Zweistichprobenprobleme

Zweistichprobenprobleme
Grafische Methoden
zur Beurteilung von Verteilungsunterschieden:
– Gestapelte Balkendiagramme
– Box–Whisker–Plots
– Histogramme
– Populationspyramiden
– ...
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Wesentlich ist die Feststellung, ob unabhängige oder
abhängige (verbundene) Stichproben vorliegen.
Beispiele für unabhängige Stichproben:
– Einkommensunterschiede von Männern und Frauen
– Behandlungserfolg in zwei unterschiedlich behandelten,
sich nicht überschneidenden Patientengruppen
(→ PC–Praktikum)
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Doppelter t–Test
(t–Test bei unabhängigen Stichproben)
Anliegen: Parametrischer Test zur Überprüfung von
Hypothesen über die Gleichheit/Ungleichheit der
Erwarungswerte µX und µY zweier unabhängiger,
normalverteilter Zufallsvariablen X und Y bei unbekannten,
aber gleichen Varianzen (Varianzhomogenität).
Voraussetzungen: (X1 , . . . , Xn ), (Y1 , . . . , Ym ) unabhängige
Stichproben aus normalverteilten Grundgesamtheiten (oder
mit hinreichend großen Stichprobenumfängen n und m
(n, m > 30)) und unbekannten, gleichen Varianzen σX2 = σY2 .
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Hypothesen:
H0 : µX = µY
HA : µX 6= µY
(1)
HA : µX < µY
(2)
HA : µX > µY
(3)
Testgröße:
T =s
X −Y
(n − 1)SX2 + (m − 1)SY2
n+m−2
r
·
nm
n+m
Unter H0 ist T (näherungsweise) t–verteilt mit n + m − 2
Freiheitsgraden.
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p–Wert:
p = P (|T | ≥ |t|)
bei (1)
p = P (T ≤ t)
bei (2)
p = P (T ≥ t)
bei (3)
Entscheidungsregel:
Ablehnung von H0 , falls p ≤ α.
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Bemerkungen:
Die Verteilungsvoraussetzungen können mit Hilfe von
Anpassungstests und die Annahme gleicher Varianzen mit
Hilfe des Levene–Tests überprüft werden. SPSS berechnet bei
Durchführung eines doppelten t–Tests (T–Test bei
unabhängigen Stichproben) den Levene–Test automatisch mit.
Bei Ablehnung der Hypothese gleicher Varianzen kommen
korrigierte Varianten zur Berechnung der
Überschreitungswahrscheinlichkeiten zu Einsatz (gebrochene
Freiheitsgrade, Behrends–Fischer–Problem).
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U–Test (Rangsummentest, Mann–Whitney–Test
oder Wilcoxon–Test)
Anliegen: Parameterfreier Test zur Überprüfung der
Hypothese, dass zwei unabhängige Zufallsvariable X und Y
die gleiche Verteilung besitzen.
Voraussetzungen: (X1 , X2 , . . . , Xm ) und (Y1 , Y2 , . . . , Yn )
sind unabhängige Stichproben. Die Verteilungsfunktionen
FX und FY sind stetig.
Hypothesen:
H0 : FX = FY
HA : FX (x) = FY (x − c), c 6= 0
(zweiseitige Lagealternative)
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Testgröße: Wir fassen beide Stichproben zu einer gepoolten
Stichprobe (X1 , . . . , Xm , Y1 , . . . , Yn ) zusammen und bilden die
Ränge Rg(X1 ), . . . , Rg(Xm ), Rg(Y1 ), . . . , Rg(Yn ) in dieser
Stichprobe. Als Testgröße wird oftmals die Summe der Ränge
R=
m
X
Rg(Xi )
i=1
oder
m(m + n + 1)
R−
2
T = s
mn(m + n + 1)
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verwendet. Unter H0 ist die exakte Verteilung der Testgrößen
bekannt; für große n, m sind es näherungsweise
Normalverteilungen.
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p–Wert:
p = P (|T | ≥ |t|)
Entscheidungsregel:
Ablehnung von H0 , falls p ≤ α.
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Bemerkungen:
– Nichtparam. Verallgemeinerung des doppelten t–Tests.
– Analog zum doppelten t–Test lassen sich auch einseitige
Alternativhypothesen behandeln.
– Getestet wird die Durchmischung der beiden Stichproben.
Mittlere Rangzahl in beiden Stichproben etwa gleich?
– Testgröße für größere n, m nur aufwendig berechenbar.
– HA lässt sich auch allgemeiner fassen (”Dominanzwkt”
P (X ≥ Y ) 6= 1/2) und P (X ≥ Y ) lässt sich schätzen
– Es genügt ordinales Skalenniveau und Stetigkeit der
Verteilungen.
– Problem gleiche Werte (Bindungen, ties) → Literatur.
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Kolmogorov–Smirnov–Test für zwei
(unabhängige) Stichproben
Analog zum Kolmogorov–Smirnov–Test (Anpassungstest) für
eine Stichprobe kann ein Homogenitätstest für zwei
Stichproben auf der Basis des Abstandes der empirischen
Verteilungsfunktionen konstruiert werden. Dieser
nichtparametrische Test ist in SPSS verfügbar.
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χ2 –Homogenitätstest [test of homogeneity]
Anliegen:
Vergleich der Verteilungen zweier unabhängiger Stichproben
für kategoriale Daten (ggf. Klassierung verwenden)
Voraussetzungen:
Die Merkmale X und Y nehmen beide nur r Werte aj an. Die
zufälligen Häufigkeiten des Auftretens dieser Werte werden
für beide Stichproben ermittelt und in eine Kreuztabelle
eingetragen.
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Kategorie
Stichprobe 1 (X)
Stichprobe 2 (Y )
P
1
H11
H12
H1•
2
H21
H22
H2•
...
...
...
...
r
Hr1
Hr2
Hr•
P
H•1 = m
H•2 = n
H•• = m + n
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Hypothesen:
H0 : P (X = aj ) = P (Y = aj ) für alle j = 1, . . . , r.
HA : P (X = aj ) 6= P (Y = aj ) für mindestens ein j.
d.h.:
H0 : Verteilungen sind identisch.
HA : Verteilungen sind verschieden.
Testgröße:
T = (m + n) ·
2 X
r
X
j=1 i=1
Hij
Hi• H•j
−
m+n
Hi• H•j
2
Unter H0 ist T asymptotisch, d.h. für ”gut besetzte”
Kreuztabellen (siehe unten) näherungsweise, χ2 –verteilt.
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p–Wert:
p = P (T ≥ t)
Entscheidungsregel:
Ablehnung von H0 , falls p ≤ α.
Bemerkungen:
– Verallgemeinerung des χ2 –Anpassungstests für eine
Stichprobe.
– Testgröße entspricht dem Wert χ2 als beschreibender
Statistik (Abhängigkeitsmaß) für eine Kontingenztafel.
– Stichprobenumfang m + n insgesamt sollte mindestens 60
betragen.
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hi• h•j
– Die erwarteten Häufigkeiten
sollten > 1 und 80%
n
davon sollten > 5 sein.
– Stetig verteilte Merkmale evtl. durch Klassenbildung
(Vergröberung) behandeln.
– Der Test kann zur Überprüfung der Gleichheit zweier
Wahrscheinlichkeiten (Unabhängigkeit zweier dichotomer
Merkmale) eingesetzt werden. Die entstehende
Kreuztabelle ist dann eine Vierfeldertafel. Bei kleineren
Stichprobenumfängen sollte dafür der exakte Test von
Fisher (→ Literatur) verwendet werden, der in SPSS
verfügbar ist und ggf. automatisch angeboten wird.
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Beispiel: ALLBUS – Berufstätigkeit nach Geschlecht.
Wir betrachten die Nullhypothese, dass die Berufstätigkeit in
beiden Stichproben (für Männer und Frauen) gleich verteilt
ist, d.h. die Prozentsätze der Arten der Berufstätigkeit für
beide Geschlechter sind Schätzungen für jeweils die gleichen
Wahrscheinlichkeiten.
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Interpretiert man die Zugehörigkeit zu einer der Stichproben
(Geschlechtszugehörigkeit) als ein beobachtetes zufälliges
Merkmal des Probanden, dann entspricht die obige
Hypothese der Hypothese:
Die Zufallsvariablen X (für Einkommensquelle) und Y (für
”
Geschlecht) sind unabhängig.“
Je nach der Art der Stichprobenerhebung für die
Kontingenztafel testen wir also entweder, ob die
verschiedenen Stichproben etwa gleich verteilt sind
(Homogenität) oder ob die Einkommensquelle vom
Geschlecht unabhängig ist (Unabhängigkeit). Der Test wird
dann als χ2 –Unabhängigkeitstest [test of independence]
bezeichnet. In SPSS werden χ2 –Tests direkt unter
Kreuztabellen angeboten.
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Beispiele für abhängige (verbundene) Stichproben:
[matched pair sample]
– Blutdruck von PatientInnen am Anfang und am Ende
einer Behandlung → PC–Praktikum
– Gehalt am Beginn und nach einem Jahr der Berufstätigkeit
– Panelstudien
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Bemerkung:
Sind die beiden untersuchten abhängigen Merkmale
intervallskaliert, so kann man zur Untersuchung der
Differenzen dieser Merkmale – z.B. Anfangswert minus
Endwert – übergehen. Der Hypothese
Im Verlauf der Untersuchung hat sich keine Veränderung
”
ergeben.“
entspricht dann die Hypothese
Die Differenzen sind im Mittel Null.“
”
Diese Hypothese kann dann mit Testverfahren für
Einstichprobenprobleme behandelt werden.
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Beispiel: Systolischer Blutdruck von Patienten vor und nach
einer Behandlung:
Nr.
Anfang
Ende
Differenz di
1
170
170
0
2
170
110
60
3
170
140
30
4
170
185
-15
5
160
120
40
6
170
160
10
7
170
145
25
8
170
170
0
9
170
145
25
10
180
140
40
d¯ = 26.88
sD = 22.35
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Sind die Differenzen Di = Xi − Yi normalverteilt (oder ist der
Umfang der Stichprobe groß genug), so kann die Hypothese
H0 : µD = 0 gegen HA : µD > 0 (!einseitig)
mit Hilfe des einfachen t–Tests geprüft werden.
Als Testgröße verwendet man also
D−0√
n
T =
SD
Für dieses Beispiel gilt
26.88 √
t=
10 = 2.99
22.35
und p = P (T ≥ 2.99) = 12 × 0.015. Damit resultiert bei Wahl
des Signifikanzniveaus α = 0.05 die Ablehnung von H0 . Die
Behandlung hat auf diesem Niveau eine signifikante Wirkung.
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Vorzeichentest [sign test]
Anliegen:
Parameterfreier Test zur Überprüfung der Hypothese, dass
die verbundenen Stichproben (X1 , X2 , . . . , Xn ) und
(Y1 , Y2 , ..., Yn ) die gleiche Verteilung besitzen.
Voraussetzungen:
Die Verteilungsfunktionen FX und FY seien stetig.
Hypothesen:
H0 : FX = FY
HA : FX 6= FY (!zweiseitig)
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Testgröße:
Anzahl der positiven Differenzen Xi − Yi
p–Werte und Entscheidungsregel wie beim Binomial–Test
mit p0 = 1/2.
Bemerkungen:
– Im Fall xi = yi (Bindung [tie]) wird der betreffende Fall
aus der Liste gestrichen und der Stichprobenumfang
entsprechend reduziert.
– Der Test verwendet nur die Information über die Anzahlen
der Vorzeichen ( + oder – ) der Differenzen.
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Beispiel (siehe oben):
Es treten 7 positive, 1 negative Differenz und 2 Bindungen
auf. Der korrigierte Stichprobenumfang ist also 8. Die
Überschreitungswahrscheinlichkeit ist gleich der
Wahrscheinlichkeit, dass eine binomialverteilte Zufallsvariable
mit den Parametern p = 0.5 und n = 8 Werte größer oder
gleich 7 oder Werte kleiner oder gleich 1 annimmt (zweiseitige
Alternativhypothese). Diese Wahrscheinlichkeit ist gleich
0.07. Die Nullhypothese wird also zum Signifikanzniveau
α = 0.05 bei Verwendung der zweiseitigen Alternative durch
den Vorzeichentest nicht abgelehnt.
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Vorzeichenrangtest [signed-rank test]
(Wilcoxon–Test für die Paardifferenzen)
Dieser Test verwendet als Information die Vorzeichen und die
”Größe” der Differenzen in Form von Rängen für die
absoluten Beträge. Er erweist sich damit als trennschärfer als
der Vorzeichentest.
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