Zusammenfassung Physik II Magnetostatik, Elektrodynamik, Wellen

Zusammenfassung Physik II
Magnetostatik, Elektrodynamik, Wellen-/Matrixmechanik
Author: Jan Rys ([email protected])
January 23, 2008
1
Contents
1 Nützliches
3
2 Magnetostatik
2.1 Die magnetische Kraft (Lorenz Kraft) . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bewegung einer Punktladung in einem Magnetfeld . . . . . .
2.3 Das auf Magnete und Leiterschleifen ausgeübte Drehmoment
2.4 Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Quellen des Magnetfeldes
3.1 Klassisch (Biot-Savar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Magnetfeld einer bewegten Punktladung in Punkt P. .
3.1.2 Magnetfeld von Strömen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Magnetfeld einer Zylinderspule . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Eines geraden Leiterabschnittes . . . . . . . . . . . . .
3.2 Gauss’scher Satz für Magnetfelder . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Fluss durch eine Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Das Ampere’sche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Magnetfeld im äusseren und inneren eines Drahtes . . .
3.3.2 Magnetfeld eines rotierenden Leiterdrahtes . . . . . . .
3.3.3 Magnetfeld innerhalb einer dicht gewickelten Ringspule
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4 Induktion
4.1 Induktionsspannung und Faraday’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Induktionspannung in einer ruhenden Leiterschleife bei veränderlichem Magnetfeld
4.2 Lenz’sche Regle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Induktion durch Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Maxwell’sche Gleichungen
5.1 Verschiebungsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Magnetfeld zwischen 2 Plattenkondensatoren .
5.1.2 Zylinderkondensator . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Die Maxwell’schen Gleichungen . . . . . . . . . . . .
5.4 Die elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Intensität und Pointingvektor . . . . . . . . .
5.4.2 Herleitung der Wellengleichung für em-Wellen
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6 Wellenmechanik
6.1 Teilcheneigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 Matrixmechanik am H2+
8.1 Matrixdarstellung des Hamilton-Op . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Beispiel H +
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6.2
6.3
6.4
6.5
6.1.1 Photoelektrische Effekt . . . . . . .
6.1.2 Compton-Streuung . . . . . . . . .
Elektronenwellen . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 De-Broglie-Hypothese . . . . . . .
Interpretation der Wellenfunktion (Born) .
6.3.1 Teilchen im Kasten . . . . . . . . .
6.3.2 Erwartungswert . . . . . . . . . . .
Die Schrödingergleichung . . . . . . . . . .
Operatoren Rechnen . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Hermitesch . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Eigenwerte / Eigenfunktionen . . .
6.5.3 Kommutator und Unschärferelation
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7 Wasserstoffatom
7.1 Bohr’sche Postulate . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 1 Postulat . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 2 Postulat . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 3 Postulat . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.4 Bohr’scher Radius . . . . . . . . . .
7.1.5 Energieniveaus . . . . . . . . . . . .
7.2 Quantentheorie . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Wahrscheindlichkeit eines Messwertes
2
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und Erwartungswert
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1
Nützliches




Vektorprodukt ~a × ~b = 
a1
a2
a3


 
 
×
 
Rechte-Hand-Regel Merksatz: FBI
Mittelfinger = F
Zeigefinger = B
Geometrie Kreis: U = 2π · r
Zylinder: Manter: M = 2π · r · h


b1
b2
b3




=


a2 b 3 − a3 b 2
a3 b 1 − a1 b 3
a1 b 2 − a2 b 1





oder :
| ~a | · | ~b | · sin(θ)
Daumen = I oder v
F = π · r2
Kugelkoordinaten
r=
q
x2 + y 2 + z 2
z = r · cos θ
x = r · sin θ · cos φ
x = r · cos θ · sin φ
Element = r2 · sin θ
Skalarprodukt Für zwei Vektoren ~u und ~v ist folgendes Produkt definiert: (~u, ~v ) =
gelten folgende Eigenschaften:
(~u, α~v1 + β~v2 ) =
X
u∗i (α~v1 + β~v2 )i =
i
X
u∗i (αv1i + βv2i ) = α
X
i
u∗i · v1i + β
i
= α(~u, ~v1 ) + β(~u, ~v2 )
!∗
(~u, ~v ) =
X
u∗i
· vi =
i
(~u, ~u) =
X
i
X
(ui ·
vi∗ )∗
=
i
u∗i · ui =
X
X
ui ·
vi∗
i
!∗
=
X
i
| ui |2 ≥ 0
i
3
vi∗
· ui
= (~v , ~u)∗
X
i
P
i
u∗i · vi Dafür
u∗i · v2i
2
2.1
Magnetostatik
Die magnetische Kraft (Lorenz Kraft)
Ein Magnetfeld übt eine Kraft auf ein bewegtes Teilchen aus.
~
F~ = q · ~v × B
~ : [T =
B
(1)
N
]
Cm
s
Auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld ist die Kraft = die Summe aller Kräfte
auf alle geladenen Teilchen.
~ ·(n)·A·l
F~ = q · ~vd × B
V
~
~
= I ·l×B
(2)
n
V
: Anzahl pro V olumeneinheit
A · l : V olumen
Für einen Leiter beliebiger Geometrie:
2.2
Bewegung einer Punktladung in einem Magnetfeld
Ein Teilchen wird in einem Magnetfeld auf einer Kreisbahn abgelenkt. Es wird keine Energie hinzugefügt.
BGL:
m · ~a = F~
T eilchen in der x − y − Ebene; M agnet in z − Ebene

F~
=q




vx
vy
0


 
 
×
 
0
0
Bz


m · v̇x = −q · vy · Bz

⇒

m · v̇y = q · vx · Bz
4


→ m · v̈y = q · v̇x · Bz 
=⇒
m2 · v̈y
= −q · vy · Bz
q · Bz
(3)
Lösung mit Ansatz für den harmonischen Oszilator:
−q · Bz
m
vt = r · ω
2π
T =
ω
1 q2 · B 2 2
1
· m · v2 =
·r =q·E
Ekin =
2
2 m
ω =
2.3
Das auf Magnete und Leiterschleifen ausgeübte Drehmoment
Das Magnetfeld der Schleife richtet sich nach demjenigen der Umgebung (Vektoren liegen übereinander).
Drehmoment :
mag.Dipol :
~ = ~µ × B
~
M
~
~µ = n · I · A
~ |=| ~µ × B
~ |=| ~µ | · | B
~ | · sin(θ) = n · I · | A
~ |· | B
~ | · sin(θ)
=⇒| M
| {z }
|~a×~b|
Energie eines magnetischen Dipols im Magnetfeld:
~ | cos(θ) + Epot,0
Epot = − | ~µ | · | B
~
= −~µ ◦ B
θ = 90 → Epot,0 = 0
5
(4)
2.4
Hall-Effekt
Durch das äussere Magnetfeld entsteht eine Ladungstrennung im Leiter. Durch das Messen der entstanden Potentialdifferenz, kann eine Aussage über die Leitfähigkeit (vd ) das äussere Magnetfeld oder
die Anzahl Ladungen (pos. und neg.) im Leiter gemacht werden.
Im Gleichgewichtszustand :
n
Ladungträgerdichte :
=
V
I·B
M agnetf eld :
UH = d·e· n
UH = EH ·
I
I
= b·d·q·v
A·q·vd
d
b = vd · B · b
I·B
= d·e·U
H
V
q = −e;
d = Dicke
Herleitung :
n
J = q · · vd
V
n
I = J · b · c ⇒ I = q · · vd · b · c
V
I
UH
⇒
·B =q·
n·b·c
b
3
3.1
3.1.1
Quellen des Magnetfeldes
Klassisch (Biot-Savar)
Magnetfeld einer bewegten Punktladung in Punkt P.
~
~ = µ0 · q · ~v × rb
B
4π
r2
rb =
~r
;
| ~r |
(4)
r = Abstand Der Ladung zu P unkt P
6
3.1.2
Magnetfeld von Strömen
~ =
dB
µ0 I · d~l × ~rb
·
4π
r2
µ0 I
µ0 I I
(Im M ittelpunkt der LS) → B =
dB =
· 2 · | d~l |=
· 2 · 2π · rLS
4π rLS
4π rLS
µ0 · I
=
2 · rLS
Z
(Auf der Achse einer LS) → B =
(Achse eines mag. Dipols) → B =
3.1.3
2
rLS · I
µ0
2π · rLS
·I
µ0
· 2
·
2π
·
r
=
·
LS
2 3/2
2 3/2
2
4π (x + rLS )
4π (x + rLS )
wobei : r2 = x2 + r2 LS; | d~l × ~rb |= d~l
2
µ0
2π · rLS
·I
·
3
4π | x | → N äherung
(5)
(6)
(7)
Magnetfeld einer Zylinderspule


µ0
n Z x2
1
x2
x1
2
q

q
−
B=
· 2π · rLS
· ·I
dx
=
.
.
.
·
2
2
2
4π
l
x1 (x2 + rLS )3/2
x22 + rLS
x22 + rLS
(8)
Vereinfachung für sehr lange Spulen:
B=
µ0 · n · I
l
(9)
7
3.1.4
Eines geraden Leiterabschnittes
B=
µ0 I
·
· (sin(θ2 ) − sin(θ1 ))
4π r⊥
(10)
Vereinfachung für einen unendlich langen Leiter:
B=
3.2
µ0 2 · I
·
4π r⊥
(11)
Gauss’scher Satz für Magnetfelder
Es existieren keine magnetischen Monopole. D.h. wenn um einen Stabmagneten eine Gauss’sche
Oberfläche gelegt wird, ist die Anzahl der Magnetlienen die durch die Fläche dringen (Nordpol) gleich
der Anzahl der Magnetlinien die eintreten (Südpol). → Der magnetische Fluss ist 0.
vgl: Φel = qinnen /0 .
Φmag =
3.2.1
I
~ ◦ dA
~=
B
A
I
A
~ |·|A
~ | · cos(θ) =! 0
Bn · dA =| B
Fluss durch eine Spule
Φmag
µ0 · n 2 · I · A
µ0 · n 2 · I · π · r 2
n
=
= Bn · dA = Bn · n · A = µ0 · · I · n · A =
l
l
l
A
Z
8
(12)
3.3
Das Ampere’sche Gesetz
Das Ampere’sche Gesetz verknüpft die tangentiale Komponente Bt des Magnetfeldes, integriert entlang
eines geschlissenen Kruve C, mit dem durch die beliebige, von C begrenzte Fläche tretenden Strom IC .
Das Gesetz funktioniert nur bei einem hohen Mass an Symmetrie!
I
C
Bt dl =
I
C
~ ◦ d~l = µ0 · IC
B
(13)
Für eine Spule:
B · l = µ0 · n · I
3.3.1
(14)
Magnetfeld im äusseren und inneren eines Drahtes
I
C
Bt dl = B ·
I
C
dl = B · 2π · r⊥ = µ0 · IC
µ0 · I
2π · r⊥
→B =
(r⊥ ≥ rDraht und I = IC )
2
µ0
µ0
π · r⊥
B =
· IC =
·
·I
2
2π · r⊥
2π · r⊥
π · rDraht
!
2
r⊥
µ0 · I · r ⊥
(r⊥ ≤ rDraht und I =
→B =
IC )
2
2π · r2
rDraht
!
3.3.2
Magnetfeld eines rotierenden Leiterdrahtes
Ein Draht mit Radius R und der Ladungsdichte ρ rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω um seine
Achse (z-Achse)
Die effektive Stromdichte errechnet sich wie folgt:
~j(r) = ρ · ~v = ρ · ω · r · ~eϕ
(15)
Daraus folgt für das Ampere’sche Gesetz:
B·l =
I
C
~ ◦ d~l = µ0 · I = µ0 ·
B
= µ0 · l ·
Z
r
R
ρ · ω · r0 dr~0 =
Z
~
~j(r) dA
(16)
A
µ0 · l · ρ · ω
· (R2 − r2 ) · ~ez
2
9
(17)
3.3.3
Magnetfeld innerhalb einer dicht gewickelten Ringspule
I
C
Bt dl =
→B=
I
C
~ ◦ d~l = µ0 · IC = µ0 · n · I
B
µ0 · n · I
2π · r
(a < r < b)
Je grösser der Radius der Spule ist, umso homogener wird das Magnetfeld darin.
10
4
Induktion
Die Induktion ist die Erzeugung von Strom durch eine zeitliche Änderung des Magnetfeldes, oder die
Bewegung eines Magneten relativ zum Feld. ( Bsp. Leiterschleife bewegt sich im Magnetfeld). Dabei
werden nichtkonservative Felder betrachtet! Vgl. das Umlaufintegral eines konservativen Feldes ist
H
~ ◦ d~l)
gleich 0 ( C A
4.1
Induktionsspannung und Faraday’sches Gesetz
Die induzierte Spannung braucht eine Änderung des Magnetfeldes. Diese kann Hervorgerufen werden
durch: Änderung des Stromes, welche das Magnetfeld erzeugt, Bewegung eines Magneten relativ zur
Fläche oder Bewegung einer Leiterschleife im homogenen oder inhomgenen Magnetfelden (drehen oder
verschieben).
dΦmag
dt
I
~ ◦ d~l
E
=
Uind = −
(18)
Uind
(19)
C
F ür C = Kreis und nichtkonservatives M agnetf eld → Et = konstant f ür r
4.1.1
Induktionspannung in einer ruhenden Leiterschleife bei veränderlichem Magnetfeld
Uind =
4.2
Z
~ ◦ d~l = − dΦmag = d
~ ◦ dA
~
E
B
dt
dt A
C
I
(20)
Lenz’sche Regle
Die von einer Zustandsänderung verursachte Induktionsspannung ist stets so gerichtet, dass sie ihrer
Ursache entgegenzuwirken sucht.
11
4.3
Induktion durch Bewegung
Wird ein Leiter in einem Magnetfelden bewegt, so wird eine Spannung induziert.
Der Fluss durch den Leiter ändert sich gemäss:
~ ◦A
~ =B·A=B·l·x
Φmag = . . . = B
(F ür einen Quadratischen Leiter)
dΦmag
dx
→
=B·l·
=B·l·v
dt
dt
I
~ ◦ dl = − dΦmag )
(Allgemein : Uind = (~v × B)
dt
C
(21)
(22)
~ | entsteht
Die Kräfte FL und FR = q⊥ kompensieren sich (normaler Leiter). Die Kraft FU = q· | ~v | · | B
durch die Bewegung der Stabes (rechte Hand) und wird im Gleichgewichtszustand durch q· | E~k |
kompenisert:
~ |
| E~k |=| ~v | · | B
Die Potentialdifferenz wird gegen durch:
~ | ·l
U =| E~k | ·l =| ~v | · | B
Kraft auf den Stab:
ind
Fx = −I · B · l
I = UR
= B·l·v
Fx = m · dv
dt
R
2 2
→ Fx = − B R·l ·v
Daraus ergibt sich die BGL:
2 2
m · dv
= − B R·l ·v dt
v
Mit der Lösung:
τ = Bm·R
v = v0 · e− τt
2 ·l2
2 2
Beispiel eines Stabes der mit konstanter Geschwindigkeit hinunter gleitet: m · g = − B R·l ·v
12
5
5.1
Maxwell’sche Gleichungen
Verschiebungsstrom
Der Verschiebungsstrom ergänzt das Ampre’sche Gesetz für den Fall von nicht kontinuierlichem Strom
(Plattenkondensator).
Def inition des V erschiebungsstrom : IV = 0 ·
N eue F orm :
dΦel
dt
~ ◦ d~l = µ0 · (I + IV ) = µ0 · I + µ0 · 0 · dΦel
B
dt
C
I
(23)
Durch das Volumen, welches durch die Kurven A1 und A2 eingeschlossen wird, muss genau gleich viel
Strom reinfliessen wie raus. In das Volumen fliesst: I = dqinnen
dt
Den Zusammenhang zwischen dem elektrischen Fluss aus dem Volumen heraus und der Ladung gibt
H
das Gauss’sche Satz: Φel = A En · dA = 10 · qinnen
el
Aufgelöst: qinnen = 0 · Φel und nach der Zeit abgeleitet: dqinnen
= 0 · dΦ
, was zusammengebaut den
dt
dt
Verschiebungsstrom ergibt.
Das verallgemeinerte Ampre’sche Gesetz und das Faraday’sche Gesetz besegen genau die Umkehrung
von einander:
I
C
~ ◦ d~l = µ0 · I + µ0 · 0 ·
B
Uind =
I
C
~ ◦ d~l = −
E
I
A
I
A
dEn
· dA
dt
(24)
dBn
· dA
dt
(25)
13
5.1.1
Magnetfeld zwischen 2 Plattenkondensatoren
Zwischen den Kondensatoren fliesst ein Verschiebungsstrom, der gleich dem Strom zu der Platte ist.
q/A
d(E·A)
d(E)
q
σ
d
el
·
A
=
gleich
I
=
·
Da IV = 0 · dΦ
mit
Φ
=
E
·
A
=
=
·
A
·
=
·
A
·
ist.
V
0
el
0
0
dt
0
0
dt
dt
dt A·0
Das Magnetfeld wird wie folgt berechnet:
I
C
~ ◦ d~l = µ0 · (I + IV )
B
wobei :
I
~ ◦ d~l = B · 2π · r
B
C
Zwischen den Platten existiert nur der Verschiebungstrom:
dΦel
dt
σ
q
wobei : Φel = E · πr2 = · πr2 = πr2 ·
0
0 · πrP2
IV = 0 ·
Daraus ergibt sich das Resultat:
d
q · r2
B · 2π · r = µ0 · 0 ·
·
dt
0 · rP2
5.1.2
!
= µ0 ·
r2 d
·
rP2 dt
Zylinderkondensator
Ein pos. Teilchen bewegt sich mit vz in einem Zylinderkondensator ( Achse = z-Achse). Im innern des
Kondensators, hat es einen Draht. Der innere Kondensator ist mit der pos. Ladungsdichte ρ gelegt.
Der Kondensator hat kein B-Feld im innern, da sich alle Komponenten aufheben.
Der Draht erzeugt jedoch ein B-Feld.
Dieses B-Feld ist gleich:
µ0 · I
~
B(r)
=
· ~eϕ
2π · r
Das E-Feld des Kondi ist:
2π · ρ · ri 1
~
E(r)
=
· · ~er
2π · 0
r
14
Damit das Teilchen auf einer konstanten Bahn gehalten wird, muss gelten:
~ =q·E
~
F~L = q · (~v × B)
2π · ρ · ri 1
µ0 · I
· (−~er ) = q ·
· · ~er
q · vz ·
2π · r
2π · 0
r
Der Strom in abhängigkeit der Geschwindigkeit des Teilchens gibt:
I=
5.2
2π · ρ · ri 1
·
µ0 · 0
vz
Stromdichte
Die Stromdichte, ist gleich der durchströmten Ladung pro Zeiteinheit und Flächeneinheit:
ρ · q2 · t
4q
=
· Ex
4t · A
m
J~ = ρ · ~v
Jx =
Die effektive Stromdichte ist gegen durch:
~ ×M
~
J~M = ∇
und existiert nur, wenn die Ableitung existiert: Randstrom,...
15
5.3
Die Maxwell’schen Gleichungen
Φel =
I
A
Φmag =
En · dA =
I
1
· qinnen
0
(26)
~ ◦ dA
~=0
B
(27)
A
dBn
~ ◦ d~l = − d
· dA
Bn · dA = −
E
dt A
A dt
C
I
I
I
d
dEn
~
~
B ◦ dl = µ 0 · I + µ 0 · 0 ·
· dA
En · dA = µ0 · I + µ0 · 0 ·
dt A
C
A dt
I
I
I
(28)
(29)
Mit Dreieckli:
~ ◦E
~ = ρ
∇
0
(30)
~
~ ×E
~ = − dB
∇
dt
~
~
∇◦B =0
(31)
(32)
~
~ ×B
~ = µ0 · J~ + 1 · dE
∇
c2 dt
(33)
Die letzte Gleichung erfüllt nun die Kontinuitätsbedingung: div( c12 ·
5.4
~
dE
)
dt
= . . . = µ0 ·
dρ
dt
Die elektromagnetische Wellen
Die elektromagnetischen Wellen sind Transversalwellen. Dabei werden das magnetische und das elektrische Feld miteinander verknüpft, gemäss der Beziehung E = c mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit
~ × B.
~
c = √µ10 ·0 . Die Richtung der Fortpflanzung ist E
16
5.4.1
Intensität und Pointingvektor
Für die Intensität einer em-Welle betrachten wir eine Welle, welche durch einen zylindrischen Bereich mit
länge l und Querschnittsfläche A entlang der Längsachse geht. Die mittlere em-Energie hEem i entspricht
der mittleren Energiedichte hwem i multipliziert mit dem Volumen des Zylinders: hEem i = hEem i · V
Zum durchlaufen des Volumens braucht die Welle 4t = l/c.
Die mittlere Leitung (Energie pro Zeit) ist demnach: hPem i = hEem i /4t = hwem i·l·A/(l/c) = hwem i·A·c
1
· µ0 · B 2
E =c·B
2
B2
E·B
f olgt : hwem i = hwel i + hwmag i = 0 · E 2 =
=
µ0
µ0 · c
Aus : hwel i =
1
· 0 · E 2
2
hwmag i =
c2 =
1
0 · µ0
(34)
Für die Intensität ergibt sich:
Iem = hwem i · c =
Eef f · Bef f
1 E0 · B0 D ~ E
=
= |S|
µ0
2 µ0
Wobei der effektiv Wert die Amplitude E0 bzw. B0 der Welle durch
(35)
√
2 ist.
~ heisst Pointing Vektor. Der mittlere Betrag gibt die Intensität der Welle und seine
Der Vektor S
Richtung die Ausbreitungsrichtung der Welle an.
~
~
~ = E×B
S
µ0
5.4.2
(36)
Herleitung der Wellengleichung für em-Wellen
Die Wellengleichung wird anhand der Dreieckli-Maxwell Gleichungen hergeleitet. Dies unter der Annahme, dass keine Ladungen und Ströme vorhanden sind.
~ ◦E
~ =0
∇
~
~ ×E
~ = − dB
∇
dt
~
~
∇◦B =0
~
~ ×B
~ = 1 · dE
∇
c2 dt
In diesem Fall lassen sich die Gleichungen entkoppeln und eine Wellegleichung konstruieren. Dazu
berechnet man:
17
~ × (∇
~ × B)
~ = 1 · d (∇
~ × E)
~
∇
c2 dt
~ × (∇
~ × B)
~ =∇
~ (∇
~ ◦ B)
~ −4B
~
Dabei wird benutzt f ür links : ∇
|
{z
=0
}
~
~ × E)
~ = − dB
F ür rechts setzten wir : (∇
dt
~
1 d2 B
~
Alles zusammen ergibt =⇒ −4B = − 2 · 2
c
dt
Analog f ür E
~ = E~0 · ei(~k·~r−ω·t) und B
~ = B~0 · ei(~k0 ·~r−ω0 ·t) gelöst werden. (Ey = E0 sin k · x − ω · t).
Durch den Ansatz E
~ |= c· | B
~ |.
Eingesetzt in die 4. Maxwell Gleichung ergeben ein orthogonales Rechtssystem mit | E
18
6
Wellenmechanik
6.1
Teilcheneigenschaften
6.1.1
Photoelektrische Effekt
Bei auftreffen von Licht auf eine Kathode werden Elektronen mit der Energie der jeweiligen Photonen
bei der gegebenen Wellenlänge rausgeschlagen. Die maximale Energie der Elektronen ist unabhängig
von der Intensität des Lichtes.
Photonenenergie:
E =h·ν =
6.1.2
h·c
λ
(37)
Compton-Streuung
Nach der klassischen Physik, müsste eine freie Ladung beim auftreffen einer EM-Welle mit der gleichen
Frequenz schwingen -¿ Welle mit der gleichen Frequenz emittieren. Compton nahm den Streuprozess
als Zusammenstoss von Photonen mit Elektronen. Aus E = p · c folgt der Impuls eines Photons:
p=
h
λ
(38)
und die Comptongleichung:
λ2 − λ 1 =
h
· (1 − cos Θ)
me · c
(39)
Mit Θ als Winkel zwischen dem einfallenden und dem abgestrahlten Photon.
6.2
6.2.1
Elektronenwellen
De-Broglie-Hypothese
De-Broglie vermutete, dass auch umgekehrt jedem Teilchen eine Wellenfunktion u(x, t) = A · ei·(k·k−ω·t)
zugeordnet werden kann.
Mit der Wellenlänge, der Frequenz und k:
h
p
E
ν=
h
p
k=
h̄
λ=
Wobei für ein Teilchen die Ekin mit Impuls p gilt die klassische Beziehung:
Ekin
q
p2
→ p = 2 · m · Ekin
=
2·m
(40)
19
λ=
h
h
=√
p
2 · m · Ekin
(41)
Für Resultate in eV den Bruch mit c erweitern.
Daraus ergibt sich für ω:
ω = h̄ ·
6.3
k2
2·m
(42)
Interpretation der Wellenfunktion (Born)
Bei klassischen Wellen ist die Energie pro Volumeneinheit porportional zum Quadrat der Wellenfunktion. Da die Energie quantisisert ist, entspricht die Energie pro Volumeneinheit der Anzahl Photonen pro
Volumeneinheit. Bei sehr geringer Leistung gibt das Quadrat der Wellenfunktion also die Wahrscheinlichkeit ein Photon in einer Volumeneinheit zu finden.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist also:
P (x) = u2 (x, t)
(43)
mit der Normierungsbedingung:
Z
+∞
| u(x, t) |2 dx = 1
(44)
−∞
6.3.1
Teilchen im Kasten
Durch einführen von periodischen Randbedingungen, kommt es zu stehenden Wellen, was nur noch
bestimmte Lösungen zulässt und keine Zeitabhängigkeit mehr hat (Stehndewelle).
Bei einem Kasten mit x(0) = 0 und x(d) = 0 ergibt die Lösung der Wellenfunktion:
un (x) = An · ei·k·x
mit
k=
2π · n
(Herleitungmit sin = 0)
d
Mit der Normierungsbedingung erhalten wir:
Z
+∞
| u(x) |2 dx =
Z
−∞
Was für An =
6.3.2
0
√1
d
d
A2n · (e−i·k·x · ei·k·x ) = 1
|
{z
=1
}
ergibt.
Erwartungswert
Wir können in der Wellenmechanik die Wahrscheinlichkeit angeben ein Teilchen an einer bestimmten
Position zu messen. Nach vielen Messungen identischer Teilchen, verteilen sich die Resultate gemäss
dem Verlauf der Wahrscheinlichkeitsdichte über die Kastenlänge. Der Mittelwert x, der aus solchen
Messungen hervorgeht, heisst Erwartungswert hxi.
20
hxi =
Z
+∞
x · u2 (x, t)dx
(45)
−∞
für Operatoren:
Z
(~u, Ab ~v ) =
+∞
u∗ (x, t) · Ab u(x, t)dx
(46)
−∞
für nicht normierte Funktionen:
R +∞
hxi =
2
−∞ x · u (x, t)dx
R +∞
2
−∞ u (x, t)dx
(47)
R +∞
hxi =
2
−∞ x · u (x, t)dx
R +∞
2
−∞ u (x, t)dx
(48)
Der Erwatungswert einer beliebigen Funktion ist demnach:
hf (x)i =
Z
+∞
f (x) · u2 (x, t)dx
(49)
−∞
6.4
Die Schrödingergleichung
Die Wellenfunktion Ψ(x, t) soll Beugungseffekte ermöglichen. Dies lässt sich durch den Ansatz einer
i
Helmholz Gleichung realisieren. Wobei Ψ(x, t) = a · ei·kx ·x−i·ω·t = a · e h̄ (px ·x−E·t) wobei E = h̄ · ω;
√
px = h̄ · kx und i = −1 ist.
Da es sich um eine komplexe Funktion handelt und die Aufenthaltswahrscheinlichkeit reel sein muss,
folgt:
P (x, t)dx =| Ψ(x, t) |2 dx = Ψ∗ · Ψdx
(50)
Unter Berücksichtung der Postulate, folgt die zeitabhängige Schrödingergleichung:
h̄2
∂
−
4 + U (~r) Ψ(~r, t) = i · h̄
Ψ(~r, t)
2·m
∂t
!
(51)
komplex konjugiert:
h̄2
∂ ∗
−
4 + U (~r) Ψ∗ (~r, t) = −i · h̄
Ψ (~r, t)
2·m
∂t
!
21
(52)
2
2
2
∂
∂
∂
Mit 4 = ∂x
2 + ∂y 2 + ∂z 2
h̄2
c
und − 2·m
4 + U (~r) = H
Setzt man den Ansatz Ψ(~r, t) = e−i·E·t/h̄ in die zeitabhängige Schrödingergleichung erhält man die
zeitunabhängige Schrödingergleichung:
h̄2
−
4 + U (~r) Ψ(~r) = E · Ψ(~r)
2·m
!
(53)
i
Setzt man nun die Gleichung einer Ebenenwelle (Ψ(x, t) = a · e h̄ (~p·~r−E·t) ) in die SG, erhält man
was der klassischen Energie entspricht.
6.5
p
~2
2·m
= E,
Operatoren Rechnen
Was in der klassischen Physik durch Skalare und Vektoren ausgedrückt wird, wird in der Quantenmechanik durch Operatoren ausgedrückt (Korrespondenz-Prinzip). Operatoren sind Rechenvorschriften,
die auf Wellenfunktionen Ψ anzuwenden sind. Die Beschreibung eines quantenmechanischen Systems
erfolgt durch eine Wellenfunktio, die alle Informationen über das System enthält. Die Messgrössen
werden dabei durch die Operatoren dargestellt.
Die möglichen Messwerte des Operators Ab sind die Eigenwerte a des Operators. Man erhält diese durch
Anwendung des Operators auf die zu diesem Eigenwert gehörige Wellenfunktion (Eigenfunktion).
·
Ab
Ψn (~r)
=
a
·
Ψn (~r)
(54)
Diese reelen Eigenwerte a können diskret oder kontinuierlich sein. Befindet sich das qm System nicht
in einem Eigenzusatnd Ψn sondern in einem allgemeinen Zustand, so ergibt sich für den Operator Ab
ein schwankender Messwert mit Mittelwert a (Erwartungswert) mit:
Z
E
b
b r )dV
a = Ψ(~r), A · Ψ(~r) = Ψ∗ (~r) · AΨ(~
D
(55)
Ein solcher allgemeiner Zustand Ψ(~r) ergibt sich durch lineare Überlagerung (Superposition) der Eigenzustände Ψn (~r) mit
Ψ(~r) =
X
cn · Ψn (~r)
(56)
n
und Voraussetzung, dass gilt:
Z
Ψ∗ (~r) · Ψ(~r)dV = 1
(57)
22
6.5.1
Hermitesch
Operatoren sind hermitesch, falls gilt:
(~u, Ab ~v ) = (Ab ~u, ~v )
(58)
d
im Intervall − L2 bis
Bsp 1: Impulsoperator pb = −i · h̄ dx
(Ψ(x), pb Ψ(x))
=
P.I.
=
Z
L
2
−L
2
L
2
Ψ∗ (x) · −i · h̄ · Ψ0 (x)
L
2
∗
−i · h̄ [Ψ (x) · Ψ(x)]− L − (−i · h̄) ·
2
=
Z
L
2
−L
2
Z
L
2
−L
2
Ψ∗0 (x) · Ψ(x)
(−i · h̄ · Ψ0 (x))∗ · Ψ(x) = (pb Ψ(x), Ψ(x))
Bsp 2: Paritätsoperator Pb Ψ(~r) = Ψ(−~r)
(Ψ(~r), Pb Ψ(~r))
=
Z∞ Z∞ Z∞
Ψ∗ (~r) · Ψ(−~r)dxdydz
−∞ −∞ −∞
~
r 0 =−~
r
=
3
(−1)
| {z }
=
−∞
Z −∞
Z −∞
Z
Ψ∗ (−~r0 ) · Ψ(~r0 )dx0 dy 0 dz 0
Abl. nach x,y,z ∞
Z∞ Z∞ Z∞
∗
∞
∞
Ψ (−~r0 ) · Ψ(~r0 )dx0 dy 0 dz 0 = (Pb Ψ(~r), Ψ(~r))
−∞ −∞ −∞
23
6.5.2
Eigenwerte / Eigenfunktionen
Der Eigenwert eines Operators, welcher nach der 2 Anwendung auf eine Funktion wieder die Funktion
selber gibt (Parität), kann wie folgt berechnet werden:
Pb (Pb Ψ(~r)) = Pb (p · Ψ(−~r)) = p · (Pb Ψ(−~r)) = p · (p · Ψ(−~r))
→ 1 = p2 → p = ±1
Für die Eigenfunktionen folgt:
Pb Ψ(~r)+ = +Ψ(~r)+
Pb Ψ(~r)− = −Ψ(~r)−
Die Eigenfunktionen setzen sich jeweils aus der Superposition einer Funktion f zusammen:
Ψ(~r)+ = F (~r) + F (−~r)
Ψ(~r)− = F (~r) − F (−~r)
Allg.
6.5.3
Ψ(~r)pm = F (~r) + p1,2 Pb F (~r)
Kommutator und Unschärferelation
Wird nach einer Messung (Impuls) eine weitere (Ort) durchgeführt, so bedeutet dies, dass die Opb A
b · Ψ) = b · a · Ψ oder umgekehrt
eratoren der Reihe nach auf das System angewendet werden: B(
b B
b · Ψ) = a · b · Ψ. Die Differenz ergibt nun: (A
b·B
b −B
b · A)
b · Ψ = (a · b − b · a)Ψ. Fordert man jetzt,
A(
dass die Messergebnisse von der Reihenfolge unabhängig sind, muss (a · b − b · a)Ψ = 0 sein. Dies wird
als Kommutator bezeichnet:
b = [A,
b B]
b =0
(Ab · Bb − Bb · A)
gilt
AbBb = Bb Ab
(59)
Wenn die Messung zweier Messgrössen (Observablen) von der Reihenfolge der Messung abhängig ist,
können beide Messgrössen gleichzeitig nicht beliebig genau gemessen werden, da die erste Messung den
Zustand des Systems unkontrolliert veränderet (es befindet sich nach der Messung in einem beliebigen
Eigenzustand). Aussage der Heisenbergschen Unschärferelation. Es kann folgende Gültigkeit gezeigt
werden:
24
c2
4
Allgemeine U nschärf erelation
(a)2 · (b)2 ≥
(a)2 = (a − a)2
mittleres Schwankungsquadrat
Mit dem Ort und Impulsoperator ergibt sich für den Kommutator und damit für die Unschärferelation:
[pbx , xb] = −i · h̄
[pbx , yb] = 0
mit
(4px )2 · (4x)2 ≥
h̄2
4
oder weniger exakt :
h̄
4px · 4x ≥
2
Weitere Kommutatoren:
[lb2 , lbz ] = 0
lb2 ist mit jeweils nur einer Komponente lbx , lby , lbz messbar.
[lbz , lbx ] = i · h̄ · lby
x, y, z zyklisch vertauschbar
c =0
[lb2 , H]
c =0
[lbz , H]
Alle Kommutatoren die 0 ergeben besitzen die gleichen Eigenfunktionen und somit gleichzeitig
messbar.
25
7
7.1
Wasserstoffatom
Bohr’sche Postulate
Die Gesamtenergie des Elektrons hängt mit dem Radius seiner Umlaufbahnzusammen. Im Abstand r
von einer positiven Ladung +Ze hat das Elektron mit der Ladung −e die potenzielle Energie:
Epot = −
Z · e2
1
·
4 · π · 0
r
Dabei muss nach dem zweiten Newton’schen Axiom F = m · a die Ekin ergeben. Anziehungskraft =
Zentripetalkraft
−
Z · e2
1
v2
·
=
−m
·
4 · π · 0
r2
r
Für die Ekin folgt daraus:
Ekin
1
Z · e2
1
1
2
= ·m·v = ·
·
2
2 4 · π · 0
r
und für die gesamte Energie:
1
Z · e2
1
·
E = Epot + Ekin = − ·
2 4 · π · 0
r
7.1.1
1 Postulat
Das Elektron im Wasserstoffatom kann sich strahlungslos nur auf bestimmten, kreisförmigen Umlaufbahnen (bzw. in stationären Zuständen) bewegen.
7.1.2
2 Postulat
Die Frequenz beim Übergang der Zustände ist:
EA − EE
1
1
Z · e2
1
1
ν=
= ·
·
·
−
h
2 4 · π · 0
h
r2 r1
4E
1
1
1
=
= · −Ry ·
− 2
2
h
h
n2 n1
!
Es handelt sich dabei um dieselbe berechnete Frequenz wie in der Rydberg-Ritz-Gleichung:
1
c
1
ν = =c·R·
− 2
2
λ
n2 n1
!
vgl. 7.1.5
26
Somit sind die Radien der stabilen Umlaufbahnen proportional zu den Quadraten der Hauptquantenzahlen.
7.1.3
3 Postulat
Der Drehimpuls einer stabilen Umlaufbahn istgleich einem ganzzahligen Vielfachen von h̄ :
m·v·r =
7.1.4
n·h
= n · h̄
2·π
Bohr’scher Radius
Werden alle Postulate verknüpft (alles nach v 2 auflösen und gleichsetzten) ergeben sich die Radien für
die Bohr’schen Elektronenbahnen:
r = n2 · (4 · π · 0 ) ·
h̄2
a0
= n2 ·
2
m·Z ·e
Z
Wobei a0 der erste Bohr’sche Radius ist:
a0 = (4 · π · 0 ) ·
7.1.5
h̄2
≈ 0.0529 nm
m · e2
Energieniveaus
Die gesamte mechanische Energie des Elektrons im Wasserstoffatom hängt vom Radius seiner kreisförmigen Umlaufbahn ab. Setzen wir die quantisierten Werte für r ein erhalten wir:
1
1
Z · e2
1
1
Z 2 · e2
1
1
m · Z 2 · e4
1
·
=− ·
· 2
=− ·
·
= −1 · Ry 2
En = − ·
2
2
2
2 4 · π · 0
r
2 4 · π · 0 n · a0
2 (4 · π · 0 )
n
n · h̄
oder
En = −Z 2 ·
E0
n2
Mit E0 ≈ 13.6 eV . Die Energien werden im Termschema dargestellt.
Bild Seite 1170 einfügen.
27
7.2
Quantentheorie
Da bei einem isolierten Atom Epot nur vom radialen Abstand abhängt, ist die Wahl von Kugelkoordinaten sinnvoll. Für den Laplace Operator erhalten wir:
!
1 ∂
∂
1
4= 2 ·
· r2 ·
+ 2 ·Λ
r ∂r
∂r
r
mit
∂
∂
1 ∂2
1
·
· (sin ϑ ) +
Λ=[
]
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
sin2 ϑ ∂ϕ2
Somit ergibt sich für die Schrödingergleichung in Kugelkoord:
[
∂
h̄2
−h̄2 1 ∂
· 2·
· (r2 ) −
· Λ + V (r)]ψ(~r) = E · ψ(~r)
2m r ∂r
∂r
2mr2
(60)
Da die Energie nur vom Radius abhängig ist, kann die Gleichung durch einen Separationsansatz gelöst
werden:
ψ(r, ϑ, ϕ) = f (r) · Y (ϑ, ϕ)
Durch die gleichzeitige Messung der verschiedenen Drehimpulsoperatoren und des Hamiltonoperators
knnen die Hauptquantenzahlen n, l und m bestimmt werden.
Vgl. Anhang
28
7.2.1
Wahrscheindlichkeit eines Messwertes und Erwartungswert
Für Zusammengesetzte Zustände, berechnet sich die Wahrscheindlichkeit einen Wert einer Basisfunktion
zu messen wie folgt:
√
3
1
1
Ψ(ϕ, ϑ) = · Ψ1 (ϕ, ϑ) +
· Ψ−1
1 (ϕ, ϑ)
2
4
Wahrscheindlichkeit die Obeservable von Ψ11 (ϕ, ϑ) zu messen:
(Ψ11 (ϕ, ϑ),
Ψ(ϕ, ϑ)) =
Z
2π
Z
0
0
π
∗
1
· Ψ11 (ϕ, ϑ)
2
· Ψ(ϕ, ϑ) · sin(ϑ) dϑ dϕ
Oder man verwendet die Identitäten (Normiertheit und Orthogonalität):
(Ψ11 , Ψ11 ) = 1
(Ψ11 , Ψ1−1 ) = 0
Für den Erwartungswert:
b
(Ψ11 , Ab Ψ) + (Ψ−1
1 , A Ψ)
Oder einfach: W’keit x Obersvarble und alles Summieren (Stochastik).
8
8.1
Matrixmechanik am H2+
Matrixdarstellung des Hamilton-Op
Die Wellenfunktion u(r) kann als linear Kombination von Basiszuständen beschrieben werden:
u(~x) =
X
ui (~x)
(61)
i
c
Dabei erfüllen die Basiszustände jeweils die DG H(x)
· ui (~x) = Ei · ui (~x) und sind orthonormiert
R
∗
gegenüber dem Skalaprodukt: (u, v) = Omega u (~x) · v(~x) dV
Nimmt man die Definition der Kombination und des Skalaproduktes zusammen, wird die Schrödingergleichung
zu einem Eigenwertproblem:
c ·~
[H]
c = E · ~c
Dieses Problem kann nur durch eine geschickte Wahl von Basiszustände gelöst werden.
29
8.1.1
Beispiel H
+
2
Für das Molekül H2+ (2 Kerne 1 Elektron) gibt es 2 sinnvolle Basiszustände:
1. Das Elektron befindet sich bei Kern A
2. Das Elektron befindet sich bei Kern B
Dies ergibt für die beiden Basisfunktionen:
uA(1s) (~r) = (π · a3 )−1/2 · e−rA /a
uB(1s) (~r) = (π · a3 )−1/2 · e−rB /a
Wobei:
rA (rB )
:
R
:
Abstand des Elekrones zu Kern A (B)
Abstand der Kerne
h̄2
a :
m · e2
Für den Gesamtzustand ergibt sich demnach:
u1s (~r) = cA · uA(1s) (~r) + cB · uB(1s) (~r)
In Matrixschreibweise ergibt das Eigenwertproblem nun:



H − E(R)
HAB
c
 AA
 A  = 0
HBA
HBB − E(R)
cB
mit den Elementen :
c
HAA = uA(1s) , Hu
A(1s)
c
HAB = uA(1s) , Hu
B(1s)
c
HBA = uB(1s) , Hu
A(1s)
c
HBB = uB(1s) , Hu
B(1s)
30
Dies ergibt für das erste und zweite Element:
c
uA(1s) , Hu
A(1s)





 −h̄2

e2 



· 4 + VA + VB +  · uA(1s) 
|{z} |{z} R 
2 · m



= uA(1s) , 
−e2
rA
−e2
rA
−h̄2
e2
e2
e2
uA(1s) ,
· 4 − uA(1s) − uA(1s) , uA(1s) + uA(1s) , uA(1s)
2·m
rA
rB
R
!
=
|
c
uA(1s) , Hu
B(1s)
{z
!
}
E1s =−13.6eV
|

}







 −h̄2
e2 



· 4 + |{z}
VA + |{z}
VB +  · uB(1s) 

2 · m
R
= uA(1s) , 
−e2
rA
−e2
rA
−h̄2
e2
e2
e2
uA(1s) ,
· 4 − uB(1s) − uA(1s) , uA(1s) + uA(1s) , uB(1s)
2·m
rA
rB
R
=
|
{z
orthonormiert→=0
!
|
}
Ohne Beweis ergibt sich für die Eigenwerte und Eigenfunktionen:
e2
E(R)1 = E1s + − uA(1s) ,
R
e2
E(R)2 = E1s + − uA(1s) ,
R
e2
e2
uA(1s) + uA(1s) , uA(1s)
rB
rB
!
2
e
e2
uA(1s) ) − uA(1s) , uA(1s)
rB
rB
!
!
→ EW einsetzen und lösen nach EF:
E(R)2
{z R
R=konst.→ =1
!
E(R)1
!







cA 
1 
1
1
1
⇒
= √ ·
→ u = √ · uA − √ · uB
2
2
2
cB
−1

cA 
1
1
1
1
⇒
= √ ·   → u = √ · u A + √ · uB
2
2
2
cB
1
31
{z
orthonormiert→=0
!
}