Ubungsblatt 08 - Institut für Theoretische Physik

Theoretische Physik III für Lehramt
Universität Heidelberg
Sommersemester 2017
Prof. Dr. T.Plehn
Junior-Prof. Dr. S. Westhoff
Übungsblatt 08
Abgabe am 20. 6. 2017
Diskussion am 27. 6. 2017
Martin Bauer ([email protected])
Aufgabe 21:
Wir betrachten Polarisationsexperimente mit transversal polarisiertem Licht und Wellenvektor n in z–Richtung.
Der Zustand eines allgemein polarisierten Photons ist gegeben durch
|ψi = Ax |xi + Ay |yi ,
wobei |Ax |2 +|Ay |2 = 1 und |xi bzw. |yi ein linear polarisierter Zustand in x- bzw. y-Richtung
ist. Wir betrachten ferner die Zustände
1
|Ri = √ (|xi + i|yi) ,
2
1
|Li = √ (|xi − i|yi) .
2
a) Argumentieren Sie durch Analogie mit klassischen Lichtwellen, dass |Ri (|Li) den
Zustand eines Photons beschreibt, dem rechts- (links-) zirkulärem Licht entspricht.
(1 Punkt)
b) Ein Photon befindet sich im Zustand |ψi = |xi und trifft auf einen Rechtszirkulationspolarisator, also einen Filter, welches nur rechtszirkuläres Licht durchlässt. Berechnen
Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der das Photon durchgelassen wird.
(1 Punkt)
c) Welche Durchgangswahrscheinlichkeit ergibt sich, wenn dem Rechtszirkulationspolarisator
noch ein Linkszirkulationspolarisator nachgeschaltet wird (R-L-Polarisatorkonfiguration)?
(1 Punkt)
d) Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich, wenn zwischen Rechtszirkulations- und Linkszirkulationspolarisator ein x- bzw. x0 -Polarisator zwischengeschaltet wird, wobei der x0 Polarisator gegenüber x um den Winkel φ in Richtung y verdreht wird (R-x-L- bzw. Rx0 -L-Polarisatorkonfiguration)?
(2
Punkte)
2
e) Nun fügen wir zwischen dem R-Polarisator und dem L-Polarisator eine Vorrichtung
ein, die als Strahlteiler im folgenden Sinne dient: Wenn das Photon als x-polarisiert
gemessen wurde, wird es über Weg 1 weitergeleitet. Wenn es als y-polarisiert gemessen
wurde, wird es über Weg 2 weitergeleitet. Beide Leitungen 1 und 2 werden danach
wieder zusammengeschaltet, und es wird nicht registriert, welchen Weg das Photon
genommen hat bzw. ob es x oder y-polarisiert war. D.h. wir nehmen an, dass das
Photon nach Passieren des Strahlteilers im Zustand √12 (|xi + |yi) ist.
Wie hoch ist in dieser Anordnung die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon, welches den
R-Polarisator passiert, auch den L-Polarisator passiert?
(2 Punkte)
Aufgabe 22:
(2 Punkte)
Seien {|ei i, i = 1, . . . , n} und {|fi i, i = 1, . . . , n} zwei Orthonormalbasen des Vektorraums
V , d.h. hei |ej i = δij , hfi |fj i = δij .
Wir betrachten den linearen Operator Û , der auf der Basis ei wie folgt operiert
Û |ei i = |fi i ,
∀i = 1, . . . , n .
Zeigen Sie, dass Û ein unitärer Operator ist.
Aufgabe 23:
(2 Punkte)
Durch {|e1 i, |e2 i} sei eine orthonormale Basis eines zweidimensionalen komplexen Hilbertraums gegeben. Zeigen Sie, dass die Vektoren
1
|f1 i = √ |e1 i + i|e2 i ,
2
1
|f2 i = √ |e1 i − i|e2 i
2
ebenfalls eine Orthonormalbasis bilden.
Aufgabe 24:
Eine wichtige Matrixrelation ist die Baker-Campbell-Hausdorff Formel:
eÂ B̂e−Â = B̂ +
(3 Punkte)
1
1
[Â, B̂] + [Â, [Â, B̂]] + . . .
1!
2!
mit Â, B̂ n × n- Matrizen. Beweisen Sie diese Formel.
Aufgabe 25:
Die Pauli-Matrizen
τ1 =
0 1
1 0
!
,
τ2 =
0 −i
i 0
!
,
τ3 =
!
1 0
0 −1
spielen in der Quantenmechanik eine wichtige Rolle. Deshalb beschäftigen wir uns mit
einigen ihrer Eigenschaften.
3
a) Zeigen Sie, dass die Paulimatrizen folgende Vertauschungsrelation erfüllen
(2 Punkte)
[τi , τj ] = 2iijk τk .
b) Wir betrachten den Spinoperator Ŝ = ~2 ~τ mit ~τ = (τ1 , τ2 , τ3 )T und Ŝ = (Ŝx , Ŝy , Ŝz )T .
Der Erwartungswert eines Operators Â im normierten Zustand |αi ist definiert über
hÂi|αi = hα|Â|αi .
Berechnen Sie hŜz i|ii für die Zustände i = α, β, γ mit |αi = (0, 1)T , |βi = (1, 0)T und
|γi = √12 (1, 1)T .
(3 Punkte)
c) Berechnen Sie den Kommutator [Ŝx , Ŝy ] .
(2 Punkte)