Zeitlich veränderliche Felder Maxwell

Maxwell - Gleichungen
Zeitlich veränderliche Felder
integrale Form
"
! · dS
!= 1
ρ dV
E
"0
S
"
!
! · dS
!
! · d!s = − d
B
E
dt
C
!
! · dS
!=0
B
!
1
EX-II SS2007
differentielle Form
2
3
! ·E
! = 1ρ
∇
"0
!
! ×E
! = − ∂B
∇
∂t
! ·B
! =0
∇
S
"
"
! · dS
!
! · d!s = µ0 !j · dS
!+ 1 d E
B
c2 dt
C
!
4
!
! ×B
! = µ0 !j + 1 ∂ E
∇
c2 ∂t
Die Gleichungen verknüpfen E und B ,
wenn die Felder von der Zeit abhängen
Faraday’sches Induktionsgesetz
Faraday’sches Induktionsgesetz
1791-1867
Permanentmagnet bewegt
sich in einer Leiterschleife
!
beliebige Fläche,
aufgespannt von C
*
+$ % & ' ( ),
-.
" )
Strom fliesst in
der Schleife
/
! ×E
! = −∂ B/∂t
!
∇
! "
S
!
!
"
!
#$ % & ' ( )
Ein sich zeitlich ändernder
magnetischer Fluss erzeugt
ein elektrisches Feld entlang C.
Das stimmt auch wenn kein Draht entlang C liegt !
Uind
zeitlich veränderlicher
magnetischer Fluss
!
#
∂
!
!
!
! · dS
!
∇ × E · dS = −
B
∂t S
!
! · d!s = − ∂
E
∂t
C
"
!
! · d!s = − ∂
=
E
∂t
C
"
Induktionsspannung
! · dS
!
B
S
! · dS
! = − ∂ Φm
B
∂t
S
Lenz’sche Regel
Ring-Schleuder
Die Leiterschleife versucht den magnetischen Fluss,
der sie durchsetzt, konstant zu halten
die Leiterschleife
versucht den
magnetischen Fluss
konstant zu halten
/
- # " .% ,
& '( % ) *
+ % ,)
Die Energie für die Induktionsspannung stammt aus
der Bewegungsenergie des Magneten
! " # $%
Was passiert wenn der
Elektromagnet nicht
festgehalten wird ?
Wirbelstrombremse
Wirbelstrom - Verluste
! " #" $ %
"
!
$ %& ' ( )*
+ ,&- . (
& ' ( )" *
s dem
hnitt au cht ins
c
s
u
A
Ein
versu
ck, das
gen
Eisenstü ld hineinzuflie
fe
Magnet
dBsdt
! × E = −Ḃ
∇
E 2Rπ = ḂR2 π
j = σE
Joulsche Wärme
+
,
-
dz
R
#
/
j
dR
P = I Uind
P = j dR dz E 2Rπ
!
P = σ E 2 V = σ Ḃ 2 R2 V
"
klein halten
Mitnahme des magnetischen Feldes
!
$ %& '
#
"
Magnetosphäre
Sonnenwind: Strom von Protonen und
Elektronen : Mitnahme des Erdmagnetfeldes
Eine Drahtschleife
versucht mit Hilfe des
Induktionsstromes den
magnetischen Fluss
durch ihren Querschnitt
konstant zu halten
Dies gelingt um so besser, je höher die Leitfähigkeit
in der Schleife ist.
Feldlinien werden (wenigstens zum Teil) mitbewegt.
Magnetosphäre
Sonnenwind: Strom von Protonen und
Elektronen : Mitnahme des Erdmagnetfeldes
HEMP
Huge Electro-Magnetic Pulse
HEMP
Huge Electro-Magnetic Pulse
Wechselstromgenerator
Φm =
!
! · dS
! = BN A cos ϕ(t)
B
von Aussen erzwungen :
ϕ(t) = ωt
!
!
!
Uind = −
dΦm
= −ωB N A sin ωt
dt
explosively pumped flux compression generator
Betatron
(harte Röntgenquelle bis 200 MeV)
Drehstrommotor
2R
dreht sich mit der
Netzfrequenz
!
"
!
! · d!s = 2RπE = − ∂ (B̄πR2 )
E
∂t
∂p
eR ∂ B̄
= −eE ≈
∂t
2 ∂t
1
p = m v = e R B̄
2
Elektronenbahn
rotierendes Magnetfeld
Selbstinduktion (1)
Der Induktionseffekt ist auch in der Spule
“spürbar”, die unser Magnetfeld erzeugt.
(Beim Ein- und Aus-Schalten)
Uind = −N
Selbstinduktion (2)
Einschalten
B = µ0 w I
U0
!
dΦm
dt
= R I − Uind
dI
= RI +L
dt
#
!
"
Für L=0 stiege der Strom
N Φm = L I
" #
dΦm
dI
Uind = −N
= −L
dt
dt
"
!
Vs
2
= Henry
L = µ0 w V
A
INDUKTIVITÄT
!
$
!
sofort auf U0 /R !
L
R
Zeitkonstante
τ=
"
U0 !
I(t) =
1 − e−t/τ
R
Selbstinduktion (3)
Selbstinduktion (4)
Ausschalten
L
Zündspannung > U0
dI
→∞
dt
!
#
+ ' , - . (/ (0 1123 . 2'
%
"
0 = RI + LI˙
!
$ %& ' () **
$
!
I(t) = Imax e−t/τ
L
τ =L
τ= R
R
Zeitkonstante
I = U0 /(R + RL )
"
#
!
Transformatoren (1)
B1 = µ0 w1 I1
Transformatoren (2)
! " # $ %
' ( *
im Leerlauf:
&
Φm (2)/I1 =const.
"
!
dI1
U2 = −L21
dt
U2 = −N2 A
' ( )
U2 = −N2
L21 = k
Gegeninduktivität
"
$
!
dI1
dB1
= −µ0 N2 A w1
dt
dt
L21 = µ0 w1 N2 A = µ0 w1 w2 V
#
!
L1 · L2
Ursache für elektrische Felder
dΦm
dt
U1 = −N1
dΦm
dt
U2 /U1 = N2 /N1
Energie des Magnetfeldes
durch ruhende Ladungen
! ×E
! =0
∇
und
! ·E
! = 1ρ
∇
"0
Estatik:
Wel =
1
1 A
1
C U 2 = !0 E 2 d2 = !0 E 2 V
2
2 d
2
wel =
1
!0 E 2
2
[wel ] =
durch Magnetfeld-Änderungen
! ×E
! = − ∂B
∇
∂t
auch ohne Anwesenheit einer Ladung !
Mstatik:
?
J
m3
Energie des Magnetfeldes
Entladen einer Spule über einen Widerstand
g
Leistun
!
Joulsche Wärme
Energiedichte des
Elektromagnetischen Feldes
I(t) = I0 e−t/τ
wel =
dW
= R I 2 = R I02 e−2t/τ
dt
! ∞
1
τ
=
P (t) dt = R I02 = L I02
2
2
0
1
!0 E 2
2
wmag =
1
!0 c2 B 2
2
P (t) =
Wmag
Wmag =
1 B2
1 2
V
L I0 =
2
2 µ0
wmag =
L = µ0 w2 V
B = µ0 w I
Noch fehlt die Behandlung zeitlich veränderlicher elektrischer Felder
(zeitlich variable Ladungsverteilungen und deren Felder)
1
2
3
!
differentielle Form
"
! · dS
!= 1
ρ dV
E
"0
S
"
!
! · dS
!
! · d!s = − d
B
E
dt
C
!
! · dS
!=0
B
"
1 ! 2
!0 E + c2 B 2
2
1 2
1
B = !0 c2 B 2
2µ0
2
Verschiebungsstrom
integrale Form
wem =
Qualitative Experimente (8)
Wir laden einen Kondensator auf indem wir den Schalter schließen.
Ein Strom I fließt für einige Zeit, obwohl der Stromkreis
durch den Kondensator “unterbrochen”ist.
! ·E
! = 1ρ
∇
"0
!
! ×E
! = − ∂B
∇
∂t
!
!
! ·B
! =0
∇
S
4
"
"
1 d ! !
!
!
!
E · dS
B · d!s = µ0 j · dS + 2
c dt
C
!
!
! ×B
! = µ0 !j + 1 ∂ E
∇
2
c ∂t
" #
Qualitative Experimente (8)
Qualitative Experimente (8)
! entlang C) ∝ (Fluß von I durch S1 )
(Zirkulation von B
!
!
"
#
#
#
C
! entlang C) ∝ (Fluß von I durch S1 )
(Zirkulation von B
!
!
"
#
$
#
#
#
#
$
%
%
"
$
"
$
%
! entlang C)
(Zirkulation von B
S2
Verschiebungsstromdichte
∝
∂
∂t
%
! durch S2 )
(Fluss von E
Zeitliche Änderung des elektrischen Feldes bewirkt magnetische Effekte
Ursache für magnetische Felder
!
"
#
bewegte Ladungen (Ströme)
#
$
!
! ×B
! = µ0 !j + µ0 "0 ∂ E
∇
∂t
%
!
#
#
"
$
%
!
!js = "0 ∂ E
∂t
!
! ×B
! = µ0 !j + µ0 "0 ∂ E
∇
∂t
Änderungen des elektrischen Feldes