TECHNISCHE UNIVERSIT ¨AT M ¨UNCHEN Analysis 1

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R . H. S POHN
PD D R . W. A SCHBACHER
M. L EIN
Höhere Mathematik II für Physiker
Analysis 1
WS 07/08
Lösungen Blatt 1
(16. Oktober 2007)
Hausaufgaben
Aufgabe 1. Folgerungen aus den Körperaxiomen
1.
(a) Die 0 ist eindeutig bestimmt durch ihre Eigenschaft, dass x + 0 = x für alle x.
Beweis: Sei 00 ein weiteres Element von R mit der Nulleigenschaft, x + 00 = x. Dann gilt
wegen der Nulleigenschaft der 0 und der Kommutativität 00 = 00 + 0 = 0 + 00 = 0. 0 und 00
sind also identisch.
(b) Das Negative (oder additiv Inverse) von x, geschrieben −x, ist eindeutig bestimmt.
Beweis: Sei y ein weiteres Negatives von x, dann gilt x + y = 0. Durch Linksaddition von
−x auf beiden Seiten der Gleichung und Ausnutzen von Kommutativität und Assoziativität
erhält man für die linke Seite (−x) + (x + y) = ((−x) + x) + y = (x + (−x)) + y =
0 + y = y + 0 = y und für die rechte Seite (−x) + 0 = −x. Somit sind −x und y identisch.
(c) Die Gleichung a + x = b hat immer eine eindeutige Lösung, nämlich x = b + (−a).
Beweis: Existenz: Offenbar ist b − a eine Lösung:
a + (b − a) = a + (b + (−a)) = a + ((−a) + b) = (a + (−a)) + b = 0 + b = b + 0 = b.
Eindeutigkeit: Sei y eine weitere Lösung, d.h. a + y = b. Durch beidseitiges Addieren von
−a ergibt sich für die linke Seite (−a) + (a + y) = · · · = y, und für die rechte Seite
(−a) + b = b − a. y ist also identisch mit b − a.
(d) −(−x) = x.
Beweis: −(−x) ist das Negative von −x. Andererseits gilt auf Grund der Kommutativität
auch (−x) + x = 0. Da das Negative eindeutig ist, folgt x = −(−x).
(e) −(x + y) = −x − y.
Beweis: −(x + y) ist das
eindeutige Negative von x + y. Aus (x + y) + (−x − y) =
x + y + ((−y) + (−x)) = · · · = x + (−x) = 0 folgt also die Behauptung.
2. 2.(a), (b), (c), (h), (i) entsprechen 1.(a), (b), (c), (d), bzw. (e). Die Beweise können wörtlich
übernommen werden, wenn man Null durch Eins, die Addition durch die Multiplikation, und
das Negative durch das Inverse ersetzt.
Bleiben noch zu zeigen:
(d) (x + y)z = xz + yz.
Beweis: Wegen des Kommutativ- und Distributivgesetzes gilt:
(x + y)z = z(x + y) = zx + zy = xz + yz.
(e) x · 0 = 0.
Beweis: Wegen 0 = 0+0 ergibt die Anwendung des Distributivgesetzes x·0 = x·(0+0) =
x · 0 + x · 0. Die einzige Lösung der Gleichung a + x = a ist aber a − a = 0. Somit ist
x · 0 = 0.
(f) xy = 0 genau dann, wenn x = 0 oder y = 0.
Beweis: Um Äquivalenz zu zeigen, muss in beide Richtungen gefolgert werden.
i. zu zeigen: Wenn xy = 0, dann ist x = 0 oder y = 0.
Sei xy = 0. Fallunterscheidung:
A. x = 0, dann ist der Beweis fertig.
B. x 6= 0. Dann ist y = x−1 0 = 0, wegen 2.(c) und 2.(e).
ii. zu zeigen: Wenn x = 0 oder y = 0, dann ist xy = 0.
Das folgt aber unmittelbar aus 2(e) und der Kommutativität der Multiplikation.
(g) (−x)y = −(xy) = x(−y).
Beweis: Wir zeigen (−x)y = −(xy). Dann folgt x(−y) = −(xy) sofort aus der Kommutativität der Multiplikation.
Z.z. ist, dass (−x)y das Negative von xy ist: xy + ((−x)y) = (x + (−x))y = 0 · y = 0.
3. 1 + 1 6= 0 kann nicht bewiesen werden, da es einen Körper gibt, in dem 1 + 1 = 0 gilt: Die
Menge F2 = {0, 1}, die nur zwei Elemente, nämlich das neutrale Element der Addition, die 0,
und das neutrale Element der Multiplikation, die 1, enthält, wird ein Körper wenn man Addition
und Multiplikation wie folgt definiert:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
· 0 1
0 0 0
1 0 1
und
Alle Körperaxiome sind erfüllt, was durch Aufzählen aller möglichen Fälle überprüft werden
kann: 0 und 1 haben die geforderten Eigenschaften, Addition und Multiplikation sind kommutativ,
und 1 ist zugleich Negatives und Inverses seiner selbst. Jeweils sieben von den acht Fällen für die
Assoziativität von + und · und das Distributivgesetz sind klar, wenn wenigstens eine Null beteiligt
ist. Es bleibt also nur jeweils ein Fall übrig: (1 + 1) + 1 = 0 + 1 = 1 = 1 + 0 = 1 + (1 + 1),
(1 · 1) · 1 = 1 · 1 = 1 · (1 · 1), und 1 · (1 + 1) = 0 = 1 · 1 + 1 · 1.
Aufgabe 2. Bruchrechnen
Zeigen Sie: Für a, b, c, d ∈ R (oder in jedem anderen Körper) mit b, d 6= 0 das Folgende gilt.
(a)
= dc genau dann, wenn ad = bc.
Beweis: Für x 6= 0 gilt offenbar: y = z genau dann, wenn xy = xz. Somit:
a
b
b−1 a = d−1 c = cd−1
(b)
(c)
· dc = ac
bd .
Beweis: ab ·
a
b
c
d
b6=0
⇐⇒
a = bcd−1
d6=0
⇐⇒
= (b−1 a)(d−1 c) = (b−1 d−1 )(ac) = (bd)−1 (ac) =
ad = bc
ac
bd
a
b
+ dc = ad+bc
bd .
a
Beweis: b + dc = b−1 a + d−1 c = b−1 d−1 da + d−1 b−1 bc = (bd)−1 (ad + bc) =
(d) Für c 6= 0 ist
Beweis:
a
c
b
d
a
c
b
d
=
ad+bc
bd .
ad
bc .
= (d−1 b)−1 (c−1 a) = (d−1 )−1 b−1 c−1 a = (bc)−1 (ad) =
ad
bc .
Aufgabe 3. Der Körper der komplexen Zahlen
(a) Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form a + ib mit a, b ∈ R.
1
,
1 − 2i
3+i
,
1 − 2i
2
i
+
,
1+i 2+i
(1 +
√
3i)6
(b) Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Polardarstellung, r(cos ϕ + i sin ϕ), mit
r > 0 und 0 ≤ ϕ < 2π.
√
√
−1, i, −1 + i, 1 + 3i, (1 + 3i)2
(a)
•
•
1
1−2i
3+i
1−2i
1+2i
1+2i
1
2
(1−2i)(1+2i) = 5 = 5 + 5 i
= (3 + i)( 15 + 52 i) = 35 + 65 i + 51 i
2(2+i)+i(1+i)
2
i
4+2i+i+i2
1+i + 2+i = (1+i)(2+i) = 2+i+2i+i2
=
+ 25 i2 =
3
5
2
7
1
7
5 + 5i = 5 + 5i
(3+3i)(1−3i)
= 12−6i
10
10
−
3+3i
= 1+3i
=
= 65 − 53 i
√
√
√
√
• (1 + √3i)2 = 1 + 2√ 3i + 3i2√= −2 + 2 3i =
2(−1
+
3i)
√
√
3
2
(1 + √3i) = (1 + √3i)(1 + √3i) = 2(1 + 3i)(−1 + 3i) = 2(−1 − 3) = −8
(1 + 3i)6 = (1 + 3i)3 (1 + 3i)3 = (−8)(−8) = 64
•
(b)
• −1 = 1 · (cos π + i sin π)
• i = 1 · (cos π2 + i sin π2 )
√
3π
• −1 + i = 2(cos 3π
4 + i sin 4 )
q
√
√ 2
• 1 + 3i = r(cos ϕ + i sin ϕ) mit r = 12 + 3 = 2 und
ϕ = 60◦ = π3
2
√
2π
• (1 + 3i)2 = 2(cos π3 + i sin π3 ) = 4(cos 2π
3 + i sin 3 )
tan ϕ =
√
3, also z.B.