Einführung in die Statistik für WInf, LaB, CE etc.

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. J. Lehn
B. Niese
A. Rößler
B. Walther
SS 2004
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
23./24.06.2004
Einführung in die Statistik
für WInf, LaB, CE etc.
6. Übung
Gruppenübungen
Aufgabe G16
In einem Betrieb werden Muttern hergestellt, deren Durchmesser (in mm) sich durch
unabhängige N (µ, σ 2 )-verteilte Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn beschreiben lassen. Bei einer
Stichprobe vom Umfang n = 26 ergab sich x = 63.2 und s2 = 0.04.
a) Überprüfen Sie mit einem geeigneten Test zum Niveau α = 0.05 die Nullhypothese
H0 : µ = 63.
b) Geben Sie alle µ0 ∈ R an, für die die Nullhypothese mit obigen Daten bei Verwendung
des Tests aus Aufgabenteil a) zum Niveau α = 0.05 nicht verworfen wird.
c) Berechnen Sie aus den gegebenen Daten ein konkretes Schätzintervall für µ zum Konfidenzniveau 1 − α = 0.95 und vergleichen Sie mit Ihrem Resultat aus b).
d) Überprüfen Sie außerdem zum Niveau α = 0.1 die Nullhypothese H0 : σ 2 ≤ 0.03.
Fazit aus b) und c):
Ist I = I(x1 , . . . , x26 ) das konkrete Schätzintervall für µ zum Niveau 1 − α aus Aufgabenteil
c), so gilt: Die Nullhypothese H0 : µ = µ0 wird beim t-Test zum Niveau α genau dann
verworfen, wenn µ0 ∈
/ I gilt.
Aufgabe G17
Zwei Kletterseile wurden im Hinblick auf ihre Zugfestigkeit verglichen. Bei 15 Seilen der
Sorte Alpenglühen erhielt man einen empirischen Mittelwert von x = 9.2 und eine empirische Standardabweichung von sx = 3.8, bei 17 Seilen der Marke Berghexe ergaben sich
ein empirischer Mittelwert von y = 11.5 und eine empirische Standardabweichung von
sy = 5.1. Die Messwerte x1 , . . . , x15 für die Sorte Alpenglühen können als Realisierungen
von N (µA , σA2 )-verteilten Zufallsvariablen X1 , . . . , X15 angesehen werden, die Messwerte
y1 , . . . , y17 für die Marke Berghexe als Realisierungen von N (µB , σB2 )-verteilten Zufallsvariablen Y1 , . . . , Y17 . Weiter seien die Zufallsvariablen X1 , . . . , X15 , Y1 , . . . , Y17 unabhängig.
a) Überprüfen Sie mit einem geeigneten Testverfahren zum Niveau α = 0.1 die Nullhypothese H0 : σA2 = σB2 .
b) Nehmen Sie nun σA2 = σB2 an und überprüfen Sie unter dieser Annahme mit einem
geeigneten Testverfahren zum Niveau α = 0.05 die Nullhypothese H0 : µA = µB .
Aufgabe G18
Ein Taschenrechner liefert Zufallszahlen zwischen 0 und 1. Es wurden nacheinander 1000
dieser Zahlen erzeugt. Nach Einteilung des Intervalls [0, 1] in 10 gleichgroße Teilintervalle
wurde gezählt, wieviele der 1000 Zufallszahlen auf die einzelnen Klassen entfielen. Man
erhielt folgende Tabelle:
Klasse
[0, 0.1] (0.1, 0.2] (0.2, 0.3] (0.3, 0.4] (0.4, 0.5]
Anzahl
68
116
101
107
92
Klasse (0.5, 0.6] (0.6, 0.7] (0.7, 0.8] (0.8, 0.9] (0.9, 1]
Anzahl
100
136
101
79
100
Überprüfen Sie mit Hilfe eines χ2 -Anpassungstests zum Niveau α = 0.05, ob die Zufallszahlen x1 , . . . , x1000 als Realisierungen von unabhängigen R(0, 1)-verteilten Zufallsvariablen
X1 , . . . , X1000 angesehen werden können.
(bitte wenden)
Hausübungen
Abgabe am 1./2. Juli
Aufgabe H31
Eine Maschine verpackt Zucker in Tüten zu je 1000 [g]. Man kann dabei annehmen, dass die
tatsächliche Füllmenge N (µ, σ 2 )-verteilt ist mit σ = 1 [g]. Die Hypothese H0 : µ ≤ 1000 soll
mit Hilfe des Gaußtests zum Signifikanzniveau α = 0.05 überprüft werden. Dazu werden n
Tüten entnommen und nachgewogen.
a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von n die OC-Funktion und die Gütefunktion des
Tests.
b) Wie groß muss der Stichprobenumfang n mindestens sein, so dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art bei einem tatsächlich vorliegenden Wert µ ≥ 1000.5
höchstens 0.02 beträgt?
c) Skizzieren Sie ausgehend von dem in b) bestimmten Stichprobenumfang n den Graphen
der Gütefunktion für µ ∈ [999.7, 1000.7].
Aufgabe H32
Ein Hersteller von Computerchips möchte den Anteil θ von Ausschussstücken in der Produktion überprüfen lassen (0 ≤ θ ≤ 1). Um die Hypothese H0 : θ ≤ 0.01 zu überprüfen,
wurde folgender Test vorgeschlagen: Man entnimmt der laufenden Produktion eine Stichprobe von 50 Chips. Falls darunter mehr als 1 Ausschussstück ist, wird H0 verworfen.
a) Berechnen Sie die OC-Funktion und die Gütefunktion des Tests.
b) Zeigen Sie, dass der vorgeschlagene Test ein Test zum Signifikanzniveau α = 0.1 ist.
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird H0 nicht verworfen, wenn θ = 0.04 gilt (Fehler 2.
Art)?
Aufgabe H33
Zwei Wirtschaftsinformatiker wollen ihren Internetauftritt vergleichen und ermitteln dazu die Verweildauern [in sec] der Besucher auf den jeweiligen Websites. Es ergeben sich
folgende Durchschnittswerte und Streuungen:
Internetauftritt A
Internetauftritt B
Besucherzahl durchschnittl. Verweildauer Streuung
m = 17
x̄ = 311.5
sx = 42.0
n = 16
ȳ = 270.2
sy = 38.3
Gehen Sie davon aus, dass die ermittelten Verweildauern als Realisierung unabhängiger,
normalverteilter Zufallsvariablen angesehen werden können.
a) Überprüfen Sie mit einem geeigneten Test zum Niveau α = 0.1, ob die Annahme
gleicher Varianzen bei beiden Internetauftritten gerechtfertigt ist.
b) Testen Sie unter geeigneten Annahmen auf dem Niveau α = 0.05 die Hypothese, dass
beide Websites gleich lange besucht werden.
Aufgabe H34
Die Zufallsvariable X sei stetig verteilt mit folgender Dichte f :
 1 1
 2 − 2 |t − 1| für 0 ≤ t < 2
1
− 1 |t − 3| für 2 ≤ t ≤ 4
f (t) =
 2 2
0
sonst.
a) Skizzieren Sie diese Dichte.
b) Bestimmen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:
P (0 ≤ X < 1), P (1 ≤ X < 2), P (2 ≤ X < 3), P (3 ≤ X ≤ 4).
c) Zur Überprüfung, ob sich ein bestimmtes Zufallsexperiment angemessen durch die Zufallsvariable X beschreiben lässt, wurden 400 unabhängige Experimente durchgeführt
und folgende Daten beobachtet:
Klasse [0;1) [1;2) [2;3) [3;4]
Anzahl 84
73
125 118
Prüfen Sie mit einem geeigneten Test zum Niveau α = 0.05, ob sich das Zufallsexperiment angemessen durch die obige Zufallsvariable beschreiben lässt.
Aufgabe H35
Seien X1 , . . . , X20 unabhängige, identisch R(0, θ)-verteilte Zufallsvariablen mit einem unbekannten Parameter θ > 0. Um die Nullhypothese H0 : θ = 2 gegen H1 : θ 6= 2 zu prüfen,
wird folgendes Testverfahren vorgeschlagen. Man lehnt die Nullhypothese genau dann ab,
falls der größte Wert der beobachteten Messreihe x1 , . . . , x20 nicht im Intervall (1.782, 2)
enthalten ist.
a) Geben Sie für dieses Testverfahren die Testgröße und deren Verteilungsfunktion an.
b) Zeigen Sie, dass das vorgeschlagene Testverfahren ein Verfahren zum Signifikanzniveau
α = 0.1 ist.
c) Berechnen Sie konkret für
(i) θ = 1.8,
(ii) θ = 2.2
jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fehler 2. Art auftritt.
d) Eine Messreihe vom Stichprobenumfang 20 liefert als größten Wert 1.8533. Wie fällt
die Entscheidung bei Anwendung des vorgeschlagenen Testverfahrens zum Signifikanzniveau α = 0.1 auf Grund dieser Daten aus?
Aufgabe H36
Bei einer Studie über die Wirksamkeit von Grippeimpfungen wurden von 21 Kindern einer
Schulklasse 8 geimpft. Nach Ablauf eines vorher festgesetzten Zeitraums wurde das folgende
Ergebnis ermittelt:
geimpft nicht geimpft
erkrankt
2
10
nicht erkrankt
6
3
Mit Hilfe des exakten Tests von Fischer prüfe man zum Niveau 10%, ob Impfung und
Grippeerkrankung unabhängig sind.
13 8
Hinweis: Für die Werte
k 12−k
pk =
21
12
der hypergeometrischen Verteilung ergibt sich:
k
pk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.00004 0.00212 0.02724 0.13622 0.30650 0.32693 0.16347 0.03503 0.00243