1 Grundlegende Begriffe
Werbung
2 Funktionen 1 Grundlegende Begriffe Grundlegend für die gesamte Analysis und für viele Anwendungen ist der Begriff der Funktion. Der Funktionsbegriff Eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Element x aus einer Menge D, der Definitionsmenge, genau ein Element y aus einer anderen Menge W, der Wertemenge, zuordnet, bezeichnet man als Funktion. Demnach lässt sich eine Funktion so veranschaulichen: Wie in der Abbildung angedeutet, dürfen bei Funktionen einem x-Wert nicht mehrere y-Werte zugeordnet werden, weil laut Definition jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet ist. Funktionen werden mit einem Symbol bezeichnet, üblicherweise mit dem Buchstaben f. Ist f bereits vergeben, so fährt man im Alphabet fort mit g und h. Die oft benutzte Schreibweise f(x), sprich: „f von x“, meint den Funktionswert der Funktion f an der Stelle x; das ist der y-Wert, der dem x-Wert zugeordnet ist. Statt von Zuordnung spricht man auch von einer Abbildung. In dieser Vorstellung wird jeder x-Wert auf genau einen y-Wert abgebildet. Dies kommt auch in der folgenden Schreibweise für Funktionen zum Ausdruck: f : x 6 y = f (x) oder einfacher f : x 6 f (x) Dabei heißt x die unabhängige Variable oder das Argument der Funktion f und y bzw. f(x) die abhängige Variable. Funktionen 3 Die Menge D der x-Werte nennt man Definitionsmenge oder Definitionsbereich. Will man deutlich machen, dass es sich um den Definitionsbereich der Funktion f handelt, so schreibt man auch D(f) oder Df. Wenn der Definitionsbereich einer Funktion eine Teilmenge der reellen Zahlen oder diese selbst ist, also D ⊂ 0, und das Gleiche für die Wertemenge gilt, so spricht man auch von einer reellen Funktion. Da im Folgenden nur solche Funktionen auftreten, wird meist auf die Angabe dieses Zusatzes verzichtet. Beispiele 1. Praktische Beispiele für Funktionen sind u. a. die folgenden Zuordnungen: Die gefahrene Strecke und der verbrauchte Treibstoff, das Datum und der Kurs einer bestimmten Aktie, die produzierte Stückzahl und die Kosten, das Lebensalter und die Körpergröße. 2. In diesem Beispiel ist der Zusammenhang zwischen Uhrzeit und Außentemperatur dargestellt. Wenn man stündlich die Außentemperatur misst, kann man eine Wertetabelle wie folgt aufstellen: Uhrzeit 9 10 11 12 13 14 15 16 Temperatur in °C 8 11 14 16 17 15 13 11 Hier ist die Uhrzeit die unabhängige Variable und die gemessene Außentemperatur die abhängige Variable. Anschaulich wird der Temperaturverlauf an diesem Tag, wenn man die Messwertepaare grafisch darstellt (das kann man z. B. mit einem Tabellenkalkulationsprogramm machen): 4 Funktionen Funktionsterm und Funktionsgleichung In der Mathematik sind Funktionen gewöhnlich durch einen Rechenausdruck gegeben, der angibt, wie aus den x-Werten des Definitionsbereiches die zugehörigen y-Werte zu berechnen sind. Diese Rechenausdrücke nennt man Funktionsterme, sie werden ebenfalls mit f(x) bezeichnet. Manchmal gibt man eine Funktion auch in der Form f: y = f(x) an und bezeichnet y = f(x) als Funktionsgleichung. Funktionen werden meist in Form von Funktionstermen angegeben. Allgemein ist f(x) der Funktionsterm und y = f(x) die Funktionsgleichung. Beispiele 1. Die Funktion f: x 6 x 2 hat den Funktionsterm x2, den man in der Regel als f(x) = x2 schreibt. Die Funktionsgleichung von f lautet f: y = x2. 2. Entsprechend hat die Funktion g: x 6 x − 2 den Funktionsterm g(x) = x – 2 und die Funktionsgleichung g: y = x – 2. Wenn klar ist, dass die Funktion g gemeint ist, lässt man den Funktionsbuchstaben gelegentlich auch weg, schreibt also einfach: y=x–2 Da mathematische Funktionen in der Regel als Funktionsterm gegeben sind, kann man leicht Funktionswerte der Funktion berechnen. Berechnen von Funktionswerten Hat man eine Funktion in Form eines Funktionsterms vorliegen, so können die zu bestimmten x-Werten gehörenden Funktionswerte durch Einsetzen der x-Werte in den Funktionsterm berechnet werden. Beispiele 1. Gegeben ist f(x) = 12 x2 – 3x + 2, Df = 0. Berechnen Sie den Funktionswert für x = 1. Lösung: Soll der Funktionswert an der Stelle x = 1 berechnet werden, dafür schreibt man f(1), sprich: „f von 1“, so wird für sämtliche x eben 1 eingesetzt. f(1) = 12 ⋅ 12 – 3 ⋅ 1 + 2 = − 12 Bemerkung: Wenn die Berechnung der Funktionswerte komplizierter wird, nimmt man den Taschenrechner zur Hilfe.
