Vorlesung Mathematische Methoden der Physik I

Vorlesung Mathematische Methoden
der Physik I
R. Folk
Institut für Theoretische Physik, Universität Linz
Die Philosophie steht in jenem großen Buch geschrieben, das uns
ständig offen vor Augen liegt (ich spreche vom Universum). Aber
dieses Buch ist nicht zu verstehen, ehe man nicht gelernt hat, die
Sprache zu verstehen, und die Buchstaben kennt, in denen es geschrieben ist. Es ist in der Sprache der Mathematik geschrieben,
und die Buchstaben sind Dreiecke, Kreise und andere geometrische Figuren. Ohne diese Mittel ist es dem Menschen unmöglich,
ein einziges Wort davon zu verstehen; ohne sie ist es ein vergebliches Umherirren in einem dunklen Labyrinth.1
Galileo Galilei in Die Goldwaage (1623)
Some people will be very disappointed if there is not an ultimate
theory, that can be formulated as a finite number of principles. I
used to belong to that camp, but I have changed my mind. I’m now
glad that our search for understanding will never come to an end,
and that we will always have the challenge of new discovery. Without it, we would stagnate. Gödels theorem ensured there would
always be a job for mathematicians. I think M theory will do the
same for physicists. I’m sure Dirac would have approved.
Stephen Hawking in Gödel and the end of physics (2003)
1
La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi
a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender
la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i
caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile
a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro
laberinto. (G. Galilei: Il Saggiatore, 1623)
Inhaltsverzeichnis
1 Die Mathematisierung der Physik
1.1 Fundamentale Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1
7
7
Offene Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 ’Philosophische’ Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1
Gödel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Vektor-Algebra
17
2.1 Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungsysteme . . . . . . 17
2.1.1
Rechnen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2
Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.3
Eigenwerte, Eigenvektoren einer Matrix . . . . . . . . . 22
2.2 Vektor-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1
Allgemeine Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2
Lineare Abängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.3
Basis des Vektorraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.4
Unterraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.5
Basiswechsel
2.2.6
Linearformen, Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.7
Inneres Produkt, Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . 33
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2
3
2.3.1
Transformation der Ableitung nach einer Komponente
39
2.4 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Koordinatensysteme
41
3.1 Cartesisches Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Schiefwinkeliges Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1
Zweidimensionaler Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2
Dreidimensionaler Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.3
Beziehung der ko- und kontravarianten Komponenten
eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.4
Das Transformationsverhalten eines Vektors . . . . . . 47
3.3 Krummlinige orthogonale Koordinatensysteme . . . . . . . . . 48
3.3.1
Vereinfachungen für orthogonale krummlinige Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.2
Ebene Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.3
Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.4
Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.5
n-dimensionale Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Begleitendes Dreibein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.1
Tangentenvektor ~t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.2
Bogenlänge s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4.3
Hauptnormalenvektor ~h, Binormalvektor ~b, Krümmung
κ, Torsion τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Kordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5.1
Translationen, und Rotation . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5.2
Inertialsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.5.3
Der Ereignisraum der klassischen Mechanik . . . . . . 72
3.5.4
Der Ereignisraum der speziellen Relativitätstheorie . . 75
4
4 Vektor-Analysis
82
4.1 Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.1
Skalare Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.2
Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2 Transformation der Ableitungen
. . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3 Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.1
Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.2
Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3.3
Volumsintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3.4
Der Gaußsche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3.5
Der Stokessche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4 Hauptsatz der Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.5 Gradient, Divergenz und Rotation in krummlinigen Koordinaten102
4.5.1
Gradient in krummlinigen Koordinaten . . . . . . . . . 102
4.5.2
Divergenz in krummlinigen Koordinaten . . . . . . . . 103
4.5.3
Rotation in krummlinigen Koordinaten . . . . . . . . . 104
4.5.4
Die Christoffelsymbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.5.5
Darstellung einer Gleichung in Kugelkoordinaten . . . 107
4.5.6
Schrödinger Gleichung und Produktansatz . . . . . . . 108
5 Gewöhnliche Differentialgleichungen
110
5.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1.1
Trennung der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1.2
Lineare Dgl 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.1.3
Homogene Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . 116
5.1.4
Differentialgleichungen, die sich auf homogene
zurückführen lassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5
5.2 Spezielle nichtlineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . 118
5.2.1
Bernoullische Dgl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.2.2
Riccatische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2.3
Exakte Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.2.4
Integrierender Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2.5
Lagrange und Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3 System von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.3.1
Konstante Matrix A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4 Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.4.1
Gleichungen in denen x nicht auftritt . . . . . . . . . . 126
5.5 Konstante Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5.1
Die Schwingungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.5.2
Koeffizienten t abhängig . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.5.3
Potenzreihenansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.5.4
Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6 Diracsche Delta-Funktion
132
6.1 Darstellung der δ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2.1
Die Stufenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7 Literatur
135
8 Übungen
136
6
Diese Zusammenstellung ist gedacht als Unterlage zur einer 2stg. Vorlesung Mathemathische Methoden der Physik die geblockt und mit 1 stg.
Übungen im SS2009 abgehalten wurde.
Da ich diese Vorlesung in dieser Form zum ersten mal gelesen habe ist es
klar, dass ich mir Gedanken gemacht habe was ein nächstes mal zu verbessern wäre;
(1) Der Modus der Vorlesung ist in meinen Augen nicht günstig, die Vorlesung sollte nicht geblockt werden und 3 std sein. Das würde es erlauben in
der Vorlesung mehr und umfangreichere Beispiele zu bringen. Die Übungen
sollten auf alle Fälle 2 stg sein.
(2) Was den Inhalt betrifft wurde ich diesen insbesondere am Anfang
der Vorlesung straffer gestalten. Die Einführung des Vektorraums und seiner Basis sowie des dualen Raums sollte gleich in einem in der Vorlesung
durchgezogene Formalismus geschehen. Es sollte Zeit sein für ausführlichere
Bemerkungen zur pseudoeuklidischen Geometrie insbesondere zum Minkowski Raum.
Die ko- und kontravariante Schreibweise insbesondere für die krummlinigen Koordinaten sollte klarer formuliert werden. Das bringt teilweise Probleme mit der verwendeten Literatur. Eine ausführliche Behandlung ist aber
für viele Themenkreise wichtig (z.Bsp für Bauingenieure, in der Kristallographie und klareweise in allen Bereichen die relativistische Formulierungen
verwenden).
(3) Bedauerlicherweise konnte aus Zeitgründen nicht mehr auf die δFunktion eingegangen werden, das Kapitel ist aber hinzugefügt.
(4) Seitenbemerkungen zur geschichlichen Entwicklung und der Wechselwirkung zwischen Mathematik und Physik sind für das Verständnis, warum
diese Vorlesung als Grundlage für den Besuch der Vorlesungen Theoretische
Physik gebraucht wird in stärkerem Ausmaß wünschenswert.
(5) Wer sich für Theoretische Physik interessiert, sollte während seines
Studiums Zeit finden Vorlesungen, gelesen von Mathematikern, zu besuchen
insbesondere auch aus Themenkreisen die der modernen (als dem 20. Jhdt.
angehörigen) Mathematik gewidmet sind.
(6) Insgesamt kann durch den Response der Studierenden eine Verbesserung der Unterlagen in didaktischer Hinsicht und durch Rückmeldungen der
Studierenden höhere Semester in inhaltlicher Hinsicht erreicht werden.
R. Folk Juni 2009
Kapitel 1
Die Mathematisierung der
Physik
1.1
Fundamentale Gleichungen
Newton (1687), Euler (1736) : 1. Vereinheitlichung: Himmelsgesetze, Gesetze
auf der Erde
Vektoralgebra, gewöhnliche Differentialgleichungen
d2~x(t)
~ x(t))
= K(~
(1.1.1)
dt2
Zitat: Kunzek, Lehrbuch der Physik mit mathematischer Begründung 1865.
Seite 2: Zur Kenntnis der obersten Naturgesetze gelangt man nicht auf dem
Wege der reinen Erfahrung, sondern nur an der Hand der Mathematik durch
strenge fortführende Schlüsse, die an feststehende aus Beobachtungen abgeleitete Gesetze anknüpfen werden. Auf diese Art fand Newton das Gravitationsgesetz, indem er von den drei Kepler’schen, aus der Beobachtung abgeleiteten
Gesetzen ausgegangen ist,..- Durch die erkannten obersten Naturgesetze erhalten erst die untergeordneten, auf dem empirischen Wege aufgefundenen
ihre vollkommene Begründung, und es wird möglich, tiefer in das Heiligthum der Natur vorzudringen, und die Grenzen der auf dem Erfahrungswege
erworbenen Kenntnisse immer mehr zu erweitern. So z. B. ergab sich aus
dem Gravitationsgesetze als nothwendige Folge, daß jeder Planet, in Folge
der Anziehung, mit welcher die anderen auf ihn wirken, in seiner elliptischen Bewegung kleine Störungen erleidet, welche mit den unvollkommene
astronomischen Instrumenten zu Kepler’s Zeiten nicht wahrgenom men werden konnten; dem Scharfsinn der Astronomen gelang es, die Instrumente
~
m~b = K
m
7
8
vollkommener zu machen, daß man nun diese durch Rechnungen gefunden
Störungen ungeachtet ihrer Kleinheit wirklich zu messen und von der Uebereinstimmung der berechneten Resultate mit den durch Messung gefundenen,
sich zu überzeugen vermag.
Maxwell (1864): 2. Vereinheitlichung Magnetismus, Elektrizität, Optik
~ = 4πρ
divE
~
~ + 1 ∂B = 0
rotE
c ∂t
~ =0
divB
~−
rotB
~
1 ∂E
4π
= ~j
c ∂t
c
(1.1.2)
(1.1.3)
Max Planck: Kleine Abweichungen unverstanden, Berechnung der thermodynamischen Größen im Rahmen einer unverstandenen Theorie, aber mit
mathematischen Methoden.
Schrödinger (1926)
∂Ψ(~x, t)
~2 2
=−
∇ Ψ(~x, t) + V (~x, t)Ψ(~x, t)
(1.1.4)
∂t
2m
Feynman Bemerkung über die ’Verstehbarkeit’ der Quantenmechanik. Mathematische Formulierung. Berechnete Aussagen. Experiment.
Zitat Lawrie, A unified grand tour of theoretical physics (1990):
While the mathematical developments which constitute quantum mechanics
have been outstandingly successful in describing all manner of observed matter, it is fair to say that the conceptual basis of the theory is still somewhat
obscure. I myself do not properly understand what it is that quantum theory
tells us about the nature of the physical world, and by this I mean to imply that I do not think that anybody else understands it either, though there
are respectable scientists who write with confidence on the subject. This need
not worry us unduly. There does exist a canon of generaly accepted phrases
which, if we do not examine them too critically, prove a reliable means of
extracting from the mathematics well defined predictions for the outcome of
any experiment we can conduct (apart, that is, from the difficulty of solving
the mathematical equations, which can be very great).
i~
Euler (1755), Navier-Stokes (1827, 1845): Fliegen, Fließen, Tubulenz
Feldtheorie, Nichtlineare Gleichungen Die vollständige Bewegungsgleichung
für eine zähe Flüssigkeit lautet damit
¶
µ
∂
∂
1 ∂
η
1 ∂ ∂
ζ ∂ ∂
∂
∂ ∂
vi +vk
vi = −
Φ−
p+
vi +
vk +
vk
∂t
∂xk
∂xi
ρ ∂xi
ρ ∂xk ∂xk
3 ∂xi ∂xk
ρ ∂xi ∂xk
oder in anderer Schreibweise
µ
¶
³ ´
∂
1
~
ρ ~v + ρ ~v ∇ ~v = −ρgradΦ − gradp + η∆~v + ζ + η graddiv~v
∂t
3
9
Als Millennium-Probleme bezeichnet man die am 24. Mai 2000 vom Clay Mathematics Institute in Cambridge veröffentlichte Liste von sieben ungelösten
mathematischen Problemen, für deren Lösung jeweils ein Preisgeld von 1
Million USDollar ausgelobt wurde. Eines dieser ungelösten Probleme soll in
diesem Vortrag vorgestellt werden, nämlich die globale Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen. Diese sind ein System
von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen und die Grundgleichungen der Strömungsmechanik, d.h., sie spielen eine wichtige Rolle in der Meteorologie, beim Bau von Flugzeugen, Autos oder Schiffen oder z.B. auch bei
Verbrennungsmotoren. Anhand einfacher Beispiele soll die Fragestellung veranschaulicht und die Relevanz des Problems für die Anwendungen erläutert
werden.
Literatur: Spektrum der Wissenschaft 04/09 Seite 78 Turbulenzen um die
Fluidmechanik von Thomas Sonar
Einstein (1915): Gravitationswellen, Schwarze Löcher
Rik −
R
8πG
gik + Λgik = 4 Tik
2
c
(1.1.5)
Ricci-Krümmungstensor, Ricci-Krümmungsskalar, metrischer Tensor (gesuchte Größe bestimmt Raum-Zeit), kosmologische Konstante, Gravitationskonstante, Lichtgeschwindigkeit, Energie-Impuld Tensor (Vorgabe)
F. Klein: What the modern physicists call ’theory of relativity’ (gemeint ist
die SRT) is the theory of invariants of forth dimensional space-time-region
x, y, z, t (Minkowski’s world) in relation to a definite group of collineations,
namely the ’Lorentz-goup’.
Die Raumzeit als differenzierbare Mannigfaltigkeit: topologische Eigenschaften; Vermeiden den Begriff Länge, wichtiger die Nachbarschaft (Bild deformierbare Gummifolie, je nach Deformation anderer Abstand). Die metrische
Struktur ist durch die physikalischen Eigenschaften bestimmt.
Lit.: Kapitel 2 (’Geometry’) in I. Lawrie, A unified grand tour of theoretical
physics, IOP (1990)
Eine Mannigfaltigkeit bezeichnet in der Mathematik einen topologischen
Raum, der lokal dem euklidischen Raum gleicht. In der Mathematik sind
differenzierbare Mannigfaltigkeiten ein Oberbegriff für Kurven, Flächen und
andere geometrische Objekte. Im Unterschied zu topologischen Mannigfaltigkeiten ist es auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten möglich, über Ableitungen und verwandte Konzepte zu sprechen. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind Hauptgegenstand der Differentialgeometrie. Sie spielen eine
zentrale Rolle in der theoretischen Physik, insbesondere in der klassischen
10
Mechanik bei Systemen, die Zwangsbedingungen unterliegen, und bei der
Beschreibung der Raumzeit in der allgemeinen Relativittstheorie.
Boltzmann (1872): Verhalten vieler Teilchen
Ã
ˆ
~
∂
~ x + K(~x) ∇
~v
+ ~v ∇
∂t
m
!
f (~x, ~v , t)
=
d3 v2 d3 v3 d3 v4 W (~v , ~v2 , ~v3 , ~v4 ) [f (~x, ~v3 , t)f (~x, ~v4 , t) − f (~x, ~v , t)f (~x, ~v2 , t)](1.1.6)
1.1.1
Offene Probleme
Die Stringtheorie ist ein Kandidat für eine konsistente Quantentheorie der
Gravitation und führt zugleich zu einer natürlichen Vereinigung mit den anderen Elementarteilchenkräften. Sie macht es wahrscheinlich, daß sich in einem Zwischenbereich (bevor der Begriff der Raum-Zeit-Geometrie sinnlos
wird) die effektive räumliche Dimension erhöht und die nicht-gravitativen
Naturkräfte als Krümmungseffekte in den unsichtbaren Dimensionen verstanden werden können. Während die Idee einer sehr kleinen fünften Dimension als geometrische Erklärung für Elektrizität und Magnetismus schon
seit den 20er Jahren existiert, brachte die quantenmechanische Dualität verschiedener Stringtheorien die neuartige Vorstellung mit sich, daß unsere beobachtbare Raum-Zeit nur eine niedrigdimensionale Kompenente in einem
höherdimensionalen Kontinuum sein könnte.
Die elementaren Freiheitsgrade der Stringtheorie sind eindimensionale
Objekte (strings = Saiten = Fäden mit Spannung). Wie eine eingespannte Saite besitzen sie Grund- und Oberschwingungen. Ihre (quantisierten)
Schwingungsmoden werden nun mit den Elementarteilchen identifiziert. Wie
im Bild gezeigt, können diese Ojekte wechselwirken, indem sich die durch ihre
Zeitentwicklung im Raum-Zeit Kontinuum überstrichenen Flächen (die sogenannten Weltflächen) in einem kontinuierlichen Prozeß vereinigen und wieder
aufspalten. So vereinheitlicht die Stringtheorie sowohl die verschiedenen Typen von Elementarteilchen (als Schwingungszustände eines fundamentalen
Objekts) als auch deren verschiedene Wechselwirkungen (durch die einfache
Dynamik der zweidimensionalen Weltfläche im Raum-Zeit Kontinuum).
Die Erweiterung der Wechselwirkungspunkte der Teilchenphysik zu glatten Wechselwirkungsbereichen liegt der Konsistenz der Stringtheorie bei kleinen Abständen zugrunde. Konsistenz bei großen Abständen erfordert Super-
11
symmetrie (Superstrings) und erklärt damit auch die Existenz der Fermionen
(etwas vereinfacht können wir die Fermionen = Fermi-Teilchen mit Materie
und die Bose-Teilchen mit Kraftfeldern identifizieren).
Bei sehr großer Spannung werden die Fädenßehr kurz (man kann hier an
die Plancklänge denken, obwohl die Längenskala der Stringtheorie durchaus
auch wesentlich größer sein könnte), und wir sehen bei entfernter Betrachtung nur noch die punktförmige Wechselwirkung punktförmiger Elementarteilchen.
Alternative dazu die Loop-Quantentheorie Literatur: Spektrum der Wissenschaft 05/09 Universum vor dem Urknall
M. Bojowald, Zurück vor den Urknall, S.Fischer Verlag 2009
1.2
’Philosophische’ Anmerkungen
Zur Philosophie siehe [1]: Als Anmerkung Descartes: Principia Philosophiae
1644 Newton Philosophiae Naturalis Principia Mathematica 1687 Russel Principia Mathematica1910
Aus: J. Hüfner und R. Löhken, Die Entwicklung der Physik von
Kopernikus bis zur Gegenwart
Die Geschichte der Physik im 16. und 17. Jahrhundert ist weitgehend eine Geschichte der großen Physiker. Da es kein wichtiges physikalisches Gesetz gibt,
das Descartes’ Namen trägt, und er eher als großer Philosoph und Mathematiker bekannt ist, müssen wir begründen, warum wir Descartes in unserer
Vorlesung behandeln. Als wir in den Personenregistern zweier Biographien
über Newton blätterten, waren wir überrascht, dass darin Descartes überaus
häufig zitiert wird, häufiger noch als Galilei und nur etwas weniger häufig als
Kepler. Das war für uns ein erster Hinweis darauf, dass Descartes einen großen
Einfluss auf Newton und damit auf die moderne Physik ausgeübt hat. Descartes’ Beitrag hat sich allerdings nicht in eigenen wichtigen physikalischen
Entdeckungen niedergeschlagen; seine Beiträge sind eher philosophischer und
mathematischer Natur wie die Forderung nach einer angemessenen wissenschaftlichen Methode und einer Mathematisierung der Physik. Beim übergang zu einer modernen Wissenschaft hat die Physik in der Tat ungeheuer
viel von der Philosophie profitiert. Deshalb behandeln wir Descartes auch
12
stellvertretend für viele andere bekannte Philosophen und Mathematiker wie
Francis Bacon (1561-1626), Blaise Pascal (1623-1662) und Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646-1716), die einen wesentlichen Einfluss auf die Entwicklung der
Physik hatten.
Aus: Walter Senn, Das Hirn braucht Mathematik
Was verhalf der Physik zum Durchbruch? In Anbetracht der zu erwartenden Umwälzungen in der Biologie ist es lohnenswert, einen Blick zurück auf
die Mathematisierung der Physik zu werfen. Auch hier, so die Hypothese,
wurden die wesentlichen Fortschritte erst auf der Basis von vereinfachenden
Modellannahmen ermöglicht. Den physikalischen Gesetzen liegt vor allem das
Bemühen um mathematische Reduktion zugrunde und weniger die Beschreibung der Natur, wie sie ist. Newton etwa formuliert diesen Leitgedanken,
aus welchem sein Kraftbegriff entstanden ist, in seinem 1643 entstandenen
Werk De gravitatione sehr explizit: Ich habe allerdings diese Definitionen
[Kraft = Masse Beschleunigung, Anm. d. Autors] nicht auf Physik, sondern
auf mathematische Berechnungen zugeschnitten, so wie ja auch geometrische
Definitionen von Figuren nicht auf die Unregelmässigkeiten von physischen
Körpern passen. Mit den mathematischen Berechnungen spielt Newton unter
anderem auf seine Herleitung der Planetenbahnen an, mit der er damals die
wissenschaftliche Gilde beeindruckt und sich den Zugang zur Royal Society
verschafft hatte. Aber was soll uns die Voraussage von Planetenbewegungen
interessieren, wenn dieser Kraftbegriff so schlecht auf die physischen Körper
zu passen scheint? Gemäss diesem Gesetz wird sich nämlich ein bewegter
Körper ohne Interaktionen unendlich lange mit gleicher Geschwindigkeit weiterbewegen eine Aussage, die unserer Alltagserfahrung widerspricht und mit
der sich gemäss verschiedenen Umfragen die Mehrzahl der Studierenden auch
heute noch schwertut. Demgegenüber setzte der damals vorherrschende aristotelische Kraftbegriff direkt an den beobachtbaren Grössen an. Er besagt
für jeden Körper ausserhalb des Vakuums völlig korrekt , dass ohne äusseren Krafteinfluss jeder sich bewegende Körper einmal zur Ruhe kommt.
Aber nicht immer führt die Beschreibung der Natur, wie sie sich uns zeigt,
zu den erwünschten Erkenntnissen. Der Vorteil des abstrakten Newtonschen
Kraftbegriffs liegt tatsächlich darin, dass er in seiner Einfachheit mathematische Berechnungen zulässt, die über das direkt Beobachtete hinausgehen.
Damit erlaubt er den Brückenschlag sowohl in den Makrokosmos der Planetenbahnen als auch in den Mikrokosmos der Wärmebewegung. Durch die
Stossgesetze kann nämlich die durchschnittliche Bewegungsenergie mikroskopischer Teilchen in einem Medium berechnet werden, und diese Energie
13
lässt sich mit der Temperatur identifizieren. Um etwa den Wärmefluss in
einem Raum zu beschreiben, ist es nun völlig irrelevant, wie die verschiedenen Luftmoleküle im Detail interagieren; nur die mittlere Stossenergie zählt.
Ein Bottom-up-Ansatz, der minuziös die Bewegung einzelner Moleküle nachzeichnet, hätte hier völlig in die Irre geführt. Der abstrakte Top-down-Begriff
hingegen ermöglicht den Schritt von der Stufe einzelner Stösse auf die Stufe
des Wärmeflusses, ohne die Komplexität der Beschreibung selber zu erhöhen.
Auf diese Weise erhalten wir eine Hierarchie von Theorien, die einzeln je eine
Organisationsstufe beschreiben und die es zugleich erlauben, Ursache und
Wirkung vertikal durch die verschiedenen Ebenen zu verfolgen. Es scheint
sich zu zeigen, dass auch in der Biologie Newtonsche Kraftbegriffe existieren
etwa das Konzept des Gens als Erbgut oder das Konzept der Nervenzelle als binäres Entscheidungselement , um die sich konsistente Theorien auf
verschiedenen Organisationsstufen herausbilden können.
Aus: W. Thirring, Lust am Forschen
...So begann ich langsam zu verstehen, worum es bei der modernen Mathematik geht, und mir dämmerte, dass ich mit meiner Mathematik im falschen
Jahrhundert war. Die Probleme der heutigen Physik lassen sich viel prägnanter in der Sprache der Mathematik des 20. Jahrhunderts formulieren als in
derjenigen des 19. Jahrhunderts.
1.2.1
Gödel
Der ersten Gödelsche Unvollständigkeitssatz besagt, dass in einem widerspruchsfreien Axiomensystem, das genügend reichhaltig ist, um die Arithmetik (natürliche Zahlen) in der üblichen Weise aufzubauen und das überdies
hinreichend einfach ist, es immer Aussagen gibt, die aus diesem weder bewiesen noch widerlegt werden können. Hinreichend einfach bedeutet dabei, dass
das Axiomensystem eine entscheidbare Menge ist. Als Zweiter Gödelscher
Unvollständigkeitssatz wird Gödels Korollar (Zusatz) zum ersten bezeichnet, wonach die Widerspruchsfreiheit eines solchen Axiomensystems nicht
aus dem Axiomensystem selbst ableitbar sein soll.
Bewertungen:
Jones and Wilson, An Incomplete Education: Gödel’s Theorem has been
used to argue that a computer can never be as smart as a human being because the extent of its knowledge is limited by a fixed set of axioms, whereas
14
people can discover unexpected truths ... It plays a part in modern linguistic
theories, which emphasize the power of language to come up with new ways
to express ideas. And it has been taken to imply that you’ll never entirely
understand yourself, since your mind, like any other closed system, can only
be sure of what it knows about itself by relying on what it knows about itself.
Rucker, Infinity and the Mind: Although this theorem can be stated and proved in a rigorously mathematical way, what it seems to say is that rational
thought can never penetrate to the final ultimate truth ... But, paradoxically,
to understand Gödel’s proof is to find a sort of liberation. For many logic
students, the final breakthrough to full understanding of the Incompleteness
Theorem is practically a conversion experience. This is partly a by-product
of the potent mystique Gödel’s name carries. But, more profoundly, to understand the essentially labyrinthine nature of the castle is, somehow, to be
free of it.
Hofstadter, Gödel, Escher, Bach: The other metaphorical analogue to Gödel’s
Theorem which I find provocative suggests that ultimately, we cannot understand our own mind/brains ... Just as we cannot see our faces with our own
eyes, is it not inconceivable to expect that we cannot mirror our complete
mental structures in the symbols which carry them out? All the limitative
theorems of mathematics and the theory of computation suggest that once the ability to represent your own structure has reached a certain critical
point, that is the kiss of death: it guarantees that you can never represent
yourself totally.
Stanley Jaki, followed much later by Stephen Hawking and others, argue
that (an analogous argument to) Gödel’s theorem implies that even the most
sophisticated formulation of physics will be incomplete, and that therefore
there can never be an ultimate theory that can be formulated as a finite
number of principles, known for certain as ’final’.
Aber,
Torkel Franzen dagegen bezweifelt in die Relevanz der arithmetischen Unvollständigkeit für die Aussagen einer solchen Theorie:
Gödels theorem only tells us that there is an incompleteness in the arithmetical component of the theory. The basic equations of physics, whatever they
may be, cannot indeed decide every arithmetical statement, but whether or
not they are complete considered as a description of the physical world, and
what completeness might mean in such a case, is not something that the
incompleteness theorem tells us anything about.
Die Gödelsche Unvollständigkeit eines formalen Systems bedeutet, dass
das System Sätze enthält, die als Aussagen über die natürlichen Zahlen interpretiert werden können und für die aus den Axiomen weder die Sätze
15
selbst noch deren Negationen abgeleitet werden können. Eine widerspruchsfreie TOE, die gewisse elementare Arithmetik erlaubt, würde damit manche
Gleichungen prinzipiell nicht entscheiden können.
Die physikalische Welt an sich kennt keinen Status ”unentscheidbar” könnte eine TOE dann nicht ebenfalls ohne einen solchen auskommen? Das
würde bedeuten, dass mindestens eine der beiden Voraussetzungen für Gödels
Satz in dieser Theorie nicht erfüllt wäre. Da die physikalische Welt auch den
Status ”widersprüchlich” nicht kennt, bliebe nur, die Annahme aufzugeben,
dass die TOE gewisse elementare Arithmetik enthält. Das heißt: Sie dürfte
unter keiner Interpretation eine Theorie der natürlichen Zahlen enthalten.
Was bleibt? Erstaunlich viel. Es gibt beispielsweise ein Axiomensystem
für die elementare Arithmetik der reellen Zahlen, das vollständig und widerspruchsfrei ist! Die Axiome dieses Systems ermöglichen es nicht, die natürlichen Zahlen als Untermenge herauszupicken. Aber braucht die Physik die
natürlichen Zahlen und deren Mathematik? Anders gefragt: Kennt die wirkliche Welt natürliche Zahlen?
Literaturverzeichnis
[1] E. Scheibe, Die Philosophie der Physiker, Beck Verlag (2006)
[2] J. Hüfner und R. Löhken, Die Entwicklung der Physik von Kopernikus
bis zur Gegenwart Vorlesung Universität Heidelberg WS 2006/07
[3] W. Senn, Das Hirn braucht Mathematik, Neue Züricher Zeitung
20.12.2008
[4] W. Thirring, Lust am Forschen, Seifert Verlag, Wien 2008
[5] St. L. Jaki, A late Awakening to Gödel in Physics
[6] St. Hawking, Gödel and the end of physics
[7] T. Franzen, Gödel’s Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, A. K. Peters, Ltd. (2005)
[8] Ch. Henning, Ein konstruktiver Blick auf mathematische Modelle
[9] Spektrum Spezial 2/08, Ist MATHEMATIK die Sprache der Natur?
[10] F. Klein Vorlesungen Über Die Entwicklung Der Mathematik Im 19.
Jahrhundert Nachdruck der Ausg. 1926-27. Springer, Bln. 1979 (Die
Grundlehren d. math. Wiss., Bd. 24-25)
16
Kapitel 2
Vektor-Algebra
2.1
Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungsysteme
LP/Kapitel 1. Auflage Kapitel 5, 2. Auflage Kapitel 3
F. A. Graybill, Introduction to Matrices with Applications in Statistics, Wadsworth Pub. (1969)
2.1.1
Rechnen mit Matrizen
n × m-Matrix, Zeile n, Spalte m


a11 . . . a1m

..
..  = (a )
A =  ...
ij
.
. 
an1 . . . anm
(2.1.1)
Multiplikation = Zeile mal Spalte; also mit einer m × p-Matrix gibt n × pMatrix.
Beispiele: Matrix mal Vektor
’Vektoren’ Multiplikation Zeilenvektor mit n Elementen mal Spaltenvektor
17
18
mit n Elementen



~a~b = (a1 , a2 , . . . , an ) 

b1
b2
..
.
bn

n
 X

=
= ai bi = ai bi

 i=1
(2.1.2)
Einsteinsche Summenkonvention; über doppelt vorkommende Indizes wird
summiert
Quadratische Matrizen, symmetrische Matrix
19
Einheitsmatix (I)kl = δkl
(IA)kl =
n
X
δkm aml ≡ δkm aml = akl = (A)kl
(2.1.3)
m
Darstellung von Matrizen: Matrix mit Nebendiagonale Verwendung der Summekonvention und ’Komponentenschreibweise’


0 a1 0 0
 0 0 a2 0 

(A)kl = ak δkl−1 → 
(2.1.4)
 0 0 0 a3 
0 0 0 0
Berechnen

(A2 )km = ak δkl−1 al δlm−1 = ak am−1 δkm−2
→
0
 0

 0
0

0 a1 a2
0
0 0 a2 a3 

0 0
0 
0 0
0
(2.1.5)
Spur einer Matrix
SpA = T rA = aii
(2.1.6)
Eigenschaften (endlichdimensionale Matrizen):
SpAB = aik bki = bki aik = SpBA
(2.1.7)
Allgemeiner: Unter der Spur kann zyklisch vertauscht werden.
In der Quantenmechanik hat man es mit unendlich dimensionalen Matrizen zu tun. Die klassische Arbeit dazu W. Heisenberg, Über die quantenmechanische Umdeutung kinematischer und quantenmechanischer Beziehungen,
Z. Phys. 33, 879 (1925) [die ’Helgoland’ Publikation]; eine Einführung in die
benötigten mathematischen Methoden wurde in M. Born und P. Jordan, Zur
Quantenmechanik, Z. Phys. 34, 858 (1925) gegeben.
Wichtiger Satz: Wenn die Spur eines Produkts von Matrizen endlich ist,
so bleibt sie unverändert bei zyklischer Vertauschung der Faktoren. Dies wird
sehr häufig verwendet. D.h. die Spur des Produkts nicht vertauschbarer Matrizen muss notwendigerweise unendlich sein, die betrachtetetn Matrizen also
niemals endlichdimensional.
Der Beweis benützt die Vertauschbarkeit der Summation unendlicher Reihen, dies ist nur erlaubt wenn die Reihe einen endlichen Wert hat.
20
Beispiel (harmonischer Oszillator): Gegeben die beiden Matrizen A und B =
AT
½ √
√
√
k für l = k + 1
akl =
= kδkl−1
bkl = alk = k − 1δkl+1
0
für l 6= k + 1
(2.1.8)
dann ist
AB − BA = I
(2.1.9)
Beweis:
(AB)km =
(BA)km =
X√
X√
√
kδkl−1 l − 1δlm+1 = kδkm
(2.1.10)
l
√
k − 1δkl+1 lδlm−1 = (k − 1)δkm
(2.1.11)
l
Anwendung: Heisenbergsche Unschärfe Relation; Ort und Impuls eines Teilchen ist nicht gleichzeitig meßbar.
Lit.: H. S. Green, Quantenmechanik in algebraischer Darstellung, Springer
Heidelberger Taschenbücher 13 (1966)
Rechnet man

0
 0
A=
 0
0
aber mit endlichen Matrizen gilt


1 √0
0
0 0
0


1 √0
0
0
2 √0 
B=


0
2
0
0 0
3
√
0 0
0
3
0 0

0
0 

0 
0
(2.1.12)
dann ist

1
 0
AB = 
 0
0
0
2
0
0
0
0
3
0

0
0 

0 
0

0
 0
BA = 
 0
0
0
1
0
0
0
0
2
0

0
0 

0 
3
(2.1.13)
Es gilt SpAB = SpBA = 6 und

1
 0
AB − BA = 
 0
0
also Sp(AB − BA) = 0.
0
1
0
0

0 0
0 0 

1 0 
0 −3
(2.1.14)
21
2.1.2
Inverse Matrix
AA−1 = I
µ
a11 a12
a21 a22
¶−1
Einschub: Determinanten
¯
¯ a11 . . . a1m
¯
¯
..
..
det(A) = ¯ ...
.
.
¯
¯ an1 . . . anm
1
=
det A
µ
(2.1.15)
a22 −a12
−a21 a11
¶
¯
¯
¯
X
¯
²α,β,...,ω a1α a2β . . . anω
¯=
¯
¯ P erm
(2.1.16)
(2.1.17)
²α,β,...,ω = ±1 je nachdem ob gerade oder ungerade Permutation von 1, 2, . . . , n.
Lapalce-Entwicklung: Entwickeln nach der ersten Zeile oder Spate. Summe
über alle Zeilen(Spalten)elemente; Element mal Determinante der Matrix,
in der die dem Zeilen(Spalten)element entsprechende Zeile und Spalte gestrichen ist mal einem Vorzeichen (−1)i+k . Da die ausgewählte Zeiel(Spalte)
beliebig ist, wählt man die mit den wenigsten von Null verschiedene Elementen oder auch andere Gesichtspunkte (z.Bsp kleine Größen).
Multipliziert man eine Zeile(Spalte) mit k so multipliziert sich die Determinante mit k. Eigenschaften: Spalten oder Zeilen vertauschen, dann ändert
sich das Vorzeichen der Determinante. Sind zwei Zeile(Spalten) gleich (ja
proportional) so ist die Determinante Null. Daraus folgt dass man von einer
Zeile einer Determinant das Vielfache einer anderen Zeile abziehen kann ohne
ihren Wert zu verändern.
det A = det AT
det AB = det BA = det A det B
(2.1.18)
Nun zur inversen Matrix (klar det(A) 6= 0, nichtsinguläre Matrix)
(A−1 )ij =
adj(A)
1
Cji =
det(A)
det(A)
(2.1.19)
wo Cji das Matrixelement ist, das durch die Determinante der Matrix gegeben
ist, die aus A durch Streichung der j-ten Zeile und i-ten Spalte mit dem
Vorzeichen (−1)i+j entsteht. Also C ist die transponierte Comatrix von A
22
oder auch

2
A= 0
1
adjungierte Matrix. Beispiel:





3 −4
−18 2
4
−18 −11 −10
−4 2  C =  −11 14 5  adj(A) =  2
14 −4 
−1 5
−10 −4 −8
4
5
−8
(2.1.20)
nun ist det(A) = −46 also ist


9
5.5 5
1 
−1 −7 2 
A−1 =
(2.1.21)
23
−2 −2.5 4
Ferner gilt
(AT )−1 = (A−1 )T
(AB)T = BT AT
(2.1.22)
Aus der letzten Beziehung folgt leicht die erste
I = AA−1 = (AA−1 )T = (A−1 )T AT
2.1.3
(2.1.23)
Eigenwerte, Eigenvektoren einer Matrix
Die Matrix führt einen Vektor in einen anderen über. Spezialfall dieser Vektor
ist ein Vielfaches des ursprünglichen Vektors, geht bei quadratischen Matrizen
Aij xi = λxi
(2.1.24)
Es soll λ reell sein. Wann geht das?
Satz: Wenn A = AT also die Matrix symmetrisch ist (wenn komplex dann
hermitisch Quantenmechanik) dann sind die Eigenwerte reel. Wenn das nicht
der Fall ist, dann kann das auch der Fall sein muss aber nicht.
Die Eigenvektoren als Spalten einer Matrix bilden eine nichtsinguläre Matrix,
die A diagonalisiert, wo die Diagonalelemente die Eigenwerte sind.
Einschub: Lineare Gleichungssysteme
Inhomogene Gleichungssysteme
A~x = ~b → ~x = A−1~b
(2.1.25)
Voraussetzung A nichtsingulär. Lösung eindeutig. Wenn singulär nicht eindeutig, da zu einer speziellen Lösung der inhomogenen gleichung, eine Lösung
23
der homogenen Gleichung dazu addiert werden kann. Ansonsten können die
Gleichungen widersprüchlich sein (keine Lösung) oder die Gleichungen sind
linear abhängig (Ebene oder Gerade als Lösung).
Homogene Gleichungssysteme und Eigenwertprobleme
Um eine nichttriviale Lösung ~x 6= 0 für ein homogenes Gleichungssystem zu
erhalten ist das Verschwinden der Systemdeterminante notwendig
A~x = 0
und
|A| = 0
(2.1.26)
Zurück zur Bestimmung der Eigenwerte:
Es muss die Determinante der Systemmatrix des homogenen Gleichungssystems Null sein
|A − λI| = 0
(2.1.27)
Das ist ein Polynom n-ten Grades (die charakteristische Gleichung von A);
n Eigenwerte
Bestimmung der Eigenvektoren:
Löse für den i-ten Eigenwert die Homogene Gleichung
(A − λi I)~x = 0
(2.1.28)
das gibt den Eigenvektor ~xi . Der Eigenvektor ist bis auf einen Skalenfaktor
bestimmt.
Beispiel: LP 1.A. Seite 207 2. A Seite 116
¶
µ
10 −3
λ1 = 1
λ2 = 11
(2.1.29)
A=
−3 2
det(A − λI) = (10 − λ)(2 − λ) − 9 = 0
λ2 − 12λ + 11 = 0
(2.1.30)
(2.1.31)
Die Eigenvektoren sind :
µ
µ
9 −3
−3 1
−1 −3
−3 −9
¶µ
¶µ
x
y
x
y
¶
= 0
(2.1.32)
= 0
(2.1.33)
¶
24
Normieren von
~xT1 = (1, 3)
gibt
~xT2 = (1, −1/3)
(2.1.34)
√
√
~eT2 = (3/ 10, − 10)
(2.1.35)
und
√
√
~eT1 = (1/ 10, 3/ 10)
Bilden Matrix U aus den normierten Eigenvektoren. Man kann nun zeigen,
dass die Matrix U die Matrix A diagonalisiert


λ1 0 . . . 0
 0 λ2 . . . 0 


U = (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn )
UT AU =  ..
(2.1.36)
..
..
.. 
 .
.
.
. 
0 0 . . . λn
Beweis:
AU = (A~x1 , A~x2 . . . A~xn ) = (λ1~x1 , λ2~x2 , . . . , λn~xn )
(2.1.37)
Ferner: wenn alle Eigenwerte reel sind (das is hier der Fall), dann sind die
Eigenvektoren orthogonal, ~xi~xTj = 0 für i 6= j (Wenn nicht entartet, also
mehrfache Eigenwerte) Also
 
0


. 

~x1
 .. 


 
UT ~xi =  ...  ~xi =  1 
(2.1.38)
 . 
 .. 
~xn
0
UT (λ1~x1 , λ2~x2 , . . . , λn~xn ) = (λ1 UT ~x1 , λ2 UT ~x2 , . . . , λn UT ~xn )(2.1.39)


λ1 0 . . . 0
 0 λ2 . . . 0 


=  ..
..
..
.. 
 .
.
.
. 
0 0 . . . λn
Allgemeiner gilt bei nicht orthogonalen und nicht normierten Eigenvektoren
dass für die Matrix aus den Eigenvektoren
P = (~x1 , ~x2 , . . . , ~xn )
gilt



P AP = 

−1
λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
..
..
..
..
.
.
.
.
0 0 . . . λn
(2.1.40)





(2.1.41)
25
Matrixfunktionen, Übermatrizen
Matrixfunktionen durch Potenzreihe definiert:
1
exp(A) = 1 + A + A2 + . . .
2
oder
(I + A)−1 = 1 − A + A2 − . . .
(2.1.42)
(2.1.43)
Eine Matrix kann eine bestimmte Struktur haben, so dass es von Vorteil ist
die Matrix als Matrix von Matrizen zu schreiben
µ
¶
A11 A12
A=
(2.1.44)
A21 A22
Die Inverse dieser Matrix ist (alle Inversen sollen existieren)
Ã
¡
¢−1
¡
¢−1 !
−1
−1
−1
A11 − A12 A22 A21
−A11 A12 A22 − A21 A11 A12
¡
¢−1
¡
¢−1
A−1 =
−1
−1
−A22 A21 A11 − A12 A22 A21
A22 − A21 A−1
11 A12
(2.1.45)
Beweis Übung
Weitere Eigenschaften von Matrizen
Die Diagonalisierung einer Matrix läßt die Spur invariant
n
X
¡ T ¢
¡ T ¢
Sp U AU = Sp UU A = Sp(A) =
λi
(2.1.46)
i=1
Ferner
n
Y
¡
¢
¡
¢
det UT AU = det UUT A = det(A) =
λi
(2.1.47)
i=1
Daraus folgt für Matrixfunktionen
¡
¢
¡
¢
det(F (A)) = det UT F (A)U = det F (UT AU)


F (λ1 )
0
...
n
 0
F (λ2 )
... 

 Y
F (λi )
det(F (A)) = det 
=
..
..
..

 i=1
.
.
.
0
...
F (λn )
(2.1.48)
(2.1.49)
Also für den Spezialfall der Exponentialfunktion gilt
det(exp(A)) = exp(Sp(A))
Alles analog mit P statt U und P−1 statt UT .
(2.1.50)
26
Das Levi-Civita-Symbol (Epsilon Tensor)
Das Levi-Civita-Symbol εijk , auch Permutationssymbol, (ein wenig nachlässig) total antisymmetrischer Tensor oder Epsilon-Tensor genannt, ist ein
Symbol, das in der Physik bei der Vektor- und Tensorrechnung ntzlich ist.
Das Symbol bezeichnet die Komponenten eines Tensors n-ter Stufe. Es ist
benannt nach dem italienischen Mathematiker Tullio Levi-Civit (1873-1941).
In der Mathematik spricht man stattdessen meist vom Vorzeichen der entsprechenden Permutation. Seine Definition lautet

 +1 für (ijk) eine gerade Permutation von (123)
−1
für (ijk) eine ungerade Permutation von (123)
εijk =

0
sonst
(2.1.51)
Eigenschaften:
¯
¯
¯ δ1i δ1j δ1k ¯
¯
¯
εijk = ¯¯ δ2i δ2j δ2k ¯¯
(2.1.52)
¯ δ3i δ3j δ3k ¯
Beispiel:
ε231
¯
¯ δ12 δ13 δ11
¯
= ¯¯ δ22 δ23 δ21
¯ δ32 δ33 δ31
¯ ¯
¯ ¯ 0 0 1
¯ ¯
¯=¯ 1 0 0
¯ ¯
¯ ¯ 0 1 0
¯
¯
¯
¯
¯
¯ = +1 ¯ 1 0
¯
¯ 0 1
¯
¯
¯
¯=1
¯
(2.1.53)
Hinweis: Man entwickle nach der ersten Zeile.
Abbildung 2.1: Darstellung des Epsilon Tensors
Es gilt:
εijk εimn = δjm δkn − δjn δkm
εijk εijn = 2δkn
εijk εijk = 6
(2.1.54)
(2.1.55)
(2.1.56)
Für eine 3×3 Matrix gilt
det(A) = εijk a1i a2j a3k
(2.1.57)
27
Verallgemeinerung in n Dimensionen
εi...n

 +1 für (i . . . n) eine gerade Permutation von (12 . . . n)
−1
für (i . . . n) eine ungerade Permutation von (12 . . . n)
=

0
sonst
(2.1.58)
Mit dieser Verallgemeinerung ist die Determinante einer n × n Matrix
det A = εi1 ...in a1i1 . . . anin
2.2
(2.1.59)
Vektor-Raum
Lit: Lichnerowicz, Einführung in die Tensoranalysis BI Hochschultaschenbuch 77* (1966), Kapitel 1
2.2.1
Allgemeine Definition
Siehe LP 1.A. M5.5 Seite 175 2.A. M3.4 Seite 84
Menge von Elementen x ∈ V die eine Abelsche Gruppe bilden (d.h. es gibt
eine kommutative Addition der Elemente). Ferner einen Zahlenkörper A (d.h.
es gibt eine additive und multiplikative Verknüpfung) und eine Verknüpfung
der Elemente α von A mit den Elementen von V (αx ∈ V und gelten dann
folgende Eigenschaften
x+y =y+x
x+0=x
α(x + y) = αx + αy
(α + β)x = αx + βx
x + (−x) = 0 (2.2.1)
α(βx) = (αβ)x (2.2.2)
V ist ein Vektorraum über A oder auch eine linearer Vektorraum. Nullelement, inverses Element
Fragen: Kann ein Vektorraum leer sein? Antwort nein, denn 0 is drin.
D.h. ein Vektorraum kann aus einem Element bestehen, nämlich 0.
Bilden die Tripel (t,2t,s) mit t,s ∈ R einen Vektorraum?
Antwort: Summe ist wieder ∈ Vektorraum; Nullelement ∈ Vektorraum; inverses Element (-t,-2t,-s) ∈ Vektorraum; α(t,2t,s) ∈ Vektorraum und entsprechende Gesetze gelten. Also Antwort JA.
28
n-tupel
Menge K n der geordneten n-tupel von reellen Zahlen
x = (x1 , . . . , xn )
(2.2.3)
’Vektoren’
n-dimensionaler euklidischer Raum, freie Vektoren (später); n-komponentiger
Vektor (Komponenten, Koordinatensystem, Metrik) Stellung der Indizes später
Bedeutung ob ’oben’ oder ’unten’. Jetzt noch schlampig.
x ≡ ~x ≡ x = (x1 , x2 , . . . , xn )
(2.2.4)
Die xi heißen Komponenten des Vektors (Es sind freie Vektoren, später werden auch gebundene Vektoren [Angriffspunkt festgelegt] betrachtet, das sind
solche die von einem Punkt zu einem anderen Punkt gehen [geordnetes Paar
von Punkten]). Dreidimensionale Vektorn; darstellen als Pfeile mit Länge
und Richtung. Länge und Richtung ist noch ohne Sinn.
Matrizen
Funktionenraum
die über einem Intervall [a, b] stetigen Funktionen einer Variablen f (x).
2.2.2
Lineare Abängigkeit
Summe zweier Elemente (Vektoren)
Wähle m Elemente des Vektorraums (nicht zu verwechseln mit Komponenten
eine Vektors im euklidischen Raum) x1 , . . . , xm und bilde eine Linearkombination
m
X
λi xi
(2.2.5)
i
Wenn diese Linearkombination das Nullelement nur dann ergibt, wenn alle
λi Null sind, heißen die m Elemente linear unabhängig.
Kräftezerlegung: Einen Vektor in zwei vorgegebene zerlegen.
Beispiele: Ebene aufspannen; Unterraum
29
Lineare Unabhängigkeit im Funktionenraum LP 1.A. Seite 353 2.A. Seite 93
Frage sind die Funktionen
cos x
sin x
sin(1 + x)
(2.2.6)
linear abhängig? Zu zeigen ist dass
λ1 cos x + λ2 sin x + λ3 sin(1 + x) = 0
(2.2.7)
eine nichtriviale Lösung hat. Nun ist wegen
sin(1 + x) = sin 1 cos x + cos 1 sin x
(2.2.8)
eine nichttrivale Lösung möglich mit λ1 = sin 1, λ2 = cos 1 und λ3 = −1.
Also sind sie linear abhängig.
Lineare Unabhängigkeit und Vollständigkeit: Beispiel: gerade und ungerade
Funktionen.
Leitet man die Bedingung für die lineare Unabhängigkeit mehrfach ab so
erhält man
n
X
∂ j fk (x)
λk
=0
(2.2.9)
j
∂x
k=1
Damit kann man genügend homogene Gleichungen konstruieren für die n λs.
Für eine nichttriviale Lösung muss die Systemmatrix Null sein. Dies ist die
Wronski Determinante
¯
¯
¯ f1 (x)
¯
.
.
.
f
(x)
n
¯
¯
¯
¯
..
..
..
(2.2.10)
¯
¯
.
.
.
¯ (n−1)
¯
(n−1)
¯ f1
¯
(x)
(x) . . . fn
Also die Funktionen sind linear abhängig wenn die
wenigsten an einem Punkt Null ist. Für das Beispiel
¯
¯ cos(x)
sin(x)
sin(1 + x)
¯
¯ − sin(x) cos(x)
cos(1 + x)
¯
¯ − cos(x) − sin(x) − sin(1 + x)
Wronski Determinante
¯
¯
¯
¯=0
¯
¯
(2.2.11)
Das bedeutet abe nicht das Umgekehrte, die Wronski Determinante kann
auch Null sein wenn die Funktionen nicht linear abhängig sind.
Hinweis: Ein Satz von Funktionen bildet ein Fundamentalsystem von Lösungen eines Systems von Differentialgleichungen wenn die Wronski-Dterminante
ungleich Null ist.
30
2.2.3
Basis des Vektorraums
Die größtmögliche Anzahl von linear unabhängigen Vektoren bildet eine Basis. Dies ist nicht eindeutig aber jede Basis hat gleich viel Elemente. Die
Anzahl n dieser Basiselemente definiert die Dimension des Vektorraums.
Jeders Element des Vektorraums kann als Linearkombination der Basiselemente (Basisvektoren) bi , i = 1, . . . , n dargestellt werden. Also
a=
n
X
αi bi
(2.2.12)
i=1
Damit ist jedes Element durch eindeutig dargestellt. Man nehme das n-tupel
der αi (Komponenten bezüglich der Basis {b1 , . . . , bn } (affine Koordinaten,
Punktraum)
Beweis der Eindeutigkeit: Differenz ist das Nullelement das wird aber durch
die Basis nur in trivialer weise dargestellt (alle Komponenten Null.)
2.2.4
Unterraum
r linear unabhängige Vektoren als Basisvektoren des Unterraums Ur ; diese
sind durch Hinzufügen von weiteren Vektoren zur vollständigen Basis ergänzbar. Die ergänzenden Vektoren (br+1 , . . . , bn ) bilden eine Basis des komplementären Unterraums Un−r zu Ur .
2.2.5
Basiswechsel
Darstellung der Basisvektoren bi in der Basis b̃j
bi = Aij b̃j
(2.2.13)
liefert die Transformationsmatrix A (lineare Transformation).
a=
n
X
i=1
αi bi =
n
X
i=1
α̃i b̃i =
n
X
αi Aij b̃j → α̃j = αi Aij
(2.2.14)
i,j=1
Die Komponenten transformieren kontravariant (gegenläufig) zur Basis. Passive Transformation. Bei einer aktiven Transformation bleiben die Basisvektoren fest und der Vektor wird transformiert.
31
2.2.6
Linearformen, Dualraum
Lichnerowicz Kapitel III Seite 15;
Zieschgang, Lineare Algebra und Geometrie Kapitel 4.6 Seite 121
Zuordnung: jedem Element des Vektorraums wird eine reele Zahl zugeordnet
F (x) → F
(2.2.15)
F (x) + F (y) = F (x + y)
αF (x) = F (αx)
(2.2.16)
(2.2.17)
wobei gelten soll (Linearität)
Das nennt man eine Linearform über dem Vektorraum V . Die Linearform
eines Vektors x ist aus den Linearformen der Basisvektoren zu erhalten. So
bildet die Menge der Linearformen eines Vektors eines Vektorraums wiederum einen Vektorraum, den dualen Vektorraum V ? (auch konjugierter Raum).
Jeder endlich-dimensionale Vektorraum über den reellen oder komplexen
Zahlen ist selbstdual, d.h. der duale ist isomorph zum ursprünglichen Vektorraum.
Bezeichnung: die Linearformen der Basisvektoren des ursprünglichen Vektorraums seien
F (bi ) = fi dann ist F (x) = fi xi
(2.2.18)
denn wir schreiben nun genauer x = xi bi , also der Index steht oben für die
Komponenten in V. Zwei verschieden Linearformen eines Vektors lassen sich
addieren und multiplizieren
F (x) + G(x) = (fi + gi )xi = (F + G)(x)
αF (x) = αfi xi = (αF )(x)
(2.2.19)
Man kann die verschiedene Linearformen über einem Vektorraum durch ihre Komponenten bezüglich der Basisvektoren dieses Vektorraums darstellen,
also durch die n-tupel
(f1 , . . . , fn )
(2.2.20)
Dem dualen Vektorraum V ? ordnet man eine bestimmte die duale Basis
{b1? , . . . , bn? } zu.
n?
n?
1?
Diese Basis sind die n Linearformen {(b1?
1 , . . . , bn ), . . . , (b1 , . . . , bn )}, die der
Basis in V diese
(2.2.21)
bi? (bj ) = δ ij
Werte zuordnen. Also die Linearform b1? ordnet b1 Eins, allen anderen Basisvektoren aus V Null zu usw. Denn jede Linearform F ≡ (f1 , . . . , fn ) kann
dann als Summe dieser geschrieben werden
F (x) = xi F (bi ) = xi fi = xi fj bj? (bi ) = fj bj? (x)
(2.2.22)
32
Also die Komponenten von x in der Basis von V? sind die fi Komponenten
mit Index unten. Wir unterscheiden nun durch Stellung der Indizes in welchem Vektorraum eine Zerlegung in die Basisvektoren erfolgt. Hochgestellt
im ursprünglichen (x = xi bi ) tiefgestellt im Vektorraum der Linearformen.
Beispiel:
Vektorraum V = K n (Vektorraum der n-tupel) Die Linearform sei
f (x) = ai xi
(2.2.23)
Sei nun n = 2 und die Basisvektoren in V = K 2 b1 = (2, 1) und b2 =
(3, 1). Im dualen Vektorraum V ? = K 2? sind die Elemente die Linearformen
f (x) = a1 x1 + a2 x2 deren duale Basisvektoren sind die beiden Linearformen,
die erfüllen
f1 (b1 ) = 1
f2 (b1 ) = 0
f1 (b2 ) = 0
f2 (b2 ) = 1
(2.2.24)
(2.2.25)
3a11 + a12 = 0
3a21 + a22 = 1
(2.2.26)
(2.2.27)
d.h.
2a11 + a12 = 1
2a21 + a22 = 0
Das liefert die Lösungen
a11 = −1
a12 = 3
a21 = 1
a22 = −2
(2.2.28)
Die Basisvektoren sind also die Linearformen
b?1 = −x1 + 3x2
b?2 = x1 − 2x2
(2.2.29)
Explizit überprüfen durch Einsetzen der x-Komponenten vob b1 und b2 . Jede
Linearform in K 2? läßt sich als Linearkombination dieser beiden Linearformen schreiben (x = xi bi ). Den Stern haben wir jetzt weggelassen.
Das Transformationsverhalten bei Basiswechsel: Da x gleich bleibt so auch
F (x) daher bleibt auch xi fi gleich
xi fi = x̃i f˜i
(2.2.30)
Also transformieren sich die Komponenten fi gleich wie die Basisvektoren bi
und die Komponenten xi wie die dualen Basisvektoren bi? .
Im Vektorraum der quadratischen Matrizen ist eine Linearform durch die
Spur der Matrix definiert Sp(A) denn es gilt
Sp(A) + Sp(B) = Sp(A + B)
Sp(αA) = αSp(A)
(2.2.31)
33
2.2.7
Inneres Produkt, Skalarprodukt
Das Skalarprodukt erlaubt es den ursprünglichen Vektorraum V zu einem
euklidischen Vektorraum E zu erweitern.
Jedr euklidische Raum ist selbstdual (Zieschang Seite 197)
Ordnet zwei Elementen des Vektorraums einen Skalar zu < x, y >. Das
Skalrprodukt ist eine symmetrische positiv definite Bilinearform. Es gelten
folfgende Regeln
< (x + y), z >=< x, z > + < y, z >
< x, (y + z) >=< x, y > + < x, z >
< x, λy >=< λx, y >= λ < x, y >
< x, y >=< y, x >
< x, x > ≥ 0
< x.x >= 0 → x = 0
(2.2.32)
(2.2.33)
(2.2.34)
(2.2.35)
(2.2.36)
positiv definit; wenn nicht siehe z.Bsp. Minkowski Vektorraum
Durch die Definition des Skalarprodukts wird der reele Vektorraum zu einem
euklidischen Vektorraum. Zuerst allgemein, dann in Ebene mit Winkel.
√
Norm: mißt Länge ||a|| = < a, a >
Winkel: < a, b >= ||a||||b|| cos θ
Vorr.: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung | < x, y > |2 ≤< x, x >< y, y >;
Gleichheit bei linearer Abhängigkeit. Es folgt die Dreicksungleichung
||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||
(2.2.37)
n-tupel
Das Sklarprodukt zweier n-tupel x, y schreibt man
< x, y >= xi yi
(2.2.38)
’Vektoren’
Das Sklarprodukt zweier Vektoren x und y schreibt man
< x, y >= ~x · ~y = xi y j~bi · ~bj = xi y j gij
(2.2.39)
Es wurden die Vektoren auf eine Basis bezogen und die Skalarprodukte der
Basisvektoren gij eingeführt. Diese quadratische Matrix g wird als Metriktensor noch tiefere Bedeutung gewinnen. Er ist symmetrisch. Es soll ferner
34
gelten,wenn
< x, y >= 0
für alle x dann folgt
y=0
(2.2.40)
Das heißt aber dass das lineare Gleichungssystem gij yj = 0 nur die Lösung
y = 0 hat also dass
det g 6= 0
(2.2.41)
sein muß.
Funktionenraum
Das Skalarprodukt zweier Elemente f und g aus dem Funktionenraum der
quadratintegrablen Funktionen über dem Intervall [a, b], L2 (R,R)
ˆ
< f, g >= f (x)g(x)dx
(2.2.42)
unendlich dimensionaler Hilbertraum.
(s)
(s)
Anderes Beispiel: Basis en = sin(nt), em = cos(mt) n, m ∈ 1, 2, . . . im Intervall [−π, π]. Alle Funktionen v, w, die sich aus den Basisvektoren aufbauen
lassen (Fourier-Reihen)
ˆ
1 π
< v, w >=
v(t)w(t)dt
(2.2.43)
π −π
(s)
(c)
Beispiel: Zeigen Sie, dass die Basisvektoren {e1 , . . . , e1 , . . .} ein orthonormiertes System von Basisvektoren bildet.
Lösung: Es ist zu zeigen:
ˆ
ˆ
1 π
1 π
2
sin (nt)dt =
cos2 (nt)dt = 1
(2.2.44)
π −π
π −π
ˆ
1 π
sin(nt) cos(mt)dt = 0
(2.2.45)
π −π
ˆ
1 π
sin(nt) sin(mt)dt = 0
n 6= m
(2.2.46)
π −π
ˆ
1 π
cos(nt) cos(mt)dt = 0
n 6= m
(2.2.47)
π −π
Klar denn
1
π
ˆ
π
1
sin (nt)dt =
π
−π
2
ˆ
π
11
cos (nt)dt =
2π
−π
2
ˆ
π
1dt = 1 (2.2.48)
−π
35
Für die übrigen Relationen benütze die Additionstheoreme der Winkelfunktionen und ihre Periodizität. Partielle Integration (Kleine Math. Enzxklopädie
Seite 545, dort Intervall [0,2π])
Integrationstafeln und sonstiges:
Abramowitz, Stegun, Handbook of Mathematical Functions
Gradshteyn, Ryzhik, Tables of Integrals, Series and Products
Dwight, Tables of Integrals and other Mathematical Data
Klassisch die Intgraltafeln von Hofreiter (Ehrensenator unserer Uni).
Orthonormierte Funktionensysteme: Spezielle Polynome vom Grad n definiert durch das Skalarprodukt
Achtung: Index n, m = 0, 1, . . .
Hermitesche Polynome
´∞
−∞
√
2
e−x Hn (x)Hm (x)dx = δmn π2n n!
1, 2x, 4x2 − 2
Legendre-Polynome 1. Art
´1
−1
2
Pn (x)Pm (x)dx = δmn 2n+1
1
1, x, (3x2 − 1)
2
Laguerre-Polynome
´∞
0
e−x Ln (x)Lm (x)dx = δmn
1
1, 1 − x, 1 − 2x + x2
2
Tschebyscheffsche Polynome
´1
√ 1
T (x)Tm (x)dx
−1 1−x2 n
½
= δmn
π
π
2
1, x, 2x2 − 1
Orthonormieren
Zwei Elemente ungleich Null eines euklidischen Vektorraumes heißen orthogonal. wenn ihr inneres Produkt verschwindet. Ein Element eines Vektorraums
heißt normiert wenn
< x, x >= 1
(2.2.49)
Ist die Norm eines jeden Vektors verschieden vom Nullvektor positiv so heißt
der Vektorraum eigentlich euklidisch. Dann ist die quadratische Form gij xi xj
positiv definit. D.h. alle Eigenwerte von g positiv.
36
Man kann durch das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren
immer eine orthonormale Basis im euklidischen Vektorraum einführen. Beweis: Sei eine Basis {b1 , . . . , bn } gegeben. Dann sei e1 = b1 /kb1 k der erste
normierte Basisvektor der neuen Basis, der zweite ergibt sich aus dem Vektor
c2 = b2 − < b2 e1 > e1
(2.2.50)
der keine Komponente bezüglich e1 enthält, durch Normierung, also
e2 = c2 /kc2 k
(2.2.51)
So konstruiert man weiter durch Abziehen der Komponenten bezüglich der
schon konstruierten orthonormalen Vektoren. also der dritte ergibt sich aus
c3 = b3 − < b3 e2 > e2 − < b3 e1 > e1
(2.2.52)
e3 = c3 /kc3 k
(2.2.53)
durch Normierung
bis en . Für die orthonormierte Basis gilt
< ei ej >= δij = gij
(2.2.54)
Beispiel: Eine Basis im E 3 sei {b1 = (1, 1, 1), b2 = (0, 1, 1), b3 = (0, 0, 1)}
konstruieren Sie daraus eine orthonormale Basis. Lösung: Beginne mit b3 ≡
e1 = (0, 0, 1) dann
c2 = (0, 1, 1) − (0, 0, 1) = (0, 1, 0) = e2
(2.2.55)
da schon normiert.
c3 = (1, 1, 1) − (0, 1, 0) − (0, 0, 1) = (1, 0, 0) = e3
(2.2.56)
da schon normiert. Die Prozedur ist nicht eindeutig da sie davon abhängt
mit welchem Vektor man beginnt. Startet man von b1 so folgt
1
e1 = √ (1, 1, 1)
3
(2.2.57)
1
2
e2 = √ (−2, 1, 1)
(2.2.58)
c2 = (0, 1, 1) − √ e1
3
6
1
1
1
1
e3 = √ (0, −1, 1) (2.2.59)
c3 = (0, 0, 1) − √ e1 − √ e2 = (0, −1, 1)
2
3
6
2
37
Anschaulich: Die beiden System der orthonormierten Basisvektoren sind zueinander verdreht. Dabei haben wir die 3-tupel als Vektoren in einem Koordinatensystem interpretiert.
Beispiel aus dem Funktionenraum [LP 1.A Seite 362). Skalarprodukt
ˆ
1 1
< f, g >=
f (x)g(x)dx
(2.2.60)
2 −1
Orthonormieren Sie die Funktionen 1, x, x2 . Lösung: Da < 1, 1 >= 1 ist
1 = e1 . Aus
ˆ
ˆ
1 1
1 1 2
1
< 1, x >=
xdx = 0 < x, x >=
x dx =
(2.2.61)
2 −1
2 −1
3
√
folgt x 3 = e2 . Nun gilt
ˆ
ˆ
1
1 1 2
1 1 3
2
2
x dx =
x dx = 0
(2.2.62)
< 1, x >=
< x, x >=
2 −1
3
2 −1
also x2 − 1/3 = b3 und dieser Vektor ist noch zu normieren
1
1
2
1
4
< x2 − , x2 − >=< x2 , x2 > + < 1, x2 > + =
3
3
3
9
45
√
so dass e3 = 5(3x2 − 1))/2
(2.2.63)
Das sind fast die ersten drei Legendre Polynome 1. Art, nuir die Normierung ist von der obigen verschieden, nämlich
ˆ 1
ˆ 1
1
1
2
2
P2 (x) = = n
5(3x2 − 1)2 /4 → n2 =
(2.2.64)
5
5
−1
−1
und P2 (x) = 12 (3x2 − 1)
Mathematisch strenge Definition eines Hilbertraum: Ein linearer komplexer Raum, der vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten
Metrik ist, in dem also jede Cauchy-Folge konvergiert, heißt Hilbertraum.
Vergleich N-dimensionaler Vektorraum mit Hilbertraum:
Vektorraum
Hilbertraum
~a
Vektor
ψ
{~en }
Basis
{φn }
~ei · ~eP
=
δ
Orthonormierung
<
φ
,
j
ij
i φP
j >= δij
~a =
ai~ei
Entwicklung
ψ=
ai φi
ai = ~ei · ~a
Komponenten
ai =< φi , ψ >
~
~
~a · b = b · ~a
Symmetrie Skalarprodukt < φ, ψ >=< ψ, φ >?
38
Die Elemente des Hilbertraumes für die Quantenmechanik sind normierbare Funktionen, die Dimension des Hilbertraumes ist unendlich. Die Basis im
Hilbertraum ist durch ein geeignetes vollständiges orthonormales System von
Funktionen gegeben.
2.3
Transformationen
Allgemeine Bemerkungen: lineare Transformationen
Die Basisvektoren sind nicht eindeutig. es kann ein beliebiger Satz linear
unabhängiger Vektoren genommen werden. Zerlegt man die Vektoren einer
Basis in den Vektoren einer anderen so bekommt man den linearen Zusammenhang zwischen den Basisvektoren (lineare Transformation, siehe Unterkapitel 2.2.5). Das Skalarprodukt erlaubt es nun die Transfomationsmatrix
durch die Basisvektoren zu berechnen
bi = Aij b̃j =< bi , b̃j > b̃j
→
Aij =< bi , b̃j >
(2.3.1)
Die Matrixelemente sind durch die Skalarprodukte der alten und neuen Basisvektoren gegeben. Die umgekehrte Transformation
b̃j = Bij bj = Bij Ajk b̃k
→
Bij Ajk = δik
(2.3.2)
ist durch die inverse Matrix gegeben
b̃i = A−1
ij bj
(2.3.3)
Die Komponenten transformieren sich dann
x = xk bk = x̃j b̃j = x̃j A−1
jk bk
→
−1 T j
xk = x̃j A−1
jk = (A )kj x̃
x = x̃j b̃j = xk bk = xk Akj b̃j
→
x̃j = ATjk xk
(2.3.4)
(2.3.5)
Wenn beide Basissysteme orthonormiert sind muss gelten
δij
−1 −1
−1
= < b̃i , b̃j >=< A−1
ik bk , Ajl bl >= Aik Ajl δkl
¡ −1 −1 T ¢
¡
¢
−1
= A−1 (A−1 )T ij
= A−1
ik Ajk = A (A )
ij
→
(A−1 )T = A
(2.3.6)
(2.3.7)
(2.3.8)
oder
A−1 = AT
(2.3.9)
die transponierte Matrix ist gleich der inversen Matrix. Die Transformationsmatrix ist eine orthogonale Matrix.
39
2.3.1
Transformation der Ableitung nach einer Komponente
T
x0j = (AT )jk xk , xj = (A−1 )jk xk
dxj d
d
d
T
= 0
= (A−1 )ji
0
dxi
dxi dxj
dxj
(2.3.10)
Analoges für Komponenten mit indizes oben.
2.4
Vektorprodukt
Hier Einschränkung auf den dreidimensionalen reellen Vektorraum mit othonormierter Basis Gegeben zwei Vektoren ~a = ai~ei und ~b = bi~ei dann ist das
Vektorprodukt
¯
¯
¯ ~e1 ~e2 ~e3 ¯
¯ 1 2 3 ¯
~c = ¯¯ a a a ¯¯ → ci = ²ijk aj bk
(2.4.1)
¯ b1 b2 b3 ¯
Eigenschaften des Vektorprodukts:
1) ~c steht senkrecht auf ~a und ~b
ci ai = ²ijk ai aj bk = 0
(2.4.2)
¯ 1 2 3 ¯
¯ a a a ¯
¯
¯
i
j k
~
~a · (b × ~c) = a ²ijk b c = ¯¯ b1 b2 b3 ¯¯ = v
¯ c1 c2 c3 ¯
(2.4.3)
2) Spatprodukt
40
3)
q
√
~
|~c| = |~a × b| = ~c · ~c = ²ijk ²ilm aj al bk bm
q
=
(δjl δkm − δjm δkl )aj al bk bm
q
=
(|~a|2 |~b|2 (1 − cos2 θ = |~a||~b| sin θ
(2.4.4)
(2.4.5)
4) Nochmals das Spatprodukt
v = |~a|(|~b||~c| sin θ) cos Φ = FP arallelogramm HP arallelepiped = VP arallelepiped
(2.4.6)
5) Weitere Relationen
~a × (~b × ~c) = ~b(~a · ~c) − ~c(~a · ~b)
(2.4.7)
~ = (~a · ~c)(~b · d)
~ − (~a · d)(
~ ~b · ~c)
(~a × ~b) · (~c × d)
(2.4.8)
(~a × ~b) · (~b × ~c) × (~c × ~a) = (~a · ~b × ~c)2
(2.4.9)
~a × (~b × ~c) + gerade Permutationen = 0
¯
¯
¯ ~a · ~a ~a · ~b ~a · ~c ¯
¯ 1 2 1 2 1 2 ¯
¯
¯
[~a1 , ~b1 , ~c2 ][~a2 , ~b2 , ~c2 ] = ¯ ~b1 · ~a2 ~b1 · ~b2 ~b1 · ~c2 ¯
¯
¯
¯ ~c1 · ~a2 ~c1 · ~b2 ~c1 · ~c2 ¯
(2.4.10)
(2.4.11)
Kapitel 3
Koordinatensysteme
Vektoren, die von einem definierten Ursprung ausgehen. Ebenso die Basisvektoren
3.1
Cartesisches Koordinatensystem
affine oder geradlinige Koordinaten. Koordinatenlinien durch Gerade gebildet. Diese Treffen sich im Ursprung des Koordinatensystems. Wenn rechtwinkelig, dann Cartesisches Koordinatensystem.
Zeichnung
Darstellung eines Punktes im dreidimensoinalen Raum durch Komponenten des Ortsvektors [(x, y, z) oder (x1 , . . . , xn ) im n-dimensionalen Raum],
des Vektors vom Ursprung zum Punkt im Raum. Darstellung des Vektors
durch Zerlegung
~x = xi~ei
(3.1.1)
in die orthonormierten Basisvektoren
~e1 , . . . ~en
mit
~ei · ~ej = δij
(3.1.2)
in n Raum-Dimensionen. Newtonsche Physik absoluter Raum, existiert auch
vollkommen leer.
Dualer Raum dort Basis ~ei mit
~ei · ~ej = δji
41
(3.1.3)
42
ist mit der ursprünglichen identisch.
Verschiebung des Ursprungs um ~a (von ursprünglichen Ursprung zum
neuen Ursprung) ~x0 = ~x − ~a
3.2
Schiefwinkeliges Koordinatensystem
Moleküle, Kristalle
Im dreidimensionalen Raum: 32 Kristallklassen: 7 Kristallsysteme (triklin,
monoklin, orthorhombisch, tetragonal, trigonal[rhomboedrisch], hexagonal,
kubisch); 230 Raumgruppen; Punktgruppen (ein Punkt fest; Drehungen und
Spiegelungen); 11 Lauegruppen (zentrosymmertische Punktgruppen; Röntgenbeugung))
Ebene:17 Raumgruppen; 4 Kristallsysteme (schiefwinklig, rechtwinklig, quadratisch, hexagonal)
Dreidimensionale: 14 Bravaisgitter
Quasikristalle: fünfzählige Symmetrieachse; zehnzählige Symmetrieachse; Darstellbar in einem höherdimensionalen Raum
Die Basisvektoren sind in einem orthogonalen Koordinatensystem durch die
Angabe der Komponenten definiert
< ~bi , ~bj >6= 0
für
i 6= j
(3.2.1)
Duale Basisvektoren ~bi zur Basis der Vektoren ~bi
< ~bi , ~bj >= δji
(3.2.2)
Berechnung über das lineare Gleichungssystem, das durch die obige bedingungen definiert wird. Darstellen als Matrixgleichung A Matrix der Basisvektoren als Zeilenvektoren geschrieben
 1 2 3 
b1 b1 b1

b12 b22 b32 
(3.2.3)
A=
b13 b23 b33
dann ist die Inverse von A die Matrix deren
bilden.
 11 21
b
b
−1
12

b
b22
A =
13
b
b23
Spaltenvektoren die duale Basis

b31
b32 
(3.2.4)
b33
43
3.2.1
Zweidimensionaler Fall
KB Seite 30
Zweidimensionaler Raum; Basis ~b1 und ~b2 , diese seien der Einfachheit halber
die Einheitsvektoren im Cartesischen Koordinatensystem
~b1 = (1, 0)
~b2 = (cos α, sin α)
und
(3.2.5)
Sei c = cos α und s = sin α dann ist
µ
1 c
c 1
(g)ik = ~bi~bk =
¶
(3.2.6)
Die duale Basis ~b1 und ~b2 ist durch ein Rechtssystem von Vektoren gegeben
die senkrecht auf die gegebenen Basisvektoren stehen und zwar
UND (!)
~b1~b2 = 0
~b2~b1 = 0
(3.2.7)
~˜b1~b1 = 1
~˜b2~b2 = 1
(3.2.8)
sein. Da die urspünglichen Basisvektoren Einheitsvektoren sind gilt wenn die
2
e
F
-1
e
x
2
2
x
F
2
x =1
1
x =1
e
x
1
1
1
e
Abbildung 3.1: Ein schiefwinkeliges Basissystem und sein duales
dualen als Vektoren mit noch freien Längen l1 und l2 angesetzt werden (siehe
Figur 3.1)
~b1 = (sl1 , −cl1 )
~b2 = (0, l2 )
und
(3.2.9)
44
µ
(g)ik
= ~bi~bk =
l1 cos(90 − α)
0
0
l2 cos(90 − α)
¶
µ
=
sl1 0
0 sl2
¶
Daraus folgt schon l1 = l2 = 1/s.
µ
¶
−2
−2
s
s
cos(90
+
α)
ik
i
k
(g) = ~b ~b =
s−2 cos(90 + α)
s−2
¶
µ −2
s
−cs−2
=
−cs−2 s−2
und es gilt
µ
δik
im
s−2 −cs−2
−cs−2 s−2
= g gmk =
µ −2
s − c2 s−2 cs−2 − cs−2
=
cs−2 − cs−2 s−2 − c2 s−2
¶
1 c
c 1
¶ µ
¶
1 0
=
0 1
(3.2.10)
(3.2.11)
¶µ
(3.2.12)
Die geforderte Bedingungen sind erfüllt.
Das von den ursprünglichen Basisvektoren gebildete Parallelogramm hat die
Fläche F = sin α, das im dualen Raum die Fläche F = sin−1 α .
Zusammenfassung: Ausgehend von der kovarianten Basis
~b1 = (1, 0)
~b2 = (c, s)
(3.2.13)
wurde die kontravarianten Basis
~b1 = g 1m~bm = 1 ~b1 − c ~b2 = (1, −c/s)
s2
s2
~b2 = g 2m~bm = − c ~b1 + 1 ~b2 = (0, 1/s)
s2
s2
(3.2.14)
(3.2.15)
gefunden
Einfache Rechnung mit inverser Matrix:
µ
¶
¶
µ
1
1 0
s 0
−1
A=
A =
c s
s −c 1
(3.2.16)
Anmerkung: Wir gingen von einem reellen Vektorraum aus und definieren eine Linearform über das innere Produkt. Der Vektorraum dieser Linearformen wird durch die Vorgabe der Basis im dualen Raum definiert.
Diese ist über die Angabe der n Linearformen für die jeweils n Basisvektoren im Ursprünglichen Vektorraum angegeben. Damit kan jedes Element des
einen Vektorraums im anderen Vektorraum dargestellt werden. Auf Grund
der Konstruktion ist dieser duale Vektorraum wieder ein reller Vektorraum
wie der ursprüngliche mit derselben Definition für das innere Produkt. Jeder
euklidische Vektorraum ist selbstdual (Zieschang Seite 197).
45
Zerlegung in Komponenten
Duale Basisvektoren durch ursprüngliche ausdrücken. Zuerst allgemein angesetzt
~bi = Aij~bj
(3.2.17)
Um die Transfomationsmatrix zu finden multipliziert man skalar mit dualen
Basisvektoren
~bl · ~bi = Aij~bj · ~bl
(3.2.18)
daraus folgt
³
´
g li = ~bl · ~bj = Ail → ~bi = g ij~bj
(3.2.19)
g und A sind symmetrisch!
´
³
~bi = ~bi · ~bj ~bj = g ij~bj
(3.2.20)
~b1 = g 1k~bk = 1 ~b1 − c ~b2
(3.2.21)
s2
s2
~b2 = g 2k~bk = − c ~b1 + 1 ~b2
(3.2.22)
s2
s2
Veinfachung der Bezeichnung, lassen Tilde weg.
Basis mit Indizes unten: ~bi kovariante Basis
Basis mit Indizes oben: ~bi kontravariante Basis
Die Zerlegung in Komponenten: xi kontravariante Komponenten, xi kovariante Komponenten
Es sei der Vektor ~x = ~b1 + ~b2 man berechne die kovarianten komponenten
~x = 1~b1 + 1~b2 = x1~b1 + x2~b2
(3.2.23)
x1 = ~x · ~b1 = ~b1 · ~b1 + ~b2 · ~b1 = g11 + g12
= 1+c
x2 = 1 + c
x1 = 1
Also
x2 = 1
x1 = 1 + c
x2 = 1 + c
¸
1~
c~
~x = (1 + c) 2 b1 − 2 b2
s
s
·
¸
c~
1~
+ (1 + c) − 2 b1 + 2 b2
s
s
i
2 h
1−c ~
=
b1 + ~b2 = ~b1 + ~b2
s2
Bemerkung: c = 0, s = 1; Cartesisches Koordinatensystem
(3.2.24)
(3.2.25)
(3.2.26)
·
(3.2.27)
(3.2.28)
(3.2.29)
46
3.2.2
Dreidimensionaler Fall
Man konstruiert das ’reziproke Gitter’ mit den Basisvektoren (bis auf πFaktoren
(i) Vektorprodukt als dualer Vektor senkrecht (ii) und Normierung mit ursprünglichen
~b1 =
~b2 =
~b2 × ~b3
~b1 · ~b2 × ~b3
~b3 × ~b1
(3.2.30)
(3.2.31)
~b2 · ~b3 × ~b1
~b1 × ~b2
=
~b3 · ~b1 × ~b2
~b3
(3.2.32)
Dann sind die Metrikkoeffizienten
g 12 =
1
(~b1 · ~b2 × ~b3 )2
(~b2 × ~b3 ) · (~b3 × ~b1 )
(3.2.33)
Beispiel: KB S24, S29, S32 einfügen
3.2.3
Beziehung der ko- und kontravarianten Komponenten eines Vektors
~x = xi~bi = xi~bi
(3.2.34)
Notation: Die Basisvektoren mit den Indices unten heißt kovariante Basis,
die mit den Indizes oben kontravariante Basis. Stellt man einen Vektor in
der kovarianten Basis dar erhält man die kontravarianten Komponenten, xj ,
zerlagt man ihn in der kontravarianten Basis dann erhält man die kovarianten
Komponenten, xi .
Berechnung der entsprechenden Komponenten für die Basisvektoren:
~bi = ~bi · ~bj~bj = gij~bj
~bi = ~bi · ~bj~bj = g i ~bj
j
~bi = ~bi · ~bj~bj = g ij~bj (3.2.35)
Also die Matrix der g transformiert von einer Basis in die duale Basis, gleichzeitig hebt und senkt sie die Indizes. Es muss gelten
g ij = δ ij
und
gij g jl = gil = δil
(3.2.36)
Die Metrikkoeffizienten der Basis und dualen Basis sind zueinander invers.
47
Die physikalischen Komponenten eines Vektors
Ein Vektor kann nun in kovariante und kontravariante Komponenten zerlegt
werden
xi = ~x · ~bi
xi = ~x · ~bi
(3.2.37)
3.2.4
Das Transformationsverhalten eines Vektors
Lineare Abbildung; der Vektor bleibt unverändert (passiv) die Basisvektoren werden verändert (Koordinatentransformation). Man kann aber auch der
Vektor (aktiv) ändern und die Basisvektoren unverändert lassen.
¯
Transformation der Basisvektoren {~bi } in Basisvektoren {~bi }
~¯bi = a j~bj = (A) j~bj
i
i
(3.2.38)
dann transformieren sich die metrischen Komponenten gij
³
´
¡
¢
~¯bi · ~¯bj = ḡij = a k a l ~bk · ~bl = a k a l gkl = a k gkl aT l = AgAT
i j
i
j
i j
ij
(3.2.39)
Man sieht sofort: wenn ein orthonormales Basisvektorsystem (g = I) in ein
ebensolches (ḡ = I) transformiert wird so muß die Transformationsmatix
orthogonal sein, d.h. AAT = I also AT = A−1 . Die dualen Vektoren transformieren sich so dass
ḡ ik ḡkj = δ i j
(3.2.40)
gilt. Also
ḡ ij =
³¡
AgAT
¢−1 ´ij
³
´ij
−1
= AT g−1 A−1
(3.2.41)
und
´i
´ij
³
´ij
³
³
~¯bi = ḡ ij~¯bj = AT −1 g−1 A−1 a k~bk = AT −1 g−1 ~bj = AT −1 ~bj (3.2.42)
j
j
Es ist dann erfüllt
³
´i
³
´i
³
´i ¡ ¢
k
~¯bi · ~¯bj = AT −1 ~bk · (A) l~bl = AT −1 (A) k = AT −1
AT j = δ i j
j
j
k
k
k
(3.2.43)
Die kontravariante Komponenten transformieren sich folgendermaßen
³
´i
³
´i
¯ i = AT −1 ~x · ~bj = AT −1 xj
x̄i = ~x ·~b
(3.2.44)
j
j
48
und die kovarianten Komponenten
¯ i = (A) j ~x · ~bj = (A) j xj
x̄i = ~x ·~b
i
i
ebenfalls wie die Basisvektoren.
Ein Skalarprodukt zweier Vektoren
³
´
−1 i
(A)i l xk yl
~x¯ · ~y¯ = x̄i ȳi = AT
k
¡ ¢l ³ −1 ´i k
= AT i AT
x y l = xi y i
k
(3.2.45)
(3.2.46)
bleibt invariant.
3.3
Krummlinige orthogonale Koordinatensysteme
LP/Kapitel 8 beide Auflagen
Klingbeil Kapitel 3.3 Seite 80
Orte im Raum durch andere Werte als xi festgelegt. Ortsabhängiges Koordinatensystem, Ursprung im Ort normierte Basisvektoren bezüglich der
Kurven konstanter ’Werte’ die Ort angeben festgelegt. Lokale Transformation. Allgemein Transformation von Cartesischen zu anderen Koordinaten
49
x1
x2
...
xn
=
=
=
=
x1 (u1 , u2 , . . . , un )
x2 (u1 , u2 , . . . , un )
...
xn (u1 , u2 , . . . , un )
(3.3.1)
(3.3.2)
Bedingung umkehrbare Transformation, dann Jakobi-Determinante ungleich
Null
¯
¯
¯ ∂x11 ∂x21 . . . ∂xn1 ¯
∂u
∂u ¯
∂(x1 , x2 , . . . , xn ) ¯¯ ∂u.
.. ¯ 6= 0
..
..
..
(3.3.3)
=
¯
¯
∂(u1 , u2 , . . . , un ) ¯ ∂x1 ∂x. 2 . ∂x. n ¯
¯ n
¯
...
n
n
∂u
∂u
∂u
Ausnützen zur Berechnung von Integralen
ˆ
ˆ
∂(x1 , x2 , . . . , xn ) ¯ 1
dx1 . . . dxn f (x1 , . . . , xn ) = du1 . . . dun
f (u , . . . , un )
∂(u1 , u2 , . . . , un )
(3.3.4)
Holonome Basisvektoren sind definiert durch
~hi = ∂~x/∂ui
~hi = ∂~x/∂ui
(3.3.5)
Es sind im allgemeinen keine Einheitsvektoren. Für Cartesische Koordinaten
schon


x1
X
∂~x
∂ 
∂ X
x2  =
= ~ei
xj ~ej =
δij ~ej = ~ei
(3.3.6)
∂xi
∂xi
∂xi j
j
x3
Die cartesischen Komponenten der holonomen Basisvektoren sind
j
j
~hi = ∂~x = ∂x ~ej → hj = ∂x = ∂xj
i
∂ui
∂ui
∂ui
∂ui
(3.3.7)
Die duale holonome Basis kann auch über das Vektorprodukt definiert werden
~
~
~h1 = h2 × h3
[~h1 , ~h2 , ~h3 ]
(3.3.8)
Die Skalarprodukte der holonomen Basisvektoren definieren die Matrix g
gij = ~hi · ~hj
g ij = ~hi · ~hj
(3.3.9)
Mit den metrischen Tensoren werden Indizes gehoben oder gesenkt
~hi = gij~hj
~hi = g ij~hj
(3.3.10)
50
Wegelemente
In Cartesischen Koordinaten
d~x = dxi~ei
(3.3.11)
In krummlinigen Koordinaten
∂~x i
∂~x
du
=
dui
∂ui
∂ui
= ~hi dui = ~hi dui
d~x =
(3.3.12)
(3.3.13)
Abstandsquadrat
d~x · d~x = dui~hi · ~hj duj = gij dui duj = g ij dui duj =
X
dx2i
(3.3.14)
i
Volumselement
∂(x1 , x2 , . . . , xn ) p
= det gdu1 . . . dun
∂(u1 , u2 , . . . , un )
(3.3.15)
Die Jacobi-Determinante ist explizite im Dreidimensionalen
¯ ∂x ∂x ∂x ¯
2
3 ¯
¯ 11
∂u1
∂u1 ¯
¯ ∂u
∂x
∂x
∂x
2
3 ¯
¯ 12
= [~h1 , ~h2 , ~h3 ]
(3.3.16)
∂u2
∂u2 ¯
¯ ∂u
¯ ∂x13 ∂x23 ∂x33 ¯
dV = dx1 . . . dxn = du1 . . . dun
∂u
∂u
∂u
Nochmals das Vektorprodukt
Bilden die dualen Basisvektoren als Vektorprodukt der ursprünglichen. Dabei
muß genauer auf das Verhalten des ²-Tensors geachtet werden. Man hat kound kontravariante Komponenten zu unterscheiden
¯
¯ i1
¯ g
g i2 g i3 ¯¯
¯
1
²ijk = g il g jm g kn ²lmn = ¯¯ g j1 g j2 g j3 ¯¯ = det(g−1 ) ²(i, j, k) = ²(i, j, k)
g
¯ g k1 g k2 g k3 ¯
(3.3.17)
wo ²(i, j, k). Es war det A = ²(ijk)a1i a2j a3k . Das Vektorprodukt wird nun
sauberer in allgemeine Koordinaten (also auch nicht cartesischen) definiert
p
(3.3.18)
~c = ~a × ~b = det g²ijk~hi aj bk
51
und die Komponenten diese Vektors in der kovarianten Basis sind
p
p
ci = ~hi · det g²mjk~hm aj bk = det g²mjk gim aj bk
(3.3.19)
Das Spatprodukt ist ~a = al~hl und
¯
¯
¯ a1 a2 a3 ¯
¯
¯
1
[~a, ~b, ~c] = ~a · det g²ijk~hi bj ck = det g²ijk ai bj ck = √ ¯¯ b1 b2 b3 ¯¯
g¯
c1 c2 c3 ¯
(3.3.20)
l ~
l
~
wegen h · hi = δi und g = det g. Nun nimmt man die kovarianten Basisvektoren im Spatprodukt und ihre cartesischen Komponenten so hat man mit
g=1
¯ ∂x ∂x ∂x ¯
2
3 ¯
¯ 11
∂u1
∂u1 ¯
¯ ∂u
√
∂x2
∂x3 ¯
∂x1
~
~
~
¯
[h1 , h2 , h3 ] = ¯ ∂u2 ∂u2 ∂u2 ¯ = g
(3.3.21)
¯ ∂x13 ∂x23 ∂x33 ¯
p
p
∂u
∂u
∂u
mit ~hi = gik~hk in Gleichung (3.3.20)
3.3.1
Vereinfachungen für orthogonale krummlinige Koordinaten
Der metrische Tensor ist diagonal
gij = δij~h2i = δij h2i
~hi = ~hi /h2
g ij = δ ij h−2
i
i
(3.3.22)
Die normierten holonomen Vektoren sind
~ei =
~hi
~hi
= −1 = hi~hi
hi
hi
(3.3.23)
und diese normierten Basisvektoren sind gleich den dualen wie die Cartesischen.
3.3.2
Ebene Polarkoordinaten
x1 = x = r cos φ
x2 = y = r sin φ
u1 = r = +
p
x2 + y 2
y
u2 = φ = arctan
x
(3.3.24)
(3.3.25)
(3.3.26)
52
Funktionaldeterminante (Koordinaten so geordnet, dass Einheitvektoren Rechtssystem bilden):
¯
¯
¯ cos φ
¯
sin
φ
¯
¯
(3.3.27)
¯ −r sin φ r cos φ ¯ = r
Der Ortsvektor in cartesischen Koordinaten
~x = r cos φ~ex + r sin φ~ey
(3.3.28)
Holonome Basisvektoren (nicht normiert) sind definiert durch ~hi = ∂~x/∂ui
und
~h1 = ∂~x ~h2 = ∂~x
(3.3.29)
∂r
∂φ
~h1 = cos φ~ex + sin φ~ey
~h2 = −r sin φ~ex + r cos φ~ey
(3.3.30)
Normierte Einheitsvektoren der Polarkoordinaten
~er = cos φ ~ex + sin φ ~ey
~eφ = − sin φ ~ex + cos φ ~ey
(3.3.31)
(3.3.32)
Der Ursprung liegt im Ort. Die Einheitsvektoren weisen in Richtung der Zunahme der als Ortsparameter genommenen Werte. Drehen die Einheitsvektore des Cartesischen Koordinatensystems in zwei Dimensionen so, dass der
Einheitsvektor ~ex in die Richtung des Ortsvektors ~ex gelgt wird. Zusammenhang mit cartesischen Koordinatensystem: Der Ursprung wird in den Punkt
~x verschoben dann wird gedreht.
Die Matrix der Skalarprodukte der holonomen Basisvektoren
µ
¶
µ
¶
1
0
1
0
ij
gij = ~hi · ~hj =
g = die Inverse =
0 r2
0 r−2
(3.3.33)
ist keine Einheitsmatrix und im allgemeinen Fall auch nicht diagonal. Hier
ist sie diagonal weil das krummlinige Koordinatensystem orthogonal bleibt.
Bilden nun die dualen Basisvektoren
~hi = g ij~hj = ~hi g ii
~h1 = ~h1
~h2 = 1 ~h2
r2
(3.3.34)
Das Wegelement
d~x2 = gij dui duj = (dr)2 + r2 (dφ)2
(3.3.35)
dF = rdrdφ
(3.3.36)
das Volumselement
53
3.3.3
Zylinderkoordinaten
u1 = ρ = +
p
x2 + y 2
y
u2 φ = arctan
x
3
u =ζ=z
x = ρ cos φ
y = ρ sin φ
z=ζ
(3.3.37)
(3.3.38)
(3.3.39)
Die Jacobi-Dterminante
¯
¯
¯ cos φ
¯
sin
φ
0
¯
¯
¯ −ρ sin φ ρ cos φ 0 ¯ = ρ
¯
¯
¯
0
0
1 ¯
(3.3.40)
Der Ortsvektor in cartesischen Koordinaten
~x = ρ cos φ~ex + ρ sin φ~ey + z~ez
(3.3.41)
Die holonomen Basisvektoren
~h1 = cos φ~ex + sin φ~ey
~h2 = −ρ sin φ~ex + ρ cos φ~ey ~h3 = ~ez
(3.3.42)
Normierte Einheitsvektoren der Zylinder-Koordinaten
~er = cos φ ~ex + sin φ ~ey
~eφ = − sin φ ~ex + cos φ ~ey
~eξ = ~ez
(3.3.43)
Transformation mit Drehmatrix: drehen einen Einheitsvektor in die Richtung
der Projektion des Ortsvektor auf die Ebene senkrecht zur z-Achse, das ist
~er dann ist der dritte festgelegt durch
~eφ = ~ez × ~er = ~ez × (cos φ ~ex + sin φ ~ey )
(3.3.44)
54
Die Matrix der Skalarprodukte der holonomen Basisvektoren




1 0 0
1 0 0
gij = ~hi ·~hj =  0 ρ2 0  g ij = die Inverse =  0 ρ−2 0  (3.3.45)
0 0 1
0 0 1
Das Wegelement (ξ = z)
d~x2 = dρ2 + ρ2 dφ2 + dz 2
(3.3.46)
dV = ρdrdφdz
(3.3.47)
Das Volumselement
3.3.4
Kugelkoordinaten
x = r sin ϑ cos φ
y = r sin ϑ sin φ
z = r cos ϑ
u1 = r = +
p
x2 + y 2 + z 2
z
u2 = ϑ = arccos
r
y
3
u = φ = arctan
x
Funktionaldetrminante:
¯
¯ sin ϑ cos φ
sin ϑ sin φ
cos ϑ
¯
¯ r cos ϑ cos φ r cos ϑ sin φ −r sin ϑ
¯
¯ −r sin ϑ sin φ r sin ϑ cos φ
0
¯
¯
¯
¯ = r2 sin ϑ
¯
¯
(3.3.48)
(3.3.49)
(3.3.50)
(3.3.51)
55
Holonome Basisvektoren (nicht normiert) sind definiert durch
~h1 = ∂~x
∂r
~h2 = ∂~x
∂ϑ
~h3 = ∂~x
∂φ
(3.3.52)
Man beachte, dass die Cartesischen Einheitsvektoren fix sind, dh. unabhängig
von r, ϑ und φ.
Haben als Zeilen der Jacobi-Determinante die ~hi und damit die normierte
Einheitsvektoren der Kugelkoordinaten
~er = sin ϑ cos φ ~ex + sin ϑ sin φ ~ey + cos ϑ ~ez
~eϑ = cos ϑ cos φ ~ex + cos ϑ sin φ ~ey − sin ϑ ~ez
~eφ = − sin φ ~ex + cos φ ~ey
(3.3.53)
(3.3.54)
(3.3.55)
Transformation mit Drehmatrix
~x = x~ex + y~ey + z~ez = (x, y, z) = (r, 0, 0) = r~er
(3.3.56)
Beweis: ~x~er = x~ex~er + y~ey~er + z~ez~er Einsetzen für x, y, z und die Skalarprodukte ausrechnen.
Der metrische Tensor lautet


1 0
0

0
gij = ~hi · ~hj =  0 r2
2
2
0 0 r sin θ
(3.3.57)
d~x2 = dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ
(3.3.58)
dV = r2 sin θdθdφ
(3.3.59)
Das Wegelement
Das Volumselement
Beispiel: Berechnung des Kugelvolumens der Kugeloberfläche der Einheitskugel
ˆ 1 ˆ 2π ˆ π
4π
V =
dr
dφ
dθr2 sin θ =
(3.3.60)
3
0
0
−π
Skalen V ∼ R3
ˆ
O=
π
dφ
0
Skalen O ∼ R2
ˆ
2π
dθ sin θ = 4π
−π
(3.3.61)
56
3.3.5
n-dimensionale Polarkoordinaten
u1 = r, ui+1 = θi mit i = 1, . . . , n − 2 und un = φ
x1
x2
x3
x4
..
.
= r cos φ sin θ1 sin θ2 . . . sin θn−2
= r sin φ sin θ1 sin θ2 . . . sin θn−2
=
r cos θ1 sin θ2 . . . sin θn−2
=
r cos θ2 . . . sin θn−2
..
=
.
xn−1 =
xn =
Es gilt
P
(3.3.62)
r cos θn−3 sin θn−2
r cos θn−2
(3.3.63)
x2i = r2 . Die Jacobi-Determinante J
J = rn−1 sin θ1 sin2 θ2 . . . sinn−2 θn−2
(3.3.64)
Die holonomen Basisvektoren stehen senkrecht aufeinander
j
~hi = ∂x ~ej
∂ui
(3.3.65)
Beachten sie obige Reihenfoge der ui
~h1 = xi ~ei
r
~h2 = x1 tan θ1~e1 + x2 tan θ1~e2 − x3 cot θ1~e3
...
(3.3.66)
n−1
X
~hn−1 = xi ~ei = −xn cot θn−2~en +
xi tan θn−2~ei
θn−2
1
~hn = x1 tan φ~e1 − x2 cot φ~e2
(3.3.67)
(3.3.68)
Daraus kann man nun den metrischen Tensor berechnen
g11 = 1 g22 = r2 sin2 θ2 . . . sin2 θn−2
gn−1 n−1 = r2
...
(3.3.69)
gnn = r2 sin2 θ1 . . . sin2 θn−2
(3.3.70)
Das Volumselement
dV = r
n−1
drdφ
n−2
Y
sinj θj dθj
(3.3.71)
j=1
13.05.09
57
Übungen: Berechnung von Integralen durch Einführen von geeigneten Koordinaten.
Berechnung des Volumens und der Oberfläche der n-dimensionalen Kugel.
ˆ
dV (R)
dx1 . . . dxn = Cn Rn
O(R) =
V (R) =
= nCn Rn−1
2
dR
2
x1 +...+xn <R
(3.3.72)
ˆ ∞
ˆ ∞
dx1 . . .
dxn exp(−x21 − . . . − x2n ) =
(3.3.73)
−∞
−∞
ˆ ∞
ˆ ∞
2
drO(r) exp(−r ) = nCn
drrn−1 exp(−r2 ) =
0
0
ˆ ∞
³n´
1
1
n/2−1 −t
nCn
t
e = nCn Γ
2
2
2
0
¶n
µ
ˆ ∞
ˆ ∞
ˆ ∞
−x2
2
2
dxe
= π n/2 (3.3.74)
dxn exp(−x1 − . . . − xn ) =
dx1 . . .
−∞
−∞
−∞
Die Γ-Funktion ist die Verallgemeinerung des n! zu rellen Werten von n.
ˆ ∞
Γ(z) =
dttz−1 e−t
Γ(n + 1) = n!
(3.3.75)
0
p
Γ(1/2) = (π)
Γ(1) = 1
Γ(z + 1) = zΓ(z)
(3.3.76)
Daraus folgt
Cn =
2π n/2
nΓ(n/2)
1
Γ(3/2) = π 1/2
2
C3 =
4π
3
(3.3.77)
Das Gauß-Integral wird ebenfalls mit einem Trick ausgerechnet
ˆ
ˆ ∞ ˆ 2π
2
2
dxdy exp(−a(x + y )) =
dr
dφr exp(−ar2 ) = (3.3.78)
0
0
r
ˆ ∞
ˆ ∞
π
π
2
π
dte−at = →
dxe−ax =
a
a
0
−∞
3.4
Begleitendes Dreibein
Tangentenvektor; Hauptnormalenvektor; Binormalenvektor LP/Kapitel 7 beide Auflagen
58
Die Bahn gibt den Ort eines Teilchens als Funktion der Zeit an (Lösung
der Bewegungsgleichung, eine Differentialgleichung zweiter Ordnung)
~x = ~x(t)
(3.4.1)
Das ist die Gleichung einer Raumkurve in Parameterdarstellung. Durch Ableitung nach t werden die Geschwindigkeit ~v und die Beschleunigung ~a gefunden
d
d
d2
~v (t) = ~x(t)
~a(t) = ~v (t) = 2 ~x(t)
(3.4.2)
dt
dt
dt
Achtung: Darstellung in einem festen orthonormierten Koordinatensystem,
Beispiel:
Kinematik, ebene Bewegung, Kreisbewegung
~x = (R cos ωt, R sin ωt)
~x2 = R2 = const
(3.4.3)
~x · ~v = 0
~v · ~a = 0
(3.4.4)
daraus folgt ~x k oder anti-k zu ~a (physikalisch klar anti-k aus
0=
d
(~x · ~v ) = ~v 2 + ~x · ~a
dt
(3.4.5)
~v 2
R
(3.4.6)
folgt
|~a| =
Explizit ist die Geschwindigkeit
~v = (−ωR sin ωt, ωR cos ωt)
3.4.1
v = ωR
(3.4.7)
Tangentenvektor ~t
Tangente an eine Bahnkurve:
Im Folgenden ω = 1.
Beispiel: Ellipse:
~x = (a cos t, b sin t)
a>b
(3.4.8)
Die Bahn ist eine Ellipse: Falls t die Zeit in der Parameterdarstellung
der Bahnkurve bedeutet, so wird diese von dem Teilchen mit gleichbleibender Winkelgeschwindigkeit durchlaufen. Für Planeten gilt dies nicht sondern
diese haben eine vom Abstand zum Brennpunkt abhängige Geschwindigkeit
59
(Flächensatz). Diese muss noch angegeben werden (Keplergleichung). Erst
dann kann man die Beschleunigung berechnen und zeigen, dass sie auf einen
der beiden Brennpunkte gerichtet ist. In vorliegenden Fall kann man zeigen,
dass die Beschleunigung zum Zentrum zeigt und proportional zum Abstand
ist.
Die Tangente an die Ellipse ist durch die Ableitung der Bahnkurve gegeben,
Die Brennpunkte liegen in den Punkten
√
a2 − b2
p~1 = (−ea, 0)
p~2 = (ea, 0)
e=
(3.4.9)
a2
e ist die Exzentrizität. Der Geschwindigkeitsvektor lautet
~v = (−a sin t, b cos t)
(3.4.10)
und die Tangente ~t (der normierte Geschwindigkeitsvektor)
~t = √
1
a2
2
sin t + b2 cos2 t
(−a sin t, b cos t)
(3.4.11)
Der Beschleunigungvektor lautet
~a = (−a cos t, −b sin t) = −~x .
(3.4.12)
60
3.4.2
Bogenlänge s
Eine häufige Parametrisierung einer Kurve wird durch die Bogenlänge s gegeben. Dies ist die Länge der Kurve zwischen zwei Punkten auf der Kurve.
ˆ t p
ˆ t
ˆ t
0
0
2
0
dt ~v (t ) =
ds(t ) =
dt0 v(t0 )
(3.4.13)
s(~x(t = 0), ~x(t)) =
0
0
0
Klar: Bogenlänge ist der zwischen zwei Zeitpunkten zurückgelegte Weg und
per Definition
ds
= |~v | = v
(3.4.14)
dt
Beispiele: Kreis:
s = ωRt = (φ(t) − φ(0))R
(3.4.15)
Ellipse:
ˆ
t
s =
ˆ
dt0
p
a2 sin2 t0 + b2 cos2 t0
(3.4.16)
0
q
=
dt a2 sin2 t0 + b2 (1 − sin2 t0 )
0
ˆ t r
a 2 − b2
sin2 t0
= b
dt0 1 −
2
b
0
r
e
a2 − b2
= bE(k, t)
k=
=
2
b
b
t
0
E ist das elliptische Integral zweiter Gattung.
Angabe für Planetenbewegung wie die Ellipse durchlaufen wird: In gleichen
61
Zeiten gleiche Flächen aber vom Brennpunkt aus gerechnet (!).
Fahrstrahl überstreicht eine Fläche:
ˆ
1 t 0 0
F =
dt r(t )s(t0 )
2 0
(3.4.17)
Kreis: F = R2 ωt
Wird die Bahnkurve mit der Bogenlänge parametrisiert gilt
~t = d~x = d~x dt = ~v
ds
dt ds
|~v |
(3.4.18)
Die Ableitung nach der Bogenlänge führt automatisch auf einen Einheitsvektor.
3.4.3
Hauptnormalenvektor ~h, Binormalvektor ~b, Krümmung
κ, Torsion τ
Für eine Raumkurve im Dreidimensionalen gibt es neben dem Tangentenvektor noch die auf diesen senkrecht stehende Ebene. In dieser liegen der
Hauptnormalenvektor ~h
~ ~
~h = dt /| dt |
(3.4.19)
dt dt
und der auf beide anderen Vektoren senkrechte Binormalenvektor ~b = ~t × ~h.
Der Hauptnormalenvektor einer ebenen Kurve liegt in der Ebene. Er kann
einfach aus dem normierten Tangentenvektor gefunden werden.
µ
¶
µ
¶
−t2
~
~t = t1
→ h=
(3.4.20)
t2
t1
Der Binormalenvektor ist ebenfalls ein Einheitsvektor. Diese drei Vektoren
bilden entlang der Raumkurve das begleitende Dreibein.
Berechnung des Binormalenvektor für die Ellipse: ~t = ~v /v und ~v = (−a sin t, b cos t)
also ist
h
1
d~t
= √
(−a cos t, −b sin t)
dt
a2 sin2 t + b2 cos2 t
i
(a2 − b2 ) sin t cos t
− 2 2
(−a
sin
t,
b
cos
t)
(3.4.21)
a sin t + b2 cos2 t
1h
= 3 v 2 (−a cos t, −b sin t)
v
i
2
2
− (a − b ) sin t cos t(−a sin t, b cos t)
(3.4.22)
62
Abbildung 3.2: Die Schmiegungsebene (in ihr liegt der Tangentenvektor in
M und M0 ) und die in ihr liegenden Vektoren: der Tangentenvektor τ und
der Hauptnormalvektor ν.
|
d~t
1h
| = 3 v 4 (a2 cos2 t + b2 sin2 t)
dt
v
− 2v 2 (a2 − b2 )2 sin2 t cos2 t
i1/2
2 2
2 2
2
2
+ v (a − b ) sin t cos t
d~t
1h 2 2
| | = 2 v (a cos2 t + b2 sin2 t)
dt
v
i1/2
2
2 2
2
2
− (a − b ) sin t cos t
(3.4.23)
(3.4.24)
i1/2
d~t
1h 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
| | = 2 (a sin t + b cos t)(a cos t + b sin t) − (a − b ) sin t cos t
dt
v
i1/2
1h
= 2 (a4 + b4 ) sin2 t cos2 t + a2 b2 (sin4 t + cos4 t) − (a4 + b4 − 2a2 b2 ) sin2 t cos2 t
v
ab
(3.4.25)
= 2
v
i
1 h 2
v (−a cos t, −b sin t) − (a2 − b2 ) sin t cos t(−a sin t, b cos t)
abv
1
=
(−b cos t, −a sin t)
(3.4.26)
v
~h =
63
Bedeutung der Vektoren ~h und ~b: Die Änderung des Tangentenvektors mit
der Bogenlänge gibt die Krümmung κ der Kurve
κ=|
d~t(s)
d~t(t) dt
|=|
|| |
ds
dt ds
(3.4.27)
Ist die Bahn als Funktion der Zeit gegeben so ist der Krümmungsradius ρ
ρ=
v3
|~v × ~a|
(3.4.28)
Beweis:
µ
¶
d(~v /v) dt
1
~v dv
κ = |
|
| = 2 | ~a −
dt ds
v
v dt
µ
¶
µ
¶
1
~v d~v 2
1
~v
= 2 | ~a − 2
| = 2 | ~a − 2 (~a · ~v ) |
v
2v dt
v
v
µ
¶
1
~v
1
|~v × ~a|
= 3 | v~a − (~a · ~v ) | = 3 |~v × ~a| =
v
v
v
v3
(3.4.29)
Kreis: s = Rt daher
κ=|
d(− sin s/R, cos s/R
1
|=
ds
R
(3.4.30)
Daher allgemein wenn nicht konstant ist die inverse Kümmung der Krümmungsradius
1
ρ=
(3.4.31)
κ
Beispiel: Ellipse
ab
κ(t) = 2 2
(3.4.32)
(a sin t + b2 cos2 t)3/2
Beweis: gemäß obiger Rechnung
~v × ~a = ~ez ab(sin2 t + cos2 t) = ab~ez
Spezielle Werte:
v=
p
a2 sin2 t + b2 cos2 t
(3.4.33)
b
a
κ(t = π/2) = 2
(3.4.34)
2
b
a
Die Krümmung als Funktion der Bogenlänge erfordert die Invertierung des
elliptischen Integrals zweiter Art.
κ(t = 0) =
64
Abbildung 3.3: a) Evolutenkonstruktion b) Astroide, in einem Kreis rollt ein
kleinerer Kreis
Einschub: Evolute
Übung: Berechnen Sie eine Parameterdarstellung der Kurve auf denen die
Mittelpunkte der Krümmungskreise der Ellipse liegen (diese heißt Astroide
und ist die Evolute der Ellipse)
~xellipse
x(t) + ~h(t)ρ(t)
evolute (t) = ~
(a2 sin2 t + b2 cos2 t)3/2
v 3 (t)
=
ab
ab
1
~h(t) =
(−b cos t, −a sin t)
v
ρ(t) =
 ³
a−
 ³
~xellipse
evolute (t) =
b−
v2
a
v2
b
´
´
(3.4.35)
(3.4.36)

cos t

sin t
a − (a2 (1 − cos2 t) + b2 cos2 t)/a = (a − b2 /a) cos2 t
b − (a2 sin2 t + b2 (1 − sin2 t)/b = (−a2 /b + b) sin2 t
(3.4.37)
(3.4.38)
(3.4.39)
Resultat:
−1 3
2
2 1
3
~xellipse
sin t)
evolute (t) = (a − b )( cos t,
a
b
Übung: Berechnung der Evolute einer Parabel
(3.4.40)
65
Torsion
Wenn die Kurve nicht eben ist so hängt der Binormalvektor ebenfalls nichttrivial von s ab. Man definiert die Torsion τ durch diese Änderung.
τ =|
d~b(s)
|
ds
(3.4.41)
Der Einheitsvektor ~b ändert nur seine Richtung und steht senkrecht auf ~b
also in der Ebene die der Tangenten- und Hauptnormalvektor aufspannen.
Es gilt
d~b(s)
d(~t × ~h)
=
ds
ds
~
dt ~ ~ d~h
=
×h+t×
ds
ds
~
dh
= 0 + ~t ×
ds
(3.4.42)
(3.4.43)
Die Ableitung von ~b ist also senkrecht auf ~t und in der Ebene senkrecht zu ~b
also proportional zu ~h. Da dieser ein Einheitvektor ist gilt
d~b(s)
= τ ~h
ds
(3.4.44)
Die Torsion ist eine Drehung um die Richtung des Tangentenvektors.
Übung: Alles für die Schraubenlinie ausrechnen
~x = (r cos t, r sin t, ht)
Berechnen Sie die Bogenlänge s, Krümmung κ und die Torsion τ .
Resultat:
h
r
τ
=
κ= 2
r + h2
r 2 + h2
(3.4.45)
(3.4.46)
66
3.5
3.5.1
Kordinatentransformationen
Translationen, und Rotation
Translation
Definieren Dreidimensionales Cartesisches KS Ursprung O, ~ex , ~ey , ~ez Neues
Cartesisches Koordinatensystem O0 , ~ex , ~ey , ~ez Zeichnung
~x = ~x 0 + ~a
xi = x0i + ai
(3.5.1)
Rotation
Siehe LP M3.5 Seite 88
Ursprung bleibt gleich, Achsen werden gedreht Cartesisches KS O, ~ex , ~ey , ~ez
Neues Cartesisches KS O, ~e0x , ~e0y , ~e0z Betrachten festen Vektor (passive Transformation)
~x = xi~ei = x0 i~ei0
(3.5.2)
x0i = ~x · ~ei0 = xj ~ej · ~ei0 = xj Aji = ATij xj
(3.5.3)
Spezialfall: Drehung in der Ebene. Zeichnung
µ
¶
¶ µ
~e1 · ~e10 ~e1 · ~e20
cos φ − sin φ
A =
(3.5.4)
=
~e2 · ~e10 ~e2 · ~e20
sin φ cos φ
µ
¶
¶ µ
~e1 · ~e10 ~e2 · ~e10
cos φ sin φ
T
A =
=
~e1 · ~e20 ~e2 · ~e20
− sin φ cos φ
µ
¶ µ
¶
cos φ − sin φ
x1 cos φ + x2 sin φ
0
0
=
(3.5.5)
(x1 , x2 ) = (x1 , x2 )
−x1 sin φ + x2 cos φ
sin φ cos φ
¶µ
¶ µ
¶
µ 0 ¶ µ
x1 cos φ + x2 sin φ
cos φ sin φ
x1
x1
=
(3.5.6)
=
x2
−x1 sin φ + x2 cos φ
− sin φ cos φ
x02
Definition der Rotationsmatrix φ Drehung im Gegenuhrzeigersinn
R(φ) = AT
(3.5.7)
Eigenschaften
R(−φ) = R−1
RT = R−1
det(R) = 1
(3.5.8)
67
Rückdrehung, orthogonale Matrix, keine Skalenänderung, Fläche bleibt gleich,
Skalarprodukt bleibt invariant.
R(φ1 )R(φ2 ) = R(φ1 + φ2 )
(3.5.9)
Besonderheit in der Drehung in der Ebene Drehungen sind kommutativ
R(φ1 )R(φ2 ) = R(φ2 )R(φ1 )
(3.5.10)
Die Drehmatrizen in d = 2 haben keine reellen Eigenwerte und daher auch
keinen rellen Eigenvektor. Klar, es werden ja alle Vektoren durch die Drehmatrix gedreht.
Nun Drehung um eine der Cartesischen Achsen
Die Drehmatrix um die z-Achse


cos φ − sin φ 0
Rz =  sin φ cos φ 0 
0
0
1
(3.5.11)
In der xy-Ebene wird gedreht in z-Richtung bleibt alles unverändert. Die
Drehachse muss ein Eigenvektor der Drehmatrix sein. Beweis:
¯
¯
¯ cos φ − λ − sin φ
¯
0
¯
¯
¯ sin φ
cos φ − λ
0 ¯¯ = 0
(3.5.12)
¯
¯
¯
0
0
1−λ
also
£
¤
(1 − λ) (cos φ − λ)2 + sin2 φ = 0
(3.5.13)
Ein reeler Eigenwert ist λ = 1, die restlichen zwei Eigenwerte sind komplex
konjugiert
q
2
λ − 2 cos φλ + 1 = 0 → λ1,2 = cos φ ± − sin2 φ
(3.5.14)
Dem reellen Eigenwert entspricht ein Eigenvektor, dessen Richtung gibt die
Drehachse an

 
cos φ − 1 − sin φ 0
x
 sin φ


cos φ − 1 0
y =0
(3.5.15)
0
0
0
z
Daraus folgt dass z beliebig ist, und x = y = 0 sein müssen
x=
sin φ
y
cos φ − 1
→
2(1 − cos φ)y = 0
(3.5.16)
68
Ausnahmen wenn φ = 0 dann bleiben alle Vektoren unverändert und sind
Eigenvektoren.
Nun Drehung im Dreidimensionalen:
LP Kapitel 10.5 Seite 337
Angabe der Achse ~eφ (Einheitsvektor), um die gedreht wird und den Dreh-
winkel φ im Gegenuhzeigersinn. Zeichnung (LP Abb. 10.1)
~x = (~eφ · ~x) ~eφ + y
(3.5.17)
~x 0 = (~eφ · ~x) ~eφ + ~y 0
(3.5.18)
Zerlegen y 0 in y und ~eφ × y
y 0 · y = y 2 cos φ
y 0 · (~eφ × y) = y 2 sin φ
(3.5.19)
Also
~x 0 = (~eφ · ~x) ~eφ + y cos φ + ~eφ × y sin φ
(3.5.20)
Einsetzen für y = ~x − (~eφ · ~x) ~eφ gibt das gesuchte Resultat
Ã
!
Ã
!
~x 0 = (~eφ · ~x) ~eφ + ~x − (~eφ · ~x) eφ cos φ − ~x × ~eφ sin φ
~x 0 = R(~eφ )~x
(3.5.21)
mit R(~eφ ) gleich der Matrix


e1 e1 + (1 − e1 e1 ) cos φ e1 e2 (1 − cos φ) − e3 sin φ e1 e3 (1 − cos φ) + e2 sin φ
 e2 e1 (1 − cos φ) + e3 sin φ e2 e2 + (1 − e2 e2 ) cos φ e2 e3 (1 − cos φ) − e1 sin φ 
e3 e1 (1 − cos φ) + e2 sin φ e3 e2 (1 − cos φ) + e1 sin φ e3 e3 + (1 − e3 e3 ) cos φ
(3.5.22)
oder
(R(~eφ ))ij = ei ej + (δij − ei ej ) cos φ − ²ijk ek sin φ
(3.5.23)
69
Die Rückdrehung um diese Achse lautet
(R̄(~eφ ))ij = ei ej + (δij − ei ej ) cos φ + ²ijk ek sin φ
(3.5.24)
das muss die Inverse sein. Also
(RR̄(~eφ ))ik = δik
=
×
=
−
=
=
(3.5.25)
(ei ej + (δij − ei ej ) cos φ − ²ijm em sin φ)
(ej ek + (δjk − ej ek ) cos φ + ²jkn en sin φ)
(3.5.26)
2
ei ek + 0 − ²ijm ej ek em sin φ + 0 + (δik − ei ek ) cos φ
²ikm em sin φ cos φ + ²ikn en sin φ cos φ − ²ijm ²jkn em en sin2 φ
ei ek + (δik − ei ek ) cos2 φ − (δmk δin − δmn δik )em en sin2 φ
ei ek + δik − ei ek qed
Ebenso Rotation um die Invertierte Achse. Die Transponierte ist die Inverse.
Beispiel: Achse
√ (1,√2, 0) Drehung um π/2. Der Einheitvektor in Achsenrichtung ist (1/ 5, 2/ 5, 0), cos(π/2) = 0 und sin(π/2) = 1 Zuerst Winkel nicht
spezifizieren
√


1/5 + 4/5 cos φ 2/5(1 − cos φ) 2/ √5 sin φ

(3.5.27)
R =  2/5(1
√− cos φ) 4/5 +√1/5 cos φ −1/ 5 sin φ
2/ 5 sin φ
1/ 5 sin φ
cos φ
√ 

1/5
2/5
2/ √5

R =  2/5
(3.5.28)
4/5
√
√ −1/ 5
2/ 5 1/ 5
0
Tatsächlich gilt
(1, 2, 0)R = (1, 2, 0)
(3.5.29)
Sp(R(~eφ )) = 1 + 2 cos φ
(3.5.30)
Eigenschaften von R(~eφ )
daraus also den Winkel. Die Achse aus
(R(~eφ ))ij ²ijk = −²ijk ²ijm em sin φ = −2ek sin φ
(3.5.31)
denn ²ijk ²ijm = 2δkm . Also
ek = −
(R(~eφ ))ij ²ijk
2 sin φ
(3.5.32)
70
Euler Winkel (LP Seite 339 und M.5.11 Seite 201) Darstellung der
Drehung durch drei Drehungen (1) um die z-Achse mit φ, (2) um die xAchse mit δ und (3) wieder um die z-Achse mit ψ




cos φ − sin φ 0
1
0
cos ψ − sin ψ 0
 sin ψ cos ψ 0   0 cos δ − sin δ   sin φ cos φ 0 
0
0
1
0 sin δ cos δ
0
0
1
(3.5.33)
Das Produkt der drei Drehmatrizen (Reihenfolge beachten) gibt die Eu-
Abbildung 3.4: α, β, γ entsprechen ψ, δ, φ
71
ler’sche Drehmatrix


cos ψ cos φ − sin ψ cos δ sin φ − cos ψ sin φ − sin ψ cos δ cos φ sin ψ sin δ
 sin ψ cos φ + cos ψ cos δ sin φ − sin ψ sin φ + cos ψ cos δ cos φ − cos ψ sin δ 
sin δ sin φ
sin δ cos φ
cos δ
(3.5.34)
Transformieren vom raumfesten Koordinatensystem in das körperfeste Koordinatensystem. Wenn die Rotation zeitabhängig ist werden die körperfesten
Koordinaten zeitabhängig
T
~ei0 (t) = Rik (t)~ek ~ei (t) = Rik
(t)~ek0
(3.5.35)
Die Änderung der körperfesten Koordinaten ist
d 0
d
T 0
~ei (t) = Rik (t)~ek = Ṙik~ek = Ṙik Rkj
~ej
dt
dt
(3.5.36)
Ω = ṘRT
(3.5.37)
Es sei
dann kann man zeigen, dass diese Matrix antisymmetrisch ist (folgt aus
der Othogonalität der Drehmatrix) und daher durch die Komponenten (im
körperfesten System) eines Drehvektors (Winkelgeschwindigkeit) dargestellt
werden
1
ωi0 = ²ijk (Ω)jk
(3.5.38)
2
Übung: Berechnen Sie aus der Eulerschen Drehmatrix den Drehwinkel
und die Richtung der Drehachse für die Drehung um die Eulerschen
Winkel
√
φ = π/6, δ = π/6 und ψ = π/6, sin π/6 = 1/2 und cos π/6 = 3/2.
Lösung:
 √
 √


1 √0
3/2 √
−1/2 0
3/2 √
−1/2 0
 1/2
3/2 √
−1/2   1/2
3/2 0   0
3/2 0 
3/2
0
0
1
0 1/2
0
0
1
(3.5.39)
√
√


3/4
−
3/8
−
3/4
−
3/8
1/4
√
√
√
 3/4 + 3/8 −1/4 + 3 3/8 − 3/4 
(3.5.40)
√
√
1/4
3/4
3/2
Aus der Spur der Drehmatrix folgt der Drehwinkel
√
3 3 1
−
cos Φ = (SpR) − 1)/2 =
8
4
(3.5.41)
72
Die y-Komponente des Drehvektors ist Null, daher liegt
der xz-Ebene.



√
0 0 0
0
3
T 
T 

0 0 1
0
~ex = Sp(R
=
~ey = SpR
2
0 −1 0
1
der Drehvektor in

0 −1
0 0 =0
0 0
(3.5.42)
In der Theoretischen Physik werden die eulerschen Winkel zur Beschreibung des Starren Körpers benutzt.
In der Kristallographie werden die eulerschen Winkel zur Beschreibung
der Kreise des Röntgendiffraktometers und zur Beschreibung der Orientierungsdichteverteilungsfunktion von Texturen verwendet.
In der Astronomie sind die eulerschen Winkel unter anderen Bezeichnungen als Bahnelement eines Objekts geläufig.
In der Computergrafik werden die eulerschen Winkel zur Beschreibung
der Orientierung eines Objektes verwendet.
In der Festkörper-NMR werden die eulerschen Winkel zu theoretischen
Beschreibung und zur Simulation von Spektren benutzt.
3.5.2
Inertialsysteme
Begriff von Ludwig Lang 1885 geprägt.
Zwei Ereignisräume die sich gegeinander mit einer gleichförmigen Geschwindigkeit bewegen (Boost). Sie sind durch eine Transformation der Koordinaten verbunden. Dabei soll eine Gerade (kräftefreie Bewegung, Lichtstrahl)
wieder in eine Gerade übergehen. Allgemeiner wenn zusätzlich: Translation;
Drehung;
3.5.3
Der Ereignisraum der klassischen Mechanik
Aus Galilei Galileo, Dialog über die beiden hauptsächlichsten Weltsysteme,
das ptolomäische und das kopernikanische. Teubner Stuttgart 1982, Seite
197
Schließt Euch in Gesellschaft eines Freundes in einen möglichst großen Raum
unter dem Deck eines großen Schiffes ein. Verschafft Euch dort Mücken,
Schmetterlinge und ähnliches fliegendes Getier; sorgt auch für ein Gefäß mit
73
Wasser und kleinen Fischen darin; hängt ferner oben einen kleinen Eimer
auf, welcher tropfenweise Wasser in ein zweites enghalsiges darunter gestelltes Gefäß träufeln läßt. Beobachtet nun sorgfältig, solange das Schiff stille
steht, wie die fliegenden Tierchen mit der nämlichen Geschwindigkeit nach
allen Seiten des Zimmers fliegen. Man ward sehen, wie die Fische ohne irgend welchen Unterschied nach allen Richtungen schwimmen; die fallenden
Tropfen werden alle in das untergestellte Gefäß fließen. Wenn Ihr Euerem
Gefährten einen Gegenstand zuwerft, so braucht Ihr nicht kräftiger nach der
einen als nach der anderen Richtung zu werfen, vorausgesetzt, daß es sich
um gleiche Entfernungen handelt. Wenn Ihr, wie man sagt, mit gle ichen
Füßen einen Sprung- macht, werdet Ihr nach jeder Richtung hin gleichweit
gelangen. Achtet darauf, Euch aller dieser Dinge sorgfältig zu vergewissern,
wiewohl kein Zweifel obwaltet, daß bei ruhendem Schiffe alles sich so verhält.
Nun laßt das Schiff mit jeder beliebigen Geschwindigkeit sich bewegen: Ihr
werdet wenn nur die Bewegung gleichförmig ist und nicht hier- und dorthin
schwankend bei allen genannten Erscheinungen nicht die geringste Veränderung eintreten sehen. Aus keiner derselben werdet Ihr entnehmen können, ob
das Schiff fährt oder stille steht. [...] Die Ursache dieser übereinstimmung
aller Erscheinungen liegt darin, daß die Bewegung des Schiffes allen darin
enthaltenen Dingen, auch der Luft, gemeinsam zukommt. Darum sagte ich
auch, man solle sich unter Deck begeben, denn oben in der freien Luft, die
den Lauf des Schiffes nicht begleitet, würden sich mehr oder weniger deutliche
Unterschiede bei einigen der genannten Erscheinungen zeigen.
Inertialsysteme sind in der klassischen Mechanik durch die Galileitransformation verbunden. Die Koordinaten im Ereignisraum E und E 0 sind folgendermaßen verbuden (Zeichnung)
ct0 = ct
~x0
(3.5.43)
~v
= ~x − ct
c
~ T = (ct, x1 , x2 , x3 )
oder in Matrixform X
 0  
1 0 0 0
ct
v1
0 


~ 0 =  x10  =  − vc 1 0 0
X
 x2   − 2 0 1 0
c
x03
− vc3 0 0 1

ct
  x1 
~


  x2  = G(~v )X
x3
(3.5.44)

(3.5.45)
Übung: Zeigen Sie dass G(~v )G(−~v ) = I und G(~v1 )G(~v2 ) = G(~v1 + ~v2 ).
Veranschaulichung der Transformation im Ereignisraum: Siehe Fig. 3.5
74
ct
ct
ct’
ct’
α
ct1
1
(x1,ct 1)
ct’
1
s
Lichtkegel
(x1,ct 1)
ct1
(x’1 ,ct’1 )
(x’1 ,ct’1 )
x’
ct’1
1’
90-2 α
α
x’
1
s
x’
1,1’
x, x’
x1
1
x1-s 90+α s
x
x1
Abbildung 3.5: Galileitransformation und Lorentztransformation
Wie transformieren sich die Ableitungen?
und
also





∂t ∂
∂xi ∂
∂
∂
∂
= 0 + 0
=
+ vi
0
∂t
∂t ∂t
∂t ∂xi
∂t
∂xi
(3.5.46)
∂
∂t ∂
∂xj ∂
∂
=
+ 0
=
0
0
∂xi
∂xi ∂t ∂xi ∂xj
∂xi
(3.5.47)
∂
∂t0
∂
∂x01
∂
∂x02
∂
∂x03



1 v1 v2 v3
 

  0 1 0 0 

=
0 0 1 0 

0 0 0 1
∂
∂t
∂
∂x1
∂
∂x2
∂
∂x3




(3.5.48)
Übung: Zeigen Sie dass die Beschleunigung invariant bleibt (Für die totalen
Differentiale gilt dt0 = dt und dx0i = dxi − vi dt Daher
d
dxi
dx0i
=
(xi − vi t) =
− vi
0
dt
dt
dt
(3.5.49)
und
d dx0i
d2 x0i
=
dt0 µ
dt0
dt0 2
¶
d dxi
d2 xi
=
−
v
=
i
dt0 dt
dt2
(3.5.50)
(3.5.51)
75
3.5.4
Der Ereignisraum der speziellen Relativitätstheorie
A. Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik und
Chemie, Jg. 17, 1905, S. 891-921
Die Lorentz-Transformation verknüpft wie die Galilei-Transformation die
Koordinaten x,y,z,t eines Ereignisses in einem bestimmten Inertialsystem,
mit den Koordinaten x’,y’,z’,t’ des gleichen Ereignisses in einem anderen Inertialsystem, welches mit der Geschwindigkeit ~v relativ zum ersten System
bewegt ist. Jedoch im Gegensatz zur Galilei-Transformation beinhaltet sie
76
neben dem Relativitätsprinzip die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen, und bildet somit die mathematische Grundlage für die
spezielle Relativitätstheorie.
Erste Näherungen an diese Transformation wurden von Woldemar Voigt
(1887) und Hendrik Lorentz (1895) veröffentlicht. wobei bei diesen Autoren
das ungestrichene System als im Äther ruhend betrachtet wurde, und das
’bewegte’ gestrichene System wurde mit der Erde identifiziert. Diese Transformation wurden von Joseph Larmor (1897, 1900) und Lorentz (1899, 1904)
vervollständigt und durch Henri Poincaré (1905), welcher der Transformation ihren Namen gab, in ihre moderne Gestalt gebracht. Albert Einstein
(1905) schließlich konnte die Gleichungen aus wenigen Grundannahmen ableiten, und zeigte den Zusammenhang der Transformation mit fundamentalen
Änderungen der Begriffe von Raum und Zeit auf.
Lorentztransformation
γ
ct0 = γct − ~v · ~x
c
γ
~v (~v · ~x)
~x0 = − ~v ct + ~x + (γ − 1)
c
v2
mit
γ=q
1
1−
v2
c2
~ T = (ct, x1 , x2 , x3 )
oder in Matrixsform X
 0 

− γc v2
− γc v3
γ
− γc v1
ct
γ−1
γ−1
γ−1
 x01 
 γ
vv
vv
vv
v2 1 1
v2 1 2
v2 1 3
 0  =  − γc v1 1 +
γ−1
γ−1
γ−1
 x2 
 − v2
vv
1 + v 2 v2 v2
vv
c
v2 2 1
v2 2 3
γ−1
γ−1
γ−1
x03
v
v
v
v
1
+
vv
− γc v3
v2 3 1
v2 3 2
v2 3 3
~ 0 = L(~v )X
~
~ 0T = X
~ T LT (~v )
X
X
~
Übung: Zeigen Sie dass L−1 (~v ) = L(−v)
Also
γ
ct = γct0 + ~v · ~x0
c
γ 0
~v (~v · ~x)
~x = + ~v ct + ~x0 + (γ − 1)
c
v2
(3.5.52)
(3.5.53)
(3.5.54)


ct
  x1 


  x2 
x3
(3.5.55)
(3.5.56)
(3.5.57)
Transformationseigenschaft der Ableitungen
∂
∂ct ∂
∂xi ∂
∂
γ ∂
=
+
=γ
+ vi
0
0
0
∂ct
∂ct ∂ct ∂ct ∂xi
∂ct c ∂xi
(3.5.58)
77
³
∂
∂ct ∂
∂xj ∂
γ ∂
vi vj ´ ∂
=
+
v
+
δ
+
(γ
−
1)
=
i
ij
∂x0i
∂x0i ∂ct ∂x0i ∂xj
c ∂ct
v 2 ∂xj
(3.5.59)
Zwei Limiten: (i) c → ∞ dann geht die Lorenztransformation in die
Galilei-Transformation über.
Beweis: Im Limes geht γ → 1, und t0 = t.
(ii) ~v = v~ex
³
γ
vx ´
ct0 = γct − vx = γ ct −
(3.5.60)
c
c
³
´
γ
v
x0 = − vct + x + (γ − 1)x = γ x − ct
(3.5.61)
c
c
y0 = y
(3.5.62)
0
z = z
(3.5.63)




ct0
γ
− γc v 0 0
ct
 x0 
 −γ v
 x
γ
0
0
 0  =  c

 y 
 0
0
1 0  y
z0
0
0
0 1
z
~ 0 = Lx (v)X
~
~ 0T = X
~ T LT (v)
X
X
x




(3.5.64)
Veranschaulichung der Transformation im Ereignisraum: Siehe Fig. 3.5
Umgekehrt gilt



ct
γ γc v
 x 
 γ

 =  cv γ
 y 
 0 0
z
0 0
~ = Lx (−v)X
~0
X
0
0
1
0
 0 
0
ct
 x0 
0 


0   y0 
1
z0
~T = X
~ 0T LT (−v)
X
(3.5.65)
x
Übung: Zeigen Sie dass gilt Lx (~v1 )Lx (~v2 ) = Lx (~v3 ) mit v3 =
v1 +v2
v v
1+ 12 2
. Beachten
c
Sie dass γ von v abhängt und beschränken Sie sich auf den zeidimensionalen
Unterraum ct, x1 .
µ
¶µ
¶ µ
¶
γ1
− γc1 v1
γ2
− γc2 v2
γ3
− γc3 v3
=
(3.5.66)
− γc1 v2
− γc2 v2
− γc3 v3
γ1
γ2
γ3
mit
γ1 γ2
γ3 = γ1 γ2 + 2 v1 v2
c
γ3
γ1 γ2
γ1 γ2
− v3 = −
v2 −
v1
c
c
c
(3.5.67)
(3.5.68)
78
dividiert man die zweite durch die erste Gleichung folgt
v1
+ v2
v3
= c v1 vc2
c
1 + c2
(3.5.69)
Nun ist noch zu zeigen dass damit auch die Gleichung
³
v1 v2 ´
γ(v3 ) = γ(v1 )γ(v2 ) 1 + 2
c
(3.5.70)
erfüllt ist. Dh
s
1
1− 2
c
µ
v1 + v2
1 + v1c2v2
¶2
=
q
(1 −
1
Das ist aber richtig denn
q
v
¢2
u¡
v
v
1
1−
u 1 + 12 2 − 2 (v12 + v22 + 2v1 v2 )
c
t
=
¡ c v v ¢2
1 + 1c2 2
v22
v12
)(1
−
)
2
c
c2
v1 v2
+ c2
1
c2
(v12 + v22 − v1 v2 )
1+
v1 v2
c2
(3.5.71)
(3.5.72)
was zu zeigen war.
Das Geschwindigkeitsadditionstheorem kann man auch leicht sehen wenn
man die Lorentztransfomation so parametrisiert
¶
µ
cosh φ − sinh φ
(3.5.73)
Lx (v) =
− sinh φ cosh φ
und die Eigenschaften der Hyperbelfunktionen benützt. Noch einige Eigenschaften von Lx :
µ
¶
γ γc v
−1
Lx (v) =
= Lx (−v)
(3.5.74)
γ
v γ
c
Also
µ
¶
vx0
ct = γ ct +
c
´
³
v
x0 = γ x0 + ct0
c
0
(3.5.75)
(3.5.76)
Transformation der Ableitungen für den Spezialfall Lx :
∂
∂ct ∂
∂x ∂
∂
γv ∂
=
+
=γ
+
0
0
0
∂ct
∂ct ∂ct ∂ct ∂x
∂ct
c ∂x
(3.5.77)
∂ct ∂
∂x ∂
γv ∂
∂
∂
=
+ 0
=
+γ
0
0
∂x
∂x ∂ct ∂x ∂x
c ∂ct
∂x
(3.5.78)
79
µ
∂
∂ct0
∂
∂x0
∂
∂
=
0
∂y
∂y
¶ µ
¶µ
γ
γ cv
=
γ
v γ
c
∂
∂ct
∂
∂x
∂
∂
=
0
∂z
∂z
¶
µ
= Lx (−v)
(3.5.79)
∂
∂ct
∂
∂x
¶
(3.5.80)
Übung: Zeigen Sie dass der ¤-Operator invariant unter Lorentztransformationen Lx bleibt.
³
´µ 1 0 ¶µ ∂ ¶
∂2
∂2
∂
∂
∂(ct)0
(3.5.81)
∂(ct)0
∂x0
∂
2 =
2 −
0
0
0 −1
∂x
∂(ct)
∂x0
Nun gilt
µ
¶µ
¶
γ
v
γ
γ
− γc v
c
Lx (v) =
(3.5.82)
− γc v γ
− γc v −γ
µ 2
¶ µ
¶
2
γ (1 − vc2 )
0
1 0
=
=
(3.5.83)
2
0 −1
0
γ 2 ( vc2 − 1)
LTx (v)
1 0
0 −1
¶
µ
Übung: Zeigen Sie für die allgemeinere Lorentz-Transformation, dass
¶
¶
µ
µ
1 0
1 0
T
(3.5.84)
L(v) =
L (v)
0 −1
0 −1
Beweis:



− γc v1
− γc v2
− γc v3
1 0
0
0
γ−1
γ−1
 − γ v1 1 + γ−1
  0 −1 0
vv
vv
vv
0 
v2 1 1
v2 1 2
v2 1 3
 γc


γ−1
γ−1
γ−1
 − v2
  0 0 −1 0 
vv
1 + v 2 v2 v2
vv
c
v2 2 1
v2 2 3
γ−1
γ−1
0 0
0 −1
− γ v3
vv
vv
1 + γ−1
vv
v2 3 1
v2 3 2
v2 3 3
c

γ
γ
γ
γ
v
v
v
c 1
c 2
c 3
γ−1
γ−1

 − γ v1 −(1 + γ−1
v
v
)
−
v
v
−
vv
c
v2 1 1
v2 1 2
v2 1 3
 (3.5.85)
=
γ−1
γ−1
γ−1
 − γ v2

−
v
v
−(1
+
v
v
(
−
v
v
2
1
2
2
2
3
2
2
2
c
v
v
v
γ
γ−1
γ−1
γ−1
− v 2 v3 v1
− v 2 v3 v2
−(1 + v2 v3 v3 )
− c v3
γ
Diese Matrix mit L multiplizieren. Das Lctct -Element ist
γ 2 (1 −
v2
)=1
c2
(3.5.86)
Das Lctx1 -Element ist
γ2
γ
γ−1
γ γ−1
γ γ−1
v1 + v1 (1 +
v1 v1 ) + v2 2 v1 v2 + v3 2 v1 v3(3.5.87)
=
2
c
c
v
c
v
c
v
γ
γ
v 2 + v22 + v32
v1 (−γ + 1) + v1 (γ − 1) 1
=0
(3.5.88)
c
c
v2
−
80
Jetzt noch das Lx1 x1 -Element
γ2
γ−1
(γ − 1)2 2 2 (γ − 1)2 2 2
2
v
v
−
(1
+
v
v
)
−
v v −
v3 v1(3.5.89)
1
1
1
1
2
c2
v4 ¸ 2 1
v4
· 2 v
γ
2(γ − 1) + (γ − 1)2
(3.5.90)
= −1 + v12 2 −
c
v2
· 2
¸
(1 + (γ − 1))2
1
2 γ
= −1 + v1 2 −
+ 2
(3.5.91)
c
v2
v
· µ
¶
¸
1
1
1
2
2
= −1 + v1 γ
−
+ 2
(3.5.92)
c2 v 2
v
¶
¸
· µ 2
v
1
1
2
2
= −1 + v1 γ
−1
+
= −1
(3.5.93)
c2
v2 v2
Linienelement soll invariant unter diesen Transformationen sein (siehe Klein
Mathematik... Seite 105 Teil II)
ds2 = dt2 − d~x2
(3.5.94)
Es ist nicht mehr positiv definit. Es definiert raumartige, zeitartige, und
singuläre Abstände. Die Metrik des vierdimensionalen Raums ist durch den
metrische Tensor


1 0
0
0
 0 −1 0
0 

gik = 
(3.5.95)
 0 0 −1 0 
0 0
0 −1
bestimmt. Der Ereignisraum der speziellen Relativitätstheorie ist nicht euklidisch!
Vierervektoren: Angabe der Komponenten
xµ = (ct, x, y, z)
xµ
(3.5.96)
Zusammenhang der ko- und kontravarianten Komponenten durch den metrischen Tensor. Also
xµ = gµν xν = (ct, −x, −y, −z)
(3.5.97)
Die Lorentztransformationen lassen das 4-er Skalrprodukt xµ xµ invariant. Die
spezielle Lorentztransformation (nur Boosts) sind Drehungen in Raum und
Zeit (komplexer Winkel, hyperbolische Funktionen statt Winkelfunktionen)
Es ist gerade diese pseudo-euklidische Metrik,diese Struktur des vierdimensionalen Ereignisraums, die dazu führen, dass die Zeit (Eigenzeit) für
81
einen auf einer nicht geradlinigen Weltlinie (Weg eines bewegten Teilchens ist
Kurve in dem Eriegnisraum) langsamer vergeht als für einen der ruht [Zwillings Paradoxon]. Diese Konsequenz der mathematisch formulierten Theorie
verleitet noch immer einige die spezielle Relativitätstheorie für falsch zu erklären. Dass die Zeit langsamer für bewegte Teilchen als für ruhende vergeht
zeigt der Vergleich der Zerfallszeit der Myonen die von der Sonne auf die
Erde fliegen mit der Zerfallszeit von Myonen auf der Erde.
Allgemeine Relativitätstheorie
Die Allgemeine Relativitätstheorie ist so formuliert, dass ihre Gleichungen in
jedem Koordinatensystem gelten. Die Weltlinien frei fallender Teilchen sind
die Geraden (genauer Geodäten) der gekrümmten Raumzeit. Gravitation
zeigt sich im freien Fall an der Gezeitenwirkung, dass benachbarte Geodäten
aufeinander zu oder voneinander weg streben und sich wiederholt schneiden
können. Umkreisen beispielsweise zwei Raumstationen mit gleichem Abstand
in verschiedenen Ebenen die Erde, so schneiden sich ihre Bahnkurven und
Weltlinien dort, wo sich die Bahnebenen schneiden, danach nimmt ihr Abstand zu, bis sie einen Viertelkreis durchlaufen haben, dann wieder ab, bis
sich ihre Bahn nach einem Halbkreis wieder kreuzt. Diese Auswirkung ungleichmäßiger Gravitation (sie wirkt an verschiedenen Orten in verschiedene
Richtung oder mit verschiedener Stärke) heißt Gezeitenwirkung. Sie nimmt
bei kleinen Abständen mit dem Abstand zu. Kann man die Gezeitenwirkung
vernachlässigen, so gilt im freien Fall die Spezielle Relativitätstheorie.
Der Begriff des mitfallenden Bezugssystems ersetzt in der Allgemeinen
Relativitätstheorie den Begriff des Inertialsystems.
Kapitel 4
Vektor-Analysis
4.1
Felder
Feldbegriff von Faraday geprägt. Feldtheorien schon seit Eulers Hydrodynamik.
Abbildung 4.1: Feldlinien eines elektrischen Feldes
Starke Wechselwirkung Quelle des Feldes: Protonen, Neutronen, Pionen,
Hyperonen Kraft: Kernkraft Stärke: 1 Reichweite: klein
Elektromagnetische Wechselwirkung Quelle des Feldes: alles, was elektrische Ladungen enthält. Kraft: Elektrische Kraft, Magnetische Kraft
82
83
Stärke: ca. 1/100 Reichweite: unbegrenzt gross - Elektrisches Feld Magnetfeld
Schwache Wechselwirkung Quelle des Feldes: alle Elementarteilchen Kraft:
Schwache Wechselwirkungskraft Stärke: ca. 1/1015 Reichweite: klein
Gravitationswechselwirkung Quelle des Feldes: alle schweren Massen Kraft:
Schwerkraft Stärke: ca. 1/1038 Reichweite: unbegrenzt gross
4.1.1
Skalare Felder
LP Kapitel 7.4
Potential Φ(~x), Äquipotentialflächen Φ(~x) = λ.
Beispiel: Φ(~x) = f (r) Äquipotentialflächen sind Kugeloberflächen. Zeichnung.
Kurve auf der Äquipotentialfläche in Parameterdarstellung
Φ(~x(s)) = λ
(4.1.1)
Der Tangentenvektor dieser Kurve ist
~t = d~x
ds
(4.1.2)
Es gilt auf der Kurve (das Potential ändert sich nicht solange man auf der
Äquipotentialfläche bleibt)
0=
dΦ
∂Φ dxi ~ ~
=
= t · ∇Φ(~x)
ds
∂xi ds
(4.1.3)
Also steht der Gradient senkrecht auf jeden Tangentenvektor einer Kurve auf
der Äquipotentialfläche, also senkrecht auf die Äquipotentialfläche. Der Gradient (Nablavektor) ist ein Vektor (Tensor 1. Stufe) was durch sein Transformationsverhalten unter linearer Transformation der Basisvektoren bewiesen
wird.
 ∂ 

~ =
∇


∂x1
∂
∂x2


.. 
. 
∂
∂xn
~ = e1 ∂ + e2 ∂ + . . . + en ∂ +
∇
∂x1
∂x2
∂xn
~ = gradΦ
∇Φ
(4.1.4)
84
Wert der Funktion in einem benachbarten Punkt durch entwickeln
∂Φ
∂Φ
~ x)
Φ(~x + ~δ) ≈ Φ(~x) +
δ1 +
δ2 + . . . = Φ(~x) + ~δ · ∇Φ(~
∂x1
∂x2
(4.1.5)
Der Wert der Änderung in Richtung von ~δ ist die Projektion des Gradienten
in diese Richtung. Taylorentwicklung
Φ(~x + ~δ) =
∞
X
1 ³~ ~ ´n
δ · ∇ Φ(~x)
n!
n=0
Beispiele:
gradΦ(f (~x)) =
dΦ
gradf (~x)
df
∂
∂xj
(xj xj ) = 2xj
= 2xj δji = 2xi = 2~x
∂xi
∂xi
p
1 1
1
grad|~x| = gradr = grad( (~x2 )) = p
grad(~x2 ) = p
~x
2 (~x2 )
(~x2 )
grad(~x2 ) =
grad|~x|−1 = gradr−1 = −
4.1.2
1
~x
gradr
=
r2
|~x|3
(4.1.6)
(4.1.7)
(4.1.8)
(4.1.9)
(4.1.10)
Vektorfelder
~ x) analog entwickeln
A(~
~ x + ~δ) =
A(~
∞
X
1 ³~ ~ ´n ~
δ · ∇ A(~x)
n!
n=0
(4.1.11)
Jede Komponente des Vektores wird wie eine skalare Funktion behandelt.
Können aber auch andere Verknüpfungen definieren
Divergenz
~ · A(~
~ x) = divA
~ = ∂ Ai
(4.1.12)
∇
∂xi
Rotation
³
´
~ × A(~
~ x) = rotA
~
~ = ²ijk ∂ Ak
(4.1.13)
∇
rotA
∂xj
i
Achtung die Ableitung wirkt auf alles was rechts steht, um Eindeutigkeit
herzustellen Klammern setzen.
85
Rechenregeln für den Nabla Operator
Produkte
³
´
~
~
grad A(~x) · B(~x) = Bi gradAi + Ai gradBi
(4.1.14)
∇ (A B ) = B ∇ A + Ai ∇k Bi
³ k i i ´ i k i
~ x) = Agradf
~
~
div f (~x)A(~
+ f divA
³
´
~
~
~ · rotA
~−A
~ · rotB
~
div A(~x) × B(~x) = B
(4.1.15)
∇i ²ijk Aj Bk = Bk ²kij ∇i Bk + Aj ²jki ∇i Bk =
Bk ²kij ∇i Bk − Aj ²jik ∇i Bk
(4.1.18)
µ
divgradΦ(~x) = ∆Φ =
¶
∂2
∂2
∂2
+
+ ... + 2 Φ
∂x21 ∂x22
∂xn
~ x) = 0
divrotA(~
rotgradΦ(~x) = 0
~
~ − ∆A
~
rotrotA(~x) = graddivA
Zeigen Sie daß div~v ein Skalar und rot~v ein Vektor ist.
Zeigen Sie daß
rotgrads = 0
und
divrot~v = 0
(4.1.16)
(4.1.17)
(4.1.19)
(4.1.20)
(4.1.21)
(4.1.22)
(4.1.23)
Man benützt die antisymmetrische Eigenschaft des ε-Tensors.
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
s = −εikj
s = −εijk
s = −εijk
s = −(rotgrads)i = 0
xj xk
xj xk
xk xj
xj xk
(4.1.24)
Dabei hat man die Indizes des ε-Tensors vertauscht (gibt das Vorzeichen), dann umbenannt und die Ableitungen vertauscht. Analog für die zweite Relation.
(rotgrads)i = εijk
Bedeutung der Divergenz
~=
Sei das Vektorfeld A
~
x
|~
x|3
(= grad |~x1| )
~=0
divA
r 6= 0
(4.1.25)
Interpretiert man das Vektorfeld als stationäres Strömungsfeld so sieht man
dass die Strömung aus dem Ursprung erfolgt. Dort sitzt die Quelle. Später
wird gezeigt, dass für dieses Feld keine weiteren Quellen im Raum vorhanden
86
¾
¾
¾
¾
¾
¾
¾
¾
¾
¾
¾
¾
¾
¾
¾
¾
¾
¾
y
6
-
-
(a)
- x
-
~va
y
6
- - - - - - - - - ¾ ¾ ¾ ¾
x
¾ ¾ ¾ ¾
¾ ¾ ¾ ¾
(b)
Abbildung 4.2: Vektorfelder (a) div ~va 6= 0 und rot ~va = 0
und rot ~vb 6= 0
~vb
(b) div ~vb = 0
sind, es ist ja die Divergenz Null.
~ = ~xp mit p 6= 3 dann gilt
Anderes Beispiel: Ist A
|~
x|
~=
divA
∂
xi
1
=
(3 − p)
p/2
∂xi (xj xj )
(xj xj )p/2
(4.1.26)
Also die Divergenz verschwindet nicht im Raum. Überall quillts oder es versinkt die Strömung.
Bedeutung der Rotation
~=ω
Sei das Vektorfeld A
~ × ~x, Bild. die Rotation ist dann
∂
²klm ωl xm = ²ijk ²klm ωl δjm
∂xj
= ²ijk ²klj ωl = ²kij ²klj ωl = (δkk δil − δkl δik ) ωl
= (3δil − δil ) ωl = 2ωi
~ i = ²ijk
(rotA)
(4.1.27)
(4.1.28)
Einfachste Beispiele von ebenen Feldern: In Fig. 4.2 sind zwei Vektorfelder
~va = αx~ex und ~vb = βy~ex skizziert, von denen das erste rotationsfrei ist und
eine konstante Divergenz hat (rot~va = 0 und div~va = α) und das zweite
keine Quellen hat, aber eine konstante, endliche Rotation (rot~vb = −β und
div~vb = 0).
Der Fluß Φ durch das eingezeichnete Volumen hängt so für ~va nur von
dessen Größe ab und nicht von Ort und Gestalt.
Für die Wirbelstärke Z von ~vb gilt analog, daß sie nur von der Größe der
Fläche in der xy-Ebene bestimmt ist und nicht von der Form der Randkurve
und deren Ort.
87
Abbildung 4.3: Feldlinien eines elektrischen Feldes

A1
~ =  A2 
A
0


A1 x
~ =  A2 
B
0


A1
~ =  A2 x 
C
0

(4.1.29)
Dann gilt;
~=0
divA
~ = A1
divB
~ =0
divC
4.2
~=0
rotA
~ =0
rotB

(4.1.30)

0
~ = 0 
rotC
A2
(4.1.31)
(4.1.32)
Transformation der Ableitungen
Siehe Sektion 3.2.4
¡ ¢i
xi = AT j x̄j
¢j
¡
xi = A−1 i x̄j
(4.2.1)
¡ T ¢j ∂
∂
∂xj ∂
∂
=
=
A i j = sf Aji j
(4.2.2)
i
i
j
∂ x̄
∂ x̄ ∂x
∂x
∂x
Also es transformiert sich die Ableitungen nach den kontravarianten Komponenten
¡ −1 ¢ j ∂
∂
=
A i
(4.2.3)
∂xi
∂ x̄j
wie die kovarianten Komponenten.
88
4.3
Integralsätze
LP/Kapitel 9 beide Auflagen
4.3.1
Kurvenintegrale
LP 1. Auf. 2.Auf. 7.3 Seite 282
~ x) wird entlang einer Kurve integriert
Ein Vektorfeld A(~
ˆ
ˆ
~ x) · d~x = (A1 dx1 + A2 dx2 + A3 dx3 )
A(~
C
(4.3.1)
C
Die Kurve sei nun in Parameterdarstellung gegeben dann kann man schreiben
ˆ
ˆ tmax
~
~ x(t)) · d~x dt
A(~x) · d~x =
A(~
(4.3.2)
dt
C
tmin
Beispiel:


3x2 + 6y
~ =  −14xy 
A
20xz 2


t
C : ~x(t) =  t2 
t3


1
d~x(t) 
2t 
=
dt
3t2
(4.3.3)
~ · d~x = (3t2 + 6t2 ) − 28t4 + 60t9 = f (t)
A
(4.3.4)
dt
ˆ tmax
ˆ tmax
f (t)dt =
(9t2 − 28t6 + 60t9 )dt = (3t3 − 4t7 + 6t1 0)ttmax
(4.3.5)
min
tmin
tmin
Die Kurve soll die Punkte (0, 0, 0) (tm in = 0) und (1, 1, 1) (tm ax = 1) verbinden. Resultat I = 5.
~ = gradΦ das Vektorfeld durch einen Gradienten darstellbar,
Sei nun A
dann
ˆ
ˆ tmax
ˆ tmax
d~x
dΦ
~
~
A(~x) · d~x =
∇φ(~x(t)) · dt =
dt = Φ(tmax ) − Φ(tmin )
dt
dt
C
tmin
tmin
(4.3.6)
Daraus folgt unmittelbar das Integral über eine geschlossene Kurve gibt Null
wenn das Vektorfeld durch eine Gradienten darstellbar. Oder: Das Wegintegral ist unabhängig vom Weg. Konservative Kräfte.
Läßt sich das Vektorfeld als Gradient darstellen so ist die Rotation Null,
denn
(rotgradΦ)i = ²ijk ∇j ∇k Φ = 0
(4.3.7)
89
~ x):
Notwendige Bedingung für ein Potential eiens Vektorfeldes A(~
∂Ai
∂Aj
=
∂xj
∂xi
(4.3.8)
diese heißt Integrabilitätsbedingung. Sie ist nicht hinreichend Beispiel:
~ = (−y, x)
A
x2 + y 2
(4.3.9)
Erfüllt die Bedingung, ABER das Integral über den Einheitskreis
ˆ
ˆ
ˆ 2π
(A1 dx+A2 dy) = (−ydx+xdy) =
(sin2 φ+cos2 φ)dφ = 2π (4.3.10)
0
Es liegt eine Singularität bei ~x = 0 vor. Der Weg kann nicht über Null gezogen
werden.
Berechnung des Potentials:
ˆ
~
x
Φ(x) =
~ x0 ) · d~x0
A(~
(4.3.11)
~
x0
Beispiel:
~ T = (2xy + z 3 , x2 , 3xz 2 )
A
~ = 0)
Keine Singularität, Integrabilität (auch rotA
∂Ax
∂Ay
= 2x =
∂y
∂x
∂Ax
∂Az
= 3z 2 =
∂z
∂x
∂Ay
∂Ay z
=0=
∂z
∂y
Berechnung des Potentials: Methode 1
∂Φ
= 2xy + xz 3
∂x
∂Φ
= x2
∂y
∂Φ
= 3xz 2
∂z
(4.3.12)
gibt
Φ = x2 y + xz 3 + f (, y, z) = x2 y + g(x, z) = xz 3 + h(x, y)
(4.3.13)
Folgende Wahl ist möglich f = 0, g = xz 3 und h = x2 y.
Φ(~x) = x2 y + xz 3
Methode 2
ˆ
Φ=
(x,y,z)
x0 ,y0 .z0
(Ax dx + Ay dy + Az dz) = (x2 y0 + xz03 )xx0 + . . .
(4.3.14)
(4.3.15)
90
Methode 3
~ · d~x = (2xy + z 3 )dx + x2 dy + 3xz 2 dz =
dΦ = A
(2xydx + x2 dy) + (z 3 dx + 3xz 2 dz) =
d(x2 y) + d(xz 3 ) = d(x2 y + xz 3 )
(4.3.16)
(4.3.17)
(4.3.18)
Beispiel: Gegeben eine Kraftfeld (keine Singularität) und die Kurve
¡
¢
~ T = 2x − y + z, x + y − z 2 , 3x − 2y + 4z
K
~ T (t) = (3 cos φ, 3 sin φ)
φ
In der Ebene z = 0 wird der Kreis einmal durchlaufen. Zu berechnen ist die
dabei zu leistende Arbeit.
Teste die Integrabilits̈bedingung
∂Kx
= −1
∂y
∂Ky
=1
∂x
also nicht erfüllt, daher wird Arbeit ungleich Null sein.
ˆ
ˆ
~
A=
K · ~x =
((2x − y)dx + (x + y)dy) =
C
C
ˆ 2π
9 [(2 cos φ − sin φ)(− sin φ) + (cos φ + sin φ) cos φ] dφ =
0
·
¸2π
ˆ 2π
1 2
9(1 − sin φ cos φ)dφ = 9(φ − sin φ
= 18π
2
0
0
(4.3.19)
(4.3.20)
(4.3.21)
Vektorpotential Feld divergenzfrei (nur notwendige Bedingung) läßt
sich als Rotation eines Vektorfeldes, des Vektorpotentials, darstellen (wenn
keine Singularität). Eindeutig bis auf einen Gradienten
~ = rot(A
~ + gradΦ)
B
Das Vektorpotential kann folgendermaßen berechnet werden
ˆ 1
~ x) =
~ a(t)) × d~a(t) dt
~a(t) = ~x0 + t(~x − ~x0 )
tB(~
A(~
dt
0
(4.3.22)
(4.3.23)
Beweis durch Ableiten:
ˆ
1
~=
rotA
0
d ³ 2 ~´ ~
t B =B
dt
(4.3.24)
91
Man benutzt
²ijk
d~a(t)
= ~x − ~x0
dt
(4.3.25)
∂
∂
²klm Bl (xm − x0m ) = ²kij ²klm
Bl (xm − x0m ) =
∂xj
∂xj
∂
(δil δjm − δjl δim )
(Bl (xm − x0m )) =
∂xj
∂
∂
(Bi (xj − x0j )) −
(Bj (xi − x0i )) =
∂xj
∂xj
~ − Bj ∇ j x i
Bi div~x + (xj − x0j )∇j Bi − (xi − x0i )divB
~ × (~x − ~x0 )) = (~x − ~x0 )divB
~ − Bdiv~
~ x + (~x
rot(B
~ − (B
~ · ∇)~
~ x + ((~x − ~x0 ) · ∇)
~ B
~
−~x0 )divB
Nun ist
~ = 0 (B
~ · ∇)~
~ x=B
~
div~x = 3 divB
(4.3.26)
(4.3.27)
(4.3.28)
(4.3.29)
(4.3.30)
(4.3.31)
(4.3.32)
und
∂
∂
∂am
Bi = (xj − x0j )(
Bi )
= (4.3.33)
∂xj
∂am
∂xj
∂
∂
(xj − x0j )(
Bi )tδmj = t(xj − x0j )
Bi (4.3.34)
∂am
∂aj
~ B
~ i = (xj − x0j )
((~x − ~x0 ) · ∇)
Es ist auch
d
daj
Bi (~a) =
∇aj Bi = (xj − x0j )∇aj Bi
dt
dt
(4.3.35)
Also
ˆ
1
~ x) =
rotA(~
0
~ + t d Bi (~a)) =
t(2B
dt
ˆ
1
0
d 2~
~
(t B)dt = B
dt
(4.3.36)
~ = 2~ω . Es gilt divB
~ = 0 da das
Einfaches Beispiel: Das Vektorfeld sei B
~
Vektorfeld konstant ist. Das Vektorpotential ist A = ω
~ × ~x. Das soll nun
über das Wegintegral berechnet werden. Dazu wird der Einfachheit halber
~x0 = 0 gesetzt.
ˆ t
t2
~
A=
dt t2~ω × ~x = 2~ω × ~x |10 = ω
~ × ~x
(4.3.37)
2
0
92
Weiteres Beispiel: Gegeben das Feld
~ = p~ × ~x = p~ × ∇
~ 1
B
3
|~x|
|~x|
(4.3.38)
dann ist das Vektorpotential
~ = − p~
A
|~x|
~ = 0. Antwort ja ~x = 0 ausgenommen.
Zuerst nachsehen ob divB
µ
¶
1
xj
~
~i
(rotA)i = ²ijk ∇j pk
=B
= ²ijk pk −
|~x|
|~x|
(4.3.39)
(4.3.40)
~ das Vektorpotential.
Tatsächlich ist A
4.3.2
Oberflächenintegrale
Eine Fläche kann in einer zweiparametrischen Darstellung angegeben werden


x1 (u, v)
~x(u, v) =  x2 (u, v) 
(4.3.41)
x3 (u, v)
zum Beispiel eine Kugeloberfläche (Radius R, Längen- und Breitenkreise)


R cos φ sin θ
~x(θ, φ) =  R sin φ sin θ 
R cos θ
(4.3.42)
93
Ein infinitesimales Flächenelement ist durch seine Fläche und die Normale
auf die Fläche bestimmt
dF~ = ~ndF =
∂~x(u, v) ∂~x(u, v)
×
dudv
∂u
∂v
(4.3.43)
und ~n ist ein Einheitsvector. Also im Fall der Kugelobefläche




−R sin φ sin θ
R cos φ cos θ
∂~x(θ, φ) 
∂~x(θ, φ) 
R cos φ sin θ 
R sin φ cos θ  (4.3.44)
=
=
∂φ
∂θ
0
−R sin θ
In welcher Reihenfolge das Vektorprodukt ausgeführt wird legt die Richtung
des Flächenvektors fest. Üblich ist eine Wahl die von einer kovexen Flächenteil weg zeigt, also im Fall der Kugel in Richtung des Ortsvektors nach außen.
Daraus folgt das Flächenelement
dF~ = ~ndF =
∂~x(θ, φ) ∂~x(θ, φ)
×
dθdφ
∂θ
∂φ
(4.3.45)

cos φ sin θ
dF = R2 sin θdθdφ ~n =  sin φ sin θ 
cos θ
(4.3.46)
Vergleicht man mit den Kugelkoordinaten so ergibt sich

R2 cos φ sin2 θ
dF~ =  R2 sin φ sin2 θ  dφdθ
R2 sin θ cos θ


dF~ = ~er R2 sin θdθdφ
Übung: Bestimmen sie den Flächenvektor einer Zylinderoberfläche


R cos φ
~x(φ, z) =  R sin φ 
z

 

R sin φ
0
∂~x(φ, z) 
∂~x(φ, z)  

R cos φ
0
=
=
∂φ
∂z
0
1




R cos φ
cos φ
dF~ =  R sin φ  dφdz dF = Rdφdz ~n =  sin φ 
0
0
(4.3.47)
ρ=R
(4.3.48)
(4.3.49)
(4.3.50)
Lösung: dF~ = ~eρ Rdφdz
Ein Flächeninhalt ergibt sich durch das Integral
ˆ u2 ˆ v2
|dF~ |
u1
v1
(4.3.51)
94
Ein Fluß durch eine Fläche
ˆ
u2
ˆ
u1
v2
~v dF~
(4.3.52)
v1
wo ~v die Dimension einer Quantität (z.Bsp. Masse) pro Zeiteinheit hat.
4.3.3
Volumsintegrale
Die Berechnung von Volumina erfolgt durch Integration über das Volumselement
ˆ u2 ˆ v2 ˆ w2
V =
dV (u, v, w)
(4.3.53)
u1
v1
w1
¸
ˆ u2 ˆ v2 ˆ w2 ·
∂~x(u, v, w ∂~x(u, v, w ∂~x(u, v, w
,
,
dudvdw
=
∂u
∂v
∂w
u1
v1
w1
oder man integriert über ein skalares Feld
ˆ u2 ˆ v2 ˆ w2
P =
Φ(u, v, w)dV (u, v, w)
u1
4.3.4
v1
(4.3.54)
w1
Der Gaußsche Integralsatz
LP 2.A Kap 9.1 Seite 321
Betrachtet man ein Vektorfeld ~v (~x, t) (und stellt sich dieses etwa als Geschwindigkeitsfeld einer Strömung vor) dann besteht dieses Vektorfeld aus
drei Komponenten, vx (~x, t) , vy (~x, t) und vz (~x, t). Es bedeutet
vx (~x, t) dydz =
die Menge, die in der Zeiteinheit
durch ein Flächenelement dydz um ~x, das senkrecht zur
x-Achse orientiert ist, strömt (in positiver x-Richtung)
(4.3.55)
und ähnlich für vy und vz . Durch ein willkürlich orientiertes Flächenelement
strömt dann pro Sekunde eine Menge
~v (~x, t) df~ = ~v (~x, t) ~nf df
(4.3.56)
wobei ~n ein Einheitsvektor senkrecht zum Flächenelement der Größe df ist.
Betrachtet man geschlossene Fläche O, dann strömt durch diese Fläche
pro Zeiteinheit eine Nettomenge
˛
Q=
~v (~x, t) df~
(4.3.57)
O
95
Der Flächenvektor df~ ist dabei immer nach außen gerichtet. Im Integral
über die geschlossene Oberfläche bleibt natürlich nur etwas übrig wenn das
umschlossene Volumen V Quellen oder Senken enthält. Diese Größe Q nennt
man die Ergiebigkeit sämtlicher durch O umschlossenen Volumen V befindlichen Quellen und Senken. Der Kreis durch das Integralzeichen ist eine Erinnerung daran, daß es sich um ein Integral über eine geschlossene Fläche
handelt.
Teilt man das von O umschlossene Volumen V in Teilvolumina V1 und
V2 ein, die von den Flächen O1 und O2 umschlossen sind so gilt
˛
Q = Q1 + Q2
mit Qi =
~v (~x, t) df~
(4.3.58)
Oi
weil sich die Integrale über die Trennfläche aufheben. Dies kann man beliebig oft durchführen bis man letztendlich Q als Summe über infinitesimale
Volumina schreiben kann und im Limes ∆V → 0
ˆ
Q = q(~x, t)dV
(4.3.59)
mit der Ergiebigkeitsdichte q
Abbildung 4.4: (a) Zur Richtung des Flächenvektors. (b) Zur Berechnung
der Quellstärke
1
q = lim
∆V →0 ∆V
˛
~v df~
O(∆V )
(4.3.60)
96
Das infinitesimale Volumen sei ein infinitesimaler Quader mit Kantenlängen
dx, dy und dz. Innerhalb dieses Quaders entwickelt man das Feld ~v (~x, t) in
eine Taylorreihe um einen der Eckpunkte ~x
~ v (~x, t) + . . .
~v (~x + d~x, t) = ~v (~x, t) + (d~x∇)~
(4.3.61)
und vernachlässigen Terme höherer Ordnung. Für das Integral über die Quaderfläche erhält man so
·½
¾
¸
∂vx
q (~x, t) dV = dydz vx (~x, t) + dx
− vx (~x, t)
∂x
·½
¾
¸
∂vy
+dxdz vy (~x, t) + dy
− vy (~x, t)
∂y
·½
¾
¸
∂vz
+dxdy vz (~x, t) + dz
− vz (~x, t)
∂z
¶
µ
∂vx ∂vy ∂vz
+
+
= dV
∂x
∂y
∂z
Damit ist die Quellendichte q (~x, t) mit der Größe
µ
¶
∂vx ∂vy ∂vz
div~v ≡
+
+
∂x
∂y
∂z
(4.3.62)
die auch die Divergenz des Vektorfeldes ~v genannt wird identifiziert. Die
Definition kann etwas kompakter geschrieben werden, indem wir den Nabla~ verwenden:
Operator ∇
~v
div~v = ∇~
(4.3.63)
Damit hat man aber auch einen Integralsatz ’bewiesen’
˛
ˆ
~
~ v dV
~v df =
∇~
O
(4.3.64)
V
den (mathematischer) Gauß´schen Satz; er ist inzwischen in der Vektoranalysis natürlich auch streng bewiesen worden, unter gewissen Voraussetzungen
über die Regularität von F~ und S. Man achte auf singuläres Verhalten der
Divergenz (Punktquelle).
4.3.5
Der Stokessche Integralsatz
LP 2.A Kap 9.3 Seite 329
97
Bildet man das Linienintegral
˛
Z=
~v (~x, t) d~s
(4.3.65)
C
über einen geschlossenen Weg C. Der Vektor d~s ist tangential zur Kurve und
hat die Länge ds. Es ist anschaulich klar (man vergleiche die Kreisströmung
mit der Parallelströmung), daß ein von Null verschiedener endlicher Wert,
Zirkulation genannt, sich in bestimmten Fällen ergibt. So wie man im vorigen
Abschnitt das Volumen teilte, kann man sich auch den Weg C aufgebaut aus
zwei geschlossenen Wegen C1 und C2 aufgebaut denken. Dann ist
˛
Z = Z1 + Z2 mit Zi =
~v (~x, t) d~s
(4.3.66)
Ci
und im Grenzfall immer feinerer Unterteilungen
X˛
Z=
~v (~x, t) d~s
∆f~
C(∆f~)
(4.3.67)
wo ∆f~ ein soweit beliebiges Flächenelement ist, das aber jedenfalls von der
Kurve C(∆f~) berandet ist. Im Limes infinitesimaler Flächenelemente ergibt
sich
ˆ
Z=
~z (~x, t) df~
(4.3.68)
O
wobei O eine willkürliche durch C berandete Fläche ist. Die Größe ~z heißt
Abbildung 4.5: Zur Berechnung der Wirbeldichte
Wirbeldichte. Sie ist eine Vektorgröße. Es gilt
˛
1
~nf ~z(~x, t) = lim
~v (~x, t)d~s
~| C(∆f~)
∆f~→0 |∆f
(4.3.69)
98
Für einen infinitesimalen Rechteckweg mit Kantenlängen dx und dy (also
senkrecht zur z-Achse) ergibt sich
¶
¶
µ
µ
˛
∂
∂
~v d~s = dy −vy (~x) + vy (~x) + dx vy +dx vx (~x) − dy vx − vx (~x) =
∂x
∂y
Rechteck
(4.3.70)
¶
µ
¶
µ
∂
∂
∂
∂
= + vy −
vx dxdy =
vy −
vx ∆fz = (rot~v )z dfz (4.3.71)
∂x
∂y
∂x
∂y
Ähnliche Rechnungen für Flächenelemente senkrecht zur y- und x-Achse liefern letztendlich
µ
¶
∂vz ∂vy ∂vx ∂vz ∂vy ∂vx
~z (~x, t) =
−
,
−
,
−
(4.3.72)
∂y
dz ∂z
dx ∂x
dy
oder auch
~ × ~v ≡ rot~v
~z (~x, t) = ∇
(4.3.73)
Die Größe rot~v heißt die Rotation von ~v ; in der englischsprachigen Literatur
wird sie auch mit curl~v bezeichnet.
Die obigen Überlegungen können zusammengefaßt werden in dem Stokes´schen Satz:
˛
ˆ
~v d~s =
rot~v df~
(4.3.74)
C
O
Dabei ist die Richtung von df~ durch den Umlaufsinn von C festgelegt. Schaut
man auf die Kurve und wird die Kurve im mathematisch positiven Sinn
durchlaufen (Gegenuhrzeigersinn), so ist der Flächenvektor auf den Betrachter hingerichtet.
Auch dieser Satz kann in der Vektoranalysis streng hergeleitet werden.
Aus dem Stokes´schen Satz folgt, daß das Flächenintegral nicht von der
Wahl der Fläche O, aber natürlich von C abhängen kann. Dies läßt sich
direkt zeigen: Aus zwei durch C berandete Flächen, O1 und O2 , läßt sich eine
geschlossene Fläche S bilden, die, für den einfachen Fall, daß die Flächen O1
und O2 sich nicht schneiden, ein Volumen V umschließen. Falls die Flächen
im selben Sinn orientiert sind, so gilt z.B. im skizzierten Fall
˛
˛
˛
ˆ
rot~v df~ −
rot~v df~ =
rot~v df~ =
divrot~v dV
(4.3.75)
O1
O2
O
V
wobei im letzten Schritt der Gauß´sche Satz benutzt wurde. Nun gilt aber
divrot~v = 0
(4.3.76)
99
Damit ist das Verschwinden des Integrals über die geschlossene Fläche S, und
damit die Gleichheit der zwei Flächenintegrale über O1 und O2 bewiesen.
Man kann weiters schließen. Ein Vektorfeld ~z (~x, t) kann nur dann die
Rotation eines anderen Vektorfeldes sein kann, falls es der Zusatzbedingung
div~z (~x, t) = 0
(4.3.77)
genügt. Diese Zusatzbedingung erlaubt es, eine der Komponenten von ~z zu
bestimmen (bis auf eine Konstante), falls die zwei anderen Komponenten
bekannt sind: Ein Vektorfeld, das dieser Bedingung genügt, hat effektiv nur
zwei unabhängige Komponenten.
4.4
Hauptsatz der Vektoranalysis
Es ist deshalb nicht von vornherein unsinnig anzunehmen, daß ein Vektorfeld
~v durch seine Quellen q (~x, t) = div~v und seine Wirbel ~z (~x, t) = rot~v ”bis auf
einige Konstanten” festgelegt ist. Die genaue mathematische Formulierung
dieses ”Hauptsatzes der Vektoranalysis” lautet:
Gegeben sind ein skalares Feld q (~x, t) und ein Vektorfeld ~z (~x, t),
das die Zusatzbedingung div~z = 0 erfüllt. Die Felder q und ~z
sollen weiters nur im Endlichen von Null verschieden sein. Es
existiert dann genau ein Vektorfeld ~v (~x, t), für das gilt:
(4.4.1)
div~v = q
;
rot~v = ~z
(4.4.2)
und das weiters für |~x| → ∞ mindestens wie |~x|−2 nach Null strebt.
(4.4.3)
Zweierlei ist zu zeigen: (i) die Existenz und (ii) die Eindeutigkeit der Lösung.
Hier wird nur die Eindeutigkeit gezeigt. Das sichert im Rest der Vorlesung,
daß eine einmal gefundene auch die einzige Lösung des physikalischen Problems ist.
Angenommen es gäbe zwei Lösungen ~v1 (~x) und ~v2 (~x) mit
div~vi = q
rot~vi = ~z
(4.4.4)
Für die Differenz ~vd = ~v1 − ~v2 muß also gelten
div~vd = 0
rot~vd = 0
(4.4.5)
100
Aus rot~vd = 0 folgt insbesondere, daß ~v als Gradient eines skalaren Feldes
(Potential in der Mechanik) dargestellt werden kann
~
~vd = −∇φ
(4.4.6)
Dieses Potential ergibt sich dann als Lösung der Laplacegleichung
∆φ = 0
(4.4.7)
³ ´
³ ´
Wegen ~vi = O |~x1|2 gilt auch ~vd = O |~x1|2 ; man kann dann durch geschickte
Wahl der Integrationskonstante erreichen (Beweis als Übung man untersuche
das Linienintegral, durch das das Potential definiert ist), daß gilt
µ ¶
1
φ=O
(4.4.8)
|~x|
Mit Hilfe des Gauß’schen Satzes gelangt man zu folgender Beziehung für das
Integral über eine Kugel vom Radius R
ˆ
ˆ
¯ ¯2
¯~ ¯
2
I (R) ≡
|~vd | dV =
(4.4.9)
¯∇φ¯ dV =
Kugel
ˆ
³
=
Kugel
˛
´
~
~
∇(φ∇φ dV =
Kugel
µ ¶
´
1
~
~
φ ∇φdf = O
R
Kugeloberf l.
³
(4.4.10)
[Der Integrand im Oberflächenintegral ist von der Ordnung R1 · R12 ; die Oberfläche ist 4πR2 ]. Das Integral ist einerseits wegen der Positivität des Integranden (rechter Ausdruck) eine monoton nicht-abnehmende Funktion von
R; andererseits soll es von der Ordnung R−1 sein; das geht nur, falls gilt
~vd = 0, also ~v1 (~x) = ~v2 (~x). Damit ist der Eindeutigkeitsbeweis geliefert.
Der Existenzbeweis durch Konstruktion, zeigt auch folgendes:
1. Ein Vektorfeld ~v (~x) kann immer geschrieben werden als Summe eines
wirbelfreien oder longitudinalen Anteils ~vl und eines quellenfreien oder
transversalen Anteils ~vt .
2. Ein wirbelfreies Feld kann immer geschrieben werden als (minus der)
Gradient einer Potentialfunktion φ
~
~vl = −∇φ
(4.4.11)
101
3. Ein quellenfreies Feld kann geschrieben werden als die Rotation eines
~ (~x)
sog. Vektorpotentials A
~ ×A
~
~vt = ∇
(4.4.12)
~ festgeDurch diese Beziehung wird nur der transversale Anteil von A
legt; das Vektorpotential besitzt eine Eichfreiheit, da
~0 = A
~ + ∇χ
~
A
(4.4.13)
zum selben Feld ~vt führt. Diese Freiheit kann man dazu ausnützen, daß
man z. B. die Zusatzbedingung
~=0
divA
(4.4.14)
stellt. Für gewisse Probleme erweist es sich aber als bequemer, einen
~ festzulegen.
anderen Wert für divA
³ ´
4. Falls ~v (~x) der Bedingung ~v (~x) = O |~x1|2 genügt, und man für ~vl
und ~vt die gleiche Bedingung verlangt, so ist die Aufspaltung in einen
longitudinalen und einen transversalen Anteil eindeutig. Sonst kann
~v (~x) Beiträge enthalten, die sowohl wirbel- als auch quellenfrei sind.
Solche Beiträge haben die Gestalt
~ 0 (~x)
~v0 (~x) = −∇φ
mit ∇2 φ0 (~x) = 0
(4.4.15)
Funktionen φ0 , die der Laplace-Gleichung ∇2 φ0 (~x) = 0 genügen, heißen
harmonische Funktionen.
Maxwell Gleichungen
Zwei Sätze von Gleichungen: die homogenen und die inhomogenen
~ =0
divB
~ = 4πρ
divE
~
1 ∂B
=0
c ∂t
~
~ − 1 ∂ E = 4π ~j
rotB
c ∂t
c
~+
rotE
(4.4.16)
(4.4.17)
Die Interpretation der Gleichungen ausführlich in der Vorlesung Theoretische Physik. Das Gleichungssystem kann auch in integraler Form angegeben
werden. Volumsintegrale über die Divergenzen, Wegintegrale über die Rotationen. Interpretation dann über Gauss’schen und Stokes’schen Integralsatz.
102
4.5
4.5.1
Gradient, Divergenz und Rotation in krummlinigen Koordinaten
Gradient in krummlinigen Koordinaten
Die Komponenten findet man durch Projektion des Gradienten auf die krummlinigen Einheitsvektoren. Diese sind durch die normierten holonomen Basisvektoren gegeben. Das sind die kovarianten bzw kontavariante Vektoren
~hi = ∂~x
∂ui
~hi = ∂~x
∂ui
(4.5.1)
Die Ableitungen nach den ui transformieren sich wie die kovarianten Komponenten also sucht man die kovarianten Komponenten des Gradientenvektores
~ = ~hi ∇i = ~hi (~hi · ~ej ) ∂ = ~hi ∂xj ∂ = ~hi ∂
∇
∂xj
∂ui ∂xj
∂ui
(4.5.2)
~ = ~eui hi ∂ = ~eui 1 ∂
∇
∂ui
hi ∂ui
(4.5.3)
oder
Also schreibt man

~ =
∇

1 ∂
|~h1 | ∂u1
1 ∂
|~h2 | ∂u2
1 ∂
|~h3 | ∂u3



(4.5.4)
wenn Darstellung in Einheitsvektoren und nicht in den holonomen. Anwendung: LP 2. Auflage Seite 317 M.8.1
Polarkoordinaten: hr = 1, hφ = r
µ ∂ ¶
∂r
~
∇=
(4.5.5)
1 ∂
r ∂φ
Zylinderkoordinaten: hρ = 1,hφ = ρ, hz = 1
~ = ~eρ ∂ + ~eφ 1 ∂ + ~ez ∂
∇
∂ρ
ρ ∂φ
∂z
(4.5.6)
Kugelkoordinaten: hr = 1, hθ = r, hφ = r sin θ,
~ = ~er ∂ + ~eθ 1 ∂ + ~eφ 1 ∂
∇
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
(4.5.7)
103
4.5.2
Divergenz in krummlinigen Koordinaten
Für orthogonale Basisvektoren gilt folgender Zusammenhang (hier wird die
Summation explizit angegeben)
~ k = hk
hk ∇u
X
i
~eui
X
1 ∂uk
1
i
~
e
=
h
δki = ~euk
k
u
hi ∂ui
h
i
i
(4.5.8)
Das verwendet man in der Relation
~ ·A
~=∇
~ · ~hi Ai = ∇
~ ·
∇
X
~eui Āi
(4.5.9)
i
wo Āi = hi Ai , Nehmen einen Term aus der Summe
³
´
¡
¢
1
1
1 ~ 2
3
~
~
~
~
∇ · ~eu1 Ā = ∇ · (~eu2 × ~eu3 )Ā = ∇ · h2 h3 Ā (∇u × ∇u ) =
(4.5.10)
Produktregel
³
´ ³
´
~ 2 h3 Ā1 · ∇u
~ 2 × ∇u
~ 3 + h2 h3 Ā1 ∇
~ · (∇u
~ 2 × ∇u
~ 3)
= ∇h
(4.5.11)
da in
∇i ²ijl (∇j u2 )(∇l u3 ) = ²ijl ((∇i ∇j u2 )(∇l u3 ) − (∇j u2 )(∇i ∇l u3 )) = 0
(4.5.12)
der ² Tensor jeweils mit einer symmetrisch Matrix multipliziert wird ist jeder
~ 2 × ∇u
~ 3 = ~eu1 1
einzelne Term Null. Es bleibt also mit ∇u
h2 h3
¡
¢
¡
¢
1
1 ∂ h2 h3 Ā1
1 ∂ (h2 h3 h1 A1 )
1
~
=
~eu1 · ∇ h2 h2 Ā =
=
h2 h3
h1 h2 h3
∂u1
h1 h2 h3
∂u1
(4.5.13)
Also
µ
¶
1
2
3
∂
(h
h
h
A
)
∂
(h
h
h
A
)
∂
(h
h
h
A
)
1
1
2
3
1
2
3
1
2
3
~=
+
+
(4.5.14)
divA
h1 h2 h3
∂u1
∂u2
∂u3
~ bezüglich der Einheitsvektoren und nicht
Erfolgt die Zerlegung des Vektors A
der holonomen hat man für die Divergenz
Ã ¡
¢
¢!
¢
¡
¡
2
3
1
∂
h
∂
h
∂
h
1
1 h3 Ā
1 h2 Ā
2 h3 Ā
~=
divA
+
+
(4.5.15)
h1 h2 h3
∂u1
∂u2
∂u3
104
Weiters folgt der Laplace Operator. Man beachte dass nun (ui = gij uj , g ii =
1/gii )
∂
∂
1 ∂
Ai =
= g ii i = 2 i
(4.5.16)
∂ui
∂u
hi ∂u
daher
(
µ
¶
∂
h2 h3 ∂Φ
1
divgradΦ = ∆Φ =
h1 h2 h3
∂u1
h1 ∂u1
µ
¶
∂
h1 h3 ∂Φ
+
(4.5.17)
∂u2
h2 ∂u2
µ
¶)
∂
h1 h2 ∂Φ
+
∂u3
h3 ∂u3
Im Folgenden sind die Komponenten bezüglich der Einheitsvektoren Ā1 mit
kleinen Buchstaben ai bezeichnet und die Indizes unten angefügt. Dies ist
etwas verwirrend aber die Notation ist nun mal so!
Zylinderkoordinaten hρ = 1,hφ = ρ, hz = 1.
~=
divA
divgradΦ =
=
1
ρ
(
∂
∂ρ
1 ∂ρaρ 1 ∂aφ ∂az
+
+
ρ ∂ρ
ρ ∂φ
∂z
µ
ρ
∂Φ
∂ρ
¶
+
∂
∂φ
µ
1 ∂Φ
ρ ∂φ
(4.5.18)
¶
+
∂
∂z
µ
ρ
∂Φ
∂z
∂ ∂Φ
∂ ∂2Φ ∂ 2Φ
∂2Φ
+
+
+ 2
∂ρ2
∂ρ ∂ρ
∂ρ2 ∂φ2
∂z
Kugelkoordinaten: hr = 1, hθ = r, hφ = r sin θ.
µ 2
¶
∂r sin θar ∂r sin θaθ ∂raφ
1
~
divA = 2
+
+
=
r sin θ
∂r
∂θ
∂φ
1 ∂r2 ar
1 ∂ sin θaθ
1 ∂aφ
+
+
2
r ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂φ
divgradΦ =
4.5.3
1
∂Φ
1
1 ∂ 2 ∂Φ
∂
∂ 2Φ
r
+
sin
θ
+
r2 ∂r ∂r
r2 sin θ ∂θ
∂θ
r2 sin2 θ ∂φ2
¶)
(4.5.19)
(4.5.20)
(4.5.21)
Rotation in krummlinigen Koordinaten
Genaue Definition des Vektorprodukts (3.3.18)
p
~c = ~a × ~b = detg²ijk~hi aj bk
(4.5.22)
105
~ und ~b = A
~ ist zu berechnen
also mit ~a = ∇
~=∇
~ ×A
~ = ~hj ∂ × ~hk Ak = ~hj ∂ × ~euk Āk
rotA
∂uj
∂uj
(4.5.23)
Gehen über zu Einheitsvektoren (Āi = hi Ai ) und betrachten zuerst einen
Anteil
³
´
³
´
¡
¢
~ × ~eu1 Ā1 = ∇
~ × h1 Ā1 ∇u
~ 1 = h1 Ā1 ∇
~ × ∇u
~ 1 + ∇h
~ 1 Ā1 × ∇u
~ 1 =
∇
Der erste Term verschwindet, im zweiten werden die Gradienten in der Basis der Einheitsvektoren geschrieben, wobei eine Vertauschung der Vektoren
~ 1 = ~eu1 /h1 verwendet wurde sowie die Darstellung des Nablaerfolgt und ∇u
vektors in den Einheitsvektoren
Ã 3
!
X 1
−1
∂h1 Ā1
~eu1 ×
~eui
=
(4.5.24)
h1
h
∂ui
i=1 i
−1
∂h1 Ā1
1
∂h1 Ā1
~eu3
+
~eu2
h1 h2
∂u2
h1 h3
∂u‘3
dabei wurde verwendet dass ~eu1 × ~eu2 = ~eu3 etc Insgesamt kann man dann
schreiben
¯
¯
¯ h1~eu1 h2~eu2 h3~eu3 ¯
¯
¯
1 ¯ ∂
∂
∂
~=
¯
rotA
(4.5.25)
1
2
3
∂u
¯
h1 h2 h3 ¯¯ ∂u 1 ∂u
3 ¯
h1 Ā h2 Ā2 h3 Ā
Damit sieht man sofort dass rotgradΦ = 0 ist (’antisymmetrischer Matrix
mal symmetrischen Matrix ist Null’).
~ k∼
(rot∇Φ)
3
X
i=1
²kij
∂ 2Φ
=0
∂uj ∂ui
(4.5.26)
natürlich nur bei Vertauschbarkeit der Ableitungen.
Rechnet man die Determinante aus so erhält man die Komponenten der
~ = ~eu1 ai [sic!])
Rotation bezüglich der Einheitsvektoren (A
µ
¶¶
µ
∂h3 a3 ∂h2 a2
1
~
−
(4.5.27)
rotA = ~eu1
h2 h3
∂u2
∂u3
µ
µ
¶¶
1
∂h1 a1 ∂h3 a3
+ ~eu2
−
(4.5.28)
h1 h3
∂u3
∂u1
µ
µ
¶¶
1
∂h2 a2 ∂h1 a1
+ ~eu3
−
(4.5.29)
h1 h2
∂u1
∂u2
106
Zylinderkoordinaten:hρ = 1,hφ = ρ, hz = 1.
µ
¶
µ
¶
µ
¶
1
∂a
∂a
∂a
∂a
1
∂ρa
∂a
z
φ
ρ
z
φ
ρ
~ = ~eρ
rotA
−
+~eφ
−
+~ez
−
(4.5.30)
ρ ∂φ
∂z
∂z
∂ρ
ρ
∂ρ
∂φ
Kugelkoordinaten: hr = 1, hθ = r, hφ = r sin θ.
µ
µ
¶
¶
∂ar ∂r sin θaφ
1 h
∂r sin θaφ ∂raθ
~
+ r~eθ
rotA = 2
~er
−
−
r sin θ
∂θ
∂φ
∂φ
∂r
µ
¶
∂raθ ∂ar
+ r sin θ~eφ
(4.5.31)
−
∂r
∂θ
4.5.4
Die Christoffelsymbole
Die Änderung eines Vektors in krummlinigen Koordinaten besteht aus zwei
Anteilen: (i) die Änderung der Komponenten des betrachteten Vektors und
(ii) die Änderung der holonomen Vektoren. Letztere sollen hier betrachtet
werden
∂~hj ~ m ~ ml
= hm Γ jk = hm g Γl|jk
(4.5.32)
∂uk
Nun gilt
2
~
~hi · ∂ hj = ~hi · ∂ ~x =
∂uk
∂uj ∂uk
ml
ml
~hi · ~hm g Γl|jk = gim g Γl|jk = Γi|jk
(4.5.33)
(4.5.34)
Die Γi|jk sind laut Definition symmetrisch in den hinteren Indizes. Nun ist
aber
∂gij ~ ∂~hi ~ ∂~hj
gij = ~hi · ~hi →
= hj · k + hi · k
(4.5.35)
∂uk
∂u
∂u
also
∂gij
= Γj|ik + Γi|jk
(4.5.36)
∂uk
Dann ist
∂gij ∂gik ∂gjk
+
−
=
∂uk
∂uj
∂ui
Γj|ik + Γi|jk + Γk|ij + Γi|kj − Γk|ij − Γj|ki
Nützt man die Symmetrie der Christoffel Symbole aus so folgt
¶
µ
1 ∂gij ∂gik ∂gjk
Γi|jk =
+
−
2 ∂uk
∂uj
∂ui
(4.5.37)
(4.5.38)
(4.5.39)
107
Beispiel: Kugelkoordinaten
g11 = 1 g22 = r2
g33 = r2 sin2 θ
(4.5.40)
daher sind nur folgende Ableitungen von Null verschieden
∂g22
= 2r
∂u1
∂g33
= 2r sin2 θ
∂u1
∂g33
= 2r2 sin θ cos θ
∂u2
(4.5.41)
also sind von den 27 Chrisoffelsymbole nur solche mit 2 gleichen aber nicht
3 gleichen Indizes von Null verschieden wobei keien zwei Einsen vorkommen;
das sind 9. Z. Bsp.
Γ1|22 = −
1 ∂g22
= −r
2 ∂u1
Γ3|13 =
1 ∂g33
= r sin2 θ
2 ∂u1
(4.5.42)
Die Christoffelsymbole bestimmen die Gleichung für die geodẗischen Linien
in der Metrik die durch den metrischen Tensor gegeben ist.
4.5.5
Darstellung einer Gleichung in Kugelkoordinaten
Klassische Bewegung in kugelsymmetrischen Potential
Gravitation , Coulomb, Struktur der Bewegungsgleichung in cartesischen Koordinaten
d2~x
= −gradV (|~x|)
(4.5.43)
dt2
Zerlegen in Kugelkoordinaten
~x˙ = ṙ~er + r~e˙ r = ṙ~er + rθ̇~eθ + r sin θφ̇~eφ
~x = r~er
(4.5.44)
Zweite Ableitung
~x¨ = r̈~er + ṙ~e˙ r + ṙθ̇~eθ + · · · + r sin θφ̇~e˙ φ
(4.5.45)
Komponenten zusammensammeln
~x¨ · ~er = r̈ − rθ̇ − rφ̇2 sin2 θ
~x¨ · ~eθ = 2ṙθ̇ + rθ̈ − rφ̇2 sin θ cos θ
~x¨ · ~eφ = 2ṙφ̇ sin θ + 2rθ̇φ̇ cos θ + rφ̈ sin θ
(4.5.46)
(4.5.47)
(4.5.48)
108
Diese Komponenten sind nun den Komponenten des Gradienten in Kugelkoordinaten gleichzusetzen. Da das Potential nur von r abhängt bleibt die
radiale Komponente
~ = dV ~er
∇V
(4.5.49)
dr
Also
dV
dr
2
2ṙθ̇ + rθ̈ − rφ̇ sin θ cos θ = 0
2ṙφ̇ sin θ + 2rθ̇φ̇ cos θ + rφ̈ sin θ = 0
r̈ − rθ̇ − rφ̇2 sin2 θ =
(4.5.50)
(4.5.51)
(4.5.52)
Wenn die Bewegung eben ist (und das ist der Fall) so bleibt θ = konstant =
π/2 (φ ist in der xy-Ebene definiert daher θ = π/2) und die Gleichungen
vereinfachen sich weiter
dV
dr
2ṙφ̇ + rφ̈ = 0
r̈ − rφ̇2 =
(4.5.53)
(4.5.54)
Weitere Physikalische Einsichten (Energiesatz, Drehimpulssatz) führen zu
einer analytischen Lösung dieser Gleichungen (Kepler Ellipsen, Keplergleichung).
4.5.6
Schrödinger Gleichung und Produktansatz
Die zeitunabhängige Schrödinger Gleichung lautet
µ
¶
~
− ∆ + V (~x) Ψ(~x) = EΨ(~x)
2µ
(4.5.55)
wenn das Potential V nur vom Betrag von ~x abhängt ist es sinnvoll Kugelkoordinaten einzuführen. Umschreiben des Laplaceoperators führt auf
Ã
¶
µ
1
∂
1
∂2
~
1 ∂ 2∂
∂
r
+
sin θ
+
−
2µ r2 ∂r ∂r r2 sin θ ∂θ
∂θ r2 sin2 θ ∂φ2
!
+ V (r) Ψ(r, θ, φ) = EΨ(r, θ, φ)
(4.5.56)
Man macht nun eine Produktansatz für die Wellenfunktion Ψ
Ψ(r, θ, φ) = R(r)Θ(θ)Ψ(ψ)
(4.5.57)
109
Einsetzen in die Gleichung und dividieren durch Ψ gibt
¶
µ
1 ~
1 ∂ 2 ∂R
1
1
∂
∂Θ
1
1
∂ 2Φ
−
r
+
sin θ
+
R 2µ r2 ∂r ∂r
Θ r2 sin θ ∂θ
∂θ
Φ r2 sin2 θ ∂φ2
+ V (r) = E
(4.5.58)
Nach Multiplizieren mit r2 sin2 θ ist der letzte Term in der Klammer nur von
φ abhängig und muss daher eine Konstante sein
1 ∂ 2Φ
= c1
Φ ∂φ2
(4.5.59)
Also bleibt von der ursprünglichen Gleichung
µ
¶
1 ~
1 ∂ 2 ∂R
1
1
∂
∂Θ
c1
−
r
+
sin θ
+ 2 2
+ V (r) = E
R 2µ r2 ∂r ∂r
Θ r2 sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ
(4.5.60)
Multiplizieren mit r2 zeigt dass wiederum eine reine θ-Abhängigkeit in den
beiden letzten Termen in der Klammer entsteht die eine Konstante ergeben
muss
1 1 ∂
∂Θ
c1
= c2
(4.5.61)
sin θ
+
Θ sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ
Damit ergibt sich für die Radialabhängigkeit die Gleichung
µ
¶
1 ∂ 2 ∂R c2
1 ~
−
r
+ 2 + V (r) = E
(4.5.62)
R 2µ r2 ∂r ∂r
r
Die Bedeutung der Konstanten und die Lösung der Differentialgleichungen
werden in der Quantenmechanikvorlesung gegeben.
Kapitel 5
Gewöhnliche
Differentialgleichungen
Differentialgleichungen werden oft benötigt, um Vorgänge in der Natur zu
beschreiben, bei denen das Änderungsverhalten von Größen verglichen wird.
Die historisch ersten Differentialgleichungen waren die der gleichmäßigen
und ungleichmäßig beschleunigten Bewegung. Im Jahr 1590 erkannte Galileo
Galilei den Zusammenhang zwischen der Fallzeit eines Körpers und seiner
Fallgeschwindigkeit sowie dem Fallweg und formulierte (noch) mit geometrischen Mitteln das Gesetz des freien Falles.
Als Isaac Newton auch Bewegungen unter zum Betrag oder Quadrat der
Geschwindigkeit proportionaler Reibung betrachtete, war er genötigt, die
Differentialrechnung und den heute geläufigen Formalismus der Differentialgleichungen einzuführen. Leibniz entwickelte unabhängig ebenfalls eine Formalismus, der schließlich Verwendung fand. Eine analytische Formulierung
der Mechanik ist dann durch Euler geschehen (Mechanik, Hydromechanik,
Bewegun des starren Körpers etc.) und wurde von anderen weitergeführt
(Lagrange, Laplace, Hamilton siehe Theoretische Physik I)
Durch die exakte Formulierung des Grenzwertbegriffes, der Ableitung und
des Integrals stellte schließlich Augustin Louis Cauchy im 19. Jahrhundert die
Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen auf ein festes Fundament
und machte sie somit vielen Wissenschaften zugänglich.
Das wissenschaftliche Interesse an Differentialgleichungen ist im Wesentlichen darin begründet, dass mit ihnen auf Grund vergleichsweise einfacher
Beobachtungen und Experimente vollständige Modelle geschaffen werden
110
111
können.
Nur wenige Typen von Differentialgleichungen lassen sich analytisch lösen.
Trotzdem lassen sich qualitative Aussagen wie Stabilität, Periodizität oder
Bifurkation auch dann treffen, wenn die Differentialgleichung nicht explizit
gelöst werden kann. Eines der wichtigsten Hilfsmittel für skalare Differentialgleichungen sind Argumente mittels eines Vergleichssatzes.
Auf Grund der Vielfältigkeiten sowohl bei den eigentlichen Differentialgleichungen als auch bei den Problemstellungen ist es nicht möglich, eine
allgemein gültige Lösungsmethodik anzugeben. Lediglich explizite gewöhnliche Differentialgleichungen können mit einer geschlossenen Theorie gelöst
werden.
Die Fragen der Existenz, Eindeutigkeit, Darstellung und numerischen Berechnung von Lösungen sind somit je nach Gleichung vollständig bis gar nicht
gelöst. Aufgrund der Bedeutung von Differentialgleichungen in der Praxis ist
hierbei die Anwendung der numerischen Lösungsverfahren besonders bei partiellen Differentialgleichungen der theoretischen Untermauerung voraus.
Eines der Millennium-Probleme ist der Existenzbeweis einer Lösung für
sogenannte Navier-Stokes-Gleichungen. Diese Gleichungen treten beispielsweise in der Strömungsmechanik auf.
LP/Kapitel 6 beide Auflagen
Eine gewönlichen (nur eine Variable [meist Zeit], sonst partiell) Dgl. nter
Ordnung kann man schreiben
¡
¢
F x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) = 0
(5.0.1)
ihre Lösung y = y(x) findet man durch Integrieren. Implizite Form; explizite wenn auflösbar nach der höchsten Ableitung. Eindeutigkeit wird durch
Vorgabe von n Anfangsbedingungen gewähleistet (nicht immer [singuläre
Punkte] es muß die Lipshitz-Bedingung erfüllt sein).
Ordnung, Linearität (in Ableitungen und y)
Höhere (n-te) Ordnung, Transformation in ein System von Differentialgeichungen 1. Ordnung:
yn =
yn−1 =
... =
y2 =
y1 =
y (n−1)
y (n−2)
...
y0
y
(5.0.2)
(5.0.3)
(5.0.4)
(5.0.5)
(5.0.6)
112
Ordnung
Grad
Linear
Nichtlinear
Explizit
Implizit
Homogen (1)
Inhomogen
Homogen (2)
Exakte
Gewöhnlich
Partiell
höchste Ableitung
Potenz in der die höchste Abl vorkommt
Funktion und Ableitung nur linear
Nichtlineare Terme in Funktion und Abl.
höchste Ableitung kann als Funktion des Rests geschr. werden
man kann nicht nach höchster Abl. auflösen
kein Term der Funktion von x alleine
solch ein Term vorhanden
Ableitung ist homogene Funktion in x und y
Dgl kann in Form eines totalen Differential gechr. werden
y is Funktion nur einer Variablen
mehrere Variable (Math Meth II)
Tabelle 5.1: Klassifikation der allgemeinen Formen von Dgl.
damit kann man schreiben
~
~y 0 = K(x,
~y )
mit
~ T = (yn−1 , y2 , . . . , F (x, ~y )
K
(5.0.7)
Abbildung 5.1: Richtungsfelder für die Dgl y 0 = x und y 0 = x − y
Zur Schreibweise:
Ableitungen nach x (räumliche Variable) werden mir y 0 bezeichnet; Ableitungen nach der Zeit t mit ẏ.
113
5.1
Differentialgleichungen 1. Ordnung
y 0 = f (x, y)
y(x0 ) = y0
D
(5.1.1)
Satz von Picard für Dgl 1. Ordnung: eindeutige Lsg. wenn f (x, y) und die
(x,y)
partiellen Ableitung ∂f∂y
stetig sind.
Stabilität bezüglich kleiner Änderungen der Anfangsbedingungen - Schmetterlingseffekt - wird in der Chaostheorie behandelt. Gleichungen sind zwar
deterministisch Vorhersagen können aber nicht über größere Zeiträume gemacht werden, da Unsicherheit exponentiell anwächst. Beispiele in der Metereologie
Richtungsfeld, Kurvenschar hat Parameter, den eliminieren gibt Dgl. Wenn
n Parameter dann n-mal ableiten.
5.1.1
Trennung der Variablen
dy
= a(x)b(y)
dx
Lösung durch Trennen und Integrieren
ˆ y
ˆ x
ds
=
a(t)dt
y0 b(s)
x0
Beispiel:
dy
= x(1 + y 2 ) →
dx
ˆ
arctan(y) =
ds
=
1 + y2
(5.1.2)
(5.1.3)
ˆ
tdt
x2
+c
2
(5.1.4)
(5.1.5)
Weitere Beispiele
y 0 = sin x exp(y) y0 = 2
−x
y0 = 5
y0 = 1
y +y+1
y = − ln(cos x + c)
y6 y2
x2
+
+y+
=c
6
2
2
(5.1.6)
(5.1.7)
Die obige Dgl kann in die Form
P (x)dx + Q(y)dy = 0
gebracht werden. Dann rechts und links Integrieren
ˆ
ˆ
P (x)dx + Q(y)dy = c
(5.1.8)
(5.1.9)
114
Eine Variante erhält man wenn P (x, y) = M (x)R(y) und Q(x, y) = N (y)S(x)
dann gilt nach Division durch RS
ˆ
ˆ
M (x)
N (y)
dx +
dy = c
(5.1.10)
S(x)
R(y)
Beispiele;
y 0 y(x2 − 1) = x(y 2 − 1)
xdx
ydy
− 2
=0
2
x −1 y −1
→
(5.1.11)
Integration
ln(x2 − 1) − ln(y 2 − 1) = c
y 2 − 1 = c̄(x2 − 1)
(5.1.12)
arcsin x + arcsin y = c
(5.1.13)
→
Beispiel:
√
dx
dy
=0
+p
2
1−x
1 − y2
→
√
Das kann man auflösen mit cos(arcsin x) = ± 1 − x2
sin(arcsin y) = y = sin(c − arcsin x) = sin c cos(arcsin y) − x cos c (5.1.14)
Quadrieren gib die Kurvenschar x2 + y 2 + 2axy = 1 − a2
5.1.2
Lineare Dgl 1. Ordnung
y 0 = a(x)y + b(x)
(5.1.15)
Superpositionsprinzip: homogene mit freien Parametern und spezielle Lösung
der inhomogenen
y(x) = yh (x) + yin (x)
(5.1.16)
Homogene Dgl 1. Ordnung
b(x) = 0, einfache Lösung durch Trennung der Variablen
ˆ
dy
dy
= ay
= a(x)dx
ln y = a(x)dx + c
dx
y
also
µˆ
¶
x
y(x) = exp
a(s)ds + c
x0
(5.1.17)
(5.1.18)
115
Bestimmung der Integrationskonstanten c
y(x0 ) = y0 = exp(c) → c = ln(y0 )
µˆ x
¶
y(x) = y0 exp
a(s)ds
(5.1.19)
(5.1.20)
x0
Wenn inhomogen dann mit der Bestimmung der Konstanten warten bis spezielle Lösung dazu addiert.
Inhomogene Dgl 1. Ordnung
Gesucht spezielle Lösung, zu der dann die allgemeine homogene Lösung addiert die allgemeine Lösung gibt. Dann Integrationskonstante die in der allgemeinen homogenen Lösung auftritt bestimmen.
also spezielle Lösung von
y 0 = a(x)y + b(x)
(5.1.21)
Variation der Konstanten: Versuchen Lösungsansatz
³´
´ ausgehend von der
x
Lösung für die homogene Dgl. ȳ = α(x) exp x0 a(x)dy Es wurde die Konstante y0 durch α(x) ersetzt. Die Dgl für ȳ lautet
ȳ 0 = α0 exp(A) + αa exp(A) = αa exp(A) + b
(5.1.22)
also für α die Dgl
α0 (x) = b(x) exp (−A(x))
Lösung
ˆ
(5.1.23)
x
α(x) =
b(s) exp (−A(s)) ds
(5.1.24)
x0
Damit die allgemeine inhomogene Lösung y = yh + ȳ
µˆ x
¶ ˆ x
y(x) = exp
a(s)ds + c +
b(s) exp (−A(s)) ds exp (A(x)) (5.1.25)
x0
x0
Bestimmung von c gibt
µˆ x
¶ ˆ
y(x) = y0 exp
a(s)ds +
x0
x
b(s) exp (A(x) − A(s))
(5.1.26)
y = x(1 − 3 ln x)3/2
(5.1.27)
x0
Beispiel:
y 0 = 2xy + x y0 (x = 1) = 1
116
Homogen:
y 0 = 2xy
→
yh (x) = c exp(x2 )
Variationsansatz:
yin (x) = c(x)ex
2
(5.1.28)
(5.1.29)
Einsetzen gibt Dgl für c(x)
2
2
2
c0 ex + c(x)2xex = 2xc(x)ex + x
oder
ˆ
0
−x2
c (x) = xe
→
c(x) =
1
2
2
xe−x dx = − e−x
2
(5.1.30)
(5.1.31)
Daher ist die partikuläre Lösung yin = −1/2. Die allgemeine Lösung ist damit
2
y(x) = cex −
1
2
(5.1.32)
y = cxex + x2
(5.1.33)
c ist aus der Anfangsbedingung zu finden.
Weiteres Beispiel:
y0 =
5.1.3
x−1
y + x − x2
x
Homogene Differentialgleichungen
Begriffklärung: f ist eine homogene Funktion ihrer Variablen (nicht verwechsel mit fehlen der Inhomogenität) also
f (`x, `y) = `p f (x, y)
(5.1.34)
p ist der Grad der homogenen Funktion. Skalenverhalten, treten in der Physik
häufig auf.
³y´
0
y =f
(5.1.35)
x
Führen die neue Variable z = y/x ein. Dann lautet die Dgl für z
z0 =
oder
y
1
y0
− 2 = (f (z) − z)
x
x
x
dz
dx
=
f (z) − z
x
(5.1.36)
(5.1.37)
117
also gelöst durch Trennung der Variablen. Beispiele:
y
y2
− 2 y(1) = 1
x x
2
Transformation: f (z) = z − z daraus folgt die Dgl
dx
dz
1
− 2 =
→
= ln x + c
z
x
z
oder
x
x
1
= ln x + c → y(x) =
y(1) =
y
ln x + c
c
also die Lösung ist
x
y(x) =
1 + ln x
Weiteres Beispiel:
y x2
y 0 = − 2 y(1) = 1
x y
y0 =
5.1.4
(5.1.38)
(5.1.39)
(5.1.40)
(5.1.41)
(5.1.42)
Differentialgleichungen, die sich auf homogene
zurückführen lassen
Sei
µ
¶
ax + by + c
y =f
a1 x + b1 y + c1
Wenn c = c1 = 0 dann klarerweise homogen denn
µ
¶
µ
¶
ax + by
a + by/x
y
f
=f
= F( )
a1 x + b1 y
a1 x + b1 y/x
x
Sei
µ
¶
a b
det
6= 0
a1 b1
dann haben die durch Zähler und Nenner gegebenen Geraden einen
samen Schnittpunkt (x0 , y0 ). Also
0
ax0 + by0 + c = 0
a1 x0 + b1 y0 + c1 = 0
(5.1.43)
(5.1.44)
(5.1.45)
gemein(5.1.46)
Man führt nun eine Verschiebung durch
x − x0 → x
y − y0 → y
dann lautet die Dgl in diesen neuen Variablen
µ
¶
ax + by
0
y =f
a1 x + b1 y
und diese Dgl ist homogen.
(5.1.47)
(5.1.48)
118
5.2
5.2.1
Spezielle nichtlineare Differentialgleichungen
Bernoullische Dgl
y 0 = a(x)y + b(x)y α
α 6= 0, 1
(5.2.1)
Multipliziert man die Dgl mit (1 − α)y −α so entsteht die Dgl
(y 1−α )0 = (1 − α)y 1−α a(x) − (1 − α)b(x)
(5.2.2)
Man setzt z = y 1−α und aus der Lösung für z bekommt man y(x) = z 1/(1−α) (x).
z 0 = (1 − α)a(x)z + (1 − α)b(x)
Diese Gleichung ist nun linear.
Beispiel:
1
y0 = −
y − (1 + x)y 4 → α = 4
1+x
Also z = y −3
3
z0 =
z + 3(1 + x)
1+x
Beispiel: Ince Seite 26
y
y0 =
+ 5x2 y 5 → α = 5
2x
Also
2
z 0 = − z − 20x2
x
Die lösen mit integrierenden Faktor x2 denn
x2 z 0 + 2xz =
dx2 z
= −20x4
dx
→
x2 z = c − 4x5
(5.2.3)
(5.2.4)
(5.2.5)
(5.2.6)
(5.2.7)
(5.2.8)
Beispiel LP Seite 1.A 230:
y
+ xy 2
x
z
z0 = − − x
x
Homogene: z = 1/x; Ansatz für inhomogene z = cx2
1
2cx = −cx − x → c =
3
2
Zusammen z = −x /3 + ax und somit
3x
y= 3
x − 3a
y0 =
(5.2.9)
(5.2.10)
(5.2.11)
(5.2.12)
119
5.2.2
Riccatische
Die Normalform lautet
y 0 = a(x) + b(x)y + c(x)y 2
→
α=2
(5.2.13)
Sie kann integriert werden wenn man eine partikuläre Lösung kennt. Diese
sei y1 Dann substituiert man
y = y1 +
1
z
(5.2.14)
Gibt
z 0 + (2c(x)y1 (x) + b(x))z + a(x) = 0
(5.2.15)
Die ist wieder linear.
Beispiel:
17.6.09
2 0
2
2
y0 =
1−x 1
x−1 2
+ y+
y
2
x
2x2
2x y = (x − 1)(y − x ) + 2xy
Umformen
(5.2.16)
(5.2.17)
Partikuläre Lösungen;
y = ±x
±2x2 · 1 = 0 ± 2x · x
→
(5.2.18)
Also y = x + 1/z liefert (y 0 = 1 − z 0 /z 2 )
2x2 (z 0 + z) = 1 − x
(5.2.19)
oder
1−x
2x2
inhomogen, linear. Lösung der homogenen
z0 + z =
(5.2.20)
dz
= −dx
ln z = −x + c
zh = ce−x
z
Inhomogene Variation der Konstanten zin = c(x)e−x
ˆ
ˆ x
ˆ x
1−x
e
e
0 −x
x1 − x
ce =
y= e
dx =
dx −
dx
2
2
2
2x
2x
2x
2x
(5.2.21)
(5.2.22)
Mit Dwight 568.2 (partielle Integration)
ex
1
zin = −
2x
x
Also endlich die allgemeine Lösung für z
c(x) = −
z(x) = ce−x −
1
x
y =x+
1
cex − 1/x
(5.2.23)
(5.2.24)
120
5.2.3
Exakte Differentialgleichung
Sei in der x-y-Ebene eine Kurvenschar durch
Φ(x, y) = C
(5.2.25)
gegeben, dann erfüllen die Kurven der Kurvenschar die Dgl
dΦ =
∂Φ
∂Φ
dx +
dy = 0
∂x
∂y
∂Φ ∂Φ 0
+
y = 0
∂x
∂y
oder
(5.2.26)
(5.2.27)
Ist Φ zweimal stetig differenzierbar so gilt
∂ ∂Φ
∂ ∂Φ
=
∂y ∂x
∂x ∂y
(5.2.28)
P (x, y) + Q(x, y)y 0 = 0
(5.2.29)
∂
∂
P (x, y) =
Q(x, y)
∂y
∂x
(5.2.30)
Umgekehrt, wenn in einer Dgl
gilt
so heißt diese Dgl exakt und die Lösungsschar ist durch Φ(x, y) = C gegeben.
Diese erhält man durch Integration der beiden Gleichungen
P =
∂Φ
∂x
Also
∂Φ
∂y
(5.2.31)
P (x, y)dx + f (y)
(5.2.32)
und
Q=
ˆ
Φ(x, y) =
und der Dgl für f (y) (man leitet hier nach yx ab)
ˆ
∂P (x, y)
0
dx
f (y) = Q(x, y) −
∂y
(5.2.33)
oder man integirert
ˆ
Φ(x, y) =
Q(x, y)dy + g(x)
(5.2.34)
121
und hat die Dgl für g(x)
ˆ
0
g (x) = P (x, y) −
∂Q(x, y)
dy
∂x
(5.2.35)
Beispiel:
(3x + cos y)y 0 + 3y + ex = 0 (3x + cos y)dy + (3y + ex )dx = 0
P (x, y) = 3y + ex
Q(x, y) = 3x + cos y
ˆ
Φ(x, y) =
∂P
∂Q
=3=
∂y
∂x
(3x + cos y)dy + g(x) = 3xy + sin x + g(x)
Also lautet die DGl für g(x)
ˆ
∂3x + cos y
0
x
g (x) = 3y + e −
dy = 3y + ex − 3y = ex
∂x
(5.2.36)
(5.2.37)
(5.2.38)
(5.2.39)
DKurvenschar ist daher
Φ(x, y) = 3xy + sin x + ex = c
(5.2.40)
Das sind alle impliziten Lösungen.
Übung:
− y exp(xy) = (2 + x exp(xy))y 0
(5.2.41)
Beispiel:
y 0 (x3 + 8x2 y + 12y 2 ) + 3x2 y + 8xy 2 = 0
5.2.4
x3 y + 4x2 y 2 + 4y 3 = C
(5.2.42)
Integrierender Faktor
Sei
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
(5.2.43)
Falls die Funktionen P und Qdie Integrabilitätsbedingungen nicht erfüllen,
so kann man dies oftmals durch Multiplikation mit einer Funktion µ(x, y)
(dem integrierenden Faktor) erreichen.
∂(µQ)
∂(µP )
=
∂y
∂x
(5.2.44)
122
P (x, y)
x + 2y
x+y
x3 + y 4
xy 3
1 − xy
y2
1
x3 − 2y3 − 3xy
(2x2 + xy + a2 )y
7x2 + 3x2 y + 4
(1 + y 2 )y
Q(x, y)
µ(x, y)
x
1
8xy 3
x2 y 2 − 1
1 − x2
xy + 1
1 + (x + y) tan y
3x(y 2 + x)
(x + 2y)(x2 + a2 )
4x3 + x + 5y
4(1 + x2 )x
Tabelle 5.2: Integrierende Faktoren zu nicht exakten Dgl.
Das führt auf eine partielle Dgl für µ
∂µ
∂µ
Q−
P =µ
∂x
∂y
µ
∂P
∂Q
−
∂y
∂x
¶
(5.2.45)
Es genügt allerdings eine spezielle Lösung zu finden, z.Bsp. eine die nur von
einer Variablen abhängt. Probieren sie daher
µ = µ(x) oder µ = µ(y) oder µ = µ(x + y) oder µ = µ(xy)
(5.2.46)
Das führt jeweils auf die Gleichungen
µ
¶
∂µ(x)
∂P
∂Q
Q = µ(x)
−
(5.2.47)
∂x
∂y
∂x
µ
¶
∂µ(y)
∂P
∂Q
P = µ(y)
−
(5.2.48)
−
∂y
∂y
∂x
µ
¶
∂P
∂µ(x + y)
∂Q
(Q − P ) = µ(x + y)
−
(5.2.49)
∂x + y
∂y
∂x
µ
¶
∂P
∂Q
∂µ(xy)
(yQ − xP ) = µ(xy)
−
(5.2.50)
∂x
∂y
∂x
Beispiel:
xy 2 − y 3 + (1 − xy 2 )y 0 = 0
P (x, y) = xy 2 − y 3
Q(x, y) = 1 − xy 2
∂P
= 2xy − 3y 2
∂y
(5.2.51)
∂Q
= −y 2
∂x
(5.2.52)
123
Integrierender Faktor µ(y) = y −2 . Dann wird
P (x, y)µ(y) = x − y
5.2.5
Q(x, y)µ(y) =
1
−x
y2
∂P
∂Q
= −1 =
(5.2.53)
∂y
∂x
Lagrange und Clairaut
Explizite und nicht explizite Dgl
Linear in der unabhängigen Variablen aber nicht explizit in der Ableitung
A(y 0 )y + B(y 0 )x + C(y 0 ) = 0
y = xa(y 0 ) + b(y 0 )
(5.2.54)
Diese Gleichung ist mit dem Namen J.L. Lagrange (1759) verbunden; sie wurde auch von J. d’Alembert untersucht, und wird deshalb auch d’Alembertsche
Dgl genannt. Ein Spezialfallist die equation Clairaut Dgl wenn
a(y 0 ) = y 0 .
Dieser Fall wird vorerst ausgeschlossen. Differenzieren nach x gibt
µ
¶
da db y 0
0
0
y = a(y ) + x +
(5.2.55)
dp dp dx
0
y
Da nun a sich nicht gegen y 0 aufheben kann muß dx
6= 0 sein. Also kann man
0
y
durch dx dividieren. Dadurch entsteht die in x lineare Dgl es sei nun y 0 = p
(a(p) − p)
dx
+ a0 (p)x + b0 (p) = 0
dp
(5.2.56)
Die Lösung dieser Dgl gibt x = x(p). Diese Lösung kann man dann benutzen
um eventuell zu einer expliziten Darstellung eines allgemeinen Integrals zu
kommen.
Beispiel:
2
y = x + y 02 − y 03
(5.2.57)
3
Das allgemeine Integral (die Kurvenschar) ist
9(c − y)2 = 4(c − x)2
(5.2.58)
124
5.3
System von Differentialgleichungen
Differentialgleichungen höhere Ordnung können auf ein System von Dgl erster
Ordnung zurückgeführt werden. man definiert
~y = (y, y 0 , y 00 , . . . , y (n−1) )
(5.3.1)
~y 0 = (y2 , y3 , . . . , b(x, ~y )
(5.3.2)
dann ist
Das wird nicht weiter behandelt sondern auf ein System von linearen Dgl mit
Koeffizienten aij (die auch vom x abhängen können) und einer Inhomogenität
(die kann von x abhängen) reduziert.
~y 0 = A~y + ~b
(5.3.3)
Dann ergibt sich die Lösung wieder als Superposition der Lösung des homogenen Systems und einer speziellen Lösung des inhomogene Systems.
Das homogen System hat eine allgemeine Lösung die als Superposition
der fundamentalen Lösungen geschrieben wird
~yh =
n
X
ci f~i
(5.3.4)
i
Die Koeffizienten ci dienen zur Anpassung an die Anfangs oder Randbedingungen. Das Fundamrntalsystem kann erraten werden, oder durch einen
Potenzreihenansatz gefunden werden.
5.3.1
Konstante Matrix A
Sei nun die Matrix A konstant und sei diagonalisierbar. Dann:
(i) Hauptachsentransformation, (ii) Eigenwerte λi und Eigenvektoren ~yiλ
bestimmen Die Dgl für die Eiegenvektoren lauten
mit den Lösungen
~yi0 = λi ~yi
(5.3.5)
~yi (x) = ζ~i eλi x
(5.3.6)
Diese bilden (iii) ein Fundamentalsystem fi (x). Wenn Eigenwerte entartet
sind so führt eine Variation der Konstanten auf linear unabhängige Lösungen
und damit auf ein vollständiges Fundamentalsystem.
125
Beispiel: LP 2. Auflage Seite 263 (entartete Eigenwerte)
Beispiel: Integrieren ohne zu diagonalisieren (es liegt keine symmetrische Matrix vor)
µ
¶
˙~x(t) = 1 1 ~x
(5.3.7)
0 1
d At
e = AeAt
dt
Also das zur Lösung verwenden und Anfangsbedingungen erfüllen
~x(t) = eAt~x(t = 0)
Brauchen Exponential-Matrix definiert durch Potenzreihe
µ
¶
µ
¶
µ
¶
∞
X
tk 1 k
1 k
1 t
k
At
t
A =
→ e =
=e
0 1
0 1
k! 0 1
(5.3.8)
(5.3.9)
(5.3.10)
k=0
denn der Term k = 0 in der Summe ist in diesem Fall Null, daher
∞
X
k=1
∞
∞
X
X
tk
tk−1
tk
=t
=t
(k − 1)!
(k − 1)!
k!
k=1
k=0
Also lautet die Lösung
µ
~x(t) = e
t
1 t
0 1
(5.3.11)
¶
~x0
(5.3.12)
Beispiel: Bewegung im Magnetfeld
~
~v˙ = a~v × B
v̇i = a²ijk Bk vj = Aij vj
~v (t) = eAt~v (0)
(5.3.13)
(5.3.14)
Man zerlegt nun ~v (0) = ~vk (0) + ~v⊥ (0) in Anteile parallel und senkrecht zum
Magnetfeld. Die Multiplikation von A auf ~vk (0) gibt Null. Also auch alle
Potenzen und die Exponential-Matrix minus der Einheitsmatrix. Der Vektor
~ vektoriell multipliziert bei der Entwicklung der
~v⊥ (0) wird sukzessive mit aB
Exponential-Matrix
~ × ~v⊥ (0), aB
~ × (aB
~ × ~v⊥ (0)) = −~v⊥ (0),
aB
~ × (aB
~ × (aB
~ × ~v⊥ (0)) = −aB
~ × ~v⊥ (0)
aB
(5.3.15)
Resultat es entsteht eine cos- und sin-Reihe. Also
~ × ~v⊥ (0) sin ωt
~v (t) = ~vk (0) + ~v⊥ (0)(cos ωt − 1) − aB
(5.3.16)
Daraus ist durch Integration leicht die Bahnkurve zu erhalten, eine Spirale.
126
5.4
Differentialgleichungen 2. Ordnung
5.4.1
Gleichungen in denen x nicht auftritt
Diese sind von der Form
F (y 00 , y 0 , y) = 0
Man sezt y 0 = z dann entsteht
F (z
denn
y 00 =
dz
, z, y) = 0
dy
dz dy
dz
dy/dx
=
=z
dx
dy dx
dy
Beispiele:
y(y − 1)y 00 + y 0 2 = 0
y 00 + m2 y = 0
Dazu gehören auch Beispiele wo die Kurven mit bestimmter Krümmung gefunden werden sollen, denn
ρ=
(1 + y 0 2 )3/2
y 00
Beispiel; Kurven konstanter Krümmung;
5.5
Konstante Koeffizienten
E.A.Poe, Die Grube und das Pendel: Was ich nun sah, verwirrte und bestürzte
mich zutiefst. Das Pendel schwang um nahezu eine ganze Elle weiter aus.
Auch die Geschwindigkeit hatte sich - eine natürliche Folge - beträchtlich
vergrößert. Doch was mich am meisten verstörte, war der Gedanke, daß es
sich merklich gesenkt habe.
Aus der Physik: Da Pendel in der Realität immer mehr als infinitesimal
ausgelenkt werden, verhalten sie sich nichtlinear. Die allgemeine Differentialgleichung ist elementar nicht lösbar und erfordert Kenntnisse über elliptische
Integrale. Idealisierung ist das mathematische Pendel. Wichtiges Resultat die
Schwingungsdauer geht wie die Wurzel aus der Pendellänge.
Warum nimmt die Amplitude zu: Weil be Verlängerung potentielle Energie in kinetische Energie verwandelt wird.
127
5.5.1
Die Schwingungsgleichung
Abbildung 5.2: Mathematisches Pendel
mlφ̈ = −mg sin φ
(5.5.1)
mlφ̈ = −mgφ
(5.5.2)
ÿ = −ω 2 y
(5.5.3)
Also von der Form
oder als System von zwei Gleichungen erster Ordnung
ẏ = −ω 2 x
ẋ = y
(5.5.4)
Dazu kommt die Anfangsbedingungen (zwei) für x(0) = x0 und ẋ(0) = ẋ0 .
Dämpfung (proportional zur Geschwindigkeit) gibt Term mit erster Ableitung
ÿ + 2αẏ − ω 2 y
(5.5.5)
Also die allgemeine Form
ẍ(t) + a1 ẋ(t) + a0 x(t) = f (t)
(5.5.6)
f (t) Kraft die noch auf den gedämpften Oszillator wirkt. Wenn der Oszillator
nichtlinear ist dann kommt es zu chaotischen Lösungen.
Linear, homogen plus inhomogene spezielle. Exponentialansatz für die
homogene
x(t) = eλt → λ2 + a1 λ + a0 = 0
(5.5.7)
128
Abbildung 5.3: Getriebenes nichtlineares gedämpftes Pendel
Der Ansatz liefert das charakteristische Polynom. Dessen Wurzeln sind
r
a1
a21
λ1,2 = − ±
− a0
(5.5.8)
2
4
Fallunterscheidungen, (i) verschiedene reelle, (ii) komplexe oder (iii) entartete
Lösung. (i) und (ii) λ1,2 = α ± iω
xh (t) = eαt (A cos ωt + B sin ωt)
(5.5.9)
(iii) Variation der Konstanten λ = −a1 /2
xh (t) = Aeλt + Bteλt
(5.5.10)
Die offene Parameter (2 Stück) werden nach Hinzufügen der inhomogenen
speziellen Lösung bestimmt. Die homogen Dgl zweiter Ordnung kann als
System von zwei Dgl erster Ordnung geschrieben werden und auf die dort
besprochen Art gelöst werden.
5.5.2
Koeffizienten t abhängig
LP 1.A Kapitel 6 Seite 252
ẍ(t) + a1 (t)ẋ(t) + a0 (t)x(t) = f (t)
(5.5.11)
Brauchen die allgemeinste homogene Lösung. Kennt man eine so kann man
mit Hilfe der Wronski Determinante eine zweite und damit die allgemeinste
gewinnen.
Eine partikuläre Lösung der inhomogene Gleichung kann man aus der
allgemeinsten der homogenen gewinnen. Sei diese xh (t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t).
Man macht den Ansatz (Variation der Konstanten)
xin (t) = v1 (t)x1 (t) + v2 (t)x2 (t)
(5.5.12)
129
Das ist nicht eindeutig
v̄1 = v1 + g(t)
v̄2 = v2 −
v1 g(t)
v2
(5.5.13)
mit beliebigen g(t) f¨’uhrt auf dasselbe u. Daher kann man eine Forderung die
zur Vereinfachung führt erfüllen
v̇1 x1 + v̇2 x2 = 0
(5.5.14)
ẋin = v1 ẋ1 + v2 ẋ2
(5.5.15)
Damit wird
Das setz man in die inhomogene Dgl ein und erhält (die zweiten Ableitungsterme verschwinden)
v̇1 ẏ1 + v̇2 ẏ2 = f (t) und v̇1 x1 + v̇2 x2 = 0
(5.5.16)
Das ist, da die Wronski-Determinante der homogen Lösungen ungleich Null
ist, lösbar
f
f
v̇1 = −x2
v̇2 = x1
(5.5.17)
W
W
ˆ
x2,1 (t0 )f (t0 )
v1,2 (t) = ∓
dt
(5.5.18)
W (t)
5.5.3
Potenzreihenansatz
5.5.4
Allgemeines
y 00 + a(x)y 0 + b(x)y = 0
Die Funktionen a(x) und b(x) seien in Potenzreiehn um den Punkt x0 entwickelbar, dann gibt es zwei Lösungen die ebefalls um diesen Punkt entwickelbar sind.
∞
X
y(x) =
an (x − x0 )n
n=0
Bildet man die Ableitungen und entwickelt a(x) und b(x) liefert der Koeffizientenvergleich die Entwicklungskoeffizienten an .
Beispiel:
y 00 − 2xy = 0
130
Entwickelbar um x0 = 0. Einsetzen gibt
∞
X
an n(n − 1)x
n−2
−2
n=2
∞
X
an xn+1 = 0
n=0
Umbenennung der Indizes so dass X Potenzen gleichen Index haben. Also in
erster Summe n − 2 → n und in der zweiten n + 1 → n
∞
X
an+2 (n + 2)(n + 1)xn − 2
n=o
∞
X
an−1 xn = 0
n=1
Das gibt der Reihe nach n = 1, n = 2, . . .
a2 = 0 an+2 =
2
an−1
(n + 2)(n + 1)
n≥1
Die beiden Koeffizienten a0 und a1 bleiben als frei Parameter (Integrationskonstanten übrig. Je nachdem mit welcher man startet bekommt man die
zwei linear unabhängigen Lösungen
y1 (x) = a0 [1 +
y2 (x) = a1 [1 +
2 3
2·2
x +
x6 + . . . ]
3·2
6·5·3·2
2
2·2
x4 +
x7 + . . . ]
4·3·2
7·6·4·3
Übung:
y 00 − xy + ny = 0
L
Ã ösung:
y1 (x) = a0 [1 −
y2 (x) = a1 [1 −
n 2 n(n − 2) 4 n(n − 2)(n − 4 6
x +
x −
x + ...]
2!
4!
6!
n − 1 3 (n − 1)(n − 3) 5 (n − 1)(n − 3)(n − 5) 7
x +
x −
x +...]
3!
5!
7!
Besselsche Differentialgleichung
x2 y 00 + xy 0 + (x2 − p2 )y = 0
Legendresche Differentialgleichung
(1 − x2 )y 00 − 2xy 0 + l(l + 1)y = 0
131
Hypergeometrische Differentialgleichung
x(1 − x)y 00 + [γ − (α + β + 1)x]y 0 − αβy = 0
Laguerresche Differentialgleichung
xy 00 + (1 − x)y 0 + ny = 0
Kapitel 6
Diracsche Delta-Funktion
LP Kapitel 13.4 Seite 403
6.1
Darstellung der δ-Funktion
Kick auf eine Saite, zeitlich sehr kurz aber kräftig. Darstellen als limes einer
Funktion die konzentriet ist (kann auch räumlich sein)
½
0 |t| > ²
f (t, ²) =
(6.1.1)
1
|t| < ²
2²
Es gilt
ˆ
ˆ
∞
²
dtf (t, ²) =
−∞
dt
−²
1
=1
2²
(6.1.2)
unabhängig von ². Der Grenzwert lim²→0 f (t, ²) ist aber nicht erklärt (schwach
konvergente Folge). Dennoch gilt für ein Integral mit einer Funktion g(t)
ˆ ∞
ˆ ²
ˆ 1
1
1
dtf (t, ²)g(t) = lim
dt g(t) = lim
ds g(s²) (6.1.3)
lim
²→0 −²
²→0 −∞
²→0 −1
2²
2
ˆ 1
1
=
ds lim g(s²) = g(0)
2 ²→0
−1
Alle Funktionen F (t) deren Integral auf Eins normiert ist könne als Folgen
genommen werden
1 t
f (t, ²) = F (
(6.1.4)
² ²
132
133
Andere Funktionen
1
²
2
π (² + t2 )
1
t2
f (t, ²) = √ exp(− )
²
²π
1 sin(t/²)
f (t, ²) =
π
t
f (t, ²) =
Auch diese Funktionen haben die Eigenschaft dass
ˆ ∞
ˆ ∞
1
1
1
1
dt
=
ds
=1
2
π² (1 + (t/²) )
π (1 + s2 )
−∞
−∞
(6.1.5)
(6.1.6)
(6.1.7)
(6.1.8)
Salopp schreibt man für die δ-Funktion, die tatsächlich ein Funktional ist
½
0 t 6= 0
(6.1.9)
δ(t) =
∞ t=0
und es gilt
ˆ
ˆ
∞
∞
dtδ(t) = 1
−∞
Verallgemeinerung
dtδ(t)g(t) = g(0)
(6.1.10)
−∞
ˆ
∞
dtδ(t − a)g(t) = g(a)
(6.1.11)
−∞
6.2
Eigenschaften
δ(αt) =
1
δ(t)
|α|
(6.2.1)
Beweis: Unterscheiden α > 0 und α < 0
1
[δ(t + a) + δ(t − a)]
2a
X
δ(f (t)) =
f rac1f 0 (ti )δ(t − ti )
Nullstellen ti
ˆ ∞
dtδ 0 (t)f (t) = −f 0 (0)
δ(t2 − a2 ) =
(6.2.2)
(6.2.3)
(6.2.4)
−∞
δ 0 (t) = −
δ(t)
t
(6.2.5)
134
6.2.1
Die Stufenfunktion
½
Θ(t) =
ˆ
0 t<0
1 t>0
t
Θ(t) =
dsδ(s)
−∞
δ(t) =
(6.2.6)
dΘ(t)
dt
(6.2.7)
Kapitel 7
Literatur
Ch.Lang, N. Pucker, Mathematische Methoden in der Physik, Spektrum Akademischer Verlag 2005
E. Klingbeil, Tensorrechnung für Ingenieure, Hochschultaschenbuch 197, Bibliographisches Institut 1966
A. Lichnerowicz, Einführung in die Tensoranalysis, Hochschultaschenbuch
77? , Bibliographisches Institut 1966
H. Teichmann, Physikalische Anwebndungen der Vektor- und Tensorrechnung, Hochschultaschenbuch 39/39a, Bibliographisches Institut 1968
135
Kapitel 8
Übungen
1. Gegeben seien die Matrizen
(A)kl = ak δkl−2
(B)kl = bk δkl+2
Berechnen Sie
• A2 , B2
• C = AB − AB und die Spur von C Jeweils für den Fall dass die
Matrizen 4×4 Matizen sind und unendlich dimensionale Matrizen
2. Berechnen Sie A2 (φ) und A−1 (φ) von


1
0
0
A(φ)  0 cos φ − sin φ 
0 sin φ cos φ
und zeigen Sie A2 (φ) = A(2φ) und A−1 (φ) = A(−φ)
3. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von


1 −3 3
A =  3 −5 3 
6 −6 4
Zeigen Sie, dass die Matrix


1 1 1
P= 1 0 1 
0 −1 2
die Matrix A diagonalisiert.
136
137
4. Es sei B = δkl−1 berechnen Sie die Elemente von exp(B). Hinweis: Welche
Elemente von Bn sind von Null verschieden?
5. Zeigen Sie
εijk εimn = δjm δkn − δjn δkm
εijk εijn = 2δkn
εijk εijk = 6
6. Welche der folgenden Mengen V sind Unterräume des R-Vektorraums R3 ?
(Anleitung: Es ist zu zeigen, dass die Elemente wieder einen in sich
geschlossenen Vektorraum bilden.)
(a) V = {(r, 1 + r, 1 - r) k r ∈ R}
(b) V = {(r, s, rs) k r, s ∈ R}
(c) V = {(r, s, t) k r, s, t ∈ R, 2r + 3s = t}
(d) V = { (r, s, t) k r, s, t ∈ R, r2 - 2rs + s2 = 0}
7. (a) Man entscheide (mit Begründung), ob die drei Vektoren
(1, 1, 2, 2, 3, 4) , (-1,-1,-2, 2, 5, 0) , (1, 1, 1, 0, 0, 0)
im R-Vektorraum R6 linear unabhängig sind.
(b) Für welche t ∈ R sind die drei Vektoren
(1, 3, 4) , (3, t, 11) , (-1,-4, 0)
im R-Vektorraum R3 linear unabhn̈ging (mit Begründung) ?
(c) Man entscheide (mit Begründung), ob die zwei Vektoren
(i, i - 1) , (1, 1 + i)
eine Basis des C-Vektorraums C2 bilden (hier ist i die imaginäre Einheit)
8. Es sei V ein reeller Vektorraum und v1 , ..., vn ∈ V linear unabhängig. Zeige: Für v = a1 v1 + ... + an vn mit ai ∈ R sind
v1 − v, v2 − v, ..., vn − v
genau dann linear abhängig, wenn a1 + + an = 1 ist. Hinweis: Eine
Determinante ändert sich nicht wenn man zu einer Zeile/Spalte ein
Vielfaches einer anderen Zeile/Spalte hinzuzählt. Machen Sie sich das
Ergebnis für n = 3 klar.
9. Eine Basis in K 3 sei: b1 = (1, −1, 3), b2 = (0, 1, −1), b3 = (0, 3, −2) finden
sie die duale Basis im Vektorraum der Linearformen. Hinweis: Eine
Linearform lautet allgemain f (x) = ax1 + bx2 + cx3 .
138
10. Sei V der Vektorraum aller Polynome f (t) = x1 +x2 t vom Grad ≤ 1 und
der duale Raum der Vektorraum der von den beiden Basisvektoren
ˆ 1
ˆ 2
1?
2?
b =
f (t)dt
und
b =
f (t)dt
0
0
auf gespannt wird. Finden sie die Basisvektoren in V zu denen die
angegebenen Basisvektoren in V ? dual sind. Hinweis: bi? (bj ) = δij
11. Lineare Abhängigkeit: Sind die folgenden Elemente eines Vektorraums
linear abhängig?
(a) f1 = 2x + y + z , f2 = 2x + 4y + 2z , f3 = 3x + z
(b) f1 = x , f2 = x2 2x , f3 = x3 3x , f4 = x4 4x
(c) f1 = 1 , f2 = sin x , f3 = cos 2x , f4 = sin2 x
(d) f1 = ex sinh x , f2 = ex cosh x , f3 = e−x sinh x , f4 = e−x cosh x
12. Gegeben sei der Rn mit der cartesischen Basis {~ei }
zeigen Sie, dass die Vektoren ~gi mit i Einsen
~gi = (1, 1, 1, . . . , 1↑i , 0, 0, . . . , 0)
(i) eine Basis bilden und bestimmen Sie die Länge der Basisvektoren
und die Winkel zwischen ihnen.
(ii) Geben sie die Matrix der gij an und drücken sie das Skalarprodukt
zwischen zwei beliebigen Vektoren durch ihre Komponenten in der gBasis aus (Machen Sie sich das Resultat für n = 3 klar).
(iii) Wie lautet die Transformation von der cartesischen auf die g-Basis.
13. Zerlegen Sie die Funktionen f (t) im Interval von −π bis π in der ortho(s)
(c)
normalen Basis {en = sin nt, en = cos nt} und geben Sie die Komponenten an.
(i) f (t) = 1 ; (ii) f (t) = t (iii) f (t) = cos2 t
Hinweis:
f (t) =
f0
(s)
(c)
(c)
(s) (s)
(c) (c)
+ < f, e(s)
n > en + < f, en > en ≡ f0 + fn en + fn en
2
14. Gegeben sind die Vektoren
~aT1 = (4, 4, 1) ~aT2 = (2, 1, −1) ~aT3 = (4, −2, 2)
√ √
~bT = ( 2, 2, 0) ~bT = (1, 2, 1) ~bT = (1, 1, 1)
1
3
2
Orthonormieren Sie die Dreibeine nach dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren.
139
15. Berechnen Sie die ersten drei Laguerrschen Polynome L0 (x), L1 (x) und
L2 (x). ´
´
Hinweis: xn eax = xn eax /a − n/a xn−1 eax
16. Betrachten Sie zwei Basissysteme in R2
{e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} und {f1 = (1, 3), f2 = (2, 5)}
(a) Finden Sie die Transformationsmatrix P von der e zur f Basis und
umgekehrt die Transformationsmatrix Q von der f zur e Basis.
(b) Zeigen Sie dass PQ = I ist.
(c) Zerlegen Sie einen Vektor v = (v1 , v2 ) in der e und f Basis und
zeigen Sie dass die Komponenten in der f Basis durch Multiplikation
der Komponenten in der e Basis mit P−1 erhalten werden.
17. Vektorprodukt: Zeigen sie, dass
(~a × ~b)2 + (~a · ~b)2 = |~a|2 |~b|2
18. Benützen Sie die Komponentenschreibweise und den ²-Tensor um zu
zeigen, dass
~a · (~b × ~c) = ~b · (~c × ~a) = ~c · (~a × ~b)
~a × (~b × ~c) = ~b(~a · ~c) − ~c(~a · ~b)
~a × (~b × ~c) + gerade Permutationen = 0
19. Benützen Sie die Komponentenschreibweise und den ²-Tensor um zu
zeigen, dass
~ = (~a · ~c)(~b · d)
~ − (~a · d)(
~ ~b · ~c)
(~a × ~b) · (~c × d)
(~a × ~b) · (~b × ~c) × (~c × ~a) = (~a · ~b × ~c)2
20. Ebene elliptische Koordinaten sind folgendermaßen definiert
x = a cosh u cos φ
y = a sinh u sin φ
Der Wertebereich der elliptischen Koordinaten ist
o≤u≤∞
o ≤ φ ≤ 2π
(a) Skizzieren Sie die Koordinatenlinien u = konst. und φ = konst..
Welche Kurven sind das?
(b) Berechnen Sie (i) die holonomen Basisvektoren, (ii) deren Normierung, (iii) die dualen holonomen Basisvektoren, (iv) den metrischen
Tensor und (v) das Wegelement
140
21. Räumliche elliptische Koordinaten seien folgendermaßen definiert
p
p
x = l (1 − η 2 )(ξ 2 − 1) cos φ y = l (1 − η 2 )(ξ 2 − 1) sin φ z = lξη
Der Wertebereich der elliptischen Koordinaten ist
−1 ≤ η ≤ 1
1≤ξ≤∞
0 ≤ φ ≤ 2π
(a) Welche Fläche ergibt ξ = konst.
(b) Berechnen Sie (i) die holonomen Basisvektoren, (ii) deren Normierung, (iii) die dualen holonomen Basisvektoren, (iv) den metrischen
Tensor und (v) das Wegelement.
22. Gegeben sind die Vektoren in kartesischen Koordinaten
~a = (5t2 , t, −t3 )
Berechnen Sie
d ~
~a · b ,
dt
~b = (sin t, −cost, 0)
d
~a × ~b
dt
Zeigen Sie, dass gilt
Ã
!
d2~b d2~a ~
d
d~b d~a ~
~a × 2 − 2 × b =
~a ×
−
×b
dt
dt
dt
dt
dt
23. Der Ortsvektor ~x(t) sei zeitabhängig. (i) Zeigen Sie, dass sich die Einheitsvektoren der Kugelkoordinaten folgendermaßen ändern
µ
¶
µ
¶
d
d
d
~er =
θ ~eθ + sin θ
φ ~eφ
dt
dt
dt
µ
¶
µ
¶
d
d
d
~eθ = −
θ ~er + cos θ
φ ~eφ
dt
dt
dt
µ
¶
µ
¶
d
d
d
~eφ = − sin θ
φ ~er − cos θ
φ ~eθ
dt
dt
dt
Hinweis: Gehen Sie von der Darstellung der Einheitsvektoren der Kugelkoordinaten durch die kartesischen Einheitsvektoren aus.
(ii) Geben Sie d~x(t)/dt in Kugelkoordinaten an, wenn der Vektor ~x nur
seine Länge ändert.
24. Gegeben ein Vektor ~a, berechnen sie in Kugelkoordinaten
~a · ~x ,
~a × ~x
141
25. Berechnen sie das Integral
ˆ
¡
¢3/2
dxdydz x2 + y 2 + z 2
über das Volumen einer Kugel mit Radius R.
26. Die Parameterdarstellung einer Hyperbel in der Ebene lautet
x = a cosh t
y = b sinh t
(i) Skizzieren Sie die Kurve
(ii) Berechnen Sie den Tangentenvektor t(s) und t(t).
(iii) Berechnen sie den Hauptnormalvektor ~h und die Krümmung κ.
27. Gegeben sei die ebene Kurve ~x(t) = (ωt, cosh ωt). (i) Berechnen Sie die
Bogenlänge s und geben sie die Parameterdarstellung der Kurve in s.
(ii) Berechnen Sie den Tansgentenvektor t(s) und t(t).
(iii) Berechnen sie den Hauptnormalvektor ~h und die Krümmung κ.
28. Eine Raumkurve ist durch ~x = (t, t2 , 32 t3 ) gegeben. Berechnen Sie (i) die
Krümmung κ und (ii) die Torsion τ .
29. Zeigen Sie dass die Drehachse ~e ein Eigenvektor zur Drehmatrix Re mit
dem Eigenwert λ = 1 ist.
Zeigen Sie ferner dass Re RTe = I ist.
30. Bestimmen sie die Rotationsmatrix folgender Drehungen:
(i) Drehung um α um die x-Achse und anschließend Drehung um β um
die y-Achse.
(ii) Vertauschen Sie die angegebenen Drehungen und berechnen sie die
dazugehörige Drehmatrix.
(iii) Geben Sie die beiden Resultate für α = β = 450 an.
31. Gegeben sei die Matrix
 √

2 √1
1
√
1
A=  √
2 − 2 
0
2
− 2 1
1
Bestimmen Sie den Drehwinkel und aus dem antisymmetrischen Anteil
von A die Drehachse.
142
32. Drehen Sie einen Würfel zentriert um den Ursprung um die Raumdiagonale, die durch die Ecke im ersten Quadranten geht um 300 und geben
Sie die Koordinaten der Ecken des gedrehten Würfels an. Der Würfel
habe die Kantenlänge 2.
33. Gegeben die lineare Transformation
µ
¶
cosh ψ sinh ψ
R(ψ) =
sinh ψ cosh ψ
(i) Ist die Transformation orthogonal? (ii) Wie lautet die inverse Transformation? (iii) Zeigen Sie
R(ψ1 + ψ2 ) = R(ψ2 )R(ψ1 )
34. Die spezielle Lorentztransformation Lx (v) kann man auch durch R(ψ)
darstellen. (i) Wie hängen v und ψ zusammen? (ii) Zeigen Sie nun mit
der Relation (iii) aus dem vorigen Beispiel das Additionstheorem der
Geschwindigkeiten.
35. Zeigen Sie explizit für die spezielle Lorentztransformation dass gilt
1 ∂2
∂2
1 ∂2
∂2
−
=
−
c2 ∂t2 ∂x2
c2 ∂t0 2 ∂x0 2
36. Führen Sie zwei Lorentztransformationen mit ~v1 und ~v2 aus, für die gilt
|~v1 | = |~v2 | und ~v2 ⊥ ~v1 . Wie lautet die Gesamttransformation?
37. Zeigen Sie allgemein , dass gilt
~ × ∇)Φ
~
~ × (∇Φ)
~
(A
=A
~ T = (2xy, −x2 y, xz 2 ) und Φ = 4xyz 3 . Berechnen
Gegeben der Vektor A
Sie
~ · ∇Φ
~
~ × ∇Φ
~
A
und A
38. Berechnen Sie
~ · (r∇
~ 1) ,
∇
r
~ p~ · ~x
∇
r3
~ T = (6xy + z 3 , 3x2 − z, 3xz 2 − y) zeigen Sie ∇
~ ×A
~ = 0 und
39. Gegeben A
~ = ∇Φ.
~
bestimmen Sie die Potentialfunktion Φ so, dass A
Benutzen Sie
dazu die Methode 1 und 2 aus der Vorlesung.
143
40. Gegeben das Vektorpotential
~ × ~x
~=m
A
r3
~ =∇
~ ×A
~ für
berechnen Sie die Rotation und skizzieren Sie das Feld B
~x 6= 0
41. Gegeben das Vektorfeld

y 2 cos x + z 3
F~ =  2y sin x − 4 
3xz 2 + 2

(i) Zeigen Sie, dass das Feld konservativ ist, (ii) berechnen Sie das
Potential und (iii) die Arbeit wenn eine Objekt in diesem Feld vom
Ort (0, 1, −1) nach (π/2, −1, 2) bewegt wird.
~ T = (2y, −z, 3x) in Kugelkoordinaten dar. D.h. bestimmen
42. Stellen Sie A
Sie ar , aθ und aφ .
~ T = (2x −
43. Verifizieren Sie den Stokesschen Integralsatz für den Fall A
y, −yz 2 , −y 2 z) wo die Oberfläche O die obere Hälfte der Einheitskugel
und die berandende Kurve C der Einheitskreis in der xy-Ebene ist.
44. Beweisen Sie
˛
ˆ ˆ
~ =
d~x × B
C
~ × Bdf
~
(~n × ∇)
O
wo die geschlossene Kurve C die Oberfäche O berandet.
~=
Hinweis: Betrachten Sie den Stokessche Integralsatz für den Vektor A
~
~
~
B × C wo der Vektor C konstant und beliebig ist. Verwenden Sie die
Komponenteschreibweise.
˛
ˆ ˆ
²ijk dxj Bk =
²ilm ²lrs nr ∇s Bm df
C
O
45. Schreiben Sie die Maxwell Gleichung
~
~ ×E
~ = − 1 ∂B
∇
c ∂t
in Kugelkoordinaten an. Achten Sie genau auf die Definitionen der
Komponenten.
144
46. Lösen Sie die Dgl
ẏ =
y x2
−
x y2
für die Anfangsbedingung y(1) = 1. Welcher Typ ist das?
47. Geben Sie die allgemeine Lösung der Dgl
xy 0 = (x − 1)y + x2 − x3
Welcher Typ ist das?
48. Lösen Sie die Dgl
x + y + y0 = 0
indem Sie einen integrierenden Faktor finden. Ebenso die Dgl
x3 + y 4 + 8xy 3 y 0 = 0
49. Finden Sie die Kurven in der Ebene für die der Krümmungsradius ρ
konstant ist und die um den Ursprung zentriert sind. Das führt auf die
Dgl
y 00 ρ = (1 + y 0 2 )3/2
Hinweis: Setzen Sie y 0 = z und integrieren sie die Dgl 1. Ordnung die
dadurch entsteht.
50. Lösen Sie die Differentialgleichung
(x2 − x)y 0 = y 2 + y
Geben Sie wenn möglich die allgemeine Lösung y(x) an.
51. Lösen Sie die Differentialgleichung
y 0 + (1 − y 2 ) tan x = 0
Geben Sie wenn möglich die allgemeine Lösung y(x) an.
52. Lösen Sie durch Potentzreihenansatz die Dgl
y 00 − xy + ny = 0
Welche Bedeutung hat die Bedingung dass n ganzzahlig ist?

Zugehörige Unterlagen

UE 7

2 - (sin(α)) · 0 1 - Mathematisches Institut der Universität Bonn

Vorlesung Mathematische Methoden der Physik I

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