Lehrstuhl für Technische Elektrophysik Technische Universität
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Lehrstuhl für Technische Elektrophysik Technische Universität München Tutorübungen zu "Elektromagnetische Feldtheorie I" (Prof. Wachutka) WS 07/08 Blatt 13 1. Aufgabe In einem unendlich ausgedehnten Plattenkondensator mit Plattenabstand d befinden sich ein inhomogenes isotropes Dielektrikum der relativen Permittivität εr (~r) = εr,0 2x/d sowie die Ladungsdichte ρ(~r) = ρ0 ! ln 2 x + 1 2x/d . d Die relative Permitivität εr,0 und die Ladungsdichte ρ0 für x = 0 sind dabei konstant. Die beiden Platten des Kondensators bei x = 0 und x = d liegen auf den Potentialen Φx=0 (~r) = 0 und Φx=d (~r) = Φ0 . a) Bestimmen Sie das Potential Φ(~r) zwischen den beiden Kondensatorplatten. ~ r ), die dielektrische Verschiebung D(~ ~ r ) und die b) Wie lauten das elektrische Feld E(~ Polarisation P~ (~r) im Plattenkondensator? c) Mit welchen Oberflächenladungsdichten σx=0 (~r) und σx=d (~r) müssen die Innenflächen der beiden Kondensatorplatten belegt sein, damit auch das Potential Φ0 auf der zweiten Kondensatorplatte identisch Null ist? Die zweite Kondensatorplatte bei x = d befindet sich im Folgenden auf dem Potential Φ0 = −ρ0 d2 /(2εr,0 ε0 ). d) Berechnen Sie die Oberflächenladungsdichten σx=0 (~r) und σx=d (~r) sowie die Polalarisierungs-Oberflächenladungsdichten σpol,x=0 (~r) und σpol,x=d (~r) auf den Innenflächen der beiden Kondensatorplatten. ~ r ) im Plattenkondensator e) Drücken Sie die Divergenz des elektrischen Felds E(~ durch die Polarisierungs-Volumenladungsdichte ρpol (~r) und die gegebene Ladungsdichte ρ(~r) aus. Bestimmen Sie mit Hilfe dieser Relation die PolarisierungsVolumenladungsdichte ρpol (~r) zwischen den beiden Kondensatorplatten. 1. Aufgabe a) Um den Potentialverlauf Φ(~r) im Plattenkondensator zu bestimmen, wird zunächst mit der differentiellen Maxwellgleichung ~ r) = ρ(~r) divD(~ ~ r ) zwischen den beiden Kondensatorplatten aus die dielektrische Verschiebung D(~ ~ r) der gegebenen Ladungsdichte ρ(~r) bestimmt. Da die dielektrische Verschiebung D(~ aufgrund der Symmetrie in x-Richtung gerichtet ist, vereinfacht sich deren Divergenz zur Ableitung ihrer x-Komponente nach x. ! ∂ ln 2 Dx (~r) = ρ0 x + 1 2x/d ∂x d = ρ0 Dx (~r) = Z ! ln 2 x ln 2 x + 1 exp d d ρ0 ! ! ! ln 2 x ln 2 x + 1 exp dx + Dk d d ! ! Z = ρ0 = ρ0 d d ln 2 x ln 2 x exp x+ exp − ρ0 + Dk ln 2 d ln 2 d ! ! ! ! ln 2 d ln 2 x ρ0 dx + Dk exp d ln 2 d ln 2 d ln 2 x − x+1 exp d ln 2 d ! ln 2 x = ρ0 x exp + Dk d = ρ0 x2x/d + Dk ~ r ) = ρ0 x2x/d + Dk ~ex D(~ ~ r) mit der Konstanten Dk wird Aus der erhaltenenen dielektrischen Verschiebung D(~ unter Benutzung der Materialgleichung eines isotropen Dielektrikums ~ r ) = εr (~r)ε0 E(~ ~ r) D(~ ~ r ) im Plattenkondensator berechnet. Aufgrund der Symmedas elektrische Feld E(~ ~ r ) = Dx (~r)~ex und E(~ ~ r ) = Ex (~r)~ex . trie gelten D(~ Dx (~r)~ex = εr (~r)ε0 Ex (~r)~ex Ex (~r) = = Dx (~r) εr (~r)ε0 ρ x2x/d + D 0 k εr,0 2x/d ε0 Dk −x/d ρ0 x+ 2 = εr,0 ε0 εr,0 ε0 ~ r) = E(~ ! ρ0 Dk −x/d x+ 2 ~ex εr,0 ε0 εr,0 ε0 Da der negative Gradient des elektrischen Potentials Φ(~r) gleich dem elektrischen ~ r ) ist, also Feld E(~ ~ r) −gradΦ(~r) = E(~ gilt, läßt sich der gesuchte Potentialverlauf Φ(~r) aus dem ermittelten elektrischen ~ r ) berechnen. Nachdem nur die x-Komponente des elektrischen Felds unFeld E(~ gleich Null ist, vereinfacht sich der Gradient zur partiellen Ableitung nach x. ∂ Φ(~r) = −Ex (~r) ∂x ρ0 Dk −x/d = − x− 2 εr,0 ε0 εr,0 ε0 ρ0 Dk ln 2 x = − x− exp − εr,0 ε0 εr,0 ε0 d Φ(~r) = Z " ! ρ0 Dk ln 2 x − x− exp − εr,0 ε0 εr,0 ε0 d !# dx + Φk ! dDk ρ0 ln 2 x + Φk = − x2 + exp − 2εr,0 ε0 ln 2 εr,0ε0 d = − dDk ρ0 x2 + 2−x/d + Φk 2εr,0 ε0 ln 2 εr,0ε0 Zuletzt werden die beiden Konstanten Dk und Φk aus den zwei Randbedingungen an das Potential Φ(~r) und letztendlich das Potential Φ(~r) selbst bestimmt. Φx=0 (~r) = 0 ⇒ dDk ρ0 02 + 2−0/d + Φk 2εr,0 ε0 ln 2εr,0 ε0 dDk Φk = − ln 2 εr,0 ε0 0=− ρ0 dDk 2−x/d − 1 Φ(~r) = − x2 + 2εr,0 ε0 ln 2 εr,0 ε0 Φx=d (~r) = Φ0 ⇒ ρ0 dDk Φ0 = − d2 + 2−d/d − 1 2εr,0 ε0 ln 2 εr,0ε0 ρ0 d2 dDk − 2εr,0 ε0 2 ln 2 εr,0ε0 2 ln 2 εr,0 ε0 Φ0 Dk = − − ln 2 dρ0 d Φ0 = − ρ0 d2 ρ0 x2 − 2Φ0 + Φ(~r) = − 2εr,0 ε0 εr,0 ε0 ! 2−x/d − 1 ~ r) ergibt sich aus dem negativen Gradienten des ermittelten b) Das elektrische Feld E(~ Potentials Φ(~r) oder durch Einsetzen der Konstante Dk in den Ausdruck für das ~ r ) aus Teilaufgabe a). elektrische Feld E(~ ~ r) = E(~ " ! # 2 ln 2 Φ0 ln 2 dρ0 −x/d ρ0 x− + 2 ~ex εr,0 ε0 d εr,0 ε0 ~ r ) erhält man durch Multiplikation der PermittiDie dielektrische Verschiebung D(~ ~ r ) oder indem man die Konstante Dk in vität ε0 εr (~r) mit dem elektrischen Feld E(~ ~ r ) aus Teilaufgabe a) einsetzt. den Ausdruck für die dielektrische Verschiebung D(~ ! ~ r ) = ρ0 x2x/d − 2 ln 2 εr,0 ε0 Φ0 − ln 2 dρ0 ~ex D(~ d Die Polarisation P~ (~r) erhält man aus dessen Beziehung zur dielektrischen Verschie~ r ) und dem elektrischen Feld E(~ ~ r ). bung D(~ ~ r) − ε0 E(~ ~ r) P~ (~r) = D(~ P~ (~r) = " ! ρ0 2 ln 2 ε0 Φ0 ln 2 dρ0 −x/d ρ0 x2x/d − x+ 2 + εr,0 d εr,0 # ln 2 εr,0 ε0 Φ0 − − ln 2 dρ0 ~ex d c) Die Oberflächenladungsdichte σ(~r) auf einem Flächenelement einer der beiden Kondensatorplatten läßt sich mit Hilfe der Maxwellgleichung Z ∂V ~ r ) · d~a = Q D(~ ~ r ) bestimmen. Q ist dabei die von der Hüllaus der dielektrischen Verschiebung D(~ fläche ∂V , zum Beispiel einer Zylinderoberfläche um das entsprechende Flächenelement mit verschwindend kleiner Mantelfläche, eingeschlossene Ladung. Mit dem Normalenvektor ~n(~r) sowie der annähernd konstanten dielektrischen Verschiebun~ r) auf der im Plattenkondensator befindlichen Zylinderstirnfläche der Größe gen D(~ A erhält man eine Gleichung für die Oberflächenladungsdichte σ(~r) auf der betrachteten Kondensatorplatte. Die anderen Teile der Hüllfläche ∂V liefern keinen Beitrag ~ r) auf der im Metall befindlichen zum Integral, da die dielektrische Verschiebung D(~ Zylinderstirnfläche verschwindet und die Mantelfläche verschwindend klein ist. Q = Z A a=0 ~ r ) · ~n(~r)da D(~ ~ r ) · ~n(~r)A Q = D(~ ~ r ) · ~n(~r) σ(~r) = Q/A = D(~ Mit der dielektrischen Verschiebung ~ r ) = ρ0 x2x/d − ln 2 dρ0 ~ex D(~ für Φ0 = 0 und den Normalenvektoren ~nx=0 (~r) = ~ex und ~nx=d (~r) = −~ex auf die Innenflächen der Platten bei x = 0 und x = d können also die Oberflächenladungsdichten σx=0 (~r) und σx=d (~r) auf diesen beiden Platten bestimmt werden. ~ x=0 (~r) · ~ex = ρ0 · 0 · 20/d − ln 2 dρ0 ~ex · ~ex = − ln 2 dρ0 σx=0 (~r) = D ~ x=d (~r) · (−~ex ) = ρ0 d2d/d − ln 2 dρ0 ~ex · (−~ex ) σx=d (~r) = D = (ln 2 − 2) dρ0 d) Für Φ0 = −ρ0 d2 /(2εr,0 ε0 ) lautet die dielektrische Verschiebung ~ r ) = ρ0 x2x/d~ex D(~ und man erhält für die Oberflächenladungsdichten σx=0 (~r) und σx=d (~r) auf den Innenflächen der beiden Platten analog zu Teilaufgabe c). ~ x=0 (~r) · ~ex = ρ0 · 0 · 20/d~ex · ~ex = 0 σx=0 (~r) = D ~ x=d (~r) · (−~ex ) = ρ0 d2d/d~ex · (−~ex ) = −2dρ0 σx=d (~r) = D Die Polarisierungs-Oberflächenladungsdichten σpol,x=0 (~r) und σpol,x=d (~r) auf den Innenflächen der beiden Platten erhält man mit σpol (~r) = P~ (~r) · ~n(~r) unter Verwendung der Normalenvektoren ~nx=0 (~r) = ~ex und ~nx=d (~r) = −~ex auf den entsprechenden Flächen aus der Polarisation ! ρ0 P~ (~r) = ρ0 x2x/d − x ~ex . εr,0 ! ρ0 σpol,x=0 (~r) = P~x=0 (~r) · ~ex = ρ0 · 0 · 20/d − 0 ~ex = 0 εr,0 ! ρ0 σpol,x=d (~r) = P~x=d (~r) · (−~ex ) = ρ0 d2d/d − d ~ex · (−~ex ) εr,0 = ! 1 − 2 dρ0 εr,0 ~ r ) von der Ladungsdichte e) Die Abhängigkeit der Divergenz des elektrischen Felds E(~ ρ(~r) und der Polarisierungs-Volumenladungsdichte ρpol (~r) wird unter Verwendung ~ r) − ε0 E(~ ~ r ), divD(~ ~ r ) = ρ(~r) und ρpol (~r) = −div P~ (~r) ermittelt. von P~ (~r) = D(~ 1 ~ r ) − P~ (~r) div D(~ ε0 1 ~ r) − 1 divP~ (~r) divD(~ = ε0 ε0 ρ(~r) ρpol (~r) = + ε0 ε0 ~ r) = divE(~ ~ r) = Ex (~r)~ex = ρ0 x/εr,0 ε0 ~ex für Φ0 = Mit dieser Beziehung, dem elektrischen Feld E(~ −ρ0 d2 /(2εr,0 ε0 ) und der gegebenen Ladungsdichte ρ(~r) = ρ0 (ln 2x/d + 1) 2x/d wird die Polarisierungs-Volumenladungsdichte ρpol (~r) im Plattenkondensator bestimmt. ρ(~r) ρpol (~r) + ε0 ε0 ~ r ) − ρ(~r) ρpol (~r) = ε0 divE(~ ~ r) = divE(~ ∂ = ε0 ∂x ! ! ρ0 ln 2 x − ρ0 x + 1 2x/d εr,0 ε0 d ! ln 2 ρ0 − ρ0 x + 1 2x/d = εr,0 d
