Struktur und Zufälligkeit der Primzahlen

Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Im Rahmen des Seminares
Struktur und Zufälligkeit der Primzahlen“
”
im Sommersemester 2017
Bei Prof. Dr. Maria Lukacova
25.4.17
Stephanie Katharina Schwab
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
2
2 Primzahlsatz und mehr
2.1 Bekannte Sätze über Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3 Gemeinsame Eigenschaften von Primzahlen
4
4 Primzahlzwillinge
7
5 Zufälligkeit der Primzahlen und die Schwache Goldbach’sche Vermutung
8
6 Quellen
2
10
1 Einführung
Der Vortrag basiert auf dem von Terence Tao geschriebenen gleichnamigen Text aus dem
Buch Eine Einladung in die Mathematik“.
”
Terence Tao ist ein australischer Mathematiker, der sich viel mit Primzahlen beschäftigt.
Auch in dieser Ausarbeitung wird man auf seinen Namen stoßen.
Das Augenmerk hat der Mathematiker dabei auf die vielen Mustern in den Primzahlen,
von denen wir ausgehen, dass sie stimmen, gelegt. Interessant dabei ist, dass wir sie
trotz vieler Mühen (noch) nicht beweisen können. So manches, was zum Zeitpunkt
der Publikation des Textes noch offen war, ist mittlerweile jedoch (mit viel Aufwand)
bewiesen.
2 Primzahlsatz und mehr
2.1 Bekannte Sätze über Primzahlen
Seit der Antike hat man sich mit Primzahlen beschäftigt. Somit sind schon frühe Erkenntnisse bekannt:
Satz 2.1 (Fundamentalsatz der Arithmetik). Jede natürliche Zahl n > 1 besitzt eine bis
auf die Reihenfolge eindeutige Primfaktorzerlegung.
Beweis: Wir beweisen hier nur die Existenz einer solchen Darstellung, da die Eindeutigkeit leicht durch die Annahme, es gäbe zwei solche Zerlegung durch sukzessives Teilen
der Primzahlen gezeigt werden kann.
Wir beweisen die Existenz mit vollständiger Induktion.
Ist n eine Primzahl, so ist nichts weiter zu tun, da man dann n durch ein Produkt mit
dem einen Faktor n selbst darstellen kann. Somit ist auch der Induktionsanfang n = 2
gezeigt.
Induktionsannahme: 2, ..., n − 1 besitzt eine Primfaktorzerlegung. Nehme den kleinsten
Teiler p* (p* ist auch prim) von n und schreibe n = p∗ n0 mit n0 ∈ 2, ..., n − 1. Somit
besitzt n0 nach Induktionsannahme eine Primfaktorzerlegung. Also hat auch n selbst eine
Primfaktorzerlegung.
Ein weiterer bekannter Satz ist dieser hier:
Satz 2.2 (Satz von Euklid). Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Zu diesem Satz gibt es mehrere Beweise, ich stelle hier den Geläufigsten und meiner
Meinung nach auch den Schönsten von allen hierzu vor.
Beweis: Wir nehmen eine beliebige endliche Menge M = {p1 , ...pm } von Primzahlen.
Dann definieren wir uns die Zahl X durch
X :=
m
Y
pk + 1.
k=1
3
X ist offensichtlich größer 1 und daher besitzt X nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik eine Primzahldarstellung.
Doch keine der pi ∈ M teilt X, da pi nicht 1 teilt, und somit existiert mind. ein p* mit
p* prim und p* liegt nicht in M.
Da M eine beliebige endliche Menge von Primzahlen ist, ist der Satz bewiesen.
Wenn es unendlich viele Primzahlen gibt, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl k eine
Primzahl, die mindestens k Stellen hat.
Frage: Wie erhalte ich solch eine Primzahl?
Denn man kann schnell einzelne Zahlen testen, ob sie prim ist. Schnell eine Primzahl zu
finden ist dabei ein anderes Problem.
Daran schließt sich direkt der probabilistische Ansatz an: Man nehme eine beliebige Zahl
mit k Stellen und teste, ob sie prim ist.
Dabei ist die Frage, wie effektiv dieser Weg ist. Wie wahrscheinlich ist es, dass man auf
diesem Wege eine Primzahl finde?
Hierzu benötigt man eine Aussage über die Verteilung der Primzahlen.
Satz 2.3 (Primzahlsatz). Es sei π(n) := {Die Anzahl der Primzahlen p mit p ≤ n}.
Dann gilt π(n) ∼ logn n .
Das Zeichen ∼ meint hierbei, dass der Limes des Qoutienten der beiden Seiten für
n −→ ∞ gegen 1 strebt.
Aus der Aussage dieses Satzes lässt sich schließen, dass eine zufällige k-stellige Zahl
1
ungefähr mit der Wahrscheinlichkeit k log
10 prim ist.
Also findet man mit relativ großer Wahrscheinlichkeit auf diesem Wege schnell eine
Primzahl.
Dieser Ansatz ist jedoch etwas unzufriedenstellend: Gibt es nicht einen Algorithmus,
der uns schnell definitiv eine große Primzahl liefert?
Eine einfache Antwort zur Existenz wäre die Beantwortung der bekannten Vermutung
P = BPP.
BPP steht hierbei für bounded error probabilistic polynomial time und P steht dafür,
dass es deterministisch in polynomieller Zeit lösbar ist. Die Aussage dieser Vermutung
ist, dass jedes Problem, dass man in polynomieller Zeit probablistisch lösen kann, auch
ebenso in polynomieller Zeit deterministisch lösbar ist. Für einzelne Probleme, die man
zunächst nur probabilistisch lösen konnte, konnte man die Gleichheit bereits zeigen.
Mittlerweile ist diese Fragestellung auch für das Finden von Primzahlen beantwortet.
Terence Tao hat mit Harald Helfgott in einem gemeinsamen Forschungsprojekt von
2011 gezeigt, dass man für ein gewisses c > 0 für ein Intervall[a, b] ⊆ [N, 2N ] mit der
Mindestlänge von N 1/2+c in O(N 1/2−c+o(1) ) zeigen kann, ob es eine Primzahl enthält.
4
3 Gemeinsame Eigenschaften von Primzahlen
Bisher haben wir uns mit den einzelnen Primzahlen beschäftigt. Wenn man aber die
Menge der Primzahlen als Ganzes betrachtet, so geben sich weitere schöne Eigenschaften.
Satz 3.1 (Euler’sche Produktformel). Für s ≥ 1 gilt:
∞
X
1
n=1
ns
Y
1
1
1
1
1 + s + 2s + 3s + ... =
1− s
p
p
p
p
p prim
Y =
p prim
−1
Beweis: Die zweite der beiden Äquivalenzen ist nur die Anwendung der geometrischen
Reihe, denn:
Y 1+
p prim
∞
Y X
1
1
1
1
+
+
+
...
=
s
ps p2s p3s
p
p prim j=0
j
=
Y
1
1
=
1− s
−s
1
−
p
p
p prim
p prim
Y
−1
Interessanter ist die erste Äquivalenz:
Zunächst betrachten wir die endliche Menge M := {p1 , p2 , p3 , ...pm } der ersten m Primzahlen. Dann gilt mit dem endlichen Produkt absolut konvergenter Reihen
∞ Y X
1 j
p∈M j=0
ps
(pj11 pj22 ...pjmm )−s .
X
=
0≤j1 ,j2 ,...,jm <∞
Also steht im Argument für jeden Multiindex (i1 , i2 , ..., im ) der Summe die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl n−s . Diese ist mit dem Fundamentalsatz der Arithemtik
eindeutig, was bedeutet, dass für jeden dieser Multiindexen wir genau ein n darstellen
und ebenso kommt in dieser Summe jede natürliche Zahl n, die wir mit den ersten m
Primzahlen darstellen können, in dieser Summer vor.
Wenn wir für die natürlichen Zahlen n, die wir mit den ersten m Primzahlen beschreiben
P
können, (M ) n−s schreiben, so erhalten wir die Gleichheit
X
n
−s
=
m X
∞
Y
i=1 j=0
(M )
1
1 − p−s
i
!j
=
m
Y
i=1
1
1− s
pi
!−1
.
Nun lassen wir die Mächtigkeit von M gegen Unendlich laufen.
P
P
In (P ) n−s sind zumindest die Zahlen p1 , p2 , p3 , ...pm enthalten. Damit gilt (M ) n−s >
Ppm −s
P
P
∞
−s <
−s
(M ) n
n=1 n . Also gilt
n=1 n . Ebenso gilt natürlich
0<
∞
X
n=1
n−s −
X
(M )
n−s <
∞
X
n−s .
n=pm +1
Für m −→ ∞ steht auf beiden 0. Wenn man die bereits gezeigte Gleichheit hinzunimmt,
so ist
!−1
∞
m
X
X
Y
1
−s
−s
n = lim
n = lim
1− s
m−→∞
m−→∞
pi
n=1
i=1
(M )
5
gezeigt und damit ist der Satz bewiesen:
∞
X
n
−s
Y =
n=1
p prim
1
1− s
p
−1
Für s = 1 divergiert die linke Seite, also divergiert für s = 1 ebenso das Produkt auf
der rechten Seite. Dies ist ein weiterer schneller Beweis dafür, dass es unendlich viele
Primzahlen gibt.
P
Ebenso kann man aus dieser Gleichung die Divergenz von p prim p1 zeigen:
Qk
1
p = 1 prim 1−p−1
divergiert für k −→ ∞ und hat keine Nullstellen. Für k −→ ∞ existiert
−1
Q
k
1
und divergiert also ln
.
p = 1 prim 1−p−s
Dies kann man noch etwas umformen und gelangt zu


k
X
1
1 
ln 
=
ln
−1
1−p
1 − p−1
p=1 prim
p=1 prim
k
Y

= −

k
X
ln(1 − p−1 ) .
p=1 prim
Die Potenzreihendarstellung des Logarithmus mit Argument (1 − x) ist
ln(1 − x) = −
∞
X
xj
j=1
j
.
Also gilt

−

k
X
∞
X
(p−1 )j
k
X
ln(1 − p−1 ) =
j
p = 1 prim j=1
p=1 prim
=
k
∞
X
X
1
(p− 1)j
+
.
p p = 1 prim j=2 j
p=1 prim
k
X
Den zweiten Summanden kann man durch eine Konstante abschätzen:
∞
X
(p−1 )j
j=2
j
∞ j
X
1
≤
p
j=2
=
2 X
∞ j
1
1
p
j=0
p
2
=
1
p
1
2
≤ 2
−1
1−p
p
Damit folgt
⇒
k
X
∞
X
(p−1 )j
j
p = 1 prim j=2
≤
k
X
X 1
2
≤
2
< ∞.
p2
n2
p = 1 prim
n∈N
Also gilt


k
Y



k
X
1 
1

∞ = lim ln 
≤
lim
+ c,
1
k−→∞
k−→∞
1−p
p
p=1 prim
p = 1 prim
woraus die Divergenz der Reihe folgt.
P
Die Riemann’sche Zetafunktion ist definiert als ζ(s) := ∞
n=1
mit der Euler’schen Produktformel
Y p prim
6
1
1− s
p
=
1
.
ζ(s)
1
ns .
Damit erhält man
Die Riemann’sche Zetafunktion gab den entscheidenden Hinweis zum Beweis des Primzahlsatzes.
Bereits Gauß hat 1792 durch Abzählen von Primzahlen nach eigener Aussage ein Gefühl
dafür entwickelt, wie sich Primzahlen zu verhalten haben. Beweisen aber konnte er es
nicht.
Riemann hatte 1869 vorgeschlagen, eben diese Riemann’sche Zetafunktion zum Beweis
des Primzahlsatzes zu nutzen.
Der Nachweis kam schließlich unabhängig voneinander im Jahre 1896 von dem französischen
Mathematiker Jaques Hadamard und dem belg. Matheprofessor Charles Jean Baron de
la Vallée-Poussin.
Mit der Tatsache, dass ζ(2) keine Nullstellen für Re(s)¿1 hat, kommt man auf die Aussage
n
.
des Primzahlsatzes: π(n) ∼ log(n)
Eine große Rolle spielt die Riemmann’sche Vermutung, die besagt, dass ζ(s) ebenso keine
Nullstellen für komplexe Zahlen mit
Re(s) > 1/2 hat. Damit kommt man auf die bessere
R
dt
Abschätzung für π(n), nämlich: 0n log(t)
+ O(n1/2 log n).
Das Integral nennt sich Integrallogarithmus und wird oftmals mit li(n) bezeichnet. li(n)
ist dabei nicht analytisch zu lösen, man muss sich also eine Reihenentwicklung zu Hilfe
nehmen. Es gilt
∞
X
(log(n))s
li(n) = γ + log(log(n)) +
.
s!s
s=1
γ steht hierbei für die Euler-Mascheroni-Konstante
mit
1
1
1
1
γ = limx−→∞ 1 + 2 + 3 + ... + x − log(x) und γ ≈ 0, 5772156649.
Der Beweis dieses Satzes ist sehr aufwendig, bedarf viel Vorbereitung und auch funktionentheoretisches Wissen, sodass der Beweis den hier gegebenen Rahmen sprengen
würde.
4 Primzahlzwillinge
Eine interessante Frage bei der Betrachtung von Primzahlen ist das Phänomen der
Primzahlzwillinge. Ein Primzahlzwilling liegt vor, wenn eine Zahl p sowie die Zahl p + 2
prim sind. Beispiele hierfür sind 3 und 5, 5 und 7...
Schon Euklid hat vermutut, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, ein Beweis
hierzu fehlt noch (Siehe Kapitel 5).
Eine andere Fragestellung, die man geforscht hat, ist diese hier: Wie viele Primzahlzwillinge sind in der Menge 1, ..., N für eine vorgegebene natürliche Zahl N enthalten?
Hierzu ist es hilfreich, die Menge der Primzahlen als eine pseudozufällige Menge zu
betrachten. Man betrachtet also die Primzahlen als eine Menge, die sich verhält, als wäre
sie zufällig, obwohl sie dies nicht ist.
Der Primzahlsatz besagt, dass eine Zahl n mit Wahrscheinlichkeit log1 n prim ist. Also
könnte man die Menge der Primzahlen durch eine zufällige Menge der natürlichen Zahlen
ersetzen, die jede natürliche Zahl unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit log1 n
7
enthält. So erhalten wir das Cramér’sche Zufallsmodell.
Für das Phänomen der Primzahlzwillinge gilt, dass sowohl n als auch n + 2 mit Wahr1
scheinlichkeit log n log(n+2)
beide prim sind.
Also gilt für die Anzahl der Primzahlzwillinge ≤ N ungefähr:
N
X
1
N
∼
log
n
log(n
+
2)
log2 N
n=1
Auf dieses asymptotische Verhalten kann man schließen, wenn man beachtet, dass der
Logarithmus für große N nur schwach wächst. Damit unterscheidet sich der Nenner
log(n) log(n + 2) kaum noch von log(N 2 ) und dies summiert man N -mal. Dieser Ansatz kann aber nicht stimmen, da wir offensichtliche Strukturen in den Primzahlen
vernachlässigt haben. So wissen wir, dass eine gerade Zahl ausgenommen der 2 nicht
prim ist. Also verbessern wir unseren Ansatz und teilen den geraden Zahlen eine Wahrscheinlichkeit von 0 zu, prim zu sein. Ungerade Zahlen n sind unabhängig voneinander
mit Wahrscheinlichkeit log2 n prim. So erhält man für die Anzahl der Primzahlzwillinge
N
X
2
N
2
·
∼2 2 .
log n log(n + 2)
log N
n=1ungerade
Das asymptotische Verhalten erklärt sich ähnlich wie im ersten Fall.
Dieser Ansatz ist immer noch zu ungenau, weil es weitere offensichtliche Strukturen in
den Primzahlen gibt. Die meisten Primzahlen sind nicht nur nicht durch 2 sondern auch
nicht durch 3, nicht durch 5,... teilbar.
Deshalb nehmen wir nun an, dass alle Zahlen n, die durch eine unter einer bestimmten
kleinen Schranke ω liegenden Primzahl teilbar sind, mit Wahrscheinlichkeit 0 prim sind
Q
und alle anderen sind mit Wahrscheinlichkeit p<ω (1 − p1 )−1 · log1 n prim. Damit kommen
wir auf die folgende Abschätzung

p−2
1
2
1−
p
p
p<ω,pungerade
Y
−2



Y
N
1
N


= 2
1−
.
2
2
(p − 1)
log N
log2 N
p<ω
Der Vorfaktor p−2
p kommt durch Abzählung zustande. Wenn p eine ungerade Primzahl
ist, so können von p aufeinanderfolgenden Zahlen nur p − 2 die kleinere in einem Primzahlzwillingspaar sein.
Ansonsten wurde nur umgeformt:
p−2
1
1−
p
p
−2
p − 2 p − 1 −2 p − 2 p2
(p − 2)p
p2 − 2p
=
=
=
=
p
p
p (p − 1)2
(p − 1)2
(p − 1)2
p2 − 2p + 1 − 1
1
=
=1−
(p − 1)2
(p − 1)2
Lässt man in der oberen Abschätzung ω gegen unendlich streben, erhält man für die
Q
Anzahl der Primzahlzwillinge ≤ N die asymptotische Abschätzung 2 logN2 N mit
Y
2
8
:= 2
Y
p ungerade Primzahl
1
1−
(p − 1)2
≈ 1, 32032...
Q
nennt man Primzahlzwillingskonstante.
Diese Abschätzung ist für N = 1010 bis auf vier Dezimalstellen korrekt und die starke
Primzahlvermutung von Hardy und Littlewood nimmt an, dass sie ebenso asymptotisch
richtig ist.
2
5 Zufälligkeit der Primzahlen und die Schwache Goldbach’sche
Vermutung
Zuvor haben wir angenommen, dass man tatsächlich die Menge der Primzahlen als eine
pseudozufällige Menge betrachten kann. Doch ist dies wirklich sinnvoll? Es könnte ja
sein, dass die Primzahlen doch in irgendeiner Form eine Regelmäßigkeit aufweisen.
Dabei spielt die Goldbach’sche Vermutung, die genauer als schwache Goldbach’sche Vermutung bezeichnet wird, eine große Rolle. Sie besagt, dass sich jede ungerade Zahl größer
5 als Summe dreier Primzahlen schreiben lässt.
Angenommen, jede ausreichend große Primzahl endet auf einer 1. Dann kann die Goldbach’sche Vermutung für ausreichend große Zahlen, die nicht auf eine drei enden, nicht
richtig sein.
Ebenso kann man zeigen, dass die Goldbach’sche Vermutung nicht richtig ist, wenn sich
die Primzahlen doch nicht pseudozufällig verhalten.
Erste mögliche Regelmäßigkeiten in der Menge der Primzahlen können durch diesen Satz
widerlegt werden:
Satz 5.1 (Dirichlet’scher Primzahlsatz). Es seien a und m natürliche Zahlen gegeben,
sodass ggt(a, m) = 1 ist. Dann enthält die Folge a, a + m, a + 2m, a + 3m, ... unendlich
viele Primzahlen.
Eine Folgerung dieses Satzes ist, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die auf 1, auf
3, auf 7 oder auf 9 enden (Man wähle a = 1, 3, 7, 9 und m = 10).
Es lässt sich ebenso mit weiteren Methoden zeigen, dass jegliche Regelmäßigkeiten der
Primzahlen nicht zutreffen können. Ganz im Gegenteil konnte man die Aussage der
Goldbach’schen Vermutung weiter stützen:
Hardy und Littlewood konnten im Jahre 1923 zeigen, dass man jede hinreichend große
ungerade Zahl als Summe von fünf Primzahlen schreiben kann - sofern die Riemmann’sche
Vermutung stimmen sollte.
Winogradow hat im Jahre 1937 dieselbe Aussage wie Hardy und Littlewood zeigen
können, er bedarf aber nicht die Aussage der Riemmanschen Vermutung. Was genau mit
hinreichend“ groß gemeint ist, konnte er nicht genauer beziffern. Einer seiner Schüler
”
konnte eine sehr große Schranke angeben, die dann auf e3100 gesenkt werden konnte. Dies
ist aber immer noch zu hoch, um alle kleineren Zahlen mit dem Computer zu testen.
2012 konnte Terence Tao zeigen, dass man jede ungerade Zahl als Summe von fünf
Primzahlen schreiben kann, ohne eine Schranke zu benötigen.
Und am 13.5.2013 kam der Beweis zur Schwachen Goldbach’schen Vermutung von Harald
Helfgott. Dieser Satz ist nun bewiesen.
9
Wie der Name Schwache Goldbach’sche Vermutung schon assoziiert, ist auch wahr, es
gibt ebenso eine Starke Goldbach’sche Vermutung. Diese besagt, dass jede gerade Zahl
größer oder gleich 4 als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist.
Die Bezeichnungen stark“ und schwach“ kommen daher, dass die Aussage der Schwachen
”
”
Goldbach’schen Vermutung aus der Gültigkeit der Starken Goldbach’schen Vermutung
folgt:
Wenn n ungerade ist, so ist n − 3 gerade, sodass für diese Zahl die Starke Goldbach’sche
Vermutung gültig ist. Also ist n − 3 = p1 + p2 für bestimmte p1 , p2 prim und damit ist
n = p1 + p2 + 3 eine Darstellung von n als Summe dreier Primzahlen.
Beide Vermutungen sind in einem Brief von Goldbach an Euler im Jahre 1742 erwähnt
worden, woher diese beiden Aussagen ihren Namen tragen. Im Gegensatz zu der Schwachen Goldbach’schen Vermutung, die vor Kurzem bewiesen werden konnte, gibt es meinen
Recherchen nach keine Fortschritte im Beweis für die Starke Goldbach’sche Vermutung.
Auch eine interessante Tatsache, die Terence Tao zeigen konnte, ist die Existenz beliebig
langer arithmetischer Primzahlfolgen. So gibt es zu jeder natürlichen Zahl k ein Tupel
(a, r), sodass die arithmetische Folge a, a + r, ..., a + (k − 1)r alle prim sind.
Ebenso eine noch offene Fragestellung ist die in Abschnitt 4 erwähnte Vermutung, dass
es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. So manche haben außer der Verteilung von
Primzahlzwillingen noch Weiteres untersucht. Brun konnte im Jahre 1919 zeigen, dass
P
1
die Reihe über die Primzahlzwillinge p prim, p+2 prim p1 + p+2
im Gegensatz zu der Reihe
P
1
p prim p konvergiert. So mancher meint, man hätte lieber die Divergenz dieser Reihe
gehabt, denn dann wisse man, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.
Wenn es wirklich unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, so folgt aus der Konvergenz der
Reihe, dass diese doch ausreichend entfernt zueinander liegen müssen.
Der aktuellste Forschungsstand zu dem heutigen Tag ist, dass der Chinese Xitang Zhang
Mai 2013 einen Beweis geliefert hat, dass es unendliche viele Primzahlpaare p und p0 gibt
mit einer Differenz, die kleiner als 70 000 000 ist. Nun hat man die Hoffnung, dass man
diese Differenz schrittweise auf zwei senken kann.
6 Quellen
Wie bereits in der Einführung erwähnt, orientiert sich der Inhalt an dem gleichnamigen
Text von Terence Tao in dem Buch Eine Einladung in die Mathematik“. Die relevanten
”
Teile finden sich auf den Seiten 1-7 sowie ich kleinere Informationen von deren Quellennachweisen benutzt habe.
Eine Quelle für allgemeine Informationen ist mir Basiswissen Zahlentheorie: Eine Einführung
in Zahlen und Zahlbereiche. Den Beweis des Fundamentalsatzes der Arithmetik ist
Einführung in die Zahlentheorie von Bundschuh entnommen.
Der Beweis zur Eulerformel habe ich von Hardy/Wright: Zahlentheorie übernommen.
P
Den Beweis zu der Divergenz von p prim ist im Vorlesungsskript Zahlentheorie der
Universität Osnabrück, gelesen im WS16/17 von Prof.Dr.H. Borne, zu finden.
10
Die Formel zur Berechnung des Integrallogarithmus stammt aus Kapitel 1 von Theorie
des Integrallogarithmus von Niels Nielsen.
Der aktuellen Forschungsstand ist auf diesen websites nachzulesen:
http://www.nature.com/news/mathematicians-come-closer-to-solving-goldbach-s-weakconjecture-1.10636 (zuletzt besucht am 10.7.17)
http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/beweis-fuer-schwache-goldbachschevermutung-a-901111.html (zuletzt besucht am 10.7.17)
http://www.nature.com/news/first-proof-that-infinitely-many-prime-numbers-come-inpairs-1.12989 (zuletzt besucht am 10.7.17)
Das Logo der Johannes Gutenberg-Universität auf der Titelseite stammt von
http://www.zdv.uni-mainz.de/4039.php (zuletzt besucht am 10.7.17).
11