Magnetische Energie quasi-stationärer Felder, Induktionskoeffizienten

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Magnetische Energie quasi-stationärer Felder, Induktionskoeffizienten
Wir haben gesehen, daß die Dichte der magnetischen Feldenergie proportional
zu B 2 ist. Dies zeigt, dass in einer Anordnung von Drahtschleifen, die von einem
stationären Strom durchflossen werden, Energie gespeichert ist. Wir wissen allerdings
auch, dass ein Magnetfeld keine Arbeit an einer bewegten Ladung verrichtet. Woher
kommt also die im magnetischen Feld gespeicherte Energie?
Die Energie wurde während des Einschaltens der Ströme in das System transferiert:
Während dieser Zeit musste Arbeit verrichtet werden, um den Strom gegen die
Induktionsspannung aufrechtzuerhalten, die durch das Anwachsen des Magnetfeldes
erzeugt wurde.
Betrachte das Faraday’sche Gesetz in seiner integralen Form:
Z
S
(∇ × E) · df =
I
∂S
Ed` = −
Z
S
∂
d
B · df = − Φ,
∂t
dt
wobei Φ den magnetischen Fluss durch die Fläche S bezeichnet.
In einer Anordnung von zwei Stromschleifen erzeugt der Strom I1 einen magnetischen
Fluß Φ12 in der zweiten Schleife:
2
1
Φ21 =
=
S2
I11 S
1
=
I2
=
Z
B 1 · df 2
Z
S2
I
∂S2
I
S2
∇ × A1 df 2
∂S2
A1 · d`2
d`2 ·
µ0 I 1
4π
I
d`1
1
r12
r12 = Abstand zwischen d`1 und d`2
Wir finden also, dass
Φ21 = L21 I1
mit
L21
µ0 I I
1
=
d`1 · d`2 .
4π ∂S2 ∂S1
r12
L12 wird als Induktionskoeffizient bezeichnet. Er hängt nur von der Geometrie
der Schleifenanordnung ab. (Vgl.: Koeffizienten der Kapazitätsmatrix)
Analog:
Φ12 = L12 I2
Die Diagonalelemente Φ11 = L11 und Φ22 = L22 definieren die Selbstinduktions-
Koeffizienten.
Der gesamte magnetische Fluß durch die Stromschleife 2 ist durch
Φ2 = Φ21 + Φ22 = L21 I2 + L22 I2
gegeben.
Das bisher gesagte lässt sich auf eine beliebige Anzahl von Stromschleifen verallgemeinern:
Für n Stromschleifen ist der magnetische Fluß durch Schleife k durch
Φk =
n
X
Lkm Im
m=1
gegeben. Für die Induktionskoeffizienten gilt Lkm = Lmk , d.h. die Matrix der Induktionskoeffizienten ist symmetrisch.
Das Faraday’sche Induktionsgesetz besagt, dass die in Schleife k induzierte Spannung
durch
k
Uind
=
I
∂Sk
d`k · E = −
n
X
d
d
Φk = −
Lkm Im .
dt
dt
m=1
gegeben ist.
Energie, die in einer Anordnung von stromführenden Schleifen gespeichert ist:
Wmag
Z
Z
1
1
=
dV B 2 (r, t) =
dV B · (∇ × A)
2µ0 all space
2µ0 all space
Benutzt man ∇ · (B × A) = A · (∇ × B) − B · (∇ × A), so findet man
Wmag
Der Oberflächenterm
I
∂V
Z
1
=
dV A(∇ × B).
2µ0 all space
df · (B × A) verschwindet, wenn V → ∞.
In der quasistationären Näherung nehmen wir an, daß |j| |0 Ė| (d.h. die
Ströme, die in den Leitern fließen, sind viel größer als die Änderungen des induzierten Feldes). Diese Bedingung ist sicher nicht erfüllt solange die Ströme in den
Leitern noch aufgebaut werden. Wenn sich allerdings die Ströme und Felder einmal
eingestellt haben, so gilt:
∇ × B = µ0 j.
Dann kann man den Beitrag von Schleife 1 zur Gesamtenergie als
Z
I
1
I1
dV1 A · j 1 =
A · d`1
2
2 ∂S1
Z
Z
I1
I1
I1
df 1 · ∇ × A =
df 1 B = Φ1
=
2 S1
2
2
Wmag (1) =
schreiben.
n
I1 X
⇒ Wmag (1) =
L1k Ik .
2 m=1
Die magnetische Energie von n Stromschleifen berechnet sich dann zu
Wmag =
n
X
k=1
Wmag (k) =
n
1 X
Ik Lkl Il ≥ 0
2 k,l=1
in vollständiger Analogie zur elektrostatischen Energie von n Leitern.