung IX.6: Feynman-Diagramme für Elektron–Positron-Annihilation zur führenden Ordnung.
Man findet problemlos, dass die Teilamplitude für das Diagramm links durch
6 p1 − 6 p3 + me
6 ε(3)u(1)
M = e2 v̄(2)6 ε(4)
(p1 − p3 )2 − m2e
gegeben wird, sehr ähnlich der Teilamplitude für das Diagramm links in Abb. IX.5
IX.2.3
b Paarerzeugung
:::::::::::::::::::::::
Tauscht man die Rollen der ein- und auslaufenden Teilchen im letzteren Prozess, so erhält
man statt Elektron-Paarvernichtung die Paarerzeugung γ + γ → e− + e+ . Hier auch tragen zwei
Feynman-Diagramme zur Ordnung O(e2 ) bei, vgl. Abb. IX.7.
e+
e+
e−
e−
k
Q
3
p , σ
I
p4 , σ4
p3 , σ3Q
p3 , σ@
3@
4 4
q
und
p1 , σ1
γ
p ,σ
@
I
@ 2 2
γ
p1 , σ1
γ
p ,σ
@
I
@ 2 2
γ
Abbildung IX.7: Feynman-Diagramme für Paarerzeugung zur führenden Ordnung.
Für das Diagramm links gibt die Viererimpulserhaltung q = p3 − p1 , so dass die zugehörige
Teilamplitude lautet
6 p3 − 6 p1 + me
M = e2 ū(3)6 ε(1)
6 ε(2)v(4).
(p3 − p1 )2 − m2e
Bemerkungen:
∗ Da die Amplitude eine komplexe Zahl ist, sind hermitesche Konjugation und komplexe Konjugation bei ihr äquivalent: M† = M∗ . Berechnet man dann M† unter Verwendung der Beziehung
γ 0 (γ µ )† = γ µ (γ 0 )† [Gl. (III.11)], und tauscht man am Ende die Labels 1 gegen 3 und 2 gegen 4, so
findet man, dass die komplex-konjugierte Amplitude M∗ des linken Diagramms in Abb. IX.7 gleich
der Amplitude für das linke Diagramm von Abb. IX.6 ist, d.h. für den zeitumgekehrten Prozess.
∗ Kinematisch ist Paarerzeugung nicht immer möglich!Um ein Elektron–Positron-Paar erzeugen
zu können, muss die Energie im Schwerpunktsystem der einlaufenden Photonen größer als zweimal
die Elektronenmasse (mal c2 ) sein. Dagegen kann Paarvernichtung immer stattfinden.
IX.2.3
c Myon-Paarerzeugung in Elektron–Positron-Streuung
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Der Stoß eines Elektrons an einem Positron kann nicht nur entweder elastisch sein (Abb. IX.4)
oder zu deren Vernichtung in zwei Photonen führen (Abb. IX.6), sondern kann noch weitere Endzustände geben, auch zur niedrigsten Ordnung O(e2 ). Wenn die Energie im Schwerpunktsystem der
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
78
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
einlaufenden e− und e+ groß genug ist, dann kann im Endzustand ein Teilchen–Antiteilchen-Paar
entstehen, wie z.B. ein Myon–Antimyon-Paar: e− + e+ → µ− + µ+ . Das Feynman-Diagramm für
diesen Prozess zur Ordnung O(e2 ) wird in Abb. IX.8 dargestellt.
µ−
µ+
k
Q
p3 , σQ
3
3
p4 , σ4
p1 , σ1
e−
p ,σ
@
I
@ 2 2
e+
Abbildung IX.8: Feynman-Diagramm für Myon-Paarerzeugung zur führenden Ordnung.
Die zugehörige Amplitude lautet
e2
v̄(~
p2 , σ2 )γµ u(~
p1 , σ1 ) ū(~
p3 , σ3 )γ µ v(~
p4 , σ4 ) .
M=−
2
(p1 + p2 )
Unter Verwendung der in Abschn. IX.3 dargestellten Methoden kann man den entsprechenden
differentiellen Wirkungsquerschnitt berechnen, sowie den totalen Wirkungsquerschnitt. Für den Fall,
wo die Helizitätszustände der ein- und auslaufenden Teilchen unbekannt sind, gilt zur niedrigsten
Ordnung
s
2
1 − 4m2µ /s
2m2µ
4π
α
2m2e
em
−
+
−
+
σtot (e +e → µ +µ ) =
1+
1+
,
(IX.5)
3 s
1 − 4m2e /s
s
s
mit s dem Quadrat der Schwerpunktsenergie. Dabei erkennt man, dass die Letztere größer als 2mµ
sein muss, damit die Wurzel positiv ist.
IX.2.3
d Quark–Antiquark-Paarerzeugung in Elektron–Positron-Streuung
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Eine andere Möglichkeit ist, dass die Vernichtung eines Elektron–Positron-Paars zur Erzeugung eines Quark–Antiquark-Paar führt, entsprechend dem in Abb. IX.9 dargestellten FeynmanDiagramm.
q
q̄
Q
Q
p3 , σk
3
3
p4 , σ4
p1 , σ1
e−
p ,σ
@
I
@ 2 2
e+
Abbildung IX.9: Feynman-Diagramm für Quark–Antiquark-Paarerzeugung zur führenden Ordnung.
Wenn Qq die elektrische Ladung des erzeugten Quarks in Einheiten von e bezeichnet — Qq = 23
für u, c und t-Quarks, oder − 31 für d, s und b-Quarks —, dann ist die Amplitude für den Prozess
zur Ordnung O(e2 ) gegeben durch
Qq e2 M=
v̄(~
p2 , σ2 )γµ u(~
p1 , σ1 ) ū(~
p3 , σ3 )γ µ v(~
p4 , σ4 ) .
2
(p1 + p2 )
Diese Amplitude ist natürlich sehr ähnlich jener für den Prozess e− + e+ → µ− + µ+ , bis auf den
Faktor −Qq — dazu unterscheiden sich auch die Spinoren für die auslaufenden Teilchen, in denen
die Teilchenmasse eine Rolle spielt.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
79
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
IX.2.4 Wichtige Prozesse dritter Ordnung
Zur Ordnung O(e3 ) kommen schon viele Prozesse bzw. Feynman-Diagramme vor. Darunter
befinden sich die vier Diagramme der Abb. IX.10, die sog. Strahlungskorrekturen zum magnetischen
Moment beschreiben.
+
+
+
Abbildung IX.10: Strahulungskorrekturen zum magnetischen Dipolmoment.
Die zwei ersten Diagramme können in der Definition der Masse des Spin- 21 -Teilchens absorbiert
werden. Analog kann das dritte Diagramm in einer Neudefinition der Kopplungskonstante e der
Quantenelektrodynamik angenommen werden.39 Abgesehen von diesen Renormierungen bleibt das
vierte Diagramm, das zu einer Änderung des magnetischen Dipolmoments führt. Man kann zeigen,
das zur Ordnung O(e2 ) gilt
e2
αem
µe = µB 1 + 2 = µ B 1 +
' 1, 001164µB .
8π
2π
IX.3 Wirkungsquerschnitt für elastische Elektron–Myon-Streuung
Dieser Abschnitt befasst sich mit der Berechnung des Wirkungsquerschnitts für die in Abb. IX.2
dargestellte elastische Elektron–Myon-Streuung.
Die Amplitude für jenen Prozess ist, nach Anwendung der Feynman-Regeln
−iηµν
M = i ū(~
p3 , σ3 ) ieγ µ u(~
p1 , σ1 )
ū(~
p4 , σ4 ) ieγ ν u(~
p2 , σ2 )
(p1 − p3 )2
e2
=−
ū(~
p3 , σ3 )γ µ u(~
p1 , σ1 ) ū(~
p4 , σ4 )γµ u(~
p2 , σ2 ).
(IX.6)
(p1 − p3 )2
In einem echten Experiment sind die Helizitätszustände der kollidieren Teilchen selten bekannt,
und jene der Streuprodukte werden nicht gemessen. Stattdessen hat jedes einlaufende Teilchen mit
der gleichen Wahrscheinlichkeit entweder eine positive oder eine negative Helizität, so dass jede
Konfiguration der Spinzustände σ1 = ±, σ2 = ± kann mit Wahrscheinlichkeit 41 vorkommen.
In solchen Fällen lohnt es sich, anstatt die Wirkungsquerschnitte mit bestimmten Helizitäten
herzuleiten, den unpolarisierten Wirkungsquerschnitt direkt zu berechnen, was oft einfacher ist.
Somit soll man zum einen über die verschiedenen möglichen Spinzustände der einlaufenden Teilchen
mitteln, und zum anderen über die Spinkonfigurationen im Endzustand summieren. Dies lässt sich
schon auf der ebene der Amplitudenbetragsquadrate durchführen, und statt das Betragsquadrat
der Amplitude M({~
pi , σi }) für bestimmte Werte der ein- und auslaufenden Impulse und Spins zu
berechnen, betrachtet man direkt den Mittelwert
D
2 E 1 X X X X 2
M({~
M({~
pi }) =
pi , σi }) .
(IX.7)
4 σ =± σ =± σ =± σ =±
1
2
3
4
Hier führt die Amplitude (IX.6) zu
2
∗
e4
M({~
pi , σi }) =
ū(~
p3 , σ3 )γ µ u(~
p1 , σ1 ) ū(~
p3 , σ3 )γ ρ u(~
p1 , σ1 )
4
(p1 − p3 )
∗
× ū(~
p4 , σ4 )γµ u(~
p2 , σ2 ) ū(~
p4 , σ4 )γρ u(~
p2 , σ2 ) .
39
Die zwei ersten Diagramme und das vierte tragen auch individuell zur Kopplungskonstante bei, doch ihre Beiträge
heben sich auf.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
80
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Jedes Produkt ū(~
pi , σi )γµ u(~
pj , σj ) mit entweder einem kontra- oder einem kovarianten Index
ist tatsächlich eine Zahl, d.h. eine 1 × 1-Matrix, die gleich deren Transponierten ist. Nach kom
∗
†
plexer Konjugation kommt somit ū(~
pi , σi )γµ u(~
pj , σj ) = ū(~
pi , σi )γµ u(~
pj , σj ) . Führt man die
hermitesche Kongujation wie üblich durch, so kommt
† †
ū(~
pi , σi )γµ u(~
pj , σj ) = u(~
pi , σi )† γ0 γµ u(~
pj , σj ) = u(~
pj , σj )† 㵆 γ0† u(~
pi , σi ).
Unter Verwendung der Beziehung 㵆 γ0† = 㵆 γ0 = γ0 γµ ergibt sich dann
∗
ū(~
pi , σi )γµ u(~
pj , σj ) = ū(~
pj , σj )γµ u(~
pi , σi ).
2
pi , σi }) oben eingesetzt
Diese Relation kann dann zweimal in den Amplitudenbetragsquadrat M({~
werden. Nach Mittelung über einlaufende Spinzustände und Summe über auslaufende Spinzustände
erhält man somit
D
X
2 E
e4
M({~
ū(~
p3 , σ3 )γ µ u(~
p1 , σ1 ) ū(~
p1 , σ1 )γ ρ u(~
p3 , σ3 )
pi }) =
4(p1 − p3 )4 σ =±
i
i=1,2,3,4
× ū(~
p4 , σ4 )γµ u(~
p2 , σ2 ) ū(~
p2 , σ2 )γρ u(~
p4 , σ4 ).
(IX.8)
Für die einlaufenden Teilchen kann man die Vollständigkeitsrelation (III.33a) verwenden, um
für i = 1, 2 die Summe über σi von u(~
pi , σi ) ū(~
pi , σi ) durch 6 pi + mi 14 zu ersetzen, mit m1 = me und
m2 = mµ .
Dazu hat man für eine beliebige 4×4-Matrix M die Gleichung
4
4
X
X X
X X
ū(~
p, σ)M u(~
p, σ) =
ū(~
p, σ)α Mαβ u(~
p, σ)β =
Mαβ u(~
p, σ)β ū(~
p, σ)α .
σ=±
σ=± α,β=1
σ=± α,β=1
Dabei ist u(~
p, σ)β ū(~
p, σ)α das Matrixelement (β, α) der Matrix u(~
p, σ) ū(~
p, σ). Nach Summieren
über σ findet man dann mithilfe der Vollständigkeitsrelation
X
4
4
X
X
X
ū(~
p, σ)M u(~
p, σ) =
Mαβ
u(~
p, σ) ū(~
p, σ)
=
Mαβ 6 p + m14 βα .
σ=±
α,β=1
σ=±
βα
α,β=1
d.h.
X
ū(~
p, σ)M u(~
p, σ) = Tr M 6 p + m14 .
(IX.9)
σ=±
Unter Verwendung dieser Formel mit M = γ µ (6 p1 + me 14 )γ ρ bzw. M = γµ (6 p2 + mµ 14 )γρ wird die
Summe über σ3 bzw. σ4 in Gl. (IX.8) trivial. Insgesamt ergibt sich
D
2 E
µ
e4
ρ
M({~
pi }) =
Tr
γ
(6
p
+
m
1
)γ
6
p
+
m
1
Tr
γ
(6
p
+
m
1
)γ
6
p
+
m
1
.
1
e
4
3
e
4
µ
2
µ
4
ρ
4
µ
4
4(p1 − p3 )4
In der ersten Spur treten nur Größen auf, die das Elektron charakterisieren: dessen Masse und einund auslaufende Viererimpulse. Dagegen hängt die zweite Spur nur von dem Myon ab. Zudem ist der
Ausdruck des gemittelten Amplitudenquadrats jetzt frei von Dirac-Spinoren, die durch Spuren von
Produkten von Gamma-Matrizen
ersetzt sind. Jene lassen sich durch die Formeln (III.8)–(III.10)
sowie die Relation Tr γ µ γ ν γ ρ γ σ = 4 η µν η ρσ − η µρ η νσ + η µσ η νρ mit dem Produkt von vier DiracMatrizen ausdrücken.40 Mit deren Hilfe erhält man z.B.
Tr γ µ (6 p1 + me 14 )γ ρ 6 p3 + me 14 = p1ν p3σ Tr γ µ γ ν γ ρ γ σ + m2e Tr γ µ γ ρ
= 4 p1ν p3σ η µν η ρσ − η µρ η νσ + η µσ η νρ + m2e η µρ
= 4 pµ1 pρ3 + pµ3 pρ1 − p1 · p3 − m2e η µρ ,
und in ähnlicher Weise Tr γµ (6 p2 + mµ 14 )γρ 6 p4 + mµ 14 = 4 p2µ p4ρ + p4µ p2ρ − p2 · p4 − m2µ ηµρ .
40
Weitere Identitäten für Spuren von Produkten von Gamma-Matrizen können in Lehrbüchern der Relativistischen
Quantenmechanik oder der Quantenfeldtheorie gefunden werden, z.B. in Bjorken & Drell [26] Kap. 7.2 oder in Landau
& Lifschitz [12] Kap. III § 22.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
81
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Schließlich findet man nach einigen einfachen Berechnungen
D
2 E
8e4
M({~
pi }) =
p1 · p2 p3 · p4 + p1 · p4 p2 · p3 − m2µ p1 · p3 − m2e p2 · p4 + 2m2e m2µ .
4
(p1 − p3 )
(IX.10)
Man sieht, dass dieser gemittelte Amplitudenbetragsquadrat Lorentz-invariant ist.
Bemerkung: Ähnlich der Beziehung (IX.11) kann man auch deren Pendant
X
v̄(~
p, σ)M v(~
p, σ) = Tr M 6 p − m14
(IX.11)
σ=±
für jede beliebige 4×4-Matrix M beweisen.
Mottund Rutherford-Formel
::::::::::::::::::::::::::::
Als letzter Schritt kann der Ausdruck (IX.10) in Gl. (VII.15) eingesetzt werden, um den differentiellen Wirkungsquerschnitt für den elastischen Prozess der Abb. IX.2 zu liefern. Die Berechnung
im allgemeinen Fall stellt keine Schwierigkeit dar, es lohnt sich aber, den Grenzfall der Streuung
des Elektrons an einem viel schwereren Spin- 12 -Teilchen zu betrachten, entsprechend mµ → ∞.
In diesem Grenzfall kann man in einem ersten Fall annehmen, dass der Schwerpunktsystem
der einlaufenden Teilchen gleich dem Ruhesystem des „Myons“ ist. Diese Näherung gilt, falls die
(kinetische) Energie des Elektrons viel kleiner als die Massenenergie des Myons ist. Dann kann der
Rückstoß des Letzteren vernachlässigt werden, d.h. es ruht noch nach dem Stoß.41
Unter diesen Annahmen reduziert sich die Energieerhaltung einfach auf Ep~1 = Ep~3 und daher auf
die Erhaltung der kinetischen Energie des Elektrons, was zu |~
p1 | = |~
p3 | führt. Somit ist der zweite
Faktor im rechten Glied der Gl. (VII.15) gleich 1. Dazu gilt (p1−p3 )2 = −(~
p1−~
p3 )2 = −4|~
p1 |2 sin2 2θ ,
mit θ dem Streuwinkel.
Die sechs skalaren Produkte pi · pj in Gl. (IX.10) lassen sich auch sofort berechnen. Da das Myon
immer in Ruhe bleibt, sind alle Produkte des Viererimpulses des Elektrons vor oder nach dem Stoß
mit dem Viererimpuls des Myons einfach gleich mµ Ep~1 . Dann gilt p2 · p4 = m2µ . Schließlich kommt
p1 · p3 = m2e + 2|~
p1 |2 sin2 2θ .
Die letzte Vereinfachung besteht in der Approximation der Schwerpunktsenergie Ep~1 +Ep~2 durch
Ep~2 = mµ .42 Dann führen Gl. (VII.15) und (IX.10) zu
1 h|M({~
pi })|2 i
1 1
8e4
d2 σ
2 2
2
2
2 θ
'
=
p1 | sin
.
2 2mµ E1 − 2mµ |~
d2 Ω mµ →∞ 64π 2
m2µ
64π 2 m2µ −4|~
2
p1 |2 sin2 2θ
Unter Verwendung der Energie–Impuls-Beziehung für das einlaufende Elektron ergibt sich die sog.
Mott-Streuformel
2
d2 σ
1
e4
αem
2
2
2 θ
2
2
2 θ
'
me + |~
p1 | cos
=
me + |~
p1 | cos
.
(IX.12)
d2 Ω mµ →∞ 64π 2 |~
2
2
p1 |4 sin4 2θ
4|~
p1 |4 sin4 2θ
Falls das einlaufende Elektron nicht-relativistisch ist, so dass der Betrag dessen Impuls |~
p1 | viel
kleiner als me ist, dann lautet dieser Wirkungsquerschnitt
2
d2 σ
αem
'
,
(IX.13)
d2 Ω
2me |~v1 |2 sin2 2θ
mit ~v1 der Geschwindigkeit des einlaufenden Elektrons. Dies ist gerade die Rutherford-Formel für
die Streuung eines nicht-relativistischen klassischen — d.h. insbesondere ohne Spin — geladenen
Teilchens in dem Coulomb-Feld eines festen Streuzentrums.
41
42
Dabei werden Terme von relativer Ordnung |~
p1 |/mµ oder |~
p3p
|/mµ weggelassen, konsistent mit der Annahme.
. . . unter Vernachlässigung der Energie des Elektrons Ep~1 = m2e + |~
p 1 |2 .
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
82
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Wirkungsquerschnitt
bei großem Energieübertrag
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Für das folgende Kapitel ist es interessant, einen alternativen Ausdruck des Wirkungsquerschnitts herzuleiten, der auch für großen Energien des Elektrons gilt.
Sei q ≡ p1 − p3 der Viererimpuls des virtuellen Photons, vgl. Abb. IX.2. Wegen der Energie–
Impuls-Erhaltung gilt auch q = p4 − p2 . Nach quadrieren dieser Gleichungen kommen die Produkte
p1 · p3 = m2e − q2 /2 und p2 · p4 = m2µ − q2 /2. Arbeitet man wieder im Ruhesystem des Myons vor
dem Stoß, dann gelten noch p1 · p2 = mµ Ep~1 und p2 · p3 = mµ Ep~3 . Jetzt wird aber der Rückstoß
des Myons nicht mehr vernachlässigt, so dass Ep~1 6= Ep~3 ist. Schließlich folgen aus p4 = p2 + q die
Produkte p1 · p4 = mµ Ep~1 + q2 /2 und p3 · p4 = mµ Ep~3 − q2 /2. Nach Einsetzen dieser Produkte in
Gl. (IX.10) ergibt sich der exakte Ausdruck
D
2
2 E 8e4
q2
2
2
2 q
M({~
pi })
= 4 2mµ Ep~1 Ep~3 + mµ (Ep~3 − Ep~1 ) + (me + mµ )
.
q
2
2
Jetzt wird m2e gegen m2µ in diesem gemittelten Betragsquadrat vernachlässigt. Dazu wird angenommen, dass das Elektron relativistisch ist, so dass dessen Massenenergie vernachlässigbar gegen
dessen Energie Ep~1 oder Ep~3 ist. Diese Hypothese führt zu
q2 = 2m2e − 2Ep~1 Ep~3 + 2~
p1 · p~3 ' −2Ep~1 Ep~3 (1 − cos θ).
Schließlich erkennt man bei Ep~3 − Ep~1 die 0-Komponente von p3 − p1 = −q, was auch als
1
2
2
2
q · p2
q2
2 (q + p2 ) − q − p2
Ep~3 − Ep~1 = −
=−
=
mµ
mµ
2mµ
geschrieben werden kann. Diese Resultate führen schließlich nach einiger Algebra zu
D
2 E 16e4 2
q2
2 θ
2 θ
M({~
pi })
= 4 mµ Ep~1 Ep~3 cos
−
sin
.
q
2 2m2µ
2
(IX.14)
Dieser gemittelte Amplitudenquadrat darf nicht in den Ausdruck (VII.15) des Wirkungsquerschnitts eingesetzt werden, weil das verwendete Bezugssystem nicht das Schwerpunktsystem der
einlaufenden Teilchen ist. Stattdessen sollte man mit der unintegrierten Version von Gl. (VII.9)
anfangen:
D
2 E
1
d3 p~3
d3 p~4
d6 σ(~
p3 , p~4 ) =
(2π)4 δ (4) (p3 + p4 − p1 − p2 ) M({~
pi })
.
4|~v1 |Ep~1 mµ
(2π)3 2Ep~3 (2π)3 2Ep~4
Da das Elektron relativistisch ist, gelten |~v1 | ' 1 sowie d3 p~3 = |~
p3 |2 d|~
p3 | d2 Ω ' E 02 dE 0 d2 Ω mit E 0
der Energie des Elektrons nach dem Stoß, d.h.
D
3
2 E
E0
dE 0 d2 Ω d p~4 δ (4) (p3 + p4 − p1 − p2 )
M({~
d6 σ(E 0 , Ω, p~4 ) =
p
})
i
32π 2 Ep~1 m2
2Ep~4
e4
θ
q2
d3 p~4 (4)
0 2
2 θ
= 2 4 mµ E 02 cos2 −
sin
dE
d
Ω
δ (p4 − p2 − q).
2π q
2 2m2µ
2
2Ep~4
Wenn der Impuls des auslaufenden Myons nicht gemessen wird, kann man nach p~4 integrieren. Dabei
gibt die Beziehung (VI.20)
Z
d3 p~4
δ (4) (p4 − p2 − q)
= δ (p2 + q)2 − m2µ = δ 2p2 · q + q2 .
2Ep~4
Somit ergibt sich schließlich
2
d3 σ
4αem
q2
p2 · q
q2
02
2 θ
2 θ
=
E cos
−
sin
δ
+
.
dE 0 d2 Ω
q4
2 2m2µ
2
mµ
2mµ
Führt man die Änderung der Energie des Elektrons ν ≡ (p2 · q)/mµ ein, so lautet dies
2
d3 σ
4αem
q2
q2
02
2 θ
2 θ
=
E cos
−
sin
δ ν+
.
dE 0 d2 Ω
q4
2 2m2µ
2
2mµ
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
83
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
2
Schließlich kann q4 im Nenner des Vorfaktors noch durch [2EE 0 (1 − cos θ)]2 = 4EE 0 sin2 2θ ,
mit E der Energie des Elektrons vor dem Stoß, ersetzt werden. Es kommt dann
2 2
q2
p2 · q
d3 σ
αem
q2
2 θ
2 θ
cos
δ ν+
mit ν ≡
.
(IX.15)
=
−
sin
0
2
2
θ
2
dE d Ω
2 2mµ
2
2mµ
mµ
2E sin 2
Diese Form wird sich für die Diskussion der tiefinelastischen Elektron–Proton-Streuung im nächsten
Kapitel (Abschn. X.2.1) als günstig erweisen.
Literatur
• Berger [27], Kap. 3.
• Griffiths [15], Kap. 7.5–7.9.
• Halzen & Martin [28], Kap. 6.
• Nachtmann [13], Kap. 9–11.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
84
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
X. Starke Wechselwirkung
In diesem Kapitel wird auf eine weitere Wechselwirkung eingegangen, und zwar auf die starke
Wechselwirkung, die ursprünglich eingeführt wurde, um die Bindungskraft zwischen Protonen und
Neutronen im Atomkern zu erklären. Jene starke Wechselwirkung stellt einen krassen Gegensatz
zur Quantenelektrodynamik dar, indem die unterliegende Theorie extrem kompliziert zu lösen ist,
insbesondere weil Störungsrechnung für manche Phänomene fast nutzlos ist. Dazu können die heutzutage als elementar betrachteten Teilchen, die der starken Wechselwirkung unterliegen, d.h. die
Quarks, nicht isoliert voneinander werden, sondern kommen sie immer innerhalb Hadronen vor.
Somit ist es zunächst interessant zu zeigen, aus welchen Überlegungen auf die Existenz der
Quarks geschlossen wird. Diese Folgerung entsteht einerseits aus einer Klassifizierung der verschiedenen Hadronen nach einigen ihrer Quantenzahlen, im Rahmen des Quarkmodells (Abschn. X.1).
Andererseits deuten einige experimentelle Ergebnisse auf eine innere Struktur des Protons hin,
insbesondere Daten, gewonnen in Streuexperimenten mit Elektronen an Protonen, die zum Partonmodell führen (Abschn. X.2). Schließlich werden in Abschn. X.3 einige Ideen der Theorie der starken
Wechselwirkung zwischen Quarks, die als Quantenchromodynamik bezeichnet wird, kurz dargestellt.
X.1 Quarkmodell
In der Klassifizierung der vielen bekannten Hadronen nach den Werten ihrer gemessenen Spin,
elektrischen Ladung und Strangeness haben Gell-Mann und Ne’eman 1961 eine einfache Struktur
entdeckt [29, 30], die als „Eightfold Way“ (achtfacher Weg) bezeichnet wird (Abschn. X.1.1). Ein weiterer Schritt, entsprechend dem Quarkmodell , ist die Erklärung dieser Struktur durch die Existenz
von elementaren Bausteinen in den Hadronen (Gell-Mann [31] und Zweig [32], 1964).
X.1.1 Eightfold Way
Hadronen lassen sich durch verschiedene Quantenzahlen charakterisieren. Diese entsprechen oft
Symmetrien, unter denen die Wechselwirkungen invariant sind, und sind deshalb in Prozessen erhalten.43 Insbesondere sind die elektrische Ladung Q und der (gesamte) Spin J immer erhalten,
sowie die Strangeness S solange die schwache Wechselwirkung keine Rolle spielt.
Basierend auf diesen drei Quantenzahlen kann man Regelmäßigkeiten bei den Hadronen erkennen. Somit werden in Abb. X.1 die leichten Mesonen mit J = 0 bzw. J = 1 in Neunergruppen unS = +1
-
S=0
-
S = −1
-
K0
•
K+
•
K ∗0
•
K ∗+
•
A
A
A
A
A
A
A
A
π − •
A
A
A
A
A
η η0
• •
•
π0
ρ− •
A
A
A
A
A
A +
A• π
•
K̄ 0
A•
K−
A
K
A
Q = −1
A
K
A
Q=0
ω φ
• •
•
ρ0
•
K̄ ∗0
A•
K ∗−
KA
A
Q = +1
A +
A• ρ
KA
A
Q = −1
KA
A
Q=0
KA
A
Q = +1
Abbildung X.1: Leichte Mesonen mit J = 0 (links) und mit J = 1 (rechts).
43
Symmetrien werden in Abschn. X.3.3 länger diskutiert.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
85
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
terteilt, während die leichten Baryonen mit J = 12 bzw. J = 32 sich in eine Achtergruppe (Abb. X.2)
und eine Zehnergruppe (Abb. X.3) aufteilen. Dazu können weitere ähnliche Neuner- bzw. Achteroder Zehnergruppen für die schwereren Mesonen bzw. Baryonen auch gefunden werden (vgl. z.B.
die nachgedruckten Artikel in Teil III der Artikelsammlung [33]).
n
S=0
-
p
•
•
A
A
A
S = −1
-
S = −2
-
Σ−•
A
A
A
A
A
Σ0
•
•
Λ
A
A
A• Σ+
•
Ξ0
A•
Ξ−
KA
A
KA
A
KA
A
Q = −1
Q = +1
Q=0
Abbildung X.2: Leichte Baryonen mit J = 21 .
S=0
-
∆−
•
∆0
•
∆+
•
∆++
•
A
A
A
A
S = −1
Σ∗0
•
A
-
Σ∗−A•
• Σ∗+
A
A
A
-
A
Ξ∗− •A
A
∗0
• Ξ
A
A
A
S = −3
Q = +2
A
S = −2
KA
A
-
A•
KA
A
Q = +1
KA
A
Q=0
Ω−
KA
A
Q = −1
Abbildung X.3: Leichte Baryonen mit J = 23 .
Bei diesen Teilchengruppen handelt es sich auf den ersten Blick nur um bildliche Darstellungen.
Sowohl Gell-Mann als auch Ne’eman haben aber auch bemerkt, dass 8, 9 oder 10 den Grad einfacher unitärer Darstellungen der Gruppe SU(3) sein können. Somit gibt das Tensorprodukt zweier
Darstellungen von Grad 3 (und zwar der Fundamentaldarstellung und deren komplex konjugierten)
eine Darstellung von Grad 9.44 Wiederum kommen irreduzible Darstellungen von Grad 10 und 8 im
Tensorprodukt von drei Darstellungen vom Grad 3 vor.
44
Diese lässt sich dann als direkte Summe irreduzibler Darstellungen von Grad 8 und 1 schreiben, 3 ⊗ 3̄ = 8 ⊕ 1,
wobei die Darstellung vom Grad 1 im Fall der leichten Mesonen mit J = 0 dem η 0 entspricht, das deutlich schwerer
als die acht anderen ist.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
86
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Der nächste Schritt, den Gell-Mann und Zweig als erste gemacht haben, besteht in der Identifikation der Fundamentaldarstellung und deren komplex konjugierten mit elementaren Bausteinen,
aus denen die Mesonen und Baryonen bestehen. Physikalisch steht die Fundamentaldarstellung bzw.
deren komplex konjugierte für drei Teilchen bzw. deren Antiteilchen, die als Quarks bzw. Antiquarks
bezeichnet werden. Dann bestehen Mesonen aus einem Quark und einem Antiquark, und Baryonen
aus drei Quarks.
Um die Quantenzahlen der Hadronen wiederzugeben, werden den Quarks geeignete Werte der
Quantenzahlen zugeordnet. Somit haben alle Quarks den Spin J = 21 und die Baryonenzahl B = + 13 .
Die Werte der elektrischen Ladung Q und der Strangeness S für die u (up), d (down) und s (strange)
Quarks, aus denen die in den Abb. X.1–X.3 dargestellten Hadronen bestehen, werden in Abb. X.4
angegeben.
S=0
-
d
•
A
A
A
A
S = −1
-
u
•
A A•
s̄
•
A
K
A
Q = + 23
s
A
A
A
A
A
A•
•
KA
A
Q = − 31
S = +1
S=0
d¯
ū
A
K
A
Q = − 23
KA
A
Q = + 31
Abbildung X.4: Quarks und Antiquarks, aus denen die Hadronen der Abb. X.1–X.3 bestehen.
Bemerkungen:
∗ Die obige Diskussion lässt sich auf eine größere Anzahl Nf der Quark-Flavours verallgemeinern:
um die Hadronen mit Charm und solche mit Beauty (auch „Bottomness“ genannt) zu beschreiben, führt man die c (charm) und b Quarks mit jeweiligen elektrischen Ladungen Q = + 32 und
Q = − 31 ein. Für Hadronen bestehend aus u, d, s und c-Quarks kann man dreidimensionale Verallgemeinerungen der Abb. X.1–X.3 darstellen, z.B. Sechzehnergruppen von Mesonen mit J = 0 oder
mit J = 1 oder Zwanzigergruppen von Baryonen (vgl. Abb. 14.1 und 14.4 der Review of Particle
Properties [16]).
Dazu kommt noch das t (top) Quark, mit der elektrischen Ladung Q = + 23 , mit dem aber kein
bekanntes Hadron gebildet wird.
∗ Die SU(3)-Gruppe, die zu Grunde der Überlegungen von Gell-Mann und Ne’eman lag, wird
SU(3)-Flavour-Gruppe genannt, und oft als SU(3)f bezeichnet.
∗ Als zweite Achse neben der Strangeness in den Abb. X.1–X.4 verwendet man auch die Isospin3-Komponente I3 (vgl. Abschn. X.3.3 a unten) statt der elektrischen Ladung Q. Jene Quantenzahl
nimmt die Werte I3 = + 21 für das u-Quark, I3 = − 12 für das d-Quark und I3 = 0 für das s-Quark
an.
Ein großer Erfolg des Quarkmodells war die Vorhersage eines Baryons mit Q = −1 und S = −3,
das in die untere Ecke in Abb. X.3 passen würde, und für welches Gell-Mann eine Masse von
1685 MeV/c2 berechnet hatte. Tatsächlich wurde ein solches Baryon, das Ω− , mit einer Masse von
1672 MeV/c2 bald darauf entdeckt [34].
Dennoch weist das Modell auch zwei große Probleme auf, so dass es lange nur als eine günstige
mathematische Beschreibung ohne physikalische Deutung angesehen wurde. Erstens konnten isolierte Quarks nicht beobachtet werden — und wurden seitdem noch nie gesehen. Zweitens stellten
ein paar Baryonen, z.B. die Ecken ∆++ = uuu, ∆− = ddd und Ω− = sss des J = 23 -Dekupletts der
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
87
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Abb. X.3, anscheinend einen Widerspruch zum Pauli-Prinzip dar, da die drei identischen Quarks
den gleichen Spinzustand haben.
Um das zweite Problem zu beseitigen wurde eine ad hoc Quantenzahl eingeführt, die Farbe, die
in drei Varianten — „rot“, „grün“ und „blau“ — vorkommen kann und durch die Quarks getragen
wird, während die Antiquarks die zugehörigen „Antifarben“ tragen. Dazu wurde postuliert, dass nur
farblose Kombinationen von Quarks und Antiquarks als freie Teilchen auftreten können,45 was das
erste Problem löst — natürlich eher künstlich, da mit Hilfe eines Postulats. Unter diesen Annahmen
ist die Wellenfunktion eines ∆++ , ∆− oder Ω− total symmetrisch unter dem Austausch der Spins
oder der Orte der Quarks, hat aber einen total antisymmetrischen Farbanteil.
Gemäß der Farbhypothese gibt es also nicht nur einen, sondern Nc = 3 verschiedene u-Quarks,
drei d-Quarks, usw., was beobachtbar sein sollte.
X.1.2 Hadronenerzeugung in Elektron–Positron-Kollisionen
Um die durch die Einführung der Farbquantenzahl implizierte Multiplikation der Freiheitsgrade
besser in den Griff zu bekommen, kann man die Quark–Antiquark-Paarerzeugung in inelastischen
Elektron–Positron-Kollisionen in Betracht ziehen.
Betrachte also die Erzeugung in einem solchen Streuprozess von einem Teilchen–AntiteilchenPaar, wobei das erzeugte Teilchen die Masse m und die elektrische Ladung Q hat. Hiernach wird
m immer viel größer als die Elektronenmasse me sein. Zur niedrigsten Ordnung ist der Prozess rein
quantenelektrodynamisch und dessen Amplitude wird durch ein einziges Feynman-Diagramm gegeben, ähnlich dem Diagramm der Abb. IX.8 (entsprechend Myon-Paarerzeugung) oder der Abb. IX.9
(entsprechend Quark–Antiquark-Paarerzeugung). Die zugehörige Amplitude lautet
Qe2 M=
v̄(~
p2 , σ2 )γµ u(~
p1 , σ1 ) ū(~
p3 , σ3 )γ µ v(~
p4 , σ4 )
2
(p1 + p2 )
und führt zum totalen Wirkungsquerschnitt [vgl. Gl. (IX.5)]
s
2 α2
4π
Q
1 − 4m2 /s
2m2
2m2e
em
−
+
σtot (e +e → Teilchen–Antiteilchen-Paar) =
1+
1+
,
3
s
1 − 4m2e /s
s
s
√
mit s der Schwerpunktsenergie der einlaufenden Teilchen. Ist die Letztere viel größer als zweimal
√
der Masse der auslaufenden Teilchen s 2m 2me , so findet man nach einer trivialen TaylorEntwicklung
2
4π Q2 αem
σtot (e− +e+ → Teilchen–Antiteilchen-Paar) '
,
(X.1)
3
s
wobei die weggelassenen Terme der Ordnung O(m4 /s2 ) sind. Dabei kann man die rechte Seite der
√
Gleichung noch mit Θ( s − 2m) multiplizieren, mit Θ der Heaviside-Funktion, um die Erzeugungsschwelle des Paars in die Formel einzubeziehen.
Jetzt kann jenes Ergebnis auf den Fall der Erzeugung eines Quark–Antiquark-Paares angewandt
√
werden, für ein Quark mit Flavour f und elektrischen Ladung Qf . Wenn s 2mqf gibt Gl. (X.1)
den totalen Wirkungsquerschnitt für die Erzeugung eines qf q̄f -Paares, wobei das Quark eine bestimmte Farbe hat, entweder rot oder grün oder blau. Will man den totalen Wirkungsquerschnitt
für die Erzeugung eines Quark–Antiquark-Paares mit beliebiger Farbe erhalten, so muss man über
die drei Farben summieren:
2
2 2
X 4π Q2f αem
4π Qf αem
= Nc
.
(X.2)
σtot (e− +e+ → qf + q̄f ) '
3
s
3
s
a=r,g,b
Somit hängt der Wirkungsquerschnitt von der Anzahl der Farben ab.
In einem Experiment werden Quarks nicht beobachtet, sondern nur Hadronen. Die Erzeugung
des Quark–Antiquark-Paares qf q̄f ist somit nur ein Zwischenschritt des komplizierteren Prozesses
e− + e+ → qf + q̄f → Hadronen,
45
(X.3)
Dabei gilt die Summe gleicher Mengen von rot, grün und blau als farblos.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
88
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
wie in Abb. X.5 schematisch dargestellt wird, und man untersucht Hadronenerzeugung, statt Quark–
Antiquark-Paarerzeugung. Zur niedrigsten Ordnung in αem werden alle Hadronen über einen sol
Meson
Meson Meson
q̄ 0
q0
qf
q̄f
γ
e+
e−
Abbildung X.5: Elektron–Positron-Vernichtung in Hadronen-Jets.
chen Prozess erzeugt. Dabei kann aber der Flavour des Quarks im Zwischenzustand beliebig sein,
solange die Energie ausreicht, um das entsprechende Paar zu erzeugen. Somit ist der totale Wirkungsquerschnitt für Hadronenerzeugung die Summe über die Flavours der Wirkungsquerschnitte
für qf q̄f -Paarerzeugung. Unter Berücksichtigung der Formel (X.2) ergibt sich
−
+
σtot (e +e → Hadronen) ' Nc
2
X 4π Q2f αem
f
3
s
√
Θ( s − 2mqf ),
(X.4)
√
wobei dieses Resultat für Energien s weit von den Paar-Erzeugungsschwellen 2mqf gilt.
Teilt man diesen Wirkungsquerschnitt durch jenen für Myon-Paarerzeugung, der sich auch durch
Gl. (X.1) approximieren lässt, so findet man
X
√
√
σtot (e− +e+ → Hadronen)
(X.5)
' Nc
Q2f Θ( s − 2mqf ).
R( s) ≡
−
+
−
+
σtot (e +e → µ +µ )
f
√
Je nach dem Wert von s nimmt die Summe im rechten Glied nur diskrete Werte an, die von
den elektrischen Ladungen Qu = Qc = Qt = 32 und Qd = Qs = Qb = − 13 der Quarks abhängen.
Wiederum nimmt das Verhältnis auch nur diskrete Werte an, die direkt proportional zu Nc sind:

√
2

Nc für 2ms s 2mc

3
√
√
R( s) ' 10
s 2mb
9 Nc für 2mc 
√
 11
s 2mt
9 Nc für 2mb √
√
und R( s) ' 53 Nc für s 2mt .
√
Experimentell beobachtet man sukzessive Stufen mit R ≈ 2 für 2ms s 2mc , R ≈ 3, 33
√
√
für 2mc s 2mb , und R ≈ 3, 67 für 2mb s 2mt .46 Diese Messungen entsprechen
somit einer Messung der Anzahl der Farben und liefern Nc = 3. Das heißt, dass jedes Quark
mit gegebenem Flavour wirklich in drei unterschiedlichen Versionen auftreten kann, so dass die
Farbhypothese bestätigt ist.
Bemerkung: Die Berechnung des Wirkungsquerschnitts (X.2), und somit des Verhältnisses (X.5),
beruht auf der Annahme, dass die auslaufenden Quarks wechselwirkungsfreie on-Shell-Teilchen sind.
46
Hier sollte ich wahrscheinlich ein Plot einführen... wenn ich Zeit finde! N.B.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
89
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Doch im Prozess (X.3) sind jene Quarks nur off-Shell virtuelle Teilchen. Somit soll es nicht über√
raschend sein, wenn das experimentelle Verhältnis R( s) stark von der einfachen Vorhersage (X.5)
√
abweicht. Dies ist insbesondere der Fall für eine Schwerpunktsenergie s in der Nachbarschaft der
Masse eines gebundenen q q̄-Zustands, d.h. wenn ein Quark und dessen Antiquark zu einem Meson
verbinden können, vorausgesetzt sie miteinander (stark) wechselwirken können.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
90
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
X.2 Partonmodell
Dem Quarkmodell nach sind Hadronen, insbesondere Protonen, keine Elementarteilchen, sondern bestehen aus mehr fundamentalen Freiheitsgraden. Daher sollte das Proton eine innere Struktur
besitzen, die sich experimentell nachweisen lassen sollte. Um das Innere des Protons zu untersuchen,
soll die „Sonde“ eine kurze Wellenlänge bzw. eine hohe Energie haben. Dies wird in Streuexperimenten realisiert, in denen ein Lepton — insbesondere ein Elektron — an dem Proton stößt, wobei das
Letztere zerstört wird (Abschn. X.2.1). Dabei entdeckt man, dass das Proton aus punktförmigen
Freiheitsgraden besteht (Abschn. X.2.2), die sich anscheinend frei im Proton bewegen.
X.2.1 Tiefinelastische Streuung
Historisch zeigte die Verteilung der gestreuten α-Teilchen im Rutherford-Experiment, dass das
Atom eine innere Struktur besitzt. In ähnlicher Weise können geladene Leptonen an Hadronen
beschleunigt werden, wobei das Lepton ein virtuelles Photon emittiert, das die Struktur des Hadrons
untersucht.
Hiernach wird erstens die Kinematik eines solchen Prozesses eingeführt. Dann wird die Parametrisierung des differentiellen Wirkungsquerschnitts für das gestreute Lepton dargestellt.
)
X.2.1
a Kinematik
::::::::::::::::::
Betrachte die in Abb. X.6 dargestellte inelastische Streuung eines hochenergetischen Elektrons
mit Viererimpuls k ≡ (E, ~k) an einem Proton mit Viererimpuls P. Dabei sind k und P durch die
experimentellen Bedingungen bestimmt, und deshalb bekannt.
X
e−
JJ
k0]
θ
q-
k
]
JJP
e−
p
Abbildung X.6: Kinematik der tiefinelastischen Streuung eines Elektrons an einem Proton.
Nach dem Stoß wird nur das gestreute Elektron gemessen, während der Rest — die aus der Zerstörung des Protons stammenden Hadronen — nicht identifiziert wird. Dieser inklusive inelastische
Prozess wird als
e− + p → e− + X
(X.6)
0
0
0
~
geschrieben. Sei k ≡ (E , k ) der Viererimpuls des Elektron nach dem Stoß und q ≡ k − k0 der
Viererimpuls des virtuellen Photons.
Da alles über X unbekannt ist — bis auf dem gesamten Viererimpuls P + q —, bleiben für die
kinematischen Größen des Elektrons nach dem Stoß mehr unabhängige Freiheitsgrade, als im Fall
elastischer Streuung. Somit können noch zwei kinematische Variablen als unabhängig angenommen
werden, z.B. die Energie E 0 nach dem Stoß und der Streuwinkel θ — diese reichen aus, um den
auslaufenden Viererimpuls vollständig zu charakterisieren.
Sowohl E 0 als auch θ hängen vom Bezugssystem ab. In theoretischen Überlegungen benutzt man
eher die Lorentz-invarianten Größen
q·P
Q2E ≡ −q2 ,
ν≡
(X.7a)
mp
mit mp der Protonenmasse. Die zweite Größe kann äquivalent durch die Bjorken-x Variable
xBj ≡
Q2E
Q2E
=
2mp ν
2q · P
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
(X.7b)
91
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
ersetzt werden. Dabei ist der Zusammenhang zwischen den Variablenpaaren (E 0 , θ) und (Q2E , ν)
eindeutig.
Bemerkung: Man kann zeigen, dass Q2E und ν positiv sind, und dass 0 ≤ xBj ≤ 1.
X.2.1
b Bjorken-Skalenverhalten
:::::::::::::::::::::::::::::::
Für hohe Energien E me parametrisiert man den differentiellen Wirkungsquerschnitt für das
gestreute Elektron als
2 αem
d3 σ
2
2 θ
2
2 θ
W2 (ν, QE ) cos
.
(X.8)
=
+ 2W1 (ν, QE ) sin
dE 0 d2 Ω
2
2
2E sin2 2θ
W1 und W2 werden Strukturfunktionen des Protons genannt. Diese spiegeln Eigenschaften dessen
inneren Struktur wider, und sind experimentell gut bekannt.
Bemerkung: Für die elastische Streuung eines Elektrons mit Energie E an einem punktförmigen
Spin- 21 -Elementarteilchen mit Masse m und elektrischer Ladung Q = 1 gilt [vgl. Gl. (IX.15)]
2 2
d3 σ
q2
αem
q2
2 θ
2 θ
cos
δ ν+
,
=
−
sin
dE 0 d2 Ω
2 2m2
2
2m
2E sin2 2θ
wobei die δ-Funktion die Energie E 0 des Elektrons nach dem Stoß bestimmt. Eine solche Formel
folgt aus Gl. (X.8), wenn man für die Strukturfunktionen die Formen
Q2
Q2
Q2E
Q2E
Q2E
1
2
2W1 (ν, Q2E ) = E2 δ ν − E =
δ
1
−
,
W
(ν,
Q
)
=
δ
1
−
(X.9)
2
E
2m
2m
2m2 ν
2mν
ν
2mν
annimmt. In diesem Fall hängen mW1 und νW2 nur vom dimensionslosen Verhältnis Q2E /2mν.
Für den Streuprozess (X.6) hat Bjorken 1969 aus theoretischen Überlegungen vorgeschlagen [35],
dass im Limes Q2E → ∞, ν → ∞ bei festem xBj ≡ Q2E /2mp ν die Funktionen mp W1 (ν, Q2E ) und
νW2 (ν, Q2E ) nur von der Variable xBj abhängen
mp W1 (ν, Q2E ) → F1 (xBj ),
νW2 (ν, Q2E ) → F2 (xBj ).
(X.10)
Diese Eigenschaften wird als Bjorken-Skalenverhalten bezeichnet.
Das Argument beruht teilweise auf einer dimensionalenpAnalyse: Die Funktionen mp W1 und
νW2 sind dimensionslos. Im hochenergetischen Limes Q2E → ∞, ν → ∞ werden me , mp
vernachlässigbar, und die Funktionen können nur von einer dimensionslosen Variable abhängen.
Dazu haben Callan und Gross vorhergesagt [36], dass für nicht zu kleine Werte von xBj , die
Funktionen F1 und F2 einfach über die Beziehung
2xBj F1 (xBj ) = F2 (xBj )
(X.11)
verknüpft sind.
Diese theoretischen Vorhersagen wurden kurz darauf experimentell am SLAC bestätigt [37, 38].
Dabei bedeuten das Bjorken-Skalenverhalten und die Callan–Gross-Beziehung, dass die Parametrisierung des Wirkungsquerschnitts (X.8) schon mit einer Funktion von einer einzigen Variable erfolgt,
statt zwei Funktionen von zwei Variablen betrachten zu müssen. Das Proton muss also eine spezielle
Struktur haben, die zu dieser Vereinfachung führt.
X.2.2 Partonen
Die Strukturfunktionen (X.9) für elastische Streuung an punktförmigen Teilchen genügen dem
Bjorken-Skalenverhalten (X.10) und der Callan–Gross-Beziehung (X.11). Diese Tatsache deutet auf
eine mögliche Erklärung — das sog. Partonmodell — dafür hin, warum beide Relationen auch in
tiefinelastischen experimentell Streuungen an Protonen experimentell beobachtet werden.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
92
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Dieses Modell beruht auf der Grundidee, dass in solchen Prozessen (X.6) alles passiert, als ob das
durch das Elektron emittierte virtuelle Photon mit einer Wahrscheinlichkeit f (x) an einem freien
punktförmigen Teilchen mit Viererimpuls xP elastisch stoße, wobei P den Viererimpuls des Protons
bezeichnet und 0 < x < 1 ist. Diese punktförmigen Bestandteilchen des Protons werden Partonen
genannt,47 und die Partonverteilungsfunktion f (x) stellt eine Eigenschaft des Protons dar.
Verallgemeinert man diese Grundidee, so führt man verschiedene Arten von Partonen — hier
gekennzeichnet durch einen Index i — mit jeweiliger Partonverteilungsfunktion fi und elektrischer
Ladung Qi . Die unterschiedlichen Arten werden später weiter diskutiert.
Sind das Lorentz-Quadrat q2 = −Q2E des Viererimpulses des virtuellen Photons und sein Energie
ν im Ruhesystem des Protons fest, so kann der Viererimpuls xP des an dem Stoß beteiligten Partons
nicht beliebig sein. Die Strukturfunktionen für elastische Streuung (X.9) zeigen nämlich, dass die
„Masse“ m des Partons genau gleich Q2E /2ν sein soll. Diese Masse lässt sich aus der Energie–
Impuls-Beziehung als m2 = (xP)2 = x2 m2p ausdrücken, so dass die Bedingung über m zu einer
Bedingung über den durch das beteiligte Parton getragenen Bruchteil x des Protonenviererimpulses
wird. Genauer muss x = Q2E /2mp ν gelten, d.h. der Bruchteil x ist gleich der Bjorken-Skalenvariable
xBj .
Dann ist die Strukturfunktion F2 des Protons gegeben durch
X
F2 (x) = x
Q2i fi (x) für 0 ≤ x ≤ 1,
(X.12)
i
wobei die Summe über alle Arten von Partonen läuft. Dazu werden sowohl das Bjorken-Skalenverhalten und als auch die Callan–Gross-Beziehung automatisch erfüllt, wie sich an Gl. (X.9) erkennen lässt.
Bemerkung: Summiert man den Viererimpuls xP eines Partons multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit fi (x), dass ein Parton i den Bruchteil x trägt, über alle möglichen Werte von x und alle
Arten von Teilchen, so soll man den gesamten Viererimpuls P des Protons finden, d.h.
Z 1X
Z 1X
P=
fi (x) xP dx
⇔
fi (x) x dx = 1.
(X.13)
0
i
0
i
Die letztere Gleichung ist eine sog. Summenregel , der die Verteilungsfunktionen genügen müssen.
Eine ausführliche Analyse der experimentellen Daten im Rahmen des Partonmodells führt zur
Einführung von drei großen Klassen von Partonen in einem Hadron:
• Erstens gibt es „Valenz-Quarks“ mit Verteilungsfunktionen uv (x), dv (x). Dabei ist xuv (x) bzw.
xdv (x) in einem Proton maximal für x ≈ 0, 1–0, 2, mit xuv (x) ≈ 32 bzw. xdv (x) ≈ 13 , d.h.
solche u- bzw. d-Quarks tragen etwa 32 bzw. 13 des Protonenimpulses. Dies entspricht den drei
Quarks uud des Quarkmodells.
In einem Hadron mit Strangeness, Charm oder Beauty treten natürlich auch Valenz-s-, c- oder
b-Quarks mit jeweiliger Verteilungsfunktion.
• Eine zweite Klasse besteht aus sog. „See-Quarks“, entsprechend virtuellen Quark–AntiquarkPaaren, mit Verteilungsfunktionen us (x), ūs (x), ds (x), d¯s (x), s(x), s̄(x). . . Diese See-Quarks
tragen nur einen geringen Anteil des gesamten Impuls. Das Produkt xfi (x) wird für x . 0, 01–
0, 1 aber größer als für die Valenzquarks.
Die Kinematik zeigt, dass Valenz- und See-Quarks den Spin
1
2
haben.
• Schließlich findet man noch Partonen mit dem Spin 1, die sich mit den Gluonen identifizieren
lassen, mit einer Verteilungsfunktion g(x). Diese haben keine elektrische Ladung, und tragen
also nicht direkt zu F2 (x) bei. Sie müssen aber berücksichtigt werden, da sie teil des Gesamt47
Die Bezeichnung wurde durch Feynman eingeführt [39].
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
93
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
impulses des Protons tragen; insbesondere ist für x . 0, 01 das Produkt xg(x) größer als die
Summe der xfi (x) über alle anderen Arten von Partonen: bei kleinem x besteht ein Hadron
meistens aus Gluonen.
Ein Beispiel von Partonverteilungsfunktionen für die Valenz-u- und d-Quarks, See-Quarks und
Gluonen im Proton wird in Abb. X.7 dargestellt.
June 2011
Q2 = 10 GeV2
HERAPDF1.7 (prel.)
exp. uncert.
0.8
model uncert.
parametrization uncert.
HERAPDF Structure Function Working Group
xf
HERA I+II inclusive, jets, charm PDF Fit
1
xuv
0.6
HERAPDF1.6 (prel.)
0.4
xg (× 0.05)
xdv
0.2
xS (× 0.05)
10-4
-3
10
10-2
10-1
x
1
Abbildung X.7: Partonverteilungsfunktionen in einem Proton für Valenz-u- und d-Quarks (uv , dv ),
See-Quarks (S) und Gluonen (g), multipliziert mit x, laut den H1 & ZEUS-Experimenten am HERA
Beschleuniger.
Aus https://www.desy.de/h1zeus/combined_results/index.php?do=proton_structure.
Eine genauere Untersuchung der Strukturfunktion F2 des Protons zeigt, dass sie tatsächlich
nicht nur Funktion der Bjorken-Skalenvariable xBj ist, sondern hängt auch von Q2E ab, wenn xBj
kleiner als etwa 0, 1 wird. Das heißt, dass das Skalenverhalten (X.10) verletzt ist. Dementsprechend
sind die Partonverteilungsfunktionen Funktionen von x und Q2E , fi (x, Q2E ): je nach der Auflösung,
mit der das Proton untersucht wird — grob gesagt stellt (Q2E )−1/2 die typische Längenskala der
kleinsten Details dar, die das virtuelle Photon auflösen kann —, sieht das Proton unterschiedlich
aus, insbesondere bei kleinem x.
Diese Abhängigkeit nach Q2E lässt sich im Rahmen der Quantenchromodynamik, die im folgenden
Abschnitt kurz vorgestellt wird, berechnen.
X.3 Quantenchromodynamik
Die Theorie der starken Wechselwirkung, die hinter dem Quark- und dem Partonmodell steht und
die zugehörigen Phänomene erklären kann, ist die Quantenchromodynamik (QCD). Dabei handelt es
sich um eine sog. nicht-abelsche Eichfeldtheorie, basierend auf eine Gruppe SU(3), die als Farbgruppe
bezeichnet wird, und daher noch als SU(3)c geschrieben wird.
Betrachtet man die drei möglichen Dirac-Spinoren qfa mit a = r, g, b für einen gegebenen QuarkFlavour f als die drei möglichen Komponenten eines Vektors qf im „Farbraum“ — wobei jede
Komponente aus einem Quark-Spinor mit fester Farbe besteht —, so folgt die QCD aus der
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
94
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Forderung, dass die Physik invariant unter lokalen SU(3)c -Transformationen der Vektoren qf ,
die sich als Tripletts transformieren, sein soll, entsprechend einer Eichinvarianz .
In diesem Abschnitt werden nur einige Elemente der QCD dargestellt, und zwar erstens die Vertices
der Theorie (Abschn. X.3.1) — welche die möglichen Prozesse festlegen —, dann einige wichtigen
Vorhersagen der Theorie — die nur auf einer qualitativen Ebene in Abschn. X.3.2 diskutiert werden.
Schließlich befasst sich Abschn. X.3.3 mit den globalen Symmetrien der QCD, die zur Einführung
mehrerer Quantenzahlen führen, die zur Charakterisierung der Elementarteilchen sowie der Hadronen dienen.
X.3.1 Vertices der QCD
Ähnlich der Quantenelektrodynamik kann die Quantenchromodynamik durch die FeynmanRegeln für die zugehörigen Vertices, die sich aus der Lagrange-Dichte herleiten lassen, spezifiziert
werden. Im Fall der QCD kommen die drei in Abb. X.8 dargestellten Vertices vor. Dabei stellen
die spiralförmigen Linien
die Gluonen dar, d.h. die masselosen elektrisch neutralen Vektorteilchen, die die starke Wechselwirkung vermitteln und an die Farbladung koppeln.
q
g
q
Abbildung X.8: Vertices der Quantenchromodynamik.
Die an einem qqg-Vertex (Abb. X.8 links) ein- und auslaufenden Quarks tragen typischerweise
unterschiedliche Farbladungen. Dann trägt das Gluon die „Differenz“ dieser Farbladung. Trägt z.B.
das ein- bzw. auslaufende Quark die Farbladung r (rot) bzw. b (blau), so soll das Gluon die Farbladung rb̄ nach rechts transportieren. Somit sind Gluonen farbgeladen und können in 8 (= Nc2 − 1,
mit Nc = 3 der Anzahl der Farben) Farbkombinationen vorkommen.
Mathematisch entsprechen die Gluonen Vektorfeldern AA
µ mit A = 1, . . . , 8. Um deren Koppa=1,2,3
lung den Quarks-Tripletts qf
zu beschreiben, werden acht 3×3- „Gell-Mann“ Matrizen λA
eingeführt, welche die gleiche Rolle für SU(3) spielen, wie die Pauli-Matrizen für SU(2).
Wegen ihrer Farbladung können Gluonen miteinander wechselwirken, entsprechend den zwei
rechten Vertices der Abb. X.8. Diese Selbstwechselwirkung der Gluonen stellt einen großen Unterschied zum Photon in der QED dar.
Da die drei Vertices der QCD aus einer eichinvarianten Lagrange-Dichte kommen, sind die
zugehörigen Kopplungskonstanten nicht unabhängig. In der Tat werden die beiden Drei-TeilchenVertices durch die gleiche starke Kopplungskonstante gs bestimmt, während der Vier-Gluonen-Vertex
durch gs2 kontrolliert wird. Anstelle von gs benutzt man auch die zugehörige starke Kopplungsstärke
αs ≡
gs2
,
4π
(X.14)
analog zu αem in der QED. Im Gegensatz zu αem kann aber αs „groß“, d.h. nicht viel kleiner als 1,
sein. Infolgedessen48 funktioniert Störungstheorie im Allgemeinen nicht so perfekt, wie in der QED,
und Berechnungen erreichen selten eine Genauigkeit von 1% oder besser. Somit stellen numerische
Gitter-QCD-Berechnungen eine wichtige Lösungsmethode dar.
48
. . . und wegen der Selbstwechselwirkung der Gluonen, die zur Existenz von viel mehr Feynman-Diagrammen zu
einer gegebenen Ordnung in gs führt.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
95
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
X.3.2 Wichtige Vorhersagen der Quantenchromodynamik
Die „einfache“ Forderung einer eichinvarianten SU(3) Theorie führt zu einer Vielzahl an Phänomenen, die in der QED nicht auftreten. Hiernach werden zwei hervortretende Eigenschaften ohne
Beweis dargestellt.
X.3.2
a Asymptotische Freiheit
::::::::::::::::::::::::::::::
Die Kopplungskonstante gs ist trotz ihrer Namen keine Konstante, sondern sie hängt von der
Energie- bzw. Impulsskala QE des Prozesses unter Betrachtung ab. Genauer haben Gross, Politzer
und Wilczek 1973 entdeckt, dass gs (QE ) mit steigender Energieskala QE abnimmt und im Limes
QE → ∞ nach Null geht. Dieses Verhalten wird als asymptotische Freiheit bezeichnet.
Genauer findet man
αs (µ2 )
(X.15)
αs (Q2E ) =
1 + 4παs (µ2 )b0 ln(Q2E /µ2 )
mit µ einer Referenzskala und b0 ≡ (11Nc −2Nf )/48π 2 , wobei Nc = 3 die Anzahl der Farben und Nf
die Anzahl der bei der Energieskala QE aktiven Flavours bezeichnet — d.h. Nf = 3 für QE . 2mc ,
Nf = 4 für 2mc . QE . 2mb , usw.
Der Verlauf von αs (Q2 ), ermittelt aus unterschiedlichen Experimenten, wird in Abb. X.9 gezeigt.
Abbildung X.9: Experimentell ermittelter Verlauf der starken Kopplungsstärke. Genommen aus der
Review of Particle Physics [16], Abb. 9.4.
Insbesondere sieht man, dass die Kopplungsstärke bei der Masse MZ ≈ 91, 2 GeV des Z 0 -Bosons
beträgt
αs (MZ ) = 0, 1184 ± 0, 0007.
(X.16)
Asymptotische Freiheit liefert eine natürliche Erklärung für das Bjorken-Skalenverhalten (Abschn. X.2.1 b): für Prozesse mit großem Q2E ist die Kopplungskonstante klein, so dass Quarks und
Gluonen sich tatsächlich wie freie Teilchen verhalten, wie im Partonmodell. Bei endlichem Q2E treten Korrekturen auf, die sei im Rahmen der QCD berechnen lassen, und zu einer entsprechenden
Abhängigkeit der Partonverteilungsfunktionen führen: fi (x, Q2E ).
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
96
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Bemerkungen:
∗ Definiert man eine neue Energieskala ΛQCD , die oft als QCD-Skala bezeichnet wird, durch
αs (µ2 ) ≡
1
,
4πb0 ln(µ2 /Λ2QCD )
so findet man nach Einsetzen in Gl. (X.15) unter der Annahme, dass Nf und daher b0 konstant
zwischen ΛQCD , µ und QE bleibt,
αs (Q2E ) =
1
.
4πb0 ln(Q2E /Λ2QCD )
(X.17)
Dies bedeutet, dass die Kopplungsstärke divergiert, wenn QE → Λ+
QCD .
∗ Dem Heisenberg’schen Prinzip nach entspricht eine hohe Impulsskala einer kleinen Längenskala,
und umgekehrt. Daher bedeutet asymptotische Freiheit, dass je näher zwei farbgeladene Teilchen
benachbart sind, desto kleiner ist die Stärke deren Wechselwirkung.
∗ Mathematisch tritt asymptotische Freiheit nicht nur in QCD auf, sondern in allen nicht-abelschen
Eichtheorien. Somit nimmt die Kopplungskonstante g der SU(2)L -Gruppe des elektroschwachen
Standardmodells (Kap. XII) mit der Energieskala ab.
X.3.2
b Quarkeinschluss
::::::::::::::::::::::::
Für kleine Werte von Q2E wird die Kopplungsstärke αs (Q2E ) groß, d.h. die Wechselwirkungen
zwischen farbgeladenen Teilchen sind sehr stark. Diese Tatsache erklärt qualitativ die Existenz
von farbneutralen gebundenen Zuständen, den Hadronen, sowie das Confinement der Quarks und
Gluonen innerhalb der Letzteren.
Versucht man, zwei farbgeladenen Teilchen voneinander zu entfernen, dann bilden sich aus der
hingefügten Energie Quark–Antiquark-Paare. Daraus resultieren, statt zweier getrennter Farbladungen, zwei oder mehr Hadronen.
Bemerkung: Genau gesagt existiert noch kein formeller Beweis, dass die Quantenchromodynamik
tatsächlich zum Confinement führt. Das Letztere wird aber in numerischen QCD-Simulationen auf
einer diskretisierten Raumzeit, d.h. in sog. Gitter-QCD, nachgewiesen.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
97
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
X.3.3 Symmetrien der QED und der QCD
Die Lagrange-Dichten der Quantenchromodynamik, die zu den Vertices der Abb. X.8 führt, und
der Quantenelektrodynamik, Gl. (IX.4), sind invariant unter verschiedenen Symmetrien, d.h. unter
der Wirkung von Gruppen von Transformationen. Dabei unterscheidet man, je nach der Gruppe,
zwischen kontinuierlichen und diskreten Symmetrien.
Gemäß dem Noether-Theorem liefert jede kontinuierliche Symmetrie der Lagrange-Dichte eine
Erhaltungsgröße — z.B. sind Lagrange-Dichten konstruktionsgemäß Lorentz-invariant, was insbesondere die Erhaltung der Energie, des Impulses sowie des Drehimpulses zur Folge hat.
In diesem Abschnitt werden ein paar solche Symmetrien mit den zugehörigen Erhaltungsgrößen
diskutiert. Diese schränken die möglichen Prozesse ein, die durch die Wechselwirkungen erlaubt
werden. Dazu kommen einige diskrete Symmetrien, die ebenfalls die Dynamik beschränken.
X.3.3
a Kontinuierliche innere Symmetrien
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Neben den Lorentz-Transformationen in der Raumzeit findet man noch Transformationen auf
„inneren“ Vektorräumen, z.B. auf dem Hilbert-Raum der Zustände, die ein bzw. mehrere Teilchen
beschreiben. Hiernach werden nur solche Transformationen betrachtet, bei denen die Zustände in
jedem Punkt der Raumzeit identisch transformiert werden, d.h. globale Transformationen der Zustände. Es existieren auch lokale Transformationen, und zwar die Eichtransformationen, die hier
aber nicht weiter diskutiert werden.
Leptonen- und Baryonenzahl
Eine erste Symmetrie der bisher betrachteten Wechselwirkungen ist die Invarianz der LagrangeDichte (IX.4) der QED unter den gleichzeitigen Transformationen
ψ̂j → ψ̂j0 = eiα ψ̂j ,
ψ̄ˆj → ψ̄ˆj0 = e−iα ψ̄ˆj ,
µ → Â0µ = µ ,
(X.18)
mit α ∈ R und ψ̂j dem Feldoperator für ein beliebiges Fermion j (Lepton oder Quark). Diese
Symmetrie funktioniert, weil es an jedem Vertex (IX.3) so viele ein- als auslaufende Fermionenlinien,
entsprechend der gleichen Anzahl von ψ̂j und ψ̄ˆj -Operatoren.
Infolge dieser Symmetrie ist die Nettoanzahl der Spin- 21 -Teilchen der Art j, d.h. die Anzahl
der Teilchen minus der Anzahl ihrer Antiteilchen, in einem quantenelektrodynamischen Prozess
erhalten. Summiert man über alle Leptonspezies bzw. über alle Quark-Flavours und -Farben, so
gibt diese Symmetrie die Erhaltung der Leptonenzahl L bzw. der Baryonenzahl B.
Ähnlich dieser Symmetrie der QED ist die Lagrange-Dichte der QCD invariant unter den Transformationen
q̂f → eiα q̂f ,
q̄ˆf → e−iα q̄ˆf , mit α ∈ R
(X.19)
für einen Quark-Flavour qf , während die Feldoperatoren für alle anderen Flavours und für die
Gluonen unverändert bleiben. Diese Invarianz der Lagrange-Dichte spiegelt sich in der Tatsache
wider, dass der Quark-Flavour an einem qqg-Vertex (Abb. X.8 links) unverändert ist. Entsprechend
diesen Symmetrien existieren verschiedene erhaltene Quantenzahlen, die jetzt diskutiert werden.
Strangeness, Charm, Beauty
Aus der Invarianz der Lagrange-Dichte der Quantenchromodynamik unter der Multiplikation des
Feldoperators für s-Quarks durch eine beliebige Phase folgt die Erhaltung der Strangeness. Anders
gesagt ist die Nettoanzahl der strange Quarks, d.h. die Anzahl der s-Quarks minus der Anzahl der
s̄-Antiquarks, erhalten.49
Daraus folgt, dass Mesonen wie K + = us̄, K − = sū in der QCD nicht zerfallen können, weil es
kein leichteres Baryon mit Strangeness gibt.
49
Da die Strangeness des s-Quarks als S = −1 definiert ist, ist die Strangeness tatsächlich gleich Minus der
Nettoanzahl der s-Quarks.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
98
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
In ähnlicher Weise sind Charm C, Beauty (oder „Bottomness“) B und Truth (oder „Topness“) T
ebenfalls in der QCD erhalten, wobei C als die Nettoanzahl der c-Quarks, B als Minus der Nettoanzahl der b-Quarks, und T als die Nettoanzahl der t-Quarks definiert wird.
Bemerkung: S, C, B und T werden auch in der QED erhalten, entsprechend der schon oben
diskutierten Symmetrie (X.18).
Isospin
Man könnte noch auch „Upness“ bzw. „Downness“ definieren, entsprechend der Nettoanzahl der
u bzw. d-Quarks.50 Diese sind wieder in der QCD erhalten, dank der Invarianz der Lagrange-Dichte
unter den Transformationen (X.19) für ψ̂u - oder ψ̂d -Feldoperatoren.
In der Praxis betrachtet man aber eine größere Symmetrie, die exakt wird, falls elektromagnetische Effekte sowie die Massendifferenz der u- und d-Quarks vernachlässigt werden können. Unter
solchen Umständen ist die Lagrange-Dichte der Quantenchromodynamik tatsächlich invariant unter
Transformationen der Art
!
!
!
ψ̂u
ψ̂u0
ψ̂u
→
≡U
,
(X.20)
ψ̂d
ψ̂d0
ψ̂d
mit U einer beliebigen speziellen unitären 2×2-Matrix, U ∈ SU(2). Die entsprechende Symmetrie
der QCD wird Isospin-Symmetrie genannt, oder auch starker Isospin.51 Die zugehörige Symmetriegruppe wird als SU(2)-Flavour-Gruppe bezeichnet.52
Jede Isospin-Transformation U lässt sich als Exponential einer Linearkombination der PauliMatrizen σj schreiben:
U = e−iα ~σ·~e ,
mit α ∈ R und ~e einem dreidimensionalen Einheitsvektor [vgl. Gl. (I.20)]. Solche SU(2)-Matrizen
beschreiben auch die Drehungen im Spin-Vektorraum von nicht-relativistischen Teilchen — woraus
die Bezeichnung Isospin tatsächlich folgt.53
Die Invarianz der Lagrange-Dichte der QCD unter Transformationen (X.20) bedeutet, dass der
zugehörige Hamilton-Operator mit jeder Matrix σj , betrachtet als Operator auf den durch die zwei
leichten Flavours aufgespannten zweidimensionalen Vektorraum, kommutiert. Somit können der
Hamilton-Operator, Iˆ2 ≡ 14 ~σ 2 und Iˆ3 ≡ 12 σ3 gleichzeitig diagonalisiert werden. Infolgedessen lassen
sich die stark-wechselwirkenden Teilchen, d.h. die Eigenzustände zum QCD-Hamilton-Operator,
durch deren Werte von I und I3 klassifizieren, mit I(I + 1) bzw. I3 dem zugehörigen Eigenwert zu
Iˆ2 bzw. Iˆ3 .
Zum Beispiel gelten für das u-Quark, entsprechend dem ersten Basisvektor im Flavour-Raum,
I = 12 und I3 = 12 , während das d-Quark I = 21 und I3 = − 12 hat:
!
!
1
0
u≡
≡ | 12 , 12 i,
d≡
≡ | 12 , − 12 i.
(X.21)
0
1
Bei den Antiquarks nimmt I3 den entgegengesetzten Wert zum entsprechenden Quark an
ū ≡ | 12 , − 12 i,
d¯ ≡ | 12 , 12 i,
(X.22)
¯
d.h. bezüglich des Isospins hat ein ū- bzw. d-Antiquark
die gleichen Quantenzahlen wie ein d- bzw.
u-Quark. Schließlich tragen alle anderen Quarks und Antiquarks keinen Isospin.
50
Oder Minus der Nettoanzahl der d Quarks, sowie die Strangeness als Minus der Nettoanzahl der negativ elektrisch
geladenen s-Quarks definiert ist.
51
Da die u- und d-Quarks unterschiedliche elektrische Ladungen haben, ist der Isospin keine Symmetrie der QED.
Dagegen sind „Upness“ und „Downness“ in der QED erhalten.
52
Diese Flavour-Gruppe ist eine Untergruppe der SU(3)-Flavour-Gruppe von Gell-Mann und Ne’eman. Die Letztere
lässt sich wiederfinden, indem man die Massendifferenz des s-Quarks und der zwei leichteren Quarks vernachlässigt,
was schon eine stärkere Näherung darstellt.
53
Ursprünglich wurde der Isospin nicht als Symmetrie der u und d-Quarks, sondern als Symetrie zwischen Proton
und Neutron durch Heisenberg eingeführt [40], vgl. auch Gl. (X.24).
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
99
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Die Isospin-Quantenzahlen von Hadronen lassen sich dann aus denen der Quarks erhalten, indem
man die Isospins wie übliche Drehimpulse koppelt. Beispielsweise gilt für die Pionen
π + = ud¯ = | 1 , 1 i| 1 , 1 i = |1, 1i,
π − = dū = | 1 , − 1 i| 1 , − 1 i = |1, −1i,
(X.23a)
2 2
2 2
2
2
2
2
1
π 0 = √ | 12 , 12 i| 12 , − 21 i + | 12 , − 12 i| 21 , 12 i = |1, 0i.
(X.23b)
2
Alle drei Pionen bilden somit das Isospin-Triplett, kurz „Iso-Triplett“, mit I = 1. Sie sollten dann
dieselbe Masse haben, da sie miteinander über die Operatoren Iˆ1 ± i Iˆ2 verknüpft sind, die mit dem
Hamilton-Operator vertauschen.
Koppelt man drei u oder d Quarks, so findet man mit I = 21 das Isospin-Dublett („Iso-Dublett“)
bestehend aus Proton und Nukleon
p = | 12 , 12 i,
n = | 21 , − 12 i.
(X.24)
Dieses Dublett wird kollektiv als Nukleon bezeichnet.
Der Isospin ist nicht nur für Klassifierungszwecke nützlich, sondern kann auch benutzt werden,
um Vorhersagen über die Dynamik zu machen. Somit führt die Erhaltung des Isospins in QCDProzessen zur Existenz von einfachen Verhältnissen — bestimmt durch geeignete Clebsch–GordanKoeffizienten54 — zwischen den Amplituden bzw. Wirkungsquerschnitten für unterschiedliche Endzustände einer Streuung, oder gar zwischen den Amplituden für Prozesse mit unterschiedlichen
Anfangszuständen, die über Isospin-Transformationen verknüpft sind.
Bemerkung: Der Wert der dritten Komponente I3 des Isospins ist einfach mit der elektrischen
Ladung Q verknüpft. Für die u, d und s-Quarks und deren Antiquarks gilt die Gell-Mann–Nishijima
Formel
Q = I3 + 21 (B + S),
(X.25a)
mit B der Baryonenzahl und S der Strangeness. Diese Beziehung gilt noch für die Hadronen, die
aus diesen drei Flavours bestehen. Verallgemeinert man auf b, c und t Quarks und die Hadronen,
die auch solche Quarks enthalten, so erhält man
Q = I3 + 21 (B + S + C + B + T ).
(X.25b)
Dabei wird B + S + C + B + T ≡ Y als Hyperladung bezeichnet. Diese wird sowohl in der QED als
in der QED erhalten.
X.3.3 b Diskrete Symmetrien
Die im vorigen Unterabschnitt diskutierten kontinuierlichen inneren Symmetrien führen zur
Existenz von additiven Quantenzahlen. Jetzt werden ein paar diskrete Symmetrien behandelt, und
die zugehörigen multiplikativen Quantenzahlen eingeführt.
::::::::::::::::::::::::::::
Parität
Bei der Raumspiegelung handelt es sich um die Transformation, die den Ortsvektor ~r in −~r
transformiert. In der Raumzeit lässt sich die Wirkung der Raumspiegelung auf den KoordinatenVierervektor durch eine schon in Gl. (I.28) eingeführte uneigentliche Lorentz-Transformation ΛP .
Allgemeiner lässt sich die Operation dieser Transformation auf eine beliebige physikalische Größe
G(x) durch einen Paritätsoperator , auch Raumspiegelungsoperator gennant, P̂ beschreiben, und zwar
gemäß
P̂ G(x) = G(ΛP x).
(X.26)
Dieser Operator hängt von der Natur von G(x) ab — je nachdem, ob es sich um eine skalare, spinorielle, vektorielle, oder tensorielle Größe handelt, entsprechend dem Verhalten unter dreidimensionalen
Drehungen. In allen Fällen ist P̂ eine Involution, d.h.
P̂ 2 = 1.
54
Einige dieser Koeffizienten können z.B. in der Review of Particle Physics [16], Kap. 40 gefunden werden.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
100
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Infolge dieser Eigenschaft sind die möglicher Eigenwerte des Paritätsoperators P = ±1. Ist eine
Größe ein Eigenvektor zu P̂ , so wird der entsprechende Eigenwert P als seine Parität bezeichnet.
Je nach dem Verhalten unter der Parität unterscheidet man
• für skalare Größen, zwischen Skalaren — P̂ s = s, d.h. P = +1 — und Pseudoskalaren —
P̂ ps = −ps, d.h. P = −1;
• für vektorielle Größen, zwischen Vektoren — P̂ ~v = −~v , d.h. P = −1 — und axialen Vektoren
(oder Pseudovektoren) — P̂~a = ~a, d.h. P = +1.
Ein Beispiel für eine pseudoskalare Größe ist die Helizität, Produkt von einem Vektor (dem Impuls)
und einem axialen Vektor (dem Spin).
Teilchen, insbesondere Elementarteilchen, können Eigenzustände zum Paritätsoperator sein, und
somit eine feste Parität haben. Das ist der Fall der Teilchen, die entweder der QED oder der QCD
unterliegen, weil die Lagrange-Dichten jener Wechselwirkungen invariant unter Raumspiegelung
sind. Somit haben die Quarks und die geladenen Leptonen (e− , µ− , τ − ) die Parität +1, während ihre
Antiteilchen die Parität −1 haben. Dazu haben Photonen und Gluonen, die durch Vierervektoren
beschrieben werden, die Parität −1.
Bei nicht-elementaren Teilchen hängt die Parität von denen der Bestandteilchen ab, sowie vom
Bahndrehimpuls, der einen Beitrag (−1)` gibt, mit ` der Bahndrehimpulsquantenzahl, wobei die
Beiträge multipliziert werden sollen. Somit haben Pionen (` = 0) die Parität −1.
Ladungskonjugation
Eine weitere diskrete Transformation ist die Ladungskonjugation, die ein Teilchen in dessen Antiteilchen und umgekehrt bei unveränderter Raumzeit-Position transformiert. Man kann zeigen, dass
die Lagrange-Dichten der QED und der QCD invariant unter dieser Transformation sind.
Für ein gegebenes Teilchen–Antiteilchen System wird die Ladungskonjugation durch einen Operator Ĉ darstellt. Da Ĉ 2 = 1 ist, sind die möglichen Eigenwerte dieses Ladungskonjugationsoperators
C = ±1.55 Die entsprechenden Eigenzustände stellen definitionsgemäß Teilchen dar, die gleich ihrer
Antiteilchen sind. Dies betrifft nur wenige Teilchen wie das Photon γ, das neutrale Pion π 0 , oder die
in Abb. X.1 vorkommenden η, η 0 , ρ0 , ω und φ Mesonen, die alle aus u, d und s Quarks und deren
Antiquarks bestehen. Dazu kommen noch die sog. Charmonia und Bottomonia, d.h. die gebundenen
cc̄- und bb̄-Zustände.
Als Beispiel hat das Photon die C-Parität C = −1, während für das neutrale Pion C = +1 ist:
Ĉ |γi = −|γi,
Ĉ |π 0 i = |π 0 i.
(X.27a)
Ĉ |π − i = |π + i.
(X.27b)
Dagegen gilt für die geladenen Pionen
Ĉ |π + i = |π − i,
Wegen der Erhaltung der Ladungskonjugation in der QED und der QCD, sollen die Zerfallsprodukte von Ĉ-Eigenzustände, die über die QED oder die QCD zerfallen, ebenfalls Eigenzustände zur
Ladungskonjugation sein, mit dem gleichen Eigenwert. Infolgedessen kann das neutrale Pion in 2
oder 4 Photonen zerfallen,56 nicht aber in 3 Photonen.
Bemerkungen:
∗ Eine verwandte multiplikative Quantenzahl, die in der starken Wechselwirkung erhalten bleibt,
ˆ
ist die sog. G-Parität, entsprechend dem Eigenwert des Operators Ĝ ≡ Ĉ eiπ I2 , wobei Iˆ2 die 2Komponente des Isospins bezeichnet. Das Interesse an dieser G-Parität liegt daran, dass zusätzliche
55
In diesem Skript wird der gleiche Buchstabe C für die C-Parität und die Charm-Quantenzahl benutzt, was aber
zu keinem Fehler führen sollte.
56
Dabei wird die Parität auch erhalten, vorausgesetzt die Photonen mit einem relativen Bahndrehimpuls ` = 1
emittiert werden.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
101
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Teilchen wie z.B. die geladenen Pionen Eigenzustände dazu sind,57 die nicht Eigenzustand zum
Ladungskonjugationsoperator sind. Der Erfahrung des Autors nach wird die G-Parität aber in der
Praxis selten verwendet.
∗ Der Ladungskonjugationsoperator Ĉ ist ein seltenes Beispiel für einen antiunitären Operator.58
Dies ist eine nötige Eigenschaft, um einen normierten Zustand in den dazu komplexen konjugierten
Zustand zu transformieren (vgl. die Teilchen-Interpretation der Lösungen zu den Klein–Gordonoder Dirac-Gleichungen).
Zeitumkehr
Eine weitere Transformation, die eine diskrete Symmetrie de QED und der QCD darstellt, ist die
Zeitumkehr, die die Zeit t in −t bei unveränderten Raumkoordinaten transformiert. Die Wirkung
dieser Operation auf Vierervektoren erfolgt durch die Lorentz-Transformation ΛT , Gl. (I.29).
Allgemeiner wird ein (antiunitärer) Zeitumkehroperator T̂ eingeführt, um die Operation auf
Zustände mit bestimmtem Spin durchzuführen, und dessen Eigenwerte die Werte T = ±1 annehmen
können.
Laut dem CPT-Theorem ist jede lokale Lorentz-invariante Quantenfeldtheorie invariant unter
dem Produkt von Ladungskonjugation (Ĉ), Raumspiegelung (P̂ ) und Zeitumkehr (T̂ ), so dass T̂
äquivalent zu Ĉ P̂ ist, d.h. zur Transformation, die ein Teilchen mit bestimmter Helizität bzw. Polarisation in das zugehörige Antiteilchen mit entgegengesetzer Helizität bzw. Polarisation überführt.
Gleichzeitige Eigenzustände zu Ĉ und P̂ , wie z.B. alle oben erwähnten Teilchen mit bestimmter
C-Parität, sind natürlich Eigenzustände zu Ĉ P̂ , d.h. automatisch zur Zeitumkehr.
Literatur
• Berger [27], Kap. 5.1 & 5.3.
• Griffiths [15], Kap. 4.3–4.4, 8.1–8.3 & 8.6.
• Halzen & Martin [28], Kap. 2.5–2.11, 8, 9, 10.1 & 11.1.
• Nachtmann [13], Kap. 17–18.
ˆ
Dies folgt aus eiπ I2 |π ± i = |π ∓ i und daher Ĝ|π ± i = |π ± i.
Dies bedeutet, dass Ĉ einerseits antilinear ist: für alle Zustände |1i und |2i und komplexe Zahlen λ1 und λ2 gilt
Ĉ(λ1 |1i + λ2 |2i) = λ∗1 Ĉ |1i + λ∗2 Ĉ |2i; andererseits ist Ĉ Ĉ † = Ĉ † Ĉ = 1, mit Ĉ † dem adjungierten Operator.
57
58
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
102
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
XI. Schwache Wechselwirkung
Die dritte Wechselwirkung der Elementarteilchen, neben den elektromagnetischen und starken Kräften, ist die schwache Wechselwirkung. Wie durch deren Bezeichnung angedeutet wird, ist diese Wechselwirkung in niederenergetischen Phänomenen üblicherweise (viel) schwächer als die zwei anderen.
Sie kann aber nicht einfach vernachlässigt werden, weil sie oft Prozesse erlaubt, die in der QED und
der QCD nicht stattfinden können. Dies geht zusammen mit der Verletzung unterschiedlicher Symmetrien der elektromagnetischen und starken Wechselwirkungen (Abschn. XI.1). Zur Beschreibung
der entsprechenden Prozesse wurden mehrere Modelle eingeführt, je nach der Entdeckung neuer
erlaubter Prozesse (Abschn. XI.2).
Trotz der sukzessiven Verbesserungen bleibt das resultierende Modell unzufriedenstellend, jetzt
aber aus theoretischen Gründen. Eine weitere Änderung des Modells ist möglich, auf Kosten der
Einführung von ein paar neuen Teilchen mit Spin 1 (Abschn. XI.3). Die Letzteren sollen aber eine
Masse haben, was wieder zu Probleme führt. . . , die sich nur in einer Theorie lösen lassen, in der die
schwache Wechselwirkung mit der QED kombiniert wird, was im nächsten Kapitel behandelt wird.
XI.1 Symmetrieverletzungen
Ein Merkmal der schwachen Wechselwirkung ist die Tatsache, dass sie viele globale Symmetrien
der QED und der QCD verletzt. Somit können Prozesse stattfinden, die im Rahmen der elektromagnetischen und starken Wechselwirkungen verboten sind.
In diesem Abschnitt werden Beispiele solcher experimentell beobachteten Symmetrie-verletzenden
Prozesse diskutiert.
XI.1.1 Verletzung der Flavour-Quantenzahlen
In der QED und der QCD sind die leichtesten Hadronen, die eine gegebene Flavour-Quantenzahl
(Strangeness, Charm, Beauty) tragen, stabil. Dies gilt auch für die geladenen Pionen — die „Upness“
oder „Downness“ tragen.
In der Natur können alle diese Teilchen aber zerfallen:
π + → µ+ + νµ
π − → µ− + ν̄µ
K + → µ+ + νµ
π+ + π0
D0 → K − + π+ + π0
..
.
Dabei werden Upness and Downness in den ersten zwei Prozessen nicht erhalten. Die zwei Zerfallskanäle des K + = us̄ verletzen die Erhaltung der Strangeness. Schließlich verletzt der Zerfall des
D0 = cū die Erhaltung des Charms — dazu wird in diesem Zerfallskanal Strangeness erzeugt.
Eine Besonderheit dieser Zerfälle ist die relativ lange Lebensdauer des zerfallenden Hadrons,
etwa 10−8 s für die geladenen Pionen, 10−10 –10−8 s für die Kaonen oder ca. 10−12 s für die Mesonen
mit Charm oder Beauty. Diese Lebensdauern sind mit den des neutralen Pions (8 × 10−17 s) oder
der durch die starke Wechselwirkung zerfallenden Teilchen (10−23 –10−21 s) zu vergleichen.
XI.1.2 Paritätsverletzung
Die Flavour-Quantenzahlen könnten als „zufällige“ Erhaltungsgrößen betrachtet werden, die interessante aber nicht tiefgreifende Symmetrien der QED und QCD widerspiegeln, und somit ohne
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
103
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
weiteres verletzt werden können. Die schwache Wechselwirkung verletzt aber noch weitere Symmetrien, anfangend mit der Symmetrie der Raumzeit unter Raumspiegelung.
XI.1.2
a Das „theta-tau Puzzle“
:::::::::::::::::::::::::::::::
Was sich später als das positiv geladene Kaon K + erwiesen hat, wurde Mitte der 1950er Jahre als
zwei unterschiedliche Teilchen identifiziert, und zwar einerseits als das „θ+ “ — mit dem Zerfallskanal
θ+ → π + + π 0 , entsprechend der Parität +1 im Endzustand —, andererseits als das „τ + “,59 das in
drei Pionen zerfallen kann — z.B. τ + → π + + π 0 + π 0 oder τ + → π + + π + + π − — entsprechend
einem Endzustand mit Parität −1, obwohl es die gleiche Masse und den gleichen Spin wie das θ+
hat.
Heutzutage ist klar geworden, dass es sich dabei um verschiedene Zerfallskanäle eines einzelnen
Teilchens mit negativer Parität handelt. Dabei ist die Parität aber in den Zerfällen in den 2-PionenKanal nicht erhalten, was in der QED oder der starken Wechselwirkung verboten ist.
Diese Identifikation des θ+ mit dem τ + wurde 1956 durch T.D.Lee and C.N.Yang vorgeschlagen,
nachdem sie gefunden hatten, dass keines der damals existierenden experimentellen Ergebnisse die
Erhaltung der Parität in schwachen Prozessen testete [41].
XI.1.2
b Das Wu-Experiment
:::::::::::::::::::::::::::::
Kurz nach dem Vorschlag von Lee & Yang, dass die Erhaltung der Parität in schwachen Prozessen systematisch experimentell geprüft werden sollte, hat C.S.Wu den Zerfall polarisierter Kobalt-60
Kerne untersucht [42].60 Dabei wurde gefunden, dass die Elektronen bevorzugt entgegen der Richtung des Kernspins J~Co , d.h. mit einem Polarwinkel θ > 90o , emittiert werden, wie in Abb. XI.1
dargestellt wird. Wenn p~e den Impuls des Elektrons im Ruhesystem des 60 Co-Kerns bezeichnet,
dann nimmt der Erwartungswert des Skalarprodukt p~e · J~Co über viele Zerfälle einen negativen Wert
an.
J~Co
p~e
θ
J~Co
60 Co
60 Co
P̂ -
p~e
Abbildung XI.1: Emissionsrichtung des Elektrons im Wu-Experiment (links) und im raumgespiegelten Prozess (rechts).
Betrachtet man den raumgespiegelten Prozess, so werden die Richtungen der Impulse der emittierten Elektronen invertiert — Impulse sind Vektoren —, während die Richtung des Kernspins
ungeändert bleibt — der Spin ist ein axialer Vektor. In diesem raumgespiegelten Experiment wären die Elektronen also vorzugsweise parallel zum Kernspin (Polarwinkel θ < 90o ) emittiert, im
Gegensatz zum echten Experiment. In der Natur findet ein solcher Prozess aber nie statt! Die eigentlichen Zerfallsraten für die links und rechts dargestellten Zerfälle — d.h. für einen Prozess und
den raumgespiegelten — sind unterschiedlich, was einer Verletzung der Parität entspricht.
Abbildung XI.2 gibt eine alternative schematische Darstellung dieses Experiments, in der die
Spins der Teilchen präzisiert werden. Im Ruhesystem des 60 Co-Kerns bleibt der Tochter-60 Ni-Kern
auch fast in Ruhe, während das Elektron und das Antineutrino in entgegengesetzte Richungen
59
60
Dieses historische τ + -Meson sollt nicht mit dem Antiteilchen zum τ -Lepton verwechselt werden.
Weitere experimentelle Details können z.B. in [43], Experiment 45, gefunden werden.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
104
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
emittiert werden. Dabei sieht man, dass das Antineutrino ν̄e wegen der Erhaltung des Drehimpulses
eine positive Helizität h = +1 hat.
Jz = 5
p~ν̄
Jz = 4
60 Co
ν̄e
60 Ni
→
6J = 1
z
2
+
e−
Jz =
1
2
p~e ?
Abbildung XI.2: Schematische Darstellung der Spinorientierungen im Wu-Experiment.
Betrachtet man dann das (Anti)Neutrino als masselos — was in diesem Experiment eine ausgezeichnete Näherung ist —, so ist die positive Helizität des Antineutrinos äquivalent zu dessen
Rechtshändigkeit (Abschn. III.3.3 c).
Falls die CP -Symmetrie gilt, sollen Neutrinos wiederum linkshändig sein, was durch Goldhaber
und seine Mitarbeiter in einem Elektroneneinfang-Experiment bestätigt wurde [44].61
XI.1.2
c Pionenzerfall
:::::::::::::::::::::
In ihrem Artikel vorschlugen Lee & Yang noch, dass eine mögliche Verletzung der Parität durch
die schwache Wechselwirkung im Zerfall des positiven Pions in ein Antimyon und das zugehörige
Neutrino beobachtet sein könnte
π + → µ+ + νµ .
(XI.1)
Im Ruhesystem des Spin-0-Pions werden die Zerfallsprodukte nämlich in entgegengesetzte Richtungen emittiert. Um den Drehimpuls zu erhalten, sollen die Spins ebenfalls in entgegengesetzten
Richtungen orientiert werden, so dass die beiden Teilchen die gleiche Helizität haben, entweder
positiv oder negativ.
Experimentell wird das Antimyon immer mit h = −1 beobachtet,62 was wieder eine Verletzung
der Parität signalisiert — wäre die Parität erhalten, so sollte das Antimyon in 50% die Helizität +1
haben.
Wiederum bedeutet die Helizität des µ+ , dass das Neutrino ebenfalls eine negative Helizität hat.
XI.1.3 Verletzung der Ladungskonjugation
Experimentell kann man auch den ladungskonjugierten Prozess zum Zerfall (XI.1) untersuchen,
und zwar den Zerfall des negativ geladenen Pions
π − → µ− + ν̄µ .
(XI.2)
Wieder müssen das Myon und das Antineutrino dieselbe Helizität haben, um den Drehimpuls zu
erhalten. Hier findet man, dass das Myon, und daher das ν̄µ , immer die Helizität +1 hat. Dies
bedeutet, dass die Endteilchen des Prozesses (XI.2) nicht den ladungskonjugierten Zustand zu denen des Zerfalls (XI.1) darstellen, weil Ĉ die Helizität eines Teilchens unverändert lässt. In diesen
Prozessen (XI.1)–(XI.2) wird (neben der Parität) die Ladungskonjugation also verletzt.
Dagegen findet man, dass die Pionenzerfälle (XI.1) und (XI.2) Ĉ P̂ -konjugiert zueinander sind.
)
XI.1.4 CP -Verletzung
später
XI.1.5 Zeitumkehrverletzung
61
Vgl. auch Experiment 49 in [43].
Genauer deutet die Winkelwerteilung des im Zerfall des Antimyons erzeugten Positrons auf die Polarisation des
Antimyons entlang dessen Flugrichtung hin [45, 46].
62
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
105
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
XI.2 Phänomenologische Modelle
In diesem Abschnitt werden einige wichtige Modelle dargestellt, die zur Beschreibung der schwachen Prozesse entwickelt wurden.
XI.2.1 Fermi-Modell
Ursprünglich wurde die schwache Wechselwirkung eingeführt, um den β-Zerfall des Neutrons
n → p + e− + ν̄e
(XI.3)
zu beschreiben. Zu diesem Zweck hat Fermi 1933 ein Modell entwickelt [47], beruhend (in moderner
Formulierung) auf der Lagrange-Dichte
(XI.4)
L̂Fermi = −G0 ψ̄ˆ γ ρ ψ̂ ψ̄ˆ γ ψ̂ + ψ̄ˆ γ ρ ψ̂ ψ̄ˆ γ ψ̂ .
I
F
p
n
e ρ νe
n
p
νe ρ e
Dabei sind ψ̂n , ψ̂p , ψ̂e , ψ̂νe Dirac-Feldoperatoren und ψ̄ˆn , ψ̄ˆp , ψ̄ˆe , ψ̄ˆνe die dazu Dirac-adjungierten
Felder. Die Kopplungskonstante für die Wechselwirkung dieser Feldoperatoren ist G0F ' 0, 974GF ≈
GF , mit GF ' 1, 166 × 10−5 GeV−2 der Fermi-Kopplungskonstante.63
Wendet man dieses Modell auf Quarks an, statt auf Nukleonen, so schreibt man
(XI.5)
L̂Fermi = −G0 ψ̄ˆ γ ρ ψ̂ ψ̄ˆ γ ψ̂ + ψ̄ˆ γ ρ ψ̂ ψ̄ˆ γ ψ̂ ,
I
F
u
d
e ρ νe
d
u
νe ρ e
mit ψ̂d , ψ̂u den Feldoperatoren für d und u Quarks. Dementsprechend lautet der Prozess, der dem
Zerfall (XI.3) unterliegt
d → u + e− + ν̄e .
(XI.6)
Der Wechselwirkungsterm (XI.5) führt zu den zwei Vier-Fermionen-Vertices der Abb. XI.3. Dabei kann man nachprüfen, dass die elektrische Ladung an den Vertices erhalten ist.
νe
d
u
e−
und
u
νe
d
e−
Abbildung XI.3: Vertices im Fermi-Modell (XI.5).
Dieses Modell war revolutionär, weil es auf der Idee beruhte, dass das Elektron und das Neutrino
„entstehen“ können, statt vor dem Zerfall schon im Neutron vorhanden zu sein.64 Dazu sagte das
Fermi-Modell zwei neue Prozesse vorher, und zwar den β + -Zerfall (p → n + e+ + νe , mit p einem
in einem Atomkern gebundenen Proton) und den Elektroneneinfang (p + e− → n + νe ), die kurz
darauf entdeckt wurden.
Bemerkungen:
∗ Dieses Modell wird oft als eine Theorie geladener vektorieller Ströme bezeichnet. Es beschreibt
ρ
nämlich die Kopplung von Viererströmen der Art ̂ki
≡ ψ̄ˆk γ ρ ψ̂i
ρ
ρ
σ
L̂Fermi
= −G0F ̂ud
ηρσ ̂eν
+ ̂du
ηρσ ̂νσe e ,
I
e
wobei jeder Strom ein Lorentz-Vektor ist, der an einem Vertex seine elektrische Ladung ändert.65
∗ In den Lagrange-Dichten (XI.4) oder (XI.5) ist der zweite Term hermitesch konjugiert zum ersten.
63
Der Unterschied zwischen der eigentlichen Fermi-Konstante GF und der Kopplungskonstante in Gl. (XI.4), (XI.5)
und (XI.7) wird in Abschn. XI.2.3 weiter diskutiert.
64
Dabei betrachtete Fermi das zerfallende Neutron und das emittierte Proton als die zwei „inneren Quantenzustände“ des Nukleons.
65
Im Gegensatz dazu transportiert der vektorielle Viererstrom ψ̄ˆi γ µ ψ̂i , der in der QED mit dem Photon wechselwirkt
[Gl. (IX.4)], das gleiche Teilchen vor und nach einem Vertex, so dass dessen elektrische Ladung ungeändert bleibt:
dabei handelt es sich um einen neutralen Strom.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
106
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Im Fermi-Modell bleibt die Parität erhalten. Daher ist eine neue Beschreibung der schwachen
Wechselwirkung nötig, um die Phänomene des Abschn. XI.1.2 beschreiben zu können.
XI.2.2 V −A-Modell
Kurz nach der Entdeckung der Paritätsverletzung haben Feynman & Gell-Mann einerseits und
Sudarshan & Marshak andererseits das Fermi-Modell modifiziert gemäß [48, 49]66
i
ˆ
G0F h ˆ ρ
ˆ γ ρ 1 − γ ψ̂ ψ̄ˆ γ 1 − γ ψ̂ .
√
L̂V−A
ψ̄
γ
1
−
γ
ψ̂
ψ̄
γ
1
−
γ
ψ̂
+
ψ̄
=
−
u
5
e
ρ
5
ν
5
u
ν
ρ
5
e
d
d
e
e
I
2
(XI.7a)
Wie im Fermi-Modell gibt diese Lagrange-Dichte vier-Fermionen-Vertices, wobei der Beitrag eines
gegebenen Vertex zu einer Amplitude natürlich unterschiedlich von dem aus Gl. (XI.5) folgenden
Beitrag ist.
Bemerkung: Bei diesem Modell handelt es sich wieder um eine Theorie geladener Ströme. Dabei
hat man aber zwei Arten von Viererströmen, und zwar zum einen vektorielle Ströme ψ̄ˆk γ ρ ψ̂i und zum
anderen pseudovektorielle Ströme ψ̄ˆk γ ρ γ5 ψ̂i , woher die Bezeichnung V −A (Vektor − Axialvektor)
kommt.
Definiert man (vgl. Abschn. III.3.3 b) linkshändige Spinoren durch ψ̂i,L ≡ PL ψ̂i , so kann die
Lagrange-Dichte des V −A-Modells noch nur diese Spinoren ausgedrückt werden
√ 0 ˆ
=
−2
L̂V−A
2 GF ψ̄u,L γ ρ ψ̂d,L ψ̄ˆe,L γρ ψ̂νe ,L + ψ̄ˆd,L γ ρ ψ̂u,L ψ̄ˆνe ,L γρ ψ̂e,L .
(XI.7b)
I
Diese Form des Wechselwirkungsterms wird oft interpretiert, als ob die schwache Wechselwirkung
nur die linkshändigen Anteile der Teilchen bzw. die rechtshändigen Anteile der Antiteilchen (kurz:
„linkshändige Teilchen“ bzw. „rechtshändige Antiteilchen“) miteinander koppelte.
Da die Neutrinos nur über die schwache Wechselwirkung wechselwirken, spielen nur linkshändige
Neutrinos bzw. rechtshändige Antineutrinos eine physikalische Rolle in Wechselwirkungen. Daher
sagt man, dass Neutrinos immer linkshändig und Antineutrinos immer rechtshändig sind.
In der Bewegung eines freien Teilchens ist sein Chiralität nur dann erhalten, wenn das Teilchen
masselos ist — die Chiralität stimmt dann mit der Helizität überein, die bei freien Teilchen
erhalten bleibt. Sind Neutrinos masselos, so kommen sie wirklich nur mit immer derselben
Chiralität vor. Haben sie aber eine Masse, dann existieren auch „rechtshändige Neutrinos“, die
aber nicht an den bekannten Wechselwirkungen — außerhalb der Gravitation — teilnehmen.
XI.2.3 Flavour-Mischung im V −A-Modell
Bisher wurden nur die Terme im Wechselwirkungsterm der Lagrange-Dichte berücksichtigt, die
den u/d-Quark-Viererstrom mit dem e−/νe -Viererstrom koppeln. Dadurch können nur die wenigen
Prozesse zwischen den entsprechenden Teilchen beschrieben werden.
Um weitere Prozesse zu beschreiben, insbesondere solche, die zur Verletzung der Seltsamkeit, des
Charms oder der Beauty führen, sollen zuerst die geeigneten Terme in die Lagrange-Dichte des V −AModells eingeführt werden. Beispielsweise erfordert das Modellieren der Zerfälle µ− → e− + νµ + ν̄e ,
π + → µ+ + νµ und K + → µ+ + νµ die Einführung einerseits von zwei zusätzlichen Strömen
ψ̄ˆνµ ,L γ ρ ψ̂µ,L und ψ̄ˆu,L γ ρ ψ̂s,L , und andererseits von drei Termen, die den µ−/νµ -Viererstrom mit dem
e−/νe -Viererstrom, dem u/d-Quark-Viererstrom oder dem u/s-Quark-Viererstrom koppeln, wie z.B.
√
(XI.8)
L̂V−A
= −2 2 GF ψ̄ˆνµ ,L γ ρ ψ̂µ,L ψ̄ˆe,L γρ ψ̂νe ,L + ψ̄ˆµ,L γ ρ ψ̂νµ ,L ψ̄ˆνe ,L γρ ψ̂e,L
I
für den Myon-Zerfall. Dabei weicht aber die Kopplungskonstante von derjenigen im Wechselwirkungsterm (XI.7b).
66
In diesen Artikeln weicht die Definition von γ5 von Gl. (III.13) ab.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
107
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Somit stellt sich die Frage der Stärke der Kopplung zwischen den neu eingeführten Strömen.
Ist diese Kopplung universell, bis auf vielleicht der Einführung von für jeden Strom spezifischen
„Ladungen“, ähnlich den elektrischen Ladungen Qi in der QED [Gl. (IX.4)]? In diesem Fall weist
der Vergleich der Wechselwirkungsterme (XI.7b) und (XI.8) z.B. darauf hin, dass der Quark-Strom
ψ̄ˆu,L γ ρ ψ̂d,L mit einer Ladung kommt, die 0,974 mal der Ladung des leptonischen Stroms ψ̄ˆνµ ,L γ ρ ψ̂µ,L
beträgt. Oder soll für jeden Wechselwirkungsterm zwischen zwei Strömen eine neue Kopplungskonstante eingeführt werden? Im letzteren Fall würde die Anzahl der Kopplungskonstanten, die freie
Parameter des Modells sind, quadratisch mit der Anzahl der Ströme wachsen, während im ersteren
Fall die Anzahl der freien Parameter maximal linear in der Anzahl der Ströme wäre, was schon ein
viel einfacheres Modell ergeben würde.
Experimentell hat sich erwiesen, dass die Kopplung und somit die schwache Wechselwirkung
zwischen geladenen Strömen universell ist. Dabei tragen die geladenen `−/ν` -Ströme der Leptonen
(`− = e− , µ− oder τ − ) alle die gleiche Ladung, die als 1 angenommen werden kann. Dagegen sind
die Ladungen, getragen durch die geladenen qf1 /qf2 -Ströme der Quarks, mit qf1 = u, c oder t und
qf2 = d, s oder b, nicht so einfach. Betrachtet man aber geladene Ströme, die der Umwandlung
von positiv elektrisch geladenen Quarks (Typ qf1 ) in geeignete Linearkombinationen qf0 2 der negativ
geladenen Quarks (Typ qf2 ) entsprechen, so erhält man geladene Ströme, die ebenfalls eine Ladung
1 bezüglich der schwachen Wechselwirkung tragen.
Diese Idee wird hiernach mehr detailliert dargestellt. Der Einfachheit halber werden in diesem
Abschnitt nur die u, d, s und c Quarks einerseits und andererseits nur die zwei leichtesten geladenen
Leptonen e− und µ− mit den zugehörigen Neutrinos berücksichtigt, bis auf bei der Einführung der
Lepton- und Quark-Dubletts (XI.9) und (XI.12). Die Verallgemeinerung auf alle Quark-Flavours
bzw. Arten von Leptonen wird in späteren Kapiteln diskutiert.
XI.2.3
a Fermionen-Generationen
::::::::::::::::::::::::::::::::
Die bekannten Fermionen werden traditionell drei Generationen zugeordnet, wobei jede Generation aus zwei Leptonen und zwei Quark-Flavours besteht. Darüber hinaus wird es sich als günstig
erweisen, die Leptonen einer Generation — und zwar ein elektrisch geladenes Lepton und das zugehörige Neutrino — als ein Lepton-Dublett zu schreiben:
!
!
!
νe
νµ
ντ
L1 ≡
,
L2 ≡
,
L3 ≡
,
(XI.9a)
e−
µ−
τ−
wobei die elektrisch neutralen in der ersten Komponente und die geladenen (mit Q = −1) in der
zweiten Komponente vorkommen. In ähnlicher Weise bilden die Quarks einer Generation — eines
des „u-Typs“, d.h. mit elektrischer Ladung + 23 , und eines des „d-Typs“ mit elektrischer Ladung − 13
entsprechende Quark-Dubletts
!
!
!
u
c
t
Q1 ≡
,
Q2 ≡
,
Q3 ≡
,
(XI.9b)
d
s
b
mit den positiv bzw. negativ geladenen Quarks in den ersten bzw. zweiten Komponente.
Es seien L̂i , Q̂i die entsprechenden Feldoperatoren und L̂i,L , Q̂i,L die zugehörigen linkshändigen
Anteile, wie z.B.
!
!
ψ̂u,L
ψ̂νe ,L
L̂1,L ≡
,
Q̂1,L ≡
.
ψ̂e,L
ψ̂d,L
Unter Verwendung dieser Dubletts lässt sich die Lagrange-Dichte (XI.8) des V −A-Modells für die
schwachen Prozesse zwischen den leptonischen µ−/νµ - und e−/νe -Viererströmen schreiben als
"
!
!
!
!
#
√
0
γ
0
0
0
0
0
γ
ρ
ρ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
L̂V−A
= −2 2 GF L̄
L̂2,L L̄
L̂1,L + L̄
L̂2,L L̄
L̂1,L .
2,L
1,L
2,L
1,L
I
0 0
γρ 0
γρ 0
0 0
(XI.10)
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
108
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Wiederum ist die Lagrange-Dichte (XI.7b) für schwache Prozesse zwischen Quarks und Leptonen
der ersten Generation äquivalent zu
"
!
!
!
!
#
√
0
γ
0
0
0
0
0
γ
ρ
ρ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
L̂V−A
= −2 2 G0F Q̄
Q̂1,L L̄
L̂1,L + Q̄
Q̂1,L L̄
L̂1,L ,
1,L
1,L
1,L
1,L
I
0 0
γρ 0
γρ 0
0 0
(XI.11)
wie sich einfach nachprüfen lässt.
Die Frage jetzt ist, wie diese Lagrange-Dichten verallgemeinert werden, wenn zusätzliche Kopplungen zwischen Dubletts eingeführt werden.
XI.2.3
b Cabibbo-Winkel
:::::::::::::::::::::::::
Eine überraschende experimentelle Entdeckung ist, dass die anscheinend „natürlichen“ QuarkDubletts (XI.9b) — bestehend je aus zwei Teilchen mit bestimmten Massen — bezüglich der schwachen Wechselwirkung nicht optimal sind. Um geladene Quark-Viererströme zu bilden, die einfach
miteinander oder mit den geladenen Leptonen-Strömen wechselwirken, sollte man die unteren Komponenten der Dubletts, d.h. Quarks des d-Typs, durch Linearkombinationen davon ersetzen
!
!
!
u
c
t
Q01 ≡
,
Q02 ≡
,
Q03 ≡ 0 .
(XI.12)
d0
s0
b
Betrachtet man momentan nur zwei Generationen,67 so können d0 und s0 durch die d und s Quarks
mithilfe einer Mischungsmatrix ausgedrückt werden:
!
! !
! !
d0
Vud Vus
d
cos θC sin θC
d
=
≡
.
(XI.13)
s0
Vcd Vcs
s
− sin θC cos θC
s
Dabei wird θC als Cabibbo-Winkel bezeichnet.
Bemerkung: In Gl. (XI.12) und (XI.13) wurde die gewöhnliche Schreibweise benutzt, die die Mischung auf der Ebene der Teilchen darstellt. Tatsächlich handelt es sich um eine Mischung deren
Feldoperatoren, und die Freiheitsgrade d0 , s0 , b0 entsprechen Operatoren ψ̂d0 , ψ̂s0 , ψ̂b0 , die Linearkombinationen der Operatoren ψ̂d , ψ̂s , ψ̂b sind.
Mit diesen neuen Dubletts, und ohne Änderung der Lepton-Dubletts, lässt sich die LagrangeDichte (XI.11) verallgemeinern auf
!
!
X
√
0 0
0 γρ
V−A
0
ˆ
ˆ
D̄L ρ
D̂L D̄L
L̂I
= −2 2 GF
D̂L0 ,
(XI.14)
γ
0
0
0
0
DL ,DL
wobei die Summe über alle Dubletts D, D0 ∈ {Q01 , Q02 , L1 , L2 } läuft, die alle mit der gleichen Stärke
miteinander koppeln — vergleicht man diese Lagrange-Dichte mit der der QED, Gl. (IX.4), so tritt
kein Analogon der elektrischen Ladungen auf.
Experimentell beträgt der gemessene Wert des Cabibbo-Winkels etwa θC ≈ 13o , entsprechend
|Vus | = 0, 2252 ± 0, 0009.
Sei zunächst bemerkt das rein leptonische Prozesse, wie der Zerfall µ− → e− + νµ + ν̄e , nur die
Lepton-Dubletts L1 und L2 in Gl. (XI.14) hineinziehen, so dass der Cabibbo-Winkel dabei keine
Rolle spielt.
Als erstes nicht-triviales Anwendungsbeispiel der verallgemeinerten Lagrange-Dichte (XI.14)
kann man den Term für die Kopplung zwischen den u- und d-Quarks, dem Elektron e− und dessen√Neutrino νe in der Lagrange-Dichte
(XI.14) explizit schreiben. Der zugehörige Koeffizient ist
√
−2 2 GF cos θC , der mit −2 2 G0F in Gl. (XI.7b) zu vergleichen ist. Dank dem Wert von θC , der
cos θC ≈ 0, 974 gibt, findet man eigentlich das gleiche Ergebnis wieder.
67
Die Verallgemeinerung auf drei Generationen wird in Abschn. XII.5.3 unten diskutiert.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
109
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
π+
µ−
¯
d u p~1 ,σ1 6
p~2 ,σ2 ν̄µ
I
@
@
p
~3 ,σ3
6
p~, σ
d¯s
K̄ 0
Abbildung XI.4: Darstellung des Zerfalls K̄ 0 → π + + µ− + ν̄µ .
Ein zweites Beispiel ist der Zerfall K̄ 0 → π + + µ− + ν̄µ (Abb. XI.4). Dieser Prozess wird durch
den Term in der Summe von Gl. (XI.14) beschrieben, der den Strom für ein einlaufendes s-Quark
(ψ̂s ) und ein auslaufendes u-Quark (ψ̄ˆu ) mit dem Strom für ein auslaufendes Myon (ψ̄ˆµ ) und ein
auslaufendes Antineutrino (ψ̂νµ ) koppelt. Der fermionische Strom entspricht trivial dem Dublett L2
der zweiten Generation. Für die Quarks tritt das u-Quark nur im Dublett Q01 auf. Somit wird der
Zerfall beschrieben durch den Term
!
!
√
√
0
0
0
γ
ρ
ˆ0
ˆ
−2 2 GF L̄
L̂2,L Q̄
Q̂01,L = −2 2 GF ψ̄ˆµ,L γ ρ ψ̂νµ ,L ψ̄ˆu,L γρ ψ̂d0 ,L
2,L
1,L
ρ
γ 0
0 0
√
= −2 2 G sin θ ψ̄ˆ γ ρ ψ̂
ψ̄ˆ γ ψ̂ .
F
C
µ,L
νµ ,L u,L ρ s,L
Die Kopplung ist hier proportional zu sin θC ≈ 0, 225.
Nach Anwendungen der Feynman-Regeln des Kapitels VIII liefert dieser Term die Amplitude
i
p1 , σ1 )γ ρ (1 − γ5 )u(~
p, σ) ū(~
p3 , σ3 )γρ (1 − γ5 )v(~
p2 , σ2 ),
M = − √ GF sin θC ū(~
2
mit p~, σ dem Impuls und der Helizität des einlaufenden s-Quarks, während die Indices 1, 2, 3 sich
jeweils auf die auslaufenden u-Quark, Myon und ν̄µ beziehen. Unabhängig von den Werten der
Impulse wird der Betragsquadrat jener Amplitude proportional zu sin2 θC ≈ 0, 05 sein.
XI.2.4 Neutrale Ströme
Die Lagrange-Dichte (XI.14) beschreibt nur Wechselwirkungen zwischen geladenen Strömen der
Art ψ̄ˆk γ ρ (1 − γ5 )ψ̂i mit k 6= i, wobei die Teilchen i und k unterschiedliche elektrische Ladungen
tragen. Theoretische Überlegungen, die unten in Abschn. XI.3.2 kurz erläutert werden, haben zur
Vorhersage geführt, dass die schwache Wechselwirkung noch weitere Prozesse zwischen neutralen
Strömen — und zwar Linearkombinationen von ψ̄ˆi γ ρ ψ̂i und ψ̄ˆi γ ρ γ5 ψ̂i — enthält.
Diese schwachen neutralen Ströme besitzen aber nicht die V −A-Struktur der geladenen Ströme.
Sie sind nämlich der Art
ψ̄ˆi cV γ ρ − cA γ ρ γ5 ψ̂i ,
mit im Allgemeinen cV 6= cA , wobei die beiden Koeffizienten von der Teilchenspezies i abhängen —
genauer findet man experimentell, dass sie nur von der elektrischen Ladung des Teilchens abhängen.
Dd
Dd
Du
u
Bezeichnet man als cD
V und cA bzw. cV und cA die zwei Koeffizienten für die obere bzw. untere
0
0
Komponente eines Dubletts D ∈ {Q1 , Q2 , L1 , L2 }, so kann man einen neutralen Strom68
!
Du
1 ρ Du
X
γ
(c
−c
γ
)
0
5
V
A
ˆ 2
D̂
(XI.15a)
(̂ NC )ρ ≡
D̄
Dd
1 ρ Dd
0
2 γ (cV −cA γ5 )
D
bilden. Dann lautet der Beitrag der neutralen Ströme zur Lagrange-Dichte der schwachen Wechsel68
NC und CC stehen jeweils für neutral current und charged current.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
110
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
wirkung
√
= −2 2 GF (̂ NC )ρ (̂ NC )ρ .
L̂NC
I
(XI.15b)
Zum Vergleich lässt sich der Anteil (XI.14) der geladenen Ströme umschreiben als
√
L̂CC
= −2 2 GF (̂ CC )ρ (̂ CC )†ρ ,
I
(XI.16a)
mit dem geladenen Strom68
(̂ CC )ρ ≡
X
D
!
0
ˆ
D̄
D̂,
1 ρ
2 γ (14 −γ5 ) 0
0
(̂ CC )†ρ =
X
D
ˆ 0
D̄
0
!
1
2 γρ (14 −γ5 )
0
D̂.
(XI.16b)
Die schwache Wechselwirkung neutraler Ströme wurde 1973 am CERN entdeckt, und zwar in
der Untersuchung elastischer Streuprozesse ν̄µ + e− → ν̄µ + e− , in den weder geladene Ströme noch
die elektromagnetische oder starke Wechselwirkungen eine Rolle spielen.
Bemerkungen:
∗ Für Neutrinos νe , νµ und ντ gilt cV = cA . Somit spielen auch bei neutralen Strömen nur die
linkshändigen Anteile von Neutrinos eine Rolle.
∗ Der neutrale Strom (XI.15a) ist eine Summe von Termen, die jeweils nur ein einziges Dublett
involvieren, statt unterschiedliche Dubletts miteinander zu mischen. Dementsprechend kann der
Wechselwirkungsterm (XI.15b) den Flavour eines Quarks bzw. die Art eines Leptons nicht ändern.
Diese bisher experimentell bestätigte Tatsache wird als die Abwesenheit von Flavour-ändernden
neutralen Strömen bezeichnet.69
XI.3 Vektorbosonen der schwachen Wechselwirkung
Trotz seiner Erfolge leidet das Modell bestehend aus der Summe der Lagrange-Dichten (XI.15)
und (XI.16) — d.h. umfassend einerseits das V − A-Modell für geladene Ströme und andererseits
die neutralen Ströme — unter einigen gravierenden theoretischen Problemen. In diesem Abschnitt
wird eines dieser Probleme dargestellt, sowie eine mögliche zugehörige Lösung.
XI.3.1 Unitaritätsgrenze
In alle phänomenologischen Modelle des vorigen Abschnitts wird die Fermi-Konstante GF hineingezogen. Im Gegensatz zu den Kopplungskonstanten der QED und der QCD ist diese Konstante
nicht dimensionslos. Dementsprechend ist das Verhalten von Wirkungsquerschnitten bei hoher Energie unterschiedlich, wie sich mithilfe dimensionaler Analyse argumentieren lässt.
Beispielsweise kann man zunächst die elastische Streuung eines Elektrons und eines Myons in
der QED, oder äquivalent die elastische Streuung von zwei Quarks in der QCD betrachten. Der
totale Wirkungsquerschnitt σtot für den Prozess hat die dimension einer Fläche, d.h. in natürlichen
Einheiten [σtot ] = [E −2 ].
√
Ist die Schwerpunktsenergie s solcher Prozesse viel größer als die Massen der beteiligten Teilchen, so spielen die Letzteren keine Rolle, so dass die einzige relevante Energieskala für den Prozess
√
√
genau s ist. Dann lässt sich σtot durch s, die geeignete Kopplungskonstante e bzw. gs — zur
vierten Potenz, da die Amplitude zur niedrigsten Ordnung schon zwei Vertices enthält — und ein
paar hier unwesentliche numerische Faktoren ausdrücken. Um die passende Dimension zu erhalten,
ist eine einzige Kombination möglich, und zwar z.B.
e4
α2
σtot (e− + µ− → e− + µ− ) ∝ √ 2 ∝ em ,
s
( s)
(XI.17)
entsprechend dem Verhalten der Rutherford-Formel (IX.13) oder des Wirkungsquerschnitts (IX.15).
69
Auf English spricht man von „flavor-changing neutral currents“, kurz FCNC.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
111
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Betrachtet man jetzt den totalen Wirkungsquerschnitt für einen schwachen Prozess wie die
√
elastische Streuung ν̄e + e− → ν̄µ + µ− , so sollen für s mµ die Massen der Teilchen nicht im
Ausdruck für σtot auftauchen. Zur niedrigsten Ordnung in Störungsrechnung ist die Amplitude für
den Prozess proportional zu GF , so dass der Wirkungsquerschnitt proportional zu G2F ist. Damit
σtot die passende Dimension hat, soll G2F — Dimension [E −4 ] — noch mit dem Quadrat einer
Energie multipliziert werden, d.h.
√
(XI.18)
σtot (ν̄e +e− → ν̄µ +µ− ) ∝ G2F ( s)2 .
Ein solches Verhalten — der Wirkungsquerschnitt kann im Limes hoher Energien unendlich groß
werden — kann aber nicht realisiert werden. Der Wirkungsquerschnitt ist nämlich mit der Amplitude
verknüpft, und die Letztere ist proportional zu einem Streumatrixelement Sfi , das beschränkt bleiben
soll, weil die Streumatrix unitär ist. Somit würde das Wachstum (XI.18) die Unitarität der Theorie
verletzen — d.h. würde zu Wahrscheinlichkeiten größer als 1 führen —, was offensichtlich nicht
richtig ist.
XI.3.2 Schwache Bosonen
Eine sehr elegante Lösung zum Problem des Wachstums der Wirkungsquerschnitte in Modellen
mit 4-Fermionen-Vertices beruht auf der Einführung von neuen, massiven Vektorteilchen, und zwar
die sog. W + -, W − , und Z 0 -Bosonen. Mit deren Hilfe kann ein 4-Fermionen-Vertex durch zwei
Vertices mit je zwei Fermionen und einem Boson ersetzt werden. Somit entspricht der Streuprozess
ν̄e + e− → ν̄µ + µ− den zwei sukzessiven Schritten
ν̄e + e− → W − → ν̄µ + µ− ,
wie in Abb. XI.5 dargestellt wird. Die geladenen Ströme ψ̄ˆνe ,L γ ρ ψ̂e,L -und ψ̄ˆµ,L γ σ ψ̂νµ ,L wechselwirken
ν̄µ
µ−
ν̄µ
µ−
→
e−
W−
ν̄e
ν̄e
e−
−
Abbildung XI.5: Einführung des W -Bosons.
also nicht direkt miteinander, sondern über den Austausch eines W − -Bosons, wobei der Lorentz√
Quadrat des Viererimpulses q des W − gleich ( s)2 ist.
Sei mW die Masse des W ± -Bosons und gw die Kopplungskonstante assoziert mit dem neuen
Vertex. Dazu wird angenommen, dass die zwei Vertices des rechten Diagramms in Abb. XI.5 einen
Faktor 21 liefern.70 Unter Nutzung des Propagators (VIII.2c) für das massive Vektorboson, wobei
hier q2 = s gilt, lautet die Amplitude für das Diagramm
2
−iηρσ ˆ
1
−gw
σ
i ψ̄ˆνe ,L (igw γ ρ )ψ̂e,L
ψ̄
(ig
γ
)
ψ̂
=
ψ̄ˆν ,L γ ρ ψ̂e,L ψ̄ˆµ,L γρ ψ̂νµ ,L .
w
µ,L
ν
,L
µ
2
s − m2w
2(s − m2w ) e
√
Für Schwerpunktsenergien s mW reduziert sich die linke Seite auf
2
gw
ψ̄ˆν ,L γ ρ ψ̂e,L ψ̄ˆµ,L γρ ψ̂νµ ,L ,
2m2W e
entsprechend der Amplitude für das linke
√ Diagramm in Abb. XI.5 folgend aus Gl. (XI.16), voraus2 /2m2 mit 2 2 G identifiziert wird.
gesetzt das Verhältnis gw
F
W
70
Dieser Faktor wird im nächsten Kapitel genauer eingeführt.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
112
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Diese Beobachtung deutet darauf hin, dass das V −A-Modell tatsächlich den niederenergetischen
Limes eines Modells mit den W − - und W + -Bosonen darstellt, das nur für Energien kleiner als die
Masse mW gilt. Dementsprechend ist die durch Gl. (XI.15) beschriebene schwache Wechselwirkung
zwischen neutralen Strömen in der Tat der niederenergetische Limes eines Modells, in dem die
Wechselwirkung durch das elektrisch neutrale Z 0 -Boson vermittelt wird.
√
2 = 2 2 G m2 ist die Kopplungskonstante g jetzt dimensionslos. Bei
Dank der Beziehung gw
w
F W
√
hohen Energien s mW wird der Wirkungsquerschnitt für den Prozess ν̄e + e− → ν̄µ + µ− somit
4 /s2 , ähnlich wie in Gl. (XI.17), und daher fallend mit √s, statt wachsend wie im
proportional zu gw
Fall eines 4-Fermionen-Vertex.
Literatur
• Cottingham & Greenwood [50], Kap. 9.
• Griffiths [15], Kap. 9.
• Halzen & Martin [28], Kap. 12.
• Nachtmann [13], Kap. 21.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
113
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
XII. Elektroschwaches Standardmodell
Im vorigen Kapitel wurden unterschiedliche Modelle der Schwachen Wechselwirkung diskutiert, entsprechend sukzessiven Verfeinerungen, um experimentelle Daten zu beschreiben. Trotz deren Nützlichkeit besitzen diese phänomenologischen Modelle aber viele unerklärten Parameter und beruhen
nicht auf einem einfachen Prinzip wie die QED und die QCD.
In Abschn. XII.1 wird argumentiert, dass ein solches grundlegendes Prinzip — die Invarianz
der Theorie unter lokalen Symmetrien — tatsächlich notwendig ist, damit die Theorie wohldefiniert
ist. Diese Forderung fungiert somit als Auswahlskriterium für mögliche Theorien. In Abschn. XII.2
wird dann ein passendes Modell eingeführt, das sowohl die schwache Wechselwirkung als auch die
QED und die QCD umfasst, wobei die zwei Ersteren zu einer elektroschwachen Wechselwirkung
vereinheitlicht werden. Die folgenden Abschnitte befassen sich dann mit Vorhersagen im Rahmen
dieses Modells, und zwar im Higgs-Sektor (Abschn. XII.3), im Eichbosonen-Sektor (Abschn. XII.4)
und schließlich im Fermionen-Sektor (Abschn. XII.5).
XII.1 Eichtheorien
Die Wechselwirkungen des Standardmodells entsprechend Theorien mit Invarianz unter lokalen
Transformationen, sog. Eichtransformationen. Dies gewährleistet die Renormierbarkeit der Theorie,
schränkt aber die möglichen Terme ein, die in der Theorie auftreten können.
XII.1.1 Notwendigkeit nach Renormierbarkeit
Die in Teil B eingeführte Berechnung der Zerfallsraten oder Wechselwirkungen beruht auf Störungsrechnung, wobei bisher nur der Beitrag der niedrigsten Ordnung, entsprechend den einfachsten
Feynman-Diagrammen, berücksichtigt wurde. Eine wichtige Frage ist dann natürlich, ob die höhere
Ordnungen der Störungstheorie klein gegen die niedrigste Ordnung sind, damit der störungsrechnerische Ansatz überhaupt Sinn macht.
Um diese Frage zu beantworten, kann man als Beispiel einen zwei-nach-zwei-Streuprozess in
der QED betrachten, mit zwei Fermionen im Anfangs- und zwei Fermionen im Endzustand. Das
Feynman-Diagramm für die niedrigste Ordnung in Störungsrechnung — das sog. „Baum-Niveau“,
entsprechend der baumartigen Topologie des Diagramms — und eines der Diagramme für die nächste
Ordnung — hier mit einer einzigen Fermionen-Schleife — werden in Abb. XII.1 dargestellt.
k
q- ν
µ
(1)
(2)
Abbildung XII.1: „Baum-Niveau“ (1) und 1-Schleifen-Niveau (2) für einen 2-nach-2-Streuprozess.
Im Vergleich zur Amplitude für das Baum-Niveau (1) lautet die Größenordnung der Amplitude
entsprechend dem Feynman-Diagramm (2):
gc
a
M(2) ∼ M(1) ∗
k
q- µ
a
•ν
Die Anwendung der Feynman-Regeln (Kap. VIII) gibt
4
Z
i e2
i(6 k + m) ν i(6 q+ 6 k + m)
d k
M(2) ∼ M(1) ∗ 2 Tr iγ µ 2
iγ
,
q
k − m2
(q + k)2 − m2 (2π)4
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
114
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
mit m der Masse des Fermions in der Schleife. Der globale Faktor i (Regel Æ) wurde nicht explizit
eingeführt, weil es schon in der Amplitude M(1)auftritt. Die Formeln (III.8)–(III.10) zusammen
mit Tr γ µ γ ρ γ ν γ σ = 4 η µρ η νσ − η µν η ρσ + η µσ η ρν liefern
Z
−4ie2 k µ q ν + k ν q µ + 2k µ k ν − η µν (k · q + k2 − m2 ) d4 k
M(2) ∼ M(1) ∗
q2
(k2 − m2 )[(q + k)2 − m2 ]
(2π)4
Das Integral im rechten Glied ist tatsächlich divergent, und zwar auf zwei Weisen:
q
p
2
2
~
• „Auf der Massenschale“: für k0 = ± k + m und k0 = −q0 ± (~q + ~k) 2 + m2 verschwindet
der Nenner.
Diese Divergenz lässt sich aber unter Verwendung einer genaueren Definition der Propagatoren
vermeiden: fügt man einen Term iε im Nenner hinzu, wobei ε = 0+ ein infinitesimal kleiner
positiver Parameter ist, so erhält man, wie es mit diesen Polen umgegangen wird.
• „Ultraviolett-Divergenz“: für große Werte von |~k| ist das Integral ebenfalls divergent.
Der letzte Teil des Zählers im Integranden lässt sich in der Tat wie folgt umformen:
k · q + k2 − m2 = k2 + 12 (q + k)2 − q2 − k2 − m2 = 21 (k2 − m2 ) + 12 (q + k)2 − m2 − 12 q2 .
Daher enthält das Integral einen Anteil
Z
Z
d4 k
q2
1
d4 k
1
µν
−
,
−η
k2 − m2 (2π)4
2 (k2 − m2 )[(q + k)2 − m2 ] (2π)4
wobei ein Beitrag mithilfe der Substitution q + k → k umgeschrieben wurde. Das erste Integral ist quadratisch divergent (d.h. ∝ Λ2 , mit Λ der oberen Grenze des Integrals, die gegen
unendlich gehen soll), das zweite logarithmisch divergent (d.h. ∝ ln Λ).
Die durch die höheren Ordnungen bedingten Korrekturen scheinen also im Allgemeinen nicht
klein, sondern gar unendlich zu sein, was katastrophal aussieht. In diesem Fall wäre Störungsrechnung tatsächlich ganz unbrauchbar.
Tatsächlich existieren Klassen von sog. renormierbaren Theorien, in denen sich alle solche Divergenzen kürzen — Ordnung für Ordnung in Störungsrechnung —, wenn man Beziehungen zwischen
physikalisch messbaren Größen betrachtet. In solchen Theorien kann man also sinnvoll Störungsrechnung durchführen und dabei endliche Ergebnisse erhalten.
Somit kann man die Argumentation herumdrehen, und vom Anfang an erfordern, dass die Theorie renormierbar — und damit wohldefiniert — sein soll.
XII.1.2 Eichinvarianz
In der Quantenfeldtheorie zeigt man, dass die folgenden Bedingungen hinreichend sind, damit
eine Theorie renormierbar ist
• die Lagrange-Dichten für die Vektorfelder — in der uns bekannten Elementarteilchenphysik
handelt es sich um die Photonen, Gluonen, W ± - und Z 0 -Bosonen — sollen eichinvariant sein;
• die Lagrange-Dichte enthält nur Wechselwirkungsterme zwischen drei (fermionischen oder
bosonischen) oder vier (bosonischen) Feldern.71
Dabei bedeutet „Eichinvarianz“, dass die Theorie invariant unter bestimmten lokalen Transformationen sein soll, ähnlich den Transformationen der Spinoren in Gl. (X.18) mit x-abhängigen
Phasen α(x) und mit einer gleichzeitigen Transformation der Vektorfelder wie in Gl. (IV.6) für das
Vektorpotential des Elektromagnetismus.
71
Dabei können die Fermionen bzw. die Bosonen nur den Spin
betrachteten Elementarteilchen umfasst.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
1
2
bzw. den Spin 0 oder 1 haben, was alle bisher
115
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Betrachtet man z.B. den Fall der QED, so ist es wohl bekannt, dass die Maxwell-Gleichungen
invariant sind unter die lokalen Transformationen [vgl. Gl. (IV.6)]
1
µ (x) → Â0µ (x) = µ (x) + ∂ µ α(x)
(XII.1)
e
mit α(x) einer skalaren Funktion und e der Kopplungskonstante. Wie in der Bemerkung unter
Gl. (IV.9) schon erwähnt wurde, verhindert diese Eichinvarianz das Einführen eines Massenterms
für das Vektorfeld µ .
Solche Massenterme sind — unabhängig, ob das Feld skalar, spinoriell, oder vektoriell ist — quadratische Terme in der Lagrange-Dichte. Damit die Letztere Lorentz-invariant bleibt, ist der einzige
mögliche Beitrag für ein Vektorfeld der Art 21 m2 µ µ .72 Unter einer Eichtransformation (XII.1)
wird aber ein solcher Term zu
1 2 0 0µ 1 2
1
m2 µ
m2
m µ  = m µ µ +
 ∂µ α + 2 ∂ µ α ∂µ α 6= m2 µ µ ,
2
2
e
e
2
d.h. der Term verletzt die Invarianz und darf somit nicht auftreten. Somit können in eichinvarianten
Theorien die Vektorfelder keinen Massenterm in der Lagrange-Dichte haben. Das ist ja kein Problem
für die zwei eichinvarianten Wechselwirkungen, die bisher in dieser Vorlesung getroffen wurden, und
zwar die QED und die QCD, weil die Photonen und die Gluonen masselos sind. Will man aber eine
eichinvariante Theorie für die schwache Wechselwirkung finden, so werden die Massen der W ± und
Z 0 -Bosonen problematisch.
Für ein skalares Teilchen lautet die Eichtransformation entsprechend Gl. (XII.1)
φ̂(x) → φ̂0 (x) = e−iα(x) φ̂(x),
φ̂† (x) → φ̂0† (x) = eiα(x) φ̂† (x).
(XII.2)
Dann kann ein Massenterm m2 φ̂† φ̂ problemlos in der Lagrange-Dichte auftreten, da er Lorentz- und
eichinvariant ist. Somit können Spin-0-Teilchen in einer eichinvarianten Theorie eine Masse haben.
Im Fall eines Spin- 21 -Teilchens verhalten sich die links- und rechtshändigen Anteile von DiracSpinoren manchmal unterschiedlich unter Wechselwirkungen — insbesondere unter der schwachen
Wechselwirkung —, so dass jedem Anteil eine Masse zugeordnet sollte. Dabei lautet aber ein solcher
Massenterm z.B.
m ψ̄ˆL ψ̂L = m ψ̄ˆPR PL ψ̂ = 0
[vgl. Gl. (III.43b)], d.h. das Teilchen soll masselos sein. Hier auch stellt also die Masse der fermionischen Elementarteilchen ein Problem dar, um eine konsistente Theorie zu bilden.
Die Aufgabe einer zufriedenstellenden Theorie für die schwache Wechselwirkung wird also vielfach sein. Einerseits soll sie eichinvariant sein, um deren Renormierbarkeit zu gewährleisten. Dazu
soll sie noch erklären, wieso die schwachen Bosonen und die Fermionen eine Masse erhalten können.
Tatsächlich wird das Letztere möglich sein, indem die Theorie ein neues Feld enthält, und zwar ein
Skalarfeld, das mit den anderen Feldern wechselwirkt, und ihnen somit unter Umständen eine Masse
geben kann.
XII.2 Lagrange-Dichte des Standardmodells
In diesem Abschnitt wird das durch Glashow, Salam, Weinberg und andere konstruierte Standardmodell der Elementarteilchenphysik dargestellt.
XII.2.1 Bausteine des Standardmodells
XII.2.1 a Lokale Symmetriegruppen
Am Herzen des Standardmodells der Elementarteilchenphysik liegt die Eichgruppe, unter dessen
Transformationen die Theorie invariant bleibt. Somit ist die Symmetriegruppe des Standardmodells
:::::::::::::::::::::::::::::::::::
72
Der Faktor 12 m2 liefert die gute Bewegungsgleichung, und zwar die Proca-Gleichung, wenn man die Euler–
Lagrange-Gleichung für die Lagrange-Dichte betrachtet.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
116
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
das direkte Produkt
SU(3)c × SU(2)L × U(1)Y
(XII.3)
• Die SU(3)c -Gruppe stellt die Symmetriegruppe für die starke Wechselwirkung dar, wobei der
tiefgestellte Index c daran erinnert, dass die Gluonen an die Farbe („color“) koppeln.
• SU(2)L ist die Eichgruppe der schwachen Wechselwirkung, insbesondere für deren linkshändigen Anteil. Die dazu zugehörigen Vektorbosonen Ŵ1ρ , Ŵ2ρ , Ŵ3ρ , die später die massiven W ±
und Z 0 -Bosonen liefern werden, bilden ein SU(2)-Triplett. Die Ladung, an die die Ŵiρ -Bosonen
koppeln, wird elektroschwacher oder kurz schwacher Isospin genannt und als I W bezeichnet.
• U(1)Y ist eine Eichgruppe, die teilweise zur elektromagnetischen Wechselwirkung und teilweise
zur schwachen Wechselwirkung zwischen neutralen Strömen führt. Die entsprechende Ladung
ist die sog. Hyperladung, bezeichnet als YW oder manchmal Y . Das Vektorboson, das an die
Hyperladung koppelt, wird als B̂ ρ geschrieben. Später wird es (teilweise) das Photon liefern,
sowie zum Z 0 -Boson beitragen.
Der SU(2)L × U(1)Y -Anteil wird als elektroschwache Wechselwirkung bezeichnet.
XII.2.1
b Materie-Teilchen
::::::::::::::::::::::::::
Die „Materie“-Teilchen, die diesen Wechselwirkungen unterliegen, sind Spin- 21 -Fermionen, die
zweien Arten gehören:
Leptonen
Erstens kommen drei SU(2)L -Dubletts von linkshändigen Dirac-Teilchen, die der starken Wechselwirkungen nicht unterliegen
!
!
!
νe,L
νµ,L
ντ,L
L1,L =
, L2,L =
, L3,L =
.
µL
τL
eL
Dazu hat man die rechtshändigen Anteile entsprechend den unteren Komponenten dieser Dubletts
eR ,
µR ,
τR .
Quarks
Zweitens enthält das Standardmodell sechs SU(3)c -Tripletts von Quarks, deren linkshändige Anteile sich in SU(2)L -Dubletts austeilen lassen
!
!
!
uL
cL
tL
0
0
0
Q1,L = 0 ,
Q2,L = 0 ,
Q3,L = 0 ,
dL
sL
bL
während die rechtshändigen Anteile SU(2)L -Singuletts sind
uR ,
cR ,
tR .
dR ,
sR ,
bR .
Im Folgenden werden die Dirac-Felder entsprechend diesen Leptonen und Quarks als ψ̂`,L/R ,
ψ̂ν` ,L , ψ̂q,L/R geschrieben, mit ` = e, µ oder τ and q = u, d, s, c, b oder t. Gestrichte Teilchen/Felder
(d0L , s0L , b0L ) stellen Linearkombinationen der entsprechenden nicht-gestrichten Felder dar.
Neben den Vektorbosonen und diesen Fermionen gibt es im Standardmodell noch ein Skalar-Feld
Φ̂, das sog. Higgs-Feld .
XII.2.1
c Quantenzahlen
::::::::::::::::::::::::
Ein weiteres Element des Standardmodells besteht aus den Werten der unterschiedlichen Ladungen der im vorigen Paragraph eingeführten Felder, die bestimmen, wie sich diese Felder unter
den verschiedenen Eichsymmetrien transformieren.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
117
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Somit tragen alle links- und rechtshändigen Leptonen sowie das Higgs-Feld keine Farbladung —
während jedes Quark-Spezies in jeder Farbe vorkommt. Hiernach wird die Farbladung der Quarks
nicht weiter spezifiziert, und es wird nicht mehr auf den SU(3)c -Sektor der Theorie eingegangen.
Der elektroschwache Isospin der Fermionen lässt sich direkt auf der Dublett-Struktur lesen:
die Dubletts haben I W = 12 , wobei die obere bzw. untere Komponente die Projektion I3W = + 12
bzw. I3W = − 21 hat, während für die SU(2)L -Singuletts — die rechtshändigen Teilchen — natürlich
I W = 0 gilt.
Dazu kommt das Higgs-Feld tatsächlich auch als ein SU(2)L -Dublett vor, vgl. Gl. (XII.6a) unten.
Schließlich lauten die Hyperladungen der unterschiedlichen Fermionen wie folgt73
Teilchen Li,L eR , µR , τR Q0i,L uR , cR , tR dR , sR , bR
YW
− 12
−1
+ 61
+ 23
− 13
während das Higgs-Feld Φ̂ die Hyperladung YW = + 12 trägt.
Darüber hinaus ist jedes Vektorboson assoziiert mit einer der Gruppe SU(3)c , SU(2)L oder U(1)Y
ungeladen unter den zwei anderen Eichsymmetrien: die Gluonen tragen nur eine Farbladung, die
Ŵiρ -Felder nur einen schwachen Isospin und das B̂ ρ -Feld nur eine Hyperladung.
Bemerkung: Dagegen sollen die physikalischen W + - und W − -Bosonen der QED und der schwachen
Wechselwirkung unterliegen, was schon zeigt, dass es keine genaue Äquivalenz zwischen der Letzteren
und der SU(2)L gibt.
XII.2.1
d Renormierbarkeit
:::::::::::::::::::::::::::
Wie schon am Anfang des Abschn. XII.1.2 erwähnt wurde, sollen die in der Theorie erlaubten
Wechselwirkungsterme einerseits Lorentz-invariant sein, andererseits entweder drei fermionischen
und bosonischen Felder oder vier bosonischen Felder miteinander koppeln, damit die Theorie renormierbar ist.
XII.2.1
e Kopplungskonstanten
::::::::::::::::::::::::::::::
Schreibt man die allgemeinst mögliche Lagrange-Dichte für die verschiedenen Felder der Paragraphen (XII.2.1 a) und (XII.2.1 b), so sollen noch viele freie Parameter eingeführt werden, und zwar
Kopplungskonstanten für alle erlaubten Vertices der Theorie.74
XII.2.1
f Offene Fragen
:::::::::::::::::::::::
Das aus den oben dargestellten Bausteinen bestehende Standardmodell ist ziemlich einfach, doch
lässt Raum für viele Fragen, die sich im Rahmen des Modells nicht beantworten lassen:
- Warum besitzt die Theorie die Symmetriegruppe (XII.3)?
- Warum findet man diese Felder und nicht andere?
- Warum besitzen jene Felder gerade die in Paragraph XII.2.1 c gegebenen Quantenzahlen?
- Warum nehmen die Kopplungskonstanten bestimmte Werte und nicht andere an?
Im Rahmen des Standardmodells sind die Quantenzahlen und die Kopplungskonstanten Parameter, die experimentell mehr oder weniger gut bekannt sind.
XII.2.2 Lagrange-Dichte des elektroschwachen Sektors
Die Lagrange-Dichte L̂SM des Standardmodells ist eine Funktionale der verschiedenen Felder
eingeführt in Abschn. XII.2.1 und deren Vierergradienten. Hiernach werden die unterschiedlichen
Terme entsprechend dem elektroschwachen SU(2)L × U(1)Y -Anteil der Theorie erläutert.
73
Statt dieser Werte kann die Leserin sich die Beziehung (XII.27) zwischen Hyperladung, schwachem Isospin und der
mehr bekannten elektrischen Ladung merken — insbesondere da die Konvention für die Hyperladung nicht universell
ist.
74
~ˆ ρ , B̂ ρ ) und den Fermionen;
3 Kopplungskonstanten (gs , g, g 0 ) für die Vertices zwischen jedem Vektorfeld (Gluon, W
9 „Yukawa-Kopplungen“ (hi ) für die Vertices zwischen dem Higgs-Feld und den Fermionen; 2 Parameter (λ, µ) für
das Potential des Higgs-Feldes.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
118
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
XII.2.2
a Eichkovariante Ableitung
::::::::::::::::::::::::::::::::::
Um die Eichinvarianz der Theorie zu gewährleisten, sollen in der Lagrange-Dichte die Vierergradienten ∂ρ in den „kinetischen Termen“ 75 der verschiedenen Fermionen und des Higgs-Feldes
durch sog. eichkovariante Ableitungen ersetzt werden. Für ein SU(2)L -Dublett mit Hyperladung
YW lautet diese Ableitung76
~ˆ ρ + iYW g 0 B̂ρ ,
(XII.4)
D̂ρ ≡ ∂ρ + ig T~ · W
mit g, g 0 den jeweiligen Kopplungskonstanten der Gruppen SU(2)L , U(1)Y , und T1 , T2 , T3 drei
2×2-Matrizen, und zwar Tj ≡ 12 σj , wobei die σj die Pauli-Matrizen sind.
Für ein SU(2)L -Singulett fällt natürlich der zweite Term in Gl. (XII.4) weg.
Für ein SU(2)L -Dublett Ψ̂(x) mit Hyperladung YW lautet die Eichtransformation entsprechend
der eichkovarianten Ableitung (XII.4)
Ψ̂(x) → Ψ̂0 (x) = e−iYW α(x) e−iβj (x)Tj Ψ̂(x),
(XII.5a)
mit α(x) und βj (x), j = 1, 2, 3, vier beliebigen reellen Funktionen. Gleichzeitig transformieren
sich die Eichfelder gemäß
~ˆ ρ (x) → T~ · W
~ˆ ρ0 (x) = U(x) T~ · W
~ˆ ρ (x)U(x)−1 + i ∂ρ U(x) U(x)−1 ,
(XII.5b)
T~ · W
g
~
~
mit U(x) ≡ e−iβj (x)Tj = e−i β(x)·T , und
1
B̂ρ (x) → B̂ρ0 (x) = B̂ρ (x) + 0 ∂ρ α(x),
(XII.5c)
g
vgl. Gl. (XII.1).
Bemerkung: Die kinetischen Terme für die Eichfelder in der Lagrange-Dichte lauten
1
1
i
= − F̂iµν F̂µν
− B̂ µν B̂µν ,
L̂gauge
kin
4
4
j
k
i
i
i
mit F̂µν ≡ ∂µ Ŵν − ∂ν Ŵµ − gεijk Ŵµ Ŵν für i = 1, 2, 3 bzw. B̂µν ≡ ∂µ B̂ν − ∂ν B̂µ dem SU(2)L - bzw.
U(1)Y -Feldstärketensor.
XII.2.2 b Higgs-Sektor
Wie oben schon erwähnt wurde transformiert das skalare Higgs-Feld Φ̂ wie ein Dublett
!
Φ̂+
,
(XII.6a)
Φ̂ =
Φ̂0
::::::::::::::::::::::
unter SU(2)L -Transformationen, wobei die Skalarfelder Φ̂+ und Φ̂0 komplexwertig sind. Dies entspricht also insgesamt 4 Freiheitsgraden.
Für das Folgende lohnt es sich, das ladungskonjugierte Dublett
!
(Φ̂0 )∗
ˆ
= iσ2 Φ̂∗
(XII.6b)
Φ̃ =
+
∗
−(Φ̂ )
einzuführen.
Kinetischer Term und Wechselwirkung des Higgs-Feldes mit den Eichfeldern
Ein erster Beitrag zur Lagrange-Dichte des Standardmodells im Higgs-Sektor besteht aus der
Summe des kinetischen Terms für das Higgs-Feld und dessen Wechselwirkungsterm mit den SU(2)L und U(1)L -Eichfeldern. Das ganze lässt sich einfach mithilfe der eichkovarianten Ableitung (XII.4)
schreiben
†
Φ/gauge
L̂Φ
= D̂ρ Φ̂ D̂ρ Φ̂ ,
(XII.7)
kin + L̂
mit hier YW = 12 . Diese Terme werden mehr detailliert in Abschn. XII.4 hiernach untersucht.
75
Solche Terme entsprechen der kinetischen Energie des Feldes.
In diesem Fall ist D̂ρ tatsächlich eine auf Dubletts wirkende 2 × 2-Matrix, und man sollte den ersten und den
dritten Term auf der rechten Seite der Gl. (XII.4) mit der 2×2-Einheitsmatrix 12 multiplizieren.
76
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
119
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Selbstwechselwirkung
In der Lagrange-Dichte können noch Terme auftreten, die nur das Higgs-Feld enthalten, und zwar
der Art L̂ΦΦ = −V (Φ̂) mit V einem „Potential“ für das Feld. Die einzige Möglichkeit, die Lorentzund Eichinvarianz berücksichtigt und zu Vertices mit maximal vier Feldern führt, ist
2
(XII.8)
V Φ̂ = κΦ̂† Φ̂ + λ Φ̂† Φ̂ ,
mit κ und λ freien Parametern.
Die Rolle dieses Terms im Standardmodell wird in Abschn. XII.3 erläutert.
Wechselwirkung des Higgs-Feldes mit den Fermionen
Schließlich kann das Higgs-Feld noch mit den Fermionen wechselwirken. Um der Eichinvarianz
unter SU(2)L zu genügen, soll das Higgs-Dublett einerseits an die Dubletts Q0i,L , Li,L koppeln. Dazu
soll noch ein zweites, rechtshändiges Fermion — gleicher Natur (Quark oder Lepton), wegen der
SU(3)c Symmetrie — im Term vorkommen, um die Lorentz-Invarianz zu gewährleisten. Hiernach
wird der Allgemeinheit halber angenommen, dass jenes Fermion nicht genau eines der rechtshändigen
Fermionen des Paragraphs XII.2.1 b ist, sondern nur eine Linearkombination davon, die mit zwei
Strichen geschrieben wird: ψ̂q00 ,R .
Insgesamt lautet also der Wechselwirkungsterm zwischen dem Higgs-Feld und den Quarks
ˆ
ˆ† 0 † 0
ˆ
ˆ
ˆ 0 Φ̃
ˆ0
L̂Φq = −hu Q̄
1,L ψ̂u00 ,R + ψ̄u00 ,R Φ̃ Q̂1,L − hd Q̄1,L Φ̂ ψ̂d00 ,R + ψ̄d00 ,R Φ̂ Q̂1,L
+ ähnliche Terme für die 2. und 3. Generationen,
(XII.9)
mit sog. Yukawa-Kopplungskonstanten hu , hd , usw., die hiernach reelle Zahlen sein werden.
Für den Wechselwirkungsterm zwischen dem Higgs-Feld und den Leptonen kann man schon
berücksichtigen, dass es im Standardmodell keine „Leptonen-Mischung“ gibt, im Gegensatz zur
Quark-Mischung in der schwachen Wechselwirkung. Somit wird auf die Einführung von Feldern
ψ̂`00 ,R verzichtet. Der Wechselwirkungsterm lautet dann
ˆ Φ̂ ψ̂ + ψ̄ˆ Φ̂† L̂
L̂Φ` = −he L̄
1,L
e,R
1,L + ähnliche Terme für die 2. und 3. Generationen, (XII.10)
e,R
mit he , hµ , hτ reellen Yukawa-Kopplungskonstanten.
Die Wechselwirkungsterm (XII.9) und (XII.10) werden in Abschn. XII.5 weiter diskutiert.
Bemerkung: Vom Anfang an wurden keine rechtshändige Neutrinos eingeführt, so dass Neutrinos
tatsächlich nicht mit dem Higgs-Feld wechselwirken und somit keine Masse kriegen werden.
XII.2.2
c Fermionischer Sektor
::::::::::::::::::::::::::::::
Die Lagrange-Dichte enthält noch Terme, die die kinetischen Energien der Fermionen und ihre
Wechselwirkungen mit den Eichfeldern beschreiben, und zwar der Art
X
X
q,`/gauge
ˆ iD
ˆ ψ̂L +
L̂q,`
+
L̂
=
ψ̄
6
ψ̄ˆR iD
6 ˆ ψ̂R ,
(XII.11)
L
kin
ψL
ψR
wobei die Summen über alle links- bzw. rechtshändigen Fermionen laufen, während D
6 ˆ ≡ γ ρ D̂ρ ist.
XII.3 Spontane Symmetriebrechung. Higgs-Boson
Im vorigen Abschnitt wurde das Potential V (Φ̂) des Higgs-Feldes eingeführt, um seine „Selbstwechselwirkung“ zu beschreiben. Dieser Abschnitt befasst sich genauer mit den Folgerungen dieses
Terms für die Dynamik des Higgs-Feldes. Wenn das Potential die geeignete Form hat, dann wird die
U(1)Y × SU(2)L Eichinvarianz der Lagrange-Dichte im physikalischen realisierten Zustand spontan
gebrochen (Abschn. XII.3.1). Infolge dieser Symmetriebrechung entspricht das Higgs-Dublett nicht
vier, sondern nur einem Teilchen, dessen Masse und Selbstwechselwirkungen durch die Parameter
des Potentials V (Φ̂) bestimmt werden (Abschn. XII.3.2).
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
120
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
XII.3.1 Spontane Symmetriebrechung
Zur Untersuchung des Einflusses des Potentials V (Φ̂) lohnt es sich zunächst, das Verhalten in
Abhängigkeit von Φ̂† Φ̂ zu betrachten. Zu diesem Zweck macht man den Ansatz
!
1 0
Φ̂(x) = √
,
(XII.12a)
2
v
mit
v einer von x unabhängigen positiven reellen Zahl. Dies gibt für das Potential
1
1
V Φ̂ = κv + λv .
2
4
2
4
Sind κ negativ und λ positiv, so hat V Φ̂ ein Minimum für einen endlichen Wert von
auf Abb. XII.2 erkennen lässt.
V Φ̂
(XII.12b)
v , wie sich
v
Abbildung XII.2: Verlauf des Potentials (XII.12b) für κ < 0, λ > 0.
Dank der U(1)Y × SU(2)L -Eichsymmetrie des Standardmodells ist die Konfiguration (XII.12a)
ziemlich allgemein, weil sie sich aus jeder anderen Feldkonfiguration mit Φ̂† Φ̂ = 2 /2 durch eine
geeignete Eichtransformation erhalten lässt. Beispielsweise gelten für jeden reellen Parameter θ
!!
!!
!!
0
1 0
1
1 eiθ
V √
=V √
=V √
.
2
2 eiθ
2 0
v
v
v
v
v
Wenn das Higgs-Feld sich in einer Konfiguration wie (XII.12a) mit
6= 0 befindet, dann ist die
resultierende Theorie nicht mehr eichinvariant — z.B. weil die Vektorbosonen eine Masse kriegen,
vgl. Abschn. XII.4 —, d.h. die Eichsymmetrie ist gebrochen. Da dies nicht durch einen Term in
der Lagrange-Dichte, sondern durch die zufällige Wahl77 einer besonderen Konfiguration verursacht
wird, spricht man von spontaner Symmetriebrechung.
Um mit positiven Parametern zu arbeiten, wird das Potential des Higgs-Feldes im Folgenden als
2
V Φ̂ = −µ2 Φ̂† Φ̂ + λ Φ̂† Φ̂ ,
(XII.13)
mit µ2 > 0 und λ > 0 geschrieben. Dann gilt für die Feldkonfiguration (XII.12a)
77
nicht nur des Autors, sondern der Natur!
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
121
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
1
V Φ̂ = − µ2
2
r
v
was minimal für den Wert
v=
2
1
+ λ
4
v,
4
(XII.14)
µ2
λ
(XII.15)
ist.
XII.3.2 Higgs-Boson
Aus quantenmechanischen Gründen kann das Higgs-Feld nicht genau konstant sein, sondern
soll noch in jedem Punkt kleine Schwankungen um den Wert (XII.12a) haben. Diese lassen sich
allgemeinen schreiben als
!
φ̂1 (x)+i φ̂2 (x)
1
Φ̂(x) = √
,
2
+ φ̂0 (x)+i φ̂3 (x)
v
mit φ̂0 , φ̂1 , φ̂2 , φ̂3 vier reellen Skalarfeldoperatoren.
Dank der Invarianz unter der Eichgruppe U(1)Y × SU(2)L können aber die Felder φ̂1 , φ̂2 , φ̂3
weggedreht werden, so dass man einfach das Dublett
!
0
1
Φ̂(x) = √
(XII.16)
2
+ φ̂0 (x)
v
betrachten kann. Jetzt hängt das Higgs-Feld Φ̂(x) von nur einem reellen Skalarfeld ab, entsprechend
einem einzigen Teilchen, dem Higgs-Boson.
Mithilfe der SU(2)-Matrix
i
i
U(x) = exp − φ̂2 (x)σ1 + φ̂1 (x)σ2 + φ̂3 (x)σ3 ≈ 12 − φ̂2 (x)σ1 + φ̂1 (x)σ2 + φ̂3 (x)σ3
v
v
gilt in jedem Raumzeitpunkt x (der Kurze halber wird die x-Abhängigkeit der Felder nicht
geschrieben)
!
!
!
!
0
0
1 − i φ̂3 /
φ1 / + iφ̂2 /
φ̂1 +i φ̂2
1
1
1
√ U
≈√
≈√
.
2
2 φ1 / − iφ̂2 /
2
+ φ̂0
+ φ̂0
1 + i φ̂3 /
+ φ̂0 +i φ̂3
v
v
v
v
v
v
v
v
v
Somit ist das Dublett im rechten Glied äquivalent unter einer Eichtransformation zum Dublett (XII.16).
Für das Feld (XII.16) lautet das Potential
λ4 4
µ2 2
V Φ̂ = −
+ 2 φ̂0 + φ̂20 +
+ 4 3 φ̂0 + 6 2 φ̂20 + 4 φ̂30 + φ̂40
2
4
µ2 4 λ 4 2
1
λ
=−
+
+ (−µ2 +λ 2 ) φ̂0 + (−µ2 +3λ 2 ) φ̂20 + λ φ̂30 + φ̂40 .
2
4
2
4
Die zwei ersten Terme stellen einfach das schon bekannte Minimum (XII.14) des Potentials dar. Der
nächste, lineare Term in φ̂0 verschwindet dank der Beziehung (XII.15). Der quadratische Term in
φ̂0 , mit
−µ2 +3λ 2 = 2λ 2 = 2µ2 ≡ m2H
(XII.17)
v
v
v
v
v
v
v
v v
v
v
v
v
v
entspricht dem Massenterm des Higgs-Bosons, mit mH der Bosonenmasse. Schließlich stellen die zwei
letzten Terme die Selbstwechselwirkung des Higgs-Bosons dar. Dabei treten Vertices mit entweder
drei oder vier Higgs-Bosonen auf
mit jeweiliger Kopplungskonstante λ
jh
i
v = pλµ
,
2
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
und
ji
ij
λ
.
4
122
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Im Rahmen des Standardmodells sind λ und µ2 , oder äquivalent
Experimentell findet man78
v und m
v ' 246, 22 GeV,
H,
freie Parameter.
mH ≈ 125 GeV
(XII.18)
wobei der zweite Wert die Masse des 2011-2012 am LHC entdeckten Teilchens, das sich sehr ähnlich
einem Higgs-Boson verhält, ist.
XII.4 Vektorbosonen im Standardmodell
Im vorigen Abschnitt wurde gezeigt, dass falls das Potential (XII.8) des Higgs-Feldes die Form
2
+ λ Φ̂† Φ̂ mit µ2 > 0 und λ > 0 hat, dann ist die U(1)Y × SU(2)L -Eichinvarianz des
Standardmodells im physikalisch realisierten Vakuum spontan gebrochen.
In diesem Abschnitt wird eine erste Folge dieser Symmetriebrechung untersucht, und zwar der
sog. Higgs-Mechanismus,79 gemäß dem der endliche Vakuumerwartungswert des Higgs-Feldes den
schwachen Bosonen eine Masse gibt.
p
Sei also angenommen, dass das Higgs-Feld den Wert (XII.12a) annimmt, mit = µ2 /λ einer
positiven reellen Konstante. In diesem Fall vereinfacht sich der Anteil (XII.7) der Lagrange-Dichte
nach Auslassen des kinetischen Terms für das φ̂0 -Feld zu
!#
"
!#† "
0
0
† ρ 1
i
i
ˆ
ˆ
W,Z
0
ρ
0
ρ
~ ρ + g B̂ρ
~ + g B̂
D̂ρ Φ̂ D̂ Φ̂ ≈ L̂M ≡
ig T~ · W
ig T~ · W
2
2
2
!
0
1
ˆ
ˆ
ρ
ρ
0
0
~ + ig B̂
~ ρ − ig B̂ρ ig ~σ · W
(XII.19)
,
=
−ig ~σ · W
0
8
−µ2 Φ̂† Φ̂
v
v
v
v
v
wobei die zweite Zeile die Hermizität der Pauli-Matrizen und die Reellwertigkeit der Vektorfelder
benutzt. Das Ausmultiplizieren des Produkts im rechten Glied gibt dann
!
i 0
2
h 2
W,Z
ρ
i
jρ
0
i ρ
iρ
02
L̂M =
.
0 1 g σi σj Ŵρ Ŵ + gg σi Ŵρ B̂ + B̂ρ Ŵ
+ g B̂ρ B̂
8
1
v
Dies kann noch als Summe von drei Termen geschrieben werden, die sich einfach berechnen lassen.
Unter Verwendung der Beziehung σi σj = δij 12 + iijk σk und der Vertauschungsrelation der
bosonischen Feldoperatoren Ŵρi und Ŵρj kommt zuerst für den ersten Term
!
0
g2 2
g 2 2 ~ˆ ~ˆ ρ
0 1 σi σj Ŵρi Ŵ jρ
=
Wρ · W .
8
8
1
v
v
Im zweiten Term tragen die Pauli-Matrizen σ1 und σ2 , deren (2,2)-Element Null ist, nicht bei, so
dass es nur
!
0
gg 0 2
gg 0 2 3 ρ
i ρ
iρ
0 1 σi Ŵρ B̂ + B̂ρ Ŵ
=−
Ŵρ B̂ + B̂ρ Ŵ 3ρ
8
8
1
v
v
0 2 2 B̂ B̂ ρ /8. Insgesamt findet
übrig bleibt. Schließlich ist der dritte Beitrag zu L̂W,Z
ρ
M einfach gleich g
man also
1 g 2
W,Z
Ŵρ1 Ŵ 1ρ + Ŵρ2 Ŵ 2ρ
L̂M =
2 2
2 h
i
1
+
g 2 Ŵρ3 Ŵ 3ρ − gg 0 Ŵρ3 B̂ ρ + B̂ρ Ŵ 3ρ + g 0 2 B̂ρ B̂ ρ .
(XII.20)
2 2
v
v
v
Unter der Annahme, dass die W ± - und Z 0 -Bosonen ihre Masse über den in Abschn. XII.4 dargestellten HiggsMechanismus kriegen.
79
... auch Brout–Englert–Higgs- oder gar Englert–Brout–Higgs–Guralnik–Hagen–Kibble-Mechanismus genannt.
78
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
123
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Führt man jetzt die komplexwertigen Vektorfeldoperatoren
1
1
Ŵρ+ ≡ √ Ŵρ1 − i Ŵρ2 und Ŵρ− ≡ √ Ŵρ1 + i Ŵρ2 = Ŵρ+∗
(XII.21)
2
2
∗ i
∗
1 g 2h +
Ŵρ Ŵ +ρ + Ŵρ− Ŵ −ρ .
ein, so lautet die erste Zeile in Gl. (XII.20) noch
2 2
Wiederum lässt sich der Term in den eckigen Klammern in der zweiten Zeile umschreiben als
g Ŵρ3 − g 0 B̂ρ g Ŵ 3ρ − g 0 B̂ ρ =
!
!
0
0
g
g
g
g
p
g 2 + g 02 p
Ŵρ3 − p
B̂ρ
Ŵ 3ρ − p
B̂ ρ .
g 2 + g 02
g 2 + g 02
g 2 + g 02
g 2 + g 02
v
Definiert man den Weinberg-Winkel — auch elektroschwacher Mischungswinkel gennant — θW durch
tan θW ≡
g0
,
g
(XII.22)
g0
g
entsprechend sin θW = p
und cos θW = p
, sowie neue reelle Vektorfeldoperatoren
g 2 + g 02
g 2 + g 02
Ẑρ , Âρ durch
!
!
!
Ẑρ
cos θW − sin θW
Ŵρ3
=
,
(XII.23)
sin θW
cos θW
Âρ
B̂ρ
so ergibt sich g Ŵρ3 − g 0 B̂ρ g Ŵ 3ρ − g 0 B̂ ρ = g 2 + g 02 Ẑρ Ẑ ρ .
Wenn man schließlich
p
g 2 + g 02
g
mW ≡
,
mZ ≡
(XII.24)
2
2
sowie mγ ≡ 0(!) schreibt, dann wird Gl. (XII.20) zu
v
v
∗ 1
1 2
1
1
+
+ρ ∗
L̂W,Z
+ m2W Ŵρ− Ŵ −ρ + m2Z Ẑρ Ẑ ρ + m2γ Âρ Âρ ,
(XII.25)
M = mW Ŵρ Ŵ
2
2
2
2
wobei der letzte Term natürlich gleich Null ist. Das ist gerade die Summe der Massentermen für
vier Vektorfeldern, und zwar zwei Spin-1-Teilchen mit der Masse mW — die W ± -Bosonen —, ein
Spin-1-Teilchen mit der Masse mZ — das Z 0 -Boson —, und ein masseloses Spin-1-Teilchen — das
Photon. Dazu geben die Relationen (XII.22) und (XII.24) sofort mW = mZ cos θW , d.h. mZ > mW .
Somit kriegen die schwachen Vektorbosonen W ± und Z 0 eine Masse, obwohl Eichinvarianz die
Anwesenheit von Massentermen für Vektorfelder in der Lagrange-Dichte verbietet.
Die eichkovariante Ableitung Dρ , Gl. (XII.4), kann in der neuen Basis bestehend aus den Feldoperatoren {Ŵρ+ , Ŵρ− , Ẑρ , Âρ } geschrieben werden. Im Allgemeinen gilt zunächst
~ˆ ρ + iYW g 0 B̂ρ
D̂ρ ≡ ∂ρ + ig T~ · W
!
0
Ŵρ1 −i Ŵρ2
g
= ∂ρ + i
2 Ŵρ1 +i Ŵρ2
0
!
p
3
0
g 2 + g 02 cos θW Ŵρ +2YW sin θW B̂ρ
+i
.
2
0
− cos θW Ŵρ3 +2YW sin θW B̂ρ
Im zweiten Term auf der rechten Seite von D̂ρ erkennt man Ŵρ± = Ŵρ1 ∓i Ŵρ2 . Ersetzt man im
dritten Term Ŵρ3 und B̂ρ durch die geeigneten Linearkombinationen von Ẑρ und Âρ — entsprechend
einer Drehung um einen Winkel −θW , vgl. Gl. (XII.23) —, so erhält man für D̂ρ nach einiger
einfachen Algebra
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
124
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
!
+
0 Ŵρ
g
∂ρ + i √
2 Ŵρ− 0


(cos2 θW −2YW sin2 θW )Ẑρ
p
0

g 2 +g 02 
 +2 cos θW sin θW (YW + 21 )Âρ

+i

.
2
2
2

(−cos θW −2YW sin θW )Ẑρ 
0
+2 cos θW sin θW (YW − 12 )Âρ
Dabei stellt der Term proportional zur Kopplungskonstante g die Kopplung der W ± -Bosonen zu
den geladenen schwachen Strömen dar — da die Matrix mit den Vektorfeldern antidiagonal ist,
koppelt sie die obere Komponente eines SU(2)L -Dubletts mit der unteren Komponente eines anderen
Dubletts, d.h. mit einem Teilchen mit einer unterschiedlichen elektrischen Ladung. Somit ist g gleich
der Kopplungskonstante gw des Abschn. XI.3.2 — bis auf einer multiplikativen Konstante, die als 1
angenommen wird.
p
Dagegen liefert der Term proportional zu g 2 + g 02 , mit der diagonalen Matrix, die Wechselwirkungen zwischen neutralen Strömen und den elektrisch neutralen Z 0 -Bosonen
oder Photonen.
p
2
02
Insbesondere ist die Kopplung zum Photon-Feldoperator µ proportional zu g +g cos θW sin θW .
Somit wird dieses Produkt mit der Kopplungskonstante e der Elektrodynamik identifiziert
e≡
p
g 2 +g 02 cos θW sin θW = g sin θW .
(XII.26)
Dementsprechend lässt sich die elektrische Ladung Q für die obere bzw. untere Komponente eines
Dubletts mit YW + 21 bzw. YW − 12 gleichsetzen. Da 12 bzw. − 12 gerade der schwache Isospin I3W des
jeweiligen Teilchens ist, gilt allgemein die Beziehung80
Q = I3W + YW
(XII.27)
zwischen elektrischer Ladung, schwachem Isospin und elektroschwacher Hyperladung.
Beispielsweise ist die elektroschwache Hyperladung des Higgs-Feldes (XII.6a) YW = 21 . Dies gibt
Q = 0 für dessen untere Komponente Φ̂0 , d.h. das physikalische Higgs-Boson ist elektrisch neutral.
Für die obere Komponente Φ̂+ kommt Q = +1 — wie sich aus der Notation vermuten ließ.
√
2 = 2 2 G m2
Bemerkung: Kombiniert man die erste Definition in (XII.24) mit der Beziehung gw
F W
(Abschn. XI.3.2) und mit gw = g, so kommt
v
2
=√
1
,
2 GF
woraus der Wert (XII.18) sich erhalten lässt.
XII.5 Fermionen im Standardmodell
Die nicht-triviale Konfiguration des Higgs-Feldes, die mit der spontanen Symmetriebrechung
der U(1)Y × SU(2)L -Eichsymmetrie einhergeht, gibt nicht nur Massen zu den schwachen Vektorbosonen, sondern auch zu den Fermionen, die zum Higgs-Feld koppeln. Somit erhalten sowohl die
elektrisch geladenen Leptonen (Abschn. XII.5.1) als auch die Quarks (Abschn. XII.5.2) eine Masse.
Bei den Letzteren unterscheiden sich die Masseneigenzustände von den Zuständen, die einfach zu
den schwachen W ± -Bosonen koppeln. Diese Tatsache erlaubt die Existenz im Standardmodell von
Prozessen, die die CP -Symmetrie verletzen (Abschn. XII.5.3), wie experimentell beobachtet wurde.
!
!
0
+
φ̂
(x)
1
1
0
ˆ
, entsprechend Φ̃(x)
=√
, angenommen.
Hiernach wird Φ̂(x) = √
2
2
+ φ̂0 (x)
0
v
v
0
Verwendet man die Konvention, laut der die elektroschwache Hyperladung YW
= 2YW ist, so gilt natürlich
W
0
Q = I3 + YW /2, in Ähnlichkeit zur (verallgemeinerten) Gell-Mann–Nishijima-Formel (X.25b).
80
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
125
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
XII.5.1 Wechselwirkung der Leptonen mit dem Higgs-Feld
Mit der obigen Feldkonfiguration für Φ̂ lautet der erste Term in der Lagrange-Dichte (XII.10),
entsprechend der Wechselwirkung zwischen Elektron- und Higgs-Feld
he ˆ
he ˆ Φ̂ ψ̂ + ψ̄ˆ Φ̂† L̂
−he L̄
ψ̄e,L ψ̂e,R + ψ̄ˆe,R ψ̂e,L − √ ψ̄ˆe,L ψ̂e,R + ψ̄ˆe,R ψ̂e,L φ̂0 .
1,L = − √
e,R
e,R
1,L
2
2
Für die zweite und dritte Generation, d.h. für das Myon und das Tau, gelten ähnliche Gleichungen.
Schreibt man dann ψ̄ˆL ψ̂R = ψ̄ˆ PR PR ψ̂ = ψ̄ˆ PR ψ̂ und ebenso ψ̄ˆR ψ̂L = ψ̄ˆ PL ψ̂, so kommt unter
Nutzung von PR + PL = 1
v
v
v
v
hµ
hµ
he
hτ
he
hτ
L̂Φ` = − √ ψ̄ˆe ψ̂e − √ ψ̄ˆµ ψ̂µ − √ ψ̄ˆτ ψ̂τ − √ ψ̄ˆe ψ̂e φ̂0 − √ ψ̄ˆµ ψ̂µ φ̂0 − √ ψ̄ˆτ ψ̂τ φ̂0 . (XII.28)
2
2
2
2
2
2
XII.5.1
a Leptonen-Massen
:::::::::::::::::::::::::::
Um die Eichinvarianz nicht zu verletzen, haben die Leptonen — und allgemeiner die Fermionen — ursprünglich keinen Massenterm in der Lagrange-Dichte: die Eichsymmetrie wird also nicht
explizit gebrochen. Mit den Definitionen
hµ
he
hτ
me ≡ √ ,
mµ ≡ √ ,
mτ ≡ √
(XII.29a)
2
2
2
v
v
v
lassen sich die drei ersten Terme in L̂Φ` [Gl. (XII.28)] als Massenterme
L̂`M = −me ψ̄ˆe ψ̂e − mµ ψ̄ˆµ ψ̂µ − mτ ψ̄ˆτ ψ̂τ
(XII.29b)
für die Leptonen identifizieren, wobei me , mµ , mτ die Massen der Leptonen sind. Somit kriegen
nach der spontanen Brechung der Eichsymmetrie die Fermionen eine Masse, ohne die Renormierbarkeit der Theorie zu gefährden: eine zufällige Wahl der Natur zerstört nicht die mathematische
Wohldefiniertheit des Standardmodells.
XII.5.1
b Wechselwirkung der Leptonen mit dem Higgs-Boson
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Die drei letzten Terme in Gl. (XII.28) stellen Wechselwirkungsterme zwischen einem der drei
Leptonen und dem Higgs-Boson dar. Genauer handelt es sich um Dreiervertizes
h
E
√
wobei die Kopplungskonstante zwischen jeder Leptonart und dem Higgs-Boson jeweils gleich h / 2,
e
√
√
hµ / 2 und hτ / 2 ist.
Die Beziehungen (XII.29a) zeigen, dass die Yukawa-Kopplung hi mit i = e, µ oder τ proportional
zur entsprechenden Teilchenmasse mi sein soll. Somit koppeln schwere Leptonen stärker zum HiggsBoson als leichte Leptonen.
Diese Bemerkung gilt auch für die Kopplung zwischen dem Higgs-Boson und den Quarks.
XII.5.2 Quark-Massen
Unter Vernachlässigung des skalaren Feldes φ̂0 des Higgs-Bosons gilt für die Wechselwirkung
zwischen dem Higgs-Feld und den Feldern für die Quarks der ersten Generation
ˆ † Q̂0
ˆ ψ̂ 00 + ψ̄ˆ 00 Φ̃
ˆ 0 Φ̂ ψ̂ 00 + ψ̄ˆ 00 Φ̂† Q̂0
ˆ 0 Φ̃
−h Q̄
− h Q̄
'
u
1,L
u ,R
u ,R
1,L
d
1,L
v
d ,R
d ,R
1,L
v
h hu
d
− √
ψ̄ˆu,L ψ̂u00,R + ψ̄ˆu00,R ψ̂u,L − √
ψ̄ˆd0 ,L ψ̂d00,R + ψ̄ˆd00,R ψ̂d0 ,L .
2
2
Die rechte Seite kann noch geschrieben werden als
h hu ˆ
d
−√
ψ̄u PR ψ̂u00 + ψ̄ˆu00 PL ψ̂u − √
ψ̄ˆd0 PR ψ̂d00 + ψ̄ˆd00 PL ψ̂d0 .
2
2
Für die zweite und dritte Generation gelten ähnliche Gleichungen.
v
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
v
126
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Dabei sollen die „nicht-gestrichten Quarks“ u, d, s, c, b und t die QCD-Eigenzustände sein,
entsprechend z.B. den Valenz-Quarks in einem Hadron. Das Feld ψ̂d0 (und in ähnlicher Weise ψ̂s0
oder ψ̂b0 ) stellt die unitäre Linearkombination der Quark-Felder ψ̂d , ψ̂s und ψ̂b dar, die mit ψ̂u
(bzw. ψ̂c , ψ̂t ) über ein W + -Boson wechselwirkt. Wiederum sind die Felder ψ̂u00 , ψ̂c00 und ψ̂t00 unitäre
Linearkombinationen von ψ̂u , ψ̂c und ψ̂t , die je einfach mit einem dieser Felder und mit dem HiggsFeld wechselwirken. Schließlich sind ψ̂d00 , ψ̂s00 und ψ̂b00 unitäre Linearkombinationen der Felder ψ̂d ,
ψ̂s und ψ̂b , die je einfach mit dem Higgs-Feld und entweder ψ̂d0 , ψ̂s0 oder ψ̂b0 wechselwirken.
Experiment zeigt, dass ψ̂u , ψ̂c und ψ̂t tatsächlich auch Masseneigenzustände sind. Damit die
Theorie dies gibt, sollen ψ̂u00 = ψ̂u , ψ̂c00 = ψ̂c und ψ̂t00 = ψ̂t gelten. Dann kommt tatsächlich in der
Lagrange-Dichte
i
hu ˆ
hu h
hu
−√
ψ̄u PR ψ̂u00 + ψ̄ˆu00 PL ψ̂u = − √ ψ̄ˆu (PR + PL )ψ̂u = − √ ψ̄ˆu ψ̂u ≡ −mu ψ̄ˆu ψ̂u ,
2
2
2
mit mu der Masse des u-Quarks. Für die c und t-Quarks gelten ähnliche Ergebnisse.
v
v
v
Für die d-, s- und b-Quarks sind die QCD-Eigenzustände ψ̂d , ψ̂s und ψ̂b auch Masseneigenzustände; sie sind aber nicht Eigenzustände zur Wechselwirkung mit den schwachen W ± -Bosonen,
entsprechend der schon gesehenen Flavour-Mischung. Infolgedessen wechselwirken ψ̂d , ψ̂s , ψ̂b nicht
direkt mit dem Higgs-Feld, sondern nur als Linearkombinationen. Sei VCKM die spezielle unitäre
3×3-Matrix, die die Felder ψ̂d0 , ψ̂s0 , ψ̂b0 als Funktion der QCD-Eigenzustände gibt:
 
 
ψ̂d0
ψ̂d
ψ̂s0  = VCKM ψ̂s .
(XII.30)
ψ̂b0
ψ̂b
Nimmt man für die Felder ψ̂d00 , ψ̂s00 und ψ̂b00

  −1
ψ̂d00
hd
0
ψ̂s00  =  0 h−1
s
0
0
ψ̂b00
die Linearkombinationen


 
ψ̂d
0
hd 0 0
0 VCKM  0 hs 0 ψ̂s 
0 0 hb
h−1
ψ̂b
b
an, so lässt sich die Summe
h h hd ˆ
s
b
ψ̄d0 PR ψ̂d00 + ψ̄ˆd00 PL ψ̂d0 − √ ψ̄ˆs0 PR ψ̂s00 + ψ̄ˆs00 PL ψ̂s0 − √ ψ̄ˆb0 PR ψ̂b00 + ψ̄ˆb00 PL ψ̂b0
−√
2
2
2
als
hd
hs
hb
− √ ψ̄ˆd ψ̂d − √ ψ̄ˆs ψ̂s − √ ψ̄ˆb ψ̂b ≡ −md ψ̄ˆd ψ̂d − ms ψ̄ˆs ψ̂s − mb ψ̄ˆb ψ̂b
2
2
2
umschreiben, entsprechend Massentermen für die d, s und b Quarks.
v
v
v
v
v
v
In Zusammenfassung erhalten die Quarks, wie die Leptonen, durch ihre Wechselwirkung mit
dem Higgs-Feld eine Masse, die proportional zu der jeweiligen Yukawa-Kopplung hi ist.
Bemerkung: Berücksichtigt man auch das Higgs-Boson-Feld φ̂0 in L̂Φq , so findet man wie für die
Leptonen in Paragraph XII.5.1 b, dass die Yukawa-Kopplungskonstante hq ebenfalls die Stärke des
Vertex ψ̄ˆq ψ̂q φ̂0 für jeden Quark-Flavour q bestimmt.
XII.5.3 CKM-Matrix und CP -Verletzung
Die in Gl. (XII.30) eingeführte Matrix VCKM ist die Verallgemeinerung auf drei Generationen der
Mischungsmatrix (XI.13), und wird Cabibbo–Kobayashi–Maskawa-Matrix , oder kurz CKM-Matrix
genannt. Deren Elemente werden als


Vud Vus Vub


VCKM ≡  Vcd Vcs Vcb 
(XII.31)
Vtd
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
Vts
Vtb
127
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
geschrieben, wobei jedes Vij eine komplexe Zahl ist. Im Rahmen des Standardmodells sind diese
Zahlen freie Parameter, die aber experimentell gemessen werden können. Dabei findet man für die
Beträge der Matrixelemente (vgl. Kap. 11 der Review of Particle Physics [16])


0, 974 0, 225 0, 004


|VCKM | ≈ 0, 225 0, 973 0, 041.
0, 009 0, 040 0, 999
Somit ist die Mischung zwischen der 3. Generation und den zwei ersten ziemlich klein.
Eine spezielle unitäre 3 × 3-Matrix wird allgemein durch 32 = 9 reelle Parameter bestimmt.81
Aus diesen 9 Parametern können 6 als Phasen geschrieben werden — z.B. als die Phasen der
Matrixelemente Vij mit i ≤ j —, während die 3 anderen Winkel sind.82 5 dieser Phasen können in
den Definitionen der Quark-Felder ψ̂s , ψ̂b , ψ̂d0 , ψ̂s0 und ψ̂b0 absorbiert werden, entsprechend einer
Verschiebung ihrer relativen Phasen zur Phase des ψ̂d -Feldes. Es bleiben allgemein also 4 reelle
Parameter, einschließlich einer Phase. Somit lautet eine übliche Parametrisierung der CKM-Matrix




1
0
0
c13
0 s13 e−iδ
c12 s12 0




0
1
0 −s12 c12 0
VCKM ≡ 0 c23 s23 
0 −s23 c23
0
0 1
−s13 e−iδ 0
c13


c12 c13
s12 c13
s13 e−iδ


s23 c13 ,
= −s12 c23 − c12 s23 s13 eiδ c12 c23 − s12 s23 s13 eiδ
(XII.32)
s12 s23 − c12 c23 s13 eiδ
−c12 s23 − s12 c23 s13 eiδ
c23 c13
wobei cij = cos ϑij , sij = sin ϑij mit ϑ12 , ϑ13 , ϑ23 drei Winkeln.
Zur Illustration dieser Absorption der Phasen in einer Neudefinition der Felder kann man der
Einfachheit halber ein Beispiel mit nur zwei Generationen betrachten. Es seien also zwei „Masseneigenzustände“ ψ̂1 , ψ̂2 und dementsprechend „Wechselwirkungseigenzustände“ ψ̂10 , ψ̂20 , wobei die
Letzteren unitäre Linearkombinationen der Ersteren sind:
!
!
!
!
c eiδ1
s eiδ3
ψ̂10
ψ̂1
ψ̂1
= V2
=
,
−s eiδ2 c ei(δ2 +δ3 −δ1 ) ψ̂2
ψ̂20
ψ̂2
mit V2 einer unitären Matrix, deren allgemeine Parametrisierung durch einen Winkel ϑ (mit
c ≡ cos ϑ, s ≡ sin ϑ) und drei Phasen δi geschrieben wurde. V2 lässt sich noch schreiben als
!
!
!
0
eiδ1
0
c s 1
.
V2 =
−s c 0 ei(δ3 −δ1 )
0
eiδ2
Definiert man neue Felder ψ̂10 ≡ ψ̂1 , ψ̂20 ≡ ei(δ3 −δ1 ) ψ̂2 , ψ̂10 0 ≡ e−iδ1 ψ̂10 und ψ̂20 0 ≡ e−iδ2 ψ̂20 , so gilt
!
!
!
ψ̂10 0
c s ψ̂10
,
=
−s c ψ̂20
ψ̂20 0
d.h. die Matrix V2 und die ursprünglichen Felder werden durch eine Matrix V02 ohne Phase
und durch neue Felder, die sich von den alten einfach um eine Phase unterscheiden, ersetzt.
Man sieht noch, dass das Feld ψ̂1 nicht mehr um eine Phase gedreht werden kann, ohne die
Determinante von V02 zu ändern. Dementsprechend können nur 2n − 1 Phasen einer speziellen
unitären n× n-Matrix absorbiert werden.
81
Eine spezielle unitäre n×n-Matrix lässt sich als eiH schreiben, mit H einer hermitischen Matrix. Die Letztere wird
durch n reelle diagonale Elemente und n(n − 1)/2 komplexe Elemente Hij mit i < j charakterisiert, entsprechend
n + 2n(n − 1)/2 = n2 reellen Parametern.
82
In n = 3 Dimensionen kann man n(n − 1)/2 = 3 paarweise orthogonale Ebene finden; die n(n − 1)/2 Winkel
entsprechen Drehungen in diesen Ebenen.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
128
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Die Phase δ stellt ein wichtiges Merkmal der CKM-Matrix dar. Ist diese Phase nämlich nicht
Null, so kann man keinen rein reellen Ausdruck der CKM-Matrix finden. Dies hat dann zur Folge,
dass es im Standardmodell CP -verletzende Prozesse geben kann, wie jetzt an einem Beispiel gezeigt
wird.
Betrachte man also den Zerfall B 0 → K + + π − , wobei im Quarkmodell B 0 = db̄, K + = us̄ und
−
π = dū, sowie den Ĉ P̂ -konjugierten Prozess B̄ 0 → K − + π + . Hiernach wird der erstere Prozess
e bezeichnet.
als (Z) und der Letztere als (Z)
Zur niedrigsten Ordnung in der schwachen Kopplungskonstante g trägt der in Abb. XII.3 dargestellte „direkte“ Prozess
(ZD) b̄ → ū + W + → ū + u + s̄
zur Amplitude für den Zerfall (Z) bei. Das Diagramm zeigt sofort, dass die Amplitude für diesen
∗ V von Matrixelementen der CKM-Matrix ist. Genauer findet
Prozess proportional zum Produkt Vub
us
d
d
B0
π−
∗
Vub
ū
s̄ b̄
W+
t-
Vus
K+
u
Abbildung XII.3: „Direkter“ Prozess für den Zerfall B 0 → K + + π − .
∗V
man eine Amplitude MD = |AD | eiθD eiδD mit δD der Phase von Vub
us — und zwar δD = δ, obwohl
das für das Folgende unwesentlich ist — und θD einer „starken“ Phase, die aus der hadronischen
Physik kommt.83
e einen Beitrag aus dem
Ähnlich diesem Prozess (ZD) erhält die Amplitude für den Prozess (Z)
f
Prozess (ZD), der Ĉ P̂ -konjugiert zu (ZD) ist, und sich mit dem gleichen Diagram wie in Abb. XII.3
mit den Teilchen ersetzt durch ihre Antiteilchen darstellen lässt. Die zugehörige Amplitude ist dann
∗ , und genauer beträgt M
fD = |AD | eiθD e−iδD : die starke Phase ist die gleiche
proportional zu Vub Vus
wie in MD — weil die starke Wechselwirkung unter Ĉ P̂ symmetrisch ist —, die schwache Phase
ist aber das Negative von dieser des Ĉ P̂ -konjugierten Prozesses. Somit führt die Anwesenheit einer
nicht-verschwindenden Phase in der CKM-Matrix zu einen Unterschied zwischen den Amplituden
für einen Prozess und dessen Ĉ P̂ -konjugierten.
f der einzige Prozess wäre, der zur führenden Ordnung eine Rolle beim
Wenn (ZD) bzw. (ZD)
e spielt, dann wären die Raten für (Z) und (Z)
e gleich, da eine Rate nur vom
Zerfall (Z) bzw. (Z)
Betragsquadrat der Amplitude abhängt, vgl. Fermis Goldene Regel. Die Phase der CKM-Matrix
wurde dann im Endeffekt keine Rolle spielen.
In der Tat ist (ZD) nicht der einzige Kanal für den Zerfall (Z) zur Ordnung g 2 . Es gibt noch den
durch das „Penguin-Diagram“ der Abb. XII.4 dargestellte Prozess
(ZP) b̄ → q̄ + W + → g + q̄ + W + → u + ū + q̄ + W + → ū + u + s̄ mit q̄ = ū, c̄, t̄,
dessen Amplitude proportional zum Produkt Vqb∗ Vqs ist. Genauer lautet die Teilamplitude für (ZP)
MP = |AP | eiθP eiδP mit δP der Phase von Vqb∗ Vqs , die für q = c oder t ungleich δD ist, und θP einer
„starken“ Phase, die wiederum ungleich θD ist.
Somit ist die gesamte Amplitude zur Ordnung g 2 für den Zerfall (Z) durch
M = MD + MP = |AD | eiθD eiδD + |AP | eiθP eiδP
mit δD 6= δP und θD 6= θP gegeben.
83
Grob gesagt folgt diese Phase aus der Tatsache, dass das b̄- bzw. ū-Antiquark nicht frei ist, sondern in einem B 0 bzw. π − -Meson eingeschlossen.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
129
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
d
d
Vqb∗
Vqs
b̄
t-
s̄
ū
u
Abbildung XII.4: „Penguin-Diagramm“ für den Zerfall B 0 → K + + π − .
f ist dann M
fP = |AP | eiθP e−iδP ,
Die Amplitude für den zu (ZP) Ĉ P̂ -konjugierten Prozess (ZP)
e
entsprechend für den Zerfall (Z) der gesamten Amplitude
f=M
fD + M
fP = |AD | eiθD e−iδD + |AP | eiθP e−iδP .
M
f jetzt verschieden sind.
Man prüft einfach nach, dass jetzt die Betragsquadrate von M und M
Genauer gilt
2 2
f − M = 4|AD ||AP | sin(θD − θP ) sin(δD − δP ).
M
Daher ist die Zerfallsrate für den Zerfall B 0 → K + + π − verschieden von der Zerfallsrate für den
Ĉ P̂ -konjugierten Prozess B̄ 0 → K − + π + , entsprechend einer Verletzung der CP -Symmetrie. Eine
nötige Voraussetzung für diese Verletzung ist δD 6= δP , was überhaupt nur dann möglich ist, wenn
die CKM-Matrix komplexe Elemente enthält.
Tatsächlich haben die BABAR [51] und BELLE [52] Experimente einen Unterschied zwischen
den Raten für die Zerfälle der B 0 - und B̄ 0 -Mesonen in geladene Pionen und und Kaonen gemessen,
und zwar eine Asymmetrie
Γ(B̄ 0 → K − + π + ) − Γ(B 0 → K + + π − )
= −0, 115 ± 0, 018,
Γ(B̄ 0 → K − + π + ) + Γ(B 0 → K + + π − )
deutlich verschieden von Null.
Bemerkung: Eine zweite nötige Voraussetzung für die Verletzung der CP -Symmetrie ist natürlich
auch ein Unterschied zwischen den starken Phasen θD und θP , die in Rahmen dieser Vorlesung
schwer zu begründen ist — in der Praxis ist die Berechnung solcher Phasen hoch kompliziert.
Literatur
• Cottingham & Greenwood [50], Kap. 10–14 & 18.
• Griffiths [15], Kap. 9.
• Halzen & Martin [28], Kap. 14.4–14.9, 15.1–15.6.
• Nachtmann [13], Kap. 22.
Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik
130
Teil D
Jenseits des Standardmodells
Version vom 4. Februar 2014, 10:59
131
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
blabla...
eine Einleitung fehlt...
Jenseits des Standardmodells
133
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
XIII. Neutrinos
XIII.1 Neutrino-Massen
Im (minimalen) Standardmodell koppeln die Neutrinos nicht zum Higgs-Feld, so dass sie auch
nach der spontanen Brechung der elektroschwachen Symmetrie masselos bleiben. Es hat sich aber
experimentell aufgewiesen, dass die Neutrinos tatsächlich eine Masse haben, und das die entsprechenden Masseneigenzustände sich von den Wechselwirkungseigenzuständen unterscheiden. Dies
lässt sich mithilfe einer nichtdiagonalen Mischungsmatrix beschreiben (Abschn. XIII.1.1), ähnlich
der CKM-Matrix für die Quarks. Das aus der Existenz der Mischung entstehende Phänomenon der
Oszillationen von propagierenden Neutrinos zwischen den verschiedenen „Flavours“ — wobei die
Bezeichnung in diesem Kapitel synonym für „Leptonenart“ ist — wird dann in Abschn. XIII.1.2
beschrieben, zusammen mit den Arten von Experimenten, in den solche Oszillationen beobachtet
wurden.
XIII.1.1 Neutrinomischung
Wenn die Neutrinos masselos sind, dann lassen sie sich nur durch ihre schwachen Wechselwirkungen unterscheiden: die unterschiedlichen Arten von Neutrinos werden durch das elektrisch geladene
Lepton, mit dem sie ein SU(2)L -Dublett bilden, gekennzeichnet.
Sind die Neutrinos dagegen massiv, dann existieren Masseneigenzustände νi , i = 1, 2, 3, mit
jeweiliger Masse mi . Wenn alle Massen nicht entartet sind, dann können die Wechselwirkungseigenzustände ν` mit ` = e, µ, τ nicht-triviale Linearkombinationen der Masseneigenzustände sein. Dies
lässt sich mithilfe einer 3×3-Matrix, die als Pontecorvo–Maki–Nakagawa–Sakata-Matrix oder kurz
PMNS-Matrix bezeichnet wird, schreiben:
 
  
 
νe
ν1
Ue1 Ue2 Ue3
ν1
 
  
 
(XIII.1)
νµ  = UPMNS ν2  ≡ Uµ1 Uµ2 Uµ3 ν2 .
ντ
ν3
Uτ 1 Uτ 2 Uτ 3
ν3
Wie die CKM-Matrix ist die PMNS-Matrix unitär. Sie lässt sich daher durch drei Winkeln sowie
ein paar Phasen parametrisieren. Dabei hängt die Anzahl der nötigen Phasen von der Tatsache
ab, ob die Neutrinos gleich ihren eigenen Antiteilchen sind oder nicht. Die erstere Möglichkeit —
die für Quarks ausgeschlossen ist, weil sie eine Farb- und eine elektrische Ladung tragen — wird
in Abschn. XIII.2 weiter diskutiert. Unterscheiden sich die Neutrinos von den Antineutrinos, so
kann UPMNS ähnlich der CKM-Matrix (XII.32) mit drei Winkeln θij und nur einer einzigen Phase
parametrisiert werden.
Dabei führt die Phase, falls sie nicht Null ist, wie bei der Quarkmischung in Abschn. XII.5.3 zur
Verletzung der CP -Symmetrie, hier in leptonischen Prozessen. Bisher (Anfang 2014) wurden solche
CP -verletzenden leptonischen Prozesse (noch?) nicht experimentell beobachtet. Daher ist nichts
über die Phase bekannt.
Dagegen hat das hiernach studierte Phänomenon der Neutrino-Oszillationen gezeigt, dass die
Mischungswinkeln θij nicht gering sind, d.h. die PMNS-Matrix unterscheidet sich stark von der
Identitätsmatrix. Somit deuten Messungen auf die Werte
sin2 (2θ12 ) ' 0, 857,
sin2 (2θ23 ) > 0, 95,
sin2 (2θ13 ) ' 0, 098
(XIII.2)
hin [16]. Beispielsweise ist die Mischung zwischen ν2 und ν3 fast maximal, d.h. θ23 beträgt fast
45o . Zum Vergleich gilt für den Cabibbo-Winkel θC ≈ 13o , entsprechend einer kleineren Mischung
zwischen d und s Quarks.
Jenseits des Standardmodells
134
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Bemerkung: Die unten diskutierten Neutrino-Oszillationen zeigen, dass die Neutrinos massiv sind,
liefern aber keine direkte Messung der Massen.
Ein Beispiel einer solchen Messung könnte prinzipiell in Untersuchungen des β-Zerfalls von
Tritium 3 H erfolgen, wobei die Masse des emittierten ν̄e die Krümmung des Elektronenspektrums
neben dessen Endpunkt beeinflusst. Die Ergebnisse solcher Untersuchungen geben bisher nur eine
obere Schranke, und zwar gemäß den Mainz–Troitsk Experimenten mν̄e < 2, 2 eV [53, 54]. Das
KATRIN Experiment sollte noch Massen von 0,2–2 eV messen können.
Dazu geben kosmologische Überlegungen für die Summe der Massen der „leichten“ Neutrinos
mtot . 0.5 eV.
XIII.1.2 Neutrino-Oszillationen
Bei seiner Erzeugung oder seinem Nachweis befindet sich ein Neutrino in einem Wechselwirkungseigenzustand ν` , da beide Ereignisse auf schwachen Prozessen beruhen. Zwischen den Ereignissen
ist das Neutrino dagegen frei, wobei jeder „Masseneigenzustand νi -Anteil“ gemäß einem einfachen
Gesetz propagiert. Im Allgemeinen unterscheidet sich die Zusammensetzung der Masseneigenzustände zum Zeitpunkt der Messung von der Zusammensetzung bei der Erzeugung. Dies führt zur
Möglichkeit, dass ein in einem gegebenen Flavour erzeugten Neutrino später als ein Neutrino eines
anderen Flavours detektiert wird.
Der entsprechende Formalismus wird erstens dargestellt. Dann werden einige Beispiele, entsprechend Neutrinos aus unterschiedlichen Quellen, diskutiert.
XIII.1.2
a Formalismus
:::::::::::::::::::::::
Der Einfachheit halber werden in der folgenden Herleitung nur zwei Neutrino-Flavours betrachtet
!
!
!
0
0
sin θjk
cos θjk
ν`j
νj
,
≈
0
0
cos θjk
− sin θjk
νk
ν`k
wobei `j , `k für e, µ oder τ stehen, während j, k ∈ {1, 2, 3} sind. Dabei wird der Mischungswinkel als
0 bezeichnet, um ihn von den Mischungswinkeln in einem Drei-Flavour-Szenario zu unterscheiden.
θjk
Die Energie-Eigenzustände νj , νk propagieren gemäß
|νi (x)i = e−ipi ·x |νi i = e−i(Ei t−~pi ·~x) |νi i,
(XIII.3)
mit Ei bzw. p~i der Energie bzw. dem Impuls des Zustands. Nach einer Strecke der Länge L, die in
einer Zeitspanne tL zurückgelegt wird, gibt dies
|νi (tL , L)i = e−i(Ei tL −pi L) |νi i,
mit pi ≡ |~
pi |.
Ein Neutrino84 mit Energie E sei zur Zeit t = 0 als Flavour-Eigenzustand erzeugt, z.B. als ν`j :
0 |ν i + sin θ 0 |ν i. Nach einer Strecke der Länge L
sein Zustand lautet dann |ν(0)i = |ν`j i = cos θjk
j
jk k
bzw. einer Zeit tL ist der Zustand gegeben durch
0
0
|ν(tL , L)i = cos θjk
e−i(EtL −pj L) |νj i + sin θjk
e−i(EtL −pk L) |νk i,
q
wobei pi = E 2 − m2i .
Die Amplitude, dass das Neutrino dann als ein Neutrino des zweiten Flavours ν`k beobachtet
0 hν | + cos θ 0 hν | gegeben,
wird, wird durch die Projektion von dessen Zustand auf hν`k | = − sin θjk
j
jk k
und zwar
(pk − pj )L
0
0
0
e−iEtL ei(pj +pk )L/2 sin
.
hν`k | ν(tL , L)i = cos θjk
sin θjk
e−iEtL eipk L − eipj L = i sin 2θjk
2
84
Genauer, eine Menge von Neutrinos mit identischen kinematischen Eigenschaften.
Jenseits des Standardmodells
135
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Dies entspricht einer Wahrscheinlichkeit
2
(pk − pj )L
0
P(ν`j → ν`k ) = hν`k | ν(tL , L)i = sin2 (2θjk
,
) sin2
2
dass das Neutrino nach einer Strecke L sich von einem ν`j - in ein ν`k -Neutrino umwandelt. Dabei
sieht man, dass diese Wahrscheinlichkeit unabhängig von der Zeitspanne ist.
Nimmt man an, dass das Neutrino ultrarelativistisch ist, d.h. E mi , so gilt
pi ∼ E −
1 m2i
,
2 E
und die obige Wahrscheinlichkeit wird zu
2
0
(2θjk
) sin2
∆m2jk L
mit ∆m2jk ≡ m2j − m2k .
(XIII.4)
4E
Bei fester Energie des Neutrinos ist diese Wahrscheinlichkeit eine periodische Funktion der zurückgelegten Strecke L, d.h. der Flavour des Neutrinos oszilliert entlang seiner Trajektorie, entsprechend
sog. Neutrinooszillationen. Die Amplitude dieser Schwingungen wird durch den Mischungswinkel
0 festgelegt: maximale Mischung gibt die größten Oszillationen, während es in Abwesenheit von
θjk
Mischung keine Oszillation gibt.
Die Wellenlänge der Oszillationen wird bestimmt durch die Energie des Neutrinos, sowie durch
die Differenz der Massenquadrate der Eigenzustände, die propagieren. Experimentell findet man für
diese Massenquadrate
P(ν`j → ν`k ) = sin
|∆m221 | ≡ |m22 − m21 | ' 7, 50 · 10−5 eV2 ,
|∆m232 | ≡ |m23 − m22 | ' 2, 32 · 10−3 eV2 .
(XIII.5)
Bemerkungen:
∗ In einem realistischen Drei-Flavour-Szenario ist der Ausdruck der Wahrscheinlichkeit natürlich komplizierter, doch im Endeffekt hängt sie noch von den gleichen Parametern, und zwar den
sin2 (2θij ), die die Amplitude bestimmen, und die ∆m2ij , die eine Rolle in der Wellenlänge spielen.
Somit findet man für die Wahrscheinlichkeit einer Umwandlung von ν`j in ν`k
P(ν`j → ν`k ) = 4
3
X
U`j i U`∗k i U`∗j l U`k i sin2
i,l=1
i<l
∆m2li L
,
4E
und für die Überlebungswahrscheinlichkeit für einen Flavour
3
2
X
U` k 2 U` k 2 sin2 ∆mki L .
P(ν`j → ν`j ) = 1 −
j
j
4E
(XIII.6a)
(XIII.6b)
i,k=1
i<k
∗ Betrachtet man ∆m221 und ∆m232 , so ergibt sich sofort ∆m231 ∼ ∆m232 . Somit sind m1 und m2
„nah an einander“, während m3 „weit entfernt“ (auf einer Massenskala) ist. Dabei ist die Reihenfolge
der Massen aber unbekannt, und zwar insbesondere ob m1 , m2 m3 oder m1 , m2 m3 gilt. Man
spricht im ersteren Fall von einer normalen Hierarchie — weil ν3 der Zustand ist, der den größten
Anteil an ντ enthält, entsprechend dem Partner des schwersten Leptons —, und im letzteren Fall
von invertierter Hierarchie.
∗ Setzt man numerische Werten ein, so findet man, dass die Wellenlänge der Schwingung gegeben
ist durch
E [GeV]
λ [km] = 2, 48
.
∆m2 [eV2 ]
Damit die Oszillation nicht gering ist, soll L der Ordnung eines Vierfachen dieser Wellenlänge sein,
d.h. für eine typische Neutrinoenergie von etwa 1 GeV soll der Abstand zwischen Erzeugungs- und
Beobachtungspunkt des Neutrinos von etwa 103 km sein. Dies wird in den nächsten Paragraphen
illustriert.
Jenseits des Standardmodells
136
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
XIII.1.2
b Sonnen-Neutrinos
::::::::::::::::::::::::::::
Eine erste Quelle von Neutrinos, deren Oszillation gemessen wurde, ist die Sonne. Gemäß dem
Standard-Sonnenmodell werden im Kern der Sonne nur Elektron-Neutrinos νe erzeugt, in den dort
stattfindenden Kernreaktionen:
• pp I-Kette: 4p → 4 He + 2e+ + 2νe , wobei die Neutrinos aus β + -Prozesse kommen;
• pp II-Kette: e− + 3 He + 4 He → e− + 7 Be → 7 Li + νe .
• pp III-Kette: p + 3 He + 4 He → p + 7 Be → 8 B → 2 4 He + e+ + νe .
Dabei haben die Neutrinos Energien von etwa 0.1–10 MeV.
Der auf der Erde gemessene Fluss von Elektron-Neutrinos aus der pp III-Kette, entsprechend
νe die eine Strecke von etwa 1, 5 · 108 km zurückgelegt haben, beträgt nur ungefähr ein Drittel des
erwarteten Flusses [55]
gemessener νe -Fluss
≈ 0, 35.
erwarteter νe -Fluss
Dabei konnte die SNO Collaboration den erwarteten Fluss, der im Nenner steht, wirklich messen,
indem sie den gesamten Fluss an allen Neutrinos (νe , νµ und ντ ) gemessen hat.
Die Deutung dieser Beobachtung ist, dass die erzeugten Elektron-Neutrinos sich in die zwei
anderen Flavours, die nicht separat gemessen werden, umwandeln. Genauer liefert die Messung den
Winkel θ12 und die Differenz ∆m221 .85
XIII.1.2
c Atmosphärische Neutrinos
::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Die Streuung von kosmischer Strahlung, insbesondere Protonen, an den Atomkernen der oberen
Atmosphäre führt zur Entstehung von positiven Pionen. Jedes π + zerfällt dann meistens in ein
Antimyon µ+ und ein Myon-Neutrino νµ . Wiederum zerfällt das Antimyon gemäß µ+ → e+ +νe + ν̄µ .
Die dabei entstehenden Neutrinos werden kollektiv als atmosphärische Neutrinos bezeichnet und
haben eine Energie von etwa E = 1–10 GeV.
Solche atmosphärischen Neutrinos werden dann durch einen Detektor, der sich nah an der Erdoberfläche befindet, nachgewiesen, und zwar durch die Reaktion ν` + A → ` + A0 , wobei ` = e−
oder µ− , während A und A0 Atomkerne bezeichnen — somit werden die Antineutrinos aus dem
µ+ -Zerfall ignoriert. Die im Detektor reagierenden Neutrinos können entweder direkt aus der Atmosphäre oberhalb des Labors kommen, oder sie erreichen den Detektor, nachdem sie durch die
Erde durchgeflogen sind. Im ersteren Fall haben sie eine Strecke von einige 10 km „nach unten“
zurückgelegt, während im letzteren Fall die Strecke „nach oben“ etwa L ≈ 104 km beträgt.
Messungen der Flüsse von Myon-Neutrinos in beide Richtungen durch das Super-Kamiokande
Experiment haben gezeigt, dass etwa die Hälfte der Myon-Neutrinos, die durch die Erde propagieren,
den Detektor nicht als νµ , sondern als Neutrinos eines anderen Flavours erreichen [56]
Fluss von νµ nach oben
≈ 0, 54.
Fluss von νµ nach unten
Dieses Ergebnis wird meistens als die Oszillation von Myon- in τ -Neutrinos interpretiert, d.h.
die Messung liefert θ23 und ∆m232 .
Bemerkung: Bei der Interpretation muss man für die Neutrinos, welche durch die Erde propagieren, sog. Materie-Effekte — auch bekannt als Mikheyev–Smirnov–Wolfenstein- (MSW) Effekt —
berücksichtigen. In Materie werden die Massen mi bzw. die Mischungswinkeln θij durch effektive
Massen bzw. effektive Mischungswinkeln ersetzt, was die Oszillationen verstärken kann.
Dieser Effekt spielt auch eine Rolle für die Sonnen-Neutrinos aus der pp III-Kette, die viel mehr
oszillieren, als solche aus der pp I- und pp II-Ketten, wenn sie durch die Sonne propagieren.
85
Da sin2 (2θ13 ) ziemlich kleiner als sin2 (2θ12 ) ist, hängt die Messung viel weniger von θ13 und ∆m231 ab.
Jenseits des Standardmodells
137
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
XIII.1.2
d Beschleuniger-Neutrinos
::::::::::::::::::::::::::::::::::
Weitere Ergebnisse betreffen Neutrinos, die in einem Beschleuniger-Experiment erzeugt werden, und danach in einem entfernten Detektor gemessen werden. Dabei ist der Abstand zwischen
Erzeugungs- und Messungspunkt kleiner als bei Sonnen- oder atmosphärischen Neutrinos, was etwas ungünstig ist, um Oszillationen beobachten zu können. Dieser Nachteil wird aber kompensiert
durch die Tatsache, dass die Energie der Neutrinos hier ziemlich genau bekannt ist.
Beispiele von solchen Experimenten sind K2K (KEK to Kamioka, in Japan, mit einem Abstand
L ≈ 250 km), OPERA & ICARUS (vom CERN nach dem Gran Sasso, entsprechend L = 730 km)
oder MINOS (vom Tevatron nach der Soudan Mine, L = 735 km).
XIII.1.2
e Kernreaktor-Neutrinos
:::::::::::::::::::::::::::::::::
Schließlich benutzen einige Experimente die Neutrinos, die aus wirtschaftlichen Kernreaktoren
emittiert werden. Hier auch sind Energie und Fluß der Neutrinos gut kontrolliert.
Beispiele sind im Japan KamLAND — wobei im Kamioka-Laboratorium die ν̄e -Antineutrinos
aus etwa fünfzig Kernkraftwerken mit gut bekannten Leistungen gemessen werden —, CHOOZ
(Frankreich), Daya Bay (China) oder RENO (Südkorea). Die zwei letzteren Experimente haben im
Frühling86 von 2012 die ersten Messungen von θ13 durchgeführt.
XIII.2 Neutrinos als Majorana-Teilchen
später!
Literatur
• Cottingham & Greenwood [50], Kap. 19–20.
• Griffiths [15], Kap. 11.
86
8. März für Daya Bay [57], 3. April für RENO [58].
Jenseits des Standardmodells
138
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
Literaturverzeichnis
[1] F. Schwabl, Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II), 5. Aufl. (Springer, Berlin & Heidelberg, 2008).
[2] B. F. Schutz, A first course in general relativity (University Press, Cambridge, 1985).
[3] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Feynman-Vorlesungen über Physik. Band 1 : Mechanik, Strahlung, Wärme, 5. Aufl. (Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München, 2007).
[4] T. Fließbach, Lehrbuch zur theoretischen Physik I. Mechanik , 4. Aufl. (Spektrum Akademischer
Verlag, Heidelberg & Berlin, 2003).
[5] L. Landau, E. Lifschitz, Lehrbuch der theoretischen Physik. Band II : Klassische Feldtheorie,
12. Aufl. (Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 1997).
[6] W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik. Band 4 : Spezielle Relativitätstheorie. Thermodynamik , 6. Aufl. (Springer, Berlin & Heidelberg, 2005).
[7] H. Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, 2. Aufl. (Westview Press, Reading, MA, 1999).
[8] P. Ramond, Group theory: A physicist’s survey (University Press, Cambridge, 2010).
[9] E. Schrödinger, Ann. Phys. (Leipzig) 81 (1926) 109–139.
[10] W. Gordon, Z. Phys. 40 (1926) 117–133.
[11] O. Klein, Z. Phys. 41 (1927) 407–442.
[12] L. Landau, E. Lifschitz, Lehrbuch der theoretischen Physik. Band IV : Quantenelektrodynamik ,
7. Aufl. (Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 1991).
[13] O. Nachtmann, Phänomene und Konzepte der Elementarteilchenphysik (Vieweg, Braunschweig,
1986).
[14] P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. Lond. A 117 (1928) 610–624.
[15] D. Griffiths, Elementary Particle Physics (Wiley-VCH, Weinheim, 2008).
[16] Particle Data Group (J. Beringer et al.), Review of Particle Physics, Phys. Rev. D 86 (2012)
010001.
[17] G. Modanese, Phys. Lett. B 348 (1995) 51–54 [hep-th/9501123].
[18] D. J. Griffiths, Quantenmechanik , 2. Aufl. (Pearson, München, 2012).
[19] A. Messiah, Quantenmechanik, Band 2 , 2. Aufl. (De Gruyter, Berlin, 1991).
[20] Selected papers on Quantum Electrodynamics, J. Schwinger (Hrsg.) (Dover, New York, 1958).
[21] P. J. Mohr, B. N. Taylor, D. B. Newell, Rev. Mod. Phys. 84 (2012) 1527–1605 [1203.5425].
[22] D. Hanneke, S. Fogwell, G. Gabrielse, Phys. Rev. Lett. 100 (2008) 120801 [0801.1134].
[23] T. Aoyama, M. Hayakawa, T. Kinoshita, M. Nio, Phys. Rev. Lett. 109 (2012) 111807
[1205.5368].
[24] T. Aoyama, M. Hayakawa, T. Kinoshita, M. Nio, Phys. Rev. D 77 (2008) 053012 [0712.2607].
Literaturverzeichnis
139
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
[25] T. Aoyama, M. Hayakawa, T. Kinoshita, M. Nio, Phys. Rev. Lett. 109 (2012) 111808
[1205.5370].
[26] J. D. Bjorken, S. D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics (McGraw-Hill, New York, 1964).
[27] C. Berger, Elementarteilchenphysik , 2. Aufl. (Springer, Berlin & Heidelberg, 2006).
[28] F. Halzen, A. D. Martin, Quarks and Leptons: An introductory course in modern particle physics
(John Wiley & Sons, New York, 1984).
[29] M. Gell-Mann, The Eightfold Way: A theory of strong interaction symmetry, Preprint CTSL-20,
TID-12608 (1961).
[30] Y. Ne’eman, Nucl. Phys. 26 (1961) 222–229.
[31] M. Gell-Mann, Phys. Lett. 8 (1964) 214–215.
[32] G. Zweig, An SU(3) model for strong interaction symmetry and its breaking, Preprint CERNTH-401 (1964).
[33] M. Gell-Mann, Y. Neemam, The Eightfold Way (Benjamin, New York, 1964).
[34] V. E. Barnes et al., Phys. Rev. Lett. 12 (1964) 204–206.
[35] J. Bjorken, Phys. Rev. 179 (1969) 1547–1553.
[36] J. Callan, Curtis G., D. J. Gross, Phys. Rev. Lett. 22 (1969) 156–159.
[37] E. D. Bloom et al., Phys. Rev. Lett. 23 (1969) 930–934.
[38] M. Breidenbach et al., Phys. Rev. Lett. 23 (1969) 935–939.
[39] R. P. Feynman, Phys. Rev. Lett. 23 (1969) 1415–1417.
[40] W. Heisenberg, Z. Phys. 77 (1932) 1–11.
[41] T. Lee, C.-N. Yang, Phys. Rev. 104 (1956) 254–258.
[42] C. Wu, E. Ambler, R. Hayward, D. Hoppes, R. Hudson, Phys. Rev. 105 (1957) 1413–1414.
[43] E. Bodenstedt, Experimente der Kernphysik und ihre Deutung, Teil II (Bibliographisches Institut, Zurich, 1973).
[44] M. Goldhaber, L. Grodzins, A. Sunyar, Phys. Rev. 109 (1958) 1015–1017.
[45] R. Garwin, L. Lederman, M. Weinrich, Phys. Rev. 105 (1957) 1415–1417.
[46] J. Friedman, V. Telegdi, Phys. Rev. 105 (1957) 1681–1682.
[47] E. Fermi, Z. Phys. 88 (1934) 161–177.
[48] R. Feynman, M. Gell-Mann, Phys.Rev. 109 (1958) 193–198.
[49] E. Sudarshan, R. Marshak, Phys.Rev. 109 (1958) 1860–1862.
[50] W. N. Cottingham, D. A. Greenwood, An introduction to the Standard Model of particle physics,
2. Aufl. (University Press, Cambridge, 2007).
[51] BaBar Collaboration [B. Aubert et al.], Phys. Rev. Lett. 93 (2004) 131801 [hep-ex/0407057].
Literaturverzeichnis
140
N.BORGHINI
Elementarteilchenphysik
[52] Belle Collaboration [Y. Chao et al.], Phys. Rev. Lett. 93 (2004) 191802 [hep-ex/0408100].
[53] V. Lobashev, Prog. Part. Nucl. Phys. 48 (2002) 123–131.
[54] C. Kraus et al., Eur. Phys. J. C 40 (2005) 447–468 [hep-ex/0412056].
[55] SNO Collaboration [Q. Ahmad et al.], Phys. Rev. Lett. 87 (2001) 071301 [nucl-ex/0106015].
[56] Super-Kamiokande Collaboration [Y. Fukuda et al.], Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 1562–1567
[hep-ex/9807003].
[57] DAYA-BAY Collaboration [F. An et al.], Phys. Rev. Lett. 108 (2012) 171803 [1203.1669].
[58] RENO Collaboration [J. Ahn et al.], Phys. Rev. Lett. 108 (2012) 191802 [1204.0626].
Literaturverzeichnis
141