Reelle Funktionen

Cusanus-Gymnasium Wittlich
Kursleiter : W. Zimmer
Reelle Funktionen
Definition: Unter einer reellen Funktion versteht man eine Zuordnung, die jeder
reellen Zahl aus einer Menge D ⊆ » eindeutig eine reelle Zahl
zuordnet.
Schreibweise:
f
f: D→»
x → f(x)
ist der Name der Funktion
Df
ist der Definitionsbereich der Funktion f. Er enthält alle
Zahlen, auf die die Zuordnung angewendet werden soll
Unter dem maximalen Definitionsbereich versteht man
die größtmögliche Menge, für die die Funktion definiert ist.
f(x)
bezeichnet den Funktionswert von x, d.h. die reelle Zahl,
die dem Wert x durch die Funktion f zugeordnet wird.
Wf
bezeichnet die Wertemenge der Funktion f . Das sind alle
reellen Zahlen, die als Funktionswert der Funktion f
auftreten.
f(x)=…..
ist die Funktionsgleichung, mit der eine ganz konkrete
Funktion festgelegt wird.
Gf
bezeichnet den Graphen von f. Die Menge besteht aus
allen Punkten ( x | f(x) ) mit x ∈ Df .
Durch einzeichnen dieser Punkte in ein Koordinatensystem
erhält man eine anschauliche Vorstellung vom Verlauf der
Funktion.
Da die vollständige Angabe der Funktion sehr umständlich ist, verwendet unser
Buch folgende Abkürzungen:
f : xf(x)
oder ganz kurz
f(x)=……
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Fehlt die Angabe des Definitionsbereichs, dann ist immer der maximale
Definitionsbereich gemeint !
Beispiel 1:
f(x)=x2
Vollständige Schreibweise
f: D→»
mit D = »
x → x2
Name der Funktion
Definitionsbereich
z.B. Funktionswert von 7
Wertemenge der Funktion f
Funktionsgleichung
Graph von f
Beispiel 2:
f
» maximal
f(7)=49
Wf = » +0
f(x)=x2
vorsicht : x-Werte im Bogenmaß !
g(x)=sin(x)
Vollständige Schreibweise
g: D → »
mit D = »
x → sin(x)
Name der Funktion
Definitionsbereich
z.B. Funktionswert von
g
π
2
» maximal
g(
π
)=1
2
Wertemenge der Funktion f
Wf = [−1;1]
Funktionsgleichung
Graph von f
g(x)=sin(x)
2
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Beispiel 3:
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h(x)= x + 1
Vollständige Schreibweise
h: D → »
x → x +1
Name der Funktion
Definitionsbereich
h
z.B. Funktionswert von 3
Wertemenge der Funktion f
h(2)=2
Wf = » +0
Funktionsgleichung
Graph von f
h(x)= x + 1
Beispiel 4:
r(x)=
Dh = [−1; ∞[ max imal
x + 0,2
x3 − x 2
Vollständige Schreibweise
r: D→»
x + 0,2
x → 3
x − x2
Name der Funktion
Definitionsbereich
r
z.B. Funktionswert von 2
Wertemenge der Funktion f
Funktionsgleichung
r(2)=0,55
Wf = »
x + 0,2
h(x)= 3
x − x2
Dr = » \ {0; 1} maximal
Graph von f
3
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Beispiel 5:
c(x)= sin
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1
x
Vollständige Schreibweise
Vorsicht : x-Werte im Bogenmaß !
c: D→»
mit D = » \ {0}
1
x → sin( )
x
Name der Funktion
Definitionsbereich
z.B. Funktionswert von
c
» \ {0} maximal
1
π
c(
1
)=0
π
Wertemenge der Funktion f
Wf = [−1;1]
Funktionsgleichung
1
c(x)= sin( )
x
Graph von f
Besonderheit: In jeder noch so kleinen Umgebung von 0 gibt es unendlich viele
Nullstellen von c !
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Beispiel 6:
Abschnittsweise definierte Funktionen
(x + 4)2 − 5

2
 −0,5x + 3
k(x) = 
 −2x + 5
x −7

für
für
für
für
Vollständige Schreibweise
x ∈ [−10; −4[
x ∈ [ − 4; +2[
x ∈ [ 2; 4[
x ∈ [ 4; 10]
k: D→»
mit D = [−10;10]
(x + 4)2 − 5

2
 −0,5x + 3
x → k(x) = 
 −2x + 5
x−7

Name der Funktion
Definitionsbereich
k
Dk = [−10;10]
z.B. Funktionswert von − 4
Wertemenge der Funktion f
k(−4) = −5
Funktionsgleichung
Graph von f
k(x)=… s.o.
für
für
für
für
x ∈ [−10; −4[
x ∈ [ − 4; +2[
x ∈ [ 2; 4[
x ∈ [ 4; 10]
Wf = [−5;191]
Frage : Ist f an der Stelle x=2 differenzierbar ?
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