Physik für Naturwissenschaften (WS 2015/16

Physik für Naturwissenschaften (WS 2015/16)
Lösungen
Simon Rösch
∗ [email protected]
1
∗
Students4students GmbH
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Inhaltsverzeichnis
1 Serie 1
1.1 Dimensionanalyse . .
1.2 Zufällige Messfehler
1.3 Kinematik I . . . . .
1.4 Kinematik II . . . .
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1
1
1
2
3
2 Serie 2
2.1 Geschwindigkeit I . . . . . . . . . . .
2.2 Geschwindigkeit II . . . . . . . . . .
2.3 Schiefer Wurf (ohne Luftwiderstand)
2.4 Kreisbewegung . . . . . . . . . . . .
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5
5
5
6
7
3 Serie 3
3.1 Kinematik . . . . . .
3.2 Drittes Newton’sches
3.3 Basketballspieler . .
3.4 Schiefe Ebene . . . .
3.5 Bananenjagd . . . .
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9
9
9
9
10
10
4 Serie 4
4.1 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Effektives Ziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Viskose Reibung und Lösen einer Bewegungsgleichung
4.4 Coulomb- und Gravitationskraft . . . . . . . . . . . .
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11
11
11
12
13
5 Serie 5
5.1 Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Reibung und Kreisbewegung . . . . . . . . . .
5.3 Reise zum Mittelpunkt der Welt (und zurück)
5.4 Kraftstoss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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14
14
14
14
15
6 Serie 6
6.1 Bungee-Springer
6.2 Zwei Bälle . . . .
6.3 Potentialkurve .
6.4 Schwerpunkt . .
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Prinzip
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16
16
16
17
7 Serie 7
7.1 Fluchtgeschwindigkeit . .
7.2 Bindungsenergie . . . . .
7.3 Marsatmosphäre . . . . .
7.4 Auftriebskorrektur bei der
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Wägung
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18
18
18
18
8 Serie 8
8.1 Schweredruck . . .
8.2 Eisberg . . . . . .
8.3 Wasserstrahl . . .
8.4 Wasserstrahlpumpe
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19
19
19
19
19
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i
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Serie 1
1.1
Dimensionanalyse
a) [F ] = N,
[m · a] = kg · m · s−2 = N
b) [x] = m,
[a · t3 ] =
m
s2
c) [E] = J,
[ 21 m · v] =
· s3 = m · s
kg·m
s
=
J·s
m
d) [E] = J,
[m · a · x] = kg · m · s−2 · m = N · m = J
e) [v] = ms ,
q
q
q
q
−2 ·m
2
·m
[ Fm·x ] = Nkg
= kg·m·s
= ms2 =
kg
f) [a] = sm2 ,
2
m2
[ vx ] = m·s
2 =
m
s
m
s2
g) [x] = m,
2
[ av ] = m·s
s·m = s
h) [x] = m,
[v] · [t] =
ms
s
=m
i) [x] = m,
[v · t · sin(t)] = calculation error (sin(s))
j) [x] = m,
[v · t · sin(v · t)] =calculation error (sin(m))
k) x = m,
[(at2 )sin( vt
x )] =
1.2
ms2
s2
=m
Zufällige Messfehler
a) Die Werte für xi werden auf 0.1 cm genau angegeben, weil nicht genauer
gemessen werden konnte.
b) x̄ =
P30
δx =
i=1
q30
xi
= 15.5cm
Pn
2
i=1 (xi − x̄) = 0.05cm
1
n(n−1)
c) U=25.4± 0.3 J (Der Fehler wurde in Teilaufgabe e) berechnet.)
d) [U ] = kg · s−1 · m2 = J
1
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e) δU =
q
∂U
∂U
∂U
2
2
( ∂m
· δm1 )2 + ( ∂m
· δm2 )2 + ( ∂U
∂ω · δω) + ( ∂x · δx) = 0.3J
1
2
= 21 · ω 2 · x2
∂U
· ω 2 · x2
∂m2
∂U
2
∂ω = (m1 + m2 ) · ω · x
∂U
2
∂x = (m1 + m2 ) · ω · x
Umax = 30.0J
Umin = 21.27J
mit:
1.3
∂U
∂m1
= 12
Kinematik I
a) v1 = a1 t1 = 12.5m/s
t3 = av12 = 3.125s
x = 100m = v21 t1 + v1 t2 + v21 t3
t1
t3
t2 = 100m
v1 − 2 − 2 = 3.375s
ttot = t1 + t2 + t3 = 12s
b) Beschleunigungs-Zeit Diagramm:
a(t)[m/s2 ]
t[s]
Geschwindigkeits-Zeit Diagramm:
2
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v(t)[m/s]
t[s]
Weg-Zeit Diagramm:
x(t)[m/s]
t[s]
1.4
Kinematik II
10
0
−0.5
0
0.5
a)
1 −1
0
−0.5
3
0.5
1
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
ρcos(φ)

~ =
b) r(t)
 ρsin(φ) 
z

 

−rωsin(ωt)
vx

 
~ =
c) v(t)
 vy  =  rωcos(ωt) 
vz
v

 z  
2
−rω cos(ωt)
ax

 
~ =
a(t)
 ay  =  −rω 2 sin(ωt) 
0
az
p
~
2
2
2
|v(t)| = r ω + vz
~ = rω 2
|a(t)|
~
v(t) steht tangential zum Bahnverlauf.
~ steht parallel zur x-y Ebene und zielt auf die z-Achse.
a(t)

4
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2
Serie 2
2.1
Geschwindigkeit I
Eine Möglichkeit ist die Zeiten für jede Teilstrecke auszurechnen.
0.1km
M J
x5
x3
x1
6 km
h
x1
x2
x4
x1 +0.1km
,
10 km
h
t1 =
=
x1 = 0.15km, t1 = 0.025h
Dabei werden die Zeiten, die das Mädchen für die Strecke x1 und der Hund für
x1 + 100m benötigen, gleichgesetzt. Wir wiederholen das für alle strecken xi
2
2
t2 = x1 +0.1km+x
= 4xkm
− t1 , x2 = 13 km, t2 = 0.058h
10 km
h
t3 =
t4 =
h
x2 +0.1km+x1 +x3
3
= 6xkm
− t2 , x3 = 0.884km, t3 = 0.09h
10 km
h
h
x3 +x1 +0.1km+x2 +x4
4
= 4xkm
− t3 , x4 = 2.16km, t4 = 0.45h
10 km
h
h
x4 +x2 +0.1km+x1 +x3 +x5
x5
= 6 km − t4 , x5 = 16.8km, t5 = 2.35h
10 km
h
h
t5 =
Nach einer Stunde ist der Hund auf dem Weg zum Mädchen. Er ist 4.5 km vom
Mädchen und 5.6 km vom Junge entfernt.
Eine andere Möglichkeit ist den Koordinatenursprung mit dem Mädchen mitzubewegen:
0.1km
M J
x1
x2
x3
x4
Dabei ist zu beachten, dass der Hund sich mit der Relativgeschwindigkeit bewegt (4 km
h ).
= 0.025h
t1 = 0.1km
km
4
h
x1 = 4 km
h t1 = 0.1km
...
2.2
Geschwindigkeit II
v~x
~v
B
~vy
ω
~
φ
a)
v~x = −~
ω
|v~x | = |~v |sin(φ)
ω|
φ = arcsin( |~
|~
v| )
b) v~y = ~v cos(φ)
2B
t = 2B
vy = |~
v |cos(φ) =
2B
|~
ω|
|~
v |cos(arcsin( |~
))
v|
5
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2.3
Schiefer Wurf (ohne Luftwiderstand)
v~0
y
α
x
a)
!
~ =
a(t)
0
−g
~ =
v(t)
|v~0 |cos(α)
|v~0 |sin(α) − gt
!
|v~0 |cos(α)t + x0
~ =
x(t)
|v~0 |sin(α)t − 21 gt2 + y0
mit y0 = 0, x0 = 0 und ye = 0
0 = v0 sin(α)te − 12 gt2e
te = 2v0 sin(α)
g
!
2v 2 cos(α)sin(α)
xe = 0
g
α = 12 arcsin( xve2g ) = 31.8◦ te = 8.4s
0
Wir benutzen: sin(α)cos(α) = sin(2α
, deshalb haben wir auch eine zweite
2
Lösung:
α2 = 58.2◦ , weil sin(α1 )cos(α1 ) = sin(α2 )cos(α2 )
oder einfacher: cos(α1 ) = sin(α2 )
b) Nun das selbe!mit y0 = h
0
~ =
a(t)
−g
!
~ =
v(t)
|v~0 |cos(α)
|v~0 |sin(α) − gt
~ =
x(t)
|v~0 |cos(α)t + x0
|v~0 |sin(α)t − 21 gt2 + h
!
6
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mit y0 = h, x0 = 0 und ye = 0
x = v0 cos(α)t
y = v0 sin(α)t − 12 gt2 + h
x
t = v0 cos(α)
Wir wollen x maximieren durch die Veränderung des Winkels =>
Hier ein kleiner Trick um alles etwas ”einchfacher” zu machen:
x
x
− 21 g( v0 cos(α)
)2 + h
y = v0 sin(α) v0 cos(α)
1
x
2
y = tan(α)x − 2 g( v0 cos(α) ) + h
∂y ∂x
∂y
∂x ∂α = 0 = ∂α
2
2
2
∂x 2
∂y
1
∂x
1 2x ∂α v0 cos(α) −v0 2cos(α)sin(α)x
∂α = cos(α)2 x + tan(α) ∂α − 2 g
v04 cos(α)4
∂x
∂α = 0 einsetzen.
v02
x = gtan(α)
dies kann jetzt in y=0 eingesetzt werden.
v02
v2
1
0 = g − 2 gsin02 (α) + h
r
α = arcsin( 2 hg1+2 ) = 42.6◦
2
v0
2.4
Kreisbewegung
y
r
sin(ωt)
-r
ωt
cos(ωt)
r
-r
a)
~ =
r(t)
~ =
v(t)
~ =
a(t)
rcos(ωt)
rsin(ωt)
!
vx
=
vy
!
ax
=
ay
!
−rωsin(ωt)
rωcos(ωt)
!
−rω 2 cos(ωt)
−rω 2 sin(ωt)
7
!
~
= −ω 2 r(t)
x
=0
∂x
∂α
=0
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Am Äquator ist r = RE :
~ = ω 2 RE = 4π22 RE = 0.0337 m2 = 0.003g
|a(t)|
T
s
In Zürich ist r = cos(47◦ )RE :
~ = ω 2 cos(47◦ )RE = 4π22 cos(47◦ )RE = 0.023 m2 = 0.0023g
|a(t)|
T
s
Auf der Erde infolge der Drehbewegung um die Sonne mit RES = 149600000km
~ = ω 2 RES = 4π22 RES = 0.0059 m2 = 0.0006g
|a(t)|
T
s
Auf dem Mond mit REM = 384400km und T = 29Tage
2
~ = ω 2 REM = 4π2 REM = 0.0024 m2 = 0.00025g
|a(t)|
T
s
2
b) a = vr
v2
= 14.2km
rmax = 0.05g
√
√
vmax = ar = 0.05gr = 80 km
h
8
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3
Serie 3
3.1
Kinematik
a~2,v
a6,tot
~
a2,tot
~
a~1,v
a~2,z
3.2
a~6,v
a~3,z
~a4 = 0
Drittes Newton’sches Prinzip
a) F~G = −F~G0
actio=reactio
b) F~G = −F~N
kein Kräftepaar;
c)
∂ p~1
∂t
p~2
= ∂∂t
actio=reactio, Impulserhaltung!
d) F~a = −F~R
kein Kräftepaar;
e) F~a = −F~a0
Kräftepaar;
3.3
a~5,z
Basketballspieler
Absprung: F~G + F~N
Aufstieg:F~G
p
Ballabgabe:F~G + ∂~
∂t
Rückkehr:F~G
Abfedern:F~G + F~N
9
a~6,z
a~7,v
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3.4
Schiefe Ebene
b) Ftot = m3 gsin(30◦ ) − m1 g
(m1 + m2 + m3 )a = m3 gsin(30◦ ) − m1 g
gsin(30◦ )−m1 g
= −1.23 sm2
a = m3(m
1 +m2 +m3 )
Die Massen bewegen sich nach rechts.
c) F12 = m1 (g + a) = 2.15N
F23 = m3 (gsin(30) − a) = 1.84N
3.5
Bananenjagd
FSA − mA g = mA aA
mK g − FSK = mK aK
FSK = FSA = mK g
Ag
aA = mK g−m
= 23 g = 6.54 sm2
mA
Nun hält der Affe sich nur noch fest.
(mA + mK )a = mK g − mA g
1
m
K g−mA g
a= m
(mA +mK ) = 4 g = 2.45 s2
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4
Serie 4
4.1
Schwingungen
F~tot = F~G
M · ~a = −m · ~g
ρ · VM ~a = −ρ · Vm · ~g
A · L · ~a = −A · 2 · s · ~g
g
~a = − 2·s·
L ·~
2
mit a = ∂∂t2s = s̈
s̈ + 2g
Ls=0
Ansatz:
s = s0 · cos(ωt)
ṡ = −ωs0 · sin(ωt)
s̈ = −ω 2 s0 cos(ωt)
−ω 2 s0 cos(ωt) + 2g
L s0 · cos(ωt) = 0
2g
2
ω = L
q
ω = 2g
L
q
2
2π
T = ω = √2π2g = 2πg L
L
Effektives Ziehen
F~N
F~ a
α
F~R
F~a cos(α)
F~G = m~g
a) F~a cos(α) = −F~R
FR = µFN = µ(mg − Fa sin(α))
µ(mg − Fa sin(α)) = Fa cos(α)
µmg
Fa = cos(α)+µsin(α)
b) Fa,0 = 14.715N
Fa,10 = 13.5N
11
F~a sin(α)
4.2
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Fa,20
Fa,30
Fa,40
Fa,50
Fa,60
c)
4.3
= 12.85N
= 12.62N
= 12.78N
= 13.35N
= 14.43N
∂F (α)
∂α
∂F (α)
∂α
=0
= µmg(sin(α)−µcos(α))
(cos(α)+µsin(α))2
α = arctan(µ) = 31◦
Viskose Reibung und Lösen einer Bewegungsgleichung
F~tot = F~a + F~R
ma = Fa − βv
mẍ + β ẋ = Fa
Homogene Differentialgleichung:
β
ẍ + m
ẋ = 0
Ansatz:
xh = x0 e−ωt
ẋh = −ωx0 e−ωt
ẍh = ω 2 x0 e−ωt
ω 2 − ωβ
m =0
β
ω=m
Inhomogene Differentialgleichung:
β
ẋ = Fma
ẍ + m
Ansatz:
ẋp = konst. = k
ẍp = 0
β
Fa
mk = m
Fa
k = β = ẋp
ẋ(t) = ẋh + ẋp = −ωx0 e−ωt + Fβa
ẋ(t = 0) = −ωx0 e−ω0 + Fβa
Fa
x0 = βω
vmax = ẋ(t = ∞) = Fβa
Fa
β = vmax
= 5.73MN
15m/s = 0.382Mkgs
t
− τ = −ωt
τ=m
β = 393s
0.99vmax = −ωx0 e−ωt + Fβa
0.99vmax − Fβa
−ωx0
−ωt
= e−ωt
0.01 = e
ln(0.01) = −ωt
t = 1809s = 30min
12
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4.4
Coulomb- und Gravitationskraft
F~G = −F~C
r
1 q1 q2 ~
r
2 ~
−Γ mr1 m
2
r = − 4π0 r 2 r
1
q1 q2
Γm1 m2 = 4π
0
mit: q1 = q2 = n · e
Γm1 m2 4π0 = n2 e2
q
Γm1 m2 4π0
= n = 3.6 · 1032
e2
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5
Serie 5
5.1
Gravitation
F~G = −Γ ·
r
mM ~
r2 · r
m· 4 πr 3 ·ρ ~
m · ~aZ = −Γ · 3r2
· rr
3
4
2
πr ·ρ
− vr · ~rr = −Γ · 3 r2 · ~rr
2πr
mit v = T
4π 2 r
= 43 Γπrρ
T2 q
3π
T = ρΓ
3
3
ρ = T3π
2 Γ = 18.92kg/m = 0.0189g/cm
mit T = 24h
5.2
Reibung und Kreisbewegung
a) F~ = F~R
ma = |FN |µ
a = gµH
v = at
t = av
2
s = 12 at2 = 12 a av2 =
s1 = 12.29m
s2 = 32.7m
s3 = 98.3m
1 v2
2 a
=
1 v2
2 gµH
b) F~ = F~R + F~Z
2
0 = |FN |µH − vr m
2
√
0 = gµH − vr v = rgµH = 14 ms = 50 km
h
c) F = FZ
2
|FG |cos(α)sin(α) = m vr
2
sin(2α
= vgr
2
2
◦
α = 0.5arcsin( 2v
gr ) = 6
5.3
Reise zum Mittelpunkt der Welt (und zurück)
F = FG
mẍ = −mkx
ẍ + kx = 0
mit x√= Acos(ωt)
ω= k
g(r) = kr = Γ ρE34πr =
g
RE r
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ω = /sqrt RgE
T =
5.4
2π
ω
=
√
2π√ RE
g
= 5063s = 1.4h
Kraftstoss
R
R
~ = F~ · dt = m~a · dt = m~v
a) A
Die Fläche entspricht einer Impulsänderung. Da die Geschwindigkeiten
und Massen in beiden Fällen gleich gross sind, sind auch die Flächen gleich
gross.
b) A = ∆p = m∆v ≈ 180Ns
p
≈ 3 ms
∆v = m
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6
Serie 6
6.1
Bungee-Springer
a) Ekin = 12 mv 2
Epot = mgL
Ekin = Epot
1 2
= gL
2v √
v = 2gL = 19.8m/s
b)
c)
6.2
pot = Ef
mg(L + d) = 12 kd2
q
2
±
( mg
d1,2 = mg
k
k ) +
2mgL
k
= 19.75m
= Ef
mgH = 12 k(H − L)2
kL
kL2
m = kH
2g − g + 2gH = 113.3kg
pot
Zwei Bälle
a) p1,A
~ + p2,A
~ = p1,E
~
(m1 − m2 )v~1 = m1 v~2
Ekin,A = Ekin,E
1
1
2
2
2 (m1 + m2 )v1 = 2 m1 v2
(m1 −m2 )v1 2
2
)
v2 = (
m1
1
2 (m1 +
m2
m1 = 3
b)
2 )v1 2
)
m2 )v12 = 12 m1 ( (m1 −m
m1
1
1
2
2
2 (m1 + m2 )v1 = 2 m1 v2
1
1
2
2
2 (4m1 )v1 = 2 m1 v2
2
4v12 =
√ v2
v = 2gh
4h1 = h2
6.3
Potentialkurve
~
F~ = −∇E
Fx = − ∂E
∂x
Fx=A > 0
Fx=B = 0
Fx=C < 0
Fx=D = 0
Fx=E > 0
Fx=F = 0
Fmax = Fx=C
B –> instabiles Gleichgewicht
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D –> stabilel Gleichgewicht
F –> indifferentes Gleichgewicht (weder instabil noch stabil)
6.4
Schwerpunkt
a) (M + m)S = mSf + M SZ
S=
b)
∂S
∂x
H
x x
mH
2 +M 2
x
M +m H
=0
x1,2 =
MH
m
±
q
M 2H2
m2
+
M H2
m
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7
Serie 7
7.1
Fluchtgeschwindigkeit
EKin = EPRot
∞ ~
1
2
E ∞
r = − ΓmM
|RE
2 mvq= − RE FG d~
r
√
E
2gRE = 11 km
v = 2ΓM
RE =
s
7.2
Bindungsenergie
Emin bestimmen.
6A
12B
r 7 − r 13 = 0
6A − 12B
=0
q r6
6 2B
r=
A
2
A
Emin = − 2B
+
7.3
A2
4B
∂E
∂r
=0
A
= − 4B
Marsatmosphäre
p = = mg
A = ρhg
∂p
m
n
∂h = ρg = V g = V M g =
dp
M g∆h
p = RT
F
A
p
RT
Mg
g∆h
ln( pp21 ) = MRT
p2
g
M = ln( p1 ) MRT
g∆h = 50, 7 mol
7.4
Auftriebskorrektur bei der Wägung
F1 = F2
w
mw g − ρL m
ρw g = m2 g − ρL V g
g
w
m2 = mw − ρL m
ρw + ρL V = 32.84 cm3
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8
Serie 8
8.1
Schweredruck
F~tot = F~G + F~A
d2
0 = ms g − ph 42 π + ph−s π4 (d22 − d21 ) + p0 π4 d21 = ms g − ph−s π4 d21 + p0 π4 d21
0 = ms − ρw h π4 d21 − ρw s π4 (d22 − d21 )
h=
8.2
ms
2
ρw π
4 d1
d2
− s( d22 − 1) = 8.9m
1
Eisberg
a) Ftot = FG + FA
0 = mg − ρw Vu g − ρL Vo g
0 = ρE V − ρw (V − Vo ) − ρL Vo
ρE −ρw
Vo
V = ρL −ρw = 10%
b) Meeresspiegel bleibt gleich.
8.3
Wasserstrahl
a) p0 + ρ2w v 2 = konst.
p0 + ρw gh = konst.
p0 +√ρ2w v 2 = p0 + ρw gh
v = 2gh
b)
V
t =√A1 v1 = A2 v2
π 2
π 2
4 d1 2gh = 4 d2 v2
EP ot = EKin
1
2
mgs =
√ 2 mv2
v2 √
= 2gs √
d21 2ghq
= d22 2gs
d2 = d1
8.4
4
h
s
Wasserstrahlpumpe
V
t
p1
= A1 v 1 = A2 v 2
+ ρ2 v12 = pA + ρ2 v22
pA = p1 + ρ2 v12 − ρ2 v22
V 2
V 2
pA = p1 + ρ2 ( tA
) − ρ2 ( tA
) = 3.1 · 105 P a
1
2
19