Funktionen: Grundlagen Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung: Wir ordnen jeder Größe einer Menge (Definitionsmenge) genau eine Größe einer anderen Menge (Wertemenge) zu. Die Elemente der Definitionsmenge sind die Argumente, und die Elemente der Wertemenge sind die Funktionswerte. Das lässt sich am besten mit einem Pfeildiagramm darstellen. Hier wird z.B. jeder Person ihr Alter zugeordnet. Diese Zuordnung ist eine Funktion, da sie eindeutig ist: Niemand kann gleichzeitig 39 und 44 Jahre alt sein! Wertemenge Definitionsmenge Funktionswerte Argumente Mit einer Funktion werden immer zwei Größen verbunden: Argument ↦ Funktionswert Wir müssen beachten, dass die Zuordnung eine Richtung hat und damit die beiden Größen unterschiedliche Rollen haben. Bei dem abgebildeten Pfeildiagramm ist die Zuordnung: Person ↦ Alter Die Zuordnungen kann man in Form einer Liste aufschreiben: Rüdiger ↦ 44 Renate ↦ 36 Oliver ↦ 39 Ida ↦ 36 Johannes ↦ 40 Eine Zuordnung können wir aber auch mit einer Zuordnungsvorschrift aufschreiben. Schauen wir uns als Beispiel folgende Funktion an: In diesem Fall sind die Definitionsmenge und die Wertemenge die Menge der natürlichen Zahlen. Es gibt aber unendlich viele natürliche Zahlen! Jeder natürlichen Zahl wird ihr Doppeltes zugeordnet. Wenn wir die Zuordnungen als Liste schreiben, kommen wir nie zu einem Ende: 1 ↦ 2, 2 ↦ 4, 3 ↦ 6, 4 ↦ 8, … Wie kommen wir nun zu einer Zuordnungsvorschrift? Wir erstellen zunächst eine Wertetabelle: x (Argument) y (Funktionswert) 1 1·2=2 2 2·2=4 3 3·2=6 4 4·2=8 Wir sehen nun: Wir können den Funktionswert berechnen, wenn wir für das Argument an der unterstrichenen Stelle in der rechten Spalte einen bestimmten Wert einsetzen! Um die Zuordnungsvorschrift zu erhalten, setzen wir für das Argument einfach nur 𝑥 ein: x (Argument) y (Funktionswert) 1 x·2 Damit haben wir die Zuordnungsvorschrift! x ↦ 2x Wir können es auch so schreiben: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑥… Argument 𝑓(𝑥)… Funktionswert (ist vom Argument abhängig) Das heißt: Erst wenn wir das Argument auf der rechten Seite einsetzen, erhalten wir einen bestimmten Funktionswert, z.B. 𝑓(2) = 2 ∙ 2 = 4
