Ubungen zur Vorlesung ” Mathematik für

UNIVERSITÄT SIEGEN
Fachbereich Mathematik
WS 2008/09
Dipl.-Math. M. Rathgeb
Übungen zur Vorlesung Mathematik für Wirtschaftsinformatiker“
”
Blatt 1
Für einige Aufgaben(teile) benötigen Sie die geometrische Summenformel, deren Sie sich
zunächst vergewissern sollten: Es gilt für alle reellen Zahlen x
n
X
(1 − x) ·
xν = 1 − xn+1 .
ν=0
Aufgabe 1 (mit Definition: Arithmetische Folge, arithmetische Reihe).
Eine Folge (an )n∈N0 mit an+1 − an = d für n ∈ N0 heißt arithmetische Folge mitP
Anfangsglied
a := a0 und konstanter Differenz d. Die zugehörige Folge (sn )n∈N0 mit sn := nν=0 aν heißt
arithmetische Reihe. Zeigen Sie, dass gilt
(1) an = a + n · d
(2) (an )n∈N0 ist konvergent, gdw d = 0
a0 + an
(4) (sn )n∈N0 ist konvergent, gdw d = 0 = a.
2
Aufgabe 2 (mit Definition: Geometrische Folge, geometrische Reihe).
Eine Folge (an )n∈N0 mit an+1 /an = q für n ∈ N0 heißt geometrische Folge mitP
Anfangsglied
a := a0 6= 0 und konstantem Quotienten q 6= 0. Die Folge (sn )n∈N0 mit sn := nν=0 aν heißt
geometrische Reihe. Zeigen Sie, dass gilt
(3) sn = (n + 1) ·
(1) an = a · q n
1 − q n+1
(3) sn = a ·
für q 6= 1
1−q
(2) (an )n∈N0 ist konvergent, gdw |q| < 1 bzw. q = 1
(4) (sn )n∈N0 ist konvergent, gdw |q| < 1.
Aufgabe 3.
Schreiben Sie folgende Summen mit Hilfe des Summenzeichens:
1 1 1
1
(c) a4 + a3 b + a2 b2 + ab3 + b4 .
(a) 1 + 3 + 32 + . . . + 320 (b) 1 − + − . . . −
2 3 4
2006
Aufgabe 4.
Berechnen Sie folgende Summen:
(a)
10
X
k
2
k=1
(b)
10 k
X
1
k=1
(c)
2
10
X
(k 3 − (k − 1)3 )
(d) 1 + 3 + 5 + . . . + 999.
k=1
Aufgabe 5.
Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
n−1
(a) lim
n→∞ n + 2
n3 + n
n→∞ n4 + 1
(d) lim
n
X
ν
(g) lim
n→∞
n2
ν=1
n+1
(b) lim 2
n→∞ n + 1
3n + 2n
n→∞
4n
(e) lim
(h) lim
n→∞
n
X
ν=1
3ν−n .
(c) lim
n→∞
1 n2 + 1
·
n n+1
3n + 2n
n→∞ 2 · 3n + 1
(f ) lim
Aufgabe 6.
Ein Unternehmen machte im Jahre 1996 einen Umsatz von 50 Millionen e und steigerte seinen
Umsatz (seither) jährlich um 10 %.
a) Wie hoch war der Umsatz in Jahre 2006?
b) Wie hoch war der Gesamtumsatz in den Jahren 1996 – 2006?
Aufgabe 7.
a) Sie haben in einer Lotterie gewonnen und bekommen 20 Jahre lang jeweils 5000 Euro
zum Jahresanfang als Gewinn ausbezahlt. Wenn Sie den gesamten Gewinn jeweils zu einem
Zinssatz von 4 % anlegen, welchen Betrag haben Sie dann nach 20 Jahren auf Ihrem Konto?
b) Wieviel Geld müsste man Ihnen heute auf einen Schlag geben, damit Sie bei einem Zinssatz
von 4 % in 20 Jahren die gleiche Summe erreichen wie in a)? (Diese Größe nennt man Barwert
des Zahlungsstroms.)
Aufgabe 8.
a) Ihre Kapitallebensversicherung zahlt Ihnen ab Ihrem 60. Lebensjahr 30 Jahre lang jährlich
zu Jahresbeginn 3600 e. Wenn Sie alle Zahlungen auf ein Konto mit 4 % jährlicher Verzinsung
einzahlen, über wieviel Geld können Sie dann am Ende der 30 Jahre verfügen (vorausgesetzt
Sie erleben dies)?
b) Wie hoch ist der Barwert dieser Zahlungen?
Aufgabe 9.
a) Wir suchen eine Formel für die Berechnung eines Preisindex und einer Inflationsrate. Dazu
gehen wir aus von einem Warenkorb mit n Gütern und definieren für i = 1, . . . , n die folgenden
Größen:
mi := Menge des Gutes i im Warenkorb,
pit := Preis pro Einheit des Gutes i im Jahre t, t = 0, 1, 2, . . ..
Der Preisindex It zum Zeitpunkt t wird nun gebildet aus dem Quotienten der Kosten des
Warenkorbs im Jahre t und den Kosten des Warenkorbs im Jahre 0. Geben Sie dafür eine
geeignete Formel mit Hilfe des Summenzeichens an. Was wäre eine geeignete Formel für eine
Inflationsrate rt im Jahre t?
b) Berechnen Sie den Preisindex It für den Fall t = 1, n = 3,
p10 = 1, p20 = 2, p30 = 3,
p11 = 2, p21 = 3, p31 = 4
und m1 = 3, m2 = 5, m3 = 7. Wie hoch ist die Inflationsrate?
Dieses Übungsblatt ist recht umfangreich!
Treffen Sie Ihre eigene Auswahl zur Nachbereitung des Vorlesungsstoffes.