Mitschrieb zur Vorlesung: Nanoelektronik

Mitschrieb zur Vorlesung:
Nanoelektronik
Prof. Dr. Schön und Dr. Shnirman
Vorlesung Wintersemester 2004/2005
Letzte Aktualisierung und Verbesserung: 26. April 2008
Mitschrieb der Vorlesung Nanoelektronik
von Herrn Prof. Dr. Schön und Dr. Shnirman im Wintersemester 2004/2005
von Marco Schreck.
Dieser Mitschrieb erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und Korrektheit.
Kommentare, Fehler und Vorschläge und konstruktive Kritik bitte an [email protected].
Inhaltsverzeichnis
1 P(E)-Theorie
1.1 Übung: P(E)-Theorie“/Caldeira-Legett-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
”
1.1.1 Kanonische Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
7
2 Spintronik (Spin-Elektronik)
2.1 Iteranter Ferromagnet (Band-Ferromagnet) . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tunnel-Magnetowiderstand (TMR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Julliere-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Beliebiger Winkel (Slonczewski (89)) . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Spin-Anhäufung (Spin-Akkumulation) . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Spin-Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 GMR – Giant Magnetoresistance (Gigantischer Magnetowiderstand)
2.3.1 Physikalisches Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Spin-Bahn-Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Mikroskopische Spin-Bahn-Kopplung (Spin-Orbit-Coupling) .
2.4.2 Datta-Das-Transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Spin-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
10
10
12
13
14
15
16
16
18
18
20
20
3 Quantencomputer
3.1 Konzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Quantenmechanik von Spins . . . . . . . . .
3.1.2 Rabi-Oszillationen . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Mehrere Spins . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Quantencomputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Elemente von Quantencomputern . . . . . . . . . .
3.3.1 Quanten-Parallelität . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Beispiel: Fourier-Transformation . . . . .
3.3.3 Fehlerkorrektur . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Anforderungen für Quanten-Informationssysteme .
3.4.1 Physikalische Realisierung von Qubits . . .
3.5 Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Kohärenz und Dekohärenz . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Die Blochgleichung . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Relaxation T1 (transversales Rauschen) . .
3.7 Pure Dephasierung (für longitudinales Rauschen) .
3.8 Longitudinales und transversales Rauschen . . . .
3.8.1 1/f -Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Adiabatisches Quantenrechnen (adiabatic quantum
3.9.1 NP-vollständige Probleme . . . . . . . . . .
3.9.2 Turing-Maschine . . . . . . . . . . . . . .
3.9.3 Adiabatisches Theorem . . . . . . . . . . .
3.9.4 Adiabatischer Quantenalgorithmus . . . . .
3.10 Laufzeitverhalten und Dephasierung . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
23
23
26
27
27
30
30
32
32
32
32
33
34
34
35
37
38
38
38
39
39
40
40
41
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
computation)
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
Kapitel 1
P(E)-Theorie
Stromschwankungen werden ∆I(t) werden durch das Johnson-Nyquist-Rauschen beschrieben:
Z∞
¡
¢
1
d(t − t ) exp[iω(t − t ) · h{δI(t), δI(t0 )}i = Re Z −1 (ω) ~ω · coth
2
0
hδIδIiω ≡
−∞
0
µ
~ω
2kB T
¶
Hierbei gilt für die Mittelwerte hδI(t)i = 0, aber hδI(t)2 i 6= 0.
Z
SI (ω) = d(t − t0 ) exp[iω(t − t0 )]hδI(t), δI(t0 )i
bezeichnet man auch als Rauschfunktion. Für ~ω ¿ kB T gilt:
hδIδIiω ≈
1.1
2kB T
Z(ω)
Übung: P(E)-Theorie“/Caldeira-Legett-Modell
”
Man nimmt an, dass es ein Bad von harmonischen Oszillatoren gibt. Das letzte mal haben wir die Phase
Zt
~ϕ(t) =
e · V (t0 ) dt0
eingeführt, die dimensionslos ist. Die Phase ergibt sich als Summe
X
ϕ=
ci · xi
i
wobei xi die Koordinaten der Oszillatoren und ci irgendwelche Kopplungskonstanten sind. Der HamiltonOperator dieses Bades lässt sich dann schreiben als:
¸
X · p2
mi · Ω2i · x2i
i
Hbath =
+
2mi
2
i
Wir sind nun an den Eigenschaften von ϕ(t) interessiert. Dazu berechnen wir den Korrelator hϕ(t)ϕ(t0 )i:
X
%(z)hz|ϕ(t)ϕ(t0 )|zi
hϕ(t)ϕ(t0 )i =
z
Dies gilt, wenn die Dichtematrix %(z) diagonal ist. Mit ϕ(t) meinen wir die Operatoren im Heisenberg-Bild.
Sind die Dichtematrizen nicht diagonal, so folgt:
hϕ(t)ϕ(t0 )i = Sp(%ϕ(t)ϕ(t0 ))
Betrachten wir zunächst einen einzigen Oszillator, also i = 1:
r
r
¢
¢
~ ¡ †
~mΩ ¡ †
x=
a + a und i
a −a
2mΩ
2
5
KAPITEL 1. P(E)-THEORIE
Ein Operator A(t) im Heisenberg-Bild ergibt sich durch eine unitäre Transformation aus dem Operator A
im Schrödinger-Bild:
µ
¶
µ
¶
i
i
A(t) = exp
Ht A exp − Ht
~
~
Mit den Erzeugern a† und Vernichtern a lässt sich dann H schreiben als:
µ
¶
X
1
†
Hbath =
~Ωi ai ai +
2
i
Wir transformieren a† ins Heisenberg-Bild:
¡
¢
¡
¢
a† (t) = exp iΩa† a · t a† exp −iΩa† a · t = exp(iΩt)a† und a(t) = exp(−iΩt)a
Damit können wir den Korrelator zweier x-Operatoren berechnen:
hx(t)x(t0 )i =
¢¡
¢®
~ ­¡ †
a exp(iΩt) + a exp(−iΩt) a† exp(iΩt0 ) + a exp(−iΩt0 )
2mΩ
Es gilt ha† a† i = 0 = haai. Damit folgt weiter:
hx(t)x(t0 )i =
¤
~ £ †
ha ai exp(iΩ(t − t0 )) + haa† i exp(−iΩ(t − t0 ))
2mΩ
Mit
ha† ai = hni =
³
exp
1
~Ω
kB T
´
−1
und haa† i = hn + 1i = hni + 1
folgt weiterhin:
hx(t)x(t0 )i =
~
[(2hni + 1) · cos(Ω(t − t0 )) − i sin(Ω(t − t0 ))]
2mΩ
Dabei handelt es sich um einen unsymmetrisierten Korrelator, da hx(t)x(t0 )i 6= hx(t0 )x(t)i ist. Wir wollen nun
die Fourier-Transformierte des Korrelators berechnen:
Z
hx(t)x(t0 )iω = hx2ω i = exp(iωt)hx(t)x(0)i dt =
=
~
[hni · 2πδ(Ω + ω) + (hni + 1) · 2πδ(ω − Ω)]
2mΩ
Auch im Fourierraum ist der Korrelator nicht symmetrisch. Damit können wir auch den Korrelator von ϕ(t)
berechnen:
hϕ(t)ϕ(t0 )iω = hϕω i2 =
X 2π · c2 · ~
i
i
2mi · Ωi
· [ni δ(ω + Ωi ) + (ni + 1)δ(ω − Ωi )]
Wir definieren nun die spektrale Dichte für ω > 0:
J(ω) = π
X c2 · ~
i
· δ(ω − Ωi )
2m
i·Ω
i
Damit können wir schreiben:
hϕ2ω>0 i = 2J(|ω|) (n(|ω|) + 1) mit n(ω) =
³
exp
1
~|ω|
kB T
´
−1
Dies hat nur dann eine Bedeutung, wenn man viele Oszillatoren hat. Für ω < 0 können wir schreiben:
hϕ2ω<0 i = 2J(|ω|)n(|ω|)
6
1.1. ÜBUNG: P(E)-THEORIE“/CALDEIRA-LEGETT-MODELL
”
Außerdem können wir Sϕ (ω) angeben:
hϕ2ω i + hϕ2−ω i
= J(|ω|) · (2n(|ω|) + 1) mit 2n(|ω|) + 1 = coth
2
µ
¶
~|ω|
Sϕ (ω) = J(|ω|) coth
2kB T
Sϕ (ω) =
µ
~|ω|
2kB T
¶
Wir definieren nun J(−ω) = −J(ω) und man erhält endlich:
µ
Sϕ = J(ω) coth
~ω
2kB T
¶
Was bringt uns das jetzt für die Physik und speziell die Elektrotechnik? Haben wir eine Spannung V , so ergibt
sich folgender Korrelator:
¶
µ
~ω
SV = Re [Zt (ω)] · ~ω · coth
2kB T
Im Fourierraum gilt ϕ(t) =
Sϕ =
e2
~2 ω 2
e·Vω
~·(±iω)
und damit:
ϕV
Wir treffen die Wahl
J(ω) =
e2
Re(Zt (ω))
~ω
um die korrekte Rauschfunktion zu erhalten. Für Fluktuationen des Stroms gilt:
·
SI = Re
1.1.1
¸
µ
¶
1
~ω
~ω coth
Z(ω)
2kB T
Kanonische Transformation
Wir betrachten folgenden Hamilton-Operator:
X
X
X
εq c†qσ cqσ +
Tk,q c†kσ cqσ
H=
(εk + eV + eδV (t))c†kσ ckσ +
k,σ
q,σ
k,q,σ
Der dritte Operator beschreibt einen Tunnelstrom. Wir betrachten als Übung zuerst δV (t) als klassischen
Wert. Kanonische Transformationen in der Quantenmechanik sind nichts anderes als Basiswechsel. Haben wir
also eine Wellenfunktion ψ mit der Schrödinger-Gleichung i~ψ̇ = Hψ, so möchten wir ψ in einem anderen
Basissystem angeben. Es sei dann ψ 0 = U ψ und i~ψ̇ 0 = H 0 ψ 0 , wobei U die unitäre Transformation sei. Mit
ψ = U −1 ψ 0 folgt dann:
i
h
i~ψ̇ 0 = i~U̇ ψ + i~U ψ̇ = i~U̇ ψ + U Hψ = i~U̇ U −1 + U HU −1 ψ 0
Es ist damit:
H 0 = i~U̇ U −1 + U HU −1 mit U −1 = U †
7
KAPITEL 1. P(E)-THEORIE
Ist U zeitunabhängig, so fällt der erste Term weg. Wir wählen nun die unitäre Transformation folgendermaßen:




X †
X †
U (t) = exp iδϕ(t)
ckσ ckσ  und U −1 = U † = exp −iδϕ(t)
ckσ ckσ 
k,σ
k,σ
Jedem Elektron wollen wir eine zusätzliche Phase geben. Damit folgt:
δϕ(t) =
e
~
Zt
δV (t0 ) dt0

˙
i~U̇ U −1 = i~ iδϕ

X
˙
c†k,σ ck,σ  U U −1 = −~δϕ
k,σ
X
˙ = eδV (t)
c†kσ ckσ mit ~δϕ
k,σ
Wir wollen nun U HU −1 berechnen. Dazu betrachten wir:
³
´
³
´
U c†kσ U −1 = exp iδϕc†k,σ ck,σ c†k,σ exp −iδϕc†kσ ckσ = exp(iδϕ)c†kσ
Außerdem gilt U cq U −1 = cq . Sei δV nun ein Operator:
X
X
X
Tk,q c†kσ cqσ
εq c†qσ cqσ +
H=
(εk + eV + eδ V̂ )c†kσ ckσ +
q,σ
k,σ
k,q,σ
Die unitäre Transformation lautet damit:


X †
U = exp iδ ϕ̂
ckσ ckσ 
k,σ
Da Û nun zeitunabhängig ist, gilt H 0 = U HU −1 .
X
δϕ =
ci x̂i
U c†kσ U −1 = exp(iδ ϕ̂)c†kσ
U ckσ U −1 = exp(−iδ ϕ̂)ck,σ
Wir benötigen nun noch:
Ã
!
X p2
i
U
U −1
2m
i
i
exp(iax)p exp(−iax) = p − ~a
Dies erhält man mit der Kommutatorrelation xp − px = i~.
X (iax)n
n
n!
p exp(−iax)
xn p = xn−1 xp = xn−1
8
Kapitel 2
Spintronik (Spin-Elektronik)
Bei diesem Thema geht es um spinabhängige elektronische Transportprozesse.
2.1
Iteranter Ferromagnet (Band-Ferromagnet)
Dabei handelt es sich um einen polarisierten Ferromagneten, bei dem die Elektronen nicht lokalisiert, sondern
frei sind. Beispiele dafür sind Eisen (Fe) und Cobalt (Co). Wir können dann folgenden Hamiltonoperator
ansetzen, wobei m eine effektive Masse sei:
H=
p2
+ U (x) − µ~h · ~s
2m
~h sei ein Magnetfeld (Austauschfeld) und ~s = 1 ~σ der Spinoperator mit ~σ = (σx , σy , σz ). In einem dreidimen2
√
sionalen Metall ist die Zustandsdichte proportional zu E:
In einem Band-Ferromagneten sieht dies anders aus, wobei wir ein Feld der Form ~h = (0, 0, h) betrachten:
Es liegt also eine Mehrheit von Elektronen mit Spin ↑ vor, wobei die Elektronen mit Spin ↓ in der Minderheit
sind. Wir bezeichnen nun die Anzahl der Elektronen mit Spin ↑ mit dem Index M und die mit Spin ↓ mit m:
¶
µ
¶
µ
µh
µh
, Nm = N E F −
NM = N EF +
2
2
9
KAPITEL 2. SPINTRONIK (SPIN-ELEKTRONIK)
2.2
Tunnel-Magnetowiderstand (TMR)
Wir können den Hamiltonoperator schreiben als:
X
H = HL + HR +
Tq,k c†kσ c†qσ + hermitesch konjugiert
q,k,σ
Ohne Herleitung notieren wir uns:
1
2πe2
eL · VL und NR = N
eR · VR
= GT = 2 ·
· |T |2 NL NR mit NL = N
RT
~
Der zusätzliche Faktor zwei kommt von der Berücksichtigung des Spins.
2.2.1
Julliere-Modell
a.) Parallel:
GP =
¢
2πe2 2 ¡ 2
2
|T | NM + Nm
~
b.) Antiparallel:
10
2.2. TUNNEL-MAGNETOWIDERSTAND (TMR)
GAP =
2πe2 2
|T | · 2NM Nm
~
Die Polarisierung ist gegeben durch
P =
NM − Nm
NM + Nm
und das magnetische Moment M mit P 6= M berechnet sich durch Integration:
ZEF ·
M=
0
µ
¶
µ
¶¸
hµ
hµ
N E−
−N E+
dE
2
2
Ist P = 1, so handelt es sich um ein Halbmetall, bei P = 0 spricht man von einem normalen Metall.
Zusammenfassend können wir die Ausdrücke für den Leitwert schreiben als:
#
"
2
2
2
¡
¢
2πe2 2 (NM + Nm ) ± (NM − Nm )
2πe2 (NM + Nm )
P/AP
G
=
|T | ·
= G · 1 ± P 2 mit G =
·
~
2
~
2
Man kann nun den Tunnel-Magnetwiderstand definieren durch:
TMR =
GP − GAP
RAP − RP
=
AP
G
RP
Juliere
=
2P 2
1 − P2
11
KAPITEL 2. SPINTRONIK (SPIN-ELEKTRONIK)
2.2.2
Beliebiger Winkel (Slonczewski (89))
↑ und ↓ zeigen sowohl für rechts als auch links entlang der Polarisation. Es ist ↑L 6=↑R und ↓L 6=↓R .
µ ¶
µ ¶
θ
θ
| ↑R i = cos
| ↑L i + sin
| ↓L i
2
2
µ ¶
µ ¶
θ
θ
| ↓R i = − sin
| ↑L i + cos
| ↓L i
2
2
³
´
iθσ
Man erhält dies, indem man den Drehoperator U = exp 2 y auf | ↑L i bzw. | ↓L i anwendet. Damit ergibt
sich für unseren Hamiltonoperator:
´
X †
X ³ †
†
HTunnel =
T ckσ cqσ + hermitesch konjugiert =
T ck↑R cq↑R + Ck↓
c
+ hermitesch konjugiert
q↓
R
R
q,k,σ
q,k
Setzen wir
c†k↑R = cos
µ ¶
µ ¶
θ †
θ †
ck↑L + sin
c
2
2 k↓L
in HTunnel ein, so erhalten wir:
µ ¶
µ ¶
µ ¶
µ ¶
¶
¸
X ·µ
θ †
θ †
θ †
θ †
HTunnel =
T
cos
ck↑L cq,↑R + sin
ck↓L cq↑L − sin
ck↑L cq↓R + cos
ck↓L cq↓R + h.k.
2
2
2
2
q,k
Wir erhalten dann als Ergebnis:
·
µ ¶
µ ¶
¸
¡ 2
¡
¢
¢
2πe2 2
θ
θ
2
2
2
G=
|T | cos
· NM + Nm + 2 sin
NM Nm = G 1 + P 2 cos θ
~
2
2
12
2.2. TUNNEL-MAGNETOWIDERSTAND (TMR)
2.2.3
Spin-Anhäufung (Spin-Akkumulation)
Dieser Effekt ist verbunden mit einem Nichtgleichgewicht. Wir betrachten folgendes System mit zwei Tunnelkontakten:
Wir vernachlässigen die Coulomb-Blockade.
a.) Parallel:
I↑L = αNM · N ·
V
, I ↑R = I ↑L
2
I↓L = αNm · N ·
N
2πe2 2
, I↓R = I↓L mit α =
|T |
2
~
IP =
α
· V · (NM N + Nm N )
2
b.) Antiparallel
V↑ =
∆µ↑
∆µ↓
und V↓ =
e
e
13
KAPITEL 2. SPINTRONIK (SPIN-ELEKTRONIK)
¶
V
= α · NM · N ·
− V↑
2
µ
¶
V
= α · Nm · N · V↑ +
2
µ
I ↑L
I ↑R
Aus I↑L = I↑R ergibt sich:
V↑ =
V NM − Nm
1
1
·
= P V und V↓ = − P V
2 NM + Nm
2
2
Wir haben aus dem Metall einen Ferromagneten gemacht.
2.2.4
Spin-Relaxation
dS
S
=−
dt
τsf
Wir bezeichnen mit S den gesamten Spin (Magnetisierung).
S = ∆µ · N mit ∆µ = µ↑ , ∆µ = −µ↓
Es sei ∆µ ¿ EF . Macht ein einziges Elektron einen Spinflip, so fließt ein Strom Isf :
Isf = −e
dS
e · N ∆µ
eN
=
=
· (V↑ − V↓ )
dt
τsf
2τsf
14
2.3. GMR – GIANT MAGNETORESISTANCE (GIGANTISCHER
MAGNETOWIDERSTAND)
Rsf =
2τsf
V
GM − Gm
, V↑ =
·
eN
2 GM + Gm + 2Gsf
GM/m = α · NM/m · N
Die Zeit eines Spin-Flips muss lang sein, um Spin-Akkumulation zu bekommen.
2.3
GMR – Giant Magnetoresistance (Gigantischer Magnetowiderstand)
Wir betrachten in folgenden Systeme mit vielen magnetischen Schichten (layered materials). Dieser Effekt
wurde von Grünberg (1989) und Baibich (1988) unabhängig voneinander entdeckt. Heute wird dies beispielsweise in Notebooks genutzt.
Im Experiment werden Systeme mit wenigen Schichten verwendet. In der Theorie wollen wir uns auf periodische
Schichten konzentrieren. Es gibt nun zwei verschiedene Geometrien, nämlich:
1.) CPP (Current Perp. Plane)
Diese Methode ist experimentell jedoch schwer zu realisieren.
2.) CIP (Current in Plane)
GMR =
RAP − RP
∆R
=
≈
P
R
RP
½
220%
52%
für
für
T = 1, 5 K
T = 300 K
15
KAPITEL 2. SPINTRONIK (SPIN-ELEKTRONIK)
2.3.1
Physikalisches Bild
Es gibt verschiedene Streuungsraten für Mehrheit und Minderheit.
2.3.2
Beispiel
CIP: Wir hatten uns die Boltzmann-Gleichung notiert:
µ
¶
µ ¶
∂
~ r + eE
~∇
~ p f = ∂f
+ ~v ∇
∂t
∂t Stoss
Es sei
∂
f = f0 + δf (σ, p~, z),
f = 0,
∂t
µ
∂f
∂t
¶
=−
Stoss
δf
τ
womit sich für die Boltzmann-Gleichung ergibt:
vz ·
∂f
∂f
δf
∂δf
∂(f0 + δf )
δf
+ eEx ·
=−
⇒ vz ·
+ eEx ·
=−
∂z
∂px
τ
∂z
∂px
τ
Damit erhalten wir weiter:
¶
µ
1
∂f0
∂f0
∂f0 ∂ε
∂f0
∂
+
δf = −eEx vx ·
da
=
=
vx
vz
∂z
τ
∂ε
∂px
∂ε ∂px
∂ε
Die Lösung dieser Differentialgleichung ist:
µ
¶
∂f0
z
δf = −eEx vx τ ·
+ F~σ (x, y, px , py ) exp −
∂ε
vz τ
Der erste Term ist die inhomogene und der zweite die homogene Lösung. F ist eine beliebige Funktion.
16
2.3. GMR – GIANT MAGNETORESISTANCE (GIGANTISCHER
MAGNETOWIDERSTAND)
Pfeil nach rechts bedeutet pz > 0 und nach links pz < 0:
δ f~σ (z = 0+ ) = Tσ δ f~σ (z = 0− )
←
−
←
−
δ f σ (z = 0− ) = Tσ δ f σ (z = 0+ )
³
´
0
Diese Randbedingungen können nur dann erfüllt wenden, falls F von der Form A −eEx vx τ ∂f
ist. Man
∂ε
erhält dann für pz > 0:
δf = −eEx vx τ ·
·
µ
¶¸
∂f0
z
· 1 + A exp −
∂ε
vz τ
Für pz < 0 folgt:
·
¸
∂f0
δf = Cσ (z) −eEx vx τ ·
∂ε
X
~j = e
~vp δfσ (~r, p~)
p,σ
Es fließt nur ein Strom in x-Richtung.
jxσ (z) = jx |T σ=1 − δj σ (z)
17
KAPITEL 2. SPINTRONIK (SPIN-ELEKTRONIK)
Damit ein Effekt auftritt, muss d < vz · τ (nm-Bereich) sein.
δj P 6= δj AP
2.4
2.4.1
Spin-Bahn-Effekte
Mikroskopische Spin-Bahn-Kopplung (Spin-Orbit-Coupling)
Dabei handelt es sich um einen relativistischen Effekt.
´
~ ³~
v
~ = ∇V
~ und ~σ = (σx , σy , σz )
HSO =
∇V
×
p
~
~σ ∼ mit eE
2
2
4m c
c
Ist vc ¿ 1, dann ist der Beitrag dieses Effekts zur Energie des Elektrons klein. Ein weiterer Beitrag ist die
Zeeman-Energie:
~ · ~s mit ~s = ~~σ und µ = e
HZ = −µB
2
mc
In Atomen gilt für die Matrixelemente:
hs0z , lz0 , n0 |HSO |n, lz , sz i = α~l · ~s
18
2.4. SPIN-BAHN-EFFEKTE
(Band)Metalle, Halbleiter:
H=
p2
+ V (~r) + HSO
2m
Wir suchen nach Eigenzuständen ψ (Hψ = Eψ), wobei V (~r) periodisch sei. Ohne Spin-Bahn-Kopplung sind
die Eigenzustände Blochwellen ψk = uk (~r) exp(i~k · ~r), wobei uk (~r) die periodische Blochfunktion ist, dass
also uk (~r + ~a) = uk (~r) gilt. Der gesamte Zustand ist gegeben durch das Tensorprodukt der Blochwellen mit
dem Spinzustand, also ψk,σ = ψk |σi. Mit Spin-Bahn-Kopplung (Elliott, 54) gilt also:
£
¤
ψ~k,0 = a~k (~r)| ↑i + b~k (~r)| ↓i exp(i~k · ~r)
Die Koeffizienten a~k (~r + ~a) sind auch periodisch, also a~k (~r + ~a) = a~k (~r) und b~k (~r + ~a) = b~k (~r). Wir bezeichnen
ψ~k mit dem Index 0“, da es sich hierbei um den Grundzustand handelt. Wir wollen uns nun die Rolle der
”
Symmetrien anschauen. Es gibt zwei wichtige Symmetrien, nämlich:
1.) P̂ (Paritätsoperator: ~r 7→ −~r)
Gilt für das Potential V (~r) = V (−~r), so besitzen auch die Wellenfunktionen diese Symmetrie.
a~k (−~r) = a−~k (~r) und b~k (−~r) = b−~k (~r)
P̂ ψ~k,0 = P̂
´
¡£
¤
¢ ³
a~k (~r)| ↑i + b~k (~r)| ↓i exp(ikx) = a−~k (~r)| ↑i + b−~k (~r)| ↓i exp(−ikr)
2.) T̂ (Zeitumkehroperator: T ψ(~r) = ψ ? (~r), T | ↑i = | ↓i, T | ↓i = −| ↑i)
³
´
T̂ P̂ |ψ~k,0 = a?−~k (~r)| ↓i − b?−~k (~r)| ↑i exp(ikr) = ψ~k,1 = P̂ T̂ ψ~k,0
Falls der Hamiltonoperator invariant bezüglich dieser beiden Transformationen sind (T̂ Ĥ T̂ −1 = Ĥ und
P̂ Ĥ P̂ −1 = Ĥ), so ist Ek,1 = Ek,0 . Die Zeitumkehrsymmetrie gilt ohne Magnetfeld immer; die P̂ -Symmetrie
ist jedoch in einigen Kristallen verletzt (P̂ H P̂ −1 6= H), womit dann Ek,1 6= Ek,0 ist. Dann gibt es eine
Spin-Bahn-Aufspaltung:
H = H0 + HSO mit HSO =
1
1 ~
~σz Ωz (k) ⇒
~~σ Ω(k)
2
|2 {z }
wobei Ω(k1 ) 6= Ω(k2 )
ursprünglicher
Raum
σx |0i = |1i, σz |0i = |0i, σz |1i = −|1i
Ist die TP-Symmetrie gebrochen, so spricht man von BIA (Bulk Inversion Asymmetrie). Arbeiten dazu findet
man von Dresselhaus (55) und D’yakonov-Perel (71). Wir betrachten ein zweidimensionales Elektronengas:
~ =∇
~ z V k ~z
eE
³
´
~ × ~k · ~σ
HSO ∼ E
~ = (0, 0, Ez ) ergibt sich:
Für E
³
´
HSO ∼ Ez (σx ky − σy kx ) und HSO,R = αR σx k̂y − σy k̂x
Man bezeichnet diese als Rashba-Spin-Bahn-Kopplung. Bei Bewegung in x-Richtung, spürt das Elektron ein
Magnetfeld in y-Richtung.
19
KAPITEL 2. SPINTRONIK (SPIN-ELEKTRONIK)
2.4.2
Datta-Das-Transistor
Wir wollen uns nun mit dem SFET (spin-field-effect-transistor) von Datta und Das (1990) beschäftigen.
Zur Vereinfachung wählen wir ~k = (kx , 0, 0) und erhalten damit:
HSO,R = −αR (Vg )kx σy
~ = (0, By , 0) mit By = −2αR kx
B
Mit Vg kann man den Strom ändern. Man kann Vg beispielsweise so einstellen, dass der Spin eine ganze
Umdrehung macht.
2.4.3
Spin-Filter
Wir betrachten zwei ideale eindimensionale Drähte:
Der Hamiltonoperator sieht folgendermaßen aus:
H=
X
Z
Hα + HTunnel mit Hα =
α= V
L
L
dk
εα (k)c†kσα ckσα und HTunnel =
2π
Z2
¤
£ †
tψuσ (x)ψlσ (x) + h.k.
−L
2
Man kann mit Fouriertransformation zwischen dem x- und k-Raum transformieren:
Z
Z
dk †
†
†
c†kσu = dx ψσu
(x) exp(−ikx), ψσu
(x) =
c
exp(ikx)
2π kσu
Es sei nun k 7→ u und q 7→ L:
L
Z2
HTunnel =
Z
dx t
dk †
c exp(ikx)
2π kσ
Z
dq
cqσ exp(−iqx) + h.k =
2π
−L
2
ZZ
=
³
dk dq
tkq c†kσ cqσ + h.k. mit tkq = t
(2π)2
sin
³
(k−q)L
2
k−q
2
´
´
20
2.4. SPIN-BAHN-EFFEKTE
k ist fast erhalten; für k ≈ q ist Tunneln möglich.
1.) Rashba SO (nur um U Draht)
εk = ε0U +
¢2
~2 ¡
~2 k 2
U
U
− αR
kσy = εe0U +
k − kSO
σy
2m
2m
Die Dispersionsrelation ist verschoben. Sie ist nach rechts verschoben für Spin up und nach links für Spin
down.
vF† = vF↓ = vF ohne Spin-Bahn-Kopplung
~ (Bahnkopplung – keine Zeeman-Wechselwirkung)
2.) Magnetfeld B
~ = (0, 0, Bz ) mit B
~ = rot A,
~ wobei A
~ = (Bz y, 0, 0) ist.
Wir betrachten B
HU = −
~2
2m
εUk = εeU0 +
µ
¶2
~ − ie A
~
∇
~c
∇7→ik
=
´2
~2 ³
e
~2
e
ed
k − Ax =
(k − pB )2 mit pB = Ax =
Bz
2m
~c
2m
~c
~c
~2
2
(k − pB − kSO σy )
2m
21
KAPITEL 2. SPINTRONIK (SPIN-ELEKTRONIK)
Es gibt also eine weitere Aufspaltung.
Der Leitwert G ist gleich null, da kein Tunneln möglich ist.
Nur die Elektronen mit Spin up, können tunneln. Durch das Magnetfeld können wir einen Strom erzeugen,
der nur aus Spin-up-Elektronen besteht; man hat also einen Polarisator.
22
Kapitel 3
Quantencomputer
Wir
√ werden uns mit Algorithmen (Shor-Algorithmus, Error-correcting codes) und Quantenlogik (Qubit, NOT,
NOT) beschäftigen. Als Grundlage müssen wir uns jedoch zuerst mit der Quantenmechanik der Spins und
der sogenannten Phasenkohärenz (Zerstörung, Mechanismen) auseinandersetzen. Danach kommen wir zu den
physikalischen Realisierungen wie nano-elektrische Bauelemente usw.
3.1
3.1.1
Konzepte
Quantenmechanik von Spins
Wir gehen aus von der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung:
∂
ψ(t) = Hψ(t)
∂t
Ist H zeitunabhängig, so erhält man die stationären Zustände ψn aus Hψn = En ψn . Die Zeitentwicklung ist
für einen solchen Zustand:
µ
¶
i
ψn (t) = ψn exp − En t
~
i~
Allgemein gilt:
µ
¶
µ
¶n
∞
X
i
1
i
ψ(t) = exp − Ht ψ(0) =
− Ht ψ(0)
~
n!
~
n=0
Ist H zeitabhängig mit [H(t1 ), H(t2 )] 6= 0, so können wir mittels des Zeitordnungsoperators T schreiben:


Zt
i
ψ(t) = T exp −
H(t0 ) dt0  ψ(0) = U (t)ψ(0)
~
t0
U (t) bezeichnet man als Zeitentwicklungsoperator:
¶n Zt
Ztn
Zt3
Zt2
Zt
Zt
∞ µ
∞ ¡ i ¢n Zt
X
X
−~
i
dtn dtn−1 . . . dt2 dt1 H(tn ) . . . H(t2 )H(t1 )
dt1 dt2 . . . dtn H(t1 ) . . . H(tn ) =
−
U (t) = T
n!
~
n=0
n=0
0
0
0
0
0
0
0
†
Zeitordnung“ bedeutet, dass der früheste Operator ganz rechts steht. U (t) ist unitär: U U = 1. Wir betrachten
”
~ = 1 ~; es handelt sich dabei um einen internen Drehimpuls beispielsweise von
nun den Spin-1/2 mit |S|
2
~ lässt sich durch die Pauli-Matrizen darstellen:
Elektronen. Der Spinoperator S
µ
¶
µ
¶
µ
¶
~ = ~ ~σ mit σx = 0 1 , σy = 0 −i und σz = 1 0
S
1 0
i 0
0 −1
2
Diese Matrizen erfüllen die Eigenschaften σk σl = iεσm und σx2 = σy2 3 = σz2 = 1. Der Spin ist verknüpft mit
einem magnetischen Moment µ
~:
µ
~ = 2µB
~
S
= µB ~σ = µ~σ
~
~ = −µB
~ · ~σ .
Der Hamilton-Operator für einen Spin im Magnetfeld lautet H = −~
µ·B
23
KAPITEL 3. QUANTENCOMPUTER
Beispiel:
~ = Bêz . Dann lautet der Hamilton-Operator:
Wir betrachten ein Magnetfeld in z-Richtung, also B
µ
¶
−µB
0
H = −µBσz =
0
µB
Dieser besitzt folgende Eigenzustände und -energien:
µ ¶
1
= | ↑i für E0 = −µB
|0i =
0
Der Spin zeigt in +z-Richtung.
µ ¶
0
|1i =
= | ↓i für E0 = µB
1
Der Spin zeigt in −z-Richtung.
Beispiel:
~ = Bx êx + Bz êz :
Betrachten wir den Hamilton-Operator für ein allgemeines Magnetfeld B
µ
¶
−µBz −µBx
H = −µBx σx − µBz σz =
−µBx µBz
Die Eigenwerte erhält man durch:
µ
¶
p
−µBz − E
−µBx
0 = det
⇒ E0,1 = ∓µ Bx2 + Bz2
−µBx
µBz − E
Die Eigenzustände folgen nach den Regeln der linearen Algebra. Ein allgemeiner Zustand ist darstellbar mittels
der beiden Basiszustände, nämlich:
µ ¶
a
= a|0i + b|1i
b
Für die Erwartungswerte ergibt sich:
µ
¶ µ ¶
¡ ? ?¢ 0 1
a
hσx i = a b ·
·
= a? b + b? a
1 0
b
µ
¶ µ ¶
¡
¢ 0 −i
a
·
= −ia? b + ib? a
hσx i = a? b? ·
i 0
b
µ
¶ µ ¶
¡ ? ?¢ 1 0
a
hσx i = a b ·
·
= |a|2 − |b|2
0 −1
b
~ = Bêz .
Schauen wir uns die Zeitentwicklung der Zustände an. Wir betrachten dazu B
µ
¶
−µB
0
H=
0
+µB
Der Anfangszustand zeige in x-Richtung:
µ ¶
1 1
ψ(0) = √
2 1
Wie entwickelt sich dieser Zustand mit der Zeit? Wir benötigen den Zeitentwicklungsoperator:
¢
¡
µ
¶
µ
¶¶ µ
i
−µB
0
0
exp ~i µBt
¡
¢
U = exp − t
=
0
µB
0
exp − ~i µBt
~
Damit ergibt sich durch Anwendung von U (t) auf ψ(0):
¡
¢
¡
¢¶
¶µ ¶
µ
µ
1
1 exp ~i µBt
1
exp¡ ~i µBt ¢
¢
¡ 0i
=√
ψ(t) = √
i
1
0
exp − ~ µBt
2
2 exp − ~ µBt
24
3.1. KONZEPTE
hψ(0)|ψ(t)i =
·
µ
¶
µ
¶¸
µ
¶
1
i
i
µBt
exp
µBt + exp − µBt
= cos
2
~
~
~
Man bezeichnet dies als kohärente Oszillationen. Allgemein gilt:
µ
¶
X
X
i
ψ(0) =
an |ni ⇒ ψ(t) =
exp − En t an |ni
~
n
n
Allgemein vollführt der Spin eine Präzessionsbewegung mit der Kreisfrequenz ω =
2µB
~ .
Wir berechnen den Erwartungswert dieses Zustands:
µ
¶ µ
¶
¢ 0 1
1¡
1
exp(i ω2 t)
ω
ω
exp(−i 2 t) exp(i 2 t) ·
·
hψ(t)|σx |ψ(t)i =
= (exp(−iωt) + exp(iωt)) = cos(ωt)
1 0
exp(−i ω2 t)
2
2
Beispiel:
Es sei folgender Zustand gegeben:
µ ¶
1
ψ(0) =
0
~ = Bx êx . Der Hamilton-Operator lautet H = −µBx σx .
Wir betrachten dazu ein Magnetfeld in x-Richtung: B
Damit folgt der Zeitentwicklungsoperator:
¶
µ
µBx
i
µBx σx = exp(iασx ) mit α =
t
U (t) = exp
~
~
Wir berechnen den Exponentialausdruck:
i
1
1
i
1
1
exp(iασx ) = 1 + iασx − α2 σx2 − α3 σx3 + α4 σx4 + . . . = 1 + iασx − α2 − α3 σx + α4 + . . . =
2
3!
4!
2
3!
4!
µ
¶
µ
¶
µ
¶
1 2
1 4
1 3
cos α i sin α
= 1 − α + α + . . . + iσx α − α + . . . = cos(α)1 + iσx sin(α) =
i sin α cos α
2
4!
3!
Damit können wir ψ(0) nach der Zeit entwickeln:
µ ¶ µ
¶
1
cos α
ψ(t) = exp(iασx )
=
0
i sin α
25
KAPITEL 3. QUANTENCOMPUTER
Der Zustand dreht sich in der y-z-Ebene.
3.1.2
Rabi-Oszillationen
Wir haben ein dc- und ein ac-Feld. Der dc-Anteil wird beschrieben durch folgenden Hamilton-Operator:
H0 = −µBz σz = −
~ω0
σz
2
Der Erwartungswert des Spins präzediert mit der Frequenz ω0 . Nun schalten wir ein transversales zirkular
e cos(ωt), by (t) = −B
e sin(ωt). Wir definieren nun die sogenannte
polarisiertes ac-Feld ein, nämlich Bx (t) = B
Rabi-Frequenz Ω =
e
2Bµ
~ .
Daraus folgt der gesamte Hamilton-Operator:
µ
¶
µ
¶
~Ω
~ω0 1 0
~Ω
~ω0
0
exp(iωt)
H=−
σz −
(σx cos(ωt) − σy sin(ωt)) = −
−
0 −1
0
2
2
2
2 exp(−iωt)
Wir betrachten die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung:
∂
ψ(t) = Hψ(t)
∂t
Wir transformieren in das mitrotierende System
µ
¶
ω0 t
Ur = exp i
σz
2
i~
durch, womit ψ 0 (t) = Ur† ψ(t) im rotierenden System gilt. Damit hat man im rotierenden System die Schrödinger-Gleichung
∂ 0
ψ (t) = H 0 ψ 0 (t) mit H 0 = Ur† HU − i~Ur† U̇r
∂t
Wir wählen nun ω = ω0 genau in Resonanz. Genau dann gilt:
i~
~Ω
σx
2
Dieses Ergebnis entspricht dem Spezialfall, dass das Feld in x-Richtung zeigt. Es ergab sich eine Drehung in
der y-z-Ebene.
¢
¡ ~Ω ¢¶
¡
µ
¶
µ
~Ω
cos ¡~Ω
2 t ¢ i sin¡ 2 t¢
ψ 0 (0)
ψ 0 (t) = exp i
σx t ψ 0 (0) =
~Ω
i sin ~Ω
t
cos
t
2
2
2
H0 = −
26
3.2. QUANTENCOMPUTER
µ
¶
~Ω
ψ(t) = Ur (t) exp i
σx t Ur† (t)ψ(0)
2
Man spricht von Rabi-Oszillationen“.
”
3.1.3
Mehrere Spins
Wir betrachten beispielsweise zwei Spins. ψ1 (t) und ψ2 (t) können eine Superposition sein. Das Gesamtsystem kann dann in einem Produktzustand ψ1 (t)ψ2 (t) existieren. Es gibt jedoch auch verschränkte Zustände.
Betrachten wir dazu folgendes Beispiel:
´
1 ³
ψ = √ | ↑( 1) ↓(2) i − | ↓(1) ↑(2) i
2
Wir kennen diesen Zustand unter dem Begriff Singulett“.
”
U Physik von 2-Niveau-Systemen (Spins)
â Zustände, Superposition, entangled states
â unitäre Zeitentwicklung (spin flip, Spin-Rotation, Phasenverschiebung)
â Phasenkohärenz, Messprozess
U Grundlegende Operationen für Quantencomputer: Gatter“
”
√
â Not, NOT
3.2
Quantencomputer
Klassisch
Bits (0 oder 1)
5 = (00101)2
Register 0 0 1
0
1
Quantencomputer
Qubits (Spin 1/2), ψ = α|0i + β|1i
5 = (00101)2
Register ↑ ↑ ↓ ↑ ↓
27
KAPITEL 3. QUANTENCOMPUTER
Man verwendet folgende Basis:
|0i = |0000i = |0i|0i|0i|0i
|1i = |0001i = |0i|0i|0i|1i
|2i = |0010i = |0i|0i|1i|0i
..
.
|15i = |1111i = |1i|1i|1i|1i
Es sind in diesem Register Überlagerungen erlaubt, wie beispielsweise α|2i + β|15i + γ|13i. Allgemein würde
gelten:
|ψi =
N
2X
−1
Cn |ni
n=0
Dies ist der allgemeine Zustand eines Registers mit N Qubits. Es ist auch möglich, Zustände zu verschränken.
|1i + |3i = |0i|0i|0i|1i + |0i|0i|1i|1i = (|0i|0i|0i + |0i|0i|1i) ⊗ |1i
Dies ist jedoch kein verschränkter Zustand.
U Informationsspeicherung im Spinzustand/Qubit
U Programm: Manipulation von Qubits durch Kontroll-Hamiltonoperator
U Modell-Hamiltonoperator:
H(t) = −
N
X
£ i
¤ X ij
σx ± iσy
j j
Bx (t)σxi + Bzi (t)σzi +
J (t)σ+
σ− + h.k mit σ± =
2
i=1
i<j
U Logischer Zustand eines einzelnen Gatters: Spin-Rotation des Spins i
H(t) = −Bxi σxi für irgendeine Zeit τ
Der Zeitentwicklungsoperator lautet:
µ
¶ µ
¶
i
Bi τ
cos ϕ i sin ϕ
U i (ϕ) = exp − Bxi σxi τ =
mit ϕ = x
i sin ϕ cos ϕ
~
~
Dies folgt ja aus exp(iασx,y,z ) = cos(α)1 + iσx,y,z sin α. Dies führt zu einer Superposition von Zuständen.
Das logische NOT folgt für ϕ = π2 :
µ
¶
µ
¶
0 i
0 1
U=
=i
= iσx
i 0
1 0
Wendet man den Zeitentwicklungsoperator nämlich an auf Zustände |0i bzw. |1i, so folgt:
UNOT |0i = |1i und UNOT |1i = |0i
√
haben wir die Operation NOT:
!
Ã
µ
¶
√1
√i
1 1 i
= √i2 √12 = √
2 i 1
2
2
Für ϕ =
U√NOT
π
4
Es muss nämlich gelten:
µ
¶
0 i
√
√
U NOT · U NOT =
= UNOT
i 0
28
3.2. QUANTENCOMPUTER
U Zwei-Bit-Gatter für Spins i und j:
i j
H(t) = −J ij σ+
σ− + h.k
Wir erhalten für den Zeitentwicklungsoperator:


1
0
0
0
0 cos γ i sin γ 0
i

U2-Bit
=
0 i sin γ cos γ 0 in der Basis | ↑i ↑j i, | ↑i ↓j i, | ↓i ↑j i, k ↓i ↓j i
0
0
0
1
√
logische SWAP-Operation für γ = π2 und SWAP für γ = π4 , XNOT, . . .
U Universeller Satz“ von Gattern
”
{1-Bit, CNOT}
Ein CNOT-Operator (controlled NOT, XOR) ist ein 2-Bit-Gatter mit folgenden 4 × 4-Matrizen:


1 0 0 0
0 1 0 0

UCNOT 
0 0 0 1 in der Basis |00i, |01i, |10i, |11i
0 0 1 0
Wenden wir diese Operation auf die Basiszustände an:
UCNOT |00i = |00i, UCNOT |01i = |01i, UCNOT |10i = |11i, UCNOT |11i = |10i
Das erste Bit ist das Kontrollbit.
UCNOT (|0i + |2i) = UCNOT (|00i + |10i) = |00i + |11i = |0i + |3i
!
!
Ã
Ã
(1)
(2)
³ π´
³π ´
³π ´
iπσx
iπσx
(1)
UCNOT = exp i
H1 exp
· exp −
U2-Bit
· UNOT · U2-Bit
H (1)
4
4
4
4
4
µ
¶
1 1 1
H=√
(Hadamard-Gatter)
2 1 −1
U 3-Bit-Gatter (Toffoli-Gatter, CCNOT):
Die

1
0

0

0

0

0

0
0
entsprechende Matrix lautet:

0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1 0
U Kontrollierte Phasenverschiebung
Beispielsweise ist U |11i = exp(iϕ)|11i.
29
KAPITEL 3. QUANTENCOMPUTER
U Reversibilität
Dies ist ein weiterer großer Unterschied zwischen klassischem Computer und Quantencomputer. Betrachten wir beispielsweise die NAND-Operation. Dies ist eine Zwei-Bit-Operation (Input: 2, Output: 1)
|00i 7→ |10i, |01i 7→ |10i, |10i 7→ |10i, |11i 7→ |00i
Hat man nur den Output, kann man nicht auf den Input schließen. Im Quantencomputer gibt es deshalb
keine NAND-Operation.
U Hadamard-Gatter
Dieses wirkt auf ein Qubit:
1
| ↑i 7→ √ (| ↑i + | ↓i)
2
1
| ↓i 7→ √ (| ↑i − | ↓i)
2
Dieses kann realisiert werden durch:
µ
µ
¶
¶
π σxi + σzi
√
exp −i
−1
2
2
3.3
Elemente von Quantencomputern
1.) Klassisch: Bits, Register, elementares Gatter NAND ist ausreichend, setzt Bits auf 0 (Löschen von Informationen, Erzeugung von Entropie), Funktionen x 7→ f (x), im allgemeinen irreversibel
2.) Quantencomputer: Qubits, Quantenregister, universeller Satz von Gattern, phasenkohärente Funktionen
(außer Messung) |x, 0i 7→ |x, f (x)i, reversibel
2N Zahlen werden repräsentiert durch N Qubits.
|0i = |00 . . . 00i
|1i = |00 . . . 01i
..
.
|2N − 1i = |11 . . . 11i
3.3.1
Quanten-Parallelität
Wir beginnen mit einer Superposition von Zuständen (im allgemeinen ganze Zahlen 0 ≤ x ≤ 2N − 1)
|ψ(t = 0)i =
1
N
2X
−1
N
22
|xi
x=0
Wir führen unitäre Operationen (≡ Programm) auf allen Zuständen gleichzeitig aus:
|{x}, {0}i 7→ |{x}, {f (x)}i
Man erhält die ganze Funktion in einer Rechnung.
Uf |xi|0i 7→ |xi|f (x)i


N
N
2X
−1
2X
−1
1
1
|xi |0i 7→ N
|xi|f (x)i
U N
2 2 x=0
2 2 x=0
Um dieses Ergebnis zu erhalten, muss man jedoch einen Messprozess vollziehen. Peter Shor hat im Jahre
1994 die Lösung eines Problems gefunden.
Problem: Berechne fa,n (x) = ax mod n für alle x gleichzeitig
30
3.3. ELEMENTE VON QUANTENCOMPUTERN
U Anfangszustand |0N i|0N i (2N Qubits)
U Anwendung von N Hadamard-Gattern:
N
H1 H2 . . . HN |0 i|0 i =
N
2X
−1
1
N
N
22
|xi|0N i
x=0
Superposition aller x
U Anwendung von U :
X
X
|xi|0i 7→
|xi|fa,n (x)i
x
x
Die Information kann nicht ausgelesen werden, aber wir benötigen nur die Periode.
U Messung des zweiten Registers, erhalte irgendeinen Wert j
Projiziere auf Unterraum der Zustände |xi|ji, für die fa,n (x) = j ist! Betrachte folgendes Beispiel: Es sei
n = 15, a = 2.
â Messung von j = 2, Zustand nach Messung:
(|1i + |5i + |9i + . . .) |2i
â Messung von j = 4, Zustand nach Messung:
(|2i + |6i + |10i + . . .) |4i
U Verschiedene Messungen ergeben verschiedene j
Projiziert man diese auf Unterräume, haben alle dieselbe Periode r, aber einen unterschiedlichen Offset“
”
kj :
2N
|ψi =
r
X
|ir + kj i|ji
i=0
Betrachten wir ein weiteres Beispiel:
U
F
|xi|yi −−→
|xi|[y + F (x)](
mod 2)i
1
1
(|0i + |1i) (|0i − |1i) = (|00i + |10i − |01i − |11i) =
2
2
¢ H⊗1
UF 1 ¡
=
|0, F0 i + |1, F1 i − |0, F 0 i − |1, F 1 i =
2
¢
1 ¡
= √ |0, F0 i + |1, F0 i + |0, F1 i − |1, F1 i − |0, F 0 i − |1, F 0 i − |0, F 1 i + |1, F 1 i =
2 2
¤
£
¤¢
1 ¡ £
= √ |0i |F0 i + |F1 i − |F 0 i − |F 1 i + |1i |F0 i − |F1 i − |F 0 i + |F 1 i
2 2
H ⊗ H|0i|1i =
Sind F1 und F2 gleich, so erhält man |0i (falsche Münze), für F1 6= F2 erhält man |1i. Man bezeichnet
diesen Algorithmus als Deutsch-Algorithmus.
31
KAPITEL 3. QUANTENCOMPUTER
3.3.2
Beispiel: Fourier-Transformation
Wir gehen aus von der Basis
|0i = | ↑ . . . ↑↑↑i
|1i = | ↑ . . . ↑↑↓i
..
.
|2L − 1i = | ↓ . . . ↓↓↓
und betrachten eine Superposition aller Zustände:
L
2X
−1
ax |xi 7→
L−1
2X
x=0
k=
µ
¶
2 −1
1 X
2πikx
ck |ki mit ck = L
exp
ax
2 x=0
2L
L
Die Anzahl der Gatter ist proportional zu L2 . In klassischen Computern benötigt man jedoch 2L Operationen,
um eine Fourier-Transformation durchzuführen.
3.3.3
Fehlerkorrektur
a.) Spinflip:
Wenn sich die Wahrscheinlichkeit für |0i und |1i ändert, bezeichnet man dieses als Spinflip:
α|0i + γ|1i 7→ α0 |0i + γ 0 |1i mit |α| 6= |α0 |
b.) Phasenfehler:
α|0i + γ|1i 7→ α|0i + exp(iϕ)γ|1i
Wie kann man dieser Fehler korrigieren?
U drei Qubits für ein logisches Bit: |0i = |000i, |1i = |111i
U durch zerstörungsfreie Messung feststellen, ob Spinflip stattgefunden hat
3.4
Anforderungen für Quanten-Informationssysteme
1.) N wohldefinierte Qubits, skalierbar zu großen N
2.) Präparation eines wohldefinierten Anfangszustands
3.) alle Ein-Bit-Gatter und einige Zwei-Bit-Gatter, die einen universellen Satz bilden
4.) lange Phasenkohärenzzeit
τϕ
τop
≥ 104
5.) Ausleseeinheit
Man bezeichnet diese als Di Vincenzo-Kriterien.
3.4.1
Physikalische Realisierung von Qubits
1.) Ionenfallen (Cirac und Zoller)
32
3.5. SUPRALEITUNG
- große experimentelle Aufbauten
+ große τϕ
+ mehr als fünf Qubits gekoppelt
- schwierig in Geräte zu integrieren
2.) NMR (Chuang et. al., Cory et. al.)
+ große τϕ
+ sieben Qubits gekoppelt
- kann nicht zu großen N skaliert werden, µn H ¿ kB T (Mischung)
3.) Elektronenspins in Gatterstrukturen (Loss und Di Vincenzo
+ τϕ für Spins > τϕ für Ladung
+ genau zwei Zustände
- experimentelle Herausforderung
4.) Josephson-Qubits (Mooij et. al.)
+ Technologie verfügbar (SET, SQUID)
+ integrierbar in elektronische Schaltung
+ skalierbar
- experimentelle Herausforderung
3.5
Supraleitung
Quasifreie Elektronen in einem Metall genügen der Dispersionsrelation
ε~k =
~2~k 2
−µ
2m
Im supraleitenden Fall gilt E~k =
keit gilt:
¶
µ
¶
µ
E~
∆
≤ exp −
exp − k
kB T
kB T
p
ε~k + ∆2 , wobei ∆ eine Energielücke ist. Für die Anregungswahrscheinlich-
Es bleiben Cooperpaare ohne Lücke mit der Ladung 2e.
33
KAPITEL 3. QUANTENCOMPUTER
3.6
Kohärenz und Dekohärenz
3.6.1
Die Blochgleichung
Wir gehen aus von den Bloch-Gleichungen. Diese sind sehr relevant für NMR.
d ~
1~
~
M= B
×M
dt
~
Dadurch wird die Präzession beschrieben. Entspricht die Ausgangsmagnetisierung nicht dem thermischen
Gleichgewichtswert M0 entspricht, wir im allgemeinen ein bestimmter Relaxationsprozess auf einer bestimmten
~ = Bz ẑ:
Zeitskala T1 bzw. T2 stattfinden. Es sei B
d ~
1~
~ − 1 (Mz − M0 )ẑ − 1 (Mx x̂ + My ŷ)
M= B
×M
dt
~
T1
T2
Diese Gleichung wurde 1946 von Bloch postuliert. [Bloch (46), (57) und Redfield (57)]. Wir wollen nun
die Gleichung herleiten. Dazu betrachten wir folgenden Hamilton-Operator:
1
H = − Bz σz + Dissipation
2
Auf die Dissipation werden wir später eingehen. Wir benötigen die Pauli-Matrizen:
µ
¶
µ
¶
µ
¶
0 1
0 −i
1 0
σx =
, σy =
, σz =
1 0
i 0
0 −1
~ folgt aus Sp(~σ %). (M sei so normiert (ohne Dimension).) % ist die Dichtematrix:
Die Magnetisierung M
X
X
%=
Wn |ψn ihψn | mit
Wn = 1
n
n
Sie beschreibt ein statistisches Ensemble. Die Zustände |ψn i seien mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit
Wn realisiert. Die Dichtematrix ist hermitesch und hat Spur eins. Für 2-Niveau-Systeme hat die Dichtematrix
folgende Form:
µ
¶
%00 %01
%=
%10 %11
Betrachten wir den quantenmechanischen Erwartungswert:
X
hAi =
Wn hn|A|ni = Sp(A%)
n


%10 + %01
~ = Sp(~σ %) = −i%10 + i%01 
M
%00 − %11
i
1
Wir werten nun die Liouville-Gleichung %̇ = − [H, %] für H = − Bz σz aus:
~
2
µ
¶
i
i
i
0
%01
%̇ =
Bz [σz , %] = Bz
⇒ %̇00 = 0 = %̇11 und %̇01 = ± Bz %01
−%10 0
10
2~
~
~
Daraus folgt die zeitliche Ableitung der Magnetisierung:
Ṁx =
i
Bz
Bz
~˙ = 1 B
~ ×M
~
Bz (%01 − %10 ) =
My und Ṁy = − Mx ⇒ M
~
~
~
~
Mit Dissipation, Rauschen und dergleichen gilt:
1
%̇00 = −Γ↑ %00 + Γ↓ %11 und %̇11 = Γ↑ %00 − Γ↓ %11 und %̇01 = ± Bz %01 − Γϕ %01
10
10
10
~
Der Beweis folgt. Im thermischen Gleichgewicht gilt detailliertes Gleichgewicht:
µ
¶
¶
µ
Bz
%eq
Γ↑
Bz
= exp −
⇔ 11
(stationär)
=
exp
−
Γ↓
kB T
%eq
kB T
00
34
3.6. KOHÄRENZ UND DEKOHÄRENZ
µ
¶
M0 =
eq
%eq
00 − %11
eq = tanh
%eq
00 + %11
Ṁz =
eq
%̇eq
1
1
00 − %̇11
(Mz − M0 ) mit
≡ Γrel = Γ↑ + Γ↓
eq
eq = −
%00 + %11
T1
T1
Bz
2kB T
Es bleibt Γϕ ≡ T12 . T1 entspricht der Relaxation der Diagonalelemente von % und T2 dem Zerfall der Nebendiagonalelemente von %.
Beispiel:
Wir berechnen die Dichtematrix in der Basis |ψ0 i, |ψ1 i:
1
ψ(t = 0) = |0i = √ (|ψ0 i + |ψ1 i)
2
Zur Zeit t = 0 gilt:
µ1
%(t = 0) = |ψ(t = 0)ihψ(t = 0)| =
%(t > 0)
3.6.2
T =0,Bz =0
=
diag +
1
2
2
1
2
1
2
1
2
¶
µ
¶
µ
¶
t
0 1
exp −
1 0
T2
Relaxation T1 (transversales Rauschen)
p
1
1
1
Diagonalisierung
H0 = − Bz σz0 − Bx σx0 −−−−−−−−−−→ − ∆Eσz mit ∆E = Bz2 + Bx2
2
2
2
Dies gilt in der Eigenbasis des Qubits. Das Rauschen kann transversal ankoppeln:
1
1
H = − ∆Eσz − x(t)σx (+HBad )
2
2
x sei eine Gauß-Verteilung:
Z
1
hx(t)i = 0, Sx (ω) =
dt h{x(t), x(0)}i exp(−iωt)
2
Der Mittelwert von x verschwindet, also ist hx(t)i = 0. x(t) verursacht Übergänge im Zwei-Niveau-System und
gleichzeitig im Bad. Diese berechnen wir nach Fermis goldener Regel:
2π X Bad ¯¯D ¯¯ x ¯¯ E¯¯2
Γ↑↓ =
%i ¯ 1f ¯ ¯ i0 ¯ δ(Ei − ∆E − Ef ) =
~
2
i,f
µ
¶
Z
1
i
2π X Bad
%
hi|x|f ihf |x|ii
dt exp
(Ei ∓ ∆E − Ef )t =
=
~ i,j i
2π~
~
¿ ¯
µ
¶
µ
¶¯ À
¶
µ
Z
X
¯
¯
i Bad
i
1 2π
1
i
Bad
dt
%i
i ¯¯exp
H
t x exp − H Bad t ¯¯ f hf |x|ii exp − ∆Et =
= ·
4 ~
2π~
~
~
~
i,f
µ
¶
Z
1
i
1
= 2
dt hx(t)x(0)ith exp ∓ ∆Et = 2 hx(t)x(0)iω=± ∆E
~
4~
~
4~
Damit ergibt sich:
µ
¶
1
∆E
1
= Γ↑ + Γ↓ = 2 Sx,⊥ ω =
T1
2~
~
1
1
=
+ Tϕ?
T2
2T1
Γ?ϕ =
1
Sx,k (ω ≈ 0)
2~2
35
KAPITEL 3. QUANTENCOMPUTER
Relaxation bezieht auf die Diagonalelemente. Die Dekohärenz ist eine Aussage, dass die Nebendiagonalelemente
zerfallen zu null, da die Phase verloren geht. x ist eine quantenmechanische Variable. (Rechnet man dies genau,
so wird man feststellen, dass es die Auslenkung eines harmonischen Oszillators ist.) Relaxation bewirkt auch
Dekohärenz.
Γϕ =
1
1
= Γrel
T2
2
Um dies zu verstehen, betrachten wir zunächst einen Spezialfall. Wir nehmen an, der Zustand |ψ(t)i sei ein
kohärenter Zustand, nämlich eine Superposition von |0i und |1i:
µ ¶
µ ¶
1
0
|ψ(t)i = C0 (t)|0i + C1 (t)|1i mit |0i =
und |1i =
0
1
Da |ψ(t)i ein reiner Zustand ist, lautet die Dichtematrix:
¶
µ
|C0 |2 C0 C1?
%̂(t) = |ψ(t)ihψ(t)| =
C0? C1 |C1 |2
Wir nehmen an, die Relaxation finde bei T = 0 statt und es sei Γ↑ = 0, Γ↓ 6= 0. Die Anfangsbedingungen sind
|C1 (0)|2 6= 0 (aber klein) und |C0 (0)|2 = 1 − |C1 (0)|2 . Es existiert also eine kleine Wahrscheinlichkeit, dass die
das System im angeregten Zustand befindet. Hieraus ergibt sich:
|C1 (t)|2 = |C1 (0)|2 exp (−tΓ↓ ) und |C0 (t)|2 ≈ 1
Damit folgt:
µ
¶
tΓ↓
Γrel
|%01 (t)| = |C0 (t)C1? (t)| = |C0 (0)C1 (0)| exp −
∝ exp (−tΓϕ ) ⇒ Γϕ =
2
2
Endliche Temperatur und besseres Modell:
µ
¶
X
X
1
1
†
†
~ωk bk bk +
H = − ∆Eσz +
gk (bk σ− + σ+ bk ) +
2
2
k
k
¶
¶
µ
µ ¶ µ ¶
µ
µ ¶
1
0 1
0
0 0
1
, σ−
=
, σ−
= 0 und σ− =
σ+ =
0
0 0
1
1 0
0
Man spricht von der Rotating-Wave-Näherung. (Prozesse wie b†k σ+ verletzen die Energieerhaltung, womit deren
Erwartungswerte verschwinden.) Näheres dazu findet man in Büchern der Quantenmechanik.
¡
¢
%̇11 = − n0 (∆E) + 1 Γ0 %11 + n0 (∆E)Γ0 %00
−n0 (∆E)Γ0 %11 beschreibt die stimulierte Emission und −Γ0 %11 die spontane Emission. n0 (∆E)Γ0 %00 ist ein
Absorptionsprozess.
%00 + %11 = 1
µ
¶
Γ↓
(n0 (∆E) + 1)Γ0
∆E
=
=
exp
−
n0 (∆E)Γ0
kB T
k
− 1 Γ↑
exp k~ω
BT
¶
µ
¶
µ
1
1
1
0
0
Γ0 %01 + Oszillationen mit n (∆E) +
Γ0 = Γϕ ≡
= − n (∆E) +
2
2
T2
n0 (ωn ) = hb†n bn i =
%̇01
Γrel =
³
1
´
,
1
1
= Γ↑ + Γ↓ = (2n0 (∆E) + 1)T0 ⇒ Γϕ = Γrel
T1
2
Dies gilt auch bei T 6= 0.
36
3.7. PURE DEPHASIERUNG (FÜR LONGITUDINALES RAUSCHEN)
3.7
Pure Dephasierung (für longitudinales Rauschen)
Wir könnten auch den Fall haben, dass das Rauschen anders an den Hamilton-Operator ankoppelt:
1
1
H = − ∆Eσz − xσz + HBad
2
2
Es gilt – wie wir schon gesehen haben – die Liouville-Gleichung:




Zt
Zt
i
i
%(t) = exp −
H(t0 ) dt0  %0 exp 
H(t0 ) dt0 
~
~
0
0
Betrachten wir ein Element aus der Nebendiagonale, wobei wir ∆Eσz ignorieren:






Zt
Zt
Zt
i
i
i
%01 (t) = exp −
x(t0 )σz dt0  |0ih1| exp 
x(t0 )σz dt0  = exp −
x(t0 ) dt0  da %(0) = |0ih1|
2~
2~
~
0
0
Die Phasenfaktoren addieren sich also und heben sich nicht weg.

+
*
Zt
i
h|%01 (t)|i ∝ exp −
x(t0 ) dt0 
~
0
x(t) ist Gaußsch verteilt, womit sich weiter ergibt:

2 +


*Zt
Zt
Zt
1
1


exp − 2  x(t0 ) dt0   = exp − 2
dt1 dt2 hx(t1 )x(t2 )i
2~
2~
0
0
0
Es genügt anzunehmen, dass x klassisch sei.


Zt
Zt
Z
1
dω
exp − 2
dt1 dt2
Sx (ω) exp(−iω(t1 − t2 )) =
2~
2π
0
0
µ
¶
Z
1
dω S(ω)
= exp − 2
(exp(−iωt)
−
1)
(exp(iωt)
−
1)
=
2~
2π ω 2
Ã
µ ¶!
Z
dω Sk (ω)
ωt
1
2
= exp − 2
¡ ω ¢2 sin
2~
2π
2
2
¡ ¢
sin2 ωt
1
Mit ¡ ¢22 ≈ 2πtδ(ω) und Γrel = 2 Sx (ω = ∆E) ergibt sich nun:
ω
2~
2
exp(−tΓϕ∗ ) mit Γϕ∗ =
1
Sx (ω = 0)
2~2
Dies ist ein exponentieller Zerfall.
37
KAPITEL 3. QUANTENCOMPUTER
3.8
Longitudinales und transversales Rauschen
Bz
Bx
1
H=− σ
ez −
σ
ex − xe
σz + HBad
| 2 {z 2 } 2
H0
Wir gehen nun in die Basis, in der H0 diagonal ist.
H=−
p
1
1
∆E
σz − x cos ησz − x sin ησx + HBad mit ∆E = Bz2 + Bx2
2
2
2
Hieraus folgt schlussendlich:
Γrel = sin2 η
Γϕ =
1
Sx (ω = ∆E)
2~2
1
1
Γrel + cos2 η 2 Sx (ω = 0)
2
2~
3.8.1
Sx (ω) =
1/f -Rauschen
2
E1/f
|ω|
ω7→0
−−−→ ∞
Hieraus ergibt sich das Pure-Dephasing-Gesetz.

∞ ¡
¢
¡ ¢
2 ωt
2 Z d ωt E 2
sin 2
t
1/f
2
|h%01 i| ∼ exp − 2
¡ ω ¢2 
ωt ·
~
2π
2
0
Z∞
I=
2
Ã
!
Ã
2
2
E1/f
t2
E1/f
t2
sin2 (x)
dx
=
exp
−
=
exp
−
x3
2π~2
~2 π
¯ µ
¶¯!
¯
¯
¯ln ωIR t ¯
¯
2 ¯
ωIR t
2
ωIR ist der Infrarot-Abschneideparameter.
3.9
Adiabatisches Quantenrechnen (adiabatic quantum computation)
U Motivation: Intrinsische Robustheit gegenüber Dekohärenz (auch 1/f -Rauschen)
U Es ist evident, dass NP-vollständige Probleme zumindest im Mittel exponentiell schnell gelöst werden
können als mit klassischem Computer.
U keine schnellen Pulse nötig
Dies ist experimentell einfacher.
38
3.9. ADIABATISCHES QUANTENRECHNEN (ADIABATIC QUANTUM
COMPUTATION)
3.9.1
NP-vollständige Probleme
Die meisten Probleme lassen sich einteilen in solche, die polynomiell auf einem Computer lösbar sind und
solche, für die es noch keinen solchen Algorithmus gibt. A priori heißt NP nicht: Probleme, die nicht in
”
Polynomialzeit lösbar sind.“ Sondern wir wollen folgendes definieren:
U P sei die Menge aller Probleme, die auf einer deterministischen Turing-Maschine in Polynomialzeit
lösbar sind.
U NP sei die Menge aller Probleme, die auf einer nichtdeterministischen Turing-Maschine in Polynomialzeit lösbar sind.
a.) NP-schwer:
Darunter fallen die Probleme, die mindestens so schwer“ wie jedes andere Problem in der NP”
vollständigen Menge lösbar sind.
b.) NP-vollständig:
p ist Element der NP-vollständigen Menge ⇔ p ∈ NP und p ist NP-schwer (NP-vollständig ist eine
Teilmenge von NP-schwer.)
Ist ein Problem NP-vollständig, so kann man alle NP-Probleme auf dieses NP-vollständige Problem
zurückführen.
U Die wichtigste Frage der theoretischen Informatik ist, ob P = NP gilt. (Man glaubt jedoch, dass dies
nicht der Fall ist.)
3.9.2
Turing-Maschine
U Zustände der Turing-Maschine, Buchstaben auf Band
U Ein Programm ist eine Überführungsfunktion δ
δ(alter Zustand, neuer Buchstabe) =
= (neuer Zustand, neuer Buchstabe, Bewegung links/rechts/stehen bleiben)
U Deterministisch“ heißt, dass es für einen gegebenen Zustand und einen gegebenen Buchstaben ein ein”
deutiges Ergebnis gibt. Eine deterministische Turing-Maschine ist zu verstehen wie ein klassischer Computer.
U Im Gegensatz dazu spricht man von nichtdeterministisch“, wenn mehrere Aktionen parallel“ erlaubt
”
”
sind. Das Ergebnis ist damit nicht eindeutig (verzweigter Aktionsbaum).
Beispiel: 3-SAT (von satisfiability
Gegeben sei ein boolescher Ausdruck B der Form B = C1 ∧ C2 ∧ . . . ∧ Cn mit Ci = Zi,1 ∨ Zi,2 ∨ Zi,3 . Die Zi,n
mit n = 1, 2, 3 sind Variablen. Betrachten wir dazu ein kleines Beispiel:
B = (a ∨ b ∨ c) ∧ (a ∨ b ∨ d) ∧ (a ∨ b ∨ d)
Die Frage ist, ob es eine Variablenbelegung mit 0 oder 1 für die angegebenen Variablen gibt, so dass der
boolesche Ausdruck erfüllt ist.
39
KAPITEL 3. QUANTENCOMPUTER
U abcd = (1111) verletzt die erste Klausel.
U abcd = (0111) verletzt die zweite Klausel.
U abcd = (1011) erfüllt B.
Wie kann man ein schweres Problem (mit mehr Klauseln) lösen?
U Der klassische Algorithmus ist, dass man alle Belegungen ausprobiert. Dies führt auf einen Aufwand
O(Z n ).
U Alternativ könnte man die Variablen einzeln umdrehen (Optimierungsproblem).
Die Quantenmechanik kann leichter globale Minima finden (beispielsweise durch Tunneln“).
”
3.9.3
Adiabatisches Theorem
Den Beweis dazu findet man beispielsweise im Messiah. Wir gehen aus von der zeitabhängigen SchrödingerGleichung
i~
∂
|ψ(t)i = H(t)|ψ(t)i
∂t
und betrachten H(t) für 0 ≤ t ≤ T . Es ist ganz sinnvoll, dimensionslose Variablen einzuführen, also zum
e
e
Beispiel s = Tt und H(t) = H(t/T
) = H(s).
Wir definieren nun instantane Eigenwerte und Eigenvektoren.
e
H(s)|n;
si = En,s |n; si
n steht für den n-ten Eigenwert, wobei |n; si die zugehörigen Eigenvektoren und En,s die Eigenwerte sind. Das
adiabatische Theorem besagt, dass sich ein ursprünglich im Grundzustand befindliches System auch nach der
Zeit T noch im Grundzustand aufhält, wenn sich H langsam ändert. Außerdem gilt E1 (s) − E0 (s) > 0 für
jedes s ∈ [0, 1]. Formaler lautet das adiabatische Theorem: Sei |ψ(0)i = |n = 0, s = 0i und E1 (s) − E0 (s) > 0
”
für jedes s ∈ [0, 1], so gilt:
lim |hn = 0, s = 1|ψ(T )i| = 1
T 7→∞
An dieser Stelle kann man sich nun fragen, was langsam“ bedeutet. Die Bedingung dazu ist folgende:
”
¯*
¯
¯
+¯
¯
¯ dH
¯
¯
ε
¯
¯ e¯
¯
T À 2 = max ¯ n = 1, s ¯
¯ n = 0, s ¯ mit gmin = min (E1 (s) − E0 (s)) mit ~ = kB = 1
0≤ε≤1
0≤s≤1
¯
¯
¯
¯
gmin
ds
Es handelt sich dabei um das Minimum der Energielücke zwischen erstem angeregten Zustand und Grundzustand. Typisch ist, dass ε proportional zum Energieeigenwert ist. Wirklich relevant ist jedoch gmin .
3.9.4
Adiabatischer Quantenalgorithmus
Die Originalarbeiten sind von Farhi et al. (2000).
1.) Definiere einen Anfangs-Hamiltonoperator HB mit leicht zu konstruierendem Grundzustand.
2.) Definiere einen problemspezifischen Hamiltonoperator Hp so, dass der Grundzustand von Hp die Lösung
kodiert.
40
3.10. LAUFZEITVERHALTEN UND DEPHASIERUNG
3.) Zeitabhängiger Hamiltonoperator:
H(s) = s · Hp + (1 − s) · HB
4.) Starte mit Grundzustand |ψ(0)i = |n = 0; s = 0i und ändere H adiabatisch während der Zeitspanne T .
5.) Zur Zeit T kodiert der Grundzustand |ψ(T )i die Lösung und muss nur noch gemessen werden.
Beispiel: 3-SAT
1
(1 − σx(i) )
2
Die Eigenvektoren von HB (in der Basis {|zi i}) sind:
µ ¶
µ ¶
1 1
1
1
|xi = 0i = √
und |xi = 1i = √
⇒ HB |xi i = xi |xi i
2 1
2 −1
(i)
1.) Wir definieren einen 1-Bit-Operator HB =
(i )
(j )
kc
2.) Für HB,C = HB c + HB c + HB
HB =
X
HB,C =
C
n
X
(i)
di HB
j=1
di ist die Anzahl der Variablen im booleschen Ausdruck. Der Grundzustand ist gegeben als Tensorprodukt
der einzelnen Grundzustände, nämlich |x1 = 0i|x2 = 0i . . . |xn = 0i.
|x1 = 0i|x2 = 0i . . . |xn = 0i =
X
1 XX
...
|z1 i|z2 i . . . |zn i
n
22 z z
z
1
2
n
2.) Zunächst klassisch:
Wir definieren eine Energiefunktion:
½
0 wenn zi,c , zj,c , zk,c die Klausel erfüllen
hC =
1 sonst
P
Wenn wir h = C hC definieren, so ergibt sich h = 0, wenn alle Klauseln erfüllt sind. Ansonsten ist
h > 0. Wir vollziehen den Übergang zur Quantenmechanik:
HP,C |z1 i|z2 i . . . |zn i = hC (zi,c , zj,c , zk,c )|z1 i|z2 i . . . |zn i
3.10
Laufzeitverhalten und Dephasierung
a.) Wie verhält sich T bezüglich der Eingabegröße?
T À
ε
2
gmin
Man löst die Schrödinger-Gleichung numerisch. Beim Random 3-SAT [am Phasenübergang;
wurde ein Verhalten O(n3 ) gefunden.
m
n
= 4, 25]
b.) Numerisch:
Hat man einen Hamilton-Operator H(t) + K(t), wobei K(t) einen Fehler repräsentiert, so sind die
Ergebnisse relativ unabhängig von K(t) unter der Bedingung, dass sich K(t) entweder sehr schnell oder
sehr langsam ändert und zu Beginn klein ist.
41