Grundkonzepte der Optik Prof. Kowarschik 2013

Grundkonzepte der Optik
Prof. Kowarschik 2013
1 1 1
B b
= +
,
Abbildungsmaßstab: A =
= .
f b g
G g
Linsenschleiferformel (n1 - umgebendes Medium, n2 - Linse, R1 ,R2 - Krümmungsradien, d - Dicke auf optischer Achse):
Abbildungsgleichung (für dünne Linsen):
1 n2 − n1 1
1
[n2 − n1 ] d
=
[
−
+
]
f
n1
R1 R2
n2 R1 R2
Maxwellsche Gleichungen (makroskopisch)
∂ ⃗
B(⃗
r, t)
∂t
⃗ r, t))
div(D(⃗
⃗ r, t)) +
rot(E(⃗
⃗D
⃗ + 1B
⃗H
⃗ ;
Energiedichte: w = 12 E
2
=
0
=
ρ̃(⃗
r, t)
∂ ⃗
D(⃗
r, t)
∂t
⃗ r, t))
div(B(⃗
⃗ r, t)) −
rot(H(⃗
=
˜⃗(⃗
r, t)
=
0
⃗ ×H
⃗ .
Energieströmung: S⃗ = E
Wellengleichung (˜⃗(⃗
r, t) = 0, ρ̃(⃗
r, t) = 0):
2
∂
r, t) = 0 .
[∆ − εε0 µµ0 ∂t
2 ] Φ(⃗
⃗ r −ωt]
⃗ r, t) = Re (H
⃗ 0 ei[k⃗
Lösungen sind harmonische ebene Wellen [o.B.d.A.] : H(⃗
),
iδ
⎛ H0x e x ⎞
⎛ 0 ⎞
i δy
⃗
⎟, k⃗ = ⎜ 0 ⎟ .
H0 = ⎜ H0y e
⎝
⎠
⎝ kz ⎠
0
⃗
Abhängig vom Verhältnis von H0x zu H0y und dem Phasenabstand δx − δy ergibt sich (der Bewegung des H-Feldvektors
in der Normalenebene zur Ausbreitungsrichtung entsprechend) entweder elliptisch, zirkular oder linear polarisiertes
Licht.
z
⃗ Polarisationsvektor ; E
⃗ heißt Schwingungsvektor .
Daher heißt H
β
2
Reflexionsgesetz: sin(α) = sin(γ) ;
Brechungsgesetz: n1 sin(α) = n2 sin(β) .
x
1
αγ
Fresnel’sche Formeln:
Amplituden der transversal-elektrische Wellen
R⊥ =
cos(α) −
Ereflektiert,⊥
=
Eeingestrahlt,⊥ cos(α) +
n2 µ1
n1 µ2
n2 µ 1
n1 µ2
cos(β)
T⊥ =
cos(β)
Etransmittiert,⊥
2 cos(α)
=
Eeingestrahlt,⊥
cos(α) + nn12 µµ21 cos(β)
Amplituden der transversal-magnetische Wellen
cos(α) −
Ereflektiert,∥
R∥ =
=
Eeingestrahlt,∥ cos(α) +
n1 µ2
n2 µ1
n1 µ2
n2 µ1
cos(β)
2 nn12 µµ21 cos(α)
Etransmittiert,∥
T∥ =
=
Eeingestrahlt,∥
cos(α) + nn21 µµ12 cos(β)
cos(β)
n=
√
εµ
Totalreflexion: [n1 > n2 , kommend
aus 1]
√
n2
sin2 (α)
⃗2 = E
⃗0 ei[k2 sin(β) x−ωt] e−k2 δz
sin(αGrenz ) =
, cos(β) = i sin2 (αGrenz ) − 1 ⇒ E
n1
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
=δ
Im zeitlichen Mittel nach 2 transportierte Energie: Sz = 0 .
mit Ψ = 2[ϕ∥ − ϕ⊥ ]
n2
Phasensprünge:
n1
δ
⇒ Polarisationsänderung gemäß: tan( Ψ
)=
2
√
2
n
cos(α) sin2 (α)−[ n2 ]
1
sin2 (α)
.
⃗1 = 2E
⃗0 ei[kx sin(α)−ωt]−i ϕ⊥ cos(kz cos(α) + ϕ⊥ ) .
Feldstruktur in Medium 1: E
TM, E∥
TE, E⊥
⃗
E
⃗
H
Das ∥ und ⊥ sind relativ zur vom einfallenden k⃗ und
dem Flächennormalenvektor aufgespannten Ebene
benannt.
k⃗
Brewster’sche Gesetz: α + β = 90° ⇒
⃗
H
⃗
E
k⃗
tan(αBrewster ) =
1
n2
n1
δ
n1
n2
ϕ⊥ = arctan( cos(α)
) , ϕ∥ = arctan( cos(α)
);
[kommend aus 2, n2 > n1 ];
dann ist R∥ = 0 !
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kn =
Wellenleiter:
mit nf > ns ≥ na , α > αGs , α > αGa , dann durch Totalreflexion geführte
Welle mit konstruktiver Interferenz mit sich selbst im Wellenleiter bei:
2π
2
nf d cos(α) − 2ϕa − 2ϕs = m 2π .
λ
Daraus ergit sich ein diskreter Modensatz mit mmax [jeweils für TM und TE].
α
α
2π
n
λ
na
nf
ns
Als grobe Abschätzung ergibt sich (unter Vernachlässigung der Phasenterme):
√
n2f − n2s , m ∈ N .
m ≲ 2d
λ
x
vernachlässigt
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹· ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹µ
⃗ −er⃗˙ × B
⃗
Ausgehend vom Modell einer harmonischen Schwingung von Elektronen im Atom ( mr¨⃗ + mγ r⃗˙ + mω02 r⃗ = −eE
⃗ erhält
, r⃗˙ ≪ c), der Oszillatorstärke fk [Anteile der e− mit ωk ] und einer linearen Response des Mediums (P⃗ = χε0 E)
man die
N - e− -Dichte
2
ε−1
Ne
fk
m - Masse
Lorenz-Lorentz-Gleichung:
=
.
∑
ω - Frequenz des äußeren Feldes
ε + 2 3ε0 m k ωk2 − ω 2 − i ωγk
γk - Dämpfungskonstante
Man spricht von: normaler Dispersion:
Wellengruppe: Ψ(x, t) = ∫
∞
0
dn
dω
>0
; anomaler Dispersion:
A(x, ω) ei[kx−ωt] dω
dn
dω
< 0.
mit k = n(ω) ωc .
A
dk
∣ω=ω [ω − ω0 ] + . . . , mit A(x, ω) = { 0
Für Quasimonochromasie [∆ω ≪ ω0 ]: k(ω) ≈ k(ω0 ) + dω
0
0
² ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
k0
Ψ(x, t) = A0 sinc ([
Die Gruppengeschwindigkeit ist dann: vGr =
1
vP h
1
vP h
x − t]
ω ∈ ∆ω
sonst
gilt :
∆ω
) ∆ω ei[k0 x − ω0 t] .
2
dω
c
∣
=
dk k=k0 n(ω0 ) + ω0
dn
∣
dω ω=ω0
n = Re (n̂) - Phasengeschwindigkeit beeinflusst [vP h =
c
];
Re(n)
κ = Im (n̂) - Absorption.
⃗
Telegraphengleichung: [in isotropen, homogenen Medien, mit µ(ω) = const., ε(ω), σ(ω) und ⃗ = σ E]
¨⃗ = 0
⃗ − µ0 µσ E
⃗˙ − µ0 µε0 εE
∆E
ω2
σ
ω2
Für ebene, monochromatische Wellen folgt die Dispersionsgleichung für Wellenleiter: k 2 = 2 µε [1 + i
] = 2 n̂2 ,
c
ε0 εω
c
√
√
√
√
2
2
2
2
] + [ 2εµσ
] + [ 2εµσ
mit n̂ = n + i κ ⇒
κ = ± − εµ
+ [ εµ
] und n = ± εµ
+ [ εµ
] .
2
2
2
2
0ω
0ω
ω
ω
⃗=E
⃗0 ei[ c nx − ωt] e−κx c .
⇒ Eine in Ausbreitungsrichtung [o.B.d.A. x] gedämpfte ebene Welle: E
c
Die Eindringtiefe [Intensität auf e1 ] ergibt sich zu: xT =
.
2ωκ
⃗k − r⃗˙k mγ ∀k ∈ {1, . . . , M } (γ - Dämpfung, E
⃗k elektrisches Feld
In Metallen ergibt sich über den Ansatz mr¨⃗k = −eE
an e− k ), mit der Stromdichte ⃗ =
M
1
V
⃗ m⃗˙ =
∑ [−e]r⃗˙k und einem mittleren Feld E:
k=1
M
V
¯
N
2
⃗ − γm⃗
e2 E
 .
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Im stationären Fall (⃗˙ = 0) gilt also: ⃗ =
N e2 ⃗
E.
γm
±
σ0
⃗ ∼ e− i ωt und ⃗ =! σ(ω)E:
⃗
Und daraus mit E
iσ
ε0 ω
1 mσ0
=
.
γ N e2
Die Dämpfungszeit ist dann: τ =
σ(ω) =
σ0
.
1 − i ωτ
σ0
σ0
+ . . ..
+i
ωε0 [ωτ ]
ωε0 [ωτ ]2
√ 2
√
Ne
0
⇒ ω groß, so gibt es keine Absorption; Plasmonfrequenz [Re (ε̂) = 0]: ωp = εσ0 ετ
= mε
.
0ε
Mit n̂2 = µε̂ ergibt sich:
ε̂ = ε +
ωτ ≫
≈ ε−
Dispersionsrelationen (Kramers-Kronig-Relationen):
⃗
Nimmt man einen linearen Zusammenhang P⃗ (ω) = ε0 χ(ω) E(ω)
, mit χ = χ1 + i χ2 an, so ergibt sich über den
∞ ω ′ χ (ω ′ )
∞ χ (ω ′ )
2
1
′
2
2ω
Residuensatz:
χ1 (ω) = π P ∫
dω
χ
(ω)
=
−
P
dω ′
2
∫
π
ω ′2 − ω 2
ω ′2 − ω 2
0
0
Mit χ(ω) = ε(ω) − 1 = n̂2 (ω) − 1 = n2 (ω) − κ2 (ω) − 1 + i 2n(ω)κ(ω) und einigem Umformen ergibt sich :
′
′
∞ ′
∞
)
)−1
n(ω) = 1 + π2 P ∫0 ωω′2κ(ω
P ∫0 n(ω
dω ′
κ(ω) = − 2ω
dω ′
−ω 2
π
ω ′2 −ω 2
Geometrische Optik:
Aus der Annahme eines skalaren, harmonischen Feldes ergibt sich mit dem Ansatz
2
zeitfreien Wellengleichung ∆f + n2 ωc2 f = 0 die Eikonalgleichung: [∇L]2 = n2 .
f (⃗
r) = a(⃗
r) ei
ω
r)
c L(⃗
aus der
Fermat’sches Prinzip:
P
Das Licht wählt auf dem Weg von einem Punkt S zu einem Punkt P immer einen extremalen Weg s: δ[ ∫ n(⃗
r) ds] = 0 .
S
Differentialgleichung für Strahlengang:
grad(n) =
d
[n ddsr⃗ ]
ds
Ein Spiegel vertauscht nur Vorne und Hinten!
Strahlen = orthogonale Trajektorien der Wellenfronten.
In homogenen, isotropen Median bilden Lichtstrahlen gerade Linien.
Korrespondierende Punkte = Punkte, in denen ein einzelner Strahl eine Reihe von Wellenfronten schneidet.
x
(A, x′ )
(E, x)
α′
z
s
e
ch
α
is
pt
O
Matrixformalismus:
In paraxialer Näherung [sin(α) ≈ α].
n
em
st
x′
A B
x
)=(
)( )
n′ α′
C D nα
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
Sy
(
Einfallsebene
n′
Ausfallsebene
M
Translationsmatrix [Freiraum]: M = (
1
0
d
n)
1
1
; Dünne Linse [Brennweite f ]: M = ( 1
−f
1
Sphärischer Spiegel [Radius R]: M = ( 2n
−R
Für optische Systeme gilt dann: Mges = MN MN −1 . . . M1
0
)
1
0
) ;
1
[Aufspalten des Lichtweges!] .
, wobei det M =
n
n′
.
Mit diesem Ansatz ergibt sich für einen sphärischen Resonator die Resonatorbedingung: 0 ≤ [1 −
3
L
][1 − RL2 ]
R1
≤1 .
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Polarisation:
- polarisiertes Licht: es existiert ein reiner Polarisationszustand [linear, zirkular, ellipstisch].
- unpolarisiertes Licht: nicht eindeutig zerlegbar in reine Polarisationszustände.
- teilweise polarisiertes Licht: eindeutig zerlegbar in einen reinen und einen unpolarisierten Anteil.
y
Beschreibung polarisierten Lichts über Polarisationsellipse [Lage im Raum,
20
Azimutwinkel Ψ [− π2 ≤ Ψ ≤ π2 ], Amplitudenverhältnis E
= tan(α), Umlaufsinn,
E10
b
Phasenunterschied δ, Elliptizität e = ± a = tan(χ)].
Es gilt
a2 + b2 = E10 2 + E20 2
.
tan(2Ψ) = tan(2α) cos(δ)
sin(2Ψ) = sin(2α) sin(δ)
E20
Ψ
b
x
−χ
a
δ = δy − δx
E10
Stokes-Parameter [für ebene, monochromatische Wellen!]:
s0 = E10 2 + E20 2 , s1 = E10 2 − E20 2 , s2 = 2E10 E20 cos(δ) , s3 = 2E10 E20 sin(δ).
Dies ist äquivalent zu:
s20
=
s21
+ s22
+ s23
[→ Poincaré-Kugel]
, s1 = s0 cos(2χ) cos(2Ψ) , s2 = s0 cos(2χ) sin(2Ψ) , s3 = s0 sin(2χ) .
Polarisationsgrad: P - Anteil der Intensität des vollständig polarisierten Lichts an der Gesamtintensität.
Jones-Kalkül [für ebene, monochromatische Wellen; planparallele Bauelemente!]:
i δ1
⃗ = (Ex ) = (E10 ei δ ) mit Propagation gemäß (E2x ) = T (E1x ) [T - Jones-Matrix; u.U. Drehung: T ′ = D(ϕ)T D(−ϕ)
E
E2y
E1y
Ey
E20 e 2
cos(ϕ) − sin(ϕ)
⃗out = TN TN −1 . . . T1 E
⃗in .
mit D(ϕ) = (
)]. Für N Bauteile gilt dann: E
sin(ϕ) cos(ϕ)
Polarisationsfilter: T = (
1
0
2πnd
λ
0
;
2πnd )
0
e− i λ
e− i Φ1
0
Phasenplättchen: T = (
) .
0
e− i Φ2
Translationsmatrix [isotropes, homogenes Medium (Brechungsindex n,Dicke d)]: T = (
0
) ;
0
e− i
Mueller-Matrizen:
⎛s0 ⎞
⎜s ⎟
mit den Stokesvektoren S⃗ = ⎜ 1 ⎟ kann man die Polarisation von Lich wie folgt beschreiben: S⃗′ = (mij ) S⃗ .
⎜s2 ⎟
²
⎝s3 ⎠
Mueller-Matrix
M̂ = (mij ) hat 16 reelle Elemente [ohne Depolarisation 7 unabhängige], nicht zu jeder Matrix gibt es ein Bauelement,
Intensität explizit enthalten, Streuung behandelbar, keine Phaseninformation .
Polarisationsfilter [horizontal]: M =
1
2
⎛1
⎜1
⎜
⎜0
⎝0
1
1
0
0
0
0
0
0
0⎞
0⎟
⎟
0⎟
0⎠
λ
-Plättchen
4
⎛1
⎜0
[horizontale schnelle Achse]: M = ⎜
⎜0
⎝0
0
1
0
0
0
0
0
−1
0⎞
0⎟
⎟.
1⎟
0⎠
Kohärenzmatrix:
sei Ez = 0, Ej (t) = aj (t) ei[Φj (t)−ω0 t] , j ∈ {x, y}
²
Quasimonochromasie!
Kompensationsplatte [Φj →εj +Φj ]
ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→
Polarisator
E(Θ, ε1 , ε2 , t) = Ex (t) ei ε1 cos(Θ) + Ey (t) ei ε2 sin(Θ)
Mit δ = ε1 − ε2 folgt: I(Θ, δ) = ⟨∣E∣2 ⟩ = Jxx cos2 (Θ) + Jyy sin2 (Θ) + Jxy ei δ cos(Θ) + Jyx e− i δ sin(Θ) cos(Θ).
J
Die Kohärenzmatrix ist dann: J = ( xx
Jyx
Jxy
⟨a1 2 ⟩
⟨a1 a2 ei[Φ1 −Φ2 ] ⟩
)=(
)
−
i[Φ
−Φ
]
1
2
Jyy
⟨a1 a2 e
⟩
⟨a2 2 ⟩
4
[hermitesch, tr(J) - Intensität].
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[Quasimonochromasie vorausgesetzt!]
Mit der Normierung zum komplexen Korrelationsgrad: jxy =
√
Jxy
Jxx Jyy
I(Θ, δ) = ⟨∣E∣2 ⟩ = Jxx cos2 (Θ) + Jyy sin2 (Θ) + 2 ∣jxy ∣
= ∣jxy ∣ ei αxy
√
gilt:
Jxx Jyy sin(2Θ) cos(αxy + δ).
Kristalloptik:
⎛εx
Annahmen: σ = 0, µ = 1, Di = ∑j εij Ej mit εij symmetrisch ⇒ Hauptachsensystem: ε = ⎜ 0
⎝0
0
εy
0
0⎞
0⎟
εz ⎠
[εx , εy , εz - Hauptwerte / Hauptdielektrizitätskonstanten]
nω
i[ s⃗r⃗ − ωt]
⃗=E
⃗0 e c
ergibt sich:
Für ebene, monochromatische Wellen E
n
⃗
⃗ = − n s⃗ × H
⃗
⃗
⃗
⃗
µ0 H = c s⃗ × E [⇒ H ⊥ s⃗, E] , D
c
⃗ ⊥ s⃗, H]
⃗ .
[⇒ D
⃗ = ε 0 n 2 [E
⃗ − s⃗[⃗
⃗ .
D
sE]]
Sowie:
⃗ ≠ 0, so gilt die Fresnelsche Normalengleichung:
Ist s⃗E
∑
i
⃗ ×H
⃗=
Energiefluss: - Poyntingvektor: S⃗ = E
- Strahlrichtung: t⃗ =
- Strahlgeschwindigkeit: v⃗s
c
vs
⃗ =
× [⃗
s × E]
n
⃗2
[⃗
sE
cµ0
⃗ sE]]
⃗
− E[⃗
i.Allg. nicht ∥ s⃗ .
.
⃗
S
⃗
∥S∥
- Strahlenindex: ns =
n ⃗
E
cµ0
si 2
=0
− εε0i
1
n2
; ∥⃗
vs ∥ =
⃗
∥S∥
w
=
c
n cos(α)
=
⃗ .
[α = (⃗
s, S)]
v
cos(α)
.
- Hauptgeschwindigkeit: vi =
√
ε c
√0
εi
.
⃗ t⃗ = 0
E
⃗ = 1 [D
⃗ − t⃗[t⃗D]]
⃗
E
ε0 ns 2
Es gilt:
Strahlengleichung:
∑
i
Normalenellipsoid: ∑3i=1
Di 2
εi
= const.
;
ti 2
ns 2 −
εi
ε0
=0
Strahlenellipsoid: ∑3i=1 εi Ei 2 = const.
[bei konstantem w!].
Optische Achse =
ˆ Richtung gleicher Normalengeschwindigkeit aller Strahlen.
- ordentlicher Strahl: v⃗ = v⃗s
- außerordentlicher Strahl:
sin2 (γ)
ne 2
+
cos2 (γ)
no 2
=
1
n2
[„Normalenfläche“, n i.A. zwischen ne und no ].
v0 > ve - positiv einachsig; v0 < ve - negativ einachsig.
Hauptschnitt: Ebene, die die optische Achse und t⃗ enthält.
Für optisch zweiachsige Kristalle ergibt die Fresnelsche Normalengleichung ∑i
si 2
ε
− ε0
1
n2
=0 :
i
sx 2 [v 2 − vy 2 ][v 2 − vz 2 ] + sy 2 [v 2 − vx 2 ][v 2 − vz 2 ] + sz 2 [v 2 − vx 2 ][v 2 − vy 2 ] = 0
Dies beschreibt 3d zwei Ellipsoide; durch Projektion auf Hauptebenen erhält man beispielsweise das Bild rechts, in dem man die 2 optischen Achsen sieht [→ Schnittpunkte].
Phasendifferenz der ordentlichen und der außerordentlichen Welle in doppelbrechendem Kristall:
∆Φ = 2π
[ne − no ]d
[⃗
s senkrecht zur optischen Achse!]
λ
5
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Hinter Polarisator [P ], Kristall und Analysator [A] [in dieser Reihenfolge], gilt für die Intensität:
)]
I = E 2 [cos2 (χ) − sin(2ϕ) sin(2[ϕ − χ]) sin2 ( ∆Φ
2
paralleler Strahlengang - „orthoskopisch“
;
kon-/divergierender Strahlengang - „konoskopisch“
Optisch aktive Kristalle [Heli-/Chrialität]:
Drehsinnabhängige Brechzahl: nL ,nR ; spezifisches Drehvermögen: ρ = πλ [nL − nR ];
gemittelte Werte: n = 21 [nL + nR ], k = 2π
n ⇒ kL = k + ρ, kR = k − ρ; für ebene Welle:
λ
E = E0 ei ϕ0 21 [e− i[kr z−ωt] + ei[kL z−ωt] ] = E0 ei[ϕ+zρ] cos(kz − ωt)
Induzierte optische Anisotropie:
- machanische Spannung [„Photoelastizität“/„Spannungsdoppelbrechung“]
[∼ 10−3 ]
Pockel-Effekt Kerr-Effekt
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ · ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ ³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ · ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
- elektrisches Feld [„elektrooptischer Effekt“; genähert: n(E) = n0 − 21 r n0 3 E − 12 s n0 3 E 2 ]
[∼ 10−2 ]
- magnetisches Feld [„magnetooptischer-“/„Faraday-Effekt“; Drehung im longitudinalen B-Feld um Winkel α = VBd
richtungsunabhängig → nicht-reziprok !]
Interferometrie:
Kohärenz - Fähigkeit zur Interferenz [∼ Korrelation]
; Inkohärenz - statistische Beschreibung nötig.
∞
Signal: f (t) = ∫−∞ F (ν) e− i 2πνt dν
∞
∞
Energieinhalt: ∫−∞ ∣F (ν)∣2 dν = ∫−∞ ∣f (t)∣2 dt
, Spektrum: F (ν) = ∫−∞ f (t) ei 2πνt dν
∞
, Energiespektrum: ∣F (ν)∣2
, Leistungsdichtespektrum: lim
1
T →∞ 2T
Kreuzkorrelation: corr(f, g) = ∫−∞ f ∗(t) g(t + τ ) dt
, Faltung: [f ∗ g](t) = ∫−∞ f (t) g(τ − t) dt
∞
T
1
∫
T →∞ 2T −T
∞
2
∫−∞ ∣F (ν)∣ dν
∣F (ν)∣2
∞
Zeitmittelwert: ⟨f (t)⟩ = lim
f (t) dt
, wichtig: FT ([f ∗ g](t)) = F (ν) ⋅ G(ν)
Parseval-Theorem:
F ∗(ν) G(ν)
= ∫−∞ ∣f (t)∣2 dt
, Wiener-Khinchin-Theorem: FT (corr(f, g)) =
∞
Korrelationsfunktion im stationären Fall: Γf g (τ ) = ⟨f ∗(t) g(t + τ )⟩
, Korrelations-/Kohärenzgrad: γf g (τ ) =
√
Γf g (τ )
Γf f (0)⋅Γgg (0)
Quasimonochromasie: ∆ν ≪ ν0
⃗ r, t): I ∶= ∣A∣2
Intensität von E(⃗
, eigentlich I =
vε0 ε
∣A∣2 .
2
⃗i = cos(k⃗i r⃗ − ωi t + δi ) gilt:
Für 2 ebene, monochromatische Wellen E
⎧
E10 2 + E20 2
⎪
⎪
1
⎪
⃗ 2 ⟩ = ⟨E
⃗ 2 ⟩ + ⟨E
⃗ 2 ⟩ + 2 ⟨E
⃗1 E
⃗2 ⟩ = ⎨ E10 2 + E20 2
⟨E
res
1
2
2⎪
⎪
⎪ E10 2 + E20 2 + 2 E10 E20 cos([k⃗1 − k⃗2 ]⃗
r)
⎩
√
2
Im letzten Fall gilt dann:
I = ∣A⃗1 + A⃗2 ∣ = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos([k⃗1 − k⃗2 ]⃗
r).
®
´¹¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
→Interferenz-Streifen
Gleichlichtterm
Interferogramm
Interferenz-Ordnung N [∆d - optische Wegdifferenz, λ - Wellenlänge]: N =
Sichtbarkeit: V =
Imax − Imin
.
Imax + Imin
Interferenz an planparallelen Platten: ∆ϕ =
√
2π
2d
λ
, ω1 ≠ ω2 , ωi ≫ Messgerät
⃗1 ⊥ E
⃗2
, ω1 = ω2 , δ1 − δ2 = 0, E
⃗
⃗
, ω1 = ω2 , δ1 − δ2 = 0, E1 ∥ E2
n0 2 − sin2 (α) + π
[Phasensprung um π beim Eintritt ins optisch dichtere Medium!]
6
∆d
λ
∈R
Grundkonzepte der Optik
Prof. Kowarschik 2013
Zweistrahlinterferenzen:
Doppelspalt [Young-Interferometer]:
Wenn a - Abstand Doppelspalt-Schirm - groß gegen D - Spaltabstand - ist, so gilt in guter
xD
Näherung bei x - Auslenkung auf dem Schirm - ∆ϕ = 2π
.
λ a
α
D α
∆s
Michelson-Interferometer:
a
Vielstrahlinterferenzen:
Planparallele Platte:
Fresnelsche Reflexions- und Transmissionskoeffizienten R,T [n → n0 - in Platte], R′ ,T ′ [n0 → n - aus Platte], [Intensitäts]Transmission t = T T ′ , [Intensitäts-]Reflexion r = R2 = R′2 , Phasenunterschied bei einem Plattendurchlauf ∆ϕ =
2π
hn0 cos(β); damit gilt [ohne Absorption → Irefl. + Itrans. = Iein ]:
λ
4r sin2 ( ∆ϕ
2 )
Irefl. =
Ieinf.
[1−r]2 +4r sin2 ( ∆ϕ
2 )
t2
Itrans. =
Ieinf.
[1−r]2 +4r sin2 ( ∆ϕ
2 )
√ .
Für r ≈ 1 ergibt sich die Halbwertsbreite [Länge des Intervalls zwischen den Punkten halber Intensität] zu: ε = 2 1−r
r
Die Feinheit ist F =
Abstand 2er Maxima
Halbwertsbreite
=
2π
ε
=
√
π r
.
1−r
Fabry-Perot-Interferometer:
Der Durchmesser des p-ten Haidinger Rings [in erster Näherung!]:
√ ′
√
Dp = nh′λ 2f
m0 − mp ,
n
mit h′ der Länge zwischen den Spiegeln, n′ dem Brechungsindex zwischen den Spiegeln, λ der eingestrahlten Wellenlänge,
f der Brennweite der hinteren Linse, n dem Brechungsindex des äußeren Mediums, mp =
und βp dem Winkel der Strahlen zwischen den Spiegeln zu einer Spiegelnormalen.
2n′ h′
λ
cos(βp ) der Ordnungszahl
Spektrallinien:
Auflösungsvermögen: AV =
λ
∆λ
= Fm ,
die Halbwertsbreite ergibt sich hier zu: ε =
Der Verschiebung um eine Interferenzordnung entspricht das freie Spektralgebiet : ∆λSR =
2πm∆λ
λ
λ02
2n′ h′
=
λ0
m0
= F ∆λ
[spectral range]
Für stehende Wellen zwischen zwei Spiegeln ergeben sich Longitudinalmoden [c-Lichtgeschwindigkeit, h′ -Abstand,
mc
Ψc
Ψ-Phasensprung bei Reflexion]:
ν = 2h
′ + 2πh′
Der Modenabstand beträgt ∆ν =
c
2h′
Fourierspektroskopie:
Probe der Dicke h im Michelson-Interferometer, Quelle mit I0 = ∫−∞ G(ν) dν, Laufzeitdifferenz τ =
∞
hinter Spektrometer:
Gleichlichtanteil
I(Q) = 2 ∫
∞
−∞
2h
; dann Signal
c
©
G(ν) [ 1 +cos(2πντ )] dν
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
Interferogramm
Interferogramm: F (τ ) = ∫−∞ G(ν) cos(2πντ ) dν
∞
,
Leistungsdichtespektrum: G(ν) = ∫−∞ F (τ ) cos(2πντ ) dτ
∞
7
.
Grundkonzepte der Optik
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Beugung:
„Unter Beugung versteht man jede Abweichung des Lichtes vom geradliniegen Strahlengange, soweit sie nicht als
Spiegelung oder Brechung aufgefasst werden kann.“
[A. Sommerfeld, Optik, S.156]
Huygens-Fresnel: „Jeder Punkt einer Wellenfront ist Quelle einer sekundären Kugelwelle.“
Mit Richtungsabhängigem Neigungsfaktor K: maximal ⊥ zur Wellenfront [in Ausbreitungsrichtung], 0 ∥ zur Wellenfront
Sekundärwellen
Primärwellen
[und entgegen Ausbreitungsrichtung]:
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹µ
­
⃗
⃗
ei k⃗r0
ei k[⃗r−⃗r0 ]
Ap (⃗
r) ∼ ∫
K(⃗
r, r⃗0 )
df
∣⃗
r0 ∣
∣⃗
r − r⃗0 ∣
Wellenfront
Kirchhoff: Über die Helmholtzgleichung [∆A + k 2 A = 0], eine Green’schen Identität [∫
′
∫ ′ [v ∆u − u ∆v] dV ] und die Green’schen Funktion v =
e
V
u(⃗
r) =
Kirchhoff’sche Satz:
1
4π
∫∂V ′ [grad(u)
e
⃗ r
⃗′ ∣
i k∣r−
i kr0
[v grad(u) − u grad(v)] df⃗′ =
∣⃗
r −⃗
r′ ∣
[Kugelwelle!, ∆v + k2 v = −4π δ(∣⃗
r − r⃗′ ∣)] ergibt sich der
∣⃗
r −⃗
r′ ∣
− u grad( e ∣⃗r−⃗r′ ∣ )] df ′
⃗ r
⃗′ ∣
i k∣r−
Mit kirchhoffschen Randbedingungen auf dem Schirm [u = 0,
i kr0
∂V ′
∂u
⃗
∂n
⃗ r
⃗′ ∣
i k∣r−
= 0]
1 r⃗0
⃗]
] n
r0 r0
für eine Punktquelle [u = r0 ,
= r0 [i k −
mit λ ≪ r′ , r0
⃗ ′ = r⃗ − r⃗′ gilt die kirchhoff’sche Beugungsformel:
[i k − r10 ≈ i k] und R
e
u(⃗
r) =
∂u
⃗
∂n
e
′
⃗′
ik
ei k[r0 +R ] r⃗0 R
⃗ df ′
[ − ′]n
∫
′
4π Öffnungen r0 R
r0 R
⃗ ′ ≈ ∣⃗
⃗ ′ ∣ [− cos(θ′ )],
⃗R
Nähert man die Öfnnung mit der Wellenfront [r0 ≫, somit r0 ≈ const. auf Öffnung] und nimmt an n
n∣ ∣R
so gilt:
′
u(R′ ) =
i ei kr0
ei kR
[1 + cos(θ′ )] df ′ , somit K =
∫
2λ r0
Öffnungen R′
i
[1 + cos(θ′ )]
2λ
[anders als Huygens annahm!].
⃗′
⃗ rr⃗00 − n
⃗R
Nähert man hingegen ebene Öffnungen, sagt r0 ≫ und n
≈ 2 cos(θ′ ), so gilt:
R′
′
u(R′ ) =
ei k[r0 +R ]
i
cos(θ′ ) df ′
∫
λ Öffnungen r0 R′
Mit r0 , R′ ≫ gegen Apertur, Beobachtungsgebiet und Quelle [⇒ cos(θ′ ) ≈ 1]
ergibt sich das Fresnel’sche Beugungsintegral:
′
u(R′ ) =
i k2 [ R10 [[x0 − ξ]2 + [y0 − η]2 ] +
i ei k[R0 +R ]
e
∫
λ R0 R ′
Öffnungen
1
[[x − ξ]2
R′
+ [y − η]2 ]]
dξ dη
Transmissionsfunktion einer dünnen Linse im paraxialen Fall [Dicke d0 , Brennweite f , am Ort (x, y) auf ihr [dünne
k
Linse → Ebene]]:
− i [x2 + y 2 ]
i
kd
n
2f
0
T (x, y) = e
e
L
Fourieroptik:
Sind Quell- und Beobachtungsebene B nun im Abstand der Brennweite f einer Linse bei A und ist die Ausdehung des
Objekts klein gegen die Linsenöffnung, so ergibt sich die Transmissionfunktion zu einem räumlichen Fourierintegral:
ik
x
− [ξx + ηy]
u(x, y) ∼
T0 (ξ, η) e f
dξ dη
R2
8
Grundkonzepte der Optik
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⃗ = ∫ T (ξ − α)
∆(α) dα und
Hinter mehreren Aperturen ergibt sich das Feld dann, bei Gesamtapertur T (ξ)
²
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
einfallender ebener Welle zu [„Feldtheorem“] :
Einzelapertur Aperturlage
ik ⃗
⃗
− ξx
s
⃗ )∆(⃗
u(⃗
x) ∼
T (ξ⃗ − α
α) d⃗
αe f
dξ⃗ ∼ FT (T (⃗
x)) FT (∆(⃗
x))
Es ergibt sich für:
I(ρ, α) ∼ [α2
- Kreisförmige Lochblende mit Radius a:
2 J1 ( kaρ
)
f
2
, Jn - Besselfunktionen n-ter Ordnung,
f
J1 (3,83) = 0 erste Nullstelle ⇒ ρ1 = 0,61λ
a
2 kby
2
2 kax
) sinc (
)
- Spalt der Breite 2a in η und 2b in ξ:
I(x, y) ∼ [4ab] sinc (
f
f
kax
kbx
- Doppelspalt mit Spaltbreiten 2a und Spaltmittenabstand 2b in x-Richtung:
I(x) ∼ a2 sinc2 (
) cos2 (
)
f
f
kaρ
f
]
I(x) ∼ sinc2 (
- Gitter aus N Spalten der Breite 2a mit Spaltmittenabstand Λ in x-Richtung:
kN Λx
2
kax sin ( 2f )
]
)[
f
)
sin ( kΛx
2f
⃗ = 2π (1)] unter α [k⃗1 = 2π ( − sin(α) )] und Betrachtung unter β
Bei Bestrahlung eines Reflexionsgitters [K
Λ 0
λ − cos(α)
2π sin(β)
⃗
[k2 = λ (
)] zur Gitternormalen, so gilt für konstruktive Interferenz die Gittergleichung [m ∈ Z]:
cos(β)
⃗
−k⃗1 + k⃗2 = mK
Der freie Spektralbereich ∆λSR ≥ λm − λm−1 = λm−1
=
m
pung der Spektren unterschiedlicher Ordnung auftritt.
Winkeldispersion:
dβ
dλ
=
m
Λ cos(β)
=
λm−1 λm
Λ[sin(α)+sin(β)]
beschreibt den Bereich, in dem keine Überlap-
sin(α)+sin(β)
λ cos(β)
Bei inkohärenter Beleuchtung und für kleine Winkel [paraxial] ergibt sich das Auflösungskriterium nach Rayleigh [0.
Beugungs-Maximum der nächsten Interferenz-Ordnung weiter weg als das erste Beugungs-Nebenmaximum der gleichen
Interferenz-Ordnung] hinter einem Gitter [→ Einhüllende!] zu:
λ
L[sin(α) + sin(β)]
AV =
=
.
∆λ
λ
α
2
Für ein Prismenspektrometer mit einem gleichschenkligen Prisma der Grundlänge b,
!
einfallendem parallelen Bündel und symmetrischem Strahlengang [n sin( α2 ) = sin(δ))]
dn
ergibt sich für das Auflösungsvermögen:
AV = b
.
dλ
δ
α
2
Mikroskop:
Für inkohärente Beleuchtung: ∆xmin = 0,61λ
β
Näherung ergibt
∆x0 min = n0,61λ
.
sin(α)
δ
b
, Abbesche Sinusbedingung x0 n sin(α) = xn sin(β), n = 1 und in paraxialer
′
′
numerische Apertur: n sin(α)
Für kohärente Beleuchtung und Kosinusgitter [T0 (ξ) = 1 + cos( 2π
ξ)] in vorderer Brennebene ergibt sich in der hinteren
Λ
λf
λf
1
′
′
′
Brennebene:
u(x ) = δ(0) + 2 [δ(x − Λ ) + δ(x + Λ )]
ξ
Rechteckgitter [T0 (ξ) = ∑n∈Z rect( 2a
+ Λn) mit rect(x) = {
1
0
′
, ∣x∣ < 12
] ergibt: u(x′ ) = 2a sinc( kax
) ∑n∈Z δ(x′ − nλf
)
f
Λ
, sonst
Gehen nun die nullte und erste Beugungsordnung durch eine Linse [Abbildungskriterium nach Abbe, Λ kleinste
λ
auflösbare Struktur], so gilt bei parallelem Strahlengang:
Λ=
.
n sin(α)
9
Grundkonzepte der Optik
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Fresnel vereinfacht sich mit ξ ′ =
1
= R10 + R1′ zu:
B
R0
[x
R0 +R′
− x0 ] + x0 , η ′ =
u(Q) = c ∫
R2
R0
[y
R0 +R′
− y0 ] + y0 , ξx =
κ
κ
„Fähigkeit zur Interferenz“
Kohärenzfunktion 2. Ordnung für den stationären Fall:
Kohärenzgrad:
γ1,2 =
Γ1,2 (τ )
√
Γ1,1 (0) Γ2,2 (0)
So schreibt sich das Interferenzgesetz:
2
[ξ
λB
− ξ ′ ], ηx =
√
2
[η
λB
− η ′ ] und
π
i [ξx2 + ξy2 ]
T0 (ξx , ξy ) e 2
dξx dξy
Dies lässt sich in Fresnel’sche Integrale [cκ (κ) = ∫0 cos( π2 ξx2 ) dξx , sκ (κ) = ∫0
lösen.
⎧
⎪
⎪
A
⎪
Fresnel-Zahl:
NF =
,⎨
⎪
λL
⎪
[Fläche des Beugungsobjektes A, Punkt-Bild-Abstand L]
⎪
⎩
Kohärenz:
√
sin( π2 ξx2 ) dξx ] aufspalten und numerisch
Fresnelbeugung
10−2 ≤ NF ≤ 102
Frauenhoferbeugung
NF < 10−2
geometrische Optik
NF > 102
[ˆ
= Korrelation, zeitlich oder räumlich]
Γ1,2 (τ ) = ⟨E1 (t + τ ) E2∗ (t)⟩
, τ - Laufzeitdifferenz.
√
I(Q) = I1 (Q) + I2 (Q) + 2 I1 I2 Re (γ1,2 (τ ))
Dabei erfüllt Γ1,2 zwei Wellengleichungen: ∆i Γ1,2 (τ ) =
1 ∂2
Γ (τ )
c2 ∂τ 2 1,2
.
Daraus ergibt sich für anfangs inkohärentes, quasimonochromatisches Licht im Fernfeld:
s
k
I(ξ, η) e− i c2 [ξx+ηy] dξ dη
Quelle
s
γ1,2 = c1
I(ξ, η) dξ dη
Quelle
[vgl. Van Cittert-Zernike-Theorem]
10