Labor für Physik

A1
Fachbereichsübergreifendes
Labor für Physik
17.12.15
Teilnehmer:
Versuchsdatum:
Note:
Bestimmung der spezifischen Ladung e/m von freien
Elektronen mit dem Fadenstrahlrohr
Vorbereitungsstichpunkte
Atomaufbau, Energieniveaus, Eigenschaften von Elektronen;
Erzeugung von freien Ladungsträgern:
Glühemission, Feldemission, äußerer Photoeffekt;
Beschleunigung freier Elektronen, Energie freier Elektronen, Katodenstrahlen; [2], [1]
Wechselwirkung bewegter Elektronen mit Gasmolekülen:
Stoßionisation, Rekombinationsstrahlung;
Kräfte auf Elektronen:
Wirkung elektrischer und magnetischer Felder auf bewegte und ruhende Elektronen, Lorentz-Kraft,
Zentrifugalkraft, Zentripetalkraft;
Geschwindigkeitsabhängigkeit der Elektronenmasse;
Magnetfeld:
Hall-Effekt, magnetische Feldstärke, magnetische Flussdichte, Permeabilität, magnetische Feldkonstante;
Erzeugung von (homogenen) Magnetfeldern, Biot-Savart'sches Gesetz,
Experimenteller Aufbau:
Aufbau und Beschaltung des Fadenstrahlrohres;
Bündelung von Elektronenstrahlen, Raumladungsfokussierung; [1]
1
Theorie
Mit Hilfe des Fadenstrahlrohres kann der Bahnverlauf beschleunigter Elektronen auf einfache
Weise sichtbar gemacht werden. Es besteht aus einem Glaskolben, der entweder mit Argon oder mit
Helium von ca. 0,1 Pa gefüllt ist, und einer Elektronenquelle. Kathodenstrahlen, die aus einer Glühkathode in dieses Gas hineingeschossen werden, können wie ein leuchtender Faden auf ihrem Weg
im Gasraum beobachtet werden. Die Ursache hierfür ist der folgende Mechanismus.
Durch Stöße der Elektronen mit den Gasatomen werden letztere ionisiert. Rekombinieren diese
Ionen mit Elektronen wieder zu neutralen Gasatomen, so wird ein Teil der Ionisierungsenergie als
sichtbare Rekombinationsstrahlung frei.
Auf eine separate Strahl-Fokussierung kann bei dieser Anwendung verzichtet werden, da sich der
Elektronenstrahl auf die nachfolgend beschriebene Weise hinreichend selbst fokussiert:
Bei der Stoßionisation werden die erzeugten Sekundärelektronen aus dem Strahl herausgeschleudert, während die erheblich schwereren positiven Ionen ( m0 = 1863 ⋅ me ) infolge der Massenträgheit
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am Ort des Stoßes zurückbleiben. (Diese Aussage gilt nur für kurze Zeiten) Dort bilden sie eine
relativ starke positive Raumladung, welche die nachfolgenden Elektronen des Fadenstrahls radial
zur Strahlachse nach innen zurückzieht.
So entsteht durch eine Art Rückkopplung ein ausreichend gebündelter, nur schwach divergenter
Elektronenstrahl – auch ohne Verwendung einer Elektronenoptik!
Mit Hilfe des Fadenstrahlrohres ist, neben den erwähnten qualitativen Untersuchungen, auch die
quantitative Bestimmung der spezifischen Ladung eines Elektrons e / m0 ( m0 : Elektronenruhemasse) möglich. Dazu wird der fokussierte Elektronenstrahl derart in ein homogenes Magnetfeld
gebracht, daß Strahl- und Feldrichtung senkrecht zueinander stehen. Wie nachfolgend erläutert,
beschreibt der Fadenstrahl unter diesen speziellen Bedingungen eine Kreisbahn, deren Radius r
von der spezifischen Ladung e / m0 , von der magnetischen Flussdichte B am Ort des Strahles und
von der Elektronenbeschleunigungsspannung U abhängt. Da B , r und U hinreichend genau
ermittelt werden können, ermöglicht diese relativ einfache Versuchsanordnung eine ebenso
schnelle, wie präzise experimentelle Bestimmung der spezifischen Ladung e / m0 freier Elektronen.
1.1
Ableitung der Gleichungen

Auf ein Elektron (Ladung: Qe = −e , Ruhemasse: m0 ), das sich
 mit der Geschwindigkeit v in
einem homogenen Magnetfeld mit der magnetischen Flußdichte B bewegt, wirkt die Lorentz-Kraft

 
(1)
FL = - e ⋅ ( v × B ) .


Der resultierende Kraftvektor F steht dementsprechend senkrecht auf der Flussdichte B und senk
recht auf der Geschwindigkeit v , somit auch senkrecht auf der Bewegungsrichtung. Deshalb tritt
keine Bahnbeschleunigung, sondern nur eine Radialbeschleunigung auf:
 
- ( v × B )⋅e

(2)
ar =
m0
Verläuft die Elektronenbahn genau senkrecht zur Magnetfeldrichtung, so wirkt die Lorentz-Kraft als
Radialkraft mit dem Betrag
FL = e ⋅ v ⋅ B .
(3)
In diesem Spezialfall wird der Elektronenstrahl entsprechend Gleichung (2) auf eine Kreisbahn
gezwungen, deren Krümmungsradius r von der magnetischen Flussdichte und der Elektronengeschwindigkeit abhängt. Ein Teilchen auf einer Kreisbahn erfährt die Zentrifugalkraft
m0 ⋅ v 2
.
FZ =
r
(4)


Aus der Bedingung FL = − FZ bzw. FL = FZ erhält man:
m0 ⋅ v 2
e⋅v⋅B=
r
bzw.
e ⋅ B ⋅ r = m0 ⋅ v
(5)
Die einzige experimentell schlecht messbare Größe in dieser Gleichung ist die Elektronengeschwindigkeit v , die über eine Betrachtung der Energien bestimmt werden kann.

Unter Einwirkung des durch die Beschleunigungsspannung U erzeugten elektrischen Feldes E

werden die Elektronen auf der Strecke s zwischen Kathode und Anode beschleunigt und erhalten
dadurch die kinetische Energie
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Wkin =
∫
 
F ⋅ ds =
∫
 
m 0 ⋅ a ⋅ ds =
∫
 1

m 0 ⋅ v ⋅ dv = m 0 ⋅ v 2 .
2
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(6)
Diese Energie Wkin entspricht der vom elektrischen Feld an den Elektronen geleisteten Arbeit
 
 
(7)
Wel = ∫ F ⋅ ds = ∫ e ⋅ E ⋅ ds = e ⋅ U .
Durch Gleichsetzen der Energien erhält man:
1
m0 ⋅ v 2 = e ⋅ U
2
(8)
Dementsprechend ist die Elektronengeschwindigkeit v nur von einer Variablen, der Beschleunigungsspannung U , abhängig:
v=
2 ⋅ e ⋅U
m0
(9)
Mit den Gleichungen (5) und (9) erhält man die spezifische Ladung eines Elektrons:
2 ⋅U
e
= 2
m0
r ⋅ B2
(10)
Sämtliche Größen auf der rechten Seite dieser Gleichung sind mit Hilfe der vorliegenden Versuchsanordnung experimentell bestimmbar.
1.2
Berechnung der magnetischen Flussdichte
Das erforderliche homogene Magnetfeld wird durch ein Helmholtz-Spulenpaar (parallele Anordnung von zwei identischen Spulen) erzeugt, in deren Mitte sich das Fadenstrahlrohr befindet. Der
mittlere Abstand der beiden mit jeweils n = 154 ,00 ± 0 ,01 Windungen belegten Feldspulen beträgt
2 a , und ihr mittlerer Spulenradius ist rS = 20 ,0 cm ± 0 ,1 cm .
Durch den Spulenstrom I wird im inneren Bereich des Helmholtz-Spulenpaares ein annähernd
homogenes Magnetfeld erzeugt, wenn die Stromstärke in beiden Spulen gleich ist. Diese Bedingung
ist bei der verwendeten Versuchsanordnung erfüllt, da beide Spulen in Serie geschaltet sind.
Die magnetische Flussdichte B kann mit Hilfe des Biot-Savart'schen Gesetzes für jeden Punkt auf
der Symmetrie-Achse berechnet werden. Genau in der Mitte zwischen beiden Spulen (im Abstand
a = 10 ,0 cm ± 0 ,1 cm von jeder Spule), am Ort des Mittelpunktes der Fadenstrahl-Kreisbahn, ergibt
sich unter der Voraussetzung I Spule1 = I Spule 2 :
B = μ0 ⋅ n ⋅ I ⋅
(r
S
n
I
rS
2a
µ0
rS 2
2
+a
2
)
3
2
= I ⋅C
( C : Konstante )
Windungszahl einer Spule
Spulenstrom
mittlerer Spulenradius
mittlerer Spulenabstand
Magnetische Feldkonstante (Permeabilität im Vakuum)
(11)
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Aufgabe:
Leiten Sie mit dem Ansatz von Seite 6 die Gleichung (11) her und berechnen Sie die MagnetfeldKonstante C mit den angegebenen Werten.
2
Versuchsdurchführung
2.1
Hinweise zum Betrieb des Fadenstrahlrohres
Vor Inbetriebnahme des Fadenstrahlrohres überzeugen Sie sich davon, daß die beiden Potentiometer
" − 50 ....0 V " und " 0 ....250 V " des Netzgerätes auf Null stehen! Durch diese Maßnahme wird
vermieden, dass beim Einschalten der Heizspannung an dem Gitter oder der Anode des Strahlerzeugungssystems eine Spannung anliegt. Beschädigungen der Kathodenschicht, die während des
Anheizvorganges evtl. auftreten können, schließt man auf diese Weise mit Sicherheit aus.
Erst nach einer ausreichenden Anheizzeit (ca. 3 min.) dürfen diese beiden Potentiometer betätigt
werden! Sie haben folgende Funktion:
Potentiometer 1:
Potentiometer 2:
U A = 0 ....250 V (Anodenspannung)
U G = −50 ....0 V (Gitterspannung)
Mit dem Potentiometer 2 (Gitterspannung) können Schärfe und Helligkeit des Fadenstrahls optimal
eingestellt werden.
Achtung:
2.2
Die Lebensdauer des Fadenstrahlrohres kann erheblich verlängert werden, wenn die
Beschleunigungsspannung U = U A + U G nur für die Dauer der Ablesung eingeschaltet wird, d.h. zwischen den einzelnen Messungen sind die beiden Potentiometer
auf Null zu stellen!
Qualitative Untersuchungen
Erzeugen Sie zunächst ohne Magnetfeld ( I = 0 A ) einen gut fokussierten Fadenstrahl mit der
Beschleunigungsspannung: U = 180 V , indem Sie U A und U G geeignet aufeinander abstimmen.
Anschließend wird der Spulenstrom I eingeschaltet und langsam erhöht, bis der Fadenstrahl eine
vollständig geschlossene Kreisbahn mit dem Radius r = 50 mm beschreibt.
Stellen Sie nun (durch geringe Verdrehung des
 Fadenstrahlrohres um die Längsachse) einen von

o
90 abweichenden Winkel zwischen v und B ein. Beschreiben und erklären Sie die resultierenden
Bahnverläufe!
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2.3
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Quantitative Messungen
2.3.1 Bei konstantem Spulenstrom ( I = 1,5 A ) werden durch geeignete Einstellung der Beschleunigungsspannung U kreisförmig geschlossene Elektronenbahnen mit folgenden vorgegebenen
Bahnradien erzeugt:
r1 = 30 mm ,
r2 = 40 mm ,
r3 = 50 mm .
2.3.2 Bei konstanter Beschleunigungsspannung ( U = 180 V ) werden nun durch geeignete Einstellung des Spulenstromes I kreisförmig geschlossene Elektronenbahnen mit den unter 2.3.1
vorgegebenen Bahnradien r1 , r2 und r3 erzeugt.
Achtung:
Jede Messung ist 5 mal durchzuführen! (gilt für 2.3.1 und 2.3.2)
Dabei ermöglichen vier fluoreszierenden Markierungsbalken das Einstellen und
Ablesen der Kreisbahn-Radien 20 mm , 30 mm , 40 mm und 50 mm .
2.3.3 Nun soll die Homogenität des durch die Helmholtz-Spulen erzeugten Magnetfeldes an einem
zweiten identischen Spulenpaar gemessen werden. Hierzu wird die Hall-Sonde des
Magnetfeld-Messgerätes in geeigneten Schrittweiten durch das Magnetfeld bewegt, und
jeweils die magnetische Flussdichte B gemessen. Diese Messung soll bei den 3 Strömen
I1 = 0,5 A , I 2 = 1,5 A und I 3 = 2,5 A durchgeführt werden.
3
Auswertung
3.1
Diskutieren Sie die Ergebnisse der in 2.2 durchgeführten qualitativen Untersuchungen.
3.2
Berechnen Sie die im inneren Bereich des Helmholtz-Spulenpaares vorhandene magnetische
Flussdichte B für die bei den Messungen 2.3.3 verwendeten Spulenströme I1 , I 2 und I 3 .
3.3
Stellen Sie die in 2.3.3 gemessenen Verläufe der magnetischen Flussdichte grafisch dar und
vergleichen Sie die gemessenen Werte mit den errechneten.
3.4
Aus den Messreihen 2.3.1 und 2.3.2 ist der Messwert für die spezifische Ladung e / m0 zu
berechnen. Diskutieren Sie evtl. auftretende Abweichungen vom Literaturwert.
3.5
Es ist zu prüfen, ob eine relativistische Korrektur der ermittelten e / m0 -Werte notwendig ist.
Die Geschwindigkeitsabhängigkeit der Elektronenmasse wird bestimmt durch:
m (v) = m0 ⋅
1
v
1-  
c
2
(Vakuumlichtgeschwindigkeit c = 300 000 km / s )
(12)
Beispiel:
Bei der Beschleunigungsspannung U = 1000 V beträgt die Elektronengeschw. v = 18,7 ⋅ 10 3 km / s .
Literaturangaben:
[1] Dobrinski, Krakau, Vogel: Physik für Ingenieure
[2] Kuchling: Taschenbuch der Physik
[3] Lindner: Physik für Ingenieure
[4] Teubner: Prüfungstrainer Physik (Biot-Savart-Gesetz)
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Ansatz zur Herleitung der Formel (11) mit Hilfe des Gesetzes von Biot-Savart:

Der im Leiterstück ds fließende Strom

I ruft einen Feldstärkeanteil dH im
Punkt P hervor. Der Feldstärkeanteil
kann mit Hilfe des Biot-Savart’schen
Gesetzes berechnet werden.

dH =
I
4π ⋅ r 3

 
⋅ (ds × r ) bzw. dH =
Sein Betrag ist: dH =
I ⋅ ds
4π ⋅ r 2

dH
I

ds

r
ϕ
P
I
4π ⋅ r 2
 


⋅ (ds × r °) mit r ° = Einheitsvektor in r -Richtung
⋅ sin ϕ
Das folgende Beispiel gilt für eine Spule mit einer Windung!!
Im Versuch sind zwei identische Spulen mit je n Windungen und einem axialen Abstand von 2 a
in Reihe geschaltet.


Der Winkel zwischen r und dem Leiterelement ds beträgt 90° , deshalb ist sin ϕ = 1 .

ds
α
rS

dH

dH y

r
β

P dH x
a
I
In der Spulenachse a ist der Betrag des Feldstärkeanteils dH x = dH ⋅ sin β .
Hiermit erhält man in der Spulenachse die Gesamtfeldstärke
H = ∫ sin β ⋅ dH =
es gilt:
H=
r=
I ⋅ sin β
4π ⋅ r 2
⋅ ∫ ds
rS
, ds = rS ⋅ dα und sin β =
sin β
I ⋅ sin β
 r 
4π ⋅  S 
 sin β 
2
⋅ ∫ rS ⋅ dα
rS
rS 2 + a 2
2π
⇒ H=
I ⋅ sin 3 β
⋅ ∫ dα
4π ⋅ rS
0
u.s.w.
Dieser Versuch eignet sich für eine ausführliche Fehlerbetrachtung