¨Ubungen zur Topologie I WS 98/99

Übungen zur Topologie I WS 98/99
Blatt 1
Aufgabe 1:
Abgabe: Mittwoch, 21. 10. 1998 (in der Übung)
Seien Xi ⊂ Rni und Yi ⊂ Rmi , i = 1, 2, Teilmengen und fi : Xi → Yi stetige
Abbildungen. Dann ist durch ((1 − t)x1 , tx2 , t) 7→ ((1 − t)f1 (x1 ), tf2 (x2 ), t),
xi ∈ Xi , 0 ≤ t ≤ 1, eine Abbildung f1 ∗ f2 : X1 ∗ X2 → Y1 ∗ Y2 definiert.
Zeigen Sie:
(a)
Sind Y1 und Y2 beschränkt, so ist f1 ∗ f2 stetig.
(b) Sind alle vier Teilmengen beschränkt und f1 , f2 Homöomorphismen,
so ist auch f1 ∗ f2 ein Homöomorphismus.
(c)
Aufgabe 2:
Ist die Voraussetzung in (a) notwendig?
Zeigen Sie, daß der Join kommutativ und assoziativ ist, d.h. geben Sie
Homöomorphismen
(a) X ∗ Y → Y ∗ X und
(b) X ∗ (Y ∗ Z) → (X ∗ Y ) ∗ Z
an.
Aufgabe 3:
Sei ∆n das Standard-n-Simplex.
(a)
Finden Sie einen Homöomorphismus
e n := {(t1 , . . . , tn ) | 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ · · · ≤ tn ≤ 1} ⊂ Rn .
∆n −→ ∆
(b) Sei Bi das Bild der Abbildung
e n+1 −→ ∆
en × I,
ϕi : ∆
? (c)
(t1 , . . . , tn+1 ) 7→ (t1 , . . . , t̂i , . . . , tn+1 ; ti ) .
e n × I.
Zeigen Sie: die Bi liefern eine Triangulierung von ∆
en × ∆
e m.
Konstruieren Sie eine Triangulierung von ∆
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Blatt 2
Abgabe: Montag, den 26. 10. 1998
Aufgabe 1:
Sei A = {(x, sin( πx )) | x > 0} und B = {(0, y) | − 1 ≤ y ≤ 1}. Zeigen Sie:
A ∪ B ist nicht wegzusammenhängend.
Aufgabe 2:
Zeigen Sie: Die Buchstaben θ und O sind nicht homöomorph.
Aufgabe 3:
Triangulieren Sie Zylinder und Möbiusband mit möglichst wenigen 2-Simplizes.
Aufgabe 4:
Seien A ⊂ X ⊂ Rn und i : A ,→ X die Inklusionsabbildung. Eine stetige
Abbildung r : X → A heißt Retraktion (und A ein Retrakt von X), wenn
r ◦ i = idA ist.
Für n > 0 sei Ln die Strecke im R2 , die die Punkte (0, 1/n) und (1, 0)
S
verbindet, L0 die Strecke von (0, 0) nach (1, 0) und A := n≥0 Ln . Zeigen
Sie: A ist kein Retrakt des Einheitsquadrats X = [0, 1] × [0, 1].
(Hinweis: Benutzen Sie den Zwischenwertsatz, um zu einer Abbildung r :
X → A mit r ◦ i = idA eine Nullfolge (yn ) zu konstruieren mit r(0, yn ) =
(1, 0).)
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Blatt 3
Aufgabe 1:
Abgabe: Montag, den 2. 11. 1998
Beweisen Sie folgenden Satz der Analysis II: Sei X ⊂ Rn . Dann sind äquivalent:
(i) X ist abgeschlossen und beschränkt;
(ii) jede Folge in X hat eine in X konvergente Teilfolge;
(iii) sind Ui , i ∈ I, offene Teilmengen des Rn , deren Vereinigung X enthält,
so ist X in der Vereinigung endlich vieler Ui enthalten.
(Zur Erinnerung: dann heißt X kompakt.)
Aufgabe 2:
Sei f : X → Y eine stetige bijektive Abbildung zwischen kompakten
Teilräumen des Rn . Zeigen Sie: die Umkehrabbildung f −1 : Y → X ist
stetig.
Aufgabe 3:
Finden Sie eine stetige bijektive Abbildung f : X → Y , deren Umkehrung
nicht stetig ist.
Aufgabe 4:
(a)
Sei p ein Punkt der Kreisscheibe D2 , der nicht auf dem Rand S1 liegt.
Konstruieren Sie eine stetige Retraktion von R2 − {p} auf S1 .
(b) Sei f : D2 → R2 eine stetige Abbildung mit f (x) = x für jedes x ∈ S1 .
Zeigen Sie, daß jeder Punkt von D2 im Bild von f liegt.
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Blatt 4
Aufgabe 1:
Abgabe: Montag, 9. 11. 1998
Für jedes k ∈ N sei Mk ⊂ R2 wegzusammenhängend. Ferner gelte stets
T
Mk+1 ⊂ Mk . Ist dann M := k Mk ebenfalls wegzusammenhängend?
Geben Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel.
Aufgabe 2:
Sei K ⊂ R2 eine geschlossene Jordan-Kurve, p ∈ R2 − K. Beweisen Sie:
(a)
Sind f, g : S1 → K Homöomorphismen, so stimmen die Umlaufzahlen
von f und g um p bis auf das Vorzeichen überein.
(Damit ist also die Umlaufzahl von K um p “ bis auf ein Vorzeichen
”
wohldefiniert.)
(b) Sei K polygonal. Dann liegt p genau dann im Inneren (bzw. Äußeren)
von K, wenn die Umlaufzahl von K um p gleich ±1 (bzw. 0) ist.
(Hinweis: Vereinfachen Sie zunächst die geometrische Situation.)
Aufgabe 3:
Seien f und g stetige Abbildungen S1 → S1 mit grad(f ) = grad(g). Zeigen
Sie: Es gibt eine stetige Abbildung H : S1 × I → S1 mit H(x, 0) = f (x)
und H(x, 1) = g(x) für alle x ∈ S1 .
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Blatt 5
Aufgabe 1:
Abgabe: Montag, 16. 11. 1998
Seien K1 , K2 , K3 ⊂ S2 abgeschlossene Mengen, die S2 überdecken. Zeigen
Sie: Eines der Ki enthält ein Paar von Antipodenpunkten.
(Hinweis: Betrachten Sie die Abstandsfunktionen zu Ki und benutzen Sie
den Satz von Borsuk-Ulam.)
Aufgabe 2:
Auf X = R seien folgende Familien von Teilmengen definiert:
Tδ := P(X) , Ta := {O ⊂ X | X − O ist abzählbar} ∪ {∅}
Tk := {∅, X} , Te := {O ⊂ X | X − O ist endlich} ∪ {∅} .
Zeigen Sie: Diese Familien sind Topologien auf X, und die Abbildungen
id
id
id
(X, Tδ ) −→ (X, Ta ) −→ (X, Te ) −→ (X, Tk )
sind stetig und bijektiv, aber keine Homöomorphismen.
Aufgabe 3:
Sei jedem Element x der Menge X eine nicht leere Familie Ux von Teilmengen zugeordnet. Dann gibt es genau dann eine Topologie T auf X, so
daß Ux jeweils die Familie der Umgebungen von x bezüglich der Topologie
T ist, wenn gilt:
1. U ∈ Ux ⇒ x ∈ U ;
2. U1 , U2 ∈ Ux ⇒ U1 ∩ U2 ∈ Ux ;
3. U ∈ Ux , V ⊃ U ⇒ V ∈ Ux ;
4.
Aufgabe 4:
ist U ∈ Ux , so gibt es ein V ∈ Ux für das gilt: y ∈ V ⇒ U ∈ Uy .
Sei X eine Menge und sei jeder Teilmenge M ⊂ X eine Teilmenge K(M ) ⊂
X zugeordnet. Dann gibt es genau dann eine Topologie T auf X, so daß
K(M ) für jedes M der offene Kern von M bezüglich der Topologie T ist,
wenn K die folgenden Eigenschaften hat:
1. K(M ) ⊂ M und K(X) = X;
2. K(K(M )) = K(M );
3. K(M1 ∩ M2 ) = K(M1 ) ∩ K(M2 ).
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Blatt 6
Aufgabe 1:
Abgabe: Montag, 23. 11. 1998
Ein Filter G auf X heißt Ultrafilter, wenn es keinen Filter auf X gibt, der
echt feiner ist als G. Zeigen Sie:
(a)
Sei G Ultrafilter auf X. Sind A, B ⊂ X mit A ∪ B ∈ G, so ist A ∈ G
oder B ∈ G.
(b) Ein Filter G ist genau dann Ultrafilter, wenn für jede Teilmenge A ⊂ X
gilt: A ∈ G oder (X − A) ∈ G.
(c)
Sei G Ultrafilter auf X und Fix(G) = G∈G G. Ist Fix(G) 6= ∅, so ist G
ein trivialer Ultrafilter Fp = {F ⊂ X | p ∈ F } für ein p ∈ X.
T
(d) Ist F Filter auf X, so gibt es einen Ultrafilter G auf X mit F ⊂ G.
Aufgabe 2:
Seien X, Y topologische Räume. Für A ⊂ X und B ⊂ Y betrachten wir
A × B als Teilraum von X × Y . Zeigen Sie:
(a) A × B = A × B
(b) (A × B)o = Ao × B o
(c)
Aufgabe 3:
Es sei Rand(M ) = M − M o . Dann gilt:
Rand(A × B) = Rand(A) × B ∪ A × Rand(B) .
Seien Xi , i ∈ I, topologische Räume. Für Ai ⊂ Xi werde
Q
von Xi betrachtet. Zeigen Sie:
(a)
Q
(b) (
(c)
Aufgabe 4:
Ai =
Q
Q
Ai )o ⊂
Q
Ai als Teilraum
Ai
Q
Aoi
Geben Sie ein Beispiel dafür, daß in (b) die Inklusion strikt sein kann.
Seien X, Y topologische Räume, A ⊂ X ein Teilraum und f : X → Y eine
Quotientenabbildung. Bezeichne T 0 die Teilraumtopologie auf B := f (A) ⊂
Y und T 00 die Quotiententopologie auf B bezüglich f |A . Zeigen Sie:
(a) T 00 ist feiner als T 0 .
√
(b) Sei X = R2 , Y = S1 × S1 , A = {(t, t 2) | t ∈ R} und f : X → Y
gegeben durch f (t1 , t2 ) = (Exp(t1 ), Exp(t2 )). Dann ist T 0 6= T 00 .
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Blatt 7
Aufgabe 1:
Abgabe: Montag, 30. 11. 1998
Sei X ein topologischer Raum, der folgende Eigenschaft besitzt.
(U2 ):
Sind p, q ∈ X verschieden, so gibt es eine stetige Funktion f : X → I
mit f (p) = 0 und f (q) = 1.
Zeigen Sie: X erfüllt auch (T0 ), (T1 ), (T2 ) und (T2.5 ).
Aufgabe 2:
Eine Teilmenge A eines topologischen Raumes X heißt dicht in X, falls ihr
Abschluß ganz X ist. Zeigen Sie:
(a) A ist genau dann dicht in X, wenn A mit jeder nichtleeren offenen
Teilmenge von X einen nichtleeren Schnitt hat.
(b) Qn ist dicht in Rn .
(c)
Sei Y ein (T2 )-Raum. Zwei stetige Abbildungen f : X → Y , die auf
einer dichten Teilmenge von X übereinstimmen, sind gleich.
Aufgabe 3:
Zeigen Sie: Eine abgeschlossene Teilmenge eines (T4 )-Raums ist wieder (T4 ).
Aufgabe 4:
Sei i ∈ {0, 1, 2, 2.5, 3}, und die Räume Xk , k ∈ K, seien (Ti )-Räume. Dann
Q
ist auch X = k∈K Xk ein (Ti )-Raum.
Aufgabe 5:
Sei R = (R, T ), wobei die Topologie T von allen Intervallen [a, b[, a < b,
erzeugt wird. Zeigen Sie: R ist (Ti )-Raum für i ∈ {0, 1, 2, 2.5, 3, 4}.
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Blatt 8
Aufgabe 1:
Abgabe: Montag, 7. 12. 1998
Seien A, B Teilmengen eines topologischen Raums X. Zeigen Sie:
(a)
Sind A und B abgeschlossen in X und sind A ∪ B sowie A ∩ B zusammenhängend, so sind auch A und B zusammenhängend.
(b) Sind A und B zusammenhängend und ist A ∩ B nicht leer, so ist A ∪ B
zusammenhängend.
Aufgabe 2:
Seien X, Y zusammenhängende topologische Räume und A ⊂ X, B ⊂ Y
echte Teilmengen. Zeigen Sie: X × Y − A × B ist zusammenhängend.
Aufgabe 3:
(a)
Sei X ein Hausdorff-Raum, so daß jeder Teilraum von X kompakt ist.
Zeigen Sie: X ist endlich.
(b) Stimmt das auch, wenn X nicht hausdorffsch ist?
Aufgabe 4:
Sei S eine Subbasis der Topologie von X. Zeigen Sie: X ist genau dann
kompakt, wenn jede offene Überdeckung durch Elemente von S eine endliche Teilüberdeckung hat.
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Blatt 9
Aufgabe 1:
Abgabe: Montag, 14. 12. 1998
(a)
Sei X ein Hausdorff-Raum. Dann sind äquivalent:
(1)
(2)
(3)
(4)
jeder Punkt hat eine kompakte Umgebung,
jeder Punkt hat eine kompakte abgeschlossene Umgebung;
jede Umgebung eines Punktes enthält eine kompakte Umgebung;
jede Umgebung eines Punktes enthält eine kompakte abgeschlossene Umgebung.
(b) Welche Beziehungen bestehen zwischen den Bedingungen (1)–(4), wenn
X nicht hausdorffsch ist?
Aufgabe 2:
Sei R eine offene Äquivalenzrelation auf dem lokal-kompakten HausdorffRaum X. Zeigen Sie, daß X/R wieder lokal-kompakt ist.
Aufgabe 3:
Auf Q (mit der Standard-Topologie) sei die Äquivalenzrelation R definiert
durch xRy ⇔ (x, y ∈ Z oder x = y). Definiere auf Q × Q die Äquivalenzrelation S durch id × R, d.h. (x1 , x2 )S(y1 , y2 ) ⇔ x1 = y1 und x2 Ry2 . Zeigen
Sie:
(a) R ist abgeschlossen.
(b) Die kanonische Abbildung ϕ : (Q × Q)/S −→ Q × (Q/R) ist stetig
und bijektiv.
(c) ϕ ist kein Homöomorphismus.
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Blatt 10
Abgabe: Montag, 11. 1. 1999
Aufgabe 1:
Sei Sn ⊂ Rn+1 die Standard-Sphäre. Für i < n sei Si ⊂ Sn die Untersphäre,
die man durch Nullsetzen der letzten n − i Koordinaten erhält. Zeigen Sie:
Sn − Si ist homöomorph zu Sn−i−1 × Ei+1 .
Aufgabe 2:
Sei G eine Gruppe von Homöomorphismen eines Raumes X (mit der Komposition von Abbildungen als Gruppenoperation). Definiere eine Äquivalenzrelation R auf X durch
(x, y) ∈ R ⇔ es gibt ein g ∈ G mit g(x) = y .
Zeigen Sie, daß R eine offene Äquivalenzrelation ist.
Aufgabe 3:
Zeigen Sie: RP1 ∼
= S1 und CP1 ∼
= S2 .
Aufgabe 4:
Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum und Y ein metrischer Raum. Zeigen
Sie:
(a)
Die Menge C(X, Y ) der stetigen Abbildungen von X nach Y ist in
kanonischer Weise ein metrischer Raum.
(b) Für eine kompakte Teilmenge K ⊂ X und eine offene Teilmenge U ⊂
Y sei
CK,U := {f ∈ C(X, Y ) | f (K) ⊂ U } .
Zeigen Sie: Die Mengen der Form CK,U bilden eine Subbasis der metrischen Topologie von C(X, Y ).
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Blatt 11
Aufgabe 1:
Abgabe: Montag, 18. 1. 1999
Sei X := S1 × S1 mit dem Basispunkt (1, 1) versehen. Berechnen Sie die
von den folgenden stetigen Abbildungen induzierten Homomorphismen von
Fundamentalgruppen:
(a) i1 , i2 : S1 → X mit i1 (z) = (z, 1) und i2 (z) = (1, z),
(b) µ : X → S1 mit µ(z1 , z2 ) = z1 · z2 ,
(c)
∆ : S1 → X mit ∆(z) = (z, z),
(d) fm,n : X → S1 mit fm,n (z1 , z2 ) = z1m · z2n (für m, n ∈ Z).
Aufgabe 2:
e : I → S2 durch ω
e (t) = cos(πt) · e1 + sin(πt) · e2 definiert. Sei p : S2 →
Sei ω
2
e . Zeigen Sie, daß ω eine Schleife in RP2
RP die Projektion und ω := p ◦ ω
ist und daß ω ∗ ω nullhomotop ist.
Aufgabe 3:
Sei X ein Raum, so daß jede stetige Abbildung f : S1 → X nullhomotop
ist. Zeigen Sie, daß π1 (X, x0 ) = 0 ist (für jeden Basispunkt x0 ).
Aufgabe 4:
Die Gruppe G sei von den Elementen a, b erzeugt mit den definierenden
Relationen ab2 = b3 a und ba2 = a3 b. Zeigen Sie, daß G nur aus einem
Element besteht.
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Blatt 12
Aufgabe 1:
Abgabe: Montag, 25. 1. 1999
Sei S = {(x, y, 0) ∈ R3 | x2 + y 2 = 12 }. Zeigen Sie, daß R3 − S zu S1 ∨ S2
homotopieäquivalent ist.
(Hinweis: Sei J = {(0, 0, z) ∈ R3 | |z| ≤ 1}. Zeigen Sie zunächst, daß R3 −S
zu J ∪ S2 homotopieäquivalent ist.)
Aufgabe 2:
Seien A und Y Unterräume von X und Z ⊂ Y mit Y ∩ A ⊂ Z. Zeigen Sie:
Ist Y ∪ A starker Deformationsretrakt von X und Z starker Deformationsretrakt von Y , so ist Z ∪ A starker Deformationsretrakt von X.
Aufgabe 3:
Bezeichne ∆nm das m-Skelett des Standard-n-Simplex ∆n . Sei X = ∆n × I
und A = ∆n × {0} ∪ ∆nm × I. Zeigen Sie: A ist starker Deformationsretrakt
von X.
Aufgabe 4:
Sei X ein endliches simpliziales Polyeder und A ein simpliziales Unterpolyeder von X. Zeigen Sie: X × I hat X × {0} ∪ A × I als starken Deformationsretrakt.
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Blatt 13
Aufgabe 1:
Abgabe: Montag, 1. 2. 1999
(a)
Sei Y ⊂ Rn und seien f, g : X → Y stetig. Zeigen Sie: Liegt für jedes
x ∈ X die Strecke von f (x) nach g(x) in Y , so ist f ' g.
(b) Seien f, g : X → Sn−1 zwei stetige Abbildungen mit f (x) 6= −g(x) für
jedes x ∈ X. Zeigen Sie, daß dann f und g homotop sind.
Aufgabe 2:
Für einen punktierten Raum (X, x0 ) sei (CX, ∗) := (X ∧ I, ∗) der reduzierte
Kegel von X. Die Abbildung i : (X, x0 ) → (CX, ∗), i(x) = [x, 1], ist ein
Homöomorphismus von X auf Bild(i). Zeigen Sie: Eine stetige Abbildung
f : (X, x0 ) → (Y, y0 ) ist genau dann punktiert nullhomotop, wenn es eine
stetige Erweiterung von f auf (CX, ∗) gibt, d.h. eine stetige Abbildung
g : (CX, ∗) → (Y, y0 ) mit g ◦ i = f .
Aufgabe 3:
Sei f : Sn−1 → X eine stetige Abbildung punktierter Räume.
(a)
Definieren Sie die reduzierte Einhängung S̃(f ) : Sn → X ∧ S1 von f .
(b) Zeigen Sie: S̃ induziert einen Homomorphismus
S̃ : πn−1 (X) → πn (X ∧ S1 ) .
(vgl. Ossa, Topologie, 3.3.5 und 3.3.6)