Beweismethoden

FH Gießen-Friedberg, FB 06 (MNI)
Mathematik 1 für Informatik
Prof. Dr. H.-R. Metz
Skript 7
14. April 2005
Beweismethoden
• Definition
Ein Beweis ist die Herleitung einer Aussage durch eine Kette von logischen
Schlüssen aus vorgegebenen Axiomen.
• Anmerkung: Ein Axiom ist eine Aussage, die als wahr akzeptiert wird. Ein
Axiom wird nicht hergeleitet.
• Wir betrachten Beispiele zu verschiedenen Beweismethoden.
• Geometrischer Beweis
– Satz (Satz des Pythagoras)
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate
gleich dem Hypothenusenquadrat.
– Beweis
– Satz (Additionstheoreme der Winkelfunktionen)
Für beliebige Winkel α und β gilt:
sin(α ± β) = sin(α) cos(β) ± cos(α) sin(β),
cos(α ± β) = cos(α) cos(β) ∓ sin(α) sin(β).
– Beweis
• Direkter Beweis
– Satz (Regeln von De Morgan)
Es seien A und B Teilmengen von M . Wir bezeichen durch A das
Komplement von A bezüglich M , durch A ∪ B das Komplement von
A ∪ B bezüglich M u.s.w. Es gilt
(a) A ∪ B = A ∩ B,
(b) A ∩ B = A ∪ B.
– Beweis
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– Hilfssatz
Es sei p ∈ ZZ. Ist p2 gerade, so ist auch p gerade.
– Beweis
• Indirekter Beweis
Aus der Annahme, daß die Negation der zu beweisenden Aussage wahr ist,
wird ein Widerspruch hergeleitet.
– Satz
√
√
2 ist irrational, d.h. 2 6∈ Q.
– Beweis
– Satz
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
– Beweis
2