Ferienkurs Experimentalphysik 4

Physikdepartment
Ferienkurs zur Experimentalphysik 4
Daniel Jost
10/09/15
Technische Universität München
Inhaltsverzeichnis
1
Kurze Einführung in die Thermodynamik
1
1.1
Hauptsätze der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Ideales Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Thermodynamische Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2
Quantenstatistik
3
3
Fermi-Gas-Modell
4
1 Kurze Einführung in die Thermodynamik
Die Thermodynamik beschreibt den Effekt der Temperatur und insbesondere deren
Änderung auf ein physikalisches System. Ferner kann im Rahmen der Thermodynamik
das Verhältnis von Wärme, Arbeit und anderen Energieformen beschrieben werden.
1.1 Hauptsätze der Thermodynamik
Thermodynamischen Gleichgewicht: Falls ein Objekt mit einer höheren Temperatur T1
in Kontakt mit einem Objekt geringerer Temperatur T2 kommt, wird solange Wärme
von Objekt 1 zu Objekt 2 transferiert, bis sich eine konstante Temperatur eingestellt hat.
Definition 1.1. 0. Hauptsatz Wenn zwei Systeme im thermischen Gleichgewicht mit
einem dritten stehen, dann sind sie auch im thermischen Gleichgewicht untereinander.
Definition 1.2. 1. Hauptsatz Der erste Hauptsatz der Thermodynamik ist eine Konsequenz aus der Energieerhaltung und fordert, dass ein System Energie nur in Form von
Wärme Q und Arbeit W austauschen kann:
dU = δQ + δW
(1)
Ein isoliertes System ist in der Thermodynamik eines, das nicht mit seiner Umgebung interagiert. Die innere Energie eines solchen Systems ist erhalten. Wärme ist
eine extensive Zustandsgröße und beschreibt die Energie, die von einem Objekt zum
anderen Objekt übertragen wird. Arbeit nervt und beschreibt den Energietransfer
zwischen Objekten, auf die äußere Kräfte wirken.
Definition 1.3. 2. Hauptsatz Die Entropie in einem isolierten System kann nicht abnehmen:
dS ≥
δ
T
(2)
Das Gleichheitszeichen gilt insbesondere für reversible Prozesse.
Der Begriff der Entropie wird häufig als eine Größe für die Unordnung in einem
System bezeichnet. Das ist schwammig und falsch. Zur Illustration ein Beispiel: Angenommen es läge ein System mit fixer Energie E vor. In diesem System gibt es eine
große, aber endliche Anzahl von Zuständen Ω mit dieser Energie. Die Entropie ist
dann:
S = k B ln(Ω)
(3)
1
Kurze Einführung in die Thermodynamik
Das bedeutet, sie stellt eine Größe dar, die eine Aussage über die Anzahl der Zustände in einem System gibt. Der zweite Hauptsatz diktiert, dass dieser Wert in einem
geschlossenen System nicht abnehmen kann.
Definition 1.4. 3. Hauptsatz Es ist unmöglich durch irgendeinen Prozess mit einer
endlichen Zahl von Einzelschritten die Temperatur eines Systems auf den absoluten
Nullpunkt abzusenken.
1.2 Ideales Gas
Das ideale Gas ist ein theoretisches Gas, das aus vielen als punktförmig angenommene
Teilchen besteht, die nicht miteinander wechselwirken. Unter Standarddruck und
Standardtemperatur verhalten sich die meisten realen Gase qualitativ wie ein ideales
Gas. Zur Beschreibung des idealen Gases zieht man zwei Zustandsgleichungen heran.
Zum einen das ideale Gasgesetz
pV = nRT = Nk B T
(4)
mit Druck p, Gasvolumen V, Stoffmenge n, Gaskonstante R und Temperatur T. Insbesondere gilt
pV = const.
(5)
Zum anderen die kalorische Zustandsgleichung, wonach die innere Energie U eines
idealen Gases nur von der Temperatur T abhängig ist:
U=
f
nRT
2
(6)
f ist die Anzahl der Freiheitsgrade pro Teilchen. Für einatomige Gase ist f = 3/2.
Betrachtet man zweiatomige Gase kommt es auf den Temperaturbereich an, in dem
sich das Gas befindet. Insgesamt besitzt ein zweiatomige Gas 7 Freiheitsgrade - drei
Translations-, zwei Rotations- und zwei Schwingungsfreiheitsgrade. Da die Rotationsund Schwingungsfrequenz in Molekülen gequantelt ist, benötigt man eine Mindestenergie um diese anzuregen. Sehr häufig sind die Schwingungsfreiheitsgrade eingefroren.
In dem Fall hat das zweiatomige Molekül nur 5 Freiheitsgrade.
1.3 Wärmekapazität
Die Wärmekapazität ist eine Größe, die angibt, wie viel Wärme man in einem System
zuführen muss um es um eine bestimmte Temperatur zu erwärmen. Für ein hinreichend
2
2
Quantenstatistik
kleines Temperaturintervall ∆T kann man schreiben
C=
Q
.
∆T
(7)
Angenommen man möchte die Wärmekapazität für ein System mit konstanten Volumen
bestimmen, dann ist diese so genannte isochore Wärmekapazität gegeben durch:
∂U
∂Q
CV =
=
(8)
∂T V
∂T V
Ähnliches findet man für ein System unter konstantem Druck. Dann ist die isobare
Wärmekapazität gegeben als:
CP =
∂H
∂T
=
P
∂Q
∂T
(9)
P
H ist die Enthalpie:
H = U + pV.
(10)
1.4 Thermodynamische Potentiale
Mittels thermodynamischer Potentiale, zu der auch die innere Energie U gehört, lassen
sich die thermodynamischen Zustände eines Systems darstellen.
Definition 1.5. Helmholtz-Freie-Energie:
F = U − TS
(11)
H = U + pV
(12)
G = U + pV − TS
(13)
Ω = U − TS − ∑ µi Ni
(14)
Definition 1.6. Enthalpie:
Definition 1.7. Gibbs-Freie-Energie
Definition 1.8. Landau Potential:
i
2 Quantenstatistik
Eine der weitreichenden Konsequenzen der Quantenmechanik, ist, dass quantenmechanische Teilchen nicht unterscheidbar sind. Das bedeutet, dass nach Austausch zweier
3
3
Fermi-Gas-Modell
Teilchen im System es sich nicht in einer neuen Konfiguration befindet. Für ein System
mit identischen Fermionen ist die durchschnittliche Anzahl von Fermionen in einem
Zustand i gegeben über die Fermi-Dirac-Verteilung:
n i e0 =
1
exp
h
ei − µ
kB T
i
(15)
+1
Analog dazu gilt für ein System von Bosonen die Bose-Einstein-Statistik:
n i ( ei ) =
exp
h
gi
i
ei − µ
kB T
−1
(16)
3 Fermi-Gas-Modell
Das theoretische Konzept eines Fermi-Gases kann in Systemen mit schwach wechselwirkenden Fermionen verwendet werden. Es gehorcht der Fermi-Dirac-Statistik. Wenn
man ein Gas mit N Teilchen in einem Raumvolumen V betrachtet und dieses Gas
den Grundzustand einnimmt, dann werden zunächst die energetisch tiefer liegenden
Zustände besetzt und solange von unten aufgefüllt, bis alle Teilchen des Gases auf einen
Zustand verteilt worden sind. Der höchste Zustand hat die so genannte Fermi-Energie
EF =
h̄2
(3π 2 ρ)2/3
2m
mit Teilchendichte ρ.
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(17)