Übungsaufgaben zur Vorlesung Einführung in die

Prof. Dr. Cornelia Pokalyuk
Dr. Nadja Malevich
Wintersemester 2015/16
Übungsaufgaben zur Vorlesung
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Blatt 1 Lehramt
Abgabe am 21.10.2015, zum Vorlesungsbeginn
Besprechung am 29.10.2015
Aufgabe 4
(3 Punkte)
Wieviele verschiedene Zahlen lassen sich aus den Elementen der Menge
M = {1, 2, 3, 4}
bilden, wenn es sich um
(a) zweistellige Zahlen ohne Wiederholungen von Ziern handelt?
(b) zweistellige Zahlen mit Wiederholungen von Ziern handelt?
(c) achtstellige Zahlen handelt, die genau dreimal die 1, genau zweimal die 2 und genau
zweimal die 3 enthalten?
(d) achtstellige Zahlen handelt, die genau zweimal die 2 und genau dreimal die 3 enthalten?
Aufgabe 5
(keine Abgabe)
Betrachte eine unabhängige Kopplung von
p ∈ [0, 1]
n
Bernoulliexperimenten mit Parameter
modelliert durch
Ω = {0, 1}n = {(i1 , ..., in ) : ij ∈ {0, 1}},
p : Ω → [0, 1], (i1 , ..., in ) → p
Zeigen Sie, dass
Aufgabe 6
p
eine Zähldichte auf
Ω
Pn
j=1 ij
Pn
(1 − p)n−
j=1 ij
.
ist.
(4 Punkte)
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person an einem bestimmten Tag
Geburtstag hat, sei für alle 365 Tage des Jahres gleich (ohne Berücksichtigung von Schaltjahren). Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von
n
zufällig ausgewählten
Personen mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben und berechne diese Wahrscheinlichkeit für
n = 25
und
n = 30.
1
Aufgabe 7
(7 Punkte)
Beweisen Sie Lemma 1.1.8 aus der Vorlesung.
Lemma. Es sei
Ω 6= ∅
höchstens abzählbar und
P
ein diskretes W-maÿ auf
(a) Es besteht eine 1-1 Korrespondenz zwischen Zähldichten auf
W-maÿen auf
und
{P : P
(Ω, 2 ), d.h.
ist W-maÿ auf
(b)
P(∅) = 0.
(c)
A ⊂ B ⊂ Ω.
Dann gilt
(d) (Subadditivität)
(e) (Additivität)
(f )
A ⊂ Ω.
Ω
Dann gilt
Ω
(Ω, 2 )}
{p : p
und diskreten
ist Zähldichte auf
gibt es eine bijektive Abbildung.
P(A) ≤ P(B).
A, B ⊂ Ω.
A, B ⊂ Ω
zwischen den beiden Mengen
Ω
(Ω, 2Ω ).
mit
Dann gilt
P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B).
A ∩ B = ∅.
P(Ac ) = 1 − P(A),
Dann gilt
wobei
2
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Ac = Ω \ A.
Ω}