Topologie - Blatt 2: Homöomorphismen

Topologie
M. Eisermann / A. Thumm
WiSe 2014 / 2015
Blatt 2: Homöomorphismen
1. H OM ÖOMORPHISMEN UND M ANNIGFALTIGKEITEN
Wiederholen Sie die Definition einer topologischen Mannigfaltigkeit und zeigen Sie:
(1) Der Raum Rn ist eine n–Mannigfaltigkeit (ohne Rand).
(2) Der Halbraum Rn+ ist eine n–Mannigfaltigkeit (mit Rand).
(3) Ist X eine n–Mannigfaltigkeit, so auch jede offene Teilmenge Y ⊂ X.
(4) Die Sphäre Sn ist eine n–Mannigfaltigkeit (ohne Rand)
(5) Der Ball Dn ist eine n–Mannigfaltigkeit (mit Rand)
(6) Der Quadrant (R≥0 )n ist eine n–Mannigfaltigkeit (mit Rand).
(7) Der Würfel [−1, 1]n ist eine n–Mannigfaltigkeit (mit Rand).
Als Hilfsmittel dienen die Lösungen folgender Spezialfälle:
1.1. Unter welchen Bedingungen ist eine affin-lineare Abbildung f : Rn → Rm mit
f (x) = Ax + b ein Homöomorphismus bezüglich der euklidischen Topologien?
1.2. Man zeige Rn ∼
= Bn und Rn+ ∼
= Bn+ vermöge zueinander inverser Homöomorphismen.
V 1.3. Jedes reelle Intervall I ⊂ R ist zu einem der Intervalle 0,
/ {0}, [0, 1], [0, 1[, ]0, 1[
homöomorph. Zusatz: Diese fünf Modelle sind untereinander nicht homöomorph.
Wir betrachten Rn+1 mit dem euklidischen Skalarprodukt und der zugehörigen Norm.
Sei p = (0, . . . , 0, 1) ∈ Rn+1 der Nordpol“ der Einheitsphäre Sn . Die stereographische
”
Projektion f : Sn r {p} → Rn lässt sich wie folgt auf ganz Rn+1 r {p} fortsetzen:
S 1.4. Wir betrachten die folgende Inversionsabbildung
x− p
h : Rn+1 r {p} → Rn+1 r {p},
h(x) = p + 2
.
|x − p|2
Diese ist wohldefiniert, stetig und erfüllt h ◦ h = idRn+1 r{p} sowie
h(Sn r {p}) = { x ∈ Rn+1 | xn+1 = 0 },
h(Dn+1 r {p}) = { x ∈ Rn+1 | xn+1 ≤ 0 },
h(Bn+1 ) = { x ∈ Rn+1 | xn+1 < 0 }.
Durch Einschränkung erhalten wir die stereographische Projektion f = h|Sn r{p}
und ihre Umkehrabbildung f −1 = h|Rn ×{0} .
V 1.5. Polarkoordinaten: Seien f : [0, ρ[ → [0, σ [ und g : Sm−1 → Sn−1 stetig mit f (0) = 0
und ρ, σ ∈ [0, ∞]. Dann erhalten wir eine stetige Abbildung
h : Rm ⊃ B(0, ρ) → B(0, σ ) ⊂ Rn
mit h(rv) = f (r) g(v)
für alle r ∈ [0, ρ[ und v ∈ Sm−1 . Sind f und g Homöomorphismen, dann auch h.
∼
1.6. Winkel geradebiegen: Zu 0 < α, β < 2π existiert ein Homöomorphismus h : C −
→
C
1
mit |h(v)| = |v| und h(rv) = rh(v) für r ∈ R≥0 und v ∈ S , der h(1) = (1) und
h(eiα ) = eiβ erfüllt. Nur für α, β 6= π kann h linear über R gewählt werden.
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Stand 29. Oktober 2014
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M. Eisermann / A. Thumm
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2. Ä QUIVALENTE N ORMEN UND M ETRIKEN
Zwei Normen k−k1 , k−k2 : V → R≥0 heißen äquivalent, wenn Konstanten c,C > 0 existieren, so dass c kvk1 ≤ kvk2 ≤ C kvk1 für alle v ∈ V gilt.
2.1. Man zeige die folgenden Aussagen:
(a) Äquivalenz von Normen ist eine Äquivalenzrelation.
(b) Äquivalente Normen induzieren dieselbe Topologie.
(c) Auf Rn sind die ` p –Norm und die `q –Norm für 1 ≤ p < q ≤ ∞ äquivalent.
Zusatz:
(d) Auf jedem reellen Vektorraum endlicher Dimension sind alle Normen äquivalent.
(e) Man finde zwei nicht äquivalente Normen auf dem selben Vektorraum.
Zwei Metriken d, d 0 : X × X → [0, ∞] heißen (topologisch) äquivalent, wenn sie dieselben
Topologien Td = Td 0 definieren. Wir nennen d feiner als d 0 (oder gleichbedeutend d 0
gröber als d), wenn Td ⊃ Td 0 gilt, also jeder ε–Ball bezüglich d 0 einen δ –Ball bezüglich
d enthält.
V 2.2. Sei f : [0, ∞] → [0, ∞] eine Funktion mit folgenden Eigenschaften:
(1) Es gilt f (0) = 0 und f (t) > 0 für t > 0, das heißt, f ist positiv definit.
(2) Für alle s ≤ t in [0, ∞] gilt f (s) ≤ f (t), das heißt, f ist monoton wachsend.
(3) Für alle s,t ∈ [0, ∞] gilt f (s + t) ≤ f (s) + f (t), das heißt, f ist subadditiv.
Man zeige, dass für jede Metrik d : X × X → [0, ∞] auch die durch f skalierte
Funktion d 0 = f ◦ d eine Metrik auf X definiert. Dabei ist d 0 feiner als d. Ist f
zudem stetig in 0, so sind d und d 0 äquivalent.
2.3. Die diskrete Metrik d : X × X → [0, ∞] mit d(x, x) = 0 und d(x, y) = 1 für alle
x, y ∈ X, x 6= y ist feiner als jede andere Metrik auf X.
2.4. Ist d : X × X → [0, ∞] eine Metrik, so auch
d(x, y)
d 0 : X × X → [0, 1] mit d 0 (x, y) =
,
1 + d(x, y)
die wir die gestauchte Metrik nennen. Ebenso ist
d ∗ : X × X → [0, 1] mit d ∗ (x, y) = min{ d(x, y), 1 }.
eine Metrik auf X, die wir die gestutzte Metrik nennen. Alle drei Metriken d und
d 0 und d ∗ sind topologisch äquivalent.
2.5. Ist der Raum Rn Cauchy–vollständig bezüglich der euklidischen Metrik? Finden
Sie eine topologisch äquivalente Metrik, bezüglich derer Rn nicht vollständig ist.
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