5.20 Elektromagnetische Induktion

5.20 Elektromagnetische Induktion
5.20 Elektromagnetische Induktion
1831 Faraday: Zeitlich veränderliche Magnetfelder erzeugen elektrische Spannung
Faradaysches Induktionsgesetz
Uind = −
dΦ
dt
(5.165)
Die induzierte Spannung ist gleich der Änderungsgeschwindigkeit des magnetischen Flusses
Φ.
I
~ A
~
Φ = Bd
(5.166)
Spule mit N Windungen:
Uind = −N
dΦ
dt
(5.167)
Lenzsche Regel
(Minuszeichen im Induktionsgesetz)
Der induzierte Strom ist stets so gerichtet, dass das von ihm erzeugte Feld der Ursache seiner
Entstehung entgegenwirkt.
→ Folge der Energieerhaltung
Anwendung: Wechselstromgenerator
Drehung einer Leiterschleife im Magnetfeld
ω
B
dA
Uind
Abbildung 5.32: Induktion durch Rotation einer Leiterschleife im Magnetfeld.
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5 Elektrizität und Magnetismus
~ und der Flächennormalen dA.
~
ϕ(t): Winkel zwischen Magnetfeld B
~B
~ = BA cos ϕ(t)
ϕ=A
ϕ(t) = ωt
⇒ ϕ = BA cos(ωt)
dΦ
= BAω
⇒ Uind = −
| {z } sin(ωt)
dt
(5.168)
(5.169)
(5.170)
⇒ Uind = U0 sin(ωt)
(5.172)
(5.171)
=U0
Bei N Windungen ist: U0 = N BA ω
Wirbelströme
Induktionsströme in ausgedehnten Leitern führen zu Wirbelströmen. Die Größe des Wirbelstroms IW hängt von der Gestalt ab. → Wirbelstrombremse
(a)
(b)
Iw groß
Iw klein
Abbildung 5.33: Wirbelströme in (a) einer Platte und (b) einem Kamm.
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5.21 Selbstinduktion
5.21 Selbstinduktion
Ändert sich in einer stromdurchflossenen Spule der Strom I so änder sich das erzeugte Magnetfeld und damit der magnetische Fluss. Eine induzierte Spannung ist die Folge:
I
Φ=
~ A
~ = LI
Bd
(5.173)
L : Induktivität
Vs
= 1 Henry (H)
[L] = 1
A
L hängt nur von der Gestalt des Leiters ab und von der Permeabilität des umgebenden Mediums.
Uind = −L
dI
dt
(5.174)
Zylinderspule
B = µ0
NI
l
(5.175)
N Φ = N BA = µ0
N
N 2 IA
l
µ0 N 2 A dI
dΦ
=
dt
l } dt
| {z
(5.176)
(5.177)
=L
⇒ Uind = −L
dI
dΦ
= −N
dt
dt
(5.178)
Reihen- und Parallelschaltung von Spulen
Spulen verhalten sich bei Verschaltung wie Widerstände, d.h.:
Reihenschaltung:
Lges =
X
Li
(5.179)
X 1
1
=
Lges
Li
i
(5.180)
i
Parallelschaltung:
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5 Elektrizität und Magnetismus
5.22 Ein- und Ausschalten von Gleichströmen
L
R1
+
U
Abbildung 5.34: RL-Kreis.
a) Einschalten:
UR = U0 + Uind = U0 − L
dI
= RI
dt
(5.181)
dI
⇔ U0 = RI + L
dt U0
t
⇒ I(t) =
1 − exp −
R
τ
L
Zeitkonstante: τ =
R
(5.182)
(5.183)
b) Ausschalten:
dI
0 = RI + L
dt t
⇒ I(t) = I0 exp −
τ
Zeitkonstante: τ =
(a)
(5.184)
(5.185)
L
R
(b)
I(t)
I=
U0
t
L
U
I0= 0
R
t
I(t)
I0=
t
Abbildung 5.35: Strom-Zeitdiagramm für Ein- und Ausschalten eines RL-Kreises.
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U0
R
5.23 Energie des magnetischen Feldes
5.23 Energie des magnetischen Feldes
Beim Aufbau des Magnetfeldes in der Spule muss die Spannungsquelle die entgegen wirkende
Selbstinduktionsspannung kompensieren:
U + Uind = 0
dW = U dQ
= U Idt
= −Uind Idt
dI
= L Idt
dt
= LIdI
Z
⇒ W = dW
Z
= L IdI
1
= LI 2
2
(5.186)
(5.187)
(5.188)
(5.189)
Magnetische Feldenergie:
1
W = LI 2
2
1
(analog zu Kondensator: W = CU 2 )
2
2
µ0 N A
H`
mit L =
, I=
`
N
W
W
=
folgt für die Energiedichte w =
V
A`
1
w = BH
2
(5.190)
(5.191)
(5.192)
Energiedichte des magnetischen Feldes (gilt für beliebige Magnetfelder im Vakuum).
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5 Elektrizität und Magnetismus
5.24 Wechselströme
Wie in 5.20 gezeigt, können harmonische Wechselströme durch eine gleichförmig rotierende
Leiterschleife im homogenen Magnetfeld erzeugt werden.
u = U0 sin(ωt) Momentanwert der Spannung
i = I0 sin(ωt − ϕ) Momentanwert der Stromstärke
mit
U0 , I0 :
2π
ω = 2πf =
:
T
ϕ:
(5.193)
(5.194)
Scheitelwerte (Amplituden) der Spannung bzw. Stromstärke.
Kreisfrequenz.
Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom.
(5.195)
Wirkarbeit:
W = QU = U It = RI 2 t
⇒ I 2 = I02 sin2 (ωt − ϕ)
{z
}
|
(5.196)
(5.197)
über T gemittelt=1/2
1
⇒ I 2 = I02
2
I0
⇒I= √
2
U0
⇒U = √
2
(5.198)
Effektivwert der Stromstärke
(5.199)
Effektivwert der Spannung
(5.200)
Mittlere Leistung:
1
P = U0 I0
T
ZT
sin(ωt) sin(ωt − ϕ)dt
(5.201)
0
U0 I0
⇒P =
cos ϕ = U I cos ϕ
2
(5.202)
Wirkleistung mit dem Leistungsfaktor: cos ϕ
Der Phasenwinkel ϕ hängt von den im Stromkreis vorhandenen Widerständen R, Induktivitäten L und Kapazitäten C ab.
Für ϕ = 0 ⇒ P = Pmax
In der Spule oder dem Kondensator aufgenommene Leistungs des Wechselstroms
→ Blindleistung
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