Sprung-Di usions-Modelle zur Bewertung Europäischer - G-CSC

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Fachbereich Informatik und Mathematik
Institut für Mathematik, Schwerpunkt Numerische Analysis
Sprung-Diusions-Modelle zur
Bewertung Europäischer Optionen
Bachelorarbeit
im Fach Mathematik
angefertigt bei Prof. Dr. Thomas Gerstner
Ouaali Noureddine
18. September 2011
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Sprung-Diusions-Modelle
2.1
2.2
Merton Modell
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Annahmen
2.1.2
Beschreibung des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.3
Eine Optionspreisformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2
Kou Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Beschreibung des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.2
Eine Optionspreisformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Merton Modell
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1
Plötzlicher Ruin
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2
Lognormalverteilte Sprünge
. . . . . . . . . . . . . . . .
10
13
3.2.1
analytische Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2.2
Herleitung der expliziten Formel
16
. . . . . . . . . . . . . .
18
Monte-Carlo-Simulation für das Merton- und Kou-Modell
ti
. . . .
5.2
19
4.1.1
Simulation an festen Zeitpunkten
. . . . . . . . . . . .
21
4.1.2
Simulation der Sprungzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
5 Numerische Ergebnisse
5.1
7
9
Kou-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Monte Carlo Simulation
4.1
4
2.2.1
3 Geschlossene Lösungen
3.1
4
2.1.1
24
Geschlossene Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
5.1.1
Plötzlicher Ruin
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
5.1.2
Lognormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.1.3
Kou Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
5.1.4
Put-Call Tabelle für Merton und Kou-Modell . . . . . . .
27
Monte-Carlo-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
6 Fazit
32
ii
Eidesstattliche Erklärung
Ich versichere, die Bachelorarbeit selbständig und lediglich unter Benutzung der
angegebenen Quellen und Hilfsmittel verfasst zu haben.
Ich erkläre weiterhin, dass die vorliegende Arbeit noch nicht im Rahmen eines
anderen Prüfungsverfahrens eingereicht wurde.
Danksagungen
An dieser Stelle möchte ich mich bei allen bedanken, die das Entstehen dieser
Arbeit möglich gemacht haben. Mein besonderer Dank gilt dabei Prof. Dr. Thomas Gerstner für die Überlassung des Themas und die gute Betreuung, sowie
Stefan Heinz für die Unterstützungen bei der Entwicklung dieser Arbeit.
iii
1 Einleitung
Die Bewertung derivativer Finzanzinstrumente kann näherungsweise mit Hilfe
mathematischer Modelle wie z.B. Dierentialgleichungen oder Integro- Dierentialgleichungen durchgeführt werden. Da diese Integro-Dierentialgleichungen
nur in seltenen Fällen eine analytische Lösung besitzen, bedienen wir uns numerischer Verfahren, die uns zukünftige Entwicklungen simulieren und Lösungen
dieser Modelle berechnen. Wir werden uns in dieser Arbeit mit der Bewertung
von europäischen Optionen mittels Merton- und Kou-Modellen befassen.
Black und Scholes [2] stellten fest, dass der faire Preis einer europäischen Option
durch die Lösung einer speziellen partiellen Dierentialgleichung (PDE) gegeben ist. Sie nahmen an, dass der Kurs des Wertpapiers, welches der Option zugrunde liegt, einer goemetrischen Brownschen Bewegung folgt. Die geometrische
Brownsche Bewegung ermöglicht es aber nicht, dass alle Eigenschaften eines Aktienkurses berücksichtigt werden. Insbesondere werden unter Verwendung einer
Brownschen Bewegung, Sprünge im Kursverlauf des Werpapiers nicht berücksichtigt. Ein Alternativer Ansatz der Kursmodellierung, in dem die Nachteile der
Brownschen Bewegung nicht weiter auftreten, ist die Verwendung von SprungDiusions-Modellen. Eine erste Erweiterung dieses Modells stellte die Arbeit von
Merton [8] dar. Er nahm darin an, dass sich der Kurs der Aktie aus einer stetigen Komponente und einer Sprungkomponente zusammensetzt. Dies führte dazu, dass zur Bewertung einer Option eine partielle Integro-Dierentialgleichung
(PIDE) gelöst werden kann. Der Grund dafür ist, dass die Sprungkomponente im
Merton-Modell durch einen zusammengesetzten Poisson-Prozess, dessen Sprungintensitäten lognormalverteilt sind, modelliert wird. Ausgehend vom MertonModell sind in den letzten Jahren diverse Modelle entstanden, die man in der
Klasse der Sprung-Diusions-Prozesse zusammenfasst. Interessant für diese Arbeit ist hierbei das Kou-Modell [4], das zu der genannten Klasse gehört. Im
Gegensatz zu Merton geht Kou davon aus, dass die Sprünge des Wertpapiers
nicht lognormalverteilt sind, sondern einer Doppelexponentialverteilung folgen.
Motiviert davon werden wir beide Modelle vorstellen. Erwähnnenswert dabei
ist, dass das Merton-Modell geschlossene Lösungen in zwei Fällen liefert. Zum
einen der plötzliche Ruin und zum anderen lognormalverteilte Sprünge. Das
Kou-Modell hingegen, hat eine geschlossene Lösung für doppelexponentialverteilte Sprünge.
Falls keine analytische Lösung existiert, muss man auf numerische Verfahren
zur Bewertung europäischer Optionen zurückgreifen. In dieser Arbeit werden
wir das Monte-Carlo-Verfahren zur Bewertung europäischer Optionen beschreiben und zu Vergleichszwecken einsetzen. Hierbei werden die Kursbewegungen
für die Laufzeit der Option explizit simuliert, durch eine Wiederholung dieser
Simulation und der Bestimmung eines Mittelwertes für den Kurspreis am Ende
der Laufzeit kann schlieÿlich ebenfalls der Optionspreis bestimmt werden. In
unserem Fall werden wir das Monte-Carlo-Verfahren auf die bereits erwähnten
Sprungverteilungsfunktionen anwenden, wobei wir die Konvergenz gegen die
geschlossene Lösung für beide Modelle beobachten werden. Ein Problem, das
bei der Verwendung des Monte-Carlo-Vefahrens auftritt, ist die Ziehung von
1
Zufallszahlen , die einer speziellen Verteilung zugrunde liegen. Um diese Zufallszahlen zu erhalten, muss die Berechnung der inversen Verteilungsfunktion
möglich sein. Diese sind im Allgemeinen jedoch schwer zu berechnen. Bekannt
sind nur Verfahren zur Bestimmung normalverteilter, lognormalverteilter und
doppelexponentialverteilter Zufallszahlen, die in dieser Arbeit verwendet werden.
Die vorliegende Arbeit gliedert sich wie folgt:
Kapitel 2 befasst sich mit den verschiedenen Modellen zur Bewertung europäischer Optionen. Zu Beginn wird kurz die Sprung-Diusions-Modelle vorgestellt.
Danach betrachten wir das Merton-Modell und Kou-Modell, für diese Modelle werden dann die Annahmen und die partielle Integro-Dierentialgleichungen
zur Berechnung des fairen Optionspreises dargestellt. In Kapitel 3 werden wir
die Existenz geschlossener Lösungen für die bereits vorgestellten Modelle zeigen. Wobei wir Spezialfälle (plötzlicher Ruin, lognormalverteilte Sprünge) des
Merton-Modells und doppelexponentialverteilte Sprünge im Fall von Kou, betrachten. In Kapitel 4 wird das Monte-Carlo-Verfahren zur Bestimmung des
Optionspreises auf die jeweiligen Modelle vorgestellt und angewendet. In Kapitel 5 werden die Ergebnisse der geschlossenen Lösung für den Fall des Plötzlichen
Ruins, den Fall der Lognormalverteilung und den Fall der Dopellexponentialverteilung diskutiert. Abschlieÿend wird das Monte-Carlo-Verfahren hinsichtlich
seiner Konvergenz gegen die geschlossene Lösung untersucht. In Kapitel 6 geben
wir eine Zusammenfassung dieser Arbeit.
2
2 Sprung-Diusions-Modelle
Sprung-Diusions-Modell besteht aus zwei Komponenten, dem Sprung- und dem
Diusionsteil. Die Diusionskomponente besteht aus einer normalen Brownschen Bewegung. Die zweite Komponente, der Sprung-Teil, besteht aus einer
Impuls-und einer Verteilungsfunktion. Die Impulsfunktion gibt den Anstoÿ für
eine Kursänderung, deren Gröÿe durch die Verteilungsfunktion bestimmt wird.
Der Sprung-Teil ermöglicht es, plötzliche und unerwartete Kursänderungen zu
modellieren.
dS(t) = µS(t)dt + σS(t)dW (t) + ηS(t)dN (t) ,
N (t)
wobei
ein Poisson-Prozess mit Intensität
die einen Sprung von
S
nach
S (1 + η)
λ
ist und
η
(1)
eine Impulsfunktion,
bewirkt.
.
Einige Beispiele:
ˆ
normalverteilt (Merton, 1976):
ˆ
Doppel-Exponential-Verteilung (Kou-Modell)
qη2 e
ˆ
ˆ
ˆ
η2 x
η (x) = N (µ, σ)
η (x) = pη1 e−η1 x 1{x≥0} +
1{x<0}
Gamma:
−M x
η (x) = C e |x|
Varianz-Gamma (Dilib, Eugene 1990):
η (x) =
CGMY (Carr, Geman, Madan, Yor 2002):
 Gx
e

C −x
x<0

 e−M x
C x
x>0

eGx

C (−x)1+Y x < 0
η (x) =

 e−M x
C x1+Y
x>0
Sprungdiffusion-Modell(Merton)
Sprungdiffusion-Modell(Kou)
0.5
0.8
0.6
0.4
0.4
0.3
0.2
0
St
St
0.2
0.1
−0.2
−0.4
−0.6
0
−0.8
−0.1
−1
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Die Zeit t
−1.2
0
0.2
0.4
0.6
Die Zeit t
3
0.8
1
Abbildung 1: links Zufallspfade des Merton-Modells mit folgenden Parametern
(λ = 3.45; µJ = 0.01; σJ = 0.2)
folgenden Parametern
2.1
und Rechts Zufallspfade des Kou-Modells mit
(λ = 9.2; p = 0.5; η1 = 0.2; η2 = 0.2).
Merton Modell
Die Arbeiten von Black und Scholes führten zu einem groÿen Durchbruch im Bereich der Optionspreisberechnungen und des Optionshandels. Ihre Arbeit basiert
auf der Annahme, dass der Kurs des Wertpapiers, welches der Option zugrunde
liegt, einer geometrischen Brownschen Bewegung folgt. Allerdings ist es nicht
möglich, durch eine geometrische Brownsche Bewegung alle Eigenschaften eines
Aktienkurses wiederzugeben. Insbesondere Sprünge im Kursverlauf des Wertpapiers können durch Verwendung einer Brownschen Bewegung nur unzureichend
dargestellt werden. Merton hat in [8] ein Modell entwickelt, in dem die Aktienkursdynamik durch einen Sprung-Diusions-Prozess modelliert wird.
2.1.1 Die Annahmen
1. Der risikolose Zinssatz
r
ist bekannt und konstant über die Zeit.
2. Es gibt keine Transaktionskosten oder Steuern.
3. Es gibt keine Arbitragmöglichkeiten.
4. Es gibt keine Dividendenzahlungen.
5. Der Aktienkurs
S(t)
folgt einem Prozess, der durch die stochastische Dif-
ferentialgleichung
dS(t)
= (α − λκ)dt + σdW (t) + dq(t)
S(t)
(2)
α der erwartete Aktienertrag (Aktienrendite)
S . Der Standard Wiener Prozess W (t) ist unabhängig
vom Poisson-Prozess q (t). Die Wahrscheinlichkeiten dieses Prozesses lassen sich
bestimmt wird. Hierbei bezeichnet
und
σ2
die Varianz von
beschreiben als:
P (Das Ereignis tritt nicht im Intervall [t, t + h ] auf ) = 1 − λh
(3)
P (Das Ereignis tritt im Intervall [t, t + h] auf ) = λh.
Dabei ist
λ
die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse pro Zeiteinheit und
κ = E [Y − 1] = E [Y ] − 1,
wobei
(Y − 1)
die prozentuale Veränderung des Preises ist, falls das Poisson-
Ereignis eintritt. Der Erwartungswertoperator über die Zufallsvariable
mit
E[.]
bezeichnet.
4
Y
wird
2.1.2 Beschreibung des Modells
Die Gesamtdynamik des Aktienkurses setzt sich aus zwei Komponenten zusammen. Zum einen gibt es die normalen Preisschwankungen, dieser Part der
Dynamik wird durch eine Standard geometrische Brownsche Bewegung dargestellt. Zum anderen gibt es die Veränderungen im Preis, die durch wichtige neue
Informationen hervorgerufen werden. Diese Komponente des Preises wird durch
einen Poisson Prozess beschrieben. Falls ein Poisson-Ereignis eintritt, beschreibt
Y die Auswirkung des Ereignisses auf den Aktienkurs. Das
S(t) den Aktienkurs zum Zeitpunkt t wiederspiegelt, ist der Kurs
zum Zeitpunkt (t + h) gegeben durch S(t + h) = S(t)Y. Dabei wird vorausgesetzt, dass es sich bei der Zufallsvariable Y um eine Variable mit kompaktem
Träger handelt und Y ≥ 0 gilt, und die Zufallsvariablen {Y } sind voneinander
unabhängig. In (2.4) beschreibt also σdW (t) die normalen marginalen Preisschwankungen und dq(t) die Preissprünge. Wählt man λ = 0, so erhält man die
gleiche Formel wie im Black-Scholes-Modell. Wir können die Gleichung (2.2)
die Zufallsvariable
heiÿt, wenn
daher umschreiben in

(α − λκ) dt + σdW (t) ,




dS(t)
=

S(t)



f alls das P oisson Ereignis nicht eintritt
(α − λκ) dt + σdW (t) + (Y − 1) ,
f alls das P oisson Ereignis eintritt,
(4)
wobei mit Wahrscheinlichkeit
1
nur ein Poisson Ereignis an einem Zeitpunkt
stattndet. Der entstehende Pfad ist dann gröÿtenteils kontinuierlich mit einigen
diskreten Sprüngen, die unterschiedliche Vorzeichen und Gröÿen aufweisen. Falls
α, λ, κ, und σ konstant gewählt werden, kann man das Verhältnis
S(0) wie folgt ausdrücken:
S (t)
σ2
= exp
α−
− λκ t + σW (t) X(n),
(5)
S (0)
2
die Parameter
von
S(t)
W (t)
0 und
Y
für
n
≥
1
,
wobei
die
j=1 j
Anzahl n der Sprünge ist Poisson-
ist dabei eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert
Varianz
Yj
und
t, X(n) = 1
für
n = 0
und
X(n) =
unabhängig und gleich verteilt sind. Die
verteilt mit Parameter
Qn
λt.
2.1.3 Eine Optionspreisformel
Wenn der Kurs des zugrunde liegenden Wertpapiers der in
Dynamik folgt, ergibt sich für den Wert
V
(2.2)
beschriebenen
einer entsprechenden Europäischen
Option:
1
Vt = − σ 2 S 2 VSS − (r − λα) SVS + (r + λ) V − λ
2
Siehe [6] und [7].
5
ˆ
V (Sy, t) gY (y) dy.
R+
(6)
2.2
Kou Modell
Ein weiteres Modell zur Bewertung von Optionen ist das Modell von Kou [4].
Im Gegensatz zu Merton geht Kou davon aus, dass die Sprünge des Wertpapiers
nicht lognormalverteilt sind, sondern einer Doppel-Exponential-Verteilung folgen. Die übrigen Marktannahmnen bleiben erhalten, es ändert sich also nur die
Modellierung des Aktienkurses.
2.2.1 Beschreibung des Modells
Der Kurs der Aktie wird bei dem Kou durch folgende stochastische partielle
Dierentialgleichung beschrieben


N (t)
dS(t)
(Vi − 1) .
= µdt + σdW (t) + d 
S(t−)
i=1
X
(7)
µ dem erW (t) ist eine Standard BrownParameter λ und die {Vi } eine
Hierbei entspricht, wie auch schon in den vorangegangenen Modellen
warteten Ertrag der Aktie und
sche Bewegung,
N (t)
σ
der Volatilität.
ein Poisson Prozess mit
von nicht negativen unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen für die
Y = ln(V )
gilt, dass
eine asymmetrische Doppel-Exponential-Verteilung hat.
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsvariablen
gY (x)
=
pη1 e
−η1 x
1{x≥0} + qη2 e
η2 x
Y
ist gegeben durch
1{x<0}
(8)
η1 > 0, η2 > 0.
Es gilt weiterhin
p, q ≥ 0, p + q = 1, p
und
q
repräsentieren die Wahrscheinlich-
keiten für Aufwärts- bzw. Abwärtssprünge. Mit anderen Worten
d
ln(V ) = Y =
d

+

ζ ,
mit W ahrscheinlichkeit p

 −
−ζ ,
mit W ahrscheinlichkeit q,
(9)
ζ + und ζ − exponential verteilte Zu1
1
fallsvariablen mit Erwartungswert
η1 bzw. η2 sind. In der Gleichung (2.7) sind
alle Zufallsvariablen unabhängig, sowie aus Gründen der Vereinfachug wird der
wobei
=
für identisch verteilt steht und
Driftterm
µ
und der Volatilitätsterm
σ
als konstant angenommen.
Die Lösung der stochastischen Dierentialgleichung
(2.7)
liefert uns die Dyna-
mik des Wertpapierpreises
NY
(t)
σ2
S(t) = S(0)exp (µ −
)t + σW (t)
Vi ,
2
i=1
Durch die Transformation
S(t)
)
X(t) = log( S(0)
ist
N (t)
X
σ2
X(t) = (µ −
log(Vi ),
)t + σW (t) +
2
i=1
6
(10)
da
Yi = ln (Vi ) ,
dann ist
N (t)
X
σ2
X(t) = (µ −
)t + σW (t) +
Yi ,
2
i=1
(11)
dabei gilt
E[Y ]
=
V ar[Y ]
=
p
q
− ,
η1
η2
q
1
1
p
qp( + )2 + ( 2 + 2 ),
η1
η2
η1
η2
und
E[V ]
E[eY ]
η2
η1
q
+p
, η1 > 1, η2 > 0.
η2 + 1
η1 − 1
=
=
(12)
2.2.2 Eine Optionspreisformel
Wenn der Kurs des zugrunde liegenden Wertpapiers der in
Dynamik folgt, ergibt sich für den Wert
V
(2.7)
beschriebenen
einer entsprechenden Europäischen
Option wie beim Merton-Modell die folgende PIDE
1
Vt = − σ 2 S 2 VSS − (r − λα) SVS + (r + λ) V − λ
2
ˆ
V (Sy, t) gY (y) dy.
(13)
R+
Siehe [9].
3 Geschlossene Lösungen
3.1
Merton Modell
Leider ist es im Gegensatz zur Black-Scholes-Gleichung nicht einmal für Europäische Optionen möglich, für die von Merton entwickelte PIDE eine allgemeine
geschlossene Formel zur Lösung anzugeben, da das nicht-systematische Risiko
des Sprungteils bei der Berechnung des fairen Preises berücksichtigt werden
muss. Merton gibt zwei Spezialfälle an, in denen eine analytische Lösung gefunden werden kann. Im folgende Abschnitt, die aus [8] und [6] entnommen, werden
die Lösungformeln für diese beiden Fälle angegeben.
Satz
Der Preis einer Europäischen Call Option unter dem Merton Modell ist
gegeben durch
VC (S, t) =
∞ −λτ
X
e
(λτ )n
n!
n=0
wobei
1
S̃t = St e(r− 2 σ
2
)τ +σW (τ )
h
i
En BSC (S̃t Xn e−λκτ , τ, K, σ 2 , r) ,
.
7
(14)
Beweis
Nach Martingal Ansatz ist
V (S, t) = e−r4t E ∗ [V (S, t + 4t)],
wobei
E∗
die Erwartungswert unter dem äquivalenten Martingalmaÿ ist.
Somit ist der Preis für einen Call gegeben durch
VC (S, t) = e−rτ E ∗ [(ST − K)+ ].
Nach dem Satz vom totalen Erwartungswert ist
VC (S, t)
= e−rτ
∗
=
=
=
=
=
∞
X
P (n Sprünge) E[(ST − K)+ | n Sprünge]
n=0
∞ −λτ
X
h
i
1 2
(λτ )n
e
E (St e(r− 2 σ −λκ)τ +σW (τ ) Xn − K)+
n!
n=0
h
i
1 2
e−rτ E (St e(r− 2 σ )τ +σW (τ ) eλκτ Xn − K)+
h
∞ −λτ
i
X
e
(λτ )n
e−rτ
E (S̃t e−λκτ Xn − K)+
n!
n=0
∞
h
i
X
e−λτ (λτ )n
(e−rτ E (S̃t e−λκτ Xn − K)+ )
n!
n=0
∞
X
e−λτ (λτ )n
E[BSC (S̃t Xn e−λκτ , τ, K, σ 2 , r)]
n!
n=0
−rτ
e
1
∗ : Setze ST durch St e(r− 2 σ
−λτ
n
P (n Sprünge) = e n!(λτ ) .
Wobei
Xn =
Qn
i=1
Yi ,
und
2
−λκ)(T −t)+σW (T −t)
1
S̃t = St e(r− 2 σ
2
Xn
)τ +σW (τ )
ein, und
.
Ohne weitere Spezikation der Verteilungsfunktion der
Yi
können wir keine
analytische Lösung angeben.
Merton gibt zwei Spezialfälle an, in denen eine analytische Lösung gefunden
werden kann. Im folgenden Abschnitt, die aus [8] und [6] entnommen, werden
die Lösungformeln für diese beiden Fälle angegeben.
8
3.1.1 Plötzlicher Ruin
Die erste Möglichkeit für die Formulierung einer analytischen Lösung ist die
des plötzlichen Ruins. Wenn das Poisson-Ereignis eintritt fällt, der Aktienkurs
auf
0.
Dies bedeutet, dass die Zufallsvariable
Y,
die die Änderung im Falle des
1 gleich 0 ist. Die prozentuaQn
(Y − 1) = −1. Sei Xn = i=0 Yi
besitzt wie das Produkt von n un-
Poisson-Ereignisses angibt, mit Wahrscheinlichkeit
le Änderung des Aktienkurses liegt dann bei
eine Zufallsvariable, die dieselbe Verteilung
abhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen, jede identisch verteilt zur
Y, wobei gilt, dass X0 = 1. So gilt für den Fall des
Xn = 0 für n 6= 0 und κ = −1. In diesem Fall ist der
Europäischen Call-Option mit verbleibender Laufzeit τ = T − t
Zufallsvariable
plötzlichen
Ruins, dass
Wert einer
VC (S, t) = BSC (S̃t , τ, K, σ 2 , r + λ)
(15)
Beweis
Nach
(3.1)
ist
VC (S, t)
=
∞ −λτ
X
e
(λτ )n
n=0
−λτ
=
e
n!
E[BSC (S̃t Xn e−λκτ , τ, K, σ 2 , r)]
(λτ )0
E[BSC (S̃t X0 e−λ(−1)τ , τ, K, σ 2 , r)]
0!
=
e−λτ BSC (S̃t eλτ , τ, K, σ 2 , r)
=
e−λτ (S̃t eλτ Φ(d1 ) − Ke−rτ Φ(d2 ))
= S̃t Φ(d1 ) − Ke−(r+λ)τ Φ(d2 ),
wobei
1
Φ(x) = √
2π
ˆ
x
e−
y2
2
dy
−∞
die kumulative Normalverteilung mit Mittelwert
0
und Varianz
Nach dem Black-Scholes-Formel ist
˜
d1
λτ
=
e
ln( StK
) + (r + 12 σ 2 )τ
√
σ τ
=
ln( SKt ) + (r + λ + 12 σ 2 )τ
√
,
σ τ
˜
und
√
d2 = d1 − σ τ .
Somit ist :
VC (S, τ ) = BSC (S̃t , τ, K, σ 2 , r + λ)
9
1
ist.
BSC (S, τ, K, σ 2 , r+λ) ist die Lösung der Black-Scholes-Gleichung. Diese Lösung
ist bis auf die höhere Zinsrate r̃ = r+λ identisch mit der Standard Black-Scholes
Lösung. In [7] wird gezeigt, dass der Optionspreis eine wachsende Funktion der
Zinsrate ist. Somit ist eine Option auf eine Aktie mit positiver Wahrscheinlichkeit auf einen plötzlichen Ruin teurer als eine Option auf eine Aktie, die diese
Möglichkeit nicht berücksichtigt.
3.1.2 Lognormalverteilte Sprünge
Im zweiten Fall wird vorausgesetzt, dass die Zufallsvariable
Y,
welche die Kurs-
änderung im Sprungfall angibt, lognormalverteilt ist.
In diesem Fall kann der Preis einer Call-Option wie folgt geschrieben werden
#
"
∞
X
e−λ̃τ (λ̃τ )n
BSC S̃t , τ, K, vn2 , rn
VC (S, t) =
n!
n=0
(16)
wobei
ˆ λ̃ = λ(1 + κ),
2
σJ
2
ˆ κ = E[Y − 1] = e(µJ +
ˆ d1,n =
ln( SKτ
)
− 1,
v2
)+ rn + 2n τ
√
,
vn τ
√
ˆ d2,n = d1,n − vn τ ,
ˆ rn = r − λκ +
ˆ vn2 = σ 2 +
2
nσJ
2
n(log(1+κ))
,
τ
,
ˆ µJ =
Erwartungswert der Sprungverteilung,
ˆ σJ2 =
Varianz der Sprungverteilung.
Um
(3.3)
zu beweisen, benutzen wir das folgende Lemma aus [10].
Lemma:
Falls eine Zufallsvariable
und
α
und
β>0
X
normalverteilt ist mit den Parametern
µ
und
σ2
reelle Konstanten sind, dann gelten die folgenden
Eigenschaften
E[Φ(X)] = Φ( √
und
E[eX Φ(
µ
)
1 + σ2
σ2
σ2 + µ − α
X −α
)] = eµ+ 2 Φ( p
),
β
σ2 + β 2
Beweis der Formel (3.3)
10
(17)
(18)
Deniere
Qn
Xn =
i=1
Yi ,
und sei
V = log(Xn ),
V =
n
X
dann ist
logYj
i=1
Da die Verteilung von
Yj
lognormalverteilt ist, das heiÿt
dann ist
V =
n
X
logYj ∼ N nµJ , nσJ2
logYj ∼ N µJ , σJ2
j=1
Nach
(3.1)
ist
VC (S, t)
∞ −λτ
X
e
(λτ )n
=
n!
E[BSC (S̃t Xn e−λκτ , τ, K, σ 2 , r)]
n=0
∞ −λτ
X
(λτ )n
E[BSC (S̃t eV e−λκτ , τ, K, σ 2 , r)]
n!
e
=
n=0
Nach dem Black-Scholes-Formel ist

2
˜
S̃t eV e−λκτ Φ log( SKt ) + V − λκτ + (r + σ2 )τ

√
E[BSC (S̃t eV e−λκτ , τ, K, σ 2 , r)] = E 
σ τ


2
˜
Ke−rτ Φ log( SKt ) + V − λκτ + (r − σ2 )τ
 (19)
√
− E
σ τ

Wir werden diese beide Terme als
T1
und
T2
bezeichnen, und nacheinander
betrachten.
Mit Hilfe
(3.4)
kann
T2
geschrieben werden als
T2 = Ke−rτ Φ − p
mit
˜
µ
!
1 + σ2
log( SKt ) + nµJ + (r − λκ −
√
µ=
σ τ
und
σ2 =
Nach
(3.5)
kann
T1
σ2
2 )τ
nσJ2
.
σ2 τ
geschrieben werden als
−λκτ nµJ +
T1 = S̃t e
e
2
nσJ
2
Φ
11
nσJ2 + nµJ − α
p
nσJ2 + β
!
mit
α = λκτ − log(
und
S̃t
σ2
) − (r +
)τ
K
2
√
β = σ τ.
dann ist
T1 − T2
= S̃t e
˜
log( SKt ) + (r − λκ + nµτ J +
p
Φ
nσJ2 + σ 2 τ
!
2
˜
log( SKt ) + (r − λκ + nµτ J − σ2 )τ
p
σ 2 τ + σJ2

−λκτ nµJ +
e
−Ke−rτ Φ
2
nσJ
2
nσ 2
nµJ + 2J
= S̃t e−λκτ e
S˜
 log( Kt )
Φ

S˜
 log( Kt )
−Ke−rτ Φ 
2
nσJ
τ
+
nσ 2
+ (r
nµ + J
− λκ + J τ 2
p
nσJ2 + σ 2 τ
nµJ +
τ
2
nσJ
2
+ (r − λκ +
p
σ 2 τ + σJ2
−
2
nσJ
τ
σ2 +
2
+
σ2
2 )τ
!
2
nσJ
τ
σ2 +
2

)τ 


)τ 

!
˜
v2
log( SKt ) + (rn + 2n )τ
√
= S̃t e
e
Φ
vn τ
!
˜
v2
log( SKt ) + (rn − 2n )τ
−rτ
√
−Ke
Φ
vn τ
i
2 h
nσJ
= e−λκτ enµJ + 2 S̃t Φ (d1,n ) − Ke−rn τ Φ (d2,n )
i
h
= e−λκτ (1 + κ)n S̃t Φ (d1,n ) − Ke−rn τ Φ (d2,n )
−λκτ nµJ +
2
nσJ
2
T1 − T2 in (3.6), dann ist
∞ −λτ
h
i
X
e
(λτ )n −λκτ
VC (S, t) =
e
(1 + κ)n S̃t Φ (d1,n ) − Ke−rn τ Φ (d2,n )
n!
n=0
∞
h
i
X
e−λ(1+κ)τ (λτ (1 + κ))n −λκτ
=
e
(1 + κ)n S̃t Φ (d1,n ) − Ke−rn τ Φ (d2,n )
n!
n=0
"
#
∞
i
X e−λ̃τ (λ̃τ )n h
=
S̃t Φ (d1,n ) − e−rn τ KΦ (d2,n )
n!
n=0
"
#
∞
X
e−λ̃τ (λ̃τ )n
=
BSC S̃t , τ, K, vn2 , rn
n!
n=0
Setzen wir
12
Wir erhalten also auch im Fall der lognormalverteilten Sprünge eine Anwendung der Black-Scholes-Formel mit veränderten Parametern. Zur Berechnung
des Optionspreises muss eine unendliche, jedoch konvergente, mit einer PoissonVerteilung gewichtete Summe ausgewertet werden.
3.2
Kou-Modell
Im Gegensatz zum Merton-Modell existiert im Kou-Modell [4] analytische geschlossene Lösungen für Europäische Optionen. Der folgende Abschnitt nimmt
Bezug auf [4] und [5].
Notation
Für jede gegebene Wahrscheinlichkeit, deniere
Υ (µ, σ, λ, p, η1 , η2 ; a, T) := P {Z (T) ≥ a} ,
(20)
wobei
N (t)
Z (t) = µt + σW (t) +
X
Yi ,
i=1
Y
hat eine doppel-Exponential-Verteilung und die
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsvariablen
gY (x)
=
Y
ist gegeben durch
pη1 e−η1 x 1{x≥0} + qη2 eη2 x 1{x<0}
(21)
η1 > 0, η2 > 0.
3.2.1 analytische Lösung
Nach dem Martingalansatz kann Der Preis einer Call-Option wie folgt geschrieben werden
k
1 2
,T
(22)
VC (S, 0) = S (0) Υ r + σ − λξ, σ, λ̃, p̃, η̃1 , η̃2 ; log
2
S (0)
k
1
−Ke−rT Υ r − σ 2 − λξ, σ, λ, p, η1 , η2 ; log
,T ,
2
S (0)
wobei
ˆ p̃ =
p
η1
1+ζ . η1 −1 ,
ˆ η̃1 = η1 − 1,
ˆ η̃2 = η2 + 1,
ˆ λ̃ = λ (ζ + 1) ,
ˆ ζ=
pη1
η1 −1
+
qη2
η2 +1
− 1,
13
Der Preis der entsprechenden Put-Option
VP (S, 0),
kann durch die Put-Call-
Parität erhalten
VP (S, 0)
=
+
+
VC (S, 0) + e−rT E ∗ (K − S (T )) − (S (T ) − K)
= VC (S, 0) + e−rT E ∗ (K − S (T ))
=
VC (S, 0) + Ke−rT − S (0) .
(23)
Beweis der Formel (3.9)
Nach Martingal Ansatz ist:
VC (S, 0)
=
=
=
=
+
e−rT E ∗ (S (T ) − K) 1{S(T )≥K}
+
E ∗ e−rT (S (T ) − K) 1{S(T )≥K}
E ∗ e−rT S (T ) 1{S(T )≥K} − Ke−rT E ∗ 1{S(T )≥K}
E ∗ e−rT S (T ) 1{S(T )≥K} −Ke−rT P ∗ (S (T ) ≥ K)
|
{z
}
|
{z
}
:=II
:=I
=
1. Betrachte
Deniere
−rT
I − Ke
× II
II :
S(t)
X(t) = log( S(0)
),
aus
S (T ) ≥ K,
folgt
K
S (0)
X (T ) ≥ log
Dann ist
II
=
=
=
2. Betrachte
I
P ∗ (S (T ) ≥ K)
K
P ∗ X (T ) ≥ log
S (0)
2
σ
k
Υ r−
− λξ, σ, λ, p, η1 , η2 ; log
,T .
2
S (0)
und deniere
dP̃
dP ∗
P̃,
wobei
= e−rT
P̃
eine neue Wahrscheinlichkeit ist.
S (T )
S (0)
= e−rT
eX(T )
2
= e
− σ2 −λζ T +σW (T )+
Nach dem Satz von Girsanov [1] ist
W̃ (t) := W (t) − σt,
14
PN (T )
i=1
Yi
wobei
W̃ (t)
eine neue Brownsche Bewegung unter der Wahrscheinlichkeit
P̃.
Dann ist
X (t)
=
=
N (t)
X
σ2
r−
− λζ t + σW (t) +
Yi ,
2
i=1
X (0) = 0
N (t)
X
σ2
− λζ t + σ W̃ (t) +
Yi ,
r+
2
i=1
X (0) = 0,
X(t) ist ein neue Doppel-Exponential-Sprung-Diusionsprozess, wobei der PoissonProzess N (t) eine neue Rate λ̃ hat
λ̃ = λE ∗ eY
η1
η2
= λ p
+q
η1 − 1
η2 + 1
= λ (1 + ζ) ,
und eine neue Dichte
1
ey gY (y)
(eY )
1
1
=
ey pη1 e−η1 y 1{y≥0} + ∗ Y ey qη2 eη2 y 1{y<0}
E ∗ (eY )
E (e )
1
η1
1
η2
= p ∗ Y
(η1 − 1) e−(η1 −1)y 1{y≥0} + q ∗ Y
(η2 + 1) e(η2 +1)y 1{y<0} .
E (e ) η1 − 1
E (e ) η2 + 1
g̃Y (y)
Sei nun
q
pη1
η1 −1
g̃Y (y) ,
=
E∗
η̃1 = η1 − 1, η̃2 = η2 + 1, p̃ = p
−1
η2
2
+ ηqη
η2 +1 ,
2 +1
pη1
η1 −1
+
qη2
η2 +1
−1
η1
η1 −1 , und
dann ist
g̃Y (y) = p̃η̃1 e−η̃1 y 1{y≥0} + q̃ η̃2 eη̃2 y 1{y<0} .
I
kann geschrieben werden wie folgt:
I
=
=
=
−rT S (T )
S (0) E e
.1{S(T )≥K}
S (0)
∗
S (0) P̃ [S (T ) ≥ K]
σ2
k
S (0) Υ r +
− λξ, σ, λ̃, p̃, η̃1 , η̃2 ; log
,T .
2
S (0)
Aus 1. und 2. folgt dann:
VC (S, 0) = I − Ke−rT × II.
15
q̃ =
3.2.2 Herleitung der expliziten Formel
Nach [4] kann der Preis einer Call-Option von einer Summe aus
Hh
Funkti-
on abgeleitet werden. Um dem Optionspreisformel zu herleiten, benötigen wir
folgende Propositionen.
Denition
Für jede
n≥0
ist
Hh
deniert als
ˆ
Hhn (x)
∞
=
Hhn−1 (y)dy
x
1
n!
=
ˆ
∞
t2
(t − x)n e− 2 dt, n = 0, 1, 2, ..
x
wobei
Hh−1 (x) = e−
und
Hh0 (x) =
√
x2
2
2πΦ (−x) .
Nach [4] kannHh Funktion auch geschrieben werden als
 x2

e− 2 ,
f ür n = −1
√
Hhn (x) =
2πΦ (−x) ,
f ür n = 0

1
n (Hhn−2 (x) − xHhn−1 (x)) , f ür n ≥ 1.
(24)
Proposition 1
Nach
(2.29)
n≥1
Pk
+

 i=1 ζi ,
ist für jede
n
X
d
Yi =
i=1
mit W ahrscheinlichkeit Pn,k
(25)

 Pk
− i=1 ζi− ,
mit W ahrscheinlichkeit Qn,k ,
wobei
Pn,k =


Pn−1
i=k
n−k−1
i−k
!
n
i
!
η1
η1 +η2
i−k η2
η1 +η2
n−i
pi q n−i ,

 n
p ,
f ür 1 ≤ k ≤ n − 1
f ür k = n
(26)
Qn,k =


Pn−1
i=k
n−k−1
i−k
!
n
i
!

 n
q ,
η1
η1 +η2
n−i η2
η1 +η2
i−k
pn−i q i ,
f ür 1 ≤ k ≤ n − 1
f ür k = n
(27)
Beweis: Siehe [4].
16
Proposition 2
n ≥ −1,
n+1 √
n n−i
2
eαc X β
β
2π αδ
α
+α
In (c; α, β, δ) = −
Hhi (βc − δ)+
e β 2β2 ×Φ −βc + δ +
,
α i=0 α
α
β
β
Wenn
β>0
α 6= 0,
und
dann ist für alle
(28)
α < 0, dann ist für alle n ≥ −1,
n+1 √
n n−i
α2
eαc X β
2π αδ
β
α
β + 2β 2
In (c; α, β, δ) = −
Hhi (βc − δ)−
e
×Φ βc − δ −
,
α i=0 α
α
β
β
und wenn
β<0
und
(29)
Beweis: Siehe [4]
Proposition 3
{ζ1 , ζ2 , ...} eine Folge von i.i.d. exponential Zufallsvariable mit rate η und
Z = N (0, σ 2 ) eine normalverteilte Zufallsvariable. Dann gilt für jedes n ≥ 1
Es sei
P (Z +
n
X
ζi ≥ x) =
i=1
P (Z −
n
X
1
(ση)n (ση)2
√ e
In−1 (x; −η, − , −ση),
σ
σ 2π
(30)
(ση)n (ση)2
1
√ e
In−1 (x; η, , −ση),
σ
σ 2π
(31)
ζi ≥ x) =
i=1
Beweis: Siehe [4].
Herleitung der expliziten Formel
Nach
(3.7)
ist
Υ (µ, σ, λ, p, η1 , η2 ; a, T) :
= P (X (T) ≥ a)
N (T )
= P (µT + σW (T ) +
X
Yi ≥ a)
i=1
W (T ) =
√
T Z,
wobei
Z = N (0, σ 2 )
eine normalverteilte Zufallsvariable ist.
Dann ist
Υ (µ, σ, λ, p, η1 , η2 ; a, T)
N (T )
√
=
P (µT + σ T Z +
X
Yi ≥ a)
i=1
=
P∞
n=0
n
X
√
P (N (T ) = n)P (µT + σ T Z +
Yi ≥ a)
i=1
Deniere
πn = P (N (T ) = n) =
e−λT (λT )n
, dann folgt
n!
∞
X
√
Υ (µ, σ, λ, p, η1 , η2 ; a, T) = π0 P (µT +σ T Z ≥ a)+
n=1
17
n
X
√
Yi ≥ a)
πn P (µT +σ T Z+
i=1
Nach Propositon
1
folgt
Υ (µ, σ, λ, p, η1 , η2 ; a, T)
∞
k
n
X
X
X
√
√
= π0 P (µT + σ T Z ≥ a) +
πn
ζi+ ≥ a)
Pn,k P (µT + σ T Z +
n=1
+
∞
X
πn
n=1
Nach Propositon
3
n
X
i=1
k=1
√
Qn,k P (µT + σ T Z −
k
X
ζi− ≥ a)
(32)
i=1
k=1
ist
2T
k
X
√
√
1
e(ση1 ) 2 √
(σ T η1 )k Ik−1 (a−µT ; −η1 , − √ , −ση1 T )
ζi+ ≥ a) = √
P (µT +σ T Z+
σ 2πT
σ T
i=1
(33)
2T
k
X
√
√
e(ση2 ) 2 √
1
P (µT +σ T Z−
ζi− ≥ a) = √
(σ T η2 )k Ik−1 (a−µT ; η2 , √ , −ση2 T )
σ 2πT
σ T
i=1
(34)
√
a − µT
P (µT + σ T Z ≥ a) = Φ(− √ ),
(35)
σ T
Setzen wir (3.20), (3.21) und (3.22) in (3.19) ein, dann folgt die explizite Formel
Υ (µ, σ, λ, p, η1 , η2 ; a, T)
=
2T
∞
n
√
√
1
e(ση1 ) 2 X X
√
πn
Pn,k (σ T η1 )k Ik−1 (a − µT ; −η1 , − √ , −ση1 T )
σ 2πT n=1 k=1
σ T
2T
∞
n
√
√
e(ση2 ) 2 X X
1
+ √
πn
Qn,k (σ T η2 )k Ik−1 (a − µT ; η2 , √ , −ση2 T )
σ 2πT n=1 k=1
σ T
+π0 Φ(−
a − µT
√ ),
σ T
(36)
4 Monte Carlo Simulation
Bei dem Monte Carlo Verfahren wird ein Integrand an (gleichverteilt) zufällig ausgewählten Stützstellen ausgewertet und der Integralwert als Mittel der
Funktionswerte an diesen Stützstellen berechnet, d.h.
ˆ
If :=
0
1
N
1 X
f (x) dx ≈ Qn f :=
f (xi ) .
N i=1
Der Grundgedanke des Monte-Carlo-Verfahren ist es, den Aktienpreisverlauf für
m
Wiederholungen zu simulieren und den Wert der Option
Vi
für
i = 1, ..., m
zu berechnen. Dann ist der erwartete Wert der Auszahlung gegeben durch
V =
ˆ m
1 X
Vi .
m i=1
18
Den nalen Optionspreis erhält man durch Diskontierten der erwarteten Auszahlung, d.h.
e−rT V̂.
Theorem (Konvergenz des Monte Carlo-Verfahrens)
Für den Erwartungswert des Integrationsfehlers gilt
σ (f )
E (| If − Qn f |) = √ ,
N
wobei
ˆ
ˆ
2
2
σ (f ) :=
f (x) dx −
[0,1]
!2
f (x) dx
.
[0,1]
Beweis: (Gesetz der groÿen Zahlen).
Das bedeutet, daÿ 100mal mehr Funktionsauswertungen benötigt werden um
eine Stelle mehr an Genauigkeit zu erreichen.
Anmerkungen:
Das Monte Carlo Verfahren läÿt sich durch Varianzreduktionstechniken beschleunigen, z.B.:
ˆ Antithetische Variate: Symmetrisiere die Zufallszahlen (und damit den Zufalls0
pfad) durch zj = −zj und Mittelung der Ergebnisse, wobei zj normalverteilt
ist.
ˆ
Importance Sampling: sample die Bereiche stärker, die wichtiger für das Er-
gebnis sind - eine Schätzung für wichtige Bereiche können geschlossenen Lösungsformeln für verwandte Optionen liefern.
ˆ Stratied Sampling: Unterteile das Integrationsgebiet in Teilgebiete und stelle
sicher, dass jedes Teilgebiet etwa die gleiche Zahl von Samples erhält.
4.1
Monte-Carlo-Simulation für das Merton- und KouModell
In diesem Abschnitt wird die vollständige Simulation zur Optionspreisbestimmung mit Hilfe des Monte-Carlo-Verfahren betrachtet. Der folgende Abschnitt
nimmt Bezug auf [3] und [6].
Merton-Modell kann durch folgende stochastische Dierentialgleichung angegeben werden
Hierbei sind
zess und
q
dS(t)
S(t)
µ und σ
= µdt + σdW (t) + dq(t).
Konstanten,
(37)
W (t) eindimensionaler Standard Wiener ProW . q ist gegeben durch
ein Prozess unabhängig von
N (t)
q(t) =
X
(Yj − 1),
(38)
j=1
mit Zufallsvariablen
Y1 , Y2 , ..., Yn
und einem Zählprozess
es Zeitpunkte
0 < τ1 < τ2 < ... < τn
19
N (t).
Das heisst, dass
gibt, und einen Zählprozess
N (t) = sup{n : τn ≤ t},
der die Anzahl der Zeitpunkte im Intervall
dq(t)
t.
bezeichnet den Sprung zur Zeit
durch
[0, t]
(39)
zählt.
Die Gröÿe des Sprunges ist gegeben


Yj − 1 f alls t = τj
dq(t) =


0
(40)
f alls t 6= τj .
S(t) möglit springt, muss speziziert
Mit der bestehenden Möglichkeit von Sprüngen ist die Bezeichnung
cherweise doppeldeutig. Für den Fall, dass
werden, ob
S(t) den Wert von S
S
zur Zeit
vor oder nach dem Sprung bezeichnet. Es wird
analog zur gewöhnlichen Konvention angenommen, dass der Prozess rechtsstetig
ist, so dass
S(t) = limS(u)
u↓t
die Auswirkung eines beliebigen Sprunges zur Zeit
t
einschlieÿt. Um den Wert
kurz vor einem möglichen Sprung zu spezizieren schreiben wir
S(t−),
welches
den Grenzwert
S(t−) = limS(u)
u↑t
von links bezeichnet. Schreibt man
(4.4)
als
dS(t) = µS(t−)dt + σS(t−)dW (t) + S(t−)dq(t),
ist zu erkennen, dass die Inkremente
dS(t) in S
zur Zeit
t vom Wert von S
(41)
kurz
vor einem möglichen Sprung abhängen und nicht vom Wert nach einem Sprung.
Der Sprung in
am Zeitpunkt
S zur Zeit t ist S(t) − S(t−). Dieser ist 0, es sei denn q springt
t, was bedeutet, dass t = τj für ein j . Der Sprung in S an τj ist
gegeben durch
S(τj ) − S(τj −) = S(τj −)[q(τj ) − q(τj −)] = S(τj −)(Yj − 1).
Daher gilt
S(τj ) = S(τj −)Yj .
Dies bedeutet, dass die
Yj
(42)
die Raten des Kurspreises vor und nach dem Sprung
sind. Die Sprünge sind multiplikativ. Das erklärt, warum in
Yj
geschrieben wird. Durch die Beschränkung der
wird sichergestellt, dass
S(t)
Yj
(4.5) Yj −1 und nicht
auf positive Zufallszahlen
nicht negativ werden kann. In diesem Fall sehen
wir, dass
logS(τj ) = logS(τj −) + logYj .
Von
(4.4)
lässt sich die Lösung schreiben als
S(t) = S(0)e(µ−
σ2
2
N (t)
)t+σW (t)
Y
j=1
20
Yj
(43)
welche die entsprechende Lösung der Geometrischen Brownschen Bewegung verallgemeinert.
Bisher wurden keine Annahmen über die Verteilungen des Sprung-Prozesses
gemacht. Nun betrachten wir das Merton-Modell und Kou-Modell, darin wird
angenommen, dass
dass die
Yj
N (t)
ein Poisson-Prozess mit Rate
λ
ist und auÿerdem gilt,
unabhängig und identisch verteilt und unabhängig von
q
und
W
sind.
4.1.1 Simulation an festen Zeitpunkten ti
Der Prozess wird an einer festen Menge von Daten,
0 = t0 < t1 < ... < tn = T,
ohne die expliziten Auswirkungen des Sprungs- und Diusionsterms aufzuzeigen,
simuliert. Dies ist nützlich, da nur der Endwert
Weiteren wird angenommen, dass
N
S (T )
von Bedeutung ist. Des
ein Poisson-Prozess ist und
Y1 , Y2 , ..., Yn
N,
unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen sind. Der Poisson-Prozess
W und die Menge der Yj sind untereinander unabhängig.
S (t) an den Zeitpunkten t1 , ..., tn zu simulieren, wird (4.10) verallgemeinert
der Wiener Prozess
Um
zu
S (ti+1 ) = S (ti ) e
2
µ− σ2 (ti+1 −ti )+σ[W (ti+1 )−W (ti )]
N (ti+1 )
Y
Yj .
(44)
j=N (ti )+1
Durch die Transformation
X (t) = logS (t) ,
lässt sich
(4.11)
schreiben als
σ2
X (ti+1 ) = X (ti )+ µ −
(ti+1 − ti )+σ [W (ti+1 ) − W (ti )]+
2
N (ti+1 )
X
logYj .
j=N (ti )+1
(45)
Durch Exponentieren der
Es gilt, dass das Produkt
X (ti ) ergeben sich dann die Werte S (ti ) .
über j gleich 1 ist, falls N (ti+1 ) = N (ti ) ist.
Der Grundgedanke des Monte-Carlo-Verfahren ist es, den Aktienpreisverlauf für
m
Wiederholungen zu simulieren und den Wert der Option
Vi
für
i = 1, ..., m
zu berechnen. Dann ist der erwartete Wert der Auszahlung gegeben durch
m
V̂ =
1 X
Vi .
m i=1
Den nalen Optionspreis erhält man durch Diskontierten der erwarteten Auszahlung, d.h.
e−rT V̂.
21
Z ∼ N (0, 1)
N ∼ P oisson(λ(ti+1 − ti )).
Generiere eine standard normalverteilte Zufallsvariable
Generiere eine poissonverteilte Zufallsvariable
if
N 6= 0
then
log(Y1 ), ..., log(YN ) von ihrer allgemeinen Verteilung.
M = logY1 + ... + logYN .
end if
p
σ2
(ti+1 − ti ) + σ (ti+1 − ti )Z + M.
Setze X (ti+1 ) = X (ti ) + µ −
2
Generiere
Setze
Setze
Setze
Setze
S (ti ) = exp (X (ti )) .
V (ti ) = max (0, S (ti P
) − K) .
m
1
VM C = exp (−rT ) m
i=1 Vi .
ALGORITHM 1: Schritte zur Simulation eines Aktienkurses mit beliebiger
Sprungverteilungsfunktion.
Allgemein kann die Monte-Carlo-Simulation für
(4.12) im Algorithmus 1 zusam-
mengefasst werden. Diese Methode beruht auf zwei Eigenschaften des PoissonProzesses. Der Zuwachs
telwert
λ (ti+1 − ti )
Falls die Verteilung von
dann ist für festes
N (ti+1 ) − N (ti )
hat eine Poisson-Verteilung mit Mit-
und er ist unabhängig von
Yj
N
über
[0, ti ].
logYj ∼ N a, b2 ,
lognormalverteilt ist, das heiÿt
n:
n
X
√
logYj ∼ N an, b2 n = an + b nN (0, 1) .
j=1
In diesem Fall kann in Algorithmus 1 die Generierung der Zufallszahlen nach
ihrer allgemeinen Verteilung entfallen. Es ergibt sich ein vereinfachter Algorithmus 2.
Z ∼ N (0, 1)
N ∼ P oisson(λ(ti+1 − ti )).
Generiere eine standard normalverteilte Zufallsvariable
Generiere eine poissonverteilte Zufallsvariable
if
N 6= 0
then
Generiere eine standard normalverteilte Zufallsvariable
√
M = aN + b N Z2 .
end if
Setze X (ti+1 ) = X (ti ) + r − λκ −
Z2 ∼ N (0, 1) .
Setze
σ2
2
(ti+1 − ti ) + σ
p
(ti+1 − ti )Z + M.
ALGORITHM 2: Simulation eines Aktienkurses mit lognormalverteilten
Sprüngen.
Falls die Verteilung von
dann ist für festes
n:
Yj
gammaverteilt ist, also ist
n
X
logYj ∼ Gamma (a, β) ,
logYj ∼ Gamma (an, β)
j=1
Ist
N (t) = n,
so ist die Anzahl der
mialverteilung mit Parametern
n
logYi
p.
und
22
mit positiven Vorzeichnen einer Bino-
In diesem Fall kann in Algorithmus 1 die Generierung der Zufallszahlen nach
ihrer allgemeinen Verteilung entfallen. Es ergibt sich ein vereinfachter Algorithmus 3.
Z ∼ N (0, 1)
N ∼ P oisson(λ(ti+1 − ti )).
Generiere eine standard normalverteilte Zufallsvariable
Generiere eine poissonverteilte Zufallsvariable
if
N 6= 0
then
Generiere eine gleich-verteilte Zufallsvariable
Falls
r ∼ rand(n)
r<p
Generiere eine exponential-verteilte Zufallsvariable
Yi ∼ exprnd( η11 ).
Anderenfalls
Generiere eine exponential-verteilte Zufallsvariable
Setze
end if
Setze
M=
PN
i=1
Yi ∼ −exprnd( η12 ).
Yi
X (ti+1 ) = X (ti ) + r − λζ −
σ2
2
(ti+1 − ti ) + σ
p
(ti+1 − ti )Z + M.
ALGORITHM 3: Simulation eines Aktienkurses mit
Doppel-Exponential-Verteilten Sprüngen.
4.1.2 Simulation der Sprungzeiten
(4.12) beruhen, produzieren Werte S (ti ) = exp (Xi )
i = 1, ..., n mit der exakten Verteilung des Prozesses (4.4) an Zeitpunkten t1 , ..., tn . Es sei bemerkt, dass diese Näherung nicht die Sprungzeiten für
S (t) identiziert. Es wird nur eine Gesamtanzahl der Sprünge in jedem Intervall (ti , ti+1 ] generiert. Dazu wird die Eigenschaft benutzt, dass die Anzahl der
Die Simulationen, die auf
für
Sprünge in einem Intervall poissonverteilt ist. Eine alternative Näherung zur Si-
(4.4) ist die explizite Simulation der Sprungzeitpunkte. Von einem
S (t) nach einer einfachen Geometrischen
Brownschen Bewegung. Dies ist der Fall, da angenommen wurde, dass W und q
in (4.4) unabhängig voneinander sind. Wenn τ1 , ..., τn die Sprungzeiten darstel-
mulation von
Sprung zum nächsten entwickelt sich
len, folgt
S (τj+1 −) = S (τj ) e
2
µ− σ2 (τj+1 −τj )+σ[W (τj+1 −W (τj ))]
,
(46)
und
S (τj+1 ) = S (τj+1 −) Yj+1 .
(47)
Durch Logarithmieren ergibt sich
σ2
(τj+1 − τj ) + σ [W (τj+1 ) − W (τj )] + logYj+1 .
X (τj+1 ) = X (τj ) + µ −
2
(48)
Die Simulation von
(4.15)
ist in Algorithmus 4 dargestellt.
23
Rj+1 mit Hilfe der exponentiellen Verteilung mit Erwartungswert λ1
log(U )
Rj+1 = − λ wobei U gleichverteilt ist auf [0, 1] .
Generiere eine standard normalverteilte Zufallsvariable Zj+1 ∼ N (0, 1) .
Generiere
Setze
logYj+1 .
τj+1 = τj + Rj+1 .
Setze
X (τj+1 ) = X (τj ) + µ −
Generiere
σ2
2
Rj+1 + σ
p
Rj+1 Zj+1 + logYj+1 .
ALGORITHM 4: Simulation eines Aktienkurses mit expliziter Simulation der
Sprungzeiten
S (t) zu sit gewählt werden, an dem
τj < t < τj+1 , d.h. J (t) = J (t−) = j,
Die beiden Simulationsmethoden können kombiniert werden, um
mulieren. Beispielsweise kann ein fester Zeitpunkt
ebenfalls simuliert werden soll. Falls
dann gilt
S (t) = S(τj )e
und
S (τ i+1 ) = S (t) e
2
µ− σ2
2
µ− σ2
(t−τj )+σ[W (t)−W (τj )]
,
(τi+1 −t)+σ[W (τi+1 )−W (t)]
Beide Näherungen zur Simulation von
Yj+1 .
(4.4) können nützlich sein, um zumindest
als Approximation zur Simulation allgemeinerer Sprung-Diusions Prozesse zu
dienen. Die exakte Simulation wird schwieriger, wenn die Sprungzeiten und
die Entwicklung des Prozesses zwischen den Sprüngen nicht länger unabhängig
voneinander sind.
Wir werden uns in Kapitel
5 auf die Simulation zu festen Zeitpunkten beschränS (T ) interessiert sind. Es ist nur von Bedeutung
ken, da wir nur am Endkurs
wie viele Sprünge auftreten, nicht jedoch zu welchen Zeitpunkten.
5 Numerische Ergebnisse
In den vorangegangenen Kapiteln wurden verschiedene Verfahren zur Bewertung
von Europäischer Optionen vorgestellt. Im ersten Teil dieses Kapitels werden die
Bewertungsverfahren Europäischer Optionen für das Merton-Modell und KouModell analysiert. Es werden die exakte Werte einer Europäischen Optionen für
beide Modelle berechnet. Zunächst wird das Monte-Carlo-Verfahren für Merton
und Kou-Modell hinsichtlich ihrer Konvergenzeigenschaften untersucht. Für die
Berechnungen der Optionswerte werden die Parameter der Tabelle
6.1
det, wenn nicht anders angegeben.
Parameter
Bedeutung
Wert
K
T
r
σ
λ
Ausübungspreis
100.00
0.25
0.05
0.15
0.10
Laufzeit in Jahren
Zins
Volatilität
Sprungrate
24
verwen-
:
µJ
σJ
η1
η2
p
−0.90
0.45
10
5
0.4
Erwartungswert der Sprungverteilung
Varianz der Sprungverteilung
Aufwärtssprünge
Abwärtssprünge
Die Wahrscheinlichkeit
Tabelle 6.1: Die verwendeten Standardparameter der betrachteten Modelle
5.1
Geschlossene Lösungen
In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse der geschlossenen Lösungen für
Merton-Modell und Kou-Modelll diskutiert.
5.1.1 Plötzlicher Ruin
Im Fall des Plötzlichen Ruins kann eine geschlossene Lösung zur Berechnung
des Optionspreises angegeben werden. In Abbildung
6.1
sind die Optionspreise
für einen Call und einen Put mit verschiedenen Sprungintensitäten dargestellt.
Plötzlicher Ruin
150
Plötzlicher Ruin
100
lambda=0.1
lambda=0.8
lambda=2
lambda=5
lambda=0.1
lambda=0.8
lambda=2
lambda=5
90
80
70
Optionspreis
Optionspreis
100
50
60
50
40
30
20
10
0
0
50
100
150
Aktienkurs S
200
250
0
0
50
100
150
Aktienkurs S
Abbildung 6.1: Optionspreise für eine Call-Options (links) und eine
Put-Option (rechts) für den Fall des Plötzlichen Ruins in Abhängigkeit vom
Kurs
S
und verschiedenen Sprungintensitäten
λ.
Es ist zu beobachten, dass der Wert einer Call-Option mit wachsendem Kurs
und wachsender Sprungintensität fällt. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kurs
mit groÿer Sprungaktivität zum Ende der Laufzeit der Option noch nicht gesprungen ist und weiterhin ungleich
0
ist, ist sehr gering. Diese kleine Wahr-
scheinlichkeit, die einen relativ groÿen Gewinn garantieren würde, muss relativ
teuer bezahlt werden.
Im Fall einer Put-Option steigt der Optionspreis mit kleiner werdendem Sprungparameter und kleinerem Kurs. Mit Hilfe der Put-Option kann ein Gewinn erzielt werden, wenn
K−S groÿ, also wenn S klein wird. Falls der Kurs eine geringe
25
200
250
Sprungaktivität besitzt, richten sich die Änderungen des Kurses hauptsächlich
nach der Brownschen Bewegung und somit wird sich der Wert des Kurses nur in
kleinem Maÿe ändern. Daher ist die Wahrscheinlichkeit für einen kleinen Kurswert am Ende der Optionslaufzeit gering, wenn der Kurs zu Beginn der Laufzeit
der Option relativ groÿ ist.
5.1.2 Lognormalverteilung
Die in Abschnitt
3.2.2
vorgestellte geschlossene Lösung zur Berechnung eines
Optionspreises mit lognormalverteilten Sprüngen wird im Folgenden für alle
weiteren verwendeten Verfahren als Referenzlösung genutzt. Dies bedeutet, dass
der mittels anderer Verfahren bestimmte Optionspreis mit dem der geschlossenen Lösung verglichen wird. Da die geschlossene Lösung aus einer unendlichen
Summe besteht, muss diese unendliche Summe zur Berechnung des Optionspreises durch eine endliche Summe approximiert werden. Es wurde gezeigt [6],
dass der Fehler, der durch das Abschneiden der unendlichen Summe entsteht zu
vernachlässigen ist, da zum einen die Werte der Poisson-Verteilung sehr schnell
abfallen und zum anderen der mit Hilfe der Black-Scholes-Formel berechnete
Optionspreis irgendwann exakt
In Abbildung
6.2
0 wird und somit eine endliche Summe entsteht.
sind die Optionspreise für einen Call und einen Put mit ver-
schiedenen Sprungintensitäten dargestellt.
lognormalverteilte Sprünge (Call−Option)
lognormalverteilte Sprünge (Put−Option)
160
200
lambda=0.1
lambda=0.8
lambda=1
lambda=2
140
120
lambda=0.1
lambda=0.8
lambda=1
lambda=2
180
160
Optionspreis
Optionspreis
140
100
80
60
120
100
80
60
40
40
20
0
20
0
50
100
150
Aktienkurs S
200
250
0
0
50
100
150
Aktienkurs S
Abbildung 6.2: Optionspreise für einen Call (links) und einen Put (rechts) für
den Fall der lognormalverteilten Sprünge in Abhängigkeit vom Kurs
verschiedenen Sprungintensitäten
S
mit
λ
Für eine Call-Option steigt der Preis sowohl mit wachsenden Kurs als auch mit
zunehmender Sprungrate. Wird eine Put-Option betrachtet, so steigt der Optionspreis mit wachsender Sprungintensität und sinkt mit ansteigendem Kurs.
Diese Eigenschaften sind im Wesentlichen auf die Struktur der zugehörigen Auszahlungsfunktionen zurückzuführen.
26
200
250
Zusammenfassend gilt die in Abschnitt 6.2.1 und 6.2.2 dargestellten geschlossenen Lösungen, dass sie leicht zu berechnen sind, da sie lediglich auf der BlackScholes-Formel mit variierenden Parametern beruhen.
5.1.3 Kou Modell
Im Fall des Kou-Modells kann eine analytische Lösung zur Berechnung des Optionspreises angegeben werden. In Abbildung
6.3 sind die Optionspreise für einen
Call und einen Put mit verschiedenen Sprungintensitäten dargestellt.
analytische Lösung für Kou Modell
analytische Lösung für Kou Modell
160
100
lambda=0.1
lambda=1
lambda=2
lambda=10
140
120
lambda=0.1
lambda=1
lambda=2
lambda=10
90
80
Optionspreis
Optionspreis
70
100
80
60
60
50
40
30
40
20
20
0
10
0
50
100
150
Aktienkurs S
200
0
250
0
50
100
150
Aktienkurs S
Abbildung 6.3: Optionspreise für einen Call (links) und einen Put (rechts) für
Kou-Modell in Abhängigkeit vom Kurs
Sprungintensitäten
S
λ
mit verschiedenen
Es ist zu beobachten, dass der Wert einer Call-Option mit wachsendem Kurs und
wachsender Sprungintensität steigt. Wird eine Put-Option betrachtet, so steigt
der Optionspreis mit wachsender Sprungintensität und sinkt mit ansteigendem
Kurs.
5.1.4 Put-Call Tabelle für Merton und Kou-Modell
In diesen Abschnitt sollen zunächst die Optionspreise, die mit Hilfe der BlackScholes-Formel berechnet wurden, mit solchen eines Sprung-Diusions-Prozesses
verglichen werden.
In Abbildung
6.4
V (S, t)
(λ = 0) im
sind links der Preis
nach dem Black-Scholes Modell
einer Europäischen Kauf-Option
Vergleich zu einer Europäischen
Kauf-Option nach dem Merton-Modell und einer Europäischen Kauf-Option
nach dem Kou-Modell mit verschiedenen Sprüngintensitäten dargestellt. Zusätzlich ist die Payo-Funktion abgebildet.
27
200
250
lambda=0.10
lambda=0.8
160
160
Payoff
OptionBlackScholes
plötzlicher Ruin
lognormalverteilt
Kou Modell
140
140
120
100
Optionspreis
Optionspreis
120
80
100
80
60
60
40
40
20
20
0
0
50
Payoff
OptionBlackScholes
plötzlicher Ruin
lognormalverteilt
Kou Modell
100
150
Aktienkurs S
200
0
250
0
50
100
150
Aktienkurs S
lambda=1
200
250
160
Payoff
OptionBlackScholes
plötzlicher Ruin
lognormalverteilt
Kou Modell
140
120
120
100
80
100
80
60
60
40
40
20
20
0
50
Payoff
OptionBlackScholes
plötzlicher Ruin
lognormalverteilt
Kou Modell
140
Optionspreis
Optionspreis
250
lambda=2
160
0
200
100
150
Aktienkurs S
200
250
0
0
50
100
150
Aktienkurs S
Abbildung 6.4: Optionspreise für eine Call-Option mit unterschiedlichen
Sprungintensitäten
Abbildung
6.4
zeigt die Auswirkung der verstärkten Sprungauftrittsrate. Für
steigende Sprungintensität
λ
ist ein Wachsen des Optionspreises festzustellen.
Diese Feststellung beruht auf der Eigenschaft der Sprung-Diusions-Prozesse.
Diese Prozesse besitzen im Vergleich zur Brownschen Bewegung eine zusätzliche
Komponente, die mögliche unerwartete Sprünge der Aktie widerspiegelt. Eine
Option, die auf einem Sprung-Diusions-Modell beruht sichert somit auch
solche Sprünge ab und ist folglich teurer als eine Option, die keine unerwarteten
Sprünge berücksichtigt. Eine Verstärkung der Sprungintensität wirkt sich in
einem weiteren Anstieg des Optionspreises aus.
Im Tabelle
6.2
und
6.3
sind Optionspreise für Merton-Modell und Kou-Modell
aufgelistet.
28
Kurs
BLS
Ruin
Log
Kou
20
1.0374e-101
1.0118e-101
5.4440e-009
1.7772e-008
40
3.7157e-034
3.6240e-034
1.1931e-005
1.7593e-005
60
1.2683e-011
1.2370e-011
4.1301e-004
9.9440e-004
80
0.0049
0.0048
0.0122
0.0225
100
3.6351
3.5453
4.3912
3.7668
120
21.2543
20.7295
22.3821
21.3542
140
41.2422
40.2239
42.1936
41.2892
160
61.2422
59.7301
62.0328
61.2664
180
81.2422
79.2363
81.8940
81.2557
200
101.2422
98.7425
101.7764
101.2502
Tabelle 6.2: Optionspreise für einen Call für Merton-Modell und Kou-Modell
Kurs
BLS
Ruin
Log
Kou
20
78.7578
76.8132
81.5464
78.7578
40
58.7578
57.3070
61.2694
58.7578
60
38.7578
37.8008
40.9934
38.7588
80
18.7627
18.2995
20.7318
18.7803
100
2.3928
2.3338
4.8465
2.5246
120
0.0120
0.0117
2.5892
0.1119
140
2.8626e-006
2.7919e-006
2.1749
0.0469
160
8.7418e-011
8.5260e-011
1.8142
0.0242
180
7.3109e-016
7.1304e-016
1.5026
0.0135
200
2.7534e-021
2.6854e-021
1.2383
0.0080
Tabelle 6.3: Optionspreise für einen Put für Merton-Modell und Kou-Modell
5.2
Monte-Carlo-Verfahren
In Abschnitt 4 wurde das Monte-Carlo-Verfahren vorgestellt. Wir beschränken
uns hier auf die Simulation an festen Zeitpunkten, da wir nur am Kurs zum Endzeitpunkt
T
interessiert sind und nicht an seiner Entwicklung über die Laufzeit.
Es werden die bereits bekannten Fälle des Plötzlichen Ruins, der Lognormalverteilten Sprünge und der doppel-exponential-verteilten Sprünge untersucht.
Dazu wird das Monte-Carlo-Verfahren angewendet und für steigende Anzahl
der Monte-Carlo-Iterationen die Konvergenz gegen den Referenzpreis
VR ,
der
mittels der geschlossenen Lösung ermittelt wurde, betrachtet. Den mittels des
Monte-Carlo-Verfahrens berechneten Optionspreis bezeichnen wir mit
VM C . Um
die Konvergenz gegen die exakte Lösung betrachten zu können, wird der relative
Fehler berechnet.
erel =
| VM C − VR|
| VR |
29
(49)
0
10
Ruin
Gerade mit Steigung 1/2
−2
relativer Fehler
10
−4
10
−6
10
−8
10
−10
10
0
10
1
2
10
3
4
10
10
10
Anzahl der Monte−Carlo−Iterationen
5
10
6
10
Abbildung 6.5: Konvergenz des Monte-Carlo-Verfahrens für den Fall des
Plötzlichen Ruins
0
10
lognormalverteilung
Gerade mit Steigung 1/2
−1
10
−2
relativer Fehler
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
−7
10
0
10
1
10
2
3
4
10
10
10
Anzahl der Monte−Carlo−Iterationen
5
10
Abbildung 6.6: Konvergenz des Monte-Carlo-Verfahrens für den Fall der
lognormalverteilte Sprünge
30
1
10
Kou−Model
Gerade mit Steigung 1/2
0
10
−1
10
−2
relativer Fehler
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
−7
10
−8
10
0
1
10
2
10
3
10
10
Anzahl der Monte−Carlo−Iterationen
4
10
5
10
Abbildung 6.7: Konvergenz des Monte-Carlo-Verfahrens für den Fall der
Doppelt-Exponential-Sprünge
In Abbildungen
6.5, 6.6
und
6.7
sind die relativen Fehler abhängig von der An-
zahl der Monte-Carlo-Iterationen dargestellt. Zusätzlich wurde eine Gerade mit
der Steigung
(− 12 )
abgebildet, um die durchschnittliche Konvergenz des Ver-
fahrens zu verdeutlichen. Die Konvergenz des Monte-Carlo-Verfahren ist nicht
monoton , es existieren Sprünge nach oben und unten, die eine Eigenschaft des
Monte-Carlo-Verfahrens sind. Es kann auch in diesem Fall beobachtet werden,
dass der relative Fehler im Mittel mit einer konvergenzrate von
31
1
2 klein wird.
6 Fazit
In dieser Arbeit wurden die Europäische Optionen in den Sprung-DiusionsModellen von Merton und dem Modell von Kou bewertet. So stellen die geschlossenen Lösungen für das Merton-Modell als Anwendung der Black-Scholes-Formel
eine einfache Möglichkeit zur Berechnung eines Optionspreises dar. Die Verwendung einer analytischen Lösung für Merton ist allerdings nur eingeschränkt,
d.h. für zwei spezielle Sprungverteilungsfunktionen (Plötzlicher Ruin und die
Lognormalverteilung) möglich. Das Kou-Modell hingegen, hat eine geschlossene Lösung für Doppel-Exponentialverteilte Sprünge. Eine exible Lösungsmöglichkeit zur Bestimmung eines Optionspreises ist die Verwendung des MonteCarlo-Verfahrens für die Simulation der Kursbewegung mit zugrunde liegendem
Sprung-Diusions-Modell. In diesem Fall ist das Monte-Carlo-Verfahren zur Ermittlung des Optionspreises nur einmal anzuwenden. Dieses Verfahren konver-
1
2.
Wie alle anderen Modelle, die auf Lévy Prozessen basieren, lässt das Kou-Modell
giert mit einer Konvergenzrate von
eine empirische Beobachtung vermissen, nämlich die mögliche Abhängigkeit zwischen Renditen der Underlyings (der sogenannte "volatility clustering eect"),
weil das Modell unabhängige Inkremente unterstellt. Eine Möglichkeit die Ab-
Ñ (t) mit
N (t). Es muss natürlich
hängigkeit mit einzubeziehen, wäre die Nutzung anderer Punktprozesse
abhängigen Inkrementen anstelle des Poisson-Prozesses
die Unabhängikeit zwischen der Brownschen Bewegung, den Sprunghöhen und
Ñ (t)
beibehalten werden. Das so modizierte Modell hat keine unabhängigen
Inkremente mehr, ist aber einfach die geschlossene Lösungsformel für Call- und
Put-Optionen zu erhalten. Andererseits scheint es schwer analytische Lösungen für Pfadabhängige Optionen durch Nutzung von
erhalten.
32
Ñ (t)
anstelle von
N (t)
zu
Literatur
[1] T. Bj
örk, Y. Kabanov, and W. Runggaldier. Bond market structure in the presence of marked point processes.
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33
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